向量-线性相关

五．已知两组方程组如下： $$ \text { (A) }\left\{\begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } - 2 x _ { 4 } = - 6 } \\ { 4 x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } - x _ { 4 } } \\ { 3 x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } = 3 } \end{array} = 1 \text { (B) } \left\{\begin{array}{l} x_{1}+m x_{2}-x_{3}-x_{4}=-5 \\ n x_{2}-x_{3}-2 x_{4}=-11 \\ x_{3}-2 x_{4}=-t+1 \end{array} .\right.\right. $$ （1）求方程组（A）的解，用其导出组线性表示： （2）求 $\displaystyle m, n, t$ 的值，使得 $\displaystyle (\mathbf{A})$ 与（B）同解．

八．（12分）设 $\displaystyle \alpha$ 是欧氏空间 $V$ 的一个非零向量，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \in V$ 满足 $$ \left(\alpha_{i}, \alpha\right)>0(i=1,2, \cdots, n) ;\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right) \leq 0(i, j=1,2, \cdots, m ; i \neq j) $$ 其中符号 $\displaystyle (x, y)$ 表示向量 $\displaystyle x, y$ 的内积。证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关。

2、已知向量组 $\alpha_{1}=(3,-2,0)^{T}, \alpha_{2}=(27,-18,0)^{T}, \alpha_{3}=(-1,5,8)^{T}$ ，则该向量组的秩为 $\_\_\_\_$ ；极大线性无关组为 $\_\_\_\_$ ．

2、求正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^{T} A Q$ 为对角矩阵。

二．证明题（ 15 分） 设 $A$ 是 $n$ 阶非零矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 1$ ，记矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，若 $\displaystyle A^{2}=O, O$ 为零矩阵． （1）证明：$\displaystyle r(A) \leq \frac{n}{2}$ ． （2）若已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 有解，证明：该方程组的线性无关的解向量的最大个数为 $\displaystyle n-r+1$.

4．（15 分）设 $A$ 是 $m$ 行 $n$ 列矩阵，$B$ 是 $n$ 行 $s$ 列矩阵．证明： （1）（5 分）若 $A B=O$ ，则 $r(A)+r(B) \leq n$ ． （2）（10 分）$r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$ ．

6．线性空间 $P^{3}$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ 向量 $\xi$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标为 $(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ． （1）求 $\sigma(\xi)$ ． （2）求 $\sigma$ 的特征值和特征向量． （3）判断是否存在 $P^{3}$ 的一组基，使得 $\sigma$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。

12．已知 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 为线性空间 $V$ 的一组基，线性变换 $\varphi$ 在这组基下的矩阵为 $A$ 。证明： （1）维 $(\operatorname{Ker} \varphi)=n-$ 秩 $(A)$ ． （2）维 $(\operatorname{Im} \varphi)=$ 秩 $(A)$ 。

六，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换．，$\displaystyle \xi \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{n-1}(\xi) \neq 0$ 但 $\displaystyle \sigma^{n}(\xi) \neq 0$ ，证明 （1）向量组 $\displaystyle \xi, \sigma(\xi), \cdots \sigma^{n-1}(\xi)$ 是线性无关的； （2）$\displaystyle \sigma$ 在一组基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\end{array}\right)$

六，（20 分）设三个向量 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，但其中任意两个都线性无关。证明 （1）若有常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 使得 $\displaystyle k_{1} \alpha+k_{2} \beta+k_{3} \gamma=0$ ，则这些 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 或者全为零，或者全部为零； （2）若有两组常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 和 $\displaystyle l_{1}, l_{2}, l_{3}$ ，使得 $\displaystyle k_{1} \alpha+k_{2} \beta+k_{3} \gamma=0$ 且 $\displaystyle l_{1} \alpha+l_{2} \beta+l_{3} \gamma=0$ ， 其中 $\displaystyle l_{1} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{k_{1}}{l_{1}}=\frac{k_{2}}{l_{2}}=\frac{k_{3}}{l_{3}}$ ．

四，（15 分）设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性无关，向量 $\displaystyle \beta_{1}=k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}$ ， $\displaystyle \beta_{2}=k_{1} \alpha_{2}+k_{2} \alpha_{3}, \beta_{3}=k_{1} \alpha_{3}+k_{2} \alpha_{4}, \beta_{4}=k_{1} \alpha_{4}+k_{2} \alpha_{1}$ ，试问：常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}, k_{4}$ 满足什么条件时，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 线性无关．

五，（20 分）已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m-1}(m \geq 2)$ 线性相关，向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots \alpha_{m}$ 线性无关．证明（1）$\displaystyle \alpha_{1}$ 可以由 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots \alpha_{m}$ 线性表出，且表示方式唯一； （2）$\displaystyle \alpha_{m}$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m-1}$ 线性表出．

3、判断 $f(V) \cup f^{-1}(0)$ 是否为 $V$ 的一个线性子空间？并说明理由．

2、求矩阵 $A$ 及行列式 $\left|\left(A+A^{*}-2 E\right)^{1010}\right|$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 为 3 阶单位阵．

五，（15 分）已知 $m$ 个向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m}$ 线性相关，但其中 $\displaystyle m-1$ 个都线性无关。证明 （1）如果等式 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+\cdots+k_{m} \alpha_{m}=0$ ，则这些 $\displaystyle k_{1}, \cdots k_{m}$ 或者全为零，或者全不为零； （2）如果存在两个等式 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+\cdots+k_{m} \alpha_{m}=0$ 与 $\displaystyle l_{1} \alpha_{1}+\cdots+l_{m} \alpha_{m}=0$ ，其中 $\displaystyle l_{1} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{k_{1}}{l_{1}}=\frac{k_{2}}{l_{2}}=\cdots=\frac{k_{m}}{l_{m}}$.

六，（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的两个线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$有 $n$ 个互异的特征值，证明：若 $\displaystyle \mathcal{A} \mathcal{B}=\mathcal{B} \mathcal{A}$ ，则 $\displaystyle \mathcal{B}$ 是 $\displaystyle \varepsilon, \mathcal{A}^{1}, \mathcal{A}^{2}, \cdots, \mathcal{A}^{n-1}$ 的线性组合。

四，（15 分）设非齐次线性方程组 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right)(*)$ 有解，其系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，证明非齐次线性方程组（＊）有 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解，且任意的解可由其线性表示。

三．（10 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r-1}(r \geq 3)$ 线性相关，向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关．证明 （1）向量 $\displaystyle \alpha_{1}$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表出，且表出方式唯一； （2）向量 $\displaystyle \alpha_{r}$ 不能由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r-1}$ 线性表出．

三、（15 分）设向量 $\displaystyle \beta$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表出，证明：若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ ， $\displaystyle \cdots, \mathbf{\alpha}_{r}$ 线性无关，则表示法是唯一的，反过来也正确。

1．（7分）给定数域 $K$ 上的对角矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{llll} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right) $$ 其中 $\lambda_{i} \neq \lambda_{j}(i \neq j)$ ，求与 $A$ 可交换的数域 $K$ 上的所有 $n$ 阶方阵。

2．（15 分）证明：$r(A)=r$ 当且仅当存在两个线性无关的列向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 和 $\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r}$ ，使得 $A=\alpha_{1} \beta_{1}^{\mathrm{T}}+\alpha_{2} \beta_{2}^{\mathrm{T}}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{\mathrm{T}}$ 。

三、（20 分）设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵． （1）如果 $\displaystyle A^{k-1} \alpha \neq 0$ ，但 $\displaystyle A^{k} \alpha=0$ ，证明：$\displaystyle \alpha, A \alpha, \cdots, A^{k-1} \alpha(k>0)$ 线性无关； （2）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(A^{n+1}\right)=\operatorname{rank}\left(A^{n}\right)$ ．

七、（20 分）求 $A$ 的特征值及其线性无关特征向量，若 $A$ 可对角化，求它的可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}7 & -12 & 6 \\ 10 & -19 & 10 \\ 12 & -24 & 13\end{array}\right)$ ．

九．（15 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}$ 和 $\displaystyle y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两个线性无关的向量组．证明：存在正交变换 $\displaystyle \varphi$ 使得 $\displaystyle \varphi\left(x_{i}\right)=y_{i}(i=1,2, \cdots, k)$ 的充要条件是 $\displaystyle \left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(y_{i}, y_{j}\right)(i, j=1,2, \cdots, k)$ ．

五．设向量组（I）：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，并且可由向量组（II）：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 线性表出．那么，$\displaystyle r \leqslant s$并且可以适当地排列组（II）中向量的次序，使得组（I）替换组（II）的前 $r$ 个向量后所得到的向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta_{r+1}, \beta_{r+2}, \cdots, \beta_{s}$ 与组（II）等价．

2．已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 为数域 $\displaystyle \mathbf{P}$ 上的 $n$ 维线性空间中线性无关的向量组 $$ \beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+\alpha_{m}, \beta_{m}=\alpha_{m}+\alpha_{1} $$ 的线性相关性。

3．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & a+1 & a & a+1 \\ 1 & a & 0 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 1\end{array}\right)$ 。已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=\beta$ 有三个线性无关的解向量，求 $a$ 及 $\displaystyle A x=\beta$ 的通解。

9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}, \beta_{1}, \cdots, \beta_{m}$ 为欧几里得空间 $V$ 的两组向量。始果 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ， $\displaystyle i, j=1, \cdots, m$ 。证明： （1）子空间 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \cdots, \beta_{m}\right)$（作为欧几里得空间）同构： （2）$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关当且仅当 $\displaystyle \left(\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)\right)$ 为正定阵。

9．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, ~ \lambda_{0} \in P$ 是 $A$ 的 $m$ 重特征根，证明：对应于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}, A$ 至多有 $m$ 个线性无关的特征向量。

3．设 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ 1-\lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ \lambda-1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ \lambda\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}\lambda+1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)$ 。试讨论，$\displaystyle \lambda$ 为何值时 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，在 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示时，求出表达式。

3．（I）$\displaystyle \alpha_{i}=\left(\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i n}\right), \quad i=1,2, \cdots, s$ ， （II）$\displaystyle \beta_{j}=\left(\beta_{j 1}, \beta_{j 2}, \cdots, \beta_{j m}\right), j=1,2, \cdots, t, \quad \beta_{j}=\sum_{i=1}^{s} k_{j i} \alpha_{i}, \quad j=1,2, \cdots, t 。$ 证明：若（I）线性无关，则矩阵 $\displaystyle K=\left(k_{j i}\right)_{t \times s}$ 的秩与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 的秩相同。

三．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性关关，$\displaystyle \beta_{j}=\sum_{i=1}^{m} a_{i j} \alpha_{i}, j=1,2, \cdots, s$ 。若 $\displaystyle \beta_{1}, \cdots, \beta_{s}$ 线性无关，证明 $\displaystyle r\left(\begin{array}{ccc}a_{41} & \cdots & a_{1 s} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m s}\end{array}\right)=s$ 。

3．已知实矩阵 $\displaystyle A_{n \times n}$ 的列向量组为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，行向量组为 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ ，证明：对任意的 $\displaystyle \gamma \in \mathbb{R}^{n}$ ，方程组 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n}=\gamma$ 有解的充要条件是 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

3．设 $\displaystyle \eta$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta(\beta \neq 0)$ 的一个解向量，$\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{t}$ 是对应齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系，证明： （1）$\displaystyle \eta, \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots \xi_{1}$ 线性无关； （2）$\displaystyle \eta, \xi_{1}+\eta, \xi_{2}+\eta, \cdots, \xi_{t}+\eta$ 是 $\displaystyle A X=\beta$ 的线性无关的解向量； （3）$\displaystyle A X=\beta$ 的任意解 $Y$ 都可以表示成 $$ Y=k_{0} \eta+k_{1}\left(\xi_{1}+\eta\right)+k_{2}\left(\xi_{2}+\eta\right)+\cdots+k_{t}\left(\xi_{t}+\eta\right) . $$ 其中 $\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{t}=1$ ．

4．设 $\displaystyle V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{5} \mid x_{1}+7 x_{2}+5 x_{3}-4 x_{4}+2 x_{5}=0\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle S=\left\{(-2,0,0,-1,-1)^{T},(1,1,-2,-1,-1)^{T},(-5,1,0,1,1)^{T}\right\}$ 是 $V$ 的一个线性无关的子集； （2）将 $S$ 扩充为 $V$ 的一组基底．

5．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 是线性无关的 $n$ 维列向量，$\displaystyle \beta_{i}=\sum_{j=1}^{r} a_{i j} \alpha_{j}, i=1,2, \cdots, r$ ，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r}$线性相关的充要条件为 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 r} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r r}\end{array}\right|=0$ 。

1．若 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，则 $A$ 的对应 $\lambda$ 的特征子空间 $V_{\lambda}=\{v \in V \mid \mathcal{A} v=\lambda v\}$ 为 $\mathcal{B}$ 的不变子空间；

2． $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ 至少有一个公共的特征向量．

四、设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有 3 个线性无关的特征向量，求 $x$ 和 $y$ 应满足的条件．

1．求证 $\mathcal{A}-\mathcal{E}$ 与 $\mathcal{B}-\mathcal{E}$ 都可逆；

6．设 $A, B$ 为 $m \times n$ 矩阵，且 $r(A)+r(B)<n$ ，则线性方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 的关系为 $\_\_\_\_$。

一、填空（ $\displaystyle 10 \times 5=50$ 分） （1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组 $$ b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3} $$ 线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类． （10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

六、若 $\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维欧氏空间的非零向量，子空间 $\displaystyle P_{\alpha}=\{\xi \in V \mid(\xi, \alpha)=0\}$ 为垂直于 $\displaystyle \alpha$ 的超平面，若 $\displaystyle (\gamma, \alpha)(\eta, \alpha)>0$ ，则称向量 $\displaystyle \gamma, \eta$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$ 的同侧，若向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{m}$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$的同侧，且它们相互夹角 $\displaystyle >\frac{\pi}{2}$ ，求证这组向量线性无关．

10．向量组 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1, k), \alpha_{2}=(1, k, 1), \alpha_{3}=(1,1, k)$ 是线性无关的，则 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．设 $A$ 为 3 阶半正定阵，向量 $\displaystyle \alpha, \beta$ 线性无关，若 $\displaystyle \alpha^{T} A \alpha=\beta^{T} A \beta=0$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=2$ ，则二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{T} A x$ 经正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化成的标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的秩为3，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}$ 的秩为4，则向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{5}-\alpha_{4}$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．．

5．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性无关，$\displaystyle \alpha_{1}=2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}$ ， $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，则方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

9．设 $A$ 为 3 阶奇异阵，$\displaystyle A+E$ 的行向量组线性相关，秩 $\displaystyle (A+2 E)=2$ ，则 $\displaystyle |A+3 E|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

五、设有向量组 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,2), \quad \alpha_{2}=(3, a+4,2 a+5, a+7), \quad \alpha_{3}=(4,6,8,10)$ ， $\displaystyle \alpha_{4}=(2,3,2 a+3,5)$ ，当 $\displaystyle a, b$ 如何取值时，$\displaystyle \beta=(0,1,3, b)$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示？

5．向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5} \in \mathbb{R}^{5}$ 线性无关，则向量组 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{4}+\alpha_{5}$ ， $\displaystyle \alpha_{5}+\alpha_{1}$ 的线性相关性是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

三、（15 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为一组 $n$ 维向量，求证 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关的充分必要条件为任意 $n$ 维向量均可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性表示．

四、已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，$\displaystyle \beta_{1}=\alpha_{1}, \beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$ ，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 线性无关。

五、（15 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 的特征值和 3 个线性无关的特征向量； （2）求 $\displaystyle A^{100}$ ．

八、（15 分）$A$ 为 $n$ 阶矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关，$\displaystyle A \alpha_{i}=\alpha_{i}(i=1,2,3)$ ， $\displaystyle A \beta_{j}=2 \beta_{j}(j=1,2)$ ．证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关．

3．设 $\alpha_{1}=(a, 1,1,1), \alpha_{2}=(1, a, 1,1), \alpha_{3}=(1,1, a, 1), \alpha_{4}=(1,1,1, a)$ ，已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关， $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性相关，则 $a=$ $\_\_\_\_$。

六、（15 分）已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性相关，求证：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}+\alpha_{4}$ 线性无关．

四、（15 分）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，求满足 $\displaystyle A P=B$ 的全部矩阵 $P$ ．五、（15 分）在多项式空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{5}$ 中，求向量组 $\displaystyle f_{1}(x)=1+x+x^{2}, f_{2}(x)=x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ ， $\displaystyle f_{3}(x)=1+x^{2}+2 x^{3}+x^{4}, f_{4}(x)=2+2 x+2 x^{2}+4 x^{3}+2 x^{4}$, $\displaystyle f_{5}(x)=1+x+2 x^{2}+3 x^{3}+2 x^{4}$ 的秩和极大线性无关组，并把区域向量用极大线性无关组线性表示。

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

12．记 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 为所有次数小于 4 的实系数一元多项式及零多项式构成的线性空间．$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \forall f(x) \in \mathbb{R}[x]_{4}, \mathscr{T}(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=1, \varepsilon_{2}=x, \varepsilon_{3}=x^{2}, \varepsilon_{4}=x^{3}$ 下的矩阵 $A$ 。 （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值和线性无关的特性向量．

6．设有向量组 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -1 \\ -5 \end{array}\right) . $$ 令 $\displaystyle W=\operatorname{span}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ 为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的全部线性组合构成的线性空间，求 $W$ 的维数和一组基．

9．设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关，且 $\displaystyle \beta_{k}=\sum_{i=1}^{n} c_{k i} \alpha_{i}(k=1,2, \cdots, n)$ ，令 $\displaystyle C=\left(c_{i j}\right)_{n \times n}$ ，求证：向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关的充要条件是 $\displaystyle |C| \neq 0$ ．

3．设 5 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和为 0 ，且 $r(A)=4$ ，则 $A X=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．

5．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}-a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$时，$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上的规范形为 $y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$ ．

14．（15 分）设 $A$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $m \times n$ 实矩阵，$B$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的 $(n-m) \times n$ 实矩阵，令 $$ V_{1}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=0\right\}, V_{2}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid B X=0\right\} $$ 已知矩阵 $C=\binom{A}{B}$ 可逆，证明： $\mathbb{R}^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

五．非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1 \end{array}\right. $$ 有三个线性无关的解，记系数矩阵为 $A$ ． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=2$ ． （2）求 $\displaystyle a, b$ 的值与方程组的通解．

六．设 $\displaystyle \tau$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是其 $n$ 个不同的特征值，证明：$\displaystyle \alpha, \tau(\alpha), \cdots, \tau^{n-1}(\alpha)$线性无关的充要条件是 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}$ ，其中 $\displaystyle \alpha_{i}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 的特征向量．

4．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,-1,2,1,0), \alpha_{2}=(2,-2,4,-2,0), \alpha_{3}=(3,0,6,-1,1), \alpha_{4}=(0,3,0,0,1)$ ． （1）（10 分）求该向量组的一个极大线性无关组，并将向量组中其他向量用该极大线性无关组线性表示． （2）（10 分）求一个以该极大线性无关组为基础解系的齐次线性方程组。

11．计算下列 $n$ 阶行列式 $$ D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc} x & 2025 & 2025 & \cdots & 2025 \\ \frac{1}{225} & x & 3 & \cdots & 3 \\ \frac{1}{225} & 3 & x & \cdots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{1}{225} & 3 & 3 & \cdots & x \end{array}\right| . $$

4．已知齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}-3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}-x_{5}=0 \\ -3 x_{1}+9 x_{2}-3 x_{3}+6 x_{4}+4 x_{5}=0 \\ 2 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}-2 x_{5}=0 \end{array}\right. $$ 向量组 $$ \alpha_{1}=(4,1,1,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(8,2,4,3,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=(4,7,5,3,0)^{\mathrm{T}} . $$ （1）求该方程组的一个基础解系． （2）判断该方程组的解是否都可以由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出． （3）求该方程组的一个基础解系使得其尽可能多的含 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ．

二、（本题 15 分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n, \eta_{0}$ 为非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个特解，且 $\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{n-r}$为齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 的一个基础解系．证明：$\displaystyle \eta_{0}, \eta_{0}+\eta_{1}, \eta_{0}+\eta_{2}, \cdots . \eta_{0}+\eta_{n-r}$ 是方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解．ff：线性方程组

三．（15 分）已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta(\beta \neq 0)$ 有解，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有 $k$ 个线性无关解 $\displaystyle (k<n)$ ，证明：$\displaystyle A X=\beta$ 有 $\displaystyle k+1$ 个线性无关解，不存在 $\displaystyle k+2$ 个线性无关解．

2． 4 阶实矩阵 $A$ 的秩为 2 ，线性无关的向量 $\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{4}$ 满足 $\displaystyle A(\alpha+\beta)=4 \alpha+3 \beta, A(\alpha-\beta)=2 \alpha-3 \beta$ ，试确定线性空间 $\displaystyle S=\left\{B \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \mid A B=B A\right\}$ 的维数．

4．若矩阵 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r<n$ ，则 $\displaystyle A X=b$ 的解中线性无关的向量的个数最多为 $\displaystyle \_\_\_\_$个。

5、特征多项式 $\lambda^{3}(\lambda-1)^{4}$ 的复矩阵按相似分类，可分为 $\_\_\_\_$类．

13、令 $A, B$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A V, B V$ 线性无关对任意非零 $V \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明： （1）$A B$ 可逆． （2）$n$ 是偶数．

14、设 $A, B$ 是正定实对称矩阵． （1）证明存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C A C=I, C^{T} B C$ 是对角元为正数的对角阵． （2）证明 $\sqrt[n]{\operatorname{det}(A+B)} \geq \sqrt[n]{\operatorname{det}(A)}+\sqrt[n]{\operatorname{det}(B)}$ ．

四．（15 分）（学硕）设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一个向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中 $n$ 个非零向量．令 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $n$ 维行向量空间，记 $\displaystyle W=\left\{\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i}=0\right\}$ ．假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的极大线性无关组包含 $r$ 个向量，证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的 $\displaystyle n-r$ 维子空间． （15 分）（专硕）证明：有限维欧氏空间任意一组正交的非零向量都线性无关。

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

4．设 $A$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 级矩阵，$\displaystyle \beta$ 是 $n$ 维非零向量，假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一组基础解系，$\displaystyle \alpha$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的一个解。证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \alpha$ 是线性无关的．

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

1．设 A 为 $m * n$ 矩阵， B 为 $n * m$ 矩阵，$r(A)=n$ ，求证：$r(A B)=r(B)$

1、（10 分）线性变换 $\varphi$ 是线性空间 $U$ 上的正交变换，$\varepsilon$ 是恒等变换，证明： $$ (\varphi+\varepsilon)^{-1}(0)=[(\varphi+\varepsilon) V]^{\perp} $$

1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组 $$ \beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m} $$ 线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．

1．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ 是一组线性无关的向量，$\beta_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \alpha_{j}(i=1,2, \cdots, t)$ ，证明：$\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 线性无关的充要条件是 $\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 t} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 t} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{t 1} & a_{t 2} & \cdots & a_{t t}\end{array}\right| \neq 0$ ．

5．设 $V$ 是欧式空间，向量 $\displaystyle a \in V$ ，向量 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n} \in V$ ，满足：$\displaystyle \left(a, a_{i}\right)>0 ;\left(a_{i}, a_{j}\right) \leq 0(i \neq j)$ ，证明： $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}$ 线性无关。

4、矩阵 $A$ 的零化多项式为 $A^{4}+5 I=4 A^{2}$ 且 $\operatorname{det}(A)=8, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$A^{*}-3 I$的最小多项式 $f(\lambda)=$ $\_\_\_\_$。

3．求正交变换 $X=Q Y$ 化 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为标准型．

4．已知 3 是 $\left(\begin{array}{rrrr}1 & & & 1 \\ & 2 & 2 & \\ & 2 & a & \\ 1 & & & 1\end{array}\right)$ 的一个特征值，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ＂

3．已知 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为 $n$ 维实列向量，且当 $\displaystyle i \neq j$ 时，有 $\displaystyle X_{i}^{\prime} A X_{j}=0$ ，证明： $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关。

2．设 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 不可逆，且 $A_{11} \neq 0$ ，则 $\_\_\_\_$是 $A$ 的伴随矩阵的行向量组的一个极大线性无关组。

6．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & a \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 只有一个线性无关的特征向量，则 $A$ 的特征值为 $\_\_\_\_$ ．

三．设 $n$ 维实列向量 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{T}(i=1,2, \cdots, r ; r \leq n)$ ，且 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，$\displaystyle \beta$ 为齐次线性方程组 $$ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) $$ 的非零解，证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta$ 线性无关．

4．已知 $V=\left\{\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & a \\ a+3 b & c & 0 \\ 0 & b-c & a\end{array}\right): a, b, c \in \mathbb{F}\right\}$ 按照通常运算作为线性空间，则 $\operatorname{dim} V=?(3)$

8．若 $n$ 阶方阵仅有特征值 1 且只有一个线性无关的特征向量，则 $A$ 的不变因子为？ $\left(1, \cdots, 1,(\lambda-1)^{n}\right)$

9．$\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 是 $n$ 维欧式空间的非零正交向量组，$\left(\beta_{i}, \alpha_{j}\right)=0(i=1,2 ; j=1, \cdots, n-1)$ 则 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 必定？（选择线性无关或者线性相关）（线性相关）

六．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ 是数域 $F$ 上的不可约多项式，$\displaystyle \varphi$ 是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $V$ 中非零向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 满足 $$ \varphi\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1}(1 \leq i \leq n-1), \varphi\left(\alpha_{n}\right)=-a_{n} \alpha_{1}-a_{n-1} \alpha_{2}-\cdots-a_{1} \alpha_{n} $$ 证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关．

二．（15 分）已知线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=c \end{array}\right. $$ 有 3 个线性无关的解． （1）证明该线性方程组系数矩阵的秩为 2 ． （2）求参数 $\displaystyle a, b, c$ 的值以及该线性方程组的通解．

4．（15 分）设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的向量．已知整数 $m$ 满足 $\displaystyle \varphi^{m}(\alpha) \neq 0$ ，但 $\displaystyle \varphi^{m+1}(\alpha)=0$ ．求证 $\displaystyle \alpha, \varphi(\alpha), \cdots, \varphi^{m}(\alpha)$ 线性无关．

2．（15 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ ，是线性空间 $V$ 中的 $\displaystyle 2 n$ 个向量．已知对任意的 $\displaystyle 1 \leqslant k \leqslant n$ 以及 $\displaystyle 1 \leqslant i_{1}<\cdots<i_{k} \leqslant n, \alpha_{i_{1}}, \alpha_{i_{2}}, \ldots, \alpha_{i_{k}}$ 线性相关当且仅当 $\displaystyle \beta_{i_{1}}, \beta_{i_{2}}, \ldots, \beta_{i_{k}}$ 线性相关。求证向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 的秩与向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ 的秩相同。

7．（15 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 是二阶复方阵，且 $\displaystyle A, B, C$ 在 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 中线性无关。求证：存在复数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$使得 $\displaystyle x_{1} A+x_{2} B+x_{3} C$ 是可逆矩阵。

1．（15 分）设 $\displaystyle A \in \mathbb{M}_{m \times n}, \beta \in \mathbb{M}_{m \times 1}$ ，问：线性方程组 $\displaystyle A x=\beta$ 有多少个线性无关的解（用 $\displaystyle r=\operatorname{rank}(A)$ 表示），并说明理由。

5．（10 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1,0,0), \alpha_{2}=(4,1,4,0), \alpha_{3}=(1,0,2,0), \alpha_{4}$ 是一个非零的 4 维向量，证明：若向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示，则向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 线性相关．

7．（15 分）已知如下非齐次线性方程组有三个线性无关的解． $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=3 \end{array}\right. $$ （1）（8 分）记系数矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle r(A)=2$ ． （2）（ 7 分）求 $\displaystyle a, b$ 的值，并求方程组的通解．

1．已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 解的集合为 $S$ ，其中 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r$ ．证明：$S$ 中存在 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的向量，任意 $\displaystyle n-r+2$ 个向量线性相关．

7．（15分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为欧氏空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 为 $V$ 中的一个正交向量组，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{n}$ 为 $V$ 中的另一个正交向量组，已知对于任意的 $\displaystyle i= 1,2, \cdots, n, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{i}$ 能由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{i}$ 线性表出，也能由 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{i}$ 线性表出．证明：存在数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ ，使得 $$ \beta_{1}=k_{1} \gamma_{1}, \beta_{2}=k_{2} \gamma_{2}, \cdots, \beta_{n}=k_{n} \gamma_{n} $$

十．（20 分）设 $A$ 为三阶实对称矩阵，齐次线性方程组 $\displaystyle (A-E) X=0$ 有一个非零解 $\displaystyle (1,-1,-1)^{T}$ ，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有两个线性无关的解． （1）求齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的通解； （2）求矩阵 $A$ ．

五．（15分）设 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,3), \alpha_{2}=(1,0,1)$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 为 $\displaystyle \beta_{1}=(-1,2, t), \beta_{2}=(4,1,5)$ 生成的子空间．若 $\displaystyle V_{1}=V_{2}$ ，求 $t$ 的值，并将 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 写成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 的线性组合．

四．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ 为一个 4 阶方阵，且 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 线性无关，$\displaystyle \alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{4}=\alpha_{1}-\alpha_{2}$ ，求方程组 $\displaystyle A X=\alpha_{3}+\alpha_{4}$ 的通解．

4．设 $A$ 为 2 阶矩阵，$\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 为线性无关的 2 维列向量，$A \alpha_{1}=0, A \alpha_{2}=2 \alpha_{1}+\alpha_{2}$ ，则 $A$ 的非零特征值为 $\_\_\_\_$

2．未知．

3．$\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,1,1)^{\prime}, \quad \alpha_{2}=(0,1,-1,-1,1)^{T}, \quad \alpha_{3}=(1,-1,3,3,-1)^{T}, \quad \alpha_{4}=(3,3 .-2,-4,2)^{\prime}$ ， $\displaystyle \alpha_{5}=(5,2,1,1,1)^{T}, \quad \alpha_{6}=(-4,-2,-1,1,-1)^{t}$ （1）求 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 的秩和一极大线性无关组；（8 分） （2）$\displaystyle \alpha_{6}$ 用 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 线性表出．（7分）

9、设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，与 $\displaystyle I_{n}+J(0, n)$ 相似，$\displaystyle I_{n}$ 为单位 $n$ 矩阵，$\displaystyle J(0, n)$ 为对角线元素为 0 的 Jordan 阵，即 $$ J(0, n)=\left(\begin{array}{llll} 0 & & & \\ 1 & 0 & & \\ & 1 & & 0 \\ & & 1 & 0 \end{array}\right) . $$ 证明：存在复问量 $\displaystyle \alpha \in C^{n}$ ，使 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \ldots, A^{n-1} \alpha$ 线性无关．

5．（5 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 8 & 4\end{array}\right), b=\left(\begin{array}{l}x \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ，若 $\displaystyle A b$ 与 $b$ 线性相关，则 $\displaystyle x=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

四．（15 分）设非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \\ a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s} \end{array}\right. $$ 的系数矩阵为 $A$ ，向量 $\displaystyle \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{s}\right)^{\prime}$ ． （1）若方程组有解且秩 $\displaystyle (A)=r$ ，求方程组的解向量中最多线性无关解的数目． （2）若方程组对任意的 $s$ 维列向量 $\displaystyle \beta$ 都有解，求秩（ $A$ ）．

3．设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)(i=1,2, \cdots, s)$ ，且方程组满足 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 的解满足 $\displaystyle b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=0$ 的解，记 $\displaystyle \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ ，证明：$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出．

6．（15分）设 $V$ 是实数域上连续函数构成的实线性空间，证明： $$ 1, \cos x, \cos (2 x), \cdots, \cos (n x) . $$ 线性无关。

3．若 $x^{2}-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，求 $r(A+E)+r(A-E)$ ，其中 $E$ 是单位矩阵， $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩．（15 分）

五．设三阶实矩阵 $A$ 的 3 个列向量 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 线性无关，二次型 $$ f(x)=\left(\alpha^{T} x\right)^{2}+\left(\beta^{T} x\right)^{2}+\left(\gamma^{T} x\right)^{2} $$ 其中 $\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}$ ． （1）求此二次型的矩阵 $B$ ； （2）问：此二次型是否正定？并写出此二次型的规范型； （3）是否存在正定矩阵 $S$ ，使得 $\displaystyle B=S^{3}$ ？并说明理由．

二、（15 分）设 $b$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个解，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}$ 是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}, b$ 线性无关；（2）$\displaystyle a_{1}+b, a_{2}+b, \mathrm{~L}, a_{n-r}+b, b$ 线性无关。

九（20 分）、设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle f, g$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $f$ 有 $n$ 个互异的特征根，证明 $\displaystyle \mathrm{fg}=\mathrm{gf}$ 当且仅当 g 是 $\displaystyle \mathrm{f}^{0}=\mathrm{I}, \mathrm{f}, \mathrm{f}^{2}, \cdots, \mathrm{f}^{\mathrm{n}-1}$ 的线性组合

四（15 分）、设向量 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}$ 线性无关。

一、判断题目：（20分） （2）若向量组的一个线性组合为零，则该向量组线性相关； （3）$\displaystyle V_{1}=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}=0\right\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的子空间； （4）矩阵相似具有相同特征多项式； （5）合同矩阵具有相同的负惯性指数

二、设 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 1+\lambda\end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{l}0 \\ \lambda \\ \lambda^{2}\end{array}\right)$ ，问 $\displaystyle \lambda$ 为何值时：（1）$\displaystyle \alpha_{4}$ 不可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出；（2）$\displaystyle \alpha_{4}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$唯一线性表出（3）$\displaystyle \alpha_{4}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 不唯一线性表出（25分）

五、（15 分）已则 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 3 个四维欧氏空间 $\displaystyle \mathbf{R}^{4}$ 中线性无关的向量，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \in \mathbf{R}^{4}$ 且与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$均正交，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性相关．

八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{t}$ 为 $\displaystyle R^{n}$ 中 $t$ 个线性无关的向量，证明：存在含 $n$ 个未知量的齐次线性方程组，使 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ 是它的基础解系．

七、（本题15分）设 $V$ 为闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上全体实函数构成的实向量空间，$\displaystyle f_{1}, \cdots, f_{n} \in V$ ，则 $\displaystyle f_{1}, \cdots, f_{n}$ 线性无关的充要条件是存在 $\displaystyle a_{1}, \cdots, a_{n} \in[a, b]$ 使得行列式 $\displaystyle \operatorname{det}\left(f_{i}\left(a_{j}\right)\right) \neq 0$ ．

5、子空间的正交补

五、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，而 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta, \gamma$ 线性相关，证明：或者 $\displaystyle \beta$ 与 $\displaystyle \gamma$ 中至少有一个可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表示，或者向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \gamma\right\}$ 等价。

八、（20 分）（1）证明：在一个欧氏空间里，对于任意向量 $\displaystyle \xi, \eta$ ，有不等式： $\displaystyle (\xi, \eta)^{2} \leq(\xi, \xi)(\eta, \eta)$ ，当且仅当 $\displaystyle \xi$ 与 $\displaystyle \eta$ 线性相关时，此不等式才取等号；（2）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是欧氏空间两个线性无关的向量，且满足以下条件：$\displaystyle \frac{2(\alpha, \beta)}{(\alpha, \alpha)}$ 和 $\displaystyle \frac{2(\alpha, \beta)}{(\beta, \beta)}$ 都是 $\displaystyle \leq 0$ 的整数．证明：$\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 的夹角只可能是 $\displaystyle \frac{\pi}{2}, \frac{2}{3} \pi, \frac{3}{4} \pi$ 或 $\displaystyle \frac{5}{6} \pi$ ．

七、（15 分）在 $\displaystyle P^{4}$ 中，设 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1,3,1), \alpha_{2}=(1,2,0,1), \alpha_{3}=(-1,1,-3,0), \alpha_{4}=(1,1,1,1)$ ，（1）求向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的一个极大线性无关组；（2）求由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 生成的子空间的基与维数。八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,1,0), \alpha_{2}=(-1,1,1,1), \beta_{1}=(2,-1,0,1), \beta_{2}=(1,-1,3,7)$ ，求由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间与由向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间的交的基与维数。

三、（ 15 分）设向量 $\displaystyle \beta=(1,2,11), \alpha_{1}=(1,1,1,1), \alpha_{2}=(1,1,-1,-1), \alpha_{3}=(1,-1,1,-1)$ ， $\displaystyle \alpha_{4}=(1,-1,-1,1)$ ，把 $\displaystyle \beta$ 表成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的线性组合。

十、（ 15 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是线性变换 $A$ 的两个不同特征值，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 是分别属于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的特征向量，（1） 证明：$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 线性无关；（2）证明：$\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$ 不是 $A$ 的特征向量．

四、（15 分）设 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{r}$ 是互不相同的数，$\displaystyle r \leq n, a_{i}=\left(1, t_{i}, \cdots, t_{i}^{n-1}\right), i=1,2, \cdots, r$ ，证明：向量组 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ 是线性无关的．

六、（15分） 设 $A$ 为三阶矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性无关的三维列向量，且满足 $$ A \alpha_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, A \alpha_{2}=4 \alpha_{1}+\alpha_{2}, A \alpha_{3}=\alpha_{3} $$ （1）求矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) B$ ； （2）求矩阵 $A$ 的特征值； （3）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵。

十、（15 分） 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ ，证明： （1）存在可逆矩阵 $B$ 和幂等矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ； （2）存在列满秩（列向量组线性无关）的矩阵 $E$ 和行满秩（行向量组线性无关）的矩阵 $F$ ，使得 $\displaystyle A=E F$ ．

2．用正交线性替换化二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{3}$ 为标准形，写出所作正交线性替换以及标准形。

2．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为矩阵 $A_{n \times n}$ 的 $n$ 个列向量，$\beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ ，并且 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 线性相关．证明：线性方程组 $A X=\beta$ 有无穷多解．

3．设 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 为整系数多项式，并且 $(a+b) c$ 为奇数．证明：$f(x)$ 在有理数域上不可约．

6．设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $A^{2}=A$ ，证明：$A$ 的秩等于迹．

4．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 是 $n$ 个向量，若 $V$ 中任一向量均可由 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 线性表出，证明：$\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 是 $V$ 的一组基．

五、已知非齐次方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \text { 有三个线性无关的解，求 } p, q \text { 的值以及非 } \\ p x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+q x_{4}=p\end{array}\right.$齐次方程组的通解。

3．设 $\displaystyle \alpha_{1}=(a, 2,0)^{T}, \alpha_{2}=(-2,1,5)^{T}, \alpha_{3}=(-1,1,4)^{T}, \beta=(1, b, c)^{T}$ ，对 $\displaystyle a, b, c$ 进行讨论完成下列问题： （1）$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出且表示唯一； （2）$\displaystyle \beta$ 不可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出； （3）$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出但表示不唯一并求其表达式．

3．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right), i=1,2, \cdots, s ; \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ ，证明：方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \cdots \\ a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 的解全是方程 $\displaystyle b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=0$ 的解的充分必要条件是 $\displaystyle \beta$ 可被 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出．

3．（20分）已知向量组 $\displaystyle (I)$ 为 $$ \beta_{1}=(0,1,-1)^{T}, \beta_{2}=(s, 2,1)^{T}, \beta_{3}=(t, 1,0)^{T} $$ 向量组（II）为 $$ \alpha_{1}=(1,2,-3)^{T}, \alpha_{2}=(3,0,1)^{T}, \alpha_{3}=(9,6,-7)^{T} . $$ 向量组 $\displaystyle (I)$ 与 $\displaystyle (I I)$ 有相同的秩，且 $\displaystyle \beta_{3}$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出，求 $\displaystyle s, t$ 的值．

三．（20 分）设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}(n \geq 3)$ 线性无关，且 $$ \beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \cdots, \beta_{n-1}=\alpha_{n-1}+\alpha_{n}, \beta_{n}=\alpha_{1}+\alpha_{n} $$ 讨论向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 的线性相关性．

五．（20 分）$\displaystyle A, B$ 均是 $\displaystyle 4 \times 4$ 级实矩阵，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系中包含 3 个解向量，$\displaystyle B X=0$的一个基础解系中包含 2 个解向量。证明： （1）$\displaystyle A B X=0$ 至少有 3 个线性无关的解向量． （2） $\displaystyle 4 A+5 B$ 一定有实特征向量

四．（15 分）设 $A$ 为三阶矩阵，$X$ 为三维列向量，满足 $\displaystyle X, A X, A^{2} X$ 线性无关，以及 $\displaystyle A^{3} X=3 A X-2 A^{2} X$ ． （1）记 $\displaystyle P=\left(X, A X, A^{2} X\right)$ ，求三阶矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=P B P^{-1}$ ． （2）计算行列式 $\displaystyle |A+E|$ ，其中 $E$ 为单位矩阵．

1．如果实矩阼 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$

4．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), T=\{B \mid A B=B A\}$ ，其中 $B$ 为 3 阶实方阵，$T$ 关于矩阵加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 为 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 为 $1 \times n$ 矩阵，且 $|A|=2, ~\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

5．已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}-x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1+\lambda \\ -2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 无解，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ （5） $\_\_\_\_$

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}4 & 6 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & -1 & -1 \\ 7 & -4 & 1 & 2\end{array}\right), A_{11}$ 是 $A$ 中元素 $a_{11}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+2 A_{12}-A_{13}-A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

5．设 $A$ 与 $B$ 分别是 $3 \times 2$ 与 $2 \times 3$ 矩阵，且满足 $A B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $R(A)=$ $\_\_\_\_$

2、求 $\mathbf{A}$ 的所有特征值．

1、求 $x, y$ 的值．

3、证明：$n$ 维欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关的充要条件是： $$ \left|\begin{array}{ccc} \left(\alpha_{1}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{1}, \alpha_{n}\right) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \left(\alpha_{n}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{n}, \alpha_{n}\right) \end{array}\right| \neq 0 $$

三、（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}, \beta$ 是一个 n 维列向量组，且它的秩与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$的秩相同，证明：$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性表出，且表示法唯一的充分必要条件为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关。

四、（15 分）证明 $\displaystyle \operatorname{mxn}$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$ 的充要条件是 $A$ 有分解式 $\displaystyle A=\alpha_{1} \beta_{1}{ }^{T}+\alpha_{2} \beta_{2}{ }^{T}+ \ldots+\mathrm{a}_{r} \beta_{r}{ }^{T}$ ，其中 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{r}$ 分别是线性无关的 m 维和 n 维列向量。

1．设 $\alpha_{1}=(0,1,2)^{T}, \alpha_{2}=(-1,3,2)^{T}, \alpha_{3}=(1, \lambda, 3)^{T}$ ，当且仅当 $\lambda$ 满足 $\_\_\_\_$时，任意 3 维列向量都可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出．

6．（5 分）计算 $n$ 阶行列式 $$ \left|\begin{array}{cccc} 1-a_{1}^{2} & -a_{1} a_{2} & \cdots & -a_{1} a_{n} \\ -a_{2} a_{1} & 1-a_{2}^{2} & \cdots & -a_{2} a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n} a_{1} & -a_{n} a_{2} & \cdots & 1-a_{n}^{2} \end{array}\right| . $$

三、（15分）求 $$ \partial_{1}=(0,0,0,1), \partial_{2}=(1,2,-1,1), \partial_{3}=(1,-2,-1,0), \partial_{4}=(-1,-2,1,1), \partial_{5}=(2,0,1,-1) $$ 的极大线性无关组．

2、（5分）求 $A$ 的所有特征值．

2、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(a, 2,10)^{T}, \alpha_{2}=(-2,1,5)^{T}, \alpha_{3}=(-1,1,4)^{T}$ ， $\displaystyle \alpha_{4}=(1, b, 2)^{T}$ ，当 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时： （1）$\displaystyle \beta$ 不能表示为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合？ （2）$\displaystyle \beta$ 可以唯一地表示为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性表出？ （3）$\displaystyle \beta$ 可以以无穷多种方式表示为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合？写出所有的表示式．

4、（20分）对于二阶矩阵 $\displaystyle A, B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, A \neq O$ ，若 $$ \left|A+B_{i}\right|=|A|+\left|B_{i}\right|, i=1,2,3,4 . $$ 证明：矩阵 $\displaystyle B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ 线性相关．

10、（15 分）$\displaystyle \varepsilon_{1} \cdots \varepsilon_{n}$ 为 $V$ 的一组基 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 可逆当且仅当 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right), \cdots, \sigma\left(\varepsilon_{n}\right) $$ 线性无关．

3．$R^{2}$ 上的线性变换 $\mathbf{A} ; \mathbf{A}(x, y)=(x-3 y, 2 x-y)$ 是否可以对角化？为什么？

1．所有的4阶矩阵构成的16维线性空间中，是否存在一个4阶矩阵 $A$ ，使得 $\displaystyle A, A^{2}, A^{3}, A^{4}, A^{5}$ 线性无关。

3．若 3 阶非零方阵的所有二阶余子式均等于 0 ，那么其秩是多少？为什么？

4．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,4,0,2), \alpha_{2}=(2,7,1,3), \alpha_{3}=(0,1,-1, a), \beta=(3,10, b, 4)$ ．求： （1）$\displaystyle a, b$ 取何值时，$\displaystyle \beta$ 不能被 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？ （2）$\displaystyle a, b$ 取何值时，$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？并写出表达式．

4．设 $\alpha, \beta$ 为3维列向量，且 $\alpha \beta^{T}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ，则 $\beta^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

10．设 $A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，$B$ 为可逆矩阵．满足 $r(E-A B)+r(E+B A)=n$ ．设 $S_{1}, S_{2}$分别为 $(E-A B) X=0$ 与 $(E+A B) X=0$ 的解空间．证明： （1）$r(E+B A)=r(E+A B)$ ． （2）$S_{1} \oplus S_{2}=P^{n}$ ． （3）$A$ 是可逆矩阵．

2．设 4 阶方阵 $A, B$ 的伴随矩阵为 $A^{*}, B^{*}$ ，且它们的秩为 $r(A)=3, r(B)=4$ ，则秩 $\left(A^{*} B^{*}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

七．（15 分）设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 线性无关，且 $$ \xi_{i}=a_{1 i} \beta_{1}+a_{2 i} \beta_{2}+\cdots+a_{m i} \beta_{m}(i=1,2, \cdots, s) . $$ 证明：向量组 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s}$ 的秩 $\displaystyle =$ 矩阵 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)_{m \times v}$ 的秩。 人．（ 15 分）证明：若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是正交矩阵 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle \lambda_{0}^{-1}$ 也是 $A$ 的特征值。

2、设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有三个线性无关的特征向量，则 $x, y$ 满足 $\_\_\_\_$ ．

4、设 $A, B, C, D$ 均是 $n$ 阶方阵，且满足： $$ A B=B C=C A=E $$ 则 $A^{2}+B^{2}+C^{2}=$ $\_\_\_\_$ ． 5 、已知两个向量组：$\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ 和 $\beta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \beta_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ a\end{array}\right)$ ，并且向量组 $\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right\}$ 不能由向量组 $\left\{\mathbf{\beta}_{1}, \mathbf{\beta}_{2}, \mathbf{\beta}_{3}\right\}$ 线性表示，则 $\_\_\_\_$ ．

三、已知向量 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ a \\ -1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 1 \\ b\end{array}\right)$ ． 问：当 $\displaystyle a, b$ 取何值时： （1）$\displaystyle \beta$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示？ （2）$\displaystyle \beta$ 能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 唯一线性表示？ （3）$\displaystyle \beta$ 能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表示，但表出式不唯一？写出此表出式。

4．线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1 \end{array}\right. $$ 有 3 个线性无关的解，则 $\displaystyle a, b$ 的值为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

五．已知 $$ \alpha_{1}=(1,1, a)^{T}, \alpha_{2}=(1, a, 1)^{T}, \alpha_{3}=(a, 1,1)^{T}, \beta=(1,1,-2)^{T} . $$ $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出且不唯一，求 $a$ 的值．记 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，求正交变换 $Q$ ，通过 $\displaystyle X=Q Y$ ，使 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T}\left(E_{3}+A\right)^{-1} X $$ 为标准型。

2．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，$\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示内积。设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$由基向量组线性表示为 $$ \left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) C . $$ 其中 $\displaystyle C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ，定义 $\displaystyle \Delta=\left(b_{i j}\right)_{m \times m}$ ，其中 $\displaystyle b_{i j}=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ．证明： $$ \operatorname{rank}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right\}=\operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(\Delta) . $$

4．设 $J=\left(\begin{array}{cc}O & E_{n} \\ -E_{n} & O\end{array}\right), G$ 为所有满足 $g^{\mathrm{T}} J g=J$ 的 $2 n \times 2 n$ 的可逆实矩阵 $g$ 的集合．若由 $n \times n$实矩阵 $A, B, C, D$ 组成的分块矩阵 $\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 属于 $G$ ，证明：复矩阵 $\sqrt{-1} C+D$ 为可逆矩阵．

3．设向量 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c} a \\ a \\ a \end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c} b+1 \\ 2 b+1 \\ b+1 \end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ b+4 \end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 b+1 \end{array}\right) . $$ （1）$\displaystyle a, b$ 为何值时，$\displaystyle \beta$ 不可以表示成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的线性组合？ （2）$\displaystyle a, b$ 为何值时，$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出？并写出线性表达式．

2．判断题．正确的请简要证明，错误的请举出反例． （1）已知 $\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ，则对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，有 $\displaystyle \alpha \in W_{1}$ 或 $\displaystyle \alpha \in W_{2}$ ． （2）多项式 $\displaystyle p(x)$ 在数域 $K$ 上不可约，则 $\displaystyle p\left(x^{2}\right)$ 在数域 $K$ 上也不可约． （3）$n$ 为偶数，则存在 $\displaystyle A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ ，满足对任意的 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，都有 $\displaystyle A \alpha, B \alpha$ 线性无关．

6．设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明 $\displaystyle r(A)=r$ 的充要条件是：存在两个线性无关的向量组 $$ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} \in K^{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r} \in K^{n} . $$ 使得 $$ A=\alpha_{1} \beta_{1}^{T}+\alpha_{2} \beta_{2}^{T}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{T} $$

7．$\displaystyle A, B$ 分别为 $\displaystyle m \times l, n \times l$ 阵，证明：$A$ 的行向量组由 $B$ 的行向量线性表出当且仅当 $\displaystyle B X=0$ 的解均为 $\displaystyle A X=0$的解．

9．设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $A^{3}-2 A^{2}-3 A=O$ ，且 $R(A)=r$ ，又已知 $A$ 的正惯性指数为 $k, E$ 表示单位矩阵，求 $|2 E-A|$ 的值．

11．已知 $A, B$ 分别为 $m$ 阶，$n$ 阶实对称矩阵，若 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{\mathrm{T}} & B\end{array}\right)$ 为正定矩阵，判断矩阵 $B-C^{\mathrm{T}} A^{-1} C$是否为正定矩阵，并证明你的结论．

2．（15分）当 $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}$ 取何值时，以下非齐次线性方程组有解，在有解的情况下写出通解 （用导出组的基础解系与特解的线性组合表示）。 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=a \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3 \\ 5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=6 \end{array}\right. $$

4．设非齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \text { 有三个线性无关的解．} \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1\end{array}\right.$ （1）证明：该方程组的系数矩阵 $A$ 的秩 $\displaystyle r(A)=2$ ； （2）求 $\displaystyle a, b$ 的值并求方程组的通解．

2．矩阵 $\displaystyle A, B$ 可相乘，$\displaystyle A B$ 列向量均为 $A$ 列向量的线性组合，证明 $\displaystyle r(A B) \leq r(A)$ 。

4．求出向量组 $\displaystyle (0,1,1),(4,2,1),(5,2,1),(1,0,1)$ 的极大线性无关组：并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。

4．（15 分）对向量组 $\displaystyle \Omega: \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，其中 $\displaystyle n \geqslant 2$ ．证明：向量组 $\displaystyle \Omega$ 线性相关且其中任意 $\displaystyle n-1$ 个向量线性无关当且仅当 $\displaystyle \Omega$ 中任意向量 $\displaystyle \alpha_{i}$ 可以写成其余向量的唯一线性组合。

9．（20 分）已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 5 & -5\end{array}\right)$ ． （1）（10 分）求一个秩为 1 的 3 阶方阵 $C$ ，使得 $A C$ 为零矩阵； （2）（10 分）证明：不存在秩为 2 的 3 阶方阵 $C$ ，使得 $A C$ 为零矩阵。

2．三阶矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 的逆矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

5．实矩阵 $A$ 的前 $r$ 列是 $A$ 列向量的极大无关组当且仅当 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的前 $r$ 列是 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的极大线性无关组．

2．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{2}=A, \operatorname{rank}(A)=r$ ，则 $\operatorname{det}\left(A+2 E_{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

12．设 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\alpha, \beta$ 都是复数域上的 $n$ 维非零列向量． （1）求 $A$ 的极小多项式和特征多项式． （2）求 $A$ 的若尔当标准形．