哈尔滨工业大学 2022年 第3题
3．已知实矩阵 $\displaystyle A_{n \times n}$ 的列向量组为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，行向量组为 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ ，证明：对任意的 $\displaystyle \gamma \in \mathbb{R}^{n}$ ，方程组 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n}=\gamma$ 有解的充要条件是 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关．
哈尔滨工业大学 2022年 第4题
4．已知 $n$ 维向量
$$
\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0 \\
-1
\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
-1 \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right), \cdots, \alpha_{n}=\left(\begin{array}{c}
0 \\
\vdots \\
0 \\
-1 \\
1
\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
a_{3} \\
\vdots \\
a_{n}
\end{array}\right) .
$$
考察方程组 $\displaystyle x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+\cdots+x_{n} \alpha_{n}=\beta$ ．
（1）$\displaystyle \beta$ 满足什么条件时，方程组有解？并求解．
（2）若方程组的解构成线性空间，求 $\displaystyle \beta$ 需满足的条件和该线性空间．
哈尔滨工业大学 2024年 第3题
3．设 $\displaystyle \eta$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta(\beta \neq 0)$ 的一个解向量，$\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{t}$ 是对应齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系，证明：
（1）$\displaystyle \eta, \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots \xi_{1}$ 线性无关；
（2）$\displaystyle \eta, \xi_{1}+\eta, \xi_{2}+\eta, \cdots, \xi_{t}+\eta$ 是 $\displaystyle A X=\beta$ 的线性无关的解向量；
（3）$\displaystyle A X=\beta$ 的任意解 $Y$ 都可以表示成
$$
Y=k_{0} \eta+k_{1}\left(\xi_{1}+\eta\right)+k_{2}\left(\xi_{2}+\eta\right)+\cdots+k_{t}\left(\xi_{t}+\eta\right) .
$$
其中 $\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{t}=1$ ．
河北师范大学 2024年 第二题
二、（本题 15 分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n, \eta_{0}$ 为非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个特解，且 $\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{n-r}$为齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 的一个基础解系．证明：$\displaystyle \eta_{0}, \eta_{0}+\eta_{1}, \eta_{0}+\eta_{2}, \cdots . \eta_{0}+\eta_{n-r}$ 是方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解．ff：线性方程组
首都师范大学 2026年 第4题
4．设 $A$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 级矩阵，$\displaystyle \beta$ 是 $n$ 维非零向量，假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一组基础解系，$\displaystyle \alpha$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的一个解。证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \alpha$ 是线性无关的．
广西民族大学 2007年 第二题
二、（15 分）设 $b$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个解，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}$ 是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}, b$ 线性无关；（2）$\displaystyle a_{1}+b, a_{2}+b, \mathrm{~L}, a_{n-r}+b, b$ 线性无关。
广西民族大学 2010年 第3题
3．（15 分）已知 $\displaystyle \eta_{1}=(-1,0,2), \eta_{2}=(0,1,1), \eta_{3}=(3,-1,0)$ 。 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle P^{3}$ 中的线性变换，且 $\displaystyle \mathbf{A} \eta_{1}=(-5,0,3), \mathbf{A} \eta_{2}=(0,-1,6), \mathbf{A} \eta_{3}=(-5,-1,9)$ 。求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0)$ ， $\displaystyle \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵。
东北大学 2026年 第一-3题
4．（15 分）（1）设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为
$$
\left[\begin{array}{ccc}
0 & 3 & -1 \\
1 & -2 & 2 \\
4 & 1 & -1
\end{array}\right]
$$
求 $\mathscr{A}\left(2 \varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}+5 \varepsilon_{3}\right)$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标．
（2）设 $\alpha$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的非零向量， $\mathscr{A}^{n-1} \alpha \neq 0, \mathscr{A}^{n} \alpha=0$ 。证明：$\alpha, \mathscr{A}^{n} \alpha \cdot \mathscr{A}^{n-1} \alpha$构成 $V$ 的一个基。