线性方程组-解的判定

五．（12分）设有齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \quad \cdots \cdots \\ a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0 \end{array}\right. $$ $\displaystyle M_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 为系数矩阵 $A$ 划去地 $i$ 列剩下的 $\displaystyle (n-1) \times(n-1)$ 矩阵的行列式。证明：如果秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ，则 $\displaystyle \eta_{0}=\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个基础解系．

二．（15 分）已知 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 3 & a \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 5 & 1 \end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 2 \\ 1 \\ b \end{array}\right) . $$ 问：$\displaystyle a, b$ 取何值时，方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有无穷多解，有唯一解，无解，并求无穷多解时的通解．

1、求 $V$ 的一组基 $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}$ ，使得 $\varphi$ 在该组基下的矩阵为若当尔标准形矩阵。

1．（15 分）设齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} (1+a) x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\cdots+n x_{n}=0 \\ x_{1}+(2+a) x_{2}+3 x_{3}+\cdots+n x_{n}=0 \\ \quad \cdots \cdots \\ x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+\cdots+(n+a) x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 其中 $\displaystyle n \geq 2$ ．问：$a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求其通解．

5．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，记齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r}$ ，其中 $r$为矩阵 $A$ 的秩，令 $\displaystyle \beta_{i}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \eta_{i}(i=1,2, \cdots, n-r)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n-r}\right)$ 。

二．证明题（ 15 分） 设 $A$ 是 $n$ 阶非零矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 1$ ，记矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，若 $\displaystyle A^{2}=O, O$ 为零矩阵． （1）证明：$\displaystyle r(A) \leq \frac{n}{2}$ ． （2）若已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 有解，证明：该方程组的线性无关的解向量的最大个数为 $\displaystyle n-r+1$.

4．（15 分）设 $A$ 是 $m$ 行 $n$ 列矩阵，$B$ 是 $n$ 行 $s$ 列矩阵．证明： （1）（5 分）若 $A B=O$ ，则 $r(A)+r(B) \leq n$ ． （2）（10 分）$r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$ ．

2、求矩阵 $A$ 及行列式 $\left|\left(A+A^{*}-2 E\right)^{1010}\right|$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 为 3 阶单位阵．

四，（15 分）设非齐次线性方程组 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right)(*)$ 有解，其系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，证明非齐次线性方程组（＊）有 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解，且任意的解可由其线性表示。

2．（20分）已知线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}+2 x_{4}=0 \\ x_{1}-2 x_{2}+(b-1) x_{3}+x_{4}=1 \\ 4 x_{1}-4 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}=a \end{array}\right. $$ 解空间的维数是 2 ，求 $\displaystyle a, b$ 的值并求出方程组的通解．（题目表述有误，非齐次线性方程组的解集不构成线性空间，因此不存在＂维数＂一说）

1．（9 分）更改 $A$ 中的一个数得到矩阵 $C$ ，使得齐次线性方程组 $C X=0$ 的基础解系含有 2 个向量．

二、（20 分）讨论 $\displaystyle a, b$ 为何值时，线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=1, \\ -x_{2}+(a-3) x_{3}-2 x_{4}=b, \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+a x_{4}=-1,\end{array}\right.$ 有唯一解？无解？有无穷 多解？当有无穷多解时，用基础解系表示出它的通解。

三、（20 分）当 $\displaystyle \lambda$ 取何值时，使下列线性方程组无解或有无穷多解，当有无穷多解时，求它的通解 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\ x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+4 x_{4}=2 \\ x_{1}+7 x_{2}-4 x_{3}+11 x_{4}=\lambda\end{array}\right.$ ．

3．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & a+1 & a & a+1 \\ 1 & a & 0 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)$ 。已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=\beta$ 有三个线性无关的解向量，求 $a$ 及 $\displaystyle A x=\beta$ 的通解。

6．已知列向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的秩是3， $$ \beta=\alpha_{1}+3 \alpha_{2}+\alpha_{3}+4 \alpha_{4} ; \quad \beta=5 \alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}+2 \alpha_{4} $$ 求方程组 $\displaystyle x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+x_{3} \alpha_{3}+x_{4} \alpha_{4}=\beta$ 的通解。

3．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, \beta \in P^{m \times 1}, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A, \beta)=r$ ，证明非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的解（向量）集合的秩是 $\displaystyle n-r+1$ 。

9．方程组 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{1} \\ x_{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ 有解，求 $a$ 的值，方程组的通解以及对应的齐次线性方程组的基础解系。

二．已知方程组 $\displaystyle x_{1}-x_{2}=1, x_{2}-x_{3}=2, x_{3}-x_{4}=3, x_{4}-x_{5}=4, x_{5}-x_{1}=a$ ，求 $a$ 及方程组的通解。

3．设 $\displaystyle \eta$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta(\beta \neq 0)$ 的一个解向量，$\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{t}$ 是对应齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系，证明： （1）$\displaystyle \eta, \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots \xi_{1}$ 线性无关； （2）$\displaystyle \eta, \xi_{1}+\eta, \xi_{2}+\eta, \cdots, \xi_{t}+\eta$ 是 $\displaystyle A X=\beta$ 的线性无关的解向量； （3）$\displaystyle A X=\beta$ 的任意解 $Y$ 都可以表示成 $$ Y=k_{0} \eta+k_{1}\left(\xi_{1}+\eta\right)+k_{2}\left(\xi_{2}+\eta\right)+\cdots+k_{t}\left(\xi_{t}+\eta\right) . $$ 其中 $\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{t}=1$ ．

5．设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有解的充分必要条件是齐次线性方程组 $\displaystyle A^{\prime} Y=\mathbf{0}$ 的任意解 $\displaystyle \alpha$ 满足 $\displaystyle \alpha^{\prime} \beta=0$.

2． $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ 至少有一个公共的特征向量．

2．求证 $\mathcal{A B}=\mathcal{B A}$ ．

三、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 7\end{array}\right)$ ， （1）求 $\displaystyle r(A)$ ； （2）求线性空间 $\displaystyle V=\left\{x \in \mathbb{R}^{4} \mid A^{*} x=0\right\}$ 的基础解系．

三、设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}, R(A)=\left\{A x \mid x \in \mathbb{R}^{n}\right\}, N(A)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}$ ，若 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 有相同的秩． 求证： （1）齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 和 $\displaystyle A^{2} x=0$ 同解； （2） $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=R(A) \oplus N(A)$ ．

7．对于矩阵 $\displaystyle A, B$ ，齐次线性方程组 $\displaystyle (A B) X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

5．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性无关，$\displaystyle \alpha_{1}=2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}$ ， $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，则方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

三、对齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=0 \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=0 \\ 5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=0 \end{array}\right. $$ （1）求其中一个基础解系； （2）求其向量形式的通解。

四、 $\displaystyle a, b$ 取何值时，方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a x_{1}+x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+b x_{2}+x_{3}=3 \\ x_{1}+3 b x_{2}+x_{3}=9\end{array}\right.$ 有无解？有唯一解？有无穷解？并求出有无穷解时的通解。（15 分）

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

5．$\left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=1 \\ x_{1}+2 \lambda x_{2}+3 x_{3}=\lambda, \\ x_{1}+2 x_{2}+3 \lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 取何值时，有解（解是多少）？无解，唯一？

4．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank} A=\operatorname{rank} B=1, W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 分别为齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 和 $\displaystyle B X=0$ 的解空间，且 $\displaystyle W_{1} \neq W_{2}$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．设 5 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和为 0 ，且 $r(A)=4$ ，则 $A X=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $U$ 是实内积空间 $V$ 上的一个线性变换的一个有限维不变子空间，则 $U$ 的正交补空间 $U^{\perp}$ 也是线性变换的不变子空间．

4．（可能有误）$n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和为 0 ，秩为 $n-1$ ，则 $A X=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

五．非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1 \end{array}\right. $$ 有三个线性无关的解，记系数矩阵为 $A$ ． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=2$ ． （2）求 $\displaystyle a, b$ 的值与方程组的通解．

4．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,-1,2,1,0), \alpha_{2}=(2,-2,4,-2,0), \alpha_{3}=(3,0,6,-1,1), \alpha_{4}=(0,3,0,0,1)$ ． （1）（10 分）求该向量组的一个极大线性无关组，并将向量组中其他向量用该极大线性无关组线性表示． （2）（10 分）求一个以该极大线性无关组为基础解系的齐次线性方程组。

2．若 $A$ 为 3 阶方阵，满足 $|A-E|=|A-2 E|=|A+E|=0$ ，其中 $E$ 为单位矩阵，则 $|A+3 E|=$ $\_\_\_\_$ ．

4．已知齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}-3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}-x_{5}=0 \\ -3 x_{1}+9 x_{2}-3 x_{3}+6 x_{4}+4 x_{5}=0 \\ 2 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}-2 x_{5}=0 \end{array}\right. $$ 向量组 $$ \alpha_{1}=(4,1,1,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(8,2,4,3,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=(4,7,5,3,0)^{\mathrm{T}} . $$ （1）求该方程组的一个基础解系． （2）判断该方程组的解是否都可以由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出． （3）求该方程组的一个基础解系使得其尽可能多的含 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ．

二、（本题 15 分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n, \eta_{0}$ 为非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个特解，且 $\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{n-r}$为齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 的一个基础解系．证明：$\displaystyle \eta_{0}, \eta_{0}+\eta_{1}, \eta_{0}+\eta_{2}, \cdots . \eta_{0}+\eta_{n-r}$ 是方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解．ff：线性方程组

三．（15 分）已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta(\beta \neq 0)$ 有解，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有 $k$ 个线性无关解 $\displaystyle (k<n)$ ，证明：$\displaystyle A X=\beta$ 有 $\displaystyle k+1$ 个线性无关解，不存在 $\displaystyle k+2$ 个线性无关解．

1．$\displaystyle \lambda$ 为何值时，齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} (\lambda-2) x_{1}-3 x_{2}-2 x_{3}=0 \\ -x_{1}+(\lambda-8) x_{2}-2 x_{3}=0 \\ 2 x_{1}+14 x_{2}+(\lambda+3) x_{3}=0 \end{array}\right. $$ 有非零解？并求方程组的通解．

13、令 $A, B$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A V, B V$ 线性无关对任意非零 $V \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明： （1）$A B$ 可逆． （2）$n$ 是偶数．

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

4．设 $A$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 级矩阵，$\displaystyle \beta$ 是 $n$ 维非零向量，假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一组基础解系，$\displaystyle \alpha$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的一个解。证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \alpha$ 是线性无关的．

1）说明 $\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换； 2 ）求 $\sigma V, \sigma^{-1}(0)$ 的维数；

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

1、（10 分）线性变换 $\varphi$ 是线性空间 $U$ 上的正交变换，$\varepsilon$ 是恒等变换，证明： $$ (\varphi+\varepsilon)^{-1}(0)=[(\varphi+\varepsilon) V]^{\perp} $$

6．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵且 $A+B=A B$ ，求 $A-E$ 的逆矩阵，并证明 $A B=B A$ ．

9．设欧几里得空间 $V=\mathbb{R}^{4}$ 中的三个向量为 $\alpha_{1}=(1,-1,-1,1), \alpha_{2}=(1,0,-1,1), \alpha_{3}=(0,1,-1,1)$ ，子空间 $W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，求向量 $\beta=(2,1,4,2)$ 在 $W$ 上的正交投影．

1．（15 分）考虑齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a x_{1}+b x_{2}+b x_{3}+\cdots+b x_{n}=0 \\ b x_{1}+a x_{2}+b x_{3}+\cdots+b x_{n}=0 \\ \cdots \cdots \\ b x_{1}+b x_{2}+b x_{3}+\cdots+a x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 其中 $a \neq 0, b \neq 0, n \geq 2$ 。试讨论 $a, b$ 取何值时，方程组仅有零解？有无穷多解？并在有无穷多解时，用基础解系给出其通解。

2．（15 分）设 $A, B, C$ 分别为 $m \times n, n \times t, s \times m$ 阶矩阵。 （1）若矩阵 $A$ 的秩 $r(A)=r$ ，证明：存在可逆阵 $P, Q$ ，使得 $P A$ 的后 $m-r$ 行全为零，$A Q$ 的后 $n-r$ 列全为零． （2）利用（1）证明：若 $r(A)=n$ ，则 $r(A B)=r(B)$ ；若 $r(A)=m$ ，则 $r(C A)=r(C)$ ．

4．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & b & -c \\ -b & 0 & a \\ c & -a & 0\end{array}\right)$ 为实矩阵，令 $B=A^{2}+q A+E$ ，其中 $q=a^{2}+b^{2}+c^{2}, E$ 为三阶单位阵。试问：当且仅当 $q$ 为何值时，矩阵 $B$ 是正交矩阵？

1．（15 分）设齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-2,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0\end{array}\right.$ ． 证明：$\displaystyle X_{0}=\left(x_{1_{o}}, x_{2_{o}}, \cdots, X_{n_{o}}\right)^{T}$ 为该方程组的解，其中 $$ \begin{aligned} & x_{1_{o}}=\left|\begin{array}{cccc} a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n} \end{array}\right| \\ & x_{2_{o}}=-\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n} \end{array}\right| \\ & , \cdots, x_{n_{o}}=(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1} \end{array}\right| \end{aligned} $$ 且若 $\displaystyle \mathbf{X}_{0} \neq 0$ ，则方程组的任一解可以表示为 $\displaystyle k \mathbf{X}_{0}$ ，其中 $k$ 为常数．

1、（10 分）求解微分方程 $\displaystyle \left(x^{3}+x y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2} y+y^{3}\right) \mathrm{d} y=0$ 的通解．

3、（10 分）求解微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+y=y^{2}(\cos x-\sin x)$ 的通解．

4、（10 分）求解微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=x e^{x} \sin x$ 的通解．

5、特征多项式 $\lambda^{3}(\lambda-1)^{4}$ 的复矩阵按相似分类，可分为 $\_\_\_\_$类．

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A=3$ ，则行列式 $\operatorname{det}\left(A^{*}-A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

1．填空题 （1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足 $$ \sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} . $$ 则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式． （8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

三．设 $n$ 维实列向量 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{T}(i=1,2, \cdots, r ; r \leq n)$ ，且 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，$\displaystyle \beta$ 为齐次线性方程组 $$ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) $$ 的非零解，证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta$ 线性无关．

2．已知 $A=\left(a_{i j}\right)_{4 \times 4}, a_{1 j}=2023(j=1, \cdots, 4), \operatorname{det} A=a$ ，则 $\sum_{1 \leq i, j \leq 4} A_{i j}=?(2023 a)$

2．讨论方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a x_{1}+(a+3) x_{2}+x_{3}=-2 \\ x_{1}+a x_{2}+x_{3}=a \\ x_{1}+x_{2}+a x_{3}=a^{2} \end{array}\right. $$ 何时有无穷多解，唯一解，无解？并在有无穷多解时求通解．

3、已知 $\displaystyle a, b \neq 0, n \geq 2$ ，判断下列齐次方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a x_{1}+b x_{2}+\cdots+b x_{n}=0 \\ b x_{1}+a x_{2}+\cdots+b x_{n}=0 \\ \cdots \\ b x_{1}+b x_{2}+\cdots+a x_{n}=0\end{array}\right.$ ． （1）若方程组仅有零解，则 $\displaystyle a, b$ 应满足什么条件． （2）若方程组有非零解，则 $\displaystyle a, b$ 应满足什么条件，并求通解．

二．（15 分）已知线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=c \end{array}\right. $$ 有 3 个线性无关的解． （1）证明该线性方程组系数矩阵的秩为 2 ． （2）求参数 $\displaystyle a, b, c$ 的值以及该线性方程组的通解．

5．齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，这里 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 & 4 \end{array}\right) $$

10．设 $V$ 是 2025 维实线性空间，$F: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个非退化双线性型．已知在 $V$ 的一个线性子空间 $W$ 上，$F$ 限制在 $W \times W$ 上恒为零．考虑所有可能的 $F$ 和 $W, \operatorname{dim} W$ 的最大可能值是 $\_\_\_\_$ ．

7．（15 分）已知如下非齐次线性方程组有三个线性无关的解． $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=3 \end{array}\right. $$ （1）（8 分）记系数矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle r(A)=2$ ． （2）（ 7 分）求 $\displaystyle a, b$ 的值，并求方程组的通解．

1．讨论方程组 $$ \left(\begin{array}{ccccc} a & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & a \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ b \\ 0 \end{array}\right) $$ 何时有唯一解？何时有无穷多解？并在有解时求其通解．

1．已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 解的集合为 $S$ ，其中 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r$ ．证明：$S$ 中存在 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的向量，任意 $\displaystyle n-r+2$ 个向量线性相关．

5．非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 ; \\ x_{1}+\lambda x_{2}+x_{3}=\lambda ; \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=-\lambda\end{array}\right.$ 有无穷多解，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ ．

十．（20 分）设 $A$ 为三阶实对称矩阵，齐次线性方程组 $\displaystyle (A-E) X=0$ 有一个非零解 $\displaystyle (1,-1,-1)^{T}$ ，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有两个线性无关的解． （1）求齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的通解； （2）求矩阵 $A$ ．

四．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ 为一个 4 阶方阵，且 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关，$\displaystyle \alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{4}=\alpha_{1}-\alpha_{2}$ ，求方程组 $\displaystyle A X=\alpha_{3}+\alpha_{4}$ 的通解．

7．设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $A X=0$ 仅有零解得充要条件是 $\_\_\_\_$。

4．方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+\lambda x_{2}+\mu x_{3}+x_{4}=0 \\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0 \\ 3 x_{1}+(2+\lambda) x_{2}+(4+\mu) x_{3}+4 x_{4}=1\end{array}\right.$ 有一个解 $\displaystyle (1,-1,1,-1)^{T}$ （1）求该方程组全部解，并用基础解系表示；（7 分） （2）满足 $\displaystyle x_{2}=x_{3}$ 的全部解．（8 分）

4、数域 $\displaystyle K, n>1$ ，矩阵 $\displaystyle A \in K^{n \times n}, A$ 的元素 $\displaystyle a_{2 j}=\left\{\begin{array}{l}a, i \neq j \\ 1, i=j\end{array}\right.$ ，求齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$的解空间 $S$ ．

7．（15 分）设四元齐次线性方程组（I） $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}=0 \end{array}\right. $$ 线性方程组（II）的一个基础解系为 $\displaystyle \xi_{1}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ a-2 \\ -1\end{array}\right), \xi_{2}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 4 \\ a-8\end{array}\right)$ ． （1）求方程组（I）的基础解系（7 分） （2）当 $a$ 为何值时，方程组（I）和方程组（II）有非零公共解，求出全部公共解．（8分）

四．（15 分）设非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \\ a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s} \end{array}\right. $$ 的系数矩阵为 $A$ ，向量 $\displaystyle \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{s}\right)^{\prime}$ ． （1）若方程组有解且秩 $\displaystyle (A)=r$ ，求方程组的解向量中最多线性无关解的数目． （2）若方程组对任意的 $s$ 维列向量 $\displaystyle \beta$ 都有解，求秩（ $A$ ）．

3．（15 分）已知方程组（I）：$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}7 x_{1}-6 x_{2}+3 x_{3}=b \\ 8 x_{1}-9 x_{2}+a x_{4}=7\end{array}\right.$ ，方程组（II）的通解为 $\displaystyle (1,1,0,0)^{T}+t_{1}(1,0,-1,0)^{T}+t_{2}(2,3,0,1)^{T}$ ，若方程组 $\displaystyle (I)$ 与方程组 （II）有无穷多公共解，求 $\displaystyle a, b$ 的值与公共解．

3．若 $x^{2}-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，求 $r(A+E)+r(A-E)$ ，其中 $E$ 是单位矩阵， $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩．（15 分）

二、（15 分）设 $b$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个解，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}$ 是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}, b$ 线性无关；（2）$\displaystyle a_{1}+b, a_{2}+b, \mathrm{~L}, a_{n-r}+b, b$ 线性无关。

八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{t}$ 为 $\displaystyle R^{n}$ 中 $t$ 个线性无关的向量，证明：存在含 $n$ 个未知量的齐次线性方程组，使 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ 是它的基础解系．

四、（15 分） 设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{t}$ 是非齐次线性方程组的一组解，则 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{t} \alpha_{t}$ 也是该非齐次线性方程组的一组解的充要条件是 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{t}=1$ 。

三、（15 分） 已知齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=0, \tag{1}\\ 2 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}=0, \\ x_{1}+x_{2}+a x_{3}=0, \end{array}\right. $$ 和 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=0 \tag{2}\\ 2 x_{1}+b^{2} x_{2}+(c+1) x_{3}=0 \end{array}\right. $$ 同解，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值，同时求出方程组（2）的全部解．

2．用正交线性替换化二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{3}$ 为标准形，写出所作正交线性替换以及标准形。

1．$f(x)$ 是首 1 的 $n$ 次多项式，且 $f(1)=0$ ．若 $f^{\prime}(x) \mid f(x)$ ，证明：$f(x)=(x-1)^{n}$ ．

五、已知非齐次方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \text { 有三个线性无关的解，求 } p, q \text { 的值以及非 } \\ p x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+q x_{4}=p\end{array}\right.$齐次方程组的通解。

三．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 是线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系，记 $$ \beta_{1}=t_{1} \alpha_{1}+t_{2} \alpha_{2}, \beta_{2}=t_{1} \alpha_{2}+t_{2} \alpha_{3}, \cdots, \beta_{m}=t_{1} \alpha_{m}+t_{2} \alpha_{1} $$ 其中 $\displaystyle t_{1}, t_{2}$ 为常数，求 $\displaystyle t_{1}, t_{2}$ 满足何种关系时，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 也为方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系．

五．（20 分）$\displaystyle A, B$ 均是 $\displaystyle 4 \times 4$ 级实矩阵，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系中包含 3 个解向量，$\displaystyle B X=0$的一个基础解系中包含 2 个解向量。证明： （1）$\displaystyle A B X=0$ 至少有 3 个线性无关的解向量． （2） $\displaystyle 4 A+5 B$ 一定有实特征向量

四．（15 分）设 $A$ 是秩为 $m$ 的 $\displaystyle m \times n$ 级矩阵，$B$ 是秩为 $\displaystyle n-m$ 的 $\displaystyle n \times(n-m)$ 级矩阵，而且 $\displaystyle A B=O$ ．若 $n$维向量 $\displaystyle \eta$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解．证明：存在唯一的 $\displaystyle n-m$ 维列向量 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle \eta=B \xi$ ．

3．（10分）在齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\ \quad \cdots \cdots \\ a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 中，证明 $$ \begin{gathered} x_{1}=\left|\begin{array}{cccc} a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n} \end{array}\right|, x_{2}=-\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n} \end{array}\right|, \\ \cdots, x_{n}=(-1)^{n-1}\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1} \end{array}\right| \end{gathered} $$ 是方程组的解，且若这个解不为零，则方程组的任意解可由它乘以某数得到．

6．（20 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 级幂等矩阵，即 $\displaystyle A^{2}=A$ ．齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W_{1}$ ， $\displaystyle (A-E) X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W_{2}$ ，证明：$\displaystyle P^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

三．（15 分）设 $A$ 是数域上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle n \geq 2, A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，且存在 $n$ 维非零向量 $\displaystyle \alpha$ ，满足 $\displaystyle A \alpha=0$ ．证明：非齐次线性方程组 $\displaystyle A^{*} X=\alpha$ 有解当且仅当秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．

3．一个 $n$ 阶行列式 $D$ 的元素由 $a_{i j}=\max (i, j)$ 给定，则 $D=$ $\_\_\_\_$

3．二次型 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -4 & 2 & 2 \\ -1 & 2 a & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 的秩 $=2$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 为 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 为 $1 \times n$ 矩阵，且 $|A|=2, ~\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$

5．如果 $\left|\begin{array}{cccc}x-1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & x-3 & 1 & 4 \\ -1 & -9 & x-1 & -16 \\ -1 & -27 & 1 & x+64\end{array}\right|$ 的四个根是 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

5．已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}-x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1+\lambda \\ -2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 无解，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ （5） $\_\_\_\_$

4．设矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & 4 & 0\end{array}\right)$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}+\lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$ （4） $\_\_\_\_$

1．若 $A$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上 $n \times n$ 对称矩阵，且 $|A|<0$ ，则必存在 $n$ 维实列向量，使得 $X^{\prime} A X<0$ ．

四．已知线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} (n-1) x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=(1-n) a \\ 2 x_{1}+(n-2) x_{2}+\cdots+2 x_{n}=a \\ \cdots \cdots \\ n x_{1}+n x_{2}+\cdots+(n-1) x_{n}=a \end{array}\right. $$ 当 $a$ 为何值时，方程组有无穷多个解？并写出其通解．

2．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵．$\displaystyle A_{k}$ 是 $A$ 去掉第 $k$ 行剩下的 $\displaystyle n-1$ 行所组成的矩阵．$\displaystyle A_{i j}$表示 $A$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式． （1）若 $\displaystyle |A| \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A_{k} X=0$ 的一个基础解系． （2）若 $\displaystyle |A|=0$ ，且元素 $\displaystyle a_{k l}$ 的代数余子式 $\displaystyle A_{k l} \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系．

2．设 4 阶方阵 $A$ 的秩是 $\displaystyle 3, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 是方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的三个不同的解，且满足 $$ \eta_{1}+\eta_{2}+\eta_{3}=(3,3,0,3)^{\mathrm{T}}, 2 \eta_{2}+3 \eta_{3}=(6,2,3,0)^{\mathrm{T}} . $$ （1）证明：$\displaystyle \beta \neq 0$ ，即 $\displaystyle \beta$ 不是零向量． （2）求方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解．

5．（15 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，设齐次线性方程组 $\displaystyle f(A) g(A) X=0, f(A) X=0, g(A) X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W, V_{1}, V_{2}$ ，证明：$\displaystyle W=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

6．（5 分）计算 $n$ 阶行列式 $$ \left|\begin{array}{cccc} 1-a_{1}^{2} & -a_{1} a_{2} & \cdots & -a_{1} a_{n} \\ -a_{2} a_{1} & 1-a_{2}^{2} & \cdots & -a_{2} a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n} a_{1} & -a_{n} a_{2} & \cdots & 1-a_{n}^{2} \end{array}\right| . $$

3．$R^{2}$ 上的线性变换 $\mathbf{A} ; \mathbf{A}(x, y)=(x-3 y, 2 x-y)$ 是否可以对角化？为什么？

3．（20 分）已知线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-\lambda x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=1 \\ 2 x_{1}+(3-\lambda) x_{2}-4 x_{3}=2 \\ -2 x_{1}-4 x_{2}+(3-\lambda) x_{3}=-\lambda-3\end{array}\right.$ ，当 $\displaystyle \lambda$ 取何值时？ （1）上述线性方程组有唯一解？ （2）上述线性方程组无解？ （3）上述线性方程组有无穷多个解？并求其通解（用基础解系表示）。

4．设 $\alpha, \beta$ 为3维列向量，且 $\alpha \beta^{T}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ，则 $\beta^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

三、（10 分） 已知 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 为 $A$ 的转置，$\displaystyle \beta$ 为 $n$ 维实列向量． （1）（5 分）证明：齐次线性方程组 $\displaystyle A^{T} A X=0$ 与 $\displaystyle A X=0$ 同解； （2）（5 分）证明：方程组 $\displaystyle A^{T} A X=A^{T} \beta$ 必然有解．

3．设 $\mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的一个线性变换，满足 $$ \begin{gathered} \mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=-3 \varepsilon_{1}-a \varepsilon_{2}-90 \varepsilon_{3}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=-3 \varepsilon_{1}+15 \varepsilon_{2}-90 \varepsilon_{3}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=\varepsilon_{1}-b \varepsilon_{2}+30 \varepsilon_{3} \\ \mathscr{A}\left(\eta_{1}\right)=6 \eta_{1}, \mathscr{A}\left(\eta_{2}\right)=12 \eta_{2}, \mathscr{A}\left(\eta_{3}\right)=c \eta_{3} \end{gathered} $$ 其中 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 与 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 分别是 $V$ 的两组基． （1）求参数 $a, b, c$ 的值． （2）求基 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 到 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 的过渡矩阵。

4．（15 分）（1）设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{ccc} 0 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 4 & 1 & -1 \end{array}\right] $$ 求 $\mathscr{A}\left(2 \varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}+5 \varepsilon_{3}\right)$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标． （2）设 $\alpha$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的非零向量， $\mathscr{A}^{n-1} \alpha \neq 0, \mathscr{A}^{n} \alpha=0$ 。证明：$\alpha, \mathscr{A}^{n} \alpha \cdot \mathscr{A}^{n-1} \alpha$构成 $V$ 的一个基。

2．设 $g(x)=x^{5}-2 x^{4}+2 x^{3}-x^{2}-x+1, h(x)=x^{2026}-7$ ．证明：对于数域 $\mathbb{F}$ 上的任意多项式 $q(x)$ ，都存在 $\mathbb{F}$ 上的多项式 $u(x), v(x)$ ，使得 $q(x)=u(x) g(x)+v(x) h(x)$ 。

2．设 $\mathscr{T}$ 是有限维空间 $V$ 上的线性变换，设 $V_{0}=\bigcup_{i=1}^{\infty} \operatorname{Ker} \mathscr{T}^{i}, V_{1}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \operatorname{Im} \mathscr{T}^{i}$ ，其中 $\operatorname{Ker} \mathscr{T}^{i}, \operatorname{Im} \mathscr{T}^{i}$分别表示线性变换 $\mathscr{T}^{i}$ 的核与像。证明：$V_{0}, V_{1}$ 都是 $\mathscr{T}$ 的不变子空间，且 $V=V_{0} \oplus V_{1}$ ．

三．已知非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}-2 x_{3}+3 x_{4}=0 \\ 2 x_{1}+x_{2}-6 x_{3}+4 x_{4}=-1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+p x_{3}+7 x_{4}=-1 \\ x_{1}-x_{2}-6 x_{3}-x_{4}=t \end{array}\right. $$ 有无穷多解，求 $\displaystyle p, t$ 的值与方程组的通解．

四．设四元齐次线性方程组 $$ (1):\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=0 \\ x_{3}-x_{4}=0 \end{array}\right. $$ 又已知某齐次线性方程组（2）的基础解系为 $$ \eta_{1}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) $$ 求方程组（1）与（2）的公共解．

三、（15 分）对于方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\ k x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\end{array}\right.$ ．问：$k$ 为何值时方程组无解？有无穷多解？并用基础解系表示通解。

4．设 $J=\left(\begin{array}{cc}O & E_{n} \\ -E_{n} & O\end{array}\right), G$ 为所有满足 $g^{\mathrm{T}} J g=J$ 的 $2 n \times 2 n$ 的可逆实矩阵 $g$ 的集合．若由 $n \times n$实矩阵 $A, B, C, D$ 组成的分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 属于 $G$ ，证明：复矩阵 $\sqrt{-1} C+D$ 为可逆矩阵．

13．设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上两个互素的多项式，$r_{1}(x), r_{2}(x)$ 是 $\mathbb{K}[x]$ 中的任意多项式，且 $r_{1}(x), r_{2}(x)$的次数分别小于 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 的次数．证明：存在多项式 $g(x) \in \mathbb{K}[x]$ ，被 $f_{1}(x)$ 除余式为 $r_{1}(x)$ ，被 $f_{2}(x)$ 除余式为 $r_{2}(x)$ ．

四、（本题满分 15 分）设 $n$ 级行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|a_{i j}\right| \neq 0, A_{i j}$ 为 $\displaystyle D_{n}$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，证明：当 $\displaystyle r<n$ 时，线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{r 1} x_{1}+a_{r 2} x_{2}+\cdots+a_{r n} x_{n}=0 .\end{array}\right.$ 有一个基础解系为：（ $\displaystyle \left.A_{j 1}, A_{j 2}, \cdots, A_{j n}\right)$ ， $\displaystyle j=r+1, r+2, \cdots, n$.

六、（15分）设 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 分别是齐次方程组 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0$ 与 $\displaystyle x_{1}=x_{2}^{\prime}=\cdots=x_{n}$ 的解空间，证明： $$ P^{n}=V_{1} \oplus V_{2} $$

六、（15 分）在 $\displaystyle P^{4}$ 中，求由齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}3 x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+4 x_{4}=0 \\ 3 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}-3 x_{4}=0 \\ 3 x_{1}+5 x_{2}-13 x_{3}+11 x_{4}=0\end{array}\right.$ 确定的解空间的基和维数．

3．（20分）设齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a x_{1}+b x_{2}+\cdots+b x_{n}=0 \\ b x_{1}+a x_{2}+\cdots+b x_{n}=0 \\ \vdots \\ b x_{1}+b x_{2}+\cdots+a x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 其中 $\displaystyle a \neq 0, b \neq-0, n \geq 2$ ，试讨论 $\displaystyle a, b$ 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出全部解（用基础解系表示）。

3．（15 分）解非齐次线性方程组： $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+3 x_{2}-x_{3}+2 x_{4}-x_{5}=-4 \\ -3 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}-5 x_{4}-4 x_{5}=-1 \\ 2 x_{1}-3 x_{2}-x_{3}-x_{4}+x_{5}=4 \\ -4 x_{1}+16 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}-9 x_{5}=-21 \end{array}\right. $$

5．（20 分）设 $\displaystyle X_{0}$ 是数域 $P$ 上线性方程组的一个解，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{s}$ 是它的导出组的一个基础解系，令 $\displaystyle Y_{0}=X_{0}, Y_{1}=X_{1}+X_{0}, Y_{2}=X_{2}+X_{0}, \cdots, Y_{s}=X_{s}+X_{0}$ ，证明：该线性方程组的全部解可由下列公式给出：$\displaystyle X=k_{0} Y_{0}+k_{1} Y_{1}+\cdots+k_{s} Y_{s}$ ，其中 $\displaystyle k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{s}$ 为数域 $P$ 中的数，$\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{s}=1$ ．

4．（15分）当常数 $\displaystyle a, b, c$ 满足什么条件时，如下线性方程组有解？并在有解的条件下求出全部解（用特解和相应齐次线性方程组的基础解系表示） $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}-2 x_{6}+3 x_{7}=1 \\ 2 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{5}-3 x_{6}+7 x_{7}=a \\ -3 x_{1}-6 x_{2}-2 x_{3}+5 x_{4}+8 x_{6}-7 x_{7}=b \\ -x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+5 x_{4}+5 x_{5}+5 x_{6}=c . \end{array}\right.$

2．（15分）当 $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}$ 取何值时，以下非齐次线性方程组有解，在有解的情况下写出通解 （用导出组的基础解系与特解的线性组合表示）。 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=a \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3 \\ 5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=6 \end{array}\right. $$

6．（15分）设 P 是数域，$\displaystyle m<n, A \in P^{m \times n}, B \in P^{(n-m) \times n} V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 分别是齐次线性方程组 $\displaystyle \mathrm{AX}=0$ 与 $\displaystyle \mathrm{BX}=0$ 的解空间，证明：$\displaystyle P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \binom{A}{B} X=0$ 只有零解．

4．（20分）设有齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} (1+a) x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0 \\ 2 x_{1}+(2+a) x_{2}+\cdots+2 x_{n}=0 \\ \cdots \cdots \\ n x_{1}+n x_{2}+\cdots+(n+a) x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 试问 $a$ 取何值时，该方程组有非零解，并求出通解．

4．设非齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \text { 有三个线性无关的解．} \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1\end{array}\right.$ （1）证明：该方程组的系数矩阵 $A$ 的秩 $\displaystyle r(A)=2$ ； （2）求 $\displaystyle a, b$ 的值并求方程组的通解．

5．线性方程组 $x_{1}=2 x_{2}=\cdots=n x_{n}$ 的一个基础解系为 $\_\_\_\_$ ．