矩阵-分块矩阵

6、（20 分）设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足：$\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B$ ，求证：$A$ 与 $B$ 相似当且仅当它们的秩相等．

8、已知 $n$ 阶复方阵 $A$ 与 $B$ 的秩相等，且 $\displaystyle A^{2} B=A$ ，证明：$\displaystyle B^{2} A=B$ ．

3．若 $\alpha_{1}=(2,0,0)^{T}, \alpha_{2}=(-1,3,0)^{T}, \alpha_{3}=(7,-4,0)^{T}$ ，则向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的秩为 $\_\_\_\_$

5．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+c x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ，则 $c=$ $\_\_\_\_$ ．

2．设向量组 $\alpha_{1}=(1,0,3,4,3)^{\prime}, \alpha_{2}=(3,-1,2,1,3)^{\prime}, \alpha_{3}=(-1,1,0,5,2)^{\prime}, \alpha_{4}=(3,0,5,10,8)^{\prime}, \alpha_{5}=(-1,0,1,-2,-2)^{\prime}$则 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 的秩是 $\_\_\_\_$ ．

五．（12分）设有齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \quad \cdots \cdots \\ a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0 \end{array}\right. $$ $\displaystyle M_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 为系数矩阵 $A$ 划去地 $i$ 列剩下的 $\displaystyle (n-1) \times(n-1)$ 矩阵的行列式。证明：如果秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ，则 $\displaystyle \eta_{0}=\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个基础解系．

2、已知向量组 $\alpha_{1}=(3,-2,0)^{T}, \alpha_{2}=(27,-18,0)^{T}, \alpha_{3}=(-1,5,8)^{T}$ ，则该向量组的秩为 $\_\_\_\_$ ；极大线性无关组为 $\_\_\_\_$ ．

八、（10 分）$A$ 为 $n$ 级矩阵，$E$ 为 $n$ 级单位矩阵，$\displaystyle A^{4}=E$ ，证明： $$ r(E-A)+r\left(E+A+A^{2}+A^{3}\right)=n . $$

八．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，$B$ 为 $m$ 阶复方阵，且存在秩为 $r$ 的矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A X=X B$ ，其中 $\displaystyle 1 \leq r \leq \min \{n, m\}$ ．证明：$A$ 与 $B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（重根按重数计算）．

3、 $\beta$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，但是表示式不唯一，并求出其一般表示式。

1、 $N(A)$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 的子空间，$R(A)$ 为 $\mathbb{R}^{m}$ 的子空间．

2．（20 分）已知 $A$ 为 $n$ 阶可逆的反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 元列向量，若矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & b \\ b^{T} & 0\end{array}\right)$ ，求矩阵 $B$ 的秩．

5．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，记齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r}$ ，其中 $r$为矩阵 $A$ 的秩，令 $\displaystyle \beta_{i}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \eta_{i}(i=1,2, \cdots, n-r)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n-r}\right)$ 。

二．证明题（ 15 分） 设 $A$ 是 $n$ 阶非零矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 1$ ，记矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，若 $\displaystyle A^{2}=O, O$ 为零矩阵． （1）证明：$\displaystyle r(A) \leq \frac{n}{2}$ ． （2）若已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 有解，证明：该方程组的线性无关的解向量的最大个数为 $\displaystyle n-r+1$.

4．证明：秩等于 $r$ 的矩阵可以表示为 $r$ 个秩等于 1 的矩阵之和，但不能表示为少于 $r$ 个秩等于 1 的矩阵之和。

5．设 $A$ 是 $n$ 阶实满秩矩阵，证明：存在正交矩阵 $\displaystyle P_{1}, P_{2}$ 使得 $$ P_{1}^{-1} A P_{2}=\left(\begin{array}{llll} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0(i=1,2, \cdots, n)$ ．

4．（15 分）设 $A$ 是 $m$ 行 $n$ 列矩阵，$B$ 是 $n$ 行 $s$ 列矩阵．证明： （1）（5 分）若 $A B=O$ ，则 $r(A)+r(B) \leq n$ ． （2）（10 分）$r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$ ．

5．（10 分）设矩阵 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，且 $A B=B A$ ，证明：$A B$ 也是正定矩阵。

2．计算行列式 $$ D_{n}=\left|\begin{array}{cccc} 1+a b & 1+a b^{2} & \ldots & 1+a b^{n} \\ 1+a^{2} b & 1+a^{2} b^{2} & \ldots & 1+a^{2} b^{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1+a^{n} b & 1+a^{n} b^{2} & \ldots & 1+a^{n} b^{n} \end{array}\right| $$

4．已知 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，其特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=0, \alpha_{1}=(1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1,-2)^{\mathrm{T}}$分别是特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 对应的特征向量，求矩阵 $A$ 。

8．已知 $A$ 为数域 $P$ 上的 6 阶矩阵，$f(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda+3)^{2}(\lambda-4)$ 为 $A$ 的特征多项式，$m(\lambda)= (\lambda-2)^{2}(\lambda+3)(\lambda-4)$ 为 $A$ 的最小多项式． （1）求 $A$ 的所有不变因子． （2）写出 $A$ 的 Jordan 标准形． （3）写出 $A$ 的有理标准形．

五，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 级方阵，证明：线性方程组 $\displaystyle A B x=0$与 $\displaystyle B x=0$ 同解的充分必要条件是秩 $\displaystyle (A B)=$ 秩 $\displaystyle (B)$ ．

四，（15 分）设 $\displaystyle m, n, r$ 都是正整数，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：存在秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times r$ 矩阵和秩为 $r$ 的 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ．

八，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$A$ 是一个秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，满足 $\displaystyle A^{2}=A, E$ 是 $n$阶单位矩阵。 （1）求矩阵 $\displaystyle A+E$ 的行列式； （2）矩阵 $A$ 的迹是 $r$ ．

八，（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实方阵，证明： （1）$\displaystyle r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$ ； （2）若存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=0$（即 $A$ 为幂零矩阵），则 $\displaystyle r(A) \leq \frac{n(k-1)}{k}$ ．

四，（15 分）设 $A$ 为数域 $P$ 上的 $\displaystyle n \times s$ 矩阵，证明：秩 $\displaystyle (A)<n$ 的充分必要条件是存在非零矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B A=0$ ．

2、 $A$ 的最小多项式及若尔当（Jordan）标准形．

七、（15分）设 5 阶 $\displaystyle \lambda$－短阵 $\displaystyle A(\lambda)$ 的秩为 4 ，其初等因子为 $\displaystyle \lambda, \lambda, \lambda^{2}, \lambda-1, \lambda-1, \lambda+1,(\lambda+1)^{2}$ ，求 $\displaystyle A(\lambda)$的行列式因子、不变因子及标准形。

五、（ 15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，且 $\displaystyle A^{2}=2020 A$ ． （1）证明：秩 $\displaystyle (A)+$ 秩 $\displaystyle (A-2020 E)=n$ ； （2）若 $A$ 的秩为 $\displaystyle r>0$ ），求 $\displaystyle |E+A|$ 的值．

四，（15 分）设非齐次线性方程组 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right)(*)$ 有解，其系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，证明非齐次线性方程组（＊）有 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解，且任意的解可由其线性表示。

四．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，证明：秩 $\displaystyle (A-E)+$ 秩 $\displaystyle (A+2 E)=n$的充分必要条件是 $\displaystyle A^{2}=A+2 E$ ．

8．（20 分）任取数域 $F$ 上的一个 $\displaystyle m \times n$ 的矩阵 $\displaystyle A, n \times s$ 的矩阵 $B$ ． （1）证明：$\displaystyle r(A B)+n \geq r(A)+r(B)$ ，此处 $r$ 为矩阵的秩函数． （2）证明：上述等式成立当且仅当 $\displaystyle N(A) \subset C(B)$ ，此处 $\displaystyle N(A)$ 为矩阵 $A$ 的零空间，$\displaystyle C(B)$ 为矩阵 $B$ 的列空间．

2．（14 分）设 $A, B$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，$A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，$A B=B A$ ，证明：$A, B$ 可同时对角化．

2．（15 分）证明：$r(A)=r$ 当且仅当存在两个线性无关的列向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 和 $\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r}$ ，使得 $A=\alpha_{1} \beta_{1}^{\mathrm{T}}+\alpha_{2} \beta_{2}^{\mathrm{T}}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{\mathrm{T}}$ 。

三、（20 分）设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵． （1）如果 $\displaystyle A^{k-1} \alpha \neq 0$ ，但 $\displaystyle A^{k} \alpha=0$ ，证明：$\displaystyle \alpha, A \alpha, \cdots, A^{k-1} \alpha(k>0)$ 线性无关； （2）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(A^{n+1}\right)=\operatorname{rank}\left(A^{n}\right)$ ．

五、（20 分）已知实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 秩为 2 ，且 $\displaystyle (0,1,0)^{\mathrm{T}}$是该二次型矩阵 $A$ 的特征向量，求正交线性替换 $\displaystyle x=Q y$ 化二次型为标准形．

四．（15 分）设 $V$ 是复数域上以 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为基底的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $$ \left\{\begin{array}{l} \mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{1}(i=1,2,3) \\ \mathscr{A}\left(\alpha_{4}\right)=\alpha_{2} \end{array}\right. $$ 求 $\displaystyle R(\mathscr{A}), N(\mathscr{A}), R(\mathscr{A}) \cap N(\mathscr{A})$ ，其中 $\displaystyle R(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的值域，$\displaystyle N(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的核。

10．设 $\displaystyle n(>1)$ 阶复矩阵 $A$ 的所有特征值均为 $\displaystyle 0, r(A)=n-1$ 。证明：不存在矩阵 $B$使 $\displaystyle B^{2}=A$ 。

5．设 $\displaystyle A \in P^{\text {mom }}$ 。证明： （1）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 $\displaystyle P \in P^{m \times m}$ 使得 $\displaystyle A=P\binom{E_{n}}{0}$ ； （2）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在行满秩矩阵 $\displaystyle B \in P^{n \times m}$ 使得 $\displaystyle B A=E_{n}$ 。

6．已知列向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的秩是3， $$ \beta=\alpha_{1}+3 \alpha_{2}+\alpha_{3}+4 \alpha_{4} ; \quad \beta=5 \alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}+2 \alpha_{4} $$ 求方程组 $\displaystyle x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+x_{3} \alpha_{3}+x_{4} \alpha_{4}=\beta$ 的通解。

7．设 $P$ 是个数域，$\displaystyle f(x), g(x), q(x), r(x) \in P[x], f(x)=g(x) q(x)+r(x)$ ， $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 。证明：$\displaystyle (g(x) r(x), g(x)+r(x))=1$ 。

10．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$k$ 是任意正整数，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ ，如果 $$ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}\left(A^{2}\right) . $$ （1）证提：文次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle A^{2} X=0$ 同解。 （2）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(A^{k}\right)=\operatorname{rank}(A)$ 。

3．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, \beta \in P^{m \times 1}, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A, \beta)=r$ ，证明非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的解（向量）集合的秩是 $\displaystyle n-r+1$ 。

9．设矩阵 $\displaystyle A \in P^{m \times n}, B \in P^{n \times p}, C \in P^{p \times s}$ ，试证 $$ \operatorname{rank}(A B)+\operatorname{rank}(B C)-\operatorname{rank}(B) \leq \operatorname{rank}(A B C) $$

3．（I）$\displaystyle \alpha_{i}=\left(\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i n}\right), \quad i=1,2, \cdots, s$ ， （II）$\displaystyle \beta_{j}=\left(\beta_{j 1}, \beta_{j 2}, \cdots, \beta_{j m}\right), j=1,2, \cdots, t, \quad \beta_{j}=\sum_{i=1}^{s} k_{j i} \alpha_{i}, \quad j=1,2, \cdots, t 。$ 证明：若（I）线性无关，则矩阵 $\displaystyle K=\left(k_{j i}\right)_{t \times s}$ 的秩与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 的秩相同。

4．$A$ 为 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，$\displaystyle A^{2}-2 A-3 I=0$ ，证明 $\displaystyle r(A+I)+r(A-3 I)=n$ 。

5．设 $A$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，证明 $A$ 为列满秩矩阵的充要条件为存在一个 $\displaystyle m \times p$ 矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle r(A B)=r(B)$ 。

九．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, f(x), g(x) \in P[x], d(x)=(f(x), g(x))$ ，证明： 若 $\displaystyle f(x)$ 是 $A$ 的特征多项式，则 $\displaystyle r(g(A))=r(d(A))$ 。

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

1．设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：$\displaystyle r(A)=r$ 的充分必要条件为存在 $\displaystyle m \times r$ 矩阵 $B$ 和 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $C$ 满足 $\displaystyle r(B)=r(C)=r$ ，且 $\displaystyle A=B C$.

三．设 $A$ 是实数域上的 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$X$ 是 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$X$ 的元素由独立的未知数构成，$\displaystyle m \leq n$ ．证明： $$ A X=E_{m} $$ 有解的充分必要条件是秩 $\displaystyle (A)=m$ ．

2． $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ 至少有一个公共的特征向量．

十、若 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，求证 $\displaystyle A^{n}$ 的秩等于 $\displaystyle A^{n+1}$ 的秩．

2．求 $\mathcal{A}$ 的特征值与特征向量。

2．求证 $\mathcal{A B}=\mathcal{B A}$ ．

十、若 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，试用两种不同的方法证明 $\displaystyle r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ ．

2．设 $f(x)$ 为数域 $P$ 上的不可约多项式，则 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的关系是 $\_\_\_\_$。

7．设 $\sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换， $\operatorname{Ker} \sigma=\{0\}$ ，则 $\sigma$ 为 $\_\_\_\_$。

三、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 7\end{array}\right)$ ， （1）求 $\displaystyle r(A)$ ； （2）求线性空间 $\displaystyle V=\left\{x \in \mathbb{R}^{4} \mid A^{*} x=0\right\}$ 的基础解系．

一、填空（ $\displaystyle 10 \times 5=50$ 分） （1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组 $$ b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3} $$ 线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类． （10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

2．求证： $\mathbb{R}^{n \times n}=V \oplus W$ ．

三、设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}, R(A)=\left\{A x \mid x \in \mathbb{R}^{n}\right\}, N(A)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}$ ，若 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 有相同的秩． 求证： （1）齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 和 $\displaystyle A^{2} x=0$ 同解； （2） $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=R(A) \oplus N(A)$ ．

8．若 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 秩为 1 ，则 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

二、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & 1 & 2 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 3 b & 1\end{array}\right), B$ 是三阶非零方阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，求 $\displaystyle a, b$ 以及 $B$ 的秩．

4．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的秩为3，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}$ 的秩为4，则向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}-\alpha_{4}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．．

9．设 $A$ 为 3 阶奇异阵，$\displaystyle A+E$ 的行向量组线性相关，秩 $\displaystyle (A+2 E)=2$ ，则 $\displaystyle |A+3 E|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

三、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵（ $\displaystyle n>1$ ），求证： （1）若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则存在 $n$ 行 1 列矩阵 $B$ 和 1 行 $n$ 列矩阵 $C$ ，使 $\displaystyle A=B C$ ； （2）若 $\displaystyle r(A)=1$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=1$ ，则 $\displaystyle A^{n}=A$ ．

10．设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，$\displaystyle r(A)=n$ ，则 $n$ 元二次型 $\displaystyle X^{T}\left(A^{T} A\right) X$ 正定性为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

6．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A B=0$ ，则 $\displaystyle r(A)+r(B) \leq$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

七、 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, a_{11}+a_{22}+a_{33}=2, A$ 的秩为1，证明 $A$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & & \\ & 0 & \\ & & 2\end{array}\right)$ 相似．

六、 $\displaystyle A=($ ， （1）求 $A$ 和 $\displaystyle A^{*}$ 的秩； （2）证明 $A$ 的列向量都是 $\displaystyle A^{*} x=0$ 的解．

4．在 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，$\alpha_{1}=\left(\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 1 & 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -3 & 1\end{array}\right), \alpha_{1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -3\end{array}\right)$ 的秩为 $\_\_\_\_$。

三、设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵，证明：$\displaystyle r\left(A^{T} A\right)=r(A)$ 。（15 分）

九、（15 分）$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A+B=E, A B=O, R(A)=\left\{A x \mid x \in \mathbb{R}^{n}\right\}$ ， $\displaystyle \operatorname{Ker}(B)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid B x=0\right\}$. （1）求证：$\displaystyle B A=O$ ； （2）求证：秩 $\displaystyle (B)=n-$ 秩 $\displaystyle (A)$ ； （3）求证：$\displaystyle R(A)=\operatorname{Ker}(B)$ ．

七、（15 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ． （1）求 $a$ 的值； （2）用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换．

四、（15 分）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，求满足 $\displaystyle A P=B$ 的全部矩阵 $P$ ．五、（15 分）在多项式空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{5}$ 中，求向量组 $\displaystyle f_{1}(x)=1+x+x^{2}, f_{2}(x)=x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ ， $\displaystyle f_{3}(x)=1+x^{2}+2 x^{3}+x^{4}, f_{4}(x)=2+2 x+2 x^{2}+4 x^{3}+2 x^{4}$, $\displaystyle f_{5}(x)=1+x+2 x^{2}+3 x^{3}+2 x^{4}$ 的秩和极大线性无关组，并把区域向量用极大线性无关组线性表示。

4．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank} A=\operatorname{rank} B=1, W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 分别为齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 和 $\displaystyle B X=0$ 的解空间，且 $\displaystyle W_{1} \neq W_{2}$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明： （1）$\displaystyle r(A)+r\left(E_{n}-A\right)=n$ ． （2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cc}E_{r} & O \\ O & O\end{array}\right) P^{-1}$ ，其中 $\displaystyle r(A)=r$ ．

四．设 $\displaystyle A, B$ 分别是数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n, n \times s$ 矩阵，$\displaystyle V=\left\{B \gamma \mid \gamma \in P^{s}, A B \gamma=0\right\}$ 是 $n$ 维向量空间 $\displaystyle P^{n}$ 的子空间，证明：维 $\displaystyle (V)=$ 秩 $\displaystyle (B)-$ 秩 $\displaystyle (A B)$ ．

10．设 $U$ 是实内积空间 $V$ 上的一个线性变换的一个有限维不变子空间，则 $U$ 的正交补空间 $U^{\perp}$ 也是线性变换的不变子空间．

2．$\displaystyle A^{2}=-I_{n}$ ，证明 $A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}i I_{r} & 0 \\ 0 & -i I_{n-r}\end{array}\right), r=\operatorname{rank}\left(i I_{n}+A\right)$

判断题 （1）$U$ 是酉矩阵，$\displaystyle U^{*}$ 是 $U$ 的共轭转置，则 $U$ 的所有特征值的模长为 1 （2）$\displaystyle A, B$ 为二阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 有相同的迹和行列式，则 $\displaystyle A, B$ 一定相似 （3）$\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle n \times k$ 阶复矩阵，$\displaystyle C=A B$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C) \leq \min \{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$ （4）$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，则存在 $\displaystyle A B-B A=I_{n}$ （5）$\displaystyle U_{1}, U_{2}, U_{3}$ 是 $V$ 的子空间 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(U_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{2} \cap U_{3}\right)+2 \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}\right)$证明题

4．（可能有误）$n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和为 0 ，秩为 $n-1$ ，则 $A X=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

五．非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1 \end{array}\right. $$ 有三个线性无关的解，记系数矩阵为 $A$ ． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=2$ ． （2）求 $\displaystyle a, b$ 的值与方程组的通解．

3．已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为4维列向量组，且满足 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性无关，$\alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{4}$ ， $\beta=\alpha_{1}+\alpha_{3}+3 \alpha_{4}$ ，则非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 的通解为 $\_\_\_\_$

7．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+\lambda x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ 是正定的，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

9．设 $A$ 是一个秩为 3 的四阶矩阵，$A$ 的对角元的代数余子式分别为 $1,-2,3,-4$ ，则 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 的特征值为 $\_\_\_\_$

1．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n$ ，证明：$A$ 可写成 $\displaystyle n-r$ 个秩为 $\displaystyle n-1$ 的 $n$ 阶矩阵的乘积．

6．（可能有误）设矩阵 $A$ 的初等因子为 $\lambda, \lambda, \lambda^{3},(\lambda-1)^{2}, \lambda-2,(\lambda-2)^{2}$ ，且 $A$ 的秩为 4 ，则 $A$ 的所有不变因子为 $\_\_\_\_$ ．

15．设 $V$ 为数域 $F$ 上次数小于 $n$ 的全体多项式与零多项式构成的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 $$ \mathscr{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x), f(x) \in V . $$

17．已知 $A, B$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $B$ 是半正定矩阵，证明：若 $A B^{3}=B^{3} A$ ，则 $A B=B A$ ．

8．设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵，满足 $A^{3}=E$（ $E$ 为单位矩阵），证明： $$ \operatorname{rank}(A-E)+\operatorname{rank}\left(A^{2}+A+E\right)=n . $$

二、（本题 15 分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n, \eta_{0}$ 为非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个特解，且 $\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{n-r}$为齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 的一个基础解系．证明：$\displaystyle \eta_{0}, \eta_{0}+\eta_{1}, \eta_{0}+\eta_{2}, \cdots . \eta_{0}+\eta_{n-r}$ 是方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解．ff：线性方程组

四、（本题15分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$H$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$\displaystyle r(H)=n$ ，求证：$\displaystyle r(A H)=r(A)$ ．

2．设 2023 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{8}=O$ ，则秩 $\displaystyle \operatorname{rank} A$ 的最大值为

2． 4 阶实矩阵 $A$ 的秩为 2 ，线性无关的向量 $\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{4}$ 满足 $\displaystyle A(\alpha+\beta)=4 \alpha+3 \beta, A(\alpha-\beta)=2 \alpha-3 \beta$ ，试确定线性空间 $\displaystyle S=\left\{B \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \mid A B=B A\right\}$ 的维数．

3．设数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=B A=O$ ，且秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=n-1$ 。设非零向量 $\displaystyle \alpha, \beta$ 分别是 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle A^{T} X=0$ 的非零解。 （1）证明：存在数 $\displaystyle k \in F$ ，使得 $\displaystyle B=k \alpha \beta^{T}$ ； （2）证明：存在多项式 $\displaystyle q(x) \in F[x]$ ，使得 $\displaystyle B=q(A)$ ．

4．若矩阵 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r<n$ ，则 $\displaystyle A X=b$ 的解中线性无关的向量的个数最多为 $\displaystyle \_\_\_\_$个。

6．已知 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，且 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B} \in \operatorname{End}_{F}(V)$ ．证明： $$ \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{A} \mathscr{B}) \leq \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{A})+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{B}) $$ 并证明 $\displaystyle R(A B) \geq R(A)+R(B)-n, \forall A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ．

1．设 2025 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 的秩均为 2020 ，则 $\displaystyle A B$ 的秩 $\displaystyle r(A B)$ 能取到的最小值为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．设 $A$ 为 4 阶方阵满足 $\displaystyle A^{4}+3 A^{2}+2 I=3 A^{3}+3 A$ ，伴随阵 $\displaystyle (A-I)^{*},(A-2 I)^{*}$ 秩均为 0 ，则 $\displaystyle A^{2}$ 的迹 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

4．多项式 $\displaystyle x^{2025}+1$ 除以 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 的余式 $\displaystyle r(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3、线性空间 $V$ 的维数为 30 ，线性空间 $\mathcal{A V}, \mathcal{B V}, \mathcal{C V}$ 的维数分别为 $24, \mathcal{A B C V}$ 的最小维数是 $\_\_\_\_$。

三．（15 分）假设 $A$ 是一个 $n$ 阶反对称矩阵，其主对角线右上方元素全为 1 ，求 $A$ 的秩和行列式．

三．（15 分）设 $M$ 是秩为 $r$ 的 $m$ 阶方阵，$V$ 是全体 $\displaystyle m \times n$ 矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $\displaystyle \varphi$ 为 $$ \varphi(N)=M N, N \in V $$ 证明：$\displaystyle \varphi$ 是线性变换，并求 $\displaystyle \varphi$ 的像空间的维数．

2．设 $\displaystyle A, B, C$ 及 $D$ 均为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 级矩阵且 $D$ 可逆，令 $$ M=\left(\begin{array}{cc} O & A D \\ C & B \end{array}\right) $$ 用 $\displaystyle r(A)$ 表示矩阵 $A$ 之秩，证明：$\displaystyle r(M) \geq r(A)+r(C)$ ．

3．如果把复 $n$ 级对称矩阵按合同分类，即两个复 $n$ 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有 $\_\_\_\_$类。

1）说明 $\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换； 2 ）求 $\sigma V, \sigma^{-1}(0)$ 的维数；

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

4．（数据可能不对）已知 $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & 3\end{array}\right]$ ，且 $B=(A-E)^{-1}(A+E)$ ，求 $(B+E)^{-1}$

2．设 A 的初等因子为：$(\gamma+1),(\gamma+1),(\gamma-1),(\gamma-1)^{2}$ （a）求 $\gamma E-A$ 的不变因子 （b）求 A 的 Jordan 标准型和 A 的最小多项式

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

1、（10 分）线性变换 $\varphi$ 是线性空间 $U$ 上的正交变换，$\varepsilon$ 是恒等变换，证明： $$ (\varphi+\varepsilon)^{-1}(0)=[(\varphi+\varepsilon) V]^{\perp} $$

1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组 $$ \beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m} $$ 线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．

3．（10分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\alpha$ 为 $n$ 维实的列向量，证明：$A^{-1}$ 与 $A+\alpha \alpha^{T}$ 均为正定矩阵，其中 $A^{-1}$ 为 $A$ 的逆矩阵，$\alpha^{T}$ 为 $\alpha$ 的转置。

2、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶可逆反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 维列向量，又设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & b \\ b^{T} & 0\end{array}\right)$ ． 证明： （1）$n$ 为偶数． （2）矩阵 $B$ 的秩 $\displaystyle r(B)=n$ ．

3、（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n} \times \mathbf{m}$ 实矩阵。证明：如果 $\displaystyle r(B)=m$ ，则 $m$ 阶实方阵 $\displaystyle B^{T} A B$ 为正定矩阵。

2．已知 $n$ 阶矩阵 $A$ （1）证明：若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则 $A$ 可以表示成 $\displaystyle \left(\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ 的形式。 （2）证明：若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则存在常数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{2}=k A$ 。 （3）若 $\displaystyle n=2, A^{m}=O(m>2)$ ，证明：$\displaystyle A^{2}=O$ 。

6、12 维线性空间 $V$ ，子空间 $U, W$ 的维数分别为 $3,4, \operatorname{dim}\left(U^{\perp} \cap W^{\perp}\right)$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

7、在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，定义内积 $(\alpha, \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \alpha=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ． $u, v, w \in \mathbb{R}^{3}$ ，其长度分别为 $1,2,4$ ，它们两两之间夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ． （1）直接写出 $u, v, w$ 的格拉姆矩阵 $G=\left(\begin{array}{lll}(u, u) & (u, v) & (u, w) \\ (v, u) & (v, v) & (v, w) \\ (w, u) & (w, v) & (w, w)\end{array}\right)$ ． （2） $\operatorname{det}\left(I+u^{T} u+v^{T} v+w^{T} w\right)$ 的值．

8、若 $\beta=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 7\end{array}\right)$ 可由 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 4 c\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}2 \\ c \\ 10\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$ 的两种不同系数的线性表出． （1）$c$ 的值． （2）$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 \\ c x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=5 \\ 3 x_{1}+5 x_{2}+(12-c) x_{3}=7\end{array}\right.$ 的通解．

10、设二次型 $f(x)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ ． （1）求 $f(x)$ 的矩阵的特征值与特征向量． （2）求正交线性替换 $X=C Y$ 使 $f(x)$ 为标准型． （3）求 $f(x)$ 在条件 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=4$ 下的最大值．

2．写出 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的表达式．

4．设 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right)$ ，矩阵 $\displaystyle A=\alpha \alpha^{T}, n$ 为正整数，求行列式 $\displaystyle \left|a E-A^{n}\right|$ 的值

6．假设 $\displaystyle A_{m \times n}$ 为行满秩实矩阵，$\displaystyle m<n$ ，令 $\displaystyle B=A^{T} A$ 。 （1）证明：使得 $\displaystyle x^{T} B x=0$ 的所有 $x$ 构成 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的一个线性子空间 $W$ ； （2）求 $W$ 的维数

5. （1）二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ ，当 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 时，求该二次型的最大值。 （2）二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ ，其中： $\displaystyle \bar{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n}$ ，求此二次型的矩阵和秩

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A=3$ ，则行列式 $\operatorname{det}\left(A^{*}-A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

8．设 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的子空间，且 $V_{1}$ 的维数小于 $V_{2}$ 的维数，则 $V_{2}$ 中 $\_\_\_\_$ （选填＂必有＂＂未必有＂＂必没有＂）一非零向量正交于 $V_{1}$ 中的所有向量。

1．填空题 （1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足 $$ \sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} . $$ 则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式． （8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

4．设 $P$ 为数域，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1, A$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，证明：$\displaystyle f(A) g(A)=O$的充要条件是 $\displaystyle r(f(A))+r(g(A))=n$ ．

5．设 $n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 的秩均为 1 ，且 $A$ 与 $B$ 的迹相同，证明：$A$ 相似于 $B$ ．

四．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(E-A)=n$ 的充分必要条件是 $\displaystyle A^{2}=A$ ．

4．已知 $V=\left\{\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & a \\ a+3 b & c & 0 \\ 0 & b-c & a\end{array}\right): a, b, c \in \mathbb{F}\right\}$ 按照通常运算作为线性空间，则 $\operatorname{dim} V=?(3)$

五．$\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}), 0<\operatorname{rank} A<n, \operatorname{rank} A=\operatorname{rank} A^{2}$ ，证明：存在可逆矩阵 $P$ 及可逆矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=P \operatorname{diag}(B, O) P^{-1}$ ．

四．$\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}), f(x) \in \mathbb{C}[\mathbf{x}], g(x)$ 是 $A$ 的最小多项式，$\displaystyle (f, g)=d(x)$ ，证明： $\displaystyle (1) \operatorname{rank}(f(A))=\operatorname{rank}(d(A)) ; \quad(2) f(A)$ 可逆 $\displaystyle \Leftrightarrow(f, g)=1$.

4．$A$ 是 4 阶幂零矩阵，$A^{2}$ 的不变因子是 $\_\_\_\_$ ．

四．1．设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，秩为 $r$ ，试证：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{rank} B=r$ ．［张祖锦注：题目回忆有误，反例见参考解答！我们给出并证明了正确表述方式！］

4．设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $R(A)=4, R\left(A^{3}\right)=1$ ，且 $R\left(A^{2}\right)>R\left(A^{3}\right)$ ，则 $R\left(A^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．设 $\varphi$ 是 10 维线性空间 $V$ 到 12 维线性空间 $U$ 的线性映射，则 $\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Ker} \varphi=$ $\_\_\_\_$ ．

3．已知 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=B A$ ，证明：$\displaystyle r(A)+r(B) \geq r(A+B)+r(A B)$ ．

4．设 $\displaystyle A=E-\xi \xi^{T}$ ，其中 $\displaystyle \xi$ 为 $n$ 维实列向量． （1）证明：$\displaystyle A^{2}=A$ 等价于 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 。 （2）当 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 时，求 $\displaystyle r(A)$ ．

二．（15 分）已知线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=c \end{array}\right. $$ 有 3 个线性无关的解． （1）证明该线性方程组系数矩阵的秩为 2 ． （2）求参数 $\displaystyle a, b, c$ 的值以及该线性方程组的通解．

6．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为复数域的 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ ，证明：$A$ 与 $B$ 相似。

7．（25分）设 $\displaystyle \mathbb{K}$ 是一个数域，$\displaystyle m, n$ 为自然数，$\displaystyle M_{m, n}(\mathbb{K}), M_{m}(\mathbb{K})$ 分别是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上 $\displaystyle m \times n$ 阶与 $m$ 阶矩阵生成的空间，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵。定义 $$ f: M_{m}(\mathbb{K}) \longrightarrow M_{m, n}(\mathbb{K}), \quad f(X)=X A $$ （1）．证明：$f$ 是一个线性映射； （2）．设 $\displaystyle m=n=2, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ，分别求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的一组基与 $f$ 的像 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 的一组基； （3）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的秩； （4）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的维数．

1．（20 分）$\displaystyle m \times n$ 实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 以 $\displaystyle a_{11}$ 为圆心逆时针旋转 $\displaystyle 90^{\circ}$ 得到矩阵 $B$ 。 （1）．求 $B$ 的行数和列数． （2）． $\displaystyle \operatorname{rank}(A)$ 与 $\displaystyle \operatorname{rank}(B)$ 的关系，并解释原因。 （3）．设 $\displaystyle m=n,|A|$ 与 $\displaystyle |B|$ 的关系？并证明．

2．（15 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ ，是线性空间 $V$ 中的 $\displaystyle 2 n$ 个向量．已知对任意的 $\displaystyle 1 \leqslant k \leqslant n$ 以及 $\displaystyle 1 \leqslant i_{1}<\cdots<i_{k} \leqslant n, \alpha_{i_{1}}, \alpha_{i_{2}}, \ldots, \alpha_{i_{k}}$ 线性相关当且仅当 $\displaystyle \beta_{i_{1}}, \beta_{i_{2}}, \ldots, \beta_{i_{k}}$ 线性相关。求证向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 的秩与向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ 的秩相同。

6．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，令 $\displaystyle L(A, B)=\left\{X \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid A X B=0\right\}$ 。 （1）．验证 $\displaystyle L(A, B)$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的线性子空间． （2）．设 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r, \operatorname{rank}(B)=s$ ．求 $\displaystyle \operatorname{dim} L(A, B)$ 。（用 $\displaystyle n, r, s$ 表示）。

1．（15 分）设 $\displaystyle A \in \mathbb{M}_{m \times n}, \beta \in \mathbb{M}_{m \times 1}$ ，问：线性方程组 $\displaystyle A x=\beta$ 有多少个线性无关的解（用 $\displaystyle r=\operatorname{rank}(A)$ 表示），并说明理由。

8．（15 分）证明：若 6 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 是幂零矩阵，且有相同的秩和最小多项式，则 $\displaystyle A, B$ 相似。

2．（20 分）设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 2 ，且 -2 是它的二重特征值，若 $\displaystyle (1,0,0)^{\top},(2,1,1)^{\top}$ 都是 $A$ 的属于特征值 -2 的特征向量，求矩阵 $A$ 。

6．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换． （a）．证明：存在正整数 $\displaystyle k \leq n$ ，使得 $$ \operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{n}\right) \quad \text { 且 } \quad \operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{n}\right) . $$ （b）．考虑如下数值指标： （i） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩 $r$ ； （ii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块个数 $m$ ； （iii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块的最大阶数 $n$ ； （iv）（a）中出现最小的 $k$ 。 讨论这些数值之间的关系，并证明你的结论。

9．（20 分）（a）．设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是半正定对称矩阵，$\displaystyle x \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明：$\displaystyle x^{\top} A x=0$ 等价于 $\displaystyle A x=0$ ． （b）．设 $A$ 是 $n$ 阶半正定对称矩阵，将其写成分块矩阵的形式 $$ A=\left(\begin{array}{ll} A_{1} & A_{2} \\ A_{2}^{\top} & A_{4} \end{array}\right), $$ 其中 $\displaystyle A_{1}$ 是 $r$ 阶方阵。证明：对 $\displaystyle x \in \mathbb{R}^{r}$ ，若 $\displaystyle A_{1} x=0$ ，则 $\displaystyle A_{2}^{\top} x=0$ ． （c）．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ 。证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $$ P^{-1} A\left(P^{-1}\right)^{\top}=\left(\begin{array}{cc} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad P^{\top} B P=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\} $$

7．（15 分）已知如下非齐次线性方程组有三个线性无关的解． $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=3 \end{array}\right. $$ （1）（8 分）记系数矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle r(A)=2$ ． （2）（ 7 分）求 $\displaystyle a, b$ 的值，并求方程组的通解．

8．$M$ 为 $P$ 上的 $\displaystyle V_{M}=\left\{X \in P^{n \times n} \mid M X=O\right\}$ 。 （1）$\displaystyle M=\left(\begin{array}{ll}1 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right)$ ，讨论 $\displaystyle V_{M}$ 的基； （2）设 $M$ 的秩为 $r$ ，讨论 $\displaystyle V_{M}$ 的维数。

6．已知 $A$ 是 $\displaystyle s \times n$ 列满秩矩阵，$B$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，证明 $\displaystyle r(A B)=r(B)$ ．

1．已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 解的集合为 $S$ ，其中 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r$ ．证明：$S$ 中存在 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的向量，任意 $\displaystyle n-r+2$ 个向量线性相关．

9．设 $f$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等变换，$\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid f(\alpha)=0\}, V_{2}=\{f(\beta) \mid \beta \in V\}$ ，且 $f$ 在某组基下的矩阵为 $A$ ．证明： （1）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$ ； （2）$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和； （3）$\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．

8．（10 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 为多项式，$A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明： $$ r\binom{f(A)}{g(A)}=r(f(A), g(A)) $$

7．$A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵． （1）存在矩阵 $B$ 满足 $\displaystyle A B A=A, B A B=B$ ． （2）若 $B$ 满足 $\displaystyle A B A=A$ 且 $\displaystyle B A B=B, K(A)=\left\{A X=0 \mid X \in P^{n}\right\}, R(B)=\left\{B Y \mid Y \in P^{m}\right\}$ ，证明： $$ P^{n}=K(A) \oplus R(B) $$

五．（12 分）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=E$ ，证明：$\displaystyle r(E-A)+r(E+A)=n$ ．

八．（12 分）设 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，证明：存在 $\displaystyle m \times r$ 的列满秩矩阵 $F$ 和 $\displaystyle r \times n$ 的行满秩矩阵 $G$ ，使得 $\displaystyle A=F G$ ．

四．（12分）在线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中定义 $$ \mathscr{A}: \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2}, X \mapsto\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) X-X\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) $$ （1）记 $\displaystyle E_{i j}(i, j=1,2)$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 其余元素为 0 的二阶方阵，求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$下的矩阵； （2）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩与零度．

6．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ ，其中 $A^{T}=A,|A|=a, r(A+b E)=1$ ，若 $f$ 正定，求 $a, b$ 满足的条件为 $\_\_\_\_$ ．

九．（15 分）设 $A$ 为一个秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明：存在一个秩为 $r$ 的 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $B$ 与一个秩为 $r$ 的 $\displaystyle n \times r$ 矩阵 $C$ ，满足 $\displaystyle A=C B$ ，且 $\displaystyle B C=E_{r}$（ $\displaystyle E_{r}$ 为 $r$ 阶单位矩阵）．

5．秩为 3 的 5 元二次型只有 $\_\_\_\_$中规模型．

7．$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$ 的解空间为 $V_{1}, x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}$ 的解空间为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 的维数 $\_\_\_\_$ ．

四．$n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ，证明：$\displaystyle r(A)+r(A-E)=n$ ．

10．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且满足 $\displaystyle n-1 \leq R(A) \leq n$ ．证明存在实可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 均为对角矩阵（20分）

3．$\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,1,1)^{\prime}, \quad \alpha_{2}=(0,1,-1,-1,1)^{T}, \quad \alpha_{3}=(1,-1,3,3,-1)^{T}, \quad \alpha_{4}=(3,3 .-2,-4,2)^{\prime}$ ， $\displaystyle \alpha_{5}=(5,2,1,1,1)^{T}, \quad \alpha_{6}=(-4,-2,-1,1,-1)^{t}$ （1）求 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 的秩和一极大线性无关组；（8 分） （2）$\displaystyle \alpha_{6}$ 用 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 线性表出．（7分）

3、设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle r(A)$ 是矩阵 $A$ 的秩，证明：$\displaystyle r(A)=n$ 当且仅当存在一个实阵 $B$ ，使 $\displaystyle A^{\top} B+B^{\top} A$ 是正定矩阵．

5、设 $A$ 为2026阶非零实方阵，$\displaystyle A_{i j}$ 为 $A$ 的元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，$\displaystyle A_{i j}=a_{i j}$ 对所有的 $\displaystyle 1 \leq i, j \leq 2026$ 都成立，求 $A$ 的秩和行列式．

3．（5 分）实数域上秩为 $n$ 的 $n$ 元二次型 $\displaystyle q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 与 $\displaystyle -q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 等价，其中 $n$ 是偶数，则 $\displaystyle q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 的正惯性指数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．（5 分）已知向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right\},\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right\},\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}\right\}$ 的秩分别为 $\displaystyle 3,3,4$ ，则向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}-\right. \left.\alpha_{5}\right\}$ 的秩是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

十．（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，秩 $\displaystyle (A+B)=n$ ．证明：$\displaystyle A^{\prime} A+B^{\prime} B$ 为正定矩阵．

四．（15 分）设非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \\ a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s} \end{array}\right. $$ 的系数矩阵为 $A$ ，向量 $\displaystyle \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{s}\right)^{\prime}$ ． （1）若方程组有解且秩 $\displaystyle (A)=r$ ，求方程组的解向量中最多线性无关解的数目． （2）若方程组对任意的 $s$ 维列向量 $\displaystyle \beta$ 都有解，求秩（ $A$ ）．

8．（15分）已知 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 都是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶矩阵，且满足 $$ A B=B A=O, r(A)=r\left(A^{2}\right) . $$ 证明：$\displaystyle r(A+B)=r(A)+r(B)$ ．

1．求 $a, b$ 的值，使得 $(x-1)^{2} \mid f(x)$ ；

3．若 $x^{2}-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，求 $r(A+E)+r(A-E)$ ，其中 $E$ 是单位矩阵， $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩．（15 分）

2．求 $a, b$ 的值；

3．求线性方程组的解．（15 分） 三。设 3 维实向量空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\sigma$ 使得 $\sigma\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b x_{1}+x_{3} \\ -2 x_{1}+x_{2}+a x_{3} \\ x_{1}\end{array}\right)$ ．

6．设 $\displaystyle A, B, C, D$ 都是 $n$ 阶矩阵且 $\displaystyle A B=B A$ ．证明： （1）若 $\displaystyle r(A)=n$ ，则 $\displaystyle r\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)=n+r(D A-C B)$ ． （2）$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right|=|D A-C B|$ ．

8．已知 $\displaystyle A B-B A=a A$ ．证明： （1）若 $\displaystyle a \neq 0$ ，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同时为上三角矩阵． （2）若 $\displaystyle a=0$ ，则 $\displaystyle r(A+B)+r(A B) \leq r(A)+r(B)$ ．

八（15 分）、设 $B$ 为一 $\displaystyle r \times r$ 矩阵，$C$ 为一 $\displaystyle r \times n$ 矩阵，且秩（ $C$ ）$\displaystyle =r$ ，证明：1）若 $\displaystyle B C=0$ ，则 $\displaystyle \mathrm{B}=0$ ；2）若 $\displaystyle \mathrm{BC}=\mathrm{C}$ ，则 $\displaystyle \mathrm{B}=\mathrm{E}$

七、设 $\displaystyle A \in C^{n \times n}, ~ C \in C^{n \times n}, A$ 为正定矩阵，矩阵 $C$ 的秩为 $\displaystyle m, n>m$ ，求 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{T} & 0\end{array}\right)$ 的正、负惯性指数，其中 $\displaystyle C^{T}$ 为矩阵 $C$ 的转置（15 分）

四、设实矩阵 $\displaystyle A \in C^{m \times n}$ ，证明秩 $\displaystyle \left(A^{\prime} A\right)=$ 秩 $\displaystyle (A), A^{\prime}$ 为矩阵 $A$ 的转置。（15 分）

10．（15 分） A 是一个 n 阶矩阵， $\displaystyle \mathrm{A}^{2}=4 \mathrm{~A}, \mathrm{~A}$ 的秩为 r ，计算 $\displaystyle |\mathrm{A}-3 \mathrm{I}|$ ，其中 I 为单位矩阵。

三、设 $A$ 为四阶对称方阵，满足 $\displaystyle A^{2}+3 A=0$ ，且秩为 3 ，求 $\displaystyle \|A+2 E\|$ 其中 $E$ 为单位矩阵（20分）

七、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 分别为数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n$ 与 $\displaystyle n \times s$ 矩阵，又设 $$ W=\left\{B \alpha \mid A B \alpha=0, \alpha \in P^{s \times 1}\right\} \subset P^{n \times 1} $$ 证明： $$ \operatorname{dim}(W)=\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B) $$

2、不变子空间

九、（15 分）证明：实二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}(\lambda i j+i+j) x_{i} x_{j}(n>1)$ 的秩和符号差与 $\displaystyle \lambda$ 无关。

四、（20分）设行列式 $$ \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=0 $$ 令 $\displaystyle A_{i j}$ 是元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，证明：矩阵 $$ \left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n} \end{array}\right) $$ 的秩 $\displaystyle \leq 1$ ．

四、（15分） 设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{s}\left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+\cdots+a_{i n} x_{n}\right)^{2}$ ，证明 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的秩等于下列矩阵 $A$ 的秩 $$ A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n} \end{array}\right] . $$

九、（15 分） 设 $A$ 为三阶实对称矩阵，且满足条件 $\displaystyle A^{2}-4 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $\displaystyle r(A)=2$ 。 求：（1）$A$ 的所有特征值； （2）当 $k$ 为何值时，矩阵 $\displaystyle A+k E$ 为正定矩阵。

十、（15 分） 已知 $A$ 是复数域 $n$ 阶方阵，则存在唯一 $\displaystyle A_{1}$ 和 $\displaystyle A_{2}$ ，使得 $\displaystyle A=A_{1}+A_{2}$ ，其中 $$ A_{1}=U\left[\begin{array}{ll} T & S \\ 0 & 0 \end{array}\right] U^{H}, A_{2}=U\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & N \end{array}\right] U^{H}, $$ $\displaystyle T \in \mathbb{C}^{r \times r}$ 是可逆的，$\displaystyle N \in \mathbb{C}^{(m-r) \times(m-r)}, N^{k}=0, U$ 是可逆的且满足 $\displaystyle U^{-1}=U^{H}$ 。 （1）求 $\displaystyle A^{k}$ 的秩； （2）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, r(X)=r$ 的解； （3）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, X A X=X,(A X)^{H}=A X, r(X)=r$ 的解。

六、（15 分） 设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，且满足 $\displaystyle A^{2}+2 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $\displaystyle =2$ ． （1）求 $A$ 的全部特征值； （2）当 $k$ 为何值时，矩阵 $\displaystyle A+k E$ 为正定矩阵，其中 $E$ 是 3 阶单位矩阵．

十、（15 分） 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ ，证明： （1）存在可逆矩阵 $B$ 和幂等矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ； （2）存在列满秩（列向量组线性无关）的矩阵 $E$ 和行满秩（行向量组线性无关）的矩阵 $F$ ，使得 $\displaystyle A=E F$ ．

3．设 $f(x, y, z)=x^{2}+t y^{2}+z^{2}+2 x y-2 t x z-2 y z$ 的正负惯性指数都为 1 ，求 $t$ 的值．

2．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 的秩为 $r$ ，任取 $t$ 个向量 $\alpha_{i_{1}}, \alpha_{i_{2}}, \cdots, \alpha_{i_{t}}$ ，证明它的秩大于等式 $r-s+t$ ．

8．设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，证明：存在多项式 $f(x)$ ，使得 $f(A)=A^{-1}, f(B)=B^{-1}$ ．

1．令 $W$ 是 $M_{n}(\mathbb{R})$ 中的第一行元素全为 0 的矩阵构成的集合，求证：$W$ 是 $M_{n}(\mathbb{R})$ 的子空间．

2．求证：矩阵 $A$ 可以对角化．

二．设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明： （1）$A$ 可以对角化． （2） $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=$ 秩 $\displaystyle (A)$ ．

3．（20分）已知向量组 $\displaystyle (I)$ 为 $$ \beta_{1}=(0,1,-1)^{T}, \beta_{2}=(s, 2,1)^{T}, \beta_{3}=(t, 1,0)^{T} $$ 向量组（II）为 $$ \alpha_{1}=(1,2,-3)^{T}, \alpha_{2}=(3,0,1)^{T}, \alpha_{3}=(9,6,-7)^{T} . $$ 向量组 $\displaystyle (I)$ 与 $\displaystyle (I I)$ 有相同的秩，且 $\displaystyle \beta_{3}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出，求 $\displaystyle s, t$ 的值．

4．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，已知 $$ a_{i i}>0(i=1,2, \cdots, n), a_{i j}<0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n) $$ 且 $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i j}=0(i=1,2, \cdots, n)$ ，证明：秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．

五．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵，证明：$n$ 元实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}\right)^{2}+\cdots+\left(a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}\right)^{2} $$ 是正定二次型的充要必要条件是 $A$ 的秩等于 $n$ ．

四．（15 分）设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{-1}$ 的后 $\displaystyle n-r$ 行全为零．

四．（15 分）设 $A$ 是秩为 $m$ 的 $\displaystyle m \times n$ 级矩阵，$B$ 是秩为 $\displaystyle n-m$ 的 $\displaystyle n \times(n-m)$ 级矩阵，而且 $\displaystyle A B=O$ ．若 $n$维向量 $\displaystyle \eta$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解．证明：存在唯一的 $\displaystyle n-m$ 维列向量 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle \eta=B \xi$ ．

4．（10 分）设 $\displaystyle A \in M_{m \times n}(P)$ ，证明：$A$ 的秩等于 $r$ 的充要条件是存在秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times r$ 矩阵 $M$ 和 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $N$ ，使得 $\displaystyle A=M N$ ．

三．（15 分）设 $A$ 是数域上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle n \geq 2, A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，且存在 $n$ 维非零向量 $\displaystyle \alpha$ ，满足 $\displaystyle A \alpha=0$ ．证明：非齐次线性方程组 $\displaystyle A^{*} X=\alpha$ 有解当且仅当秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．

3．已知 $$ \beta_{1}=\alpha_{2}+\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{s}, \beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{s}, \cdots, \beta_{s}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s-1} . $$ 证明向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 的秩相同．

1．如果实矩阼 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$

5．设 $R$ 为实数域，集合 $T=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}u & v & u \\ v & x+y & x \\ u & x & u\end{array}\right) \right\rvert\, u, v, x, y \in R\right\}$ 关于矩阵的加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$ ，维数为 $\_\_\_\_$ －．选择题（将正确答案的选项填入括考中，本题共 25 分，每小题 5 分）

1．如果实方阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$

4．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), T=\{B \mid A B=B A\}$ ，其中 $B$ 为 3 阶实方阵，$T$ 关于矩阵加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$

1．设 $A, P$ 均为3阶矩阵，且 $P^{T} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ， $Q=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，则 $Q^{T} A Q=($ （A）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （C）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 为 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 为 $1 \times n$ 矩阵，且 $|A|=2, ~\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$

5．如果 $\left|\begin{array}{cccc}x-1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & x-3 & 1 & 4 \\ -1 & -9 & x-1 & -16 \\ -1 & -27 & 1 & x+64\end{array}\right|$ 的四个根是 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵，B为 $n \times m$ 型矩阵，其中 $m<n$ ，若 $A B=E_{m}$ ，则（ （A）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=m$ ； （B）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=n$ ； （C）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=m$ ； （D）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=n$ ．

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

5．已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}-x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1+\lambda \\ -2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 无解，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ （5） $\_\_\_\_$

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}4 & 6 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & -1 & -1 \\ 7 & -4 & 1 & 2\end{array}\right), A_{11}$ 是 $A$ 中元素 $a_{11}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+2 A_{12}-A_{13}-A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

5．设 $A$ 与 $B$ 分别是 $3 \times 2$ 与 $2 \times 3$ 矩阵，且满足 $A B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $R(A)=$ $\_\_\_\_$

五．（共20 分）$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 3 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 4 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & -5 & 1 & -6\end{array}\right)$ ， （1）求 $\displaystyle 5 \times 5$ 的秩为 2 的矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B=0$ ； （2）已知 $C$ 是满足 $\displaystyle A C=0$ 的 $\displaystyle 5 \times 5$ 矩阵，证明 $\displaystyle r(C) \leq 2$ 。

六．（共 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换。证明： （1）存在正整数 $k$ ，使得对所有 $\displaystyle l>k$ 有 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(\sigma^{l}\right)=\operatorname{ker}\left(\sigma^{k}\right)$ ； （2）$\displaystyle \sigma$ 的秩与 $\displaystyle \sigma^{2}$ 的秩相等的充分必要条件是 $\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \operatorname{ker}(\sigma)$ 。

四．（共 30 分）若䀇陏（满龪 $\displaystyle C^{2}=C$ ，称 $C$ 为幂等矩阵。证明 （1）$n$ 阶知阵（是委等矩阵的充要条件为 $\displaystyle r(C)+r(C-E)=n$ 。 （2）若 $A$ 足 $n$ 阶褁等矩阵，满足（a）$\displaystyle A=A_{1}+A_{2}$ ； （b）$\displaystyle r(A)=r\left(A_{1}\right)+r\left(A_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle A_{t}(i=1.2)$ 都是幂等矩阵。

3．$\tau$ 为 $V$ 上的正交变换的充要条件是 $k=-\frac{2}{\left(X_{0}, X_{0}\right)}$ ．

1．若 $A$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上 $n \times n$ 对称矩阵，且 $|A|<0$ ，则必存在 $n$ 维实列向量，使得 $X^{\prime} A X<0$ ．

2．若方阵 $A=\left(\begin{array}{cc}B & D \\ D^{\prime} & C\end{array}\right)$ 为实对称阵，则 $A$ 是正定的充分必要条件为 $B$ 是正定且 $C-D^{\prime} B^{-1} D$ 也是正定的．

7．（30 分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间．$\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$ 都是 $V$ 上的非零线性变换． $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma$ 表示线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的秩。 （1）证明：存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \sigma_{i}(\alpha) \neq 0, i=1,2, \cdots, s$ ； （2）令 $\displaystyle \sigma=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\cdots+\sigma_{s}$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是幂等变换且 $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma=\sum_{i=1}^{s} \operatorname{rank} \sigma_{i}$ 的充要条件为 $\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$都是幂等变换，且 $\displaystyle \sigma_{i} \sigma_{j}=0(i \neq j)$ ．

5、解答如下问题： （1） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 实矩阵，则 $\displaystyle \mathbf{B}^{T} \mathbf{A} \mathbf{B}$ 是正定矩阵的充要条件是 $\displaystyle r(B)=n$ ． （2） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶实对称矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 为半正定矩阵的充分必要条件是存在 $r$ 行 $n$ 列的行满秩矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=B^{T} B$ ．

6、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A B=A+2025 B$ ，证明： （1）$\displaystyle r(A)+r(B) \leq r(A B)+n$ ． （2）$\displaystyle r(A)+r(B) \geq r(A+B)+r(A B)$ ．

2．设 4 阶方阵 $A$ 的秩是 $\displaystyle 3, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 是方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的三个不同的解，且满足 $$ \eta_{1}+\eta_{2}+\eta_{3}=(3,3,0,3)^{\mathrm{T}}, 2 \eta_{2}+3 \eta_{3}=(6,2,3,0)^{\mathrm{T}} . $$ （1）证明：$\displaystyle \beta \neq 0$ ，即 $\displaystyle \beta$ 不是零向量． （2）求方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解．

3．设 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵 $\displaystyle (n \geq 2)$ ，满足 $\displaystyle A^{2}=A, B, C$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵． （1）证明：$\displaystyle r(A)+r\left(A-E_{n}\right)=n$ ． （2）若 $\displaystyle E_{n}+C^{\mathrm{T}} B$ 可逆，则 $\displaystyle E_{m}+B C^{\mathrm{T}}$ 可逆，并求 $\displaystyle E_{m}+B C^{\mathrm{T}}$ 的逆．

三、（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}, \beta$ 是一个 n 维列向量组，且它的秩与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$的秩相同，证明：$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性表出，且表示法唯一的充分必要条件为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关。

九、（20 分）设二次型 $\displaystyle \mathrm{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+\mathrm{t} x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 （1）求 t 的值； （2）用正交线性替换将此二次型化为标准形，并写出所用的正交线性替换。十、证明以下结论： （1）设 A 为 n 阶实矩阵，证明 A 为反对称矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \mathrm{A} A^{T}=-A^{2}$ ； （2）设 $A$ 为正定阵，则存在正定矩阵使得 $\displaystyle A=B^{2}$ 。

四、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2 ，且－2 是它的二重特征值，若 $\displaystyle (1,0,0)^{T},(2,1,1)^{T}$都是 $A$ 的属于特征值－ 2 的特征向量，求矩阵 $A$ 。

五、（15 分）设 $\displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为数域 P 上的 n 阶方阵，且秩（ A ）＝秩（ BA ），证明对任意的 $\displaystyle \mathrm{l} \geq 1$ ，有秩 $\displaystyle \left(\mathrm{A}^{l}\right)=$ 秩 $\displaystyle \left(\mathrm{BA}^{l}\right)$ ．

四、（15 分）证明 $\displaystyle \operatorname{mxn}$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$ 的充要条件是 $A$ 有分解式 $\displaystyle A=\alpha_{1} \beta_{1}{ }^{T}+\alpha_{2} \beta_{2}{ }^{T}+ \ldots+\mathrm{a}_{r} \beta_{r}{ }^{T}$ ，其中 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{r}$ 分别是线性无关的 m 维和 n 维列向量。

3．（15 分）设 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，证明：如果 $\displaystyle A^{2}-A=2 E$ ，那么秩 $\displaystyle (A+E)+$ 秩 $\displaystyle (A-2 E)=n$.

4．（15分）设 $A$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，其中 $\displaystyle n<m$ ，若 $\displaystyle A B=E$ ，其中 $E$为 $n$ 阶单位矩阵，证明：秩 $\displaystyle (B)=n$ ．

6．（15分）设 $A$ 是复数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵，秩 $\displaystyle (A)=1, A$ 的迹 $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ，求 $A$ 的若尔当标准形，初等因子，不变因子，最小多项式。

4．设 $A=\alpha \beta^{T}$ ，其中 $\alpha=(1,3,4)^{T}, \beta=(2,2,1)^{T}$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形为 $\_\_\_\_$ ．

11．用正交线性替换将二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 化为标准形，写出所做的正交线性变换和得到的标准形。

12．设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 $4, r(A-E)=1$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵．求矩阵 $A$ ．

18．设 $A$ 为 $m \times n$ 实矩阵．证明： （1）对任意 $m$ 维实向量 $\beta$ ，线性方程组 $A^{T} A X=A^{T} \beta$ 必有解． （2）若 $X_{0}$ 是线性方程组 $A^{T} A X=A^{T} \beta$ 的解，则在欧氏空间 $\mathbb{R}^{n}$ 中，对任意 $\alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，均有 $d\left(\beta, A X_{0}\right) \leq d(\beta, A \alpha)$ ，其中 $d(X, Y)$ 表示向量 $X, Y$ 的距离．

13．（12 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $A B=B A$ ．证明：若 $A$ 是可逆矩阵，$B$ 是幂零矩阵（即存在正整数 $k$ 使得 $B^{k}=O$ ），则 $A+B$ 可逆．

1、（5分）求 $A$ ．

6、（20 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r(B)$ ，证明：$\displaystyle A^{2} B=A$ 的充要条件是 $\displaystyle B^{2} A=B$ ．

8、（20分）设 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中三个非零向量，已知它们两两正交， 记矩阵 $\displaystyle A=\alpha \beta^{T}+\beta \gamma^{T}+\gamma \alpha^{T}$ ． （1）证明：$\displaystyle r(A)=3$ ． （2）$A$ 是否可以相似对角化？请证明你的结论。

3．$\displaystyle C \in M_{m \times n}(\mathbb{C}), r(C)=r$ ，且 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（计重数）．

5．设 $\displaystyle A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$ 且 $\displaystyle |\lambda|<\delta$ 时，$\displaystyle \lambda E+A$ 可逆． （2） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow 0} A(\lambda E+A)^{-1}$ 存在的充分必要条件是 $\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．

7．$\displaystyle A_{n \times n}$ 为正定矩阵，$\displaystyle B_{n \times m}$ 满足 $\displaystyle r(B)=r$ ，求矩阵 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & O\end{array}\right)$ 的正负惯性指数．

8．（可能有误）$\displaystyle A, B$ 为 2026 阶反对称矩阵，证明： （1）$\displaystyle r(A)$ 为偶数． （2）$\displaystyle A B$ 的特征多项式至少有一个二重根．

4、（15 分）$A$ 为 $n$ 阶实方阵，证明：$\displaystyle r\left(A^{\top} A\right)=r(A)$ ，若 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，是否仍成立．

6、（15 分）$\displaystyle f\left(x_{1} \cdots x_{n}\right)=x_{1}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}+4 \sum_{i, j=1}^{n} x_{i j}$ 的秩和符号差．

2．若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则 $A+B, A B, A^{-1}$ 中哪些必是正交矩阵，为什么？

7．记与矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right)$ 乘法可交换的所有实矩阵构成的集合为 $C(A)$ ，证明：$C(A)$ 是矩阵空间 $\mathbb{R}^{3 \times 3}$ 的线性子空间，并计算出一个基底．

4．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 均为方阵．若 $\displaystyle r(C)=r$ ，证明： $\displaystyle A, B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因式．

4．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 均为方阵．另外，若 $\displaystyle r(C)=r$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因式．

3．（20分）设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(E_{m}-A A^{\mathrm{T}}\right)-\operatorname{rank}\left(E_{n}-A^{\mathrm{T}} A\right)=m-n$ ．

9．设 $A$ 是一个秩为 3 的四阶矩阵，$A$ 的对角元的代数余子式分别为 $1,-2,3,-4$ ，则 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 的特征值为 $\_\_\_\_$

10．已知 $A$ 是奇数阶正交矩阵，且 $|A|=1$ ，则 1 $\_\_\_\_$ （填＂一定＂或＂不一定＂）是 $A$ 的特征值。

四、（15 分） 设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B$ ，且 $\displaystyle E-A-B$ 可逆，证明：$\displaystyle A, B$ 的秩相同．

2．设 $S_{1}, S_{2}$ 分别为齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x-z-2 w=0 ; \\ y+2 z+w=0 .\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}3 x+6 y+z=0 ; \\ 6 x+13 y-w=0 .\end{array}\right.$ 的解空间． （1）求两个齐次线性方程组的通解． （2）求 $S_{1}+S_{2}$ 与 $S_{1} \cap S_{2}$ 的基与维数．

10．设 $A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，$B$ 为可逆矩阵．满足 $r(E-A B)+r(E+B A)=n$ ．设 $S_{1}, S_{2}$分别为 $(E-A B) X=0$ 与 $(E+A B) X=0$ 的解空间．证明： （1）$r(E+B A)=r(E+A B)$ ． （2）$S_{1} \oplus S_{2}=P^{n}$ ． （3）$A$ 是可逆矩阵．

2．设 $n, m$ 是正整数且 $n>m$ ，设 $b_{0}, b_{1}, \cdots, b_{m}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 中的数，且 $b_{m} \neq 0$ ．证明：对任意的 $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} \in \mathbb{F}$ ，关于 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n-m}, y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{m-1}$ 的方程组 $$ \begin{cases}y_{i}+\sum_{j+k=i} b_{j} x_{k}=a_{i}, & i=0,1, \cdots, m-1 \\ \sum_{j+k=i} b_{j} x_{k}=a_{i}, & i=m, m+1, \cdots, n\end{cases} $$ 有唯一解。

2．设 $A, B, C$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵，$A$ 可逆，$A B=B A, C(A+B)=-B A^{-1}$ ．证明：$r(C)=r(B)$ ，且 -1 不是 $C A$ 的特征值．

3．已知实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 正定，则实常数 $a$ 的取值范围为 $\_\_\_\_$。

七．（15 分）设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 线性无关，且 $$ \xi_{i}=a_{1 i} \beta_{1}+a_{2 i} \beta_{2}+\cdots+a_{m i} \beta_{m}(i=1,2, \cdots, s) . $$ 证明：向量组 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s}$ 的秩 $\displaystyle =$ 矩阵 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)_{m \times v}$ 的秩。 人．（ 15 分）证明：若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是正交矩阵 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle \lambda_{0}^{-1}$ 也是 $A$ 的特征值。

六．（15 分）设 $\displaystyle \Phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，证明：$\displaystyle \Phi$ 的秩 $\displaystyle +\Phi$ 的零度 $\displaystyle =n$ 。

八、设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1-a & 2 a & 1 \\ 2 & 1-a & -1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$的秩为 $\displaystyle \mathbf{2}$ ． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ ，将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形． （3）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解．

2．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，$\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示内积。设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$由基向量组线性表示为 $$ \left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) C . $$ 其中 $\displaystyle C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ，定义 $\displaystyle \Delta=\left(b_{i j}\right)_{m \times m}$ ，其中 $\displaystyle b_{i j}=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ．证明： $$ \operatorname{rank}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right\}=\operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(\Delta) . $$

1、设 $A$ 为 2026 阶方阵，对角线元素均为 4 ，其余元素为 3 ，求 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

7、设 $A$ 为 5 阶方阵，其特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda \cdots 9)^{3}(\lambda+5)^{2}$ ，最小多项式 $$ m(\lambda)=(\lambda-9)^{2}(\lambda+5)^{2} $$ 求 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 标准形 $\_\_\_\_$ ， $\mathbf{\lambda}=9$ 的特征子空间的维数为 $\_\_\_\_$ ，以及 $r(-5 I-A)=$ $\_\_\_\_$。 ◯

2．令 $V$ 是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 张成的线性空间，$W$ 是线性变换 $\mathscr{T}(X)=A X$ 的核，其中 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & -1 & 0 & 3 \\ 2 & -2 & -1 & 2 & 4 \\ 3 & -3 & -1 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 8 \end{array}\right) . $$ 求 $W+V$ 及 $W \cap V$ 的基和维数．

4．设 $J=\left(\begin{array}{cc}O & E_{n} \\ -E_{n} & O\end{array}\right), G$ 为所有满足 $g^{\mathrm{T}} J g=J$ 的 $2 n \times 2 n$ 的可逆实矩阵 $g$ 的集合．若由 $n \times n$实矩阵 $A, B, C, D$ 组成的分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 属于 $G$ ，证明：复矩阵 $\sqrt{-1} C+D$ 为可逆矩阵．

6．设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明 $\displaystyle r(A)=r$ 的充要条件是：存在两个线性无关的向量组 $$ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} \in K^{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r} \in K^{n} . $$ 使得 $$ A=\alpha_{1} \beta_{1}^{T}+\alpha_{2} \beta_{2}^{T}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{T} $$

6．设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{det}(A)=0$ ，证明：$\displaystyle r(A)=n-1$ 当且仅当存在列向量 $\displaystyle X, Y \in \mathbb{R}^{n}$ ，使得 $$ \operatorname{det}\left(A+X Y^{T}\right) \neq 0 $$

6．$\displaystyle P \in M_{m \times n}(\mathbb{C}), A \in M_{n \times s}(\mathbb{C}), Q \in M_{s \times t}(\mathbb{C})$ ，证明： $$ \operatorname{rank}(P A Q) \geq \operatorname{rank}(P A)+\operatorname{rank}(A Q)-\operatorname{rank}(A) $$

2．设 $A, B$ 为三阶矩阵，$|A|=3,|B|=2,\left|3 A^{-1}+2 B\right|=2$ ，则 $\left|2 A+3 B^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

6．设 $A$ 的伴随矩阵为 $$ A^{*}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8 \end{array}\right) $$ 且 $A B A^{-1}=B A^{-1}+3 E$ ，其中 $E$ 为 4 阶单位阵，求矩阵 $B$ ．

15．解答如下问题： （1）已知复数域上的 $n$ 阶方阵 $$ B=\left(\begin{array}{ccccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\ a_{n} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{n} & a_{1} & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{1} \end{array}\right) . $$ 记 $\omega_{0}, \omega_{1}, \cdots, \omega_{n-1}$ 是方程 $x^{n}-1=0$ 的 $n$ 个复根．证明：对任意的 $k=0,1, \cdots, n-1$ ，向量 $\eta=\left(1, \omega_{k}, \omega_{k}^{2}, \cdots, \omega_{k}^{n-1}\right)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $B$ 的特征向量。 （2）设 $A$ 为复数域上的 4 阶幂等阵 $\left(A^{2}=A\right)$ ，证明：存在 4 个复数 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ ，使得 $A$ 相似于 $$ \left(\begin{array}{llll} c_{1} & c_{2} & c_{3} & c_{4} \\ c_{4} & c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ c_{3} & c_{4} & c_{1} & c_{2} \\ c_{2} & c_{3} & c_{4} & c_{1} \end{array}\right) $$

4、（本题满分 20 分）设 $n$ 级实方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ，证明：$A$ 的秩等于 $\displaystyle a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$ ．

8、（本题满分 10 分）设 $n$ 级实方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足条件：（1）$\displaystyle a_{i i}>0, i=1,2, \cdots, \dot{n}$ ；（2） $\displaystyle a_{i j}<0, \quad 1 \leq i \neq j \leq n ; \quad$（3）$\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i j}=0, \quad i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$A$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．

四、（15 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ 满足条件：（1）$\displaystyle a_{i i}>0, i=1,2, \cdots, n$ ；（2）$\displaystyle a_{i j}<0$ ， $\displaystyle i \neq j$ ；（3）$\displaystyle \dot{a}_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0, i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$A$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．

4．（本题满分 15 分）设 $\displaystyle \lambda$ 为 $n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 的一个实特征值．证明：存在正整数 $\displaystyle k(1 \leq k \leq n)$ 使得 $\displaystyle \left|\lambda-a_{k k}\right| \leq \sum_{j \neq k}\left|a_{k j}\right|$ ． 战、本题满分 20 分）设 $n$ 级矩阵 $A$ 利 $B$ 可交换．证明：秩 $\displaystyle (A)+$ 秩 $\displaystyle (B) \geq$ 秩 $\displaystyle (A B)+$ 秩 $\displaystyle (A+B)$ ．

7．（本小题满分 25 分）设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵， $\displaystyle \operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}$ 称为矩阵 $A$ 的迹。（1）若 $\displaystyle f(x)=\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}(x-1)$ 是 6 阶方阵 $A$ 的最小爫项式，且 $\displaystyle \operatorname{Tr}(A)=6$ ，求 $A$ 的若小当标准形；（2）若 $\displaystyle B, C$ 均为对称半止定实矩阵，并且 $\displaystyle T r(B C)=0$ ，证明：对任意的止整数 $\displaystyle m,(B+C)^{m}=B^{m}+C^{m}$ ．

五、（20分）已知 $\displaystyle s \times n$ 实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 的秩为 $r$ ，求如下二次型的正惯性指数． $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{s}\left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+\cdots+a_{i n} x_{n}\right)^{2} $$

2．（15 分）设 $A$ 是一个 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，秩 $\displaystyle (A)=r$ ，在 $A$ 中任取 $s$ 个列向量作为列向量构成的矩阵为 $B$ 。 证明：秩 $\displaystyle (B) \geq r+s-m$ ．

8．（20 分）设 $n$ 元实二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 的秩为 $n$ ，正负惯性指数分别为 $\displaystyle p, q$ ，且 $\displaystyle p \geq q>0$ ． 证明：存在 $\displaystyle R^{n}$ 的 $q$ 维子空间 $W$ ，使 $\displaystyle \forall X_{0} \in W$ 都有 $\displaystyle f\left(X_{0}\right)=0$ ．

6．（15 分）设 $n$ 为大于 1 的正整数，对每个正整数 $\displaystyle i, i=1,2, \cdots, n$ ，定义 $n$ 维实向量 $$ \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right) $$ 满足条件：$\displaystyle a_{i i}>0 ; a_{i j}<0$ ，如果 $\displaystyle j \neq i$ ；并且 $\displaystyle a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0$ ．证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．

8．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 级方阵，满足 $\displaystyle A B-B A$ 的秩为 1 ，证明：$\displaystyle (A B-B A)^{2}=0$ ．

6．（20分）设矩阵 $\displaystyle A, D$ 分别为 $n$ 阶和 $m$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle B, C$ 分别为 $\displaystyle n \times m$ 和 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 矩阵． 证明：（1）$\displaystyle \left\ \begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right\ =\ A\ \cdot\left\ D-C A^{-1} B\right\$ ； （2）秩 $\displaystyle \left(A-B D^{-1} C\right)-$ 秩 $\displaystyle \left(D-C A^{-1} B\right)=n-m$ ．

3．（15 分）证明：如果 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 矩阵（ $\displaystyle n \geq 2$ ），那么 $$ \text { 秩 }\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{l} n, \text { 当秩 }(A)=n, \\ \mathbf{1}, \text { 当秩 }(A)=n-\mathbf{1}, \\ \mathbf{0}, \text { 当秩 }(A)<n-\mathbf{1} . \end{array}\right. $$

4．（每小题 10 分，共 20 分）线性方程组 $$ \left\{\begin{aligned} & a_{11} x_{1}+ a_{12} x_{2}+\cdots+ \\ & a_{21} x_{1}+ a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ & a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0 \end{aligned}\right. $$ 的系数矩阵为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 。设 $\displaystyle \mathbf{M}_{\mathbf{i}}$ 是矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 中划去第 $\displaystyle \mathbf{i}$ 列剩下的 $\displaystyle (\mathbf{n}-\mathbf{1}) \times(\mathbf{n}-\mathbf{1})$ 矩阵的行列式。证明： （1）$\displaystyle \left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个解； （2）如果 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 $\displaystyle \mathbf{n}-\mathbf{1}$ ，那么方程组的解全是 $\displaystyle \left(\mathbf{M}_{\mathbf{1}},-\mathbf{M}_{\mathbf{2}}, \cdots,(-\mathbf{1})^{\mathbf{n}-\mathbf{1}} \mathbf{M}_{\mathbf{n}}\right)$ 的倍数．

3．（15分）设 A 是数域 P 上的 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 矩阵，证明：秩 $\displaystyle (\mathrm{A})=\mathrm{r}$ 的充分必要条件是存在秩为 r 的列满秩矩阵 M 和秩为 r 的行满矩阵 N ，使得 $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{MN}$ ．

4．设非齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \text { 有三个线性无关的解．} \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1\end{array}\right.$ （1）证明：该方程组的系数矩阵 $A$ 的秩 $\displaystyle r(A)=2$ ； （2）求 $\displaystyle a, b$ 的值并求方程组的通解．

六．设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma(V)$ 的一组基的原象及 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来为 $V$ 的一组基，由此即证 $\displaystyle \sigma$ 的零度 $\displaystyle +\sigma$ 的秩 $\displaystyle =n$ ．

四．已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(x_{1}+a_{1} x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+a_{2} x_{3}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}+a_{n} x_{1}\right)^{2}$ ． （1）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 正定的充分必要条件． （2）当 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 不是正定时，求它的秩．

四．（20 分）（1）设 $A$ 为 $\displaystyle m \times r$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle r \times s$ 矩阵且 $B$ 的秩为 $r$ ．证明：若 $\displaystyle A B=0$ ，则 $\displaystyle A=0$ ． （2）若 $\displaystyle A, B$ 分别为 $\displaystyle 3 \times 2$ 矩阵和 $\displaystyle 2 \times 3$ 的实矩阵且 $\displaystyle A B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．证明：$\displaystyle B A=4 E$ ．

七、（20分）$n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, A^{2}=A$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ． （1）（10 分）求 $A$ 的特征值和特征子空间的维数． （2）（10 分）求行列式 $\displaystyle |E+A|$ ．

五、（20分）$A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵。 （1）（10 分）证明：$\displaystyle r(A)=r\left(A^{\top} A\right)$ （2）（10 分）存在半正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A^{\top} A$ ．

2．矩阵 $\displaystyle A, B$ 可相乘，$\displaystyle A B$ 列向量均为 $A$ 列向量的线性组合，证明 $\displaystyle r(A B) \leq r(A)$ 。

2．（20分）设 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n+1} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n+1}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1} \end{array}\right)_{n \times(n+1)} $$ 其中 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}$ 是两两不同的实数． （1）求 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)$ ； （2）若线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有非零解 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n+1}\right)^{\prime} \neq(0,0, \cdots, 0)^{\prime}$ ．证明：对任意的 $\displaystyle i, 1 \leqslant i \leqslant n+1$ ，都有 $\displaystyle x_{i} \neq 0$ ．

6．（30 分）设 $F$ 是一个数域，$\displaystyle V, W$ 分别为一个 $n$ 维和 $m$ 维的 $F$－向量空间． （1）对任意的尺码为 $\displaystyle m \times n$ 的 $F$ —矩阵 $A$ ，证明：总存在从 $V$ 到 $W$ 的一个线性映射 $\displaystyle \theta$ 和 $V$ 的一组有序基及 $W$的一组有序基，使得在该有序基之下 $\displaystyle \theta$ 的矩阵为 $A$ ． （2）设 $A$ 及 $\displaystyle \theta$ 如（1）中所示，证明：$\displaystyle \theta$ 的象空间 $\displaystyle \operatorname{Im}(\theta)$ 的维数等于矩阵 $A$ 的秩．

2．解答如下问题： （1）已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ 当且仅当存在非零向量 $$ \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right), \beta=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) . $$ 使得 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ． （2）对上述矩阵 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ，计算行列式 $\displaystyle \operatorname{det}\left(E_{n}+A\right)$ ．

1．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{*}$ 表示 $A$ 的伴随矩阵，若 $n=2$ ，那么 $\left(A^{*}\right)^{*}=$ $\_\_\_\_$ ，若 $n>2$ ，且 $\operatorname{rank}(A)= n-1$ ，那么 $\left(A^{*}\right)^{*}=$ $\_\_\_\_$ ．

11．（20分）设 $\mathbb{R}^{4}$ 是由所有 4 维实行向量构成的线性空间，定义 $\mathbb{R}^{4}$ 上的线性变换如下： $$ \rho: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4},\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mapsto\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}-2 x_{3}, x_{3}-3 x_{4}, x_{1}+6 x_{4}\right) . $$ （1）（10 分）求 $\rho$ 在 $\mathbb{R}^{4}$ 的基底 $\varepsilon_{1}=(1,0,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1,0), \varepsilon_{4}=(0,0,0,1)$ 下的矩阵； （2）（10 分）判断 $\rho$ 是否为同构映射，并说明理由．

1．填空题 （1）若 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ 且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ ，则 $B$ 的秩最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & * \\ 0 & 4 & * \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2023}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）设 $\displaystyle \left(g(\lambda), f(\lambda)=1\right.$ ，且 $\displaystyle f, g$ 均为首一多项式，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}g(\lambda) & 0 \\ 0 & f(\lambda)\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （5）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）子空间 $\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$ 的维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

5．实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1} x_{2}+x_{3}^{2}-x_{3} x_{4}-x_{4}^{2}$ 的正惯性指数为 $\_\_\_\_$ ．

6．已知三阶正交阵 $A$ 的迹 $\operatorname{tr}(A)=-2$ ，则 $A$ 的特征值为 $\_\_\_\_$。

2．直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-z=2, \\ 3 x-y+z=3 .\end{array}\right.$ 求该直线绕 $y$ 轴旋转所得旋转曲面的方程 $\_\_\_\_$ ．