向量-秩与极大无关组

5、设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 都是有限维线性空间 $V$ 的子空间，证明： $$ \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{2} \cap V_{3}\right)+\operatorname{dim}\left(\left(V_{2}+V_{3}\right) \cap V_{1}\right) . $$

7、设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实对称矩阵，线性变换 $\displaystyle \varphi: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ 定义为： $$ \varphi(X)=A X A,\left(\forall X \in \mathbb{R}^{n \times n}\right) . $$ （1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{1} \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的特征值． （2）证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。

6．设 $$ \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right),\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 6 & 1 & 3 \end{array}\right) . $$ 则基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 到 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 的过渡矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

二．计算 $n$ 阶行列式 $$ A=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & \cdots & 2 & 3 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & & \cdots \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \end{array}\right| . $$ 三设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的非平凡不变子空间，在 $W$ 中取一个基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ ，把它扩充成 $\displaystyle I^{\prime}$ 的一组基 $\displaystyle a_{1}, \cdots, a_{r}, a_{r+1}, \cdots, a_{n}, \mathcal{A}$ 在 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 下的矩 阵为 $$ \left(\begin{array}{ll} A_{1} & A_{3} \\ O & A_{2} \end{array}\right) . $$ 其中 $\displaystyle A_{1}$ 为 $r$ 阶方阵，定义 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}: V / W \rightarrow V / W, a+W \rightarrow \mathcal{A} a+W$ 。证明： （1）$\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 是 $\displaystyle V / W$ 上的线性变换； （2）$\displaystyle A_{2}$ 是 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 在基 $\displaystyle a_{r+1}+W, \cdots, a_{n}+W$ 下的矩阵。

4．设 $P$ 为数域，在 $P^{4}$ 中，令 $$ \begin{gathered} W_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}-2 x_{2}+2 x_{4}=0, x_{1}+2 x_{3}=0\right\} \\ W_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}-4 x_{2}-2 x_{3}+4 x_{4}=0 .\right\} \end{gathered} $$ 则 $W_{1} \cap W_{2}$ 的维数是 $\_\_\_\_$ ．

7．设 $P$ 为数域，在 $P^{3}$ 中给出一组基 $\alpha_{1}=(-1,0,2), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(3,-1,0)$ ，定义线性变换 $\sigma$如下：$\sigma\left(\alpha_{1}\right)=(-5,0,3), \sigma\left(\alpha_{2}\right)=(0,-1,6), \sigma\left(\alpha_{3}\right)=(-5,-1,9)$ 。则 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

五．（12分）设有齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \quad \cdots \cdots \\ a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0 \end{array}\right. $$ $\displaystyle M_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 为系数矩阵 $A$ 划去地 $i$ 列剩下的 $\displaystyle (n-1) \times(n-1)$ 矩阵的行列式。证明：如果秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ，则 $\displaystyle \eta_{0}=\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个基础解系．

6、设 $V$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 为 $V$ 的子空间，且 $$ \operatorname{dim}(V)=9, \operatorname{dim}\left(V_{1}\right)=5, \operatorname{dim}\left(V_{2}\right)=6 . $$ 则 $\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

7、设线性变换 在 $V$ 的一组基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵是 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \\ 2 & 4 & 1\end{array}\right)$ ，则． 2 的全部特征值是 $\_\_\_\_$。

8．欧氏空间 $V$ 的基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的度量矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 且 $\beta=2 \alpha_{1}-\alpha_{2} +\alpha_{3}$ ，则 $|\beta|=$ $\_\_\_\_$ ．

三、（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的一个 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 可对角化的充分必要条件是： $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式 $\displaystyle \left|\mathbf{\lambda} \mathbf{E}_{n}-\mathbf{A}\right|$ 在复数域中的全部根都属于数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 数学 （从而每个根都是 $A$ 的特征值），并且每一根 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$ 的重数等于 $A$ 的属于特征值 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$的特征子空间的维数．

六、（16分）设 $V$ 是数域 $K$ 上三维线性空间，$V$ 上线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$下的矩阵 $A$ 为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)$ ． （2）对应于 $\displaystyle m(x)$ 的因式分解，写出 $V$ 的直和分解式，并且求出分解式中出现的每个子空间的一个基．

三．（20分）已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ -2 & 6 & 4 \end{array}\right) $$ $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times 5}$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的所有 $\displaystyle n \times 5$ 矩阵构成的线性空间，$\displaystyle W=\left\{B \in \mathbb{R}^{n \times 5} \mid B A=O\right\}$ ，其中 $O$ 为零矩阵． （1）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times 5}$ 的子空间； （2）求 $W$ 的一组基和维数．

五．（20 分）$\displaystyle P^{2 \times 2}$ 为数域 $P$ 上的 $\displaystyle 2 \times 2$ 方阵构成的线性空间．令 $\displaystyle \sigma: P^{2 \times 2} \rightarrow P^{2 \times 2}$ ，对任意的 $\displaystyle X \in P^{2 \times 2}$ ，有 $\displaystyle \sigma(X)=A X B$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的表示矩阵。 （3）是否存在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的某组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵为对角阵？存在的话，求出基和对应的对角阵。

六．（20 分）$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性反称变换，即对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $\displaystyle (\sigma(\alpha), \beta)+(\alpha, \sigma(\beta))=0$ ，其中 $\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示欧氏空间的内积。证明：存在 $V$ 的一组标准正交基，使得 $\displaystyle \sigma^{2}$ 在此组基下的矩阵为对角阵。

1、若 $t \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 为正定矩阵，求 $t$ 的取值范围．

4．（15 分）设 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})$ 为所有 3 阶实方阵按矩阵的加法及实数与矩阵的数量乘法构成的实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间．已知 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})$ 的两个子空间 $$ W_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc} a & 0 & c \\ a & 0 & 0 \\ c & b & 0 \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\}, W_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in \mathbb{R}\right\} . $$ （1）求和空间 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 的维数和一组基． （2）记 $\displaystyle W=W_{1}+W_{2}$ ，求子空间 $\displaystyle W_{3}$ ，使得 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})=W_{3} \oplus W$ ，并说明理由．

5．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，记齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r}$ ，其中 $r$为矩阵 $A$ 的秩，令 $\displaystyle \beta_{i}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \eta_{i}(i=1,2, \cdots, n-r)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n-r}\right)$ 。

8．（20 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle n \geq 2$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，若有 $\displaystyle \xi \in V$ ，满足 $\displaystyle \sigma^{n-1}(\xi) \neq 0, \sigma^{n}(\xi)=0$ ，求 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为 $$ \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{array}\right) . $$

9．（20 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，若 $\displaystyle \alpha$ 为任意的 $n$ 维非零列向量，$\displaystyle B=A \alpha \alpha^{T}$ ． （1）证明：$\displaystyle \left|\lambda E_{n}-B\right|=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\alpha^{T} A \alpha\right), E_{n}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。 （2）求 $B$ 最大的特征值 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ ． （3）求 $B$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ 的特征子空间的维数与一组基．

五．简单题（ 20 分） 设 $V$ 为 $n$ 阶实方阵全体在矩阵的加法和数乘运算下构成的实数域上的线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\displaystyle A \in V$ ，都有 $\displaystyle \sigma(A)=2 A^{\mathrm{T}}$ ． （1）求 $\displaystyle \sigma$ 的特征值． （2）求 $\displaystyle \sigma$ 的属于每一个特征值的特征子空间的维数和一组基． （3）证明：$V$ 恰为 $\displaystyle \sigma$ 的所有特征子空间的直和．

六．计算题（15分） 设 $V$ 为欧氏空间，$\displaystyle v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ 是 $V$ 的一组标准正交基，令向量 $$ \alpha=v_{1}+v_{2}, \beta=v_{1}+v_{3}, \gamma=2 v_{1}+v_{2}+2 v_{3}+v_{4} . $$ 子空间 $\displaystyle W=L(\alpha, \beta), W^{\perp}$ 为 $W$ 的正交补．求 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}$ ，使得 $\displaystyle \gamma=\gamma_{1}+\gamma_{2}$ ，且 $\displaystyle \gamma_{1} \in W, \gamma_{2} \in W^{\perp}$ ．

四．证明题（20分） 设 $V$ 是实数域的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \left\{\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right\}$ 是 $V$ 的一组基，令 $\displaystyle \xi_{n+1}=-\xi_{1}-\xi_{2}-\cdots-\xi_{n}$ ．证明： （1）对 $\displaystyle i=1,2, \cdots, n+1,\left\{\xi_{1}, \cdots, \xi_{i-1}, \xi_{i+1}, \cdots, \xi_{n+1}\right\}$ 都构成 $V$ 的基． （2）对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，在（1）中的 $\displaystyle n+1$ 组基中，存在一组基使得 $\displaystyle \alpha$ 在此基下的坐标分量均为非负．

8．在直角坐标系下，已知一点 $\displaystyle M_{0}(1,2,0)$ 和一条直线 $\displaystyle L:\left\{\begin{array}{l}x-y-z+2=0 ; \\ 2 x-3 y+3=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle M_{0}$ 到 $L$ 的距离，并写出过 $\displaystyle M_{0}$ 且与 $L$ 垂直相交的直线方程．

2．（15 分）设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & b \\ a & 1 & 1 \\ b & 1 & 0\end{array}\right)$ ，且与矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ 相似． （1）（ 5 分）求整数 $a$ 和 $b$ 的值． （2）（10 分）求正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T=B$ ．

4．（15 分）设 $A$ 是 $m$ 行 $n$ 列矩阵，$B$ 是 $n$ 行 $s$ 列矩阵．证明： （1）（5 分）若 $A B=O$ ，则 $r(A)+r(B) \leq n$ ． （2）（10 分）$r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$ ．

8．（15分）空间直角坐标系下，已知两异面直线的方程分别为 $$ l_{1}: \frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{-1}, \quad l_{2}: \frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{-1} . $$ （1）（10 分）求两条异面直线的公垂线方程． （2）（5 分）求该公垂线在坐标平面 $x O y$ 的射影直线方程．

9．（15 分）已知空间中的两条异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离是 $4, l_{1}$ 与 $l_{2}$ 所成角是 $\frac{\pi}{3}$ ，建立空间直角坐标系，求直线 $l_{1}$ 绕 $l_{2}$ 旋转一周所成的曲面的方程．

10．（20分）空间直角坐标系下，已知两相交平面方程分别为 $$ \pi_{1}: x-2 y-2 z-3=0, \quad \pi_{2}: 6 x+3 y-2 z-4=0 . $$ （1）（10 分）求 $\pi_{1}$ 与 $\pi_{2}$ 所成的二面角的角平分面方程。 （2）（10 分）说明上述哪一个角平分面是位于坐标原点所在的二面角的角平分面．

4．（15 分）已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，证明： $$ (\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^{n}\left(\alpha, \varepsilon_{i}\right)\left(\beta, \varepsilon_{i}\right) . $$

7．（15 分）已知空间曲线 $L$ 的参数方程为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=f(t) \\ y=g(t) \\ z=h(t)\end{array}\right.$ ，在空间直角坐标系下，将曲线 $L$ 绕 $y$ 轴旋转，求旋转曲面方程．

4．已知 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，其特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=0, \alpha_{1}=(1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1,-2)^{\mathrm{T}}$分别是特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 对应的特征向量，求矩阵 $A$ 。

5．设 $P^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $$ G_{1}=\left(\begin{array}{cc} a & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right), G_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\ 1 & 1 \end{array}\right), G_{3}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ a & 1 \end{array}\right), G_{4}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & a \end{array}\right) $$ 讨论由 $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ 生成的子空间 $L\left(G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}\right)$ 的维数并给出相应的一组基。

6．线性空间 $P^{3}$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ 向量 $\xi$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标为 $(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ． （1）求 $\sigma(\xi)$ ． （2）求 $\sigma$ 的特征值和特征向量． （3）判断是否存在 $P^{3}$ 的一组基，使得 $\sigma$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。

10．给定矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & -1 & -8 \end{array}\right) . $$ （1）证明：存在秩为 2 的 4 阶矩阵 $B$ ，满足 $A B=O$ ． （2）证明：不存在秩为 3 的 4 阶矩阵 $C$ ，使得 $A C=O$ ．

11．给定 2 维平面 $\mathbb{R}^{2}$ 上 3 条不同的直线 $$ L_{1}: a x+b y=c, L_{2}: b x+c y=a, L_{3}: c x+a y=b . $$ 证明：三条直线相交于一点当且仅当 $a+b+c=0$ ．

九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $n$ 维欧式空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数。证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有一非零向量与 $\displaystyle V_{1}$ 中任一向量正交．

六，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换．，$\displaystyle \xi \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{n-1}(\xi) \neq 0$ 但 $\displaystyle \sigma^{n}(\xi) \neq 0$ ，证明 （1）向量组 $\displaystyle \xi, \sigma(\xi), \cdots \sigma^{n-1}(\xi)$ 是线性无关的； （2）$\displaystyle \sigma$ 在一组基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\end{array}\right)$

七，（20 分）设向量组 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性 变换，且 $\displaystyle \sigma \alpha=\alpha+\beta+\gamma, \sigma \beta=\beta+\gamma, \sigma \gamma=\gamma$ ． （1）证明 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一可逆线性变换； （2）求线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle 3 \sigma-2 \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 下的矩阵。

五，（20 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，$V$ 的线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ，向量 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}, \eta_{2}=2 \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}, \eta_{3}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}$ ． （1）证明：$\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \cdot \eta_{3}$ 也是 $V$ 的一组基； （2）求线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} . \eta_{3}$ 下的矩阵； （3）求矩阵 $\displaystyle A^{2018}$ ．

2、矩阵 $E-A^{2}$ 是正定矩阵．

1、求正交矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵；

2、求矩阵 $A$ 及行列式 $\left|\left(A+A^{*}-2 E\right)^{1010}\right|$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 为 3 阶单位阵．

五．（20 分）设 $P$ 是数域，$n$ 是正整数，数域 $P$ 上线性空间 $$ V=\{f(x) \in P[x] \mid \partial(f(x))<n\} \cup\{0\}, $$ 定义 $V$ 上的一个线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ，其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的一阶微商． （1）分别求出 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V$ 与 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$（0）的一组基与维数； （2）证明：$\displaystyle V=\mathcal{A} V \oplus \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．

九、 $\displaystyle \left(7+8=15\right.$ 分）已知 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}\right\}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的实矩阵。 （1）证明：$W$ 为实矩阵集 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间． （2）求 $W$ 的一组基，并扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，求 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}x & y \\ y & z\end{array}\right)$ 在该基下的矩阵。

八、 $\displaystyle (\mathbf{1 0}+\mathbf{1 0}=\mathbf{2 0}$ 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle (\mathscr{A}, \mathbf{\alpha})=-(\mathbf{\alpha}, \mathscr{B} \mathbf{\beta})$ ． （1）若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，求 $\displaystyle \mathscr{F}$ 在该基下的矩阵 B． （2）证明： $\displaystyle \mathbf{V}=\mathscr{A} \mathbf{V} \oplus(\mathscr{P} \mathbf{V})^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle (\mathscr{B} \mathbf{V})^{\perp}$ 为 $\displaystyle \mathscr{P} \mathbf{V}$ 的正交补。

2．（20分）已知线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}+2 x_{4}=0 \\ x_{1}-2 x_{2}+(b-1) x_{3}+x_{4}=1 \\ 4 x_{1}-4 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}=a \end{array}\right. $$ 解空间的维数是 2 ，求 $\displaystyle a, b$ 的值并求出方程组的通解．（题目表述有误，非齐次线性方程组的解集不构成线性空间，因此不存在＂维数＂一说）

3．（20分）设 $V$ 是复数域上的有限维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $V$ 的一组基，$V$ 到 $V$ 的线性算子 $\displaystyle \varphi$ 在 $V$上的作用如下： $$ \varphi\left(\alpha_{1}\right)=5 \alpha_{1}, \varphi\left(\alpha_{2}\right)=5 \alpha_{2}, \varphi\left(\alpha_{3}\right)=3 \alpha_{1}+2 \alpha_{2}+5 \alpha_{3}, \varphi\left(\alpha_{4}\right)=6 \alpha_{4} $$ （1）求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵 $A$ ． （2）确定 $A$ 的若尔当标准型 $J$ ． （3）试找 $V$ 的一组新的基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在其下的矩阵为 $J$ ．

1．（9 分）更改 $A$ 中的一个数得到矩阵 $C$ ，使得齐次线性方程组 $C X=0$ 的基础解系含有 2 个向量．

1．（10 分）证明：$r(A) \leq 1$ 当且仅当存在列向量 $\alpha \in K^{m}, \beta \in K^{n}$ ，使得 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ．

二、（20 分）讨论 $\displaystyle a, b$ 为何值时，线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=1, \\ -x_{2}+(a-3) x_{3}-2 x_{4}=b, \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+a x_{4}=-1,\end{array}\right.$ 有唯一解？无解？有无穷 多解？当有无穷多解时，用基础解系表示出它的通解。

六、（30 分）设 $\displaystyle V=R^{2 \times 2}$ 是实数域上所有 2 阶方阵构成的实数域上的线性空间， $$ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ \lambda & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{array}\right) \text {, 其中 } \lambda \text { 是参数. } $$ （1）任取 $\displaystyle X \in V$ ，证明：$\displaystyle \varphi(X)=A X B$ 是 $V$ 上的一个线性变换； （2）当 $\displaystyle \lambda \neq-1$ 时，证明：$\displaystyle \varphi$ 是一个可逆线性变换； （3）当 $\displaystyle \lambda=-1$ 时，求线性变换的 $\displaystyle \varphi$ 值域 $\displaystyle \varphi V$ 和核 $\displaystyle \varphi^{-1}(0)$ ，并在值域中取一组基，把它扩充成 $V$的一组基．

六、（20 分）$\displaystyle V=P^{4}, P$ 是一个数域，$\displaystyle V_{1}=\left\langle\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\rangle, V_{2}=\left\langle\beta_{1}, \beta_{2}\right\rangle$ 是由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$分别组成的子空间，$\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}-2 \\ 3 \\ 1 \\ -3\end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$ ，求和空间 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 及交空间 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基和维数．

七．（15分）设 $\displaystyle P^{m}$ 是次数不超过 $m$ 的一元多项式空间，定义 $\displaystyle P^{m}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $$ \mathscr{A}(f(x))=f(x+1)-f(x) $$ （1）写出 $\displaystyle \mathscr{A}$ 关于基底 $\displaystyle 1, x, \cdots, x^{m}$ 的矩阵 $A$ ． （2）求 $A$ 的 Jordan 标准形与最小多项式． （3）求 $\displaystyle \mathscr{A}^{k}$ 的核空间 $\displaystyle N\left(\mathscr{A}^{k}\right)$ 的维数和一组基．

六．（15分）设线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 在标准基下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ （1）将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\mathrm{T}} A X$ 化为标准形． （2）设 $\displaystyle S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 定义为 $\displaystyle S(X)=\mathscr{A}^{2} X-2 \mathscr{A} X+2 X$ ，求 $S$ 的特征值，像空间维数与零空间维数．

四．（15 分）设 $V$ 是复数域上以 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为基底的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $$ \left\{\begin{array}{l} \mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{1}(i=1,2,3) \\ \mathscr{A}\left(\alpha_{4}\right)=\alpha_{2} \end{array}\right. $$ 求 $\displaystyle R(\mathscr{A}), N(\mathscr{A}), R(\mathscr{A}) \cap N(\mathscr{A})$ ，其中 $\displaystyle R(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的值域，$\displaystyle N(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的核。

1．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则 $A^{n}=0$ ；

2．$M_{n}=S \oplus T$ ．

6．证明：对会定的自然数 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 然系数多项式的体合 $$ V=\{f(x) \in R[x] \mid f(1)=0, \partial f(x)<n\} $$ 关于多项式的加法和数与多项式相乘构成实数域 $R$ 上的线性空间，并冰出 $V$ 的一组基。

8．设 $\displaystyle V=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}$ ，其中 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $V$ 的一个变族 $\displaystyle \varphi: \varphi(X)=A X, \forall X \in V$ 。 （1）证明 $\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 的特征值，特征向量： （3）是否存在 $V$ 的一组基，使 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角阵，为什么？

1．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}0 & a \\ b & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个线性变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=A X, \forall X \in W$ 。 （1）证明：$W$ 是 $P$ 上的线性空间； （2）证明：$\displaystyle \tau$ 是 $W$ 上的线性变换： （3）是否存在 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \tau$ 在该基下的矩阵是对角阵，为什么？

5．欧氏空间 $V$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 称为反对称的。如果对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ， $\displaystyle (\sigma \alpha, \beta)=-(\alpha, \sigma \beta)$ 。证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 为反对称的充要条件是，$\displaystyle \sigma$ 在一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵； （2）如果 $\displaystyle V_{1}^{4}$ 是反对称线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，则 $\displaystyle V_{1}^{1}$ 也是。

4．设 $\displaystyle W_{1}$ 和 $\displaystyle W_{2}$ 都是数域 $\displaystyle \mathbf{P}$ 上向量空间 $V$ 的有限维子空间，证明： $$ \operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim} W_{2}-\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) $$

6．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=X^{T} A X, \forall X \in W 。$ （1）求 $\displaystyle \tau$ 关于基 $\displaystyle M_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), M_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), M_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 的矩阵； （2）求 $\displaystyle \tau$ 的所有 1 维不变子空间。

9．设 $W$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个子空间，且 $\displaystyle 0<\operatorname{dim} W<n$ 。证明： （1）$W$ 在 $V$ 中有无穷多个余子空间； （2）$W$ 在 $V$ 中的正交补空间是唯一的。

7．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), C(A)=\left\{B \in P^{3 \times 3} \mid A B=B A, B \in P^{3 \times 3}\right\}$ 。 （1）证明：$\displaystyle C(A)$ 构成 $\displaystyle P^{3 \times 3}$ 的一个子空间； （2）求 $\displaystyle C(A)$ 的经数和一组基。

6．$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的两个子空间，证明：存在 $V$ 的线性变换 A ，使得 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 一个为 A 的值域，一个为 A 的核的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n$ 。

9．方程组 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 2 & -2 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{1} \\ x_{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ 有解，求 $a$ 的值，方程组的通解以及对应的齐次线性方程组的基础解系。

10．$W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的真子空间，证明存在 $V$ 的基底 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \alpha_{i} \in W, i=1,2, \cdots, n$ 。

7．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵为一 Jordan块，证明： （1）$V$ 中任一非零 $\displaystyle \sigma$－子空间都包含 $\displaystyle \varepsilon_{n}$ ； （2）$V$ 不能分解成两个非平凡的 $\displaystyle \sigma$－子空间的直和。

6．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换，证明以下两个命题等价： （1）$\displaystyle (\sigma(\alpha), \sigma(\beta))=(\alpha, \beta), \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{n}$ ； （2）$\displaystyle \sigma$ 将 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基映射为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

3．设 $\displaystyle \eta$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta(\beta \neq 0)$ 的一个解向量，$\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{t}$ 是对应齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系，证明： （1）$\displaystyle \eta, \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots \xi_{1}$ 线性无关； （2）$\displaystyle \eta, \xi_{1}+\eta, \xi_{2}+\eta, \cdots, \xi_{t}+\eta$ 是 $\displaystyle A X=\beta$ 的线性无关的解向量； （3）$\displaystyle A X=\beta$ 的任意解 $Y$ 都可以表示成 $$ Y=k_{0} \eta+k_{1}\left(\xi_{1}+\eta\right)+k_{2}\left(\xi_{2}+\eta\right)+\cdots+k_{t}\left(\xi_{t}+\eta\right) . $$ 其中 $\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{t}=1$ ．

4．设 $\displaystyle V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{5} \mid x_{1}+7 x_{2}+5 x_{3}-4 x_{4}+2 x_{5}=0\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle S=\left\{(-2,0,0,-1,-1)^{T},(1,1,-2,-1,-1)^{T},(-5,1,0,1,1)^{T}\right\}$ 是 $V$ 的一个线性无关的子集； （2）将 $S$ 扩充为 $V$ 的一组基底．

1．若 $\lambda_{0} \neq 0$ ，求证 $\lambda_{0}$ 也是 $\mathcal{B} \mathcal{A}$ 的特征值，并求相应的一个特征向量；

二、在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 定义为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\mathcal{A} \alpha_{1}=(-5,0,3) \\ \mathcal{A} \alpha_{2}=(0,-1,6) \\ \mathcal{A} \alpha_{3}=(-5,-1,9)\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}=(-1,0,2) \\ \alpha_{2}=(0,1,1) \\ \alpha_{3}=(3,-1,0)\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 下的矩阵 $A$ ．

六、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}E_{r} & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$, 这里，$\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathcal{A}(V)$

1．若 $P$ 为同时包含 $\mathbb{Q}$ 和 $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ 的最小数域，则 $P$ 作为 $\mathbb{Q}$ 上线性空间的维数为 $\_\_\_\_$ ．

2．多项式 $x^{7}+2 x^{6}+6 x^{2}+2$ 在复数域上所有根的关系是 $\_\_\_\_$ ．

1．求证 $\lambda$ 为 $\mathcal{A}$ 的特征值的存在充分必要条件为 $V_{\lambda} \neq\{0\}$ ；

三、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 2 维线性空间 $V$ 上的非零的幂零线性变换，求证在 $V$ 的某个基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$.

1．若 $P$ 为同时包含 $\mathbb{Q}$ 和 $\pi$ 的最小数域，则 $P$ 作为 $\mathbb{Q}$ 上的线性空间的维数是 $\_\_\_\_$ ．

三、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 7\end{array}\right)$ ， （1）求 $\displaystyle r(A)$ ； （2）求线性空间 $\displaystyle V=\left\{x \in \mathbb{R}^{4} \mid A^{*} x=0\right\}$ 的基础解系．

二、设 $V$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的一个线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ． （1）求 $V$ 的另一组基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 使 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵 $B$ 为对角阵； （2）求 $\displaystyle A^{k}$ ．

一、填空（ $\displaystyle 10 \times 5=50$ 分） （1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组 $$ b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3} $$ 线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类． （10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

二、（本题 20 分）$\displaystyle V=\mathbb{R}^{3 \times 3}$ 视为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，令 $\displaystyle W_{1}=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}$ ， $\displaystyle W_{2}=\left\{A \in V \mid A^{T}=-A\right\}$. （1）求证 $\displaystyle W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 为 $V$ 的子空间，并分别写出 $\displaystyle W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 的一个基； （2）求证：$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

2．多项式 $x^{21}-1$ 和 $x^{14}-1$ 的最大公因式为 $\_\_\_\_$。

3．$n$ 阶行列式 $A_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{array}\right|(n \geq 2)$ 的值为 $\_\_\_\_$。

9．令 $A \in \mathbb{C}^{5 \times 5}, A^{3}=E, 1=5-r(E-A)$ ，则 $\operatorname{tr}\left(E+A+A^{2}\right)$ $\_\_\_\_$。

1．求 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵；

2．求 $\sigma$ 的特征值和特征向量；

二、实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的次数不超过 2 的多项式集合 $\displaystyle \mathbb{R}_{2}[x]$ 为实数域上的线性空间，取 $\displaystyle \mathbb{R}_{2}[x]$ 的 一个基 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}_{2}[x]$ 中的线性变 换，且 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{c}3 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\left(1, x, x^{2}\right)\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ ．

5．若 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为3维线性空间中两个不同的2维子空间，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

6．令 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}, A^{n-1} \neq 0, A^{n}=0$ ，则 $\displaystyle V=\{f(A) \mid f(x) \in \mathbb{R}[x]\}$ 作为实数域上的线性空间其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

二、设 $V$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 5 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为其上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}, \varepsilon_{5}$ 之下矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{lllll} & & & & 1 \\ & & & 1 & \\ & & 1 & & \\ & 1 & & & \\ 1 & & & & \end{array}\right) $$ （1）求 $V$ 的另一组基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ ，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在此基下的矩阵为对角阵； （2）求 $\displaystyle A^{n}$ ．

四、设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间 $\displaystyle (n \geq 3), \mathcal{A}$ 为其上的线性变换， $\displaystyle \mathcal{A}^{n-2} \neq 0, \mathcal{A}^{n-1} \neq 0$ ．求证： $\displaystyle \mathcal{A}$ 在 $V$ 的某个基下的矩阵为 $$ \left(\begin{array}{ccccc} 0 & & & & \\ 1 & \ddots & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & 1 & 0 & \\ & & & 0 & 0 \end{array}\right) $$

1．包含 $\displaystyle \sqrt[3]{2}$ 的最小数域视为有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

1．求 $\displaystyle \operatorname{dim}(V \otimes W)$ ；

2．验证 $\displaystyle \phi$ 为 $\displaystyle V \otimes W$ 的线性变换，且求 $\displaystyle \phi$ 在 $\displaystyle V \otimes W$ 的某组基下的矩阵 $C$ ．

5．若 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle V=\left\{X \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \mid S X=X S\right\}$ 作为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间的维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

三、设 $\displaystyle V, W$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的线性空间， $\displaystyle \operatorname{dim} V=2, \operatorname{dim} W=3, \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 为 $V$ 的基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 为 $W$ 的基，再设 $\displaystyle \sigma, \eta$ 分别为 $V$ 和 $W$ 的线性变换，且它们在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，令线性空间 $\displaystyle V \otimes W=\{(v, w) \mid v \in V, w \in W\}$ 为 $V$ 和 $W$ 的外直和． $\displaystyle \left(v_{1}, w_{1}\right)+\left(v_{2}, w_{2}\right)=\left(v_{1}+v_{2}, w_{1}+w_{2}\right), k(v, w)=(k v, k w)$ $\displaystyle \phi: V \otimes W,(v, w) \rightarrow(\sigma(v), \eta(w))$.

二、设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,0,1), \alpha_{2}=(2,1,-1,1,-3), \alpha_{3}=(3,2,-1,1,-2) \in \mathbb{R}^{5}$ ，视 $\displaystyle \mathbb{R}^{5}$ 为欧氏空间。再令 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 生成的子空间 $\displaystyle W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ． （1）求 $W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ ； （2）求 $\displaystyle W^{\perp}$ 的一组标准正交基。

八、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，若 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)+\operatorname{dim} \tau(V)<n$ ，求证：$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个相同的特征值和特征向量．

5．多项式空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{2}$ 上定义内积 $\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x$ ，则 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{2}$ 的一组标准正交基为 $\displaystyle f_{1}(x)=1, f_{2}(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中， 基（I ）：$\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), A_{4}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ； 基（ I ）：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), B_{4}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ． 则在基（I）与基（I）下有相同坐标的矩阵的为 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ （ $k$ 为任意常数）．

10．在向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中规定内积（不一定是标准内积）后得到欧式空间 $V$ ，且 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1), \alpha_{2}=(3,2)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}6 & 10 \\ 10 & 17\end{array}\right)$ ，则基 $\displaystyle e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，基（I ）：$\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{3}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \quad A\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{1} & 1\end{array}\right) \quad$ 到基 （II）：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right) \quad B_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \quad B_{3}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{1} & 0\end{array}\right) \quad B_{4}^{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{0} & 1\end{array}\right) \quad \text { 的过渡矩阵为 }}$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

二、设 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 的一个线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 的一组基， $\displaystyle \mathcal{A}\left(\alpha_{1}\right)=2 \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2 \alpha_{3}$ （1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵； （2）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值，特征向量； （3）求 的一组基，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角阵。

四、设 $\displaystyle V=\left\{A \mid \operatorname{tr}(A)=0, A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\right\}$ （1）求证：按通常的矩阵加法和数乘构成实数域上的线性空间； （2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} V$ ，找出 的一组基，并用基的定义说明找出矩阵是 的基．

1．若 $P$ 为包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \sqrt{3}$ 的最小数域，则 $P$ 视为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

三、对齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=0 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=0 \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=0 \\ 5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=0 \end{array}\right. $$ （1）求其中一个基础解系； （2）求其向量形式的通解。

二、设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $V$ 的一个线性变化，且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ． （1）求 $V$ 的另一个基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在此基下的矩阵 $B$ 为对角阵； （2）求 $\displaystyle A^{k}$ ．

六、设 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 上的线性变化， $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证： （1）$\displaystyle V=\mathcal{A}(V) \oplus \operatorname{Ker}_{\mathcal{A}} \mathcal{A}$ ； （2）存在 的一个基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ ，在此基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\{1, \cdots, 1,0, \cdots, 0\}$（对角线为 $\displaystyle 1, \cdots, 1,0, \cdots 0$ ）的对角阵）。

七、（15分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 的 3 维线性空间， 是空间 $V$ 的一组基 $\displaystyle \beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}$ ， $\displaystyle \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \quad \beta_{3}=\alpha_{3}+\alpha_{1}$. （1）求证 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 也是空间 $V$ 的基； （2）求基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 到 的过渡矩阵； （3）求 $\displaystyle \gamma=3 \alpha_{1}+\alpha_{2}-4 \alpha_{3}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的坐标．

5．欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 的内积 $\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x$ ，则基 $\displaystyle 1, x, x^{2}$ 的度量矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

十、定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 上的线性变换 $\displaystyle T f(x)=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ． （1）求 $T$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 的基 $\displaystyle 1, x, x^{2}$ 下的矩阵； （6）证明 $\displaystyle \operatorname{Im}(T) \oplus \operatorname{Ker}(T)=\mathbb{R}[x]_{3}$ ．

七、（15 分）$\displaystyle V=L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)\right), f_{1}(x)=e^{x} \sin x, f_{2}(x)=e^{x} \cos x$ ， $\displaystyle f_{3}(x)=x e^{x} \sin x, f_{4}(x)=x e^{x} \cos x, \mathcal{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$. （1）证明： $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 在基 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)$ 下的矩阵．

六、（15 分）在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 上定义内积： $\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x, f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=x+1, f_{3}(x)=x-1$ ，求 $\displaystyle L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)\right)=\left\{k_{1} f_{1}(x)+k_{2} f_{2}(x)+k_{3} f_{3}(x) \mid k_{1}, k_{2}, k_{3} \in \mathbb{R}\right\}$ 的标准正交基．

5．设 $V$ 是全体 4 阶实对称阵，按矩阵的加法和数乘运算构成的实数域上的线性空间，则 $\operatorname{dim} V=$ $\_\_\_\_$。

九、（15 分）设 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中线性变换 $\displaystyle T_{1}$ 在基 $\displaystyle a_{1}=(1,2)^{T}, a_{2}=(2,3)^{T}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 4 & 3\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle T_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(3,1)^{T}, \beta_{2}(4,2)^{T}$ 下的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}4 & 6 \\ 6 & 9\end{array}\right)$ ． （1）求基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 到基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 的过渡矩阵 $P$ ； （2）求线性变化 $\displaystyle T_{1}+T_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 下的矩阵．

十、（本题15分）设 $V$ 为3维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为 $V$ 中的4个向量，已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $V$ 的一组基，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=0$ ． （1）求证：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 中任意 3 个向量均匀构成 $V$ 的一组基； （2）求证：对 $V$ 中任意向量 $\displaystyle \beta$ ，在（1）中 4 组基中必存在一组基 $\displaystyle \beta$ 在该基下的坐标均非负。

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

4．（1）$A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ ． 证 $|A+x F|=|A|+\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i j}$ ． （2）$\left|\begin{array}{ccccc}1 & a_{12}-a_{11} & a_{13}-a_{12} & \cdots & a_{1 n}-a_{1, n-1} \\ 1 & a_{22}-a_{21} & a_{23}-a_{22} & \cdots & a_{2 n}-a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & a_{n 2}-a_{n 1} & a_{n 3}-a_{n 2} & \cdots & a_{n n}-a_{n, n-1}\end{array}\right|=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i j}$ ．

5．$\left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=1 \\ x_{1}+2 \lambda x_{2}+3 x_{3}=\lambda, \\ x_{1}+2 x_{2}+3 \lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 取何值时，有解（解是多少）？无解，唯一？

6．$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，下述条件等价． （1）$r(A)=n$ ；（2）存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A=\binom{E_{n}}{0}$ ；（3）存在 $n \times m$ 阶矩阵 $B$ ，使得 $B A=E_{n}$ ．

12．记 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 为所有次数小于 4 的实系数一元多项式及零多项式构成的线性空间．$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \forall f(x) \in \mathbb{R}[x]_{4}, \mathscr{T}(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=1, \varepsilon_{2}=x, \varepsilon_{3}=x^{2}, \varepsilon_{4}=x^{3}$ 下的矩阵 $A$ 。 （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值和线性无关的特性向量．

4．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank} A=\operatorname{rank} B=1, W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 分别为齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 和 $\displaystyle B X=0$ 的解空间，且 $\displaystyle W_{1} \neq W_{2}$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．设有向量组 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \\ -2 \end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -1 \\ -5 \end{array}\right) . $$ 令 $\displaystyle W=\operatorname{span}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ 为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的全部线性组合构成的线性空间，求 $W$ 的维数和一组基．

8．设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间，$V$ 的一组基 $\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ． （1）求证：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ 也是 $V$ 的基。 （2）求基 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 到基 $\displaystyle B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 的过渡矩阵．

10．已知向量组 $$ \alpha_{1}=(2,0,1,3,-1)^{T}, \alpha_{2}=(0,-2,1,5,-3)^{T}, \beta_{1}=(1,1,0,-1,1)^{T}, \beta_{2}=(1,-3,2,0,5)^{T} . $$ 记 $\displaystyle W_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right), W_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 与 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的维数与基．

13．取 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，定义线性变换 $$ \sigma(X)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2} $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。 （2）证明：当 $\displaystyle a d-b c \neq 0$ 时，$\displaystyle \sigma$ 可逆． （3）当 $\displaystyle \sigma$ 可逆时，求 $\displaystyle \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。

14．设 $V$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$V$ 上线性变换 $\displaystyle \tau$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} \lambda & & & \\ 1 & \lambda & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \lambda \end{array}\right) $$ 证明：对任意非零的 $\displaystyle \tau$－子空间 $W$ ，有 $\displaystyle \varepsilon_{n} \in W$ ．

3．令 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上由矩阵 $A$ 的全体实系数多项式组成的线性空间，其中 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 1 & & \\ & \omega & \\ & & \omega^{2} \end{array}\right), w=\frac{-1+\sqrt{3} \mathrm{i}}{2}, \text { 且 } \mathrm{i}^{2}=-1 . $$ 则 $V$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

九．（15 分）对非负整数 $n$ ，已知 $\displaystyle M_{2 n+1}(\mathbb{R})$ 关于矩阵加法与数乘构成一个实线性空间，设 $V$ 是 $\displaystyle M_{2 n+1}(\mathbb{R})$的一个非零子空间，满足 $V$ 中任意非零矩阵都可逆．求证： $\displaystyle \operatorname{dim} V=1$ ．

11．（15 分）已知线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}-2 b x_{2}+2 x_{4}=1 \\ x_{1}-2 x_{2}+(a-1) x_{3}+x_{4}=2 \\ 2 x_{1}-4 b x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=b \end{array}\right. $$ 有三个线性无关的解，求参数 $a, b$ 和该方程组的通解．

15．（20分）（可能有误）设矩阵 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶复矩阵，且 $A, B$ 无公共的特征值．如果 $A, B$ 可对角化，证明：对任意的 $m \times n$ 复矩阵 $C$ ，矩阵 $H=\left(\begin{array}{cc}2 A & C \\ O & 3 B\end{array}\right)$ 可对角化．

判断题 （1）$U$ 是酉矩阵，$\displaystyle U^{*}$ 是 $U$ 的共轭转置，则 $U$ 的所有特征值的模长为 1 （2）$\displaystyle A, B$ 为二阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 有相同的迹和行列式，则 $\displaystyle A, B$ 一定相似 （3）$\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle n \times k$ 阶复矩阵，$\displaystyle C=A B$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C) \leq \min \{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$ （4）$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，则存在 $\displaystyle A B-B A=I_{n}$ （5）$\displaystyle U_{1}, U_{2}, U_{3}$ 是 $V$ 的子空间 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(U_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{2} \cap U_{3}\right)+2 \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}\right)$证明题

2．设 $A$ 是 3 阶实方阵，且 $|E+A|=0,|E+2 A|=0,|E-3 A|=0, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $|E+6 A|=$ $\_\_\_\_$

4．设 $\alpha, \beta$ 为3维列向量，且 $\alpha \beta^{T}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ，则 $\beta^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

4．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,-1,2,1,0), \alpha_{2}=(2,-2,4,-2,0), \alpha_{3}=(3,0,6,-1,1), \alpha_{4}=(0,3,0,0,1)$ ． （1）（10 分）求该向量组的一个极大线性无关组，并将向量组中其他向量用该极大线性无关组线性表示． （2）（10 分）求一个以该极大线性无关组为基础解系的齐次线性方程组。

5．（15 分）设 $\displaystyle \mathbb{C}[x]_{n^{2}}$ 是复数域上所有次数小于 $\displaystyle n^{2}$ 的多项式以及零多项式构成的集合，对于通常的多项式加法和数乘，判断 $\displaystyle \mathbb{C}[x]_{n^{2}}$ 能否构成实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间并简要证明你的结论。如果 $\displaystyle \mathbb{C}[x]_{n^{2}}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，求出它的维数和一组基。

6．（15 分）设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵是 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 4 & -1 \end{array}\right) $$ 求 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵。

4．与矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 10 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & 1\end{array}\right)$ 乘法可交换的所有实矩阵在实数域上对于矩阵加法和数乘构成一个线性空间 $V$ ，则 $V$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．

1．已知齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} (a+b) x_{1}+a x_{2}+\cdots+a x_{n}=0 \\ a x_{1}+(a+b) x_{2}+\cdots+a x_{n}=0 \\ \quad \cdots \cdots \\ a x_{1}+a x_{2}+\cdots+(a+b) x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 其中 $a \neq 0, n \geq 2$ ．试讨论 $a$ 和 $b$ 满足什么条件时： （1）方程组仅有零解。 （2）方程组有非零解，并求出其通解．

2．设 $\mathbb{R}^{4}$ 中，向量组 $$ \alpha_{1}=(1,0,-1,0), \alpha_{2}=(0,0,1,-1), \alpha_{3}=(1,-1,0,0) $$ 生成的子空间为 $V_{1}$ ．向量组 $$ \beta_{1}=(1,2,-1,2), \beta_{2}=(0,1,-1,0), \beta_{2}=(0,2,1,-1) $$ 生成的子空间为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 和 $V_{1} \cap V_{2}$ 的一个基和维数．

3．已知 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\varphi$ 对于基 $\xi_{1}=(-1,0,2)^{\mathrm{T}}, \xi_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \xi_{3}=(3,-1,-6)^{\mathrm{T}}$ 的像为 $$ \varphi\left(\xi_{1}\right)=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{2}\right)=(0,-1,2)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{3}\right)=(-1,-1,3)^{\mathrm{T}} $$ （1）求 $\varphi$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ 下的矩阵。 （2）设 $x=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\varphi(x)$ ． （3）证明：$\xi_{1}-\xi_{3}, \xi_{2}, \xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的基，并求 $\varphi$ 在该基下的矩阵。

4．设 $V$ 是数域 $P$ 上的4维线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，$\sigma$ 在 $V$ 的基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵为 $A$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 4 & 2 & 5 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & -2 & 1 \\ -1 & 4 & -1 & 1 \end{array}\right) $$ （1）求包含 $\varepsilon_{1}$ 的最小的 $\sigma$－不变子空间 $W$ ． （2）记 $\sigma_{1}$ 为 $\sigma$ 在 $W$ 上的限制，求 $\sigma_{1}$ 在 $W$ 的基下的矩阵 $A_{1}$ 的 Jordan 标准形．

4．已知齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}-3 x_{2}+x_{3}-2 x_{4}-x_{5}=0 \\ -3 x_{1}+9 x_{2}-3 x_{3}+6 x_{4}+4 x_{5}=0 \\ 2 x_{1}-6 x_{2}+2 x_{3}-4 x_{4}-2 x_{5}=0 \end{array}\right. $$ 向量组 $$ \alpha_{1}=(4,1,1,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(8,2,4,3,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=(4,7,5,3,0)^{\mathrm{T}} . $$ （1）求该方程组的一个基础解系． （2）判断该方程组的解是否都可以由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出． （3）求该方程组的一个基础解系使得其尽可能多的含 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ．

6．设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，记 $\displaystyle C(A)=\left\{B \in \mathbb{C}^{n \times n} \mid A B=B A\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle C(A)$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 的子空间． （2）若 $A$ 为单位矩阵，求 $\displaystyle C(A)$ ． （3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基和维数． （4）若将（3）中 $\displaystyle C(A)$ 看作 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基和维数．

8．设 $V$ 为有限维欧氏空间，线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: V \rightarrow V$ 满足 $\displaystyle (\mathscr{A} \alpha, \beta)=(\alpha, \mathscr{A} \beta), \forall \alpha, \beta \in V$ ．证明： （1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基下的矩阵为对称矩阵。 （2）存在 $V$ 的一组基使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在该基下的矩阵是对角矩阵。 （3）$\displaystyle (\mathscr{A}(V))^{\perp}=\mathscr{A}^{-1}(0)$ ，且 $\displaystyle V=\mathscr{A}(V) \oplus \mathscr{A}^{-1}(0)$ 。

二、（本题 15 分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n, \eta_{0}$ 为非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个特解，且 $\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{n-r}$为齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 的一个基础解系．证明：$\displaystyle \eta_{0}, \eta_{0}+\eta_{1}, \eta_{0}+\eta_{2}, \cdots . \eta_{0}+\eta_{n-r}$ 是方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解．ff：线性方程组

六、（本题满分 20 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}4 & & & \\ 1 & 4 & & \\ & 1 & 4 & \\ & & 1 & 4\end{array}\right), W=\left\{B \mid A B=B A, B \in P^{4 \times 4}\right\}$ ，求证： （1）$W$ 为 $\displaystyle P^{4 \times 4}$ 的子空间； （2）求 $W$ 的维数与一组基．fl：线性空间与线性变换

4．（可能有误）矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{5 \times 5}$ ，其最小多项式为 $\displaystyle (\lambda-1)(\lambda-2)^{3}, A-I$ 不可逆，则复空间 $\displaystyle V=\{B \in \left.\mathbb{C}^{5 \times 5} \mid A B=B A\right\}$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

6．数域 $\displaystyle F \subseteq K$ ，那么数域 $K$ 中元关于通常元的加法与如下 $F$－数乘做成 $F$－空间： $$ c \alpha:=c \cdot \alpha, c \in F, \alpha \in K, c \cdot \alpha \text { 为通常意义下的乘法. } $$ 另有 $\displaystyle F \subseteq K \subseteq E$ ，如果将 $K$ 视作 $F$－空间的维数为 2 ，将 $E$ 视作 $K$－空间的维数为 3 ，那么将 $E$ 视作 $F$－空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

五．（15 分）设矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle T: A \mapsto A B-2 A^{T}, \forall A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ． （1）求线性变换 $T$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （2）在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中找一组基，使得变换在基下的矩阵为对角阵。

1．设 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}, \lambda$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的复特征值，此时 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的相应特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid \mathscr{A} \alpha=\lambda \alpha\} \neq 0$ ． （1）证明 $\displaystyle V_{\lambda}$ 是一个 $\displaystyle \mathscr{B}$－子空间； （2）将 $\displaystyle \mathscr{B}$ 限制到 $\displaystyle V_{\lambda}$ 得到的线性变换记为 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ ，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 可对角化，证明 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ 也可对角化。 （3）若 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 都可以对角化，证明：存在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 在该基下的矩阵都为对角阵。

2． 4 阶实矩阵 $A$ 的秩为 2 ，线性无关的向量 $\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{4}$ 满足 $\displaystyle A(\alpha+\beta)=4 \alpha+3 \beta, A(\alpha-\beta)=2 \alpha-3 \beta$ ，试确定线性空间 $\displaystyle S=\left\{B \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \mid A B=B A\right\}$ 的维数．

3．设 $V$ 是全体 4 阶实矩阵关于矩阵加法和数乘构成的实线性空间，记 $$ V_{1}=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}, V_{2}=\left\{\left(a_{i j}\right) \mid a_{i j}=0, \forall i>j\right\} $$ 则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．设 $V$ 是 $\displaystyle n(n>1)$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的单位向量． （1）$V$ 上的正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 称为关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 满足： （i）若 $\displaystyle (\alpha, \beta)=0$ ，则 $\displaystyle \mathscr{B} \beta=\beta$ ； （ii） $\displaystyle \mathscr{B} \alpha=-\alpha$ ． 证明：如果正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 是关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射，则 $\displaystyle \mathscr{B} \gamma=\gamma-2(\alpha, \gamma) \alpha, \forall \gamma \in V$ 。 （2）设 $\displaystyle \beta$ 也是 $V$ 中的单位向量，证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 使得 $\displaystyle \operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(\mathscr{A}-1_{V}\right)=n-1$ 且 $\displaystyle \mathscr{A} \alpha=\beta$ ，其中 $\displaystyle 1_{V}$ 表示 $V$ 上的恒等变换。

4．设矩阵 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right) P^{-1}$ ，且 $\displaystyle C(A)=\left\{X \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \mid A X=X A\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle C(A)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 的子空间； （2）求 $\displaystyle C(A)$ 的维数和基．

5．设 $A$ 为 4 阶实对称矩阵，三个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=4$ ，且 $\displaystyle |A|=-12$ ，其中 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 分别为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 特征子空间，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(\left(V_{1} \oplus V_{2} \oplus V_{3}\right)^{\perp}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．已知 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，且 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B} \in \operatorname{End}_{F}(V)$ ．证明： $$ \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{A} \mathscr{B}) \leq \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{A})+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{B}) $$ 并证明 $\displaystyle R(A B) \geq R(A)+R(B)-n, \forall A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ．

10．在 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 关于标准内积构成的线性空间中，$\displaystyle \alpha=(1,2,1,1), \beta=(-2,0,0,1), V=\operatorname{span}(\alpha, \beta)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 的子空间． （1）求 $V$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 中的正交补的一组基． （2）求 $\displaystyle \gamma=(3,4-2,2)$ 在 $V$ 中的正交投影，即求 $\displaystyle \delta \in V$ ，使得 $\displaystyle \|\delta-\gamma\|$ 最小．

11．设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}$ ．证明：存在 $V$ 的子空间 $W$ ，使得 $\displaystyle W=V_{1} \oplus W=V_{2} \oplus W$ ．

9．若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是复数域上 3 维线性空间 $V$ 的一组基，$V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足 $$ \mathscr{A} \alpha_{1}=3 \alpha_{1}-2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{2}=\alpha_{1}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{3}=-\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3} $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $A$ ，以及 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 。 （2）求 $V$ 的另一组基，使得该基下 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵恰为 $J$ 。

3、线性空间 $V$ 的维数为 30 ，线性空间 $\mathcal{A V}, \mathcal{B V}, \mathcal{C V}$ 的维数分别为 $24, \mathcal{A B C V}$ 的最小维数是 $\_\_\_\_$。

8、若 $\beta=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 7\end{array}\right)$ 可由 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 4 c\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}2 \\ c \\ 10\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$ 的两种不同系数的线性表出． （1）$c$ 的值． （2）$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 \\ c x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=5 \\ 3 x_{1}+5 x_{2}+(12-c) x_{3}=7\end{array}\right.$ 的通解．

11、12维线性空间 $V$ ，且 $A B=B A . \operatorname{dim} V_{A}=5, \operatorname{dim} V_{B}=4, \operatorname{dim} V_{A+B}=6$ ． （1）证明 $A B X=0$ 所生成的线性空间的维数最小值是 3 ． （2）$R(A B) \leq R(A)+R(B)-R(A+B)$ ．

14、设 $A, B$ 是正定实对称矩阵． （1）证明存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C A C=I, C^{T} B C$ 是对角元为正数的对角阵． （2）证明 $\sqrt[n]{\operatorname{det}(A+B)} \geq \sqrt[n]{\operatorname{det}(A)}+\sqrt[n]{\operatorname{det}(B)}$ ．

1．空间直角坐标系下，已知向量 $\vec{\alpha}=(1,0,-1), \vec{\beta}=(1,-2,0), \vec{\gamma}=(-1,2,-1)$ ，则 $(2 \alpha+\beta+\gamma) \times(\alpha+\beta+\gamma) \times(\alpha+\beta)=$ $\_\_\_\_$

十．（20 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+5 z^{2}-6 x y+2 x z-2 y z-4 x+8 y-12 z+14=0$ ，使用直角坐标变换将其化为标准方程并判断该曲面的类型。

二．（10 分）已知欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一个基为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ，其度量矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) . $$ 向量 $\displaystyle \beta=\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}$ ，求 $\displaystyle \beta$ 长度．

1．点 $P(2,-1,3)$ 关于直线 $L: \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+2}{-2}$ 的对称点的坐标为 $\_\_\_\_$ ．

三．（15 分）设 $M$ 是秩为 $r$ 的 $m$ 阶方阵，$V$ 是全体 $\displaystyle m \times n$ 矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $\displaystyle \varphi$ 为 $$ \varphi(N)=M N, N \in V $$ 证明：$\displaystyle \varphi$ 是线性变换，并求 $\displaystyle \varphi$ 的像空间的维数．

十．（20 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle 2 x^{2}+5 y^{2}+5 z^{2}+4 x y-4 x z-8 y z-9=0$ ，使用直角坐标变换将其化为标准方程，并判断该曲面的类型（要求写出所用的坐标变换及得到这一变换的详细过程）．

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的一个 $n$ 维线性空间，在 $V$ 上定义一个二元实值函数，记为 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ ，且满足：对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma \in V, k \in \mathbb{R}$ ，有 （i）$\displaystyle [k \alpha, \beta]=k[\alpha, \beta]$ ． （ii）$\displaystyle [\alpha+\beta, \gamma]=[\alpha, \gamma]+[\beta, \gamma]$ ． （iii）$\displaystyle [\alpha, \beta]=-[\beta, \alpha]$ ． （iv）如果 $\displaystyle [\alpha, \beta]=0$ 对任意的 $\displaystyle \beta \in V$ 成立，则有 $\displaystyle \alpha=0$ ． 此时我们称 $V$ 关于该二元函数构成一个实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $S$ 空间。证明：对于一个 $n$ 为 $S$ 空间 $V$ ，以下结论成立： （1）$\displaystyle n \neq 1$ ． （2）对于 $V$ 中的任意非零向量 $\displaystyle \alpha$ ，存在 $\displaystyle \beta \in V$ ，使得 $\displaystyle [\alpha, \beta]=1$ ． （3）设 $K$ 为 $V$ 中的由（2）中的 $\displaystyle \alpha, \beta$ 生成的子空间，记 $$ K^{\perp}=\{\gamma \in V \mid[\gamma, \delta]=0, \forall \delta \in K\} . $$ 证明：$\displaystyle K^{\perp}$ 也是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=K \oplus K^{\perp}$ ． （4）证明：$n$ 为偶数（记 $\displaystyle n=2 k$ ），且存在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{k}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-k}$ ，使得 $$ \left[\varepsilon_{i}, \varepsilon_{-i}\right]=1, \forall 1 \leq i \leq k ;\left[\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right]=0, \forall i, j \in\{ \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm k\} \text {, 并且 } i+j \neq 0 \text {. } $$

4．设 $A$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 级矩阵，$\displaystyle \beta$ 是 $n$ 维非零向量，假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一组基础解系，$\displaystyle \alpha$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的一个解。证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \alpha$ 是线性无关的．

8．设 $f$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，这里 $\displaystyle n \geq 2$ ，它在一组基下的矩阵 $A$ 为对角线元素为 1的若尔当块 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $f$ 的特征多项式，特征值及相应的特征子空间的维数．请回答 $A$ 可以对角化吗？说明理由． （2）证明：矩阵 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 相似．

9．设 $\displaystyle V, W$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的两个线性空间，其维数分别为 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n, \operatorname{dim} W=m, \sigma$ 是 $V$ 到 $W$ 的一个满射，且满足线性性，即 $$ \sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta), \sigma(k \alpha)=k \sigma(\alpha), \forall \alpha, \beta \in V, k \in \mathbb{P} . $$ 记 $\displaystyle U=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}$ ，证明：$U$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} U=n-m$ ．

1．设线性空间 $V=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right) \right\rvert\, a_{11}-a_{12}+a_{21}=0\right\}$ ，则 $V$ 的维数是 $\_\_\_\_$ ， 一组基为 $\_\_\_\_$ ．

4．$V=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right) \mid x_{i} \in P\right\}$ 是 $P$ 上的 $n$ 维向量空间，定义： $$ \sigma\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right)=\left(0, x_{1}, \cdots, x_{n-1}\right) $$

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

1．设 A 为 $m * n$ 矩阵， B 为 $n * m$ 矩阵，$r(A)=n$ ，求证：$r(A B)=r(B)$

3．设 A 和 B 均为实对称矩阵，且 A 和 B 有完全相同的特征值，求证： （a）存在正交矩阵 T ，使得 $B=T^{-1} A T$ （b）若 A 为正定矩阵，则 $|B+E|=|A+E|>1$

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

5、 $W=\left\{\left(x_{0} x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{1}+x_{0}+\cdots+x_{n}=0\right\}$ 的补空间 $W^{\perp}$ 的一组标准正交基。

3、（16 分）$\eta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 1\end{array}\right), \eta_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)$ ，己知 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 可以化成 3 维线性空间，求 $\alpha=\left(\begin{array}{c}18 \\ -18 \\ 18\end{array}\right)$ 在 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 下的坐标．

2、（15 分）$v_{1}=\left\{x \in R^{n} \mid(A+E) x=0\right\}, v_{2}=\left\{x \in R^{n} \mid(A-E) x=0\right\}$ ，证明： $$ A^{2}=E \Leftrightarrow R^{n}=V_{1} \oplus V_{2} . $$

1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组 $$ \beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m} $$ 线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．

2．设 $\left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}=(1,2,1,0) \\ \alpha_{2}=(-1,1,, 1,1)\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}\beta_{1}=(2,-1,0,1) \\ \beta_{2}=(1,-1,3,7)\end{array}\right.$ ，求向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间与向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}$生成的子空间的交的基与维数．

3．设 $\alpha_{1}=(1,1,1)^{T}, \alpha_{2}=(1,1,2)^{T}, \alpha_{3}=(1,2,3)^{T}$ ，试证：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的一组基，并用两种方法求向量 $\alpha=(6,9,14)^{T}$ 在该组基下的坐标．

5．求下列方程组的一个基础解系． $$ \left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}+5 x_{5}=0 \\ 6 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}+7 x_{5}=0 \\ 9 x_{1}+6 x_{2}+5 x_{3}+7 x_{4}+9 x_{5}=0 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{4}+8 x_{5}=0 \end{array}\right. $$

6．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵且 $A+B=A B$ ，求 $A-E$ 的逆矩阵，并证明 $A B=B A$ ．

9．设欧几里得空间 $V=\mathbb{R}^{4}$ 中的三个向量为 $\alpha_{1}=(1,-1,-1,1), \alpha_{2}=(1,0,-1,1), \alpha_{3}=(0,1,-1,1)$ ，子空间 $W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，求向量 $\beta=(2,1,4,2)$ 在 $W$ 上的正交投影．

1．（15 分）考虑齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a x_{1}+b x_{2}+b x_{3}+\cdots+b x_{n}=0 \\ b x_{1}+a x_{2}+b x_{3}+\cdots+b x_{n}=0 \\ \cdots \cdots \\ b x_{1}+b x_{2}+b x_{3}+\cdots+a x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 其中 $a \neq 0, b \neq 0, n \geq 2$ 。试讨论 $a, b$ 取何值时，方程组仅有零解？有无穷多解？并在有无穷多解时，用基础解系给出其通解。

3．（10 分）试证若 $y=\varphi(x)$ 是方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=p(x) \sin y$ 的满足初试条件 $\varphi(0)=0$ 的解，则 $\varphi(x) \equiv 0$ ，其中 $p(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续．

5．（10 分）是否存在 $\mathbb{R}$ 上连续函数 $p, q$ ，使得微分方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0, x \in \mathbb{R}$ 有两个解 $\phi(x)=\sin x, \psi(x)=x e^{x}, x \in \mathbb{R} ?$

5、（20 分）对于方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{~d} t}=A(t) X$ ，其中 $\displaystyle A(t)$ 的每个元素 $\displaystyle a_{i j}(t)$ 都是以 $T$ 为周期的周期函数，且 $\displaystyle X(t)$ 为方程的基解矩阵。证明：$\displaystyle X(t+T)$ 也是方程组的解，且存在可逆矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle X(t+T)=B X(t)$ ．

6、（20 分）设 $W$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的非零子空间，$\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma(W)$ 与 $\displaystyle \sigma^{-1}(W)$ 分别表示 $W$ 中全体的像与原像构成的子空间，证明： （1） $\displaystyle \operatorname{dim}(\sigma(W))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma \cap W)=\operatorname{dim}(W)$ ． （2）若 $\displaystyle W \subseteq \operatorname{Im} \sigma$ ，则 $$ \operatorname{dim}(W) \leq \operatorname{dim}\left(\sigma^{-1}(W)\right) \leq \operatorname{dim}(W)+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma) . $$ ## 2025 年山东大学常微分方程考研真题

6．设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中一组基，满足：$\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{3}, \cdots, \sigma\left(\alpha_{n-1}\right)= \alpha_{n}, \sigma\left(\alpha_{n}\right)=0$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的表示矩阵 （2）证明：$\displaystyle \sigma^{n}=O, \sigma^{n-1} \neq O$ 常微分方程部分

2、 $f(\lambda)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，若 $f(2+\sqrt{3})=0$ ，则 $f(5)=$ $\_\_\_\_$。

3、线性空间 $V$ 的维数为 30 ，线性空间 $\mathcal{A V}, \mathcal{B V}, \mathcal{C V}$ 的维数分别为 $24, \mathcal{A B C V}$ 的最小维数是 $\_\_\_\_$。

8、若 $\beta=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 7\end{array}\right)$ 可由 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 4 c\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}2 \\ c \\ 10\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$ 的两种不同系数的线性表出． （1）$c$ 的值． （2）$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 \\ c x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=5 \\ 3 x_{1}+5 x_{2}+(12-c) x_{3}=7\end{array}\right.$ 的通解．

11、12维线性空间 $V$ ，且 $A B=B A . \operatorname{dim} V_{A}=5, \operatorname{dim} V_{B}=4, \operatorname{dim} V_{A+B}=6$ ． （1）证明 $A B X=0$ 所生成的线性空间的维数最小值是 3 ． （2）$R(A B) \leq R(A)+R(B)-R(A+B)$ ．

3．证明：$V=U \oplus W$ ．

六、已知 $V$ 是数域 $P$ 上由对称矩阵的加法和数乘构成的线性空间，且 $\displaystyle U=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}, W=\{\lambda E \mid \lambda \in P\}$ 1．证明 $\displaystyle U, W$ 为 $V$ 上的子空间． 2．求 $U$ 和 $W$ 的基和维数． 3．证明：$\displaystyle V=U \oplus W$ ．

6．假设 $\displaystyle A_{m \times n}$ 为行满秩实矩阵，$\displaystyle m<n$ ，令 $\displaystyle B=A^{T} A$ 。 （1）证明：使得 $\displaystyle x^{T} B x=0$ 的所有 $x$ 构成 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的一个线性子空间 $W$ ； （2）求 $W$ 的维数

7．已知 $\displaystyle R^{n \times n}$ 是全体 $n$ 阶矩阵组成的线性空间，$\displaystyle f_{A}$ 是 $\displaystyle R^{n \times n}$ 上的线性变换，定义为 $\displaystyle f_{A}=A X+X A$ ， $\displaystyle X \in R^{n \times n}$ ，其中 $A$ 为实对称矩阵 （1）求 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 的维数和一组基 （2）证明：$\displaystyle f_{A}$ 为 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 上的线性变换 （3）问：取什么基时 $\displaystyle f_{A}$ 的矩阵可以化为对角形？请求出这组基和对角形形式

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A=3$ ，则行列式 $\operatorname{det}\left(A^{*}-A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

1．填空题 （1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足 $$ \sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} . $$ 则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式． （8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

3．设 $V_{1}, V_{2}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间， $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=\operatorname{dim} V_{1}+1$ ，则 $\operatorname{dim} V_{2}-\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

4．$n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\varphi, w$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩陈分别为 $A, B$ ，X知 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$到 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 的过渡矩阵为 $P$ ，则 $\varphi \psi+2 \varphi^{3}-\mathrm{id}_{V}$ 在 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

5. $\varphi$ 是线性空间 $V$ 到 $W$ 的线性映射，$e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 是 $V$ 的一个基，$\eta_{1}, \eta_{2}$ 是 $W$ 的一个基，$\varphi$ 在两个基下的矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\operatorname{ker} \varphi=?\left(L\left(e_{1}+e_{2}-e_{3}\right)\right)$

2．设 $A$ 是反对称矩阵（ $A^{\mathrm{T}}=-A$ ），求证：对任一 $n$ 维列向量 $x, x^{\mathrm{T}} A x=0$ ．

八．用 $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 到 $\displaystyle \mathbb{R}$ 的映射 $f$  $$ f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\mid $$ 其中 $\displaystyle r \geq s \geq 0$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的一个 $\displaystyle n-r$ 维子空间 $W$ ，使得 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W$ ． （2）若 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的两个 $\displaystyle n-r$ 维子空间，  $$ f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2}, $$ 则一定有 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$ ．

四．1．设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，秩为 $r$ ，试证：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{rank} B=r$ ．［张祖锦注：题目回忆有误，反例见参考解答！我们给出并证明了正确表述方式！］

6．设多项式 $f(x)=x^{5}+x^{4}-x^{3}+2 x^{2}-x-2$ ，则它在有理数域上的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

7．设数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，令 $\displaystyle \beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ ，已知 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle \beta$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}=\left\{k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in P, i=1,2, \cdots, n\right\}$ ． （1）求 $\displaystyle V_{2}$ 的一组基和维数． （2）证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

8．给定 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}(X)=X B-B X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，另外取子空间 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0\right\}$ ． （1）求 $W$ 的一组基． （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间． （3）记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $W$ 上的限制 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 的特征值和特征向量． （4）求 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。

5、已知矩阵的迹为 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ ，其中 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ． （1）证明 $\displaystyle \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B), \operatorname{tr}(k A)=\operatorname{tr}(A), \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}$ ． （2）空间 $\displaystyle U=\left\{B \in P^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(B)=0\right\}$ ，试确定 $U$ 的维数，并求 $U$ 的一组基．

8、设 $V$ 是 $C$ 上的 2 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是 $V$ 的一组基，线性变换中将 $C$ 降维到 $R$ ， $V$ 可视为 $R$ 上的线性空间记为 $\displaystyle V_{R}$ ，记 $\displaystyle \mathscr{N}_{R}$ 为 $\displaystyle \propto \mid V_{R}$ 上的线性变换． （1）设 $\displaystyle \alpha_{3}=i \alpha_{1}, \partial_{4}=i \alpha_{2}, i^{2}=-1$ ，试证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $R$ 的一组基． （2）若设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]$ ，且 $\displaystyle a_{i j}=O_{i j}+i V_{i j},(i, j=1,2)$ ，试求 $\displaystyle \mathscr{A}_{R}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵。

八．（12 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{O}$ ．证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & O \\ E_{r} & O\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathscr{A}(V)$ ．

六．（14 分）设 $A$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 2 阶方阵，记 $\displaystyle W_{A}=\left\{Y \in \mathbb{C}^{2 \times 2} \mid A Y=Y A\right\}$ 。 （1）证明：$\displaystyle W_{A}$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 的子空间． （2）讨论 $\displaystyle W_{A}$ 的维数所有可能的值．

4．（20 分）设 $V$ 是数域（ $\displaystyle \mathbb{K}$ ）上的 4 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $V$ 的一组基。若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，且在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵为准对角阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，试求所有 $\displaystyle \mathscr{A}$－不变子空间。

6．（20 分）设 $V$ 是实数域上的 $n$ 维欧式空间，$\displaystyle e_{1}, \cdots, e_{n}$ 是一组基，满足内积 $\displaystyle \left(e_{i}, e_{j}\right) \leqslant 0(i \neq j)$ 。 （1）．证明：存在一个非零向量 $\displaystyle v \in V$ ，满足 $\displaystyle \left(e_{i}, v\right) \geqslant 0, \forall i$ ． （2）．假设 $\displaystyle v=a_{1} e_{1}+\cdots+a_{n} e_{n} \in V$ 是任何满足（1）的向量，证明：$\displaystyle a_{i} \geqslant 0, i=1,2, \cdots, n$ ． （3）．设 $\displaystyle u=b_{1} e_{1}+\cdots+b_{n} e_{n} \in V$ 是另一个满足（1）的向量，并定义 $\displaystyle w=c_{1} e_{1}+\cdots+c_{n} e_{n} \in V$ ，其中 $$ c_{i}=\min \left\{a_{i}, b_{i}\right\}, i=1,2, \cdots, n, $$ 证明：向量 $w$ 也满足（1）。

8．（15 分）设 $\displaystyle f: U \rightarrow V, g: V \rightarrow W$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上有限维的线性映射，证明： $$ \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} f)+\operatorname{dim}(\operatorname{Im} f \cap \operatorname{Ker} g)=\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(g f)) $$

5．（20分）（1）利用初等变换将下列矩阵化成简化的行阶梯形矩阵。 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ -1 & -2 & 0 & 0 & 1 & -2 & -3 \\ 1 & 2 & -3 & 0 & 5 & 1 & 6 \end{array}\right) $$ （2）设 $V$ 数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定他的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ 。对于 $V$ 中的一个非零向量 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha i$ ，若 $i$ 是最小正整数使得 $\displaystyle \lambda_{i}$ 不为 0 ，则称 $\displaystyle e_{i}$ 为它的 $\displaystyle \operatorname{tip}$ ，记为 $\displaystyle e_{i}=\operatorname{tip}(\alpha)$ ，对于 $V$ 的一个子空间 $W$ ，定义 $$ \begin{aligned} \operatorname{Tip}(W) & =\{\operatorname{tip}(\alpha): \alpha \in W, \alpha \neq 0\} \\ \operatorname{NonTip}(W) & =\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}-\operatorname{Tip}(W) . \end{aligned} $$ 现设 $\displaystyle v=\mathbb{K}^{7}$ 是7维行向量组成的空间，取它的标准基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{7}$ 。令 $W$ 为（1）中矩阵的行向量张成的子空间。求 $\displaystyle \operatorname{Tip}(W)$ 和 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 。 （3）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定它的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ ，设 $W$ 是 $V$ 的一个子空间．证： $$ V=W \oplus \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W)), $$ 这里 $\displaystyle \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W))$ 是 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 张成的子空间。

7．（25分）设 $\displaystyle \mathbb{K}$ 是一个数域，$\displaystyle m, n$ 为自然数，$\displaystyle M_{m, n}(\mathbb{K}), M_{m}(\mathbb{K})$ 分别是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上 $\displaystyle m \times n$ 阶与 $m$ 阶矩阵生成的空间，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵。定义 $$ f: M_{m}(\mathbb{K}) \longrightarrow M_{m, n}(\mathbb{K}), \quad f(X)=X A $$ （1）．证明：$f$ 是一个线性映射； （2）．设 $\displaystyle m=n=2, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ，分别求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的一组基与 $f$ 的像 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 的一组基； （3）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的秩； （4）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的维数．

9．（20 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 个两两不同的数，$V$ 是 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，且它在基 $\displaystyle \xi_{1}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ ． （1）．设 $W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，$\displaystyle x_{1} \xi_{1}+\cdots+x_{n} \xi_{n} \in W$ ，其中 $\displaystyle x_{1}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{K}$ ，证明：若某个 $\displaystyle x_{i}$ 不为 0 ，则 $\displaystyle \xi_{i} \in W$ ． （2）．求 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间个数．

6．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，令 $\displaystyle L(A, B)=\left\{X \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid A X B=0\right\}$ 。 （1）．验证 $\displaystyle L(A, B)$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的线性子空间． （2）．设 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r, \operatorname{rank}(B)=s$ ．求 $\displaystyle \operatorname{dim} L(A, B)$ 。（用 $\displaystyle n, r, s$ 表示）。

2．（15 分）设 $\displaystyle 2 n$ 阶方阵 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{cc}0 & E_{n} \\ -E_{n} & 0\end{array}\right)$ ，给出复线性空间 $$ S P_{n}=\left\{X \in \mathbb{M}_{2 n \times 2 n}(\mathbb{C}) \mid S X=-X^{T} S\right\} $$ 的一组基，并计算其维数。

6．（20 分）令 $\displaystyle f(x, y)=a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 b_{1} x+2 b_{2} y+c$ ， $$ A_{f}=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right), \quad B_{f}=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{12} & a_{22} & b_{2} \\ b_{1} & b_{2} & c \end{array}\right) . $$ 证明：函数 $f$ 在坐标变换 $\displaystyle \binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=Q\binom{x}{y}+\binom{d_{1}}{d_{2}}$ 下对应的 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(B_{f}\right)$ 保持不变，其中 $Q$ 是二阶正交矩阵。

8．（15 分）设 $\displaystyle U, V, W$ 是 6 维线性空间的 3 个 3 维子空间，设 $\displaystyle U \cap V=0$ ，求 $\displaystyle \operatorname{dim}((U+V) \cap(V+W))$的最大值和最小值．

1．考虑由所有二阶复系数方阵构成的集合 $$ M_{2}(\mathbb{C})=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{C}\right\} . $$ 已知 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 是以 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为基的复线性空间，这里 $\displaystyle E_{i j}$ 是指除第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 外其余元素均为 0 的二阶方阵。设 $$ B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22} $$ （1）证明：如下映射为线性映射． $$ \begin{aligned} \varphi_{B}: M_{2}(\mathbb{C}) & \rightarrow M_{2}(\mathbb{C}) \\ X & \mapsto \varphi_{B}(X)=B X \end{aligned} $$ （2）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 在上述基下的表示矩阵； （3）分别求核空间 $\displaystyle \operatorname{Ker} \varphi_{B}$ 和像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi_{B}$ 的维数与基； （4）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 的若尔当典范形．

3．考虑欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 中的向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,3,1,-1), \alpha_{2}=(2,3,2,1), \beta_{1}=(3,-1,-3,-5), \beta_{2}= (2,-1,0,1)$ ，设 $\displaystyle W_{1}$ 是由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空问，$\displaystyle W_{2}$ 是由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间，则 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$

5．齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，这里 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 3 & 1 & 5 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 & 4 \end{array}\right) $$

2、实系数多项式 $f(x)=x^{5}+3 x^{4}+5 x^{3}+5 x^{2}+3 x+1$ 与其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的最大公因式为 $\_\_\_\_$。

13、设 $N \in M_{n}(\mathbb{C})$ 为 $n$ 阶方阵，满足：$N^{n}=O$ ，但 $N^{n-1} \neq 0,(n \geq 2)$ ．证明：不存在 $n$ 阶复方阵 $A$ ，使得 $A^{2}=N$ ．

2．设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & 2 & -3 \\ 5 & 4 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 3 & 2 \end{array}\right) $$ 其特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}+\lambda_{4}^{2}=$ $\_\_\_\_$。

4．一个关于未知数 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)^{\mathrm{T}}$ 的齐次线性方程组的解空间是由 $(5,0,2,2,1)^{\mathrm{T}}$ 和 $(-1,7,1,-6,-3)^{\mathrm{T}}$张成的线性子空间，那么在 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 中，主变元是 $\_\_\_\_$ ．

6．$\left|\begin{array}{cccccccc}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 9 & 16 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 8 & 27 & 64 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 18 & 32 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 16 & 54 & 128 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

11．考虑关于 $(x, y, z)$ 的线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x+2 y+3 z=0 \\ 2 x+3 y+a z=3 \\ 3 x+4 y+5 z=b \end{array}\right. $$ 其中 $(a, b)$ 为参数。试讨论 $(a, b)$ 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解？并在有解（唯一解或无穷多解）时，求出它的所有解．

13．设 $A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，且 $A$ 可逆．已知存在正整数 $t$ ，使得对 $k \in\{t+1, t+2, \cdots, t+n\}, B$ 与 $A^{k}$均可交换．证明：$B$ 与 $A$ 可交换．

8．$M$ 为 $P$ 上的 $\displaystyle V_{M}=\left\{X \in P^{n \times n} \mid M X=O\right\}$ 。 （1）$\displaystyle M=\left(\begin{array}{ll}1 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right)$ ，讨论 $\displaystyle V_{M}$ 的基； （2）设 $M$ 的秩为 $r$ ，讨论 $\displaystyle V_{M}$ 的维数。

9．定义 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle f(X)=A X B, X \in P^{2 \times 2}$ ，其中，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right)$ ， $$ B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) $$ （1）求 $f$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。 （2）判断是否存在一组基，使 $f$ 在该基下的矩阵为对角阵。

2．已知 $\displaystyle V=\mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，定义 $V$ 上的变换 $T$ 满足 $\displaystyle T(A)=A+A^{\prime}, A \in V$ ． （1）证明 $T$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）写出 $T$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （3）求 $T$ 的特征值并写出特征子空间的一组基； （4）$T$ 是否可以对角化？ （5）计算 $T$ 中心化子空间的维数，即所有满足 $\displaystyle T X=X T$ 的线性变换 $X$ 所生成的线性空间的维数．

8．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 分别为对应的特征向量，若 $W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s} \in W$ ，证明 $\displaystyle \operatorname{dim} W \geq s$ ．

5．设 $V$ 是数域 $P$ 上所有二阶矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $f$ 为 $\displaystyle f(X)=X^{*}, X \in V$ ，其中 $\displaystyle X^{*}$为 $X$ 的伴随矩阵。 （1）证吅 $f$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $f$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵，并求 $V$ 的一组基，使得 $f$ 在该基下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle \Lambda$ ，并求出对角阵。

9．设 $f$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等变换，$\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid f(\alpha)=0\}, V_{2}=\{f(\beta) \mid \beta \in V\}$ ，且 $f$ 在某组基下的矩阵为 $A$ ．证明： （1）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$ ； （2）$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和； （3）$\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．

1．（20分）设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的全体 4 维列向量构成的向量空间． $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ a \end{array}\right) . $$ 若 $V$ 的子空间 $\displaystyle V_{1}=\left\{k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+k_{3} \alpha_{3} \mid k_{1}, k_{2}, k_{3} \in P\right\}, V_{2}=\left\{l_{1} \beta_{1}+l_{2} \beta_{2} \mid l_{1}, l_{2} \in\right.$ （1）参数 $a$ 满足什么条件时，$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和？ （2）若 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 不是直和，分别求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 与 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基．

7．（15分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为欧氏空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 为 $V$ 中的一个正交向量组，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{n}$ 为 $V$ 中的另一个正交向量组，已知对于任意的 $\displaystyle i= 1,2, \cdots, n, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{i}$ 能由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{i}$ 线性表出，也能由 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{i}$ 线性表出．证明：存在数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ ，使得 $$ \beta_{1}=k_{1} \gamma_{1}, \beta_{2}=k_{2} \gamma_{2}, \cdots, \beta_{n}=k_{n} \gamma_{n} $$

9．（10 分）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间，其中 $n$ 为正整数，$I$ 为 $V$ 上的恒等变换，即 $\displaystyle I(\alpha)=\alpha, \alpha \in V$ ，且 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为 $V$ 上的线性变换，若 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle I-\mathscr{A} \mathscr{B}$ 的值域， $\displaystyle V_{2}$ 为 $\displaystyle I-\mathscr{B} \mathscr{A}$ 的值域，证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}$ 。

九．（20 分）在数域 $P$ 上的线性空间 $\displaystyle P[x]_{3}=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2} \in P\right\}$ 上定义 $$ f_{t}: P[x]_{3} \rightarrow P, p(x) \mapsto p(t) $$ 其中 $\displaystyle t=0,-1,1$ ． （1）证明：$\displaystyle f_{0}, f_{-1}, f_{1}$ 是对偶空间 $\displaystyle L\left(P[x]_{3}, P\right)$ 的一组基； （2）求 $\displaystyle P[x]_{3}$ 的一组基 $\displaystyle p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x)$ ，使得 $\displaystyle f_{0}, f_{-1}, f_{1}$ 是它的对偶基．

六．（12 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明：$\displaystyle \{g(A) \mid g(x) \in P[x]\}$ 是 $\displaystyle P^{n \times n}$ 的维数不超过 $n$ 的线性子空间。

7．在几何空间中，设 $O-x y z$ 为一直角坐标系， $\mathscr{A}$ 表示将空间绕 $O x$ 轴，由 $O y$ 轴向 $O z$ 轴旋转 $90^{\circ}$的线性变换，则 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

8．设一数域 $P$ ，设线性空间 $P^{2}$ 中的基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 的对偶基为 $f_{1}, f_{2}$ ，则 $P^{2}$ 中的基 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{1}-\alpha_{2}$ 的对偶基为 $\_\_\_\_$ （用 $f_{1}, f_{2}$ 表示）．

七．（15 分）设 $\displaystyle V=P[x]_{n}$ 为次数小于 $n$ 多项式与零多项式生成的线性空间，在 $V$ 上定义一个二元函数 $$ \varphi(f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x, f(x), g(x) \in V $$ （1）（6 分）若 $\displaystyle n=4$ ，求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle 1, x, x^{2}, x^{3}$ 下的度量矩阵。 （2）（ 9 分）证明：$\displaystyle \varphi$ 为非退化的．

五．求 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,-1,0), \alpha_{2}=(0,1,0), \alpha_{3}=(1,0,-1)$ 的对偶基 $\displaystyle f_{1}, f_{2}, f_{3}$ ．

5．未知．

六．设 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$ ．记 $\displaystyle X=\{A \mid A J=J A\}$ ． （1）证明 $X$ 为线性空间． （2）证明 $\displaystyle E, J, J^{2}$ 为 $X$ 的一组基，并求其对偶基．

4．方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+\lambda x_{2}+\mu x_{3}+x_{4}=0 \\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0 \\ 3 x_{1}+(2+\lambda) x_{2}+(4+\mu) x_{3}+4 x_{4}=1\end{array}\right.$ 有一个解 $\displaystyle (1,-1,1,-1)^{T}$ （1）求该方程组全部解，并用基础解系表示；（7 分） （2）满足 $\displaystyle x_{2}=x_{3}$ 的全部解．（8 分）

6．设 $W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle W_{0}=W \cap \mathcal{A}^{-1}(0)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{dim} W=\operatorname{dim} \mathcal{A} W+\operatorname{dim} W_{0}$ ．

8．在 $\displaystyle P^{3}$ 中定义线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)$ 。 （1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵； （2）设 $\displaystyle \alpha=(1,0,-2)$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}(\alpha)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,0,1), \alpha_{2}=(0,-1,1), \alpha_{3}=(-1,0,2)$ 下的坐标． （3） $\displaystyle \mathcal{A}$ 是否可逆，若可逆，求其逆 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$

10．（15 分）已知线性变换 $\displaystyle \sigma, M_{n}(\mathbb{F})$ 表示次数不大于 $n$ 的多项式。 $\displaystyle \forall f(x) \in M_{n}(\mathbb{F}), \sigma(f(x))=f(x+1)-f(x)$ ． （1）已知基 $\displaystyle \alpha_{0}=1, \alpha_{i}=\frac{x(x-1) \cdots(x-i+1)}{i!}, i=1,2, \ldots, n$ ．求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的坐标． （2）当 $\displaystyle n=3$ 时，求 $\displaystyle \sigma\left(x^{3}+2 x^{2}+3 x-1\right)$ 在 $\displaystyle \alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标．

7．（15 分）设四元齐次线性方程组（I） $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+3 x_{2}-x_{3}=0 \\ x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}=0 \end{array}\right. $$ 线性方程组（II）的一个基础解系为 $\displaystyle \xi_{1}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ a-2 \\ -1\end{array}\right), \xi_{2}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 2 \\ 4 \\ a-8\end{array}\right)$ ． （1）求方程组（I）的基础解系（7 分） （2）当 $a$ 为何值时，方程组（I）和方程组（II）有非零公共解，求出全部公共解．（8分）

5．所有与 $n$ 阶方阵 $A$ 可交换的矩阵集合 $C(A)$ 是 $P^{n \times n}$ 的一个子空间，当对角矩阵 $$ A=\operatorname{diag}\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\} $$ 中对角元素 $a_{i}(1 \leq i \leq n)$ 互不相同时，$C(A)$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．

3．若 $x^{2}-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，求 $r(A+E)+r(A-E)$ ，其中 $E$ 是单位矩阵， $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩．（15 分）

三．设 $\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1, \alpha)^{T}, \alpha_{2}=(-2, \alpha, 4)^{T}, \alpha_{3}=(-2, \alpha,-2)^{T}$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1, \alpha)^{T}, \beta_{2}=(1, \alpha, 1)^{T}, \beta_{3}=(\alpha, 1,1)^{T}$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间． （1）若 $\displaystyle V_{2}$ 的维数为 1 ，求 $\displaystyle \alpha$ 的值； （2）若 $\displaystyle V_{1}=V_{2}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围； （3）求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 维数的取值范围．

四．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ ，且 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(0,-1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(1,1+a, 0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1, a-1,1)^{T} . $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=(1,0,0)^{T}, \eta_{2}=(0,1,0)^{T}, \eta_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ ； （2）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值； （3）当 $\displaystyle a=2$ 时，求一多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(A)=A^{-1}$ ．

2．设 $\displaystyle V_{1}$ 是由 $$ \alpha_{1}=(1,1, a)^{T}, \alpha_{2}=(-2, a, 4)^{T}, \alpha_{3}=(-2, a,-2)^{T} $$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由 $$ \beta_{1}=(1,1, a)^{T}, \beta_{2}=(1, a, 1)^{T}, \beta_{3}=(a, 1,1)^{T} $$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间． （1）若 $\displaystyle V_{1} \neq V_{2}$ ，求 $a$ 的范围． （2）当 $\displaystyle a=2$ 时，求 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)$ ．

3．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$下的矩阵为 $A$ ，且 $\displaystyle \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(1,0,0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(0,1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1,1+a, a)^{T}$ ． （1）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值． （2）当 $\displaystyle a=2$ 时，求 $\displaystyle A^{2023}$ ．

8．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，多项式 $\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ， $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \mid \alpha \in V, \sigma(\alpha)=0\}$ ．证明： （1） $\displaystyle \operatorname{Ker} h(\sigma)=\operatorname{Ker} f(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} g(\sigma)$ ． （2） $\displaystyle \operatorname{dimKer} \sigma+\operatorname{dimKer} \sigma^{3} \leq 2 \operatorname{dimKer} \sigma^{2}$ ．

2．$\displaystyle V_{1} \neq V_{2}$ 时 $\displaystyle a, b$ 的取值 $\displaystyle (a=2, b \in \mathbb{R}$ 或 $\displaystyle b=1, a \in \mathbb{R}), \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=3$ ．

4．设矩阵 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right), A=3 E+2 J+2 J^{2}$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式． （2）求与 $A$ 可交换的矩阵空间的基与维数．

二、（15 分）设 $b$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个解，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}$ 是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}, b$ 线性无关；（2）$\displaystyle a_{1}+b, a_{2}+b, \mathrm{~L}, a_{n-r}+b, b$ 线性无关。

六、（15 分）设有向量组 $\displaystyle a_{1}=(1,0,2,1), a_{2}=(2,0,1,-1), a_{3}=(3,0,3,0), b_{1}=(1,1,0,1), b_{2}=(4,1,3,1)$ ，令 $\displaystyle V_{1}=L\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), V_{2}=L\left(b_{1}, b_{2}\right)$ 。求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 的维数，并求一组基。

七（20分）、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是四维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $f$ 在这组基下的矩阵为 $$ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & -2 \end{array}\right) $$ 求 （1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵 （2）求线性变换 f 的核和值域

六（15 分）、求由向量 $\displaystyle \alpha_{\mathrm{i}}$ 生成的子空间与由向量 $\displaystyle \beta_{\mathrm{i}}$ 生成的子空间的交的基和维数，设 $$ \left\{\begin{array}{l} \alpha_{1}=(1,2,1,0) \\ \alpha_{2}=(-1,1,1,1) \end{array},\left\{\begin{array}{l} \beta_{1}=(2,-1,0,1) \\ \beta_{2}=(1,-1,3,7) \end{array}\right.\right. $$

三、 元素属于实数域 R 的 2 阶方阵按矩阵的加法与数量乘法构成 R 上的一个线性空间 $\displaystyle M_{2}(R)$ ，令 $\displaystyle H=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right)$ ，定义变换 $\displaystyle \delta(A)=A H-H A, A \in M_{2}(R)$ 为其上的线性变换，求 $\displaystyle \delta$ 的核的维数和一组基。（20分）

3．（15 分）已知 $\displaystyle \eta_{1}=(-1,0,2), \eta_{2}=(0,1,1), \eta_{3}=(3,-1,0)$ 。 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle P^{3}$ 中的线性变换，且 $\displaystyle \mathbf{A} \eta_{1}=(-5,0,3), \mathbf{A} \eta_{2}=(0,-1,6), \mathbf{A} \eta_{3}=(-5,-1,9)$ 。求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0)$ ， $\displaystyle \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵。

9．（15分）设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是四维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $f$ 在这组基下的矩 阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ， 求：（1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵 （2）求线性变换 f 的核和值域。

八、（20 分）设 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式相同，求证 $\displaystyle \exists \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha, \mathbf{A} \alpha, \mathbf{A}^{2} \alpha, \cdots, \mathbf{A}^{n-1} \alpha$ 是 $V$ 的一个基．

四、（20分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换 $$ \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) \text {, 其中 } B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ 与线性子空间 $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathbf{K}\right\} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。

七、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 分别为数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n$ 与 $\displaystyle n \times s$ 矩阵，又设 $$ W=\left\{B \alpha \mid A B \alpha=0, \alpha \in P^{s \times 1}\right\} \subset P^{n \times 1} $$ 证明： $$ \operatorname{dim}(W)=\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B) $$

五、（20分）已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，设 $$ \alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\} $$ （1）求 $W$ 的一组标准正交基； （2）求 $\displaystyle W^{-}$的一组标准正交基； （3）若 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在 $W$ 中的内射影（即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ），并求 $\displaystyle \alpha$到 $W$ 的距离 $\displaystyle \operatorname{dist}(\alpha, W)$ ．

五、（25 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ （1）求 $A$ 的特征多项式，并确定其是否有重根； （2）求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}$ 为对角阵； （3）设 $V$ 为所有与 $A$ 可交换的实矩阵的全体，求证：$V$ 是实数域上的向量空间，并求 $V$ 的维数．

八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{t}$ 为 $\displaystyle R^{n}$ 中 $t$ 个线性无关的向量，证明：存在含 $n$ 个未知量的齐次线性方程组，使 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ 是它的基础解系．

三、（本题20分）已知3维线性空间 $V$ 有两组基： （I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$ （II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$ （1）求（I）到（II）的过渡矩阵； （2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标； （3）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为： $\displaystyle \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（I）、（II）的矩阵。

五、（本题 20 分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换 $$ \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) $$ 其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，线性子空间 $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。

六、（20 分）证明：$\displaystyle \left\{x^{3}, x^{3}+x, x^{2}+1, x+1\right\}$ 是 $\displaystyle F_{3}[x]$（数域 $F$ 上一切次数 $\displaystyle \leq 3$ 的多项式及零）的一个基．求多项式 $\displaystyle x^{2}+2 x+3$ 关于这个基 $\displaystyle \left\{x^{3}, x^{3}+x, x^{2}+1, x+1\right\}$ 的坐标．

七、（15 分）在 $\displaystyle P^{4}$ 中，设 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1,3,1), \alpha_{2}=(1,2,0,1), \alpha_{3}=(-1,1,-3,0), \alpha_{4}=(1,1,1,1)$ ，（1）求向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的一个极大线性无关组；（2）求由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 生成的子空间的基与维数。八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,1,0), \alpha_{2}=(-1,1,1,1), \beta_{1}=(2,-1,0,1), \beta_{2}=(1,-1,3,7)$ ，求由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间与由向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间的交的基与维数。

九、（15 分）已知线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在一组基下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4\end{array}\right)$ ，求复数域上线性空间 $V$ 的线 性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值与特征向量。

七、（15 分） 已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换及线性子空间 $W$ 如下： $$ \begin{gathered} \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}), \quad \text { 其中 } B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \\ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\}, \end{gathered} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间。

五、（20分） 已知3维线性空间 $V$ 有两组基： （I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\}$ ； （II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{3}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{1}\right\}$ （1）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,1,-1)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标； （2）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}: \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（II）的矩阵 $P$ 。

八、（20分） 已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，设 $$ \alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\} $$ （1）证明 $\displaystyle \left\{\frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{2}, \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2 \sqrt{2}}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{\frac{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}}{\sqrt{2}}\right\}$ 分别是 $W$ 和 $\displaystyle W^{\perp}$ 的标准正交基； （2）求 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ 在 $W$ 中的内射影 $\displaystyle \beta$ ，即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ．

四、（15分） 已知 3 维线性空间 $V$ 有两组基： （I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$ （II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$ （1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵； （2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标。

五、（15 分） 已知 3 维线性空间 $V$ 有两组基： （I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$ （II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \quad \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{3}\right\}$ （1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵； （2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (2,2,5)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标。

八、（20分） 设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \neq 0$ 是 $V$ 中一个固定向量。 （1）证明 $\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0, x \in V\}$ 是 $V$ 的子空间； （2）证明 $\displaystyle V_{1}$ 的维数等于 $\displaystyle n-1$ ．

七、（15分） 在欧氏空间 $\displaystyle R^{4}=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right) \mid a_{i} \in R\right\}$ 中，其内积定义为 $$ \left\langle\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right),\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)\right\rangle=\sum_{i=1}^{4} a_{i} b_{i} $$ 令 $\displaystyle \gamma_{1}=(1,0,0,0), \gamma_{2}=\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle \gamma_{3}, \gamma_{4} \in R^{4}$ ，使得 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$ 为 $\displaystyle R^{4}$ 的标准正交基。

五、（15 分） 设 $V$ 是数域 F 上一个 n 维向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 是其一组基，$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ 生成的子空间，$\displaystyle W_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in \mathrm{~F}, i=1,2, \ldots, n\right\}$ 。 证明：（1）$\displaystyle W_{2}$ 是 $V$ 的子空间；（2）$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ 。

七、（15 分） 设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，且 $$ \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} . $$ （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是可逆线性变换； （2）求 $\displaystyle 2 \sigma-\sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵。

九、（15 分） 设 $\displaystyle V=C^{4}$（ $C$ 为复数域），$f$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ 是 $V$ 的一组基，而 $$ \begin{aligned} & f\left(e_{1}\right)=e_{1}+2 e_{2}+6 e_{3}+7 e_{4}, f\left(e_{2}\right)=-2 e_{1}-4 e_{2}-12 e_{3}-14 e_{4}, \\ & f\left(e_{3}\right)=3 e_{1}+5 e_{2}+17 e_{3}+18 e_{4}, f\left(e_{4}\right)=-4 e_{1}+7 e_{2}-9 e_{3}+17 e_{4}, \end{aligned} $$ 求 $f$ 的核 $\displaystyle f^{-1}(0)$ 的一组基和维数．

六、（15 分） 已知向量空间 $$ V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\}, $$ （1）求 $V$ 的一组基和维数； （2）求 $V$ 的一组标准正交基．

十、（15 分） 已知矩阵空间 $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 的子空间 $$ W=\left\{\left.X=\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right] \right\rvert\, x_{3}-x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\} . $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的内积为 $$ (A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}\left(\forall A=\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right) \in R^{2 \times 2}\right), $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的线性变换为 $\displaystyle \sigma(X)=X B\left(\forall X \in R^{2 \times 2}, B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\right)$ ． （1）证明：求子空间 $W$ 的一组标准正交基； （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \sigma$ 看作是 $W$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $W$ 上的对称变换； （4）求 $W$ 的一组标准正交基，使 $\displaystyle \sigma$ 在该组基下的矩阵为对角矩阵。

七、（15分） 已知线性空间 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的两个线性变换： $$ \sigma(X)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{array}\right) X, \quad \tau(X)=X\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right), \quad\left(\forall X \in P^{2 \times 2}\right), $$ （1）求 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （2）判断 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 是否可逆．

八、（15 分） 设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 3 维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], $$ 求 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ ．

六、（15 分） 已知集合 $$ W=\left\{\left(0, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n} \in R\right\}, $$ （1）证明：$W$ 是 $R$ 上 $n$ 维向量空间 $\displaystyle R^{n}$ 的一个线性子空间； （2）求 $W$ 的一组基和维数．

十、（15 分） 已知 $$ \begin{array}{lll} \alpha_{1}=(1,2,1,-2), & \alpha_{2}=(2,3,1,0), & \alpha_{3}=(1,2,2,-3), \\ \beta_{1}=(1,1,1,1), & \beta_{2}=(1,0,1,-1), & \beta_{3}=(1,3,0,-4), \end{array} $$ （1）求 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)+L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的一组基和维数； （2）求 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) \cap L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的一组基和维数。

七、（15 分） 设 $\displaystyle R^{2}$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma_{1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle \sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \sigma_{1}+\sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵； （2）求 $\displaystyle \sigma_{1} \sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵； （3）设 $\displaystyle \xi=(3,3)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\displaystyle \sigma_{1}(\xi)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标； （4）求 $\displaystyle \sigma_{2}(\xi)$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标．

九、（15 分） （1）已知 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), $$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的一组基，将 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 转换为正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ ；若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), $$ 求 $\displaystyle \sigma$ 在正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵； （2）设 $V$ 是有限维欧式空间，内积记为 $\displaystyle (\alpha, \beta)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个正交变换，记 $$ V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}, $$ $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $V$ 的子空间，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

八、（15 分） 设 $V$ 是全体实 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵所构成的实线性空间，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，定义 $V$ 的变换 $$ \sigma x=A x, \quad \forall x \in V, $$ （1）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 是线性的； （2）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 可逆 ⇔ 矩阵 $A$ 可逆； （3）当 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -4\end{array}\right)$ 时，求 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 和 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 及它们的一组基．

2．用正交线性替换化二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{3}$ 为标准形，写出所作正交线性替换以及标准形。

3．设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，$\lambda_{n}$ 是 $A$ 最大的特征值，证明：$\lambda_{n}=\max _{0 \neq X \in \mathbb{R}^{n}} \frac{X^{T} A X}{X^{T} X}, \mathbb{R}^{n}$ 为实 $n$ 维列向量的集合．

8．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 12 & 2022 \\ 0 & 0 & 25 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，证明：矩阵方程 $X^{2}=A$ 无解，其中 $X \in \mathbb{C}^{3 \times 3}$ ．

1．已知 $\alpha_{1}=(1,2,1,0), \alpha_{2}=(-1,1,1,1), \alpha_{3}=(0,3,2,1), V_{1}$ 是由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 生成的空间，$\beta= (2,-1,0,1), \beta_{2}=(1,-1,3,7), V_{2}$ 是由 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的空间．求 $V_{1}+V_{2}$ 及 $V_{1} \cap V_{2}$ 的维数与基．

1．设 $f(x), g(x)$ 不全为零，证明：对任意的正整数 $n$ ，都有 $\left(f^{n}(x), g^{n}(x)\right)=(f(x), g(x))^{n}$ ．

3．设 $a<0, X$ 为 $n-1$ 维实列向量，$B$ 是 $n-1$ 阶正定矩阵，证明：$A=\left(\begin{array}{cc}a & X^{\mathrm{T}} \\ X & B\end{array}\right)$ 的正惯性指数为 $n-1$ ．

11、若 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1} \geq \frac{\eta}{2}$ ，证明：存在 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 使得 $\displaystyle V=V_{1} \oplus W_{1}=V_{1} \oplus W_{2}$ ，且 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}=\{0\}$ ．

2、设在数域 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 上的最小线性空间维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6、设 $\displaystyle A=\beta \alpha^{\top}$ ，且 $\displaystyle \alpha^{\top} \beta=0$ ，求 $A$ 的特征值和特征子空间的一组基．

8、设 $\displaystyle A, B \in M_{2}(R)$ 且 $\displaystyle (A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}$ ，取 $\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，令 $\displaystyle W=L\left(A_{1}, A_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle W^{1}$ 的一组标正基．

1．求 $|A|$ ．

10．在欧氏空间中，向量 $d_{1}=(1,1,1,-1), d_{2}=(2,0,-2,0)$ 张成的子空间为 $V$ ，求向量 $\beta=(1,-1,1,0)$在 $V$ 上的投影向量 $\_\_\_\_$ ．

6．设 $A$ 为元素全为整数的对称方阵，且对任意非零行向量 $z$（其分量均为非负整数），总有 $z A z^{\mathrm{T}} \geq 0$ ． （1）证明：对任意非零行向量 $z$（其分量均为非负实数），总有 $z A z^{\mathrm{T}} \geq 0$ ． （2）判断：是否存在非零行向量 $z$（其分量均为非负整数），使得 $z A z^{\mathrm{T}}=0$ 。

4．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 是 $n$ 个向量，若 $V$ 中任一向量均可由 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 线性表出，证明：$\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 是 $V$ 的一组基．

7．设 $\displaystyle T: V \rightarrow V$ 是实数域 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性算子，且 $\displaystyle T^{3}=T$ ，其中 $\displaystyle n>1$ ． （1）证明：存在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $T$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。 （2）如果存在一个 $n$ 阶实方阵 $A$ ，使得 $T$ 在 $V$ 的任意一组基下的矩阵均为 $A$ ，证明：$A$ 为 $\displaystyle E_{n},-E_{n}$ 或零矩阵。

5．设 $$ \left.\begin{array}{l} S_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} \\ S_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \left\lvert\,\left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=0 \end{array}\right\}\right.\right. \end{array}\right\}{ }{ } \left\lvert\, \begin{aligned} & \\ & \end{aligned}\right. $$ 求 $\displaystyle S_{1}+S_{2}$ 和 $\displaystyle S_{1} \cap S_{2}$ 的一组基和维数．

6．设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的全体 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵组成的线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的变换，且 $$ \varphi(x)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right) x, x \in V $$ 完成下列问题： （1）证明 $\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （3）求 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi$ 的一组基和维数； （4）求 $\displaystyle \operatorname{ker} \varphi$ 的一组基和维数．

七．在空间直角坐标系下，设 $\displaystyle S_{1}$ 和 $\displaystyle S_{2}$ 是如下两个球面： $$ \begin{gathered} S_{1}:(x-6)^{2}+(y-8)^{2}+z^{2}=25 \\ S_{2}:(x-10)^{2}+(y-5)^{2}+z^{2}=50 \end{gathered} $$ 求曲线 $\displaystyle S_{1} \cap S_{2}$ 绕 $z$ 轴旋转得到的曲面的方程．

三．设 $\displaystyle u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$ 和 $\displaystyle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 是内积空间 $V$ 的两组规范正交基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个等距变换，并且 $\displaystyle \left[\sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)\right]=\left[v_{1}, v_{2}\right]$ ，即 $\displaystyle \sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)$ 生成的子空间与 $\displaystyle v_{1}, v_{2}$ 生成的子空间相等．证明： $$ \left[\sigma\left(u_{3}\right), \sigma\left(u_{4}\right), \cdots, \sigma\left(u_{n}\right)\right]=\left[v_{3}, v_{4}, \cdots, v_{n}\right] $$

八．在空间直角坐标系下，设双曲拋物面 $S$ 的一般方程为 $\displaystyle x^{2}-4 y^{2}=2 z$ ． （1）证明：对 $S$ 中任意一点，有两条直母线经过它． （2）求 $S$ 中所有垂直相交的直母线的交点构成的图形的方程．

六．在空间直角坐标系下，求平面 $\displaystyle \Pi: x+y+z=2$ 内与直线 $\displaystyle L:\left\{\begin{array}{l}x+2 y-2=0 \\ x+z-1=0\end{array}\right.$ 垂直相交的直线的一般方程．

四．设 $n$ 阶上三角矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ & & 1 & \cdots & n-2 \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $A$ 的极小多项式和 Jordan 标准形． （2）证明：$\displaystyle K=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid(A-I) B=O\right\}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的子空间，并求 $\displaystyle \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} K$ ．

6．（25 分）已知 $$ \begin{aligned} & \alpha_{1}=(1,2,1,-2), \alpha_{2}=(2,3,1,0), \alpha_{3}=(1,2,2,-3) \\ & \beta_{1}=(1,1,1,1), \beta_{2}=(1,0,1,-1), \beta_{3}=(1,3,0,-4) \end{aligned} $$ （1）求 $\displaystyle W_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 的基与维数； （2）求 $\displaystyle W_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ 的基与维数； （3）求 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 及 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的基与维数．

7．（20分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 级实矩阵，并设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle B A$ 的非零特征值，以 $\displaystyle V_{\lambda}^{B A}$ 表示 $\displaystyle B A$ 关于 $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间．证明： （1）$\displaystyle \lambda$ 也是 $\displaystyle A B$ 的特征值； （2） $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{A B}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{B A}\right)$ ．

9．（10 分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ 中的一切向量．

三．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 是线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系，记 $$ \beta_{1}=t_{1} \alpha_{1}+t_{2} \alpha_{2}, \beta_{2}=t_{1} \alpha_{2}+t_{2} \alpha_{3}, \cdots, \beta_{m}=t_{1} \alpha_{m}+t_{2} \alpha_{1} $$ 其中 $\displaystyle t_{1}, t_{2}$ 为常数，求 $\displaystyle t_{1}, t_{2}$ 满足何种关系时，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 也为方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系．

五．（20 分）$\displaystyle A, B$ 均是 $\displaystyle 4 \times 4$ 级实矩阵，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系中包含 3 个解向量，$\displaystyle B X=0$的一个基础解系中包含 2 个解向量。证明： （1）$\displaystyle A B X=0$ 至少有 3 个线性无关的解向量． （2） $\displaystyle 4 A+5 B$ 一定有实特征向量

7．（20分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 3 维线性空间，线性变换 $\displaystyle f: V \rightarrow V$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 6 & -15 \\ 1 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & -4 \end{array}\right) $$ 问 $f$ 可否在 $V$ 的某个基下的矩阵为 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 3 \\ -2 & -6 & 13 \\ -1 & -4 & 8\end{array}\right)$ ，为什么？

二．（10 分）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle n \geq 1$ ，证明：$V$ 中存在一个由无穷多个向量构成的向量组，使得该向量组中任意 $n$ 个向量都是 $V$ 的一组基．

十．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 为五维欧几里得空间 $V$ 的一组标准正交基， $$ W=\left\{x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+x_{3} \alpha_{3}+x_{4} \alpha_{4} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} $$ 证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，求出 $W$ 的维数与一组基，并求出 $W$ 的正交补．

6．已知 $$ \begin{gathered} \alpha_{1}=(1,2,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(-1,1,1,1)^{\mathrm{T}} \\ \beta_{1}=(2,-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,-1,3,7)^{\mathrm{T}} . \end{gathered} $$ 且 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的基与维数．

7．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是数域 $P$ 上 4 维线性空间 $V$ 的一组基，线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在这组基下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 3 & 4 & 2 \\ -2 & 5 & 1 & 3 \\ -6 & 17 & 9 & 11 \\ -7 & 18 & -17 & 11 \end{array}\right) . $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的核及其一组基． （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的值域及其一组基．

8．设 $\displaystyle \eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个单位向量，定义变换 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha-2(\alpha, \eta) \eta$ ． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是正交变换． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的任意一组标准正交基下的矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle |A|=-1$ ．

1．如果实矩阼 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$

2．已知 $n$（自然数 $n \geq 1$ ）阶方阵 $J$ 的所有元素都是 $-1, A=\left(a_{i j}\right)$ 中除了 $\left(a_{m}\right.$ 外，所有元素 $a_{i j}=0$ 。如果 $J$ 和 $A$ 相似，则 $a_{m}=$ $\_\_\_\_$

1．如果实方阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$

4．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), T=\{B \mid A B=B A\}$ ，其中 $B$ 为 3 阶实方阵，$T$ 关于矩阵加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$

5．设 $D_{n}=\left|a_{i j}\right|$ 是 $n$ 阶行列式，其中 $a_{i i}=2, a_{i, i+1}=a_{i+1, i}=-1, i=1,2, \cdots, n-1$ ，则 $D_{n}=$ $\_\_\_\_$ （写出具体表达式）

2．秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，则行列式 $|A+E|=$（ （A）$(-1)^{r} 3^{r}$ （B） $3^{r}$ （C）$(-1)^{r} 2^{r}$ （D） $2^{r}$

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 为 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 为 $1 \times n$ 矩阵，且 $|A|=2, ~\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$

5．如果 $\left|\begin{array}{cccc}x-1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & x-3 & 1 & 4 \\ -1 & -9 & x-1 & -16 \\ -1 & -27 & 1 & x+64\end{array}\right|$ 的四个根是 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵，B为 $n \times m$ 型矩阵，其中 $m<n$ ，若 $A B=E_{m}$ ，则（ （A）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=m$ ； （B）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=n$ ； （C）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=m$ ； （D）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=n$ ．

2．已知 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $0,2,-1$ ，则行列式 $\left|A^{2}+A+E\right|$ 的值为（ （A） 1 （B） 0 （C） 7 （D） 14

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

4．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ 的特征值为 $\lambda_{4}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$ （4） $\_\_\_\_$

5．已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}-x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1+\lambda \\ -2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 无解，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ （5） $\_\_\_\_$

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}4 & 6 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & -1 & -1 \\ 7 & -4 & 1 & 2\end{array}\right), A_{11}$ 是 $A$ 中元素 $a_{11}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+2 A_{12}-A_{13}-A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

4．设矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & 4 & 0\end{array}\right)$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}+\lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$ （4） $\_\_\_\_$

1．设 $A$ 为 2 阶方阵，满足 $|A-E|=0,|A+2 E|=0$ ，则 $\left|A^{*}+E\right|=($ （6） （A） 0 （B） 2 （C）-2 （D） 1

2．（20分）$A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\prime} & c\end{array}\right)$ 正定，$B$ 为 $n \times 1$ 阶矩阵，$c$ 为常数。证明： $$ \left|\begin{array}{cc} A & B \\ B^{\prime} & c \end{array}\right| \leq c|A| $$ 等号成立时当且仅当 $B=O$ ．

3．（20分）设 $\eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的一个单位向量，定义 $\mathscr{A}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta$ 为镜面反射。 （1）证明 $\mathscr{A}$ 是一个正交变换，求 $\mathscr{A}$ 的一组标准正交基，并并求 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵。 （2）如果 $n$ 维欧氏空间中，正交变换 $\mathscr{A}$ 以 1 作为特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 $V_{1}$ 的维数为 $n-1$ ，则 $\mathscr{A}$ 一定为镜面反射。

2．若 $A$ 是数域 $P$ 上 $r \times n$ 矩阵，$B$ 是 $P$ 上 $(n-r) \times n$ 矩阵，且分块矩阵 $\binom{A}{B}$ 是非奇异矩阵，则 $n$ 维线性空间 $P^{n}=\left\{X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{\prime} \mid x_{i} \in P\right\}$ 是齐次线性方程组 $A X=0$ 的解子空间 $V_{1}$ 与 $B X=0$ 的解子空间 $V_{2}$ 的直和，即 $P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

1．秩 $\left(A^{n}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+1}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+2}\right)=\cdots$ ．

一．把复数域上的矩阵 $$ J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)=\left(\begin{array}{cccccc} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0} \end{array}\right) $$ 称为 $n$ 阶循环矩阵． （1）证明 $\displaystyle V=\left\{J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right) \mid a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1} \in \mathbb{C}\right\}$ 是线性空间，并求其维数和一组基； （2）求 $\displaystyle J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)$ 的特征值及行列式 $\displaystyle \left|J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)\right|$ ．

七．已知 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，且 $\displaystyle \sigma^{m}=\mathrm{id}_{V}$ ，其中 $\displaystyle m>1$ 为正整数， $\displaystyle \mathrm{id}_{V}$ 为 $V$ 上的恒等变换． （1）证明 $\displaystyle V_{\sigma}=\{u \in V \mid \sigma(u)=u\}$ 为 $V$ 的子空间，并称其为 $V$ 的不动子空间； （2）对任意的 $\displaystyle u \in V$ ，其在 $\displaystyle V_{\sigma}$ 上的正交投影为 $\displaystyle \bar{u}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(u)$ ； （3）证明 $\displaystyle V_{\sigma}$ 的维数等于 $\displaystyle \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}$ 的迹． ## （第三、四、六题回忆数据可能不准，11月份之前会根据官方修订真题）

五．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的不可逆且非零的线性变换，$A$ 为 $\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵．证明： （1）存在 $\displaystyle m>1$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma^{m} \oplus \operatorname{Ker} \sigma^{m}$ ； （2）$A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 为可逆矩阵，$C$ 为幂零矩阵．

2．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵．$\displaystyle A_{k}$ 是 $A$ 去掉第 $k$ 行剩下的 $\displaystyle n-1$ 行所组成的矩阵．$\displaystyle A_{i j}$表示 $A$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式． （1）若 $\displaystyle |A| \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A_{k} X=0$ 的一个基础解系． （2）若 $\displaystyle |A|=0$ ，且元素 $\displaystyle a_{k l}$ 的代数余子式 $\displaystyle A_{k l} \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系．

4．（20分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基．用 $\displaystyle V_{1}$ 表示 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$生成的子空间，令 $\displaystyle V_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in F\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ； （2）设 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵 $A$ 是置换矩阵（即 $A$ 每行每列只有一个元素为 1 ，其余元素为 0 ），证明：$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。

5．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $V$ 的一组标准正交基．End $\displaystyle (V)$ 表示 $V$ 上全体线性变换构成的线性空间。定义 $\displaystyle \langle\sigma, \tau\rangle=\sum_{i=1}^{n}\left(\sigma\left(\varepsilon_{i}\right), \tau\left(\varepsilon_{i}\right)\right)$ ，其中 $\displaystyle \sigma, \tau \in \operatorname{End}(V), ~(, ~)$ 为 $V$ 上的内积． （1）证明 〈 ，〉为 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 上的内积； （2）求 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 的一组标准正交基．

2、求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ，使得 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵．

4、 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，且 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明： $$ \lambda_{k}=\min _{\operatorname{dim} S=n-k+1} \max _{X \in S, X \neq 0} \frac{(A X, X)}{(X, X)},(k=1,2,3, \cdots, n) $$ 其中 $S$ 为向量空间，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ，内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 为 (X, X)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ ，其中 $$ Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T} $$

7、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的线性变换，若对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，都有 $$ (\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta)), $$ 则称 $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭，证明： （1） $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭的充分必要条件是两者在同一组标准正交基下的矩阵互为转置． （2）若 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \tau$ 的共轭，则 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma=(\operatorname{Ker} \tau)^{\perp}$ ．

5．设 $P$ 是一个数域，记 $\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $$ \alpha_{1}=(1,2,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(-1,1,1,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=(0,3,2,1)^{\mathrm{T}} $$ 生成的 $\displaystyle P^{4}$ 的子空间，即 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，记 $\displaystyle V_{2}$ 是由向量 $$ \beta_{1}=(2,-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,-1,3,7)^{\mathrm{T}} $$ 生成的 $\displaystyle P^{4}$ 的子空间，即 $\displaystyle V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，分别求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}, V_{1}+V_{2}$ 的维数和一组基．

6．记 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的全体 $\displaystyle 2 \times 2$ 阶矩阵构成的线性空间，定义 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma(X)=A X$ ，对任意的 $\displaystyle X \in \mathbb{C}^{2 \times 2}, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的矩阵。 （2）求 $\displaystyle \sigma$ 的值域的维数和一组基以及 $\displaystyle \sigma$ 的核的维数和一组基．

7．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上全体 $\displaystyle n \times n(n \geq 2)$ 阶实对称矩阵构成的线性空间，对任意 $\displaystyle A, B \in V$ ，定义 $\displaystyle (A, B)=\operatorname{tr}(A B)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 表示 $\displaystyle A B$ 的迹． （1）证明：$V$ 是欧氏空间． （2）$\displaystyle W=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}$ ．证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，并求 $W$ 的维数． （3）求 $W$ 的正交补空间 $\displaystyle W^{\perp}$ 的维数．

五、设 $\displaystyle \mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，记 $\displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{A})$ 为所有与 A 可交换的实矩阵全体， （1）证明 $\displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{A})$ 是线性空间 $\displaystyle R^{3 \times 3}$ 的一个子空间； （2）求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基与维数。

6．（5 分）计算 $n$ 阶行列式 $$ \left|\begin{array}{cccc} 1-a_{1}^{2} & -a_{1} a_{2} & \cdots & -a_{1} a_{n} \\ -a_{2} a_{1} & 1-a_{2}^{2} & \cdots & -a_{2} a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n} a_{1} & -a_{n} a_{2} & \cdots & 1-a_{n}^{2} \end{array}\right| . $$

11．（12 分）求多项式 $f(x)=x^{3}-1$ 和 $g(x)=x^{5}-1$ 的首一最大公因式 $d(x)$ ，并求多项式 $u(x), v(x)$ ，使得 $d(x)=u(x) f(x)+v(x) g(x)$ ．

八、（15分）设 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $Q$ 在基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 2 & -3 & -1\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。 （2）求 $a$ 满足什么条件时？佮好有 3 个 1 维不变子空间。

六、（30分）设 $V$ 是数域 $P$ 上所有 $\displaystyle 2 \times 3$ 矩阵组成的线性空间． （1）给出 $V$ 的一组基，并证明． （2）给出 $V$ 的两个子空间 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ ，使 $V$ 是它们直和并证明． （3）给出 $V$ 的两个子空间 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ ，使 $V$ 是它们的和，但不是直和并证明．

2、（4分）将 $f(x)$ 分解为实数域上不可约多项式乘积．

2、（5分）求 $A$ 的所有特征值．

2．设 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}, V_{1} \cap V_{2}$ 的基与维数（具体数据忘了）．

4．有限维线性空间 $V$ 有2026个子空间 $\displaystyle W_{1}, W_{2}, \cdots, W_{2026}$ ，其中 $$ \operatorname{dim} W_{i}=2026(i=1,2, \cdots, 2026), \operatorname{dim}\left(W_{i} \cap W_{j}\right)=2025(i \neq j) . $$ 证明下列条件之一成立： （a）存在 $W$ 为 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} W=2025, W \subset W_{i}(i=1,2, \cdots, 2026)$ ． （b）存在 $U$ 为 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} U=2027, W_{i} \subset U(i=1,2, \cdots, 2026)$ ．

10、（15 分）$\displaystyle \varepsilon_{1} \cdots \varepsilon_{n}$ 为 $V$ 的一组基 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 可逆当且仅当 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right), \cdots, \sigma\left(\varepsilon_{n}\right) $$ 线性无关．

9、（15 分）$V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha$ 为非 0 固定向量． （1）证明：$\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0\}$ 为 $V$ 的子空间。 （2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=n-1$ ．

12．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle u \in V$ ，且 $\displaystyle u, \mathscr{A}^{\prime} u, \mathscr{A}^{2} u, \cdots, \mathscr{A}^{n-1} u$ 构成 $V$的一组基，记 $\displaystyle L(V)$ 是 $V$ 上所有线性变换的集合． （1）记 $\displaystyle C(\mathscr{A})=\{\mathscr{B} \in L(V) \mid \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}\}$ ，证明：$\displaystyle C(\mathscr{A})$ 为线性空间． （2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} C(\mathscr{A})=n$ ． （3）证明：若 $\displaystyle \mathscr{B} \in C(\mathscr{A})$ ，则存在 $\displaystyle f(x) \in P[x]$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{B}=f(\mathscr{A})$ ．

9．已知 $\displaystyle S=\left\{X Y-Y X \mid X, Y \in \mathbb{F}^{n \times n}\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle S=\left\{X \in \mathbb{F}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(X)=0\right\}$ ． （2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} S$ ．

11．设 $n \geq 2, \mathscr{T}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且向量 $v$ 满足 $\mathscr{T}^{n-1} v \neq 0, \mathscr{T}^{n} v=0$ ． （1）证明：向量组 $v, \mathscr{T} v, \cdots, \mathscr{T}^{n-1} v$ 线性无关． （2）证明： $\mathscr{T}$ 不可以对角化．

12．设 $A$ 为 2026 阶非零实矩阵，且 $A$ 的伴随矩阵与其转置矩阵相等，证明：$A$ 是行列式为 1 的正交矩阵。

七．在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中，$\displaystyle \gamma$ 是非零向量，定义 $V$ 中线性变换 $$ W_{0}=\{x \mid(x, \gamma)=0, x \in V\} . \quad A x=x-\frac{2(x, \gamma)}{(\gamma, \gamma)} \gamma, \forall x \in V . $$ （1）证明 $\displaystyle W_{0}$ 是 $A$ 的不变子空间，并求 $\displaystyle W_{0}$ 的维数． （2）若 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，证明：$\displaystyle \gamma \in W$ 或 $\displaystyle W \subset W_{0}$ ．

3．（20 分）已知线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}-\lambda x_{1}+2 x_{2}-2 x_{3}=1 \\ 2 x_{1}+(3-\lambda) x_{2}-4 x_{3}=2 \\ -2 x_{1}-4 x_{2}+(3-\lambda) x_{3}=-\lambda-3\end{array}\right.$ ，当 $\displaystyle \lambda$ 取何值时？ （1）上述线性方程组有唯一解？ （2）上述线性方程组无解？ （3）上述线性方程组有无穷多个解？并求其通解（用基础解系表示）。

7、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）设 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1 & & & \\ & \lambda & 1 & & \\ & & \lambda & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \lambda\end{array}\right)$ ，若 $J$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶若尔当矩阵， 且 $\displaystyle V=\left\{A \in P^{n \times n} \mid A J=J A\right\}$ ，证明： （1）$V$ 是线性空间． （2） $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ．

8、（20分）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的两个子空间，且 $$ \operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n . $$ 证明：存在 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \because$ ，使得 $\displaystyle \because V=V_{1}, r^{-1}(0)=V_{2}$ 。

6．（20分）设 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的线性子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} W_{1}<\operatorname{dim} W_{2}$ ，证明：$\displaystyle W_{2}$ 中必有一个非零向量正交于 $\displaystyle W_{1}$ 中的所有向量．

8．（20分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，且 $V$ 上线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示为 $$ A=\left(\begin{array}{cccccc} \lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda \end{array}\right) $$ 证明： （1）$V$ 是仅有的包含 $\displaystyle \alpha_{1}$ 的 $\displaystyle \sigma$ 不变子空间． （2）$\displaystyle \sigma$ 的任意不变子空间必包含 $\displaystyle \alpha_{n}$ ．（应该指明非零不变子空间） （3）每个子空间 $\displaystyle V_{i}=L\left(\alpha_{n-i+1}, \cdots, \alpha_{n}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 为 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha \in V_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle (\sigma-\lambda \varepsilon)^{i} \alpha=0$ ，其中 $\displaystyle \varepsilon$ 为恒等变换．

7．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+\lambda x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ 是正定的，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

3．设 $\mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的一个线性变换，满足 $$ \begin{gathered} \mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=-3 \varepsilon_{1}-a \varepsilon_{2}-90 \varepsilon_{3}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=-3 \varepsilon_{1}+15 \varepsilon_{2}-90 \varepsilon_{3}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=\varepsilon_{1}-b \varepsilon_{2}+30 \varepsilon_{3} \\ \mathscr{A}\left(\eta_{1}\right)=6 \eta_{1}, \mathscr{A}\left(\eta_{2}\right)=12 \eta_{2}, \mathscr{A}\left(\eta_{3}\right)=c \eta_{3} \end{gathered} $$ 其中 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 与 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 分别是 $V$ 的两组基． （1）求参数 $a, b, c$ 的值． （2）求基 $\eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 到 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 的过渡矩阵。

4．设 $V$ 是 3 维欧氏空间，其一组基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的度量矩阵为 $$ \left(\begin{array}{lll} 5 & a & 4 \\ a & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \end{array}\right) $$ （1）求 $a$ 的值． （2）求该欧氏空间的一组标准正交基．

5．设 $A$ 是复数域上的方阵，$A$ 的全部初等因子为 $(\lambda-2)^{2},(\lambda-2)^{2},(\lambda-2)^{2}, \lambda+3, \lambda+3,(\lambda+2 \mathrm{i})^{2},(\lambda-2 \mathrm{i})^{2}$ ． （1）求 $A$ 的特征多项式在实数域上的标准分解式． （2）求 $A$ 的所有不变因子和所有行列式因子．

9．设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，线性方程组 $A X=\beta$ 有解．证明： （1）$A X=\beta$ 线性无关解向量的个数至多为 $n-r(A)+1$ ． （2）设 $A$ 的特征多项式中非零根的个数为 $k$ ，则 $k \leq r(A)$ ．（特征值重根按重数计算）

5．（15 分）设 $U=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 为欧式空间，其中 $\alpha_{1}=(1,1,2,1)^{\prime}, \alpha_{2}=(1,0,0,-2)^{\prime}$ ，定义 $U$上的内积为 $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\alpha_{1}{ }^{\prime} \alpha_{2}$ ．求 $\operatorname{dim} U^{\perp}$ 和 $U^{\perp}$ 的一个标准正交基．

6．（15分）设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2 \end{array}\right] $$ 求 $\operatorname{ker} \mathscr{A}, \operatorname{Im} \mathscr{A}$ 。

7．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)(n \geq 3)$ ． （1）证明：$A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ． （2）证明：$A^{100}-E$ 不是零矩阵。

10．（15分）设 $A, B$ 都为 $n$ 阶方阵。 （1）证明：$A B, B A$ 有相同的特征值． （2）证明：不存在矩阵 $A, B$ ，使得 $A^{2}=A B+B^{2}$ ．

1．求 $a$ 的值，使得线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}-5 x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=11 \\ -3 x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+2 x_{4}=-5 \\ -x_{1}-9 x_{2}-4 x_{4}=17 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}-x_{4}=a \end{array}\right. $$ 有解，并在有解的情况下求出其在数域 $\mathbb{F}$ 上的通解．

2．设 $\mathscr{T}$ 是有限维空间 $V$ 上的线性变换，设 $V_{0}=\bigcup_{i=1}^{\infty} \operatorname{Ker} \mathscr{T}^{i}, V_{1}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \operatorname{Im} \mathscr{T}^{i}$ ，其中 $\operatorname{Ker} \mathscr{T}^{i}, \operatorname{Im} \mathscr{T}^{i}$分别表示线性变换 $\mathscr{T}^{i}$ 的核与像。证明：$V_{0}, V_{1}$ 都是 $\mathscr{T}$ 的不变子空间，且 $V=V_{0} \oplus V_{1}$ ．

3．设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 为 $V$ 的一组基，且 $$ \begin{gathered} \mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=8 \varepsilon_{1}-10 \varepsilon_{3}+2 \varepsilon_{4}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=-3 \varepsilon_{1}+3 \varepsilon_{2}+6 \varepsilon_{3} \\ \mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{1}-3 \varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{4}\right)=-2 \varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{2}+4 \varepsilon_{3}+2 \varepsilon_{4} \end{gathered} $$ 求 $\mathscr{A}$ 的全部特征子空间。

1．设 $A, B \in M_{m \times n}(\mathbb{F})$ ，证明：$(m+n) \times(m+n)$ 型矩阵 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ O & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}O & B \\ O & O\end{array}\right)$ 相似当且仅当 $A$ 与 $B$ 秩相等．

6、在 $R^{3}$ 中定义线性变换 $T$ ，对 $\forall \alpha=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \in R^{3}$ ，有 $$ T\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)^{T} . $$ 则 $T$ 在 $R^{3}$ 的基 $\alpha_{1}=(1,0,0)^{T}, \alpha_{2}=(0,1,0)^{T}, \alpha_{3}= (0,0,1)^{T}$ 下的矩阵为： $\_\_\_\_$ ．

7、设、 $\mathscr{C}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$为 $\mathbf{V}$ 的一组基，满足 $$ \mathscr{C}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1},(1 \leq i \leq n-1), \mathscr{C}\left(\alpha_{n}\right)=\alpha_{1} . $$ 则 $\operatorname{det}(. /)=$ $\_\_\_\_$ ．

五、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle \mathbf{V}$ 的一组基。已知线性变换 在这组基下的矩阵为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathscr{C}$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}$ ， $\displaystyle \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵. （2）求．$\displaystyle /$ 的核与值域． （3）在 $\displaystyle \mathscr{C}$ 的核中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求 .2 在这组基下的矩阵。 （4）在 $\displaystyle \triangle$ 的值域中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求在这组基下的矩阵。

七．$\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ 。（具体数据忘了） （1）求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 的维数和一组基． （2）求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的维数和一组基。 （3）证明：．．．．

2．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，$\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示内积。设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$由基向量组线性表示为 $$ \left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) C . $$ 其中 $\displaystyle C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ，定义 $\displaystyle \Delta=\left(b_{i j}\right)_{m \times m}$ ，其中 $\displaystyle b_{i j}=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ．证明： $$ \operatorname{rank}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right\}=\operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(\Delta) . $$

4．（ 20 分）解答如下问题： （1）证明：实反对称矩阵的特征值只能是 0 或纯虚数． （2）设 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{cc}O & E_{k} \\ -E_{k} & O\end{array}\right)$ ，子空间 $\displaystyle W=\left\{A \in \mathbb{R}^{2 k \times 2 k} \mid A S+S A^{\mathrm{T}}=O\right\}$ ，求 $W$ 的维数及一组基．

5．（20分）设线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 下的矩阵为 $$ J_{n}(\mu)=\left(\begin{array}{cccc} \mu & & & \\ 1 & \mu & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \mu \end{array}\right) $$ （1）证明：对于任意非零的 $\displaystyle \sigma$－不变子空间 $W$ ，必有 $\displaystyle e_{n} \in W$ ． （2）求所有的 $\displaystyle \sigma$－子空间．

五．设 $$ \begin{aligned} & \alpha_{1}=(1,1,0,0)^{\prime}, \alpha_{2}=(0,1,1,0)^{\prime}, \alpha_{3}=(0,0,1,1)^{\prime} \\ & \beta_{1}=(1,0,1,0)^{\prime}, \beta_{2}=(0,2,1,1)^{\prime}, \beta_{3}=(1,2,1,2)^{\prime} \end{aligned} $$ 求向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 和向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 所生成的两个线性空间的和与交的维数与一组基．

四．设四元齐次线性方程组 $$ (1):\left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=0 \\ x_{3}-x_{4}=0 \end{array}\right. $$ 又已知某齐次线性方程组（2）的基础解系为 $$ \eta_{1}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \eta_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 2 \\ 1 \end{array}\right) $$ 求方程组（1）与（2）的公共解．

3、设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ， （1）求 $A$ 的全部特征值． （2）对 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ ，求属于特征值 $\lambda$ 的特征子空间的维数和一组基． （3）求正交矩阵 $P$ ，使 $P^{\top} A P$ 是对角阵，并写出此对角阵．

5、设 $V$ 为数域 $V$ 上的 4 维线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，求 $\sigma$ 的基 $\varepsilon_{1}$ 的最小不变子空间 $W$ 。

1、已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明当 $n \geq 3$ 时，有 $A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵。 （2）求 $A^{100}$ ．

2、证明：数域 $P$ 上的一元多项式组成的线性空间，$P[x]$ 可以与它的一个真子集空间同构。

6、设 $1, x, y, x^{2}, x y$ 在实数域 $\mathbb{R}$ 上生成的线性空间为 $V$ ，设线性变换： $\mathcal{A}(f)=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}$ ， $f \in V$ ，则 $\mathcal{A}$ 在基 $\left\{1, x, y, x^{2}, x y\right\}$ 下矩阵为 $\_\_\_\_$ 0， $\operatorname{Ker}(\mathcal{A})=$ $\_\_\_\_$ ， $\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(\mathcal{A}))=$ $\_\_\_\_$。

7、设 $A$ 为 5 阶方阵，其特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda \cdots 9)^{3}(\lambda+5)^{2}$ ，最小多项式 $$ m(\lambda)=(\lambda-9)^{2}(\lambda+5)^{2} $$ 求 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 标准形 $\_\_\_\_$ ， $\mathbf{\lambda}=9$ 的特征子空间的维数为 $\_\_\_\_$ ，以及 $r(-5 I-A)=$ $\_\_\_\_$。 ◯

8、设 $y_{1}=(1,2,1)^{T}, y_{2}=(1,-1,0)^{T}$ ，欧氏空间 $U=L\left(y_{1}, y_{2}\right)$ ，求 $U$ 的一组标准正交基 $\_\_\_\_$ ，以及 $\alpha=(1,3,0)^{T}$ 在 $U$ 上的正交投影 $\_\_\_\_$ ．

七、（10 分）设 $V$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换．证明：存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \left\{\alpha, \mathcal{A}(\alpha), \cdots, \mathcal{A}^{n-1}(\alpha)\right\}$ 成为 $V$ 的一组基当且仅当对于 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的任一特征值 $\displaystyle \lambda$ 的几何重数为 1 ．

三、（15 分）对于方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\ k x_{1}+x_{2}+x_{3}=2\end{array}\right.$ ．问：$k$ 为何值时方程组无解？有无穷多解？并用基础解系表示通解。

4．已知 $f_{1}=2+2 x^{2}+3 x^{3}, f_{2}=1+x+x^{2}+3 x^{3}, f_{3}=5+x+5 x^{2}+9 x^{3}, f_{4}=2 x+3 x^{3}, W$ 是由它们张成的线性空间，那么从基 $f_{1}, f_{2}$ 到基 $f_{3}, f_{4}$ 的过渡矩阵为 $\_\_\_\_$ ，向量组 $f_{1}, f_{3}-f_{2}, 2 f_{3}+f_{4}$的秩等于 $\_\_\_\_$ ．

5．设矩阵 $A$ 的秩等于 $3, b$ 不等于零，$A X=b$ 有解 $$ X_{1}=(1,-1,2,3,1)^{\mathrm{T}}, X_{2}=(0,1,-1,0,-2)^{\mathrm{T}}, X_{3}=(-1,1,2,1,3)^{\mathrm{T}} . $$ 那么 $A X=b$ 的通解用 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 表示为 $\_\_\_\_$ ，给出一个所有解集合的极大线性无关组 $\_\_\_\_$ ．

2．令 $V$ 是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 张成的线性空间，$W$ 是线性变换 $\mathscr{T}(X)=A X$ 的核，其中 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & -1 & 0 & 3 \\ 2 & -2 & -1 & 2 & 4 \\ 3 & -3 & -1 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 8 \end{array}\right) . $$ 求 $W+V$ 及 $W \cap V$ 的基和维数．

4．设 $P$ 为数域，在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 中，令 $$ V_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} x & -x \\ y & z \end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in P\right\}, V_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} a & b \\ -a & c \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\} $$ （1）判断 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是否为 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的子空间，并说明理由． （2）分别求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}, V_{1} \cap V_{2}$ 的维数和一组基．

5．已知 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 对基 $$ \varepsilon_{1}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right), \varepsilon_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \varepsilon_{3}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ -6 \end{array}\right) $$ 的像为 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right), \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。 （2）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \sigma(X)$ ． （3）已知 $\displaystyle \sigma(Y)$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标向量为 $\displaystyle \left(\begin{array}{c}2 \\ -4 \\ -2\end{array}\right)$ ，求 $Y$ ．

5．已知 $V$ 为有限维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} \operatorname{Ker} \mathscr{A}+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \mathscr{A}$ ． （2）证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 可逆的充要条件是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为单射． （3）举例说明 $V$ 为无限维线性空间时，（2）不成立．

3．给定向量组 $$ \alpha_{1}=(*, *, *, *, *), \alpha_{2}=(*, *, *, *, *), \alpha_{3}=(*, *, *, *, *), \beta_{1}=(*, *, *, *, *), \beta_{2}=(*, *, *, *, *) $$ 记 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 与 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基和维数．

5．设 $\displaystyle V=\mathbb{R}^{2 \times 2}, V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足 $\displaystyle \varphi(X)=A^{T} X A, X \in V$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ 求 $V$ 中的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在这组基下的矩阵为若尔当形矩阵。

10．$A$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上可相似对角化，$\displaystyle \varphi(X)=A X A$ 为 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 上线性变换。证明：$\displaystyle \varphi$ 在 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 上存在一组基使其表示阵为对角阵。

14．设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $s \times t$ 矩阵，$C$ 是 $m \times t$ 矩阵．记 $R(M)$ 表示矩阵 $M$ 的秩． （1）求证：若矩阵方程 $A X B=C$ 有解，则 $r(A)=r(A, C)$ 且 $R(B)=R\binom{B}{C}$ ． （2）请问（1）中逆命题是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，给出反例． （3）在什么情况下，（1）中的解是惟一的？请证明结论．

四、（本题满分 15 分）设 $n$ 级行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|a_{i j}\right| \neq 0, A_{i j}$ 为 $\displaystyle D_{n}$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，证明：当 $\displaystyle r<n$ 时，线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{r 1} x_{1}+a_{r 2} x_{2}+\cdots+a_{r n} x_{n}=0 .\end{array}\right.$ 有一个基础解系为：（ $\displaystyle \left.A_{j 1}, A_{j 2}, \cdots, A_{j n}\right)$ ， $\displaystyle j=r+1, r+2, \cdots, n$.

七、（20分）设三维线性空间 $V$ 上的线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{3}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{1}$ 下的矩阵； （2）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, k \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵，其中 $\displaystyle k \in P$ 且 $\displaystyle k \neq 0$ ； （3）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。 科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$ 高等代数

6、（本题满分 20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，令 $\displaystyle V=\{B \mid A B=B A, B$ 为实方阵 $\displaystyle \}$ 。（1）证明 $V$ 足实数域上的线性空间；（2）求 $V$ 的一组基．

7、（本题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，证明： $\displaystyle \sigma(V)$ 的一组基的原像及 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来就是 $V$ 的一组基．

六、（15 分）在 $\displaystyle P^{4}$ 中，求由齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}3 x_{1}+2 x_{2}-5 x_{3}+4 x_{4}=0 \\ 3 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}-3 x_{4}=0 \\ 3 x_{1}+5 x_{2}-13 x_{3}+11 x_{4}=0\end{array}\right.$ 确定的解空间的基和维数．

8．（本小题满分 25 分）设 $A$ 是复数域上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle A^{n}=0$ ，且 $\displaystyle A^{n-1} \neq 0$ ，（1）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，其对应的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid A \alpha=\lambda \alpha, \alpha$ 是复向量 $\displaystyle \}$ ，证明：$\displaystyle V_{\lambda}$ 的维数是 1 ；（2）是否存在一个复知阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ？请说明理由． $$ \begin{aligned} & A x=\lambda x \\ & \frac{A^{n} x}{A^{n+1} x}=\lambda^{n} x=0 \\ & f(\partial)=f(\beta)=f(\gamma)=0 \\ & g(\gamma)= \\ & {[x-g(\gamma)][x-g(\beta)=\text { in }} \\ & \hline x-g) x=0 \end{aligned} $$ ## $\displaystyle \pm 1 \pm 2$ （－2）$\displaystyle -8+8-$ $$ \partial^{2} \cdot(\partial+2)-2=0 $$ 102. $$ \begin{aligned} & \gamma^{3}+2 \gamma^{2}-2=0 \\ & \gamma^{2}+\gamma-1= \end{aligned} $$

3．（20分）设齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a x_{1}+b x_{2}+\cdots+b x_{n}=0 \\ b x_{1}+a x_{2}+\cdots+b x_{n}=0 \\ \vdots \\ b x_{1}+b x_{2}+\cdots+a x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 其中 $\displaystyle a \neq 0, b \neq-0, n \geq 2$ ，试讨论 $\displaystyle a, b$ 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解？并在有无穷多解时求出全部解（用基础解系表示）。

7．（20 分）设有限维线性空间 $V$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ．证明：$V$ 的任意真子空间均可表为若干个 $\displaystyle n-1$ 维子空间的交．

5．（15 分）设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \in V$ 是一个给定的非零向量，定义 $V$ 中的变换 $\displaystyle \sigma(v)=v-\frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha$ ，称为由 $\displaystyle \alpha$ 确定的镜面反射． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的对称变换；（2）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的正交变换，并且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（恒等变换）；（3）确定 $\displaystyle \sigma$ 在一个标准正交基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{\alpha}{|\alpha|}$ ．

3．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(0,3,2,1), \alpha_{2}=(2,1,0,-1), \beta_{1}=(1,0,-3,-6), \quad \beta_{2}=(1,0,1,2)$ ， $\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间， （i）求 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的交的一组基及维数； （ii）求 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的和的一组基及维数．

4．（20 分）设 $Q$ 为有理数域，$\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,3), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(2,0,3), Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 满足： $$ A \alpha_{1}=(-2,1,3), \quad A \alpha_{2}=(0,-1,0), \quad A \alpha_{3}=(-1,-1,0) $$ （i）证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $\displaystyle Q^{3}$ 的一组基；并求线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $T$ ； （ii）求 $\displaystyle Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 的全部特征值与特征向量．

5．（20 分）设 $\displaystyle X_{0}$ 是数域 $P$ 上线性方程组的一个解，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{s}$ 是它的导出组的一个基础解系，令 $\displaystyle Y_{0}=X_{0}, Y_{1}=X_{1}+X_{0}, Y_{2}=X_{2}+X_{0}, \cdots, Y_{s}=X_{s}+X_{0}$ ，证明：该线性方程组的全部解可由下列公式给出：$\displaystyle X=k_{0} Y_{0}+k_{1} Y_{1}+\cdots+k_{s} Y_{s}$ ，其中 $\displaystyle k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{s}$ 为数域 $P$ 中的数，$\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{s}=1$ ．

8．（20 分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，证明 （i）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V,\left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，那么 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ； （ii）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组向量，满足：对于 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V$ ，只要 $\displaystyle \left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，就有 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ，那么 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基．

4．（15分）当常数 $\displaystyle a, b, c$ 满足什么条件时，如下线性方程组有解？并在有解的条件下求出全部解（用特解和相应齐次线性方程组的基础解系表示） $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}-2 x_{6}+3 x_{7}=1 \\ 2 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{5}-3 x_{6}+7 x_{7}=a \\ -3 x_{1}-6 x_{2}-2 x_{3}+5 x_{4}+8 x_{6}-7 x_{7}=b \\ -x_{1}-2 x_{2}+x_{3}+5 x_{4}+5 x_{5}+5 x_{6}=c . \end{array}\right.$

6．（每小题 10 分，共 30 分）设 $\displaystyle \mathbf{F}$ 为一数域， $\displaystyle \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ 表示 $\displaystyle \mathbf{F}$ 上所有迹为 0 的 3 阶矩阵组成的集合。 （1）证明：$\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 是 $\displaystyle M_{3}(F)$ 的一个子空间； （2）求 $\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 的一组基和维数； （3）证明： $\displaystyle \mathbf{M}_{3}(\mathbf{F})=<\mathbf{E}_{3}>\oplus \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ ，其中 $\displaystyle <\mathbf{E}_{3}>$ 表示 3 阶单位矩阵 $\displaystyle \mathbf{E}_{3}$ 生成的子空间。

2．（15分）当 $\displaystyle \mathrm{a}, \mathrm{b}$ 取何值时，以下非齐次线性方程组有解，在有解的情况下写出通解 （用导出组的基础解系与特解的线性组合表示）。 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+x_{4}-3 x_{5}=a \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}+6 x_{5}=3 \\ 5 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+3 x_{4}-x_{5}=6 \end{array}\right. $$

5．（20分）设 V 是数域 P 上的三维线性空间， V 上的线性变换， $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为： $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的最小多项式； （2）把 $V$ 分解成 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的非平凡不变子空间的直和，并求出分解式中出现的每个子空间的基。

7．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是实系数多项式，证明：$\displaystyle W=\{f(x) \mid f(1)=0, \partial(f(x)) \leq n$ 或 $\displaystyle f(x)=0\}$ 是实数域上的一个线性空间，并求出它的一组基．

7．若 $\displaystyle W, W_{1}, W_{2}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，$\displaystyle W_{1} \subseteq W, V=W_{1} \oplus W_{2}$ ，证明： $$ \operatorname{dim} W=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim}\left(W_{2} \cap W\right) $$

六．设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma(V)$ 的一组基的原象及 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来为 $V$ 的一组基，由此即证 $\displaystyle \sigma$ 的零度 $\displaystyle +\sigma$ 的秩 $\displaystyle =n$ ．

2．在 $P^{2 \times 2}$ 中定义线性变换 $\sigma(X)=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right) X$ ，则 $\sigma$ 在基 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

3．已知 $a, b$ 是数域 $P$ 上的两个固定的数，而 $$ W=\left\{\left(a, b, x_{3}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{i} \in P, i=3,4, \cdots, n\right\} $$ 是 $P$ 的子空间，则 $W$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．

5．线性方程组 $x_{1}=2 x_{2}=\cdots=n x_{n}$ 的一个基础解系为 $\_\_\_\_$ ．

七．（20 分）设 $P$ 是数域，$\displaystyle V_{1}$ 是 $P$ 上 $n$ 阶上三角矩阵的全体，$\displaystyle V_{2}$ 是 $P$ 上 $n$ 阶反对称矩阵的全体． （1）证明：$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 关于矩阵的加法和数乘构成 $\displaystyle P^{n \times n}$ 的子空间，并分别求 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 的一组基和维数； （2）证明：$\displaystyle P^{n \times n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

六．（20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle (n>1)$ 且 $\displaystyle \sigma$ 满足 $\displaystyle \sigma^{n-1} \neq 0$ ， $\displaystyle \sigma^{n}=0$ ．证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)$ ； （2）证明：$\displaystyle \sigma$ 在任意一组基下的矩阵都不可能是对角形．

5、设 $V$ 是实数域上全体 3 阶矩阵构成的实数域上的线性空间，其子空间 $$ W=\left\{A=\left(a_{i j}\right) \in V \mid a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\right\} . $$ 则 $W$ 的维数为 $\_\_\_\_$。

8、设 $V=R^{3}$ 是实数域 $R$ 上的线性空间，定义：$f: V \rightarrow V$ ． $$ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \rightarrow\left(x_{1}+x_{3}, x_{1}-x_{2}+x_{3}, x_{3}\right) . $$ 那么 $f$ 在 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵 $=$ $\_\_\_\_$。

七、（20分）$n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, A^{2}=A$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ． （1）（10 分）求 $A$ 的特征值和特征子空间的维数． （2）（10 分）求行列式 $\displaystyle |E+A|$ ．

6．矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right), M_{2}(R)$ 表示所有的 $\displaystyle 2 \times 2$ 实矩阵集。定义映射 $$ L_{A}: M_{2}(R) \rightarrow M_{2}(R), \quad \forall M \in M_{2}(R), \quad L_{A}(M)=A M $$ （1）证明：$\displaystyle L_{A}$ 是实向量空间 $\displaystyle M_{2}(R)$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle L_{A}$ 的核空间 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(L_{A}\right)$ 的组基。

8．（15分）设2维实向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基底 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,3)^{\prime}, \alpha_{2}=(-1,4)^{\prime}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right)$ ．线性变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 在基底 $\displaystyle \beta_{1}=(5,13)^{\prime}, \beta_{2}=(3,10)^{\prime}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -1 & 5\end{array}\right)$ 。求线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}-2 \mathscr{B}$ 在基底 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 下的矩阵。

5．（15分）用 $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域，对 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的基底 $\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,0), \alpha_{2}=(2,0,1), \alpha_{3}=(1,1,-2)$ ．应用格拉姆－施密特正交化方法求出标准正交基．

6．（30 分）设 $F$ 是一个数域，$\displaystyle V, W$ 分别为一个 $n$ 维和 $m$ 维的 $F$－向量空间． （1）对任意的尺码为 $\displaystyle m \times n$ 的 $F$ —矩阵 $A$ ，证明：总存在从 $V$ 到 $W$ 的一个线性映射 $\displaystyle \theta$ 和 $V$ 的一组有序基及 $W$的一组有序基，使得在该有序基之下 $\displaystyle \theta$ 的矩阵为 $A$ ． （2）设 $A$ 及 $\displaystyle \theta$ 如（1）中所示，证明：$\displaystyle \theta$ 的象空间 $\displaystyle \operatorname{Im}(\theta)$ 的维数等于矩阵 $A$ 的秩．

8．（20分）证明：欧氏空间的一个线性变换为正交变换当且仅当这个线性变换在任何一组标准正交基之下的矩阵为正交矩阵。

6．设 $V$ 是实数域上所有 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵构成的线性空间，$\displaystyle A, B \in V$ 是两个给定的 2 阶实矩阵，定义 $V$ 上的映射 $f$ 为 $\displaystyle f(X)=A X+X B, X \in V$ ． （1）证明：$f$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right)$（具体数值未知），求 $\displaystyle \operatorname{Im} f$ 及 $\displaystyle \operatorname{Ker} f$ 以及它们的维数．

3．三阶矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right)$ 的若尔当标准型为 $\_\_\_\_$ ．

3．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，那么 $A^{2022}=$ $\_\_\_\_$ ．

8．设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $n$ 个复数，且满足 $$ \lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}^{2}=\cdots=\lambda_{1}^{n}+\lambda_{2}^{n}+\cdots+\lambda_{n}^{n}=0 . $$ 证明：$\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0$ ．

1．填空题 （1）若 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ 且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ ，则 $B$ 的秩最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & * \\ 0 & 4 & * \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2023}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）设 $\displaystyle \left(g(\lambda), f(\lambda)=1\right.$ ，且 $\displaystyle f, g$ 均为首一多项式，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}g(\lambda) & 0 \\ 0 & f(\lambda)\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （5）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）子空间 $\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$ 的维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

8．解答如下问题： （1）设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k}$ 是 $A$ 的不同特征值，$X_{i}$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda_{i}$ 的特征向量，证明：向量组 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{k}$ 线性无关． （2）设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 的特征值都是实数． （3）设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 的属于不同特征值的特征向量彼此正交．

13．设 $A, B$ 都是复数域上的 $n$ 阶方阵，证明： $\operatorname{rank}(A B) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-n$ ．

5．在三次多项式空间 $P[x]_{3}$ 中，求多项式 $1+x+x^{2}+x^{3}$ 在基 $\left\{2,1+x,-x+2 x^{2}, x+x^{3}\right\}$ 下的坐标 $\_\_\_\_$。

8．设 $M=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right)$ ，线性变换 $\mathscr{A}$ 满足 $\mathscr{A} x=M x$ ，求 $\mathscr{A}$ 的特征值及重数 $\_\_\_\_$ ．