向量-向量空间

2．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{x}^{x^{3}} \ln \left(1+t^{2}\right) \mathrm{d} t}{x^{3}}$ ．

七．（10 分）设 $\displaystyle S(a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2}(n \pi a)}{n^{3}}, a \in[0,1]$ ． （1）求 $\displaystyle S(a)$ 的收敛域，并证明在收敛域内 $\displaystyle S(a)$ 一致收玫。 （2）证明：$\displaystyle S(a)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微． （3）证明：$\displaystyle f(a)=\frac{S(a)}{a^{2}}$ 单调递减．提示：$\displaystyle S^{\prime \prime}(a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \pi^{2} \cos (2 n \pi a)}{n}=-\pi^{2} \ln \left(4 \sin ^{2}(\pi a)\right)$ ．

三．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}, f(1)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=-4$ ．

五．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ ，证明：$\displaystyle \varphi(x)$在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．

5、（20分）设 $\displaystyle \mathscr{G}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换， $\displaystyle \mathscr{G}$ 的核记为 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{S}$ ，若 $V$是 $n$ 维线性空间，且存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{C}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{S}^{k+1}$ 成立。证明：对任意整数 $\displaystyle j \geq k$ 成立，有 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{C}^{j}=\operatorname{Ker} \mathscr{C}^{j+1}$ 。

6、（20 分）设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足：$\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B$ ，求证：$A$ 与 $B$ 相似当且仅当它们的秩相等．

7、（10 分）设 $\displaystyle V^{*}$ 是线性空间 $V$ 的对偶空间，$\displaystyle V_{1}^{*}, V_{2}^{*}$ 是 $\displaystyle V^{*}$ 的子空间，记 $$ \begin{aligned} & W=\left\{v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_{1}^{*} \cap V_{2}^{*}\right\} \\ & W_{i}=\left\{v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_{i}^{*}, i=1,2\right\} \end{aligned} $$ 证明：$\displaystyle W=W_{1}+W_{2}$ ．

8、（10 分）设 $\displaystyle B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}, C \in \mathbb{R}^{2 \times n}, D \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，且 $\displaystyle B, D$ 均为对称矩阵．设 $B$ 的两个特征值为 $\displaystyle \mu_{1}, \mu_{2}$ 。矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}B & C \\ C^{T} & D\end{array}\right)$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+2}$ ．求证： $\displaystyle \min \left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+2}\right\} \leq \min \left\{\mu_{1}, \mu_{2}\right\}$ ．

4、设 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 为实数域，$\displaystyle \beta, \gamma \in \mathbb{R}^{n \times 1}, a \in \mathbb{R}$ ，证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \beta \\ \gamma^{T} & a\end{array}\right|=a|A|-\gamma^{T} A^{*} \beta$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵．

5、设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 都是有限维线性空间 $V$ 的子空间，证明： $$ \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{2} \cap V_{3}\right)+\operatorname{dim}\left(\left(V_{2}+V_{3}\right) \cap V_{1}\right) . $$

6、设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 为实正定矩阵，证明：$\displaystyle |A| \leq a_{11} a_{22} \cdots \cdots a_{n n}$ ．

7、设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实对称矩阵，线性变换 $\displaystyle \varphi: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ 定义为： $$ \varphi(X)=A X A,\left(\forall X \in \mathbb{R}^{n \times n}\right) . $$ （1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{1} \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的特征值． （2）证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。

二．计算 $n$ 阶行列式 $$ A=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & \cdots & 2 & 3 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & & \cdots \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \end{array}\right| . $$ 三设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的非平凡不变子空间，在 $W$ 中取一个基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ ，把它扩充成 $\displaystyle I^{\prime}$ 的一组基 $\displaystyle a_{1}, \cdots, a_{r}, a_{r+1}, \cdots, a_{n}, \mathcal{A}$ 在 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 下的矩 阵为 $$ \left(\begin{array}{ll} A_{1} & A_{3} \\ O & A_{2} \end{array}\right) . $$ 其中 $\displaystyle A_{1}$ 为 $r$ 阶方阵，定义 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}: V / W \rightarrow V / W, a+W \rightarrow \mathcal{A} a+W$ 。证明： （1）$\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 是 $\displaystyle V / W$ 上的线性变换； （2）$\displaystyle A_{2}$ 是 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 在基 $\displaystyle a_{r+1}+W, \cdots, a_{n}+W$ 下的矩阵。

2．设向量组 $\alpha_{1}=(1,0,3,4,3)^{\prime}, \alpha_{2}=(3,-1,2,1,3)^{\prime}, \alpha_{3}=(-1,1,0,5,2)^{\prime}, \alpha_{4}=(3,0,5,10,8)^{\prime}, \alpha_{5}=(-1,0,1,-2,-2)^{\prime}$则 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 的秩是 $\_\_\_\_$ ．

三．（18 分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{s}$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的 $s$ 个非平凡子空间，证明：$V$ 中至少存在向量 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle \alpha \notin V_{i}, i=1,2, \cdots, s$ ．

五．（12分）设有齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \quad \cdots \cdots \\ a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0 \end{array}\right. $$ $\displaystyle M_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 为系数矩阵 $A$ 划去地 $i$ 列剩下的 $\displaystyle (n-1) \times(n-1)$ 矩阵的行列式。证明：如果秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ，则 $\displaystyle \eta_{0}=\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个基础解系．

六．（18 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}, C=\left(a_{i j} b_{i j}\right)_{n \times n}$ ．证明：若 $\displaystyle A, B$ 均是正定矩阵，则 $C$ 也是正定矩阵。

6、设 $V$ 为数域 $\mathbb{K}$ 上的线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 为 $V$ 的子空间，且 $$ \operatorname{dim}(V)=9, \operatorname{dim}\left(V_{1}\right)=5, \operatorname{dim}\left(V_{2}\right)=6 . $$ 则 $\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)$ 的最小值为 $\_\_\_\_$ ．

七、（16 分）$\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是从 $V$ 到 $\displaystyle \sigma$ 像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma$ 的正交投影．

三、（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的一个 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 可对角化的充分必要条件是： $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式 $\displaystyle \left|\mathbf{\lambda} \mathbf{E}_{n}-\mathbf{A}\right|$ 在复数域中的全部根都属于数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 数学 （从而每个根都是 $A$ 的特征值），并且每一根 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$ 的重数等于 $A$ 的属于特征值 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$的特征子空间的维数．

六、（16分）设 $V$ 是数域 $K$ 上三维线性空间，$V$ 上线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$下的矩阵 $A$ 为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)$ ． （2）对应于 $\displaystyle m(x)$ 的因式分解，写出 $V$ 的直和分解式，并且求出分解式中出现的每个子空间的一个基．

三．（20分）已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ -2 & 6 & 4 \end{array}\right) $$ $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times 5}$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的所有 $\displaystyle n \times 5$ 矩阵构成的线性空间，$\displaystyle W=\left\{B \in \mathbb{R}^{n \times 5} \mid B A=O\right\}$ ，其中 $O$ 为零矩阵． （1）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times 5}$ 的子空间； （2）求 $W$ 的一组基和维数．

五．（20 分）$\displaystyle P^{2 \times 2}$ 为数域 $P$ 上的 $\displaystyle 2 \times 2$ 方阵构成的线性空间．令 $\displaystyle \sigma: P^{2 \times 2} \rightarrow P^{2 \times 2}$ ，对任意的 $\displaystyle X \in P^{2 \times 2}$ ，有 $\displaystyle \sigma(X)=A X B$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的表示矩阵。 （3）是否存在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的某组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵为对角阵？存在的话，求出基和对应的对角阵。

四．（15 分）设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X^{\prime} A X$ 为实系数二次型，实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1$（二重）， $\displaystyle \lambda_{2}=-1$（二重）．且 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0,0)^{\prime}, \varepsilon_{2}=(1,1,0,1)^{\prime}$ 为属于特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1$ 的特征向量．求二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 的表达式。

2、 $\beta$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 唯一的线性表示，并求出表示式。

1、 $N(A)$ 为 $\mathbb{R}^{n}$ 的子空间，$R(A)$ 为 $\mathbb{R}^{m}$ 的子空间．

3．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其元素 $\displaystyle a_{i j}$ 都为整数 $\displaystyle (i, j=1,2, \cdots, n)$ ．令 $$ d=\left|\begin{array}{ccccc} a_{11}-\frac{1}{k} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22}-\frac{1}{k} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \cdots & a_{n n}-\frac{1}{k} \end{array}\right| . $$ 这里 $k$ 为正整数且 $\displaystyle k \geq 2$ ．证明：$\displaystyle d \neq 0$ ．

4．（15 分）设 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})$ 为所有 3 阶实方阵按矩阵的加法及实数与矩阵的数量乘法构成的实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间．已知 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})$ 的两个子空间 $$ W_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc} a & 0 & c \\ a & 0 & 0 \\ c & b & 0 \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\}, W_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in \mathbb{R}\right\} . $$ （1）求和空间 $\displaystyle W_{1}+W_{2}$ 的维数和一组基． （2）记 $\displaystyle W=W_{1}+W_{2}$ ，求子空间 $\displaystyle W_{3}$ ，使得 $\displaystyle M_{3}(\mathbb{R})=W_{3} \oplus W$ ，并说明理由．

5．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，记齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r}$ ，其中 $r$为矩阵 $A$ 的秩，令 $\displaystyle \beta_{i}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \eta_{i}(i=1,2, \cdots, n-r)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n-r}\right)$ 。

9．（20 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，若 $\displaystyle \alpha$ 为任意的 $n$ 维非零列向量，$\displaystyle B=A \alpha \alpha^{T}$ ． （1）证明：$\displaystyle \left|\lambda E_{n}-B\right|=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\alpha^{T} A \alpha\right), E_{n}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。 （2）求 $B$ 最大的特征值 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ ． （3）求 $B$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ 的特征子空间的维数与一组基．

五．简单题（ 20 分） 设 $V$ 为 $n$ 阶实方阵全体在矩阵的加法和数乘运算下构成的实数域上的线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\displaystyle A \in V$ ，都有 $\displaystyle \sigma(A)=2 A^{\mathrm{T}}$ ． （1）求 $\displaystyle \sigma$ 的特征值． （2）求 $\displaystyle \sigma$ 的属于每一个特征值的特征子空间的维数和一组基． （3）证明：$V$ 恰为 $\displaystyle \sigma$ 的所有特征子空间的直和．

六．计算题（15分） 设 $V$ 为欧氏空间，$\displaystyle v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ 是 $V$ 的一组标准正交基，令向量 $$ \alpha=v_{1}+v_{2}, \beta=v_{1}+v_{3}, \gamma=2 v_{1}+v_{2}+2 v_{3}+v_{4} . $$ 子空间 $\displaystyle W=L(\alpha, \beta), W^{\perp}$ 为 $W$ 的正交补．求 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}$ ，使得 $\displaystyle \gamma=\gamma_{1}+\gamma_{2}$ ，且 $\displaystyle \gamma_{1} \in W, \gamma_{2} \in W^{\perp}$ ．

2．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ ，已知线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有解但不唯一． （1）求 $a$ 的值． （2）求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{\prime} A Q$ 为对角矩阵．

6．设 $V$ 是欧氏空间，$W$ 是 $V$ 的子空间，$V$ 中的向量 $\displaystyle \alpha$ 不在 $W$ 中，问是否存在 $\displaystyle \alpha_{0} \in W$ ，使得 $\displaystyle \alpha-\alpha_{0}$ 与 $W$ 中任意向量都正交？如果不存在，举出例子；如果存在，说明理由并讨论其唯一性．

7．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式为 $$ f(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)^{m_{1}}\left(x-\lambda_{2}\right)^{m_{2}}, \lambda_{1} \neq \lambda_{2} $$ 其中 $\displaystyle m_{1}+m_{2}=n$ ． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，其中 $\displaystyle \mathscr{E}$ 是恒等变换． （2）证明：$\displaystyle V=\operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}} \oplus \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{2} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{2}}$ ．

8．（15分）空间直角坐标系下，已知两异面直线的方程分别为 $$ l_{1}: \frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{-1}, \quad l_{2}: \frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{-1} . $$ （1）（10 分）求两条异面直线的公垂线方程． （2）（5 分）求该公垂线在坐标平面 $x O y$ 的射影直线方程．

3．（15 分）已知 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵，$B$ 是 $\displaystyle n \times m$ 阶矩阵。证明： $$ \left|\begin{array}{cc} E_{n} & B \\ A & E_{m} \end{array}\right|=\left|E_{m}-A B\right|=\left|E_{n}-B A\right| . $$

4．已知 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，其特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=0, \alpha_{1}=(1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1,-2)^{\mathrm{T}}$分别是特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 对应的特征向量，求矩阵 $A$ 。

10．给定矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & -1 & -8 \end{array}\right) . $$ （1）证明：存在秩为 2 的 4 阶矩阵 $B$ ，满足 $A B=O$ ． （2）证明：不存在秩为 3 的 4 阶矩阵 $C$ ，使得 $A C=O$ ．

一，（15 分）设非零的复系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有重因式，证明： $\displaystyle \left(f(x)+f^{\prime}(x), f(x)\right)=1$.

九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $n$ 维欧式空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数。证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有一非零向量与 $\displaystyle V_{1}$ 中任一向量正交．

八，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$T$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换， $\displaystyle T^{-1}(0)=\{\xi \in V \mid T \xi=0\}$ 是 $T$ 的核，$\displaystyle T(V)=\{T \xi \mid \xi \in V\}$ 是 $T$ 的值域。证明 $\displaystyle T(V) \subseteq T^{-1}(0)$的充分必要条件是 $\displaystyle T^{2}$ 是零变换．

九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, B=\left(b_{i j}\right)$ 都是正定矩阵， $\displaystyle c_{i j}=a_{i j} b_{i j},(i, j=1,2, \cdots, n)$ ，证明：$n$ 级方阵 $\displaystyle C=\left(c_{i j}\right)$ 也是正定矩阵。

八，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$T$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换， $\displaystyle T^{2}=T, T^{-1}(0)=\{\xi \in V \mid T \xi=0\}$ 是 $T$ 的核，$\displaystyle T(V)=\{T \xi \mid \xi \in V\}$ 是 $T$ 的值域。证明 （1）$\displaystyle T^{-1}(0)=\{\xi-T \xi \mid \xi \in V\}$ ； （2）$\displaystyle V=T^{-1}(0) \oplus T(V)$

一，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle f(x)$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 次多项式，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$整除 $\displaystyle f(x)$ ，则存在 $\displaystyle a, b \in P$ ，使得 $\displaystyle f(x)=a(x-b)^{n}$ ．

八，（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，且 $\displaystyle f(x)=g(x) h(x)$ ， $\displaystyle (g(x), h(x))=1, \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle K, U, W$ 分别是 $V$ 的线性变换 $\displaystyle f(\sigma), g(\sigma), h(\sigma)$ 的核，证明：$\displaystyle K=U \oplus W$ ．

四，（15 分）设 $\displaystyle m, n, r$ 都是正整数，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：存在秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times r$ 矩阵和秩为 $r$ 的 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ．

六，（15 分）设 $\displaystyle f, g$ 为线性空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle f^{2}=f, g^{2}=g$ 。证明：$f$ 与 $g$ 由相同核的充分必要条件是 $\displaystyle f g=f$ 且 $\displaystyle g f=g$ ．

四，（15 分）设 $A$ 为数域 $P$ 上的 $\displaystyle n \times s$ 矩阵，证明：秩 $\displaystyle (A)<n$ 的充分必要条件是存在非零矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B A=0$ ．

2、矩阵 $E-A^{2}$ 是正定矩阵．

四、（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为两个 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：$A$ 的行向量组与 $B$ 的行向量组等价的充分必要条件是线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解．

1、求正交矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵；

八、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle p(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的多项式，$k$ 是正整数。 （1）证明：若 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle \left(f(x), f^{\prime}(x)\right)$ 的 $k$ 重因式，则 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle k+1$ 重因式； （2）若 $\displaystyle f(x)=x^{5}-x^{4}-x^{3}-11 x^{2}-8 x-12$ ，将 $\displaystyle f(x)$ 在有理数范围内因式分解．

六、（20 分）设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是向量空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ 。证明： （1） $\displaystyle \mathcal{A}$ 为可逆变换当且仅当 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为恒等变换； （2） $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值只能为 0 或 1 ； （3）若 $\displaystyle V_{0}, V_{1}$ 分别是特征值 0,1 的特征子空间，则 $\displaystyle V_{1}=\mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V, V_{0}=\mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．

五．（20 分）设 $P$ 是数域，$n$ 是正整数，数域 $P$ 上线性空间 $$ V=\{f(x) \in P[x] \mid \partial(f(x))<n\} \cup\{0\}, $$ 定义 $V$ 上的一个线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ，其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的一阶微商． （1）分别求出 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V$ 与 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$（0）的一组基与维数； （2）证明：$\displaystyle V=\mathcal{A} V \oplus \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．

九、 $\displaystyle \left(7+8=15\right.$ 分）已知 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}\right\}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的实矩阵。 （1）证明：$W$ 为实矩阵集 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间． （2）求 $W$ 的一组基，并扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，求 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}x & y \\ y & z\end{array}\right)$ 在该基下的矩阵。

五、（20 分）若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+a x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+2 b x_{2} x_{3}$ 经过正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}{ }^{2}+2 y_{2}{ }^{2}$ ，试求参数 $\displaystyle a, b$ 的值以及正交阵 $P$ ．六、（7＋8＝15分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle \mathscr{A}=\mathscr{A} \mathscr{A} \mathscr{A}=\mathscr{B} \mathscr{A}$ 。 （1）证明： $\displaystyle \mathscr{A} V=\mathscr{A}^{2} V, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}$ ． （2）$\displaystyle V=\mathscr{A} V \oplus \operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．

4．（ 20 分）假设 $A$ 和 $B$ 是 $\displaystyle 3 \times 3$ 的实矩阵，且满足条件 $$ \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A-B)=0 . $$ 证明：对于任何实数 $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$ ，都有 $\displaystyle \operatorname{det}(x A+y B)=0$ ．

6．（20分）设 $V$ 是有限维内积空间， $\displaystyle \mathscr{P} \in L(V)$ 满足 $\displaystyle \mathscr{P}^{2}=\mathscr{P}$ ，证明： $\displaystyle \mathscr{P}$ 是某个子空间 $U$ 上的投影算子当且仅当 $\displaystyle \mathscr{P}$ 是自伴的．

8．（20 分）任取数域 $F$ 上的一个 $\displaystyle m \times n$ 的矩阵 $\displaystyle A, n \times s$ 的矩阵 $B$ ． （1）证明：$\displaystyle r(A B)+n \geq r(A)+r(B)$ ，此处 $r$ 为矩阵的秩函数． （2）证明：上述等式成立当且仅当 $\displaystyle N(A) \subset C(B)$ ，此处 $\displaystyle N(A)$ 为矩阵 $A$ 的零空间，$\displaystyle C(B)$ 为矩阵 $B$ 的列空间．

1．（10 分）证明：$r(A) \leq 1$ 当且仅当存在列向量 $\alpha \in K^{m}, \beta \in K^{n}$ ，使得 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ．

2．（15 分）证明：$r(A)=r$ 当且仅当存在两个线性无关的列向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 和 $\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r}$ ，使得 $A=\alpha_{1} \beta_{1}^{\mathrm{T}}+\alpha_{2} \beta_{2}^{\mathrm{T}}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{\mathrm{T}}$ 。

六、（30 分）设 $\displaystyle V=R^{2 \times 2}$ 是实数域上所有 2 阶方阵构成的实数域上的线性空间， $$ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ \lambda & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{array}\right) \text {, 其中 } \lambda \text { 是参数. } $$ （1）任取 $\displaystyle X \in V$ ，证明：$\displaystyle \varphi(X)=A X B$ 是 $V$ 上的一个线性变换； （2）当 $\displaystyle \lambda \neq-1$ 时，证明：$\displaystyle \varphi$ 是一个可逆线性变换； （3）当 $\displaystyle \lambda=-1$ 时，求线性变换的 $\displaystyle \varphi$ 值域 $\displaystyle \varphi V$ 和核 $\displaystyle \varphi^{-1}(0)$ ，并在值域中取一组基，把它扩充成 $V$的一组基．

五、（20 分）$\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle f(x)=X^{\top} A X$ 是对应的二次型，$\displaystyle \lambda_{1}$ ， $\displaystyle \lambda_{2}$ 分别是 $A$ 的最小和最大特征值． （1）对任一 $n$ 维列向量 $X$ ，证明：$\displaystyle \lambda_{1} X^{\top} X \leq X^{-} A X \leq \lambda_{n} X^{\top} X$ ． （2）证明：$\displaystyle \lambda_{1} \leq \frac{1}{n} \sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \leq \lambda_{n}$ ．

六、（20 分）$\displaystyle V=P^{4}, P$ 是一个数域，$\displaystyle V_{1}=\left\langle\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\rangle, V_{2}=\left\langle\beta_{1}, \beta_{2}\right\rangle$ 是由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$分别组成的子空间，$\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}-2 \\ 3 \\ 1 \\ -3\end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$ ，求和空间 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 及交空间 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基和维数．

七．（15分）设 $\displaystyle P^{m}$ 是次数不超过 $m$ 的一元多项式空间，定义 $\displaystyle P^{m}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $$ \mathscr{A}(f(x))=f(x+1)-f(x) $$ （1）写出 $\displaystyle \mathscr{A}$ 关于基底 $\displaystyle 1, x, \cdots, x^{m}$ 的矩阵 $A$ ． （2）求 $A$ 的 Jordan 标准形与最小多项式． （3）求 $\displaystyle \mathscr{A}^{k}$ 的核空间 $\displaystyle N\left(\mathscr{A}^{k}\right)$ 的维数和一组基．

三．（15 分）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ． （1）证明：$\displaystyle r\left(E_{m}+A B\right)-r\left(E_{n}+B A\right)=m-n$ ． （2）证明：当 $\displaystyle E_{m}+A B$ 可逆时，$\displaystyle E_{n}+B A$ 也可逆，并写出其逆矩阵．

二．（20分）设数域 $F$ 上 $n$ 阶上三角矩阵集合为 $\displaystyle S=\left\{A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(F) \mid a_{i j}=0\right.$ 当 $\displaystyle \left.i>j\right\}$ ．其中 $\displaystyle M_{n}(F)$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间．求证： （1）$S$ 对矩阵加法和数乘封闭，因此是 $\displaystyle M_{n}(F)$ 的一个线性子空间． （2）$S$ 对矩阵乘法封闭，即若 $\displaystyle A, B \in S$ ，则 $\displaystyle A B \in S$ ． （3）若 $\displaystyle A \in S$ 可逆，则 $\displaystyle A^{-1} \in S$ ． （4）若 $\displaystyle A \in S$ 为严格上三角阵（即主对角线全为 0 ），则 $\displaystyle A^{n}=O$ ．

十．（10 分）设 $f$ 是 $n$ 阶方阵全体构成的集合到数集上的映射，满足对任意的 $n$ 阶方阵 $A$ ，对任意的 $\displaystyle 1 \leq j \leq n$ ，对任意的常数 $c$ ，有 （1）若 $A$ 的第 $j$ 列等于 $B$ 和 $C$ 的第 $j$ 列之和，且 $A$ 的其余列与 $\displaystyle B, C$ 的对应列完全相同，则 $$ f(A)=f(B)+f(C) $$ （2）将 $A$ 的第 $j$ 列乘以 $c$ 得到 $B$ ，则 $\displaystyle f(B)=c f(A)$ ． （3）对换 $A$ 的任意两列得到 $B$ ，则 $\displaystyle f(B)=-f(A)$ ． （4）$\displaystyle f\left(E_{n}\right)=1$ ． 证明： （1）若 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，则 $$ f(A)=\sum_{\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right) \in S_{n}} a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \cdots a_{i_{n} n} f\left(e_{i_{1}}, e_{i_{2}}, \cdots, e_{i_{n}}\right) . $$ 其中 $\displaystyle S_{n}$ 是 $\displaystyle 1,2, \cdots, n$ 的全排列，$\displaystyle e_{i 1}, e_{i_{2}}, \cdots, e_{i_{n}}$ 分别表示第 $\displaystyle i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ 个元素为 1 其余元素为 0 的单位列向量． （2）$\displaystyle f(A)=|A|$ ，即 $\displaystyle f(A)$ 表示 $A$ 的行列式．

四．（15 分）设 $V$ 是复数域上以 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为基底的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $$ \left\{\begin{array}{l} \mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{1}(i=1,2,3) \\ \mathscr{A}\left(\alpha_{4}\right)=\alpha_{2} \end{array}\right. $$ 求 $\displaystyle R(\mathscr{A}), N(\mathscr{A}), R(\mathscr{A}) \cap N(\mathscr{A})$ ，其中 $\displaystyle R(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的值域，$\displaystyle N(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的核。

1．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则 $A^{n}=0$ ；

八．令 $\displaystyle M_{n}$ 表示数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的一切 $n$ 阶方阵所组成的线性空间，设 $$ S=\left\{A \in M_{n} \mid A=A^{\prime}\right\}, T=\left\{A \in M_{n} \mid A=-A^{\prime}\right\} $$ 证明： 1．$\displaystyle S, T$ 都是 $\displaystyle M_{n}$ 的线性子空间； 2．$\displaystyle M_{n}=S \oplus T$ ．

六．设 $$ X=\left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right), $$ 其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 是可逆对称矩阵．$\displaystyle B^{\prime}=C$ ，证明：存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{\prime} X T$ 为分块对角阵。

十．设 $\displaystyle A, B, C \in P^{n \times n}$ ，试证： $$ \mathrm{r}(A B C) \geqslant \mathrm{r}(A B)+\mathrm{r}(B C)-\mathrm{r}(B) $$

1．已知复系数非零多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有重因式．证明 $$ \left(f(x)+f^{\prime}(x), f(x) f^{\prime}(x)\right)=1 $$

5．设 $\displaystyle A \in P^{\text {mom }}$ 。证明： （1）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 $\displaystyle P \in P^{m \times m}$ 使得 $\displaystyle A=P\binom{E_{n}}{0}$ ； （2）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在行满秩矩阵 $\displaystyle B \in P^{n \times m}$ 使得 $\displaystyle B A=E_{n}$ 。

9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}, \beta_{1}, \cdots, \beta_{m}$ 为欧几里得空间 $V$ 的两组向量。始果 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ， $\displaystyle i, j=1, \cdots, m$ 。证明： （1）子空间 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \cdots, \beta_{m}\right)$（作为欧几里得空间）同构： （2）$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关当且仅当 $\displaystyle \left(\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)\right)$ 为正定阵。

10．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, ~ B \in P^{n \times m}$ 。证明：除零特征值外，$\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle B A$的特征值相同，重数也相同。

3．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, B \in P^{n \times m}, C \in P^{m \times n}, A$ 可逆。证明分块阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & O\end{array}\right)$可逆的充要条件 $\displaystyle C A^{-1} B$ 可逆。

5．欧氏空间 $V$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 称为反对称的。如果对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ， $\displaystyle (\sigma \alpha, \beta)=-(\alpha, \sigma \beta)$ 。证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 为反对称的充要条件是，$\displaystyle \sigma$ 在一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵； （2）如果 $\displaystyle V_{1}^{4}$ 是反对称线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，则 $\displaystyle V_{1}^{1}$ 也是。

8．设 $\displaystyle A, B \in R^{n \times n}$ 是两个正交矩阵，若 $\displaystyle A+B$ 可逆，证明 $\displaystyle |A|=|B|$ 。

9．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, ~ \lambda_{0} \in P$ 是 $A$ 的 $m$ 重特征根，证明：对应于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}, A$ 至多有 $m$ 个线性无关的特征向量。

10．设 $R$ 是实数域，$\displaystyle A \in R^{n \times n}, B \in R^{m \times m}, C \in R^{m \times n}$ ，其中 $\displaystyle A, B$ 正定，$m$ 是偶数。证明： $\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & C^{T} \\ C & -B\end{array}\right|>0$ 。

4．设 $\displaystyle W_{1}$ 和 $\displaystyle W_{2}$ 都是数域 $\displaystyle \mathbf{P}$ 上向量空间 $V$ 的有限维子空间，证明： $$ \operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim} W_{2}-\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) $$

5．已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & 2 \\ 2 & 2\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}4 & b \\ 3 & 1\end{array}\right) \in C^{2 \times 2}$ 。问 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时 $\displaystyle A, B$ 相似？ $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时在复数域 $C$ 上合同。

6．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=X^{T} A X, \forall X \in W 。$ （1）求 $\displaystyle \tau$ 关于基 $\displaystyle M_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), M_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), M_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 的矩阵； （2）求 $\displaystyle \tau$ 的所有 1 维不变子空间。

9．设 $W$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个子空间，且 $\displaystyle 0<\operatorname{dim} W<n$ 。证明： （1）$W$ 在 $V$ 中有无穷多个余子空间； （2）$W$ 在 $V$ 中的正交补空间是唯一的。

3．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, \beta \in P^{m \times 1}, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A, \beta)=r$ ，证明非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的解（向量）集合的秩是 $\displaystyle n-r+1$ 。

6．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, B \in P^{n \times m}, m>n, \lambda \in P$ 。证明 $$ \left|\lambda E_{m}-\lambda B\right|=\lambda^{m-n}\left|\lambda E_{n}-B A\right| $$

7．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), C(A)=\left\{B \in P^{3 \times 3} \mid A B=B A, B \in P^{3 \times 3}\right\}$ 。 （1）证明：$\displaystyle C(A)$ 构成 $\displaystyle P^{3 \times 3}$ 的一个子空间； （2）求 $\displaystyle C(A)$ 的经数和一组基。

9．设矩阵 $\displaystyle A \in P^{m \times n}, B \in P^{n \times p}, C \in P^{p \times s}$ ，试证 $$ \operatorname{rank}(A B)+\operatorname{rank}(B C)-\operatorname{rank}(B) \leq \operatorname{rank}(A B C) $$

10．$\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right), B=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 为 $\displaystyle n \times m$ 阶矩阵，则存在 $\displaystyle R^{n}$ 上的正交变换 $\displaystyle \sigma$ ，使得 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle A^{T} A=B^{T} B$ 。

6．$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的两个子空间，证明：存在 $V$ 的线性变换 A ，使得 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 一个为 A 的值域，一个为 A 的核的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n$ 。

7．设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维列向量，使得 $\displaystyle A^{n-1} \alpha=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right), A^{n} \alpha=0$ ，求 $A$ 的特征值，特征向量，特征子空间。

1．$\displaystyle M_{n}$ 为 $n$ 级矩阵全体组成的线性空间， $$ U=\left\{A \in M_{n} \mid A=A^{T}\right\}, \quad W=\left\{A \in M_{n} \mid A=-A^{T}\right\} $$ 证明：（1）$\displaystyle U, W$ 为 $\displaystyle M_{n}$ 的线性子空间；（2）$\displaystyle M_{n}=U \oplus W$ 。

10．$W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的真子空间，证明存在 $V$ 的基底 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \alpha_{i} \in W, i=1,2, \cdots, n$ 。

3．（I）$\displaystyle \alpha_{i}=\left(\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i n}\right), \quad i=1,2, \cdots, s$ ， （II）$\displaystyle \beta_{j}=\left(\beta_{j 1}, \beta_{j 2}, \cdots, \beta_{j m}\right), j=1,2, \cdots, t, \quad \beta_{j}=\sum_{i=1}^{s} k_{j i} \alpha_{i}, \quad j=1,2, \cdots, t 。$ 证明：若（I）线性无关，则矩阵 $\displaystyle K=\left(k_{j i}\right)_{t \times s}$ 的秩与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 的秩相同。

4．$A$ 为 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，$\displaystyle A^{2}-2 A-3 I=0$ ，证明 $\displaystyle r(A+I)+r(A-3 I)=n$ 。

5．设 $A$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，证明 $A$ 为列满秩矩阵的充要条件为存在一个 $\displaystyle m \times p$ 矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle r(A B)=r(B)$ 。

7．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵为一 Jordan块，证明： （1）$V$ 中任一非零 $\displaystyle \sigma$－子空间都包含 $\displaystyle \varepsilon_{n}$ ； （2）$V$ 不能分解成两个非平凡的 $\displaystyle \sigma$－子空间的直和。

七．设 $A$ 是一个 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵，$\displaystyle |A| \neq 0$ ，证明：$A$ 可以表成一个形如 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), a \neq 0$ 的初等矩阵和有限个 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}1 & b \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 和 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}1 & 9 \\ c & 1\end{array}\right)$ 的初等矩阵的乘积。

九．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, f(x), g(x) \in P[x], d(x)=(f(x), g(x))$ ，证明： 若 $\displaystyle f(x)$ 是 $A$ 的特征多项式，则 $\displaystyle r(g(A))=r(d(A))$ 。

六．已知 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。证明：$W$ 的正交补也是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。

四．已知 $A$ 为 $\displaystyle 3 \times 3$ 矩阵，证明如果存在正整数 $m$ 使得 $\displaystyle A^{m}=0$ 。那么 $\displaystyle A^{3}=0$ 。

三．判断正误，并说明理由． 对任意非零向量，$\displaystyle \alpha^{\prime} A \alpha>\alpha^{\prime} \alpha$ ，则 $\displaystyle |A|>1$ ．

四．判断正误，并说明理由． $\displaystyle A_{5 \times 4}$ 矩阵，则 $\displaystyle \mathrm{r}\left(E_{5}-A^{\prime} A\right)=\mathrm{r}\left(E_{4}-A A^{\prime}\right)+1$ ．

1．设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，证明： （1）$\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}$ 等价于 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 是直和； （2）$\displaystyle V_{1} \cup V_{2}=V$ 等价于 $\displaystyle V_{1}=V$ 或 $\displaystyle V_{2}=V$ 。

3．已知实矩阵 $\displaystyle A_{n \times n}$ 的列向量组为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，行向量组为 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ ，证明：对任意的 $\displaystyle \gamma \in \mathbb{R}^{n}$ ，方程组 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n}=\gamma$ 有解的充要条件是 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

7．设 $\displaystyle P^{n}$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 中的两组向量． （1）给出并证明 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right) \cup L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}\right)$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 的子空间的充要条件； （2）给出并证明 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right) \cup L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}\right)=P^{n}$ 的充要条件．

8．设 $A$ 是实对称矩阵，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{4}, f(X)=X^{T} A X$ 是四元实二次型． （1）$\displaystyle S=\left\{X \in \mathbb{R}^{4} \mid f(X)=0\right\}$ 是不是 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 的子空间？为什么？ （2）若矩阵 $A$ 的正负惯性指数都是 1 ，证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的 3 维子空间 $W$ ，使得当 $\displaystyle X \in W$ 时， $\displaystyle f(X)=0$.

9．设 $V$ 是 $n$ 维复线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{B A}, f(t)$ 是一个复系数多项式。 （1） $\displaystyle \mathcal{B}$ 的特征子空间与核空间的和是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的不变子空间； （2）$\displaystyle f(\mathcal{A})$ 和 $\displaystyle f(\mathcal{B})$ 有共同的特征向量．

1．设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：$\displaystyle r(A)=r$ 的充分必要条件为存在 $\displaystyle m \times r$ 矩阵 $B$ 和 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $C$ 满足 $\displaystyle r(B)=r(C)=r$ ，且 $\displaystyle A=B C$.

5．设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有解的充分必要条件是齐次线性方程组 $\displaystyle A^{\prime} Y=\mathbf{0}$ 的任意解 $\displaystyle \alpha$ 满足 $\displaystyle \alpha^{\prime} \beta=0$.

三．设 $A$ 是实数域上的 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$X$ 是 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$X$ 的元素由独立的未知数构成，$\displaystyle m \leq n$ ．证明： $$ A X=E_{m} $$ 有解的充分必要条件是秩 $\displaystyle (A)=m$ ．

九．设实数域上方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{8 \times 8}$ 满足 $\displaystyle \left|a_{i j}\right| \leq 1$ ，其中 $\displaystyle i, j=1,2, \cdots, 8$ ，求 $\displaystyle |A|$ 的最大值．

3．$n(n \geq 2)$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{cccccc}x & y & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & y & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & y \\ y & 0 & 0 & \cdots & 0 & x\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

1．若 $\lambda_{0} \neq 0$ ，求证 $\lambda_{0}$ 也是 $\mathcal{B} \mathcal{A}$ 的特征值，并求相应的一个特征向量；

六、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}E_{r} & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$, 这里，$\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathcal{A}(V)$

9．设 $A$ 为 $\mathbf{n}$ 阶实反对称矩阵，$X$ 为非零的 $\mathbf{n}$ 维列向量，则 $X^{T} A X$ 为 $\_\_\_\_$。

2．求证 $\mathcal{A B}=\mathcal{B A}$ ．

1．求证 $\lambda$ 为 $\mathcal{A}$ 的特征值的存在充分必要条件为 $V_{\lambda} \neq\{0\}$ ；

六、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，求证 $\displaystyle V=\mathcal{A}(V) \oplus \operatorname{Ker}(\mathcal{A})$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}^{2}=\operatorname{Ker} \mathcal{A}$.

十、若 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，试用两种不同的方法证明 $\displaystyle r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ ．

2．设 $f(x)$ 为数域 $P$ 上的不可约多项式，则 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的关系是 $\_\_\_\_$。

3．若 $A$ 为 $n$ 阶可逆的反对称矩阵，则 $n$ 一定是 $\_\_\_\_$。

7．设 $\sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换， $\operatorname{Ker} \sigma=\{0\}$ ，则 $\sigma$ 为 $\_\_\_\_$。

8．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 可逆，则 $A B$ 与 $B A$ 的关系是 $\_\_\_\_$。

五、设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle P[x]$ 中两个互素的多项式，$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，求证： $\displaystyle \operatorname{Ker} f(\sigma)=\operatorname{Ker} f_{1}(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} f_{2}(\sigma)$ ．

一、填空（ $\displaystyle 10 \times 5=50$ 分） （1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组 $$ b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3} $$ 线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类． （10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

七、（本题 15 分）用数学归纳法证明：在复数域内，任意一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵都相似于一个上三角阵。

二、（本题 20 分）$\displaystyle V=\mathbb{R}^{3 \times 3}$ 视为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，令 $\displaystyle W_{1}=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}$ ， $\displaystyle W_{2}=\left\{A \in V \mid A^{T}=-A\right\}$. （1）求证 $\displaystyle W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 为 $V$ 的子空间，并分别写出 $\displaystyle W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 的一个基； （2）求证：$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

五、（本题 15 分）复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的一切 $\displaystyle n \times n$ 矩阵的集合 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 为复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性空间，对任何选定的矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，定义映射 $\displaystyle \phi_{A}: \mathbb{C}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{C}^{n \times n}, ~ X \rightarrow A X-X A$ ． （1）求证 $\displaystyle \phi_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 上的线性变换； （2）若矩阵 $A$ 可对角化，求证线性变换 $\displaystyle \phi_{A}$ 也可对角化．

六、（本题 10 分）设 $V$ 为数域 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，证明： $\displaystyle V=\sigma^{n}(V) \oplus \operatorname{Ker}\left(\sigma^{n}\right)$

3．$n$ 阶行列式 $A_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{array}\right|(n \geq 2)$ 的值为 $\_\_\_\_$。

4．若 $P$ 为5阶正交阵，则 $\left|E-P^{2}\right|=$ $\_\_\_\_$。

7．设 $A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，则矩阵方程 $A X=B$ 有解的充分必要条件为 $\_\_\_\_$。

2．求 $\sigma$ 的特征值和特征向量；

3．说明 $\sigma$ 可对角化，并求 $\mathbb{R}_{2}[x]$ 的一个基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ ，使 $\sigma$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。

1．求证 $V$ 为 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 的子空间，并求 $\operatorname{dim} V$ ；

2．求证： $\mathbb{R}^{n \times n}=V \oplus W$ ．

三、设 $\displaystyle V=\left\{A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(\mathcal{A})=0\right\}, W=\{a E \mid a \in \mathbb{R}\}$ ．

五、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{c}a_{1} \\ \vdots \\ a_{m}\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，求证：线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 与 $\displaystyle B x=0$ 同解的充分必要条件为行向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \ldots \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle b_{1}, \ldots b_{m}$ 等价。

八、设 $\displaystyle f(x, y)$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的对称双线性函数，$U$ 为 $V$ 的子空间， $\displaystyle U^{\perp}=\{v \in V \mid f(u, v)=0, \forall u \in U\}$ ，若 $\displaystyle U \bigcap U^{\perp}=\{0\}$ ，求证：$\displaystyle V=U \oplus U^{\perp}$ ．

六、设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为实对称矩阵，定义 $\displaystyle \mathbf{\phi}_{A}: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}, X \rightarrow A X A^{T}$ ，求证 $\displaystyle \mathbf{\phi}_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的可角化线性变换．

5．若 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为3维线性空间中两个不同的2维子空间，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

6．令 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}, A^{n-1} \neq 0, A^{n}=0$ ，则 $\displaystyle V=\{f(A) \mid f(x) \in \mathbb{R}[x]\}$ 作为实数域上的线性空间其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．$\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，则线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 对任意向量 $\displaystyle b \in \mathbb{R}^{m}$ 都有解的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

9．令 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ 的特征值为 $\displaystyle 1,2,3,4$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$

三、设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}, R(A)=\left\{A x \mid x \in \mathbb{R}^{n}\right\}, N(A)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}$ ，若 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 有相同的秩． 求证： （1）齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 和 $\displaystyle A^{2} x=0$ 同解； （2） $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=R(A) \oplus N(A)$ ．

八、设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 可逆，求证矩阵方程 $\displaystyle A X A^{T}-X=0$ 仅有零解的充要条件为 $A$ 的任何两个特征值的乘积不为 1 。

六、 $\displaystyle \mathbb{F}$ 为数域，$\displaystyle A, B \in \mathbb{F}^{n \times n}, A+B=E_{n}, A B=B A, A^{2}=A, B^{2}=B$ ，求证存在一个可逆矩阵 $P$ 使得 $$ P^{-1} A P=\left(\begin{array}{ll} E_{\mathrm{s}} & \\ & 0 \end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll} 0 & \\ & E_{t} \end{array}\right) $$ 这里 $\displaystyle s+t=n$ ．

1．求 $\displaystyle \operatorname{dim}(V \otimes W)$ ；

2．验证 $\displaystyle \phi$ 为 $\displaystyle V \otimes W$ 的线性变换，且求 $\displaystyle \phi$ 在 $\displaystyle V \otimes W$ 的某组基下的矩阵 $C$ ．

5．若 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle V=\left\{X \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \mid S X=X S\right\}$ 作为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间的维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

8．若 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 秩为 1 ，则 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

三、设 $\displaystyle V, W$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的线性空间， $\displaystyle \operatorname{dim} V=2, \operatorname{dim} W=3, \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 为 $V$ 的基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 为 $W$ 的基，再设 $\displaystyle \sigma, \eta$ 分别为 $V$ 和 $W$ 的线性变换，且它们在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，令线性空间 $\displaystyle V \otimes W=\{(v, w) \mid v \in V, w \in W\}$ 为 $V$ 和 $W$ 的外直和． $\displaystyle \left(v_{1}, w_{1}\right)+\left(v_{2}, w_{2}\right)=\left(v_{1}+v_{2}, w_{1}+w_{2}\right), k(v, w)=(k v, k w)$ $\displaystyle \phi: V \otimes W,(v, w) \rightarrow(\sigma(v), \eta(w))$.

二、设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,0,1), \alpha_{2}=(2,1,-1,1,-3), \alpha_{3}=(3,2,-1,1,-2) \in \mathbb{R}^{5}$ ，视 $\displaystyle \mathbb{R}^{5}$ 为欧氏空间。再令 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 生成的子空间 $\displaystyle W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ． （1）求 $W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ ； （2）求 $\displaystyle W^{\perp}$ 的一组标准正交基。

八、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，若 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)+\operatorname{dim} \tau(V)<n$ ，求证：$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个相同的特征值和特征向量．

六、若 $\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维欧氏空间的非零向量，子空间 $\displaystyle P_{\alpha}=\{\xi \in V \mid(\xi, \alpha)=0\}$ 为垂直于 $\displaystyle \alpha$ 的超平面，若 $\displaystyle (\gamma, \alpha)(\eta, \alpha)>0$ ，则称向量 $\displaystyle \gamma, \eta$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$ 的同侧，若向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{m}$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$的同侧，且它们相互夹角 $\displaystyle >\frac{\pi}{2}$ ，求证这组向量线性无关．

6．设 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的内积为 $\displaystyle (\alpha, \beta)=\alpha^{\prime} A \beta, A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{0}{1}$ 在此内积之下的度量矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．令 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ 的特征值为 $\displaystyle 1,2,3,4$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

8．设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，在矩阵方程 $\displaystyle A X=B$ 有解的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中， 基（I ）：$\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), A_{4}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ； 基（ I ）：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), B_{4}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ． 则在基（I）与基（I）下有相同坐标的矩阵的为 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ （ $k$ 为任意常数）．

6．线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，基（I ）：$\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{3}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \quad A\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{1} & 1\end{array}\right) \quad$ 到基 （II）：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right) \quad B_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \quad B_{3}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{1} & 0\end{array}\right) \quad B_{4}^{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{0} & 1\end{array}\right) \quad \text { 的过渡矩阵为 }}$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

六、设 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 是 的子空间． （1）判断命题＂若 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}, ~ V_{2} \cap V_{3}=\{0\}, ~ V_{3} \cap V_{1}=\{0\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 为直和＂是否正确，若正确给出证明，若不正确举出反例； （2）判断命题＂若 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}, V_{3} \cap\left(V_{1}+V_{2}\right)=\{0\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 为直和＂是否正确，若正确给出证明，若不正确举出反例．

四、设 $\displaystyle V=\left\{A \mid \operatorname{tr}(A)=0, A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\right\}$ （1）求证：按通常的矩阵加法和数乘构成实数域上的线性空间； （2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} V$ ，找出 的一组基，并用基的定义说明找出矩阵是 的基．

10．设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，$\displaystyle r(A)=n$ ，则 $n$ 元二次型 $\displaystyle X^{T}\left(A^{T} A\right) X$ 正定性为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

2．若 $\displaystyle f(x)$ 为数域 $P$ 上的不可约多项式，则 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的关系是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

7．设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变化， $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}=0$ ，则 $\displaystyle \mathcal{A}$ $\displaystyle \_\_\_\_$线性变化．

五、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为数域 上 维线性空间 上的线性变换，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle P[x]$ 中两个互素多项式，$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，求证： $\displaystyle \operatorname{Ker} f(\mathcal{A})=\operatorname{Ker} f_{1}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} f_{2}(\mathcal{A})$ ．

六、设 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 上的线性变化， $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证： （1）$\displaystyle V=\mathcal{A}(V) \oplus \operatorname{Ker}_{\mathcal{A}} \mathcal{A}$ ； （2）存在 的一个基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ ，在此基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\{1, \cdots, 1,0, \cdots, 0\}$（对角线为 $\displaystyle 1, \cdots, 1,0, \cdots 0$ ）的对角阵）。

十、（10分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $V$ 上的一个线性变换， $\displaystyle \operatorname{Im}(\mathcal{A})$ 与 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}$ 分别为线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的值域和核空间，求证： $\displaystyle \operatorname{Im}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} \mathcal{A}=V$ 的充分必要条件为 $\displaystyle \operatorname{Ker}(\mathcal{A})=\operatorname{Ker} \mathcal{A}^{2}$.

七、 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, a_{11}+a_{22}+a_{33}=2, A$ 的秩为1，证明 $A$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & & \\ & 0 & \\ & & 2\end{array}\right)$ 相似．

十、定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 上的线性变换 $\displaystyle T f(x)=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ． （1）求 $T$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 的基 $\displaystyle 1, x, x^{2}$ 下的矩阵； （6）证明 $\displaystyle \operatorname{Im}(T) \oplus \operatorname{Ker}(T)=\mathbb{R}[x]_{3}$ ．

4．在 $\mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，$\alpha_{1}=\left(\begin{array}{cc}-3 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{cc}1 & -3 \\ 1 & 1\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -3 & 1\end{array}\right), \alpha_{1}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1 & -3\end{array}\right)$ 的秩为 $\_\_\_\_$。

七、（15 分）$\displaystyle V=L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)\right), f_{1}(x)=e^{x} \sin x, f_{2}(x)=e^{x} \cos x$ ， $\displaystyle f_{3}(x)=x e^{x} \sin x, f_{4}(x)=x e^{x} \cos x, \mathcal{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$. （1）证明： $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 在基 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)$ 下的矩阵．

三、设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵，证明：$\displaystyle r\left(A^{T} A\right)=r(A)$ 。（15 分）

九、（15 分）$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A+B=E, A B=O, R(A)=\left\{A x \mid x \in \mathbb{R}^{n}\right\}$ ， $\displaystyle \operatorname{Ker}(B)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid B x=0\right\}$. （1）求证：$\displaystyle B A=O$ ； （2）求证：秩 $\displaystyle (B)=n-$ 秩 $\displaystyle (A)$ ； （3）求证：$\displaystyle R(A)=\operatorname{Ker}(B)$ ．

5．设 $V$ 是全体 4 阶实对称阵，按矩阵的加法和数乘运算构成的实数域上的线性空间，则 $\operatorname{dim} V=$ $\_\_\_\_$。

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

一．（10 分）计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(\sin t)^{\frac{3}{2}} \mathrm{~d} t}{\int_{0}^{x} t(t-\sin t) \mathrm{d} t}$ ．

三．（10 分）数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 分别收敛于 $\displaystyle a, b$ ，证明： $$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{a_{n}, b_{n}\right\} & =\max \{a, b\} \\ \lim _{n \rightarrow \infty} \min \left\{a_{n}, b_{n}\right\} & =\min \{a, b\} \end{aligned} $$

十．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上单调，且无界反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(\frac{n-1}{n}\right)}{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x $$

十二．（15分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，并且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，又设 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ 是满足 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}=1$ 的 $n$ 个正数．证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 中存在 $n$ 个不相同的数 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}$ ，使得 $$ \frac{k_{1}}{f^{\prime}\left(t_{1}\right)}+\frac{k_{2}}{f^{\prime}\left(t_{2}\right)}+\cdots+\frac{k_{n}}{f^{\prime}\left(t_{n}\right)}=1 $$

四．（10 分）求二重极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\sin \left(x^{3}+y^{3}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ．

8．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$C(A)=\{B \mid A B=B A\}$ ． （1）证明 $C(A)$ 是线性空间；（2）当 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $C(A)$ 的维数与一组基．

四．设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，$b$ 是 $m$ 维实列向量．求证：方程组 $\displaystyle A X=b$ 有解的充分必要条件为方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} A^{T} Y=0 \\ b^{T} Y=1 \end{array}\right. $$ 无解．

12．记 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 为所有次数小于 4 的实系数一元多项式及零多项式构成的线性空间．$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \forall f(x) \in \mathbb{R}[x]_{4}, \mathscr{T}(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=1, \varepsilon_{2}=x, \varepsilon_{3}=x^{2}, \varepsilon_{4}=x^{3}$ 下的矩阵 $A$ 。 （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值和线性无关的特性向量．

4．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank} A=\operatorname{rank} B=1, W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 分别为齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 和 $\displaystyle B X=0$ 的解空间，且 $\displaystyle W_{1} \neq W_{2}$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．设 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶非零实方阵，$E$ 为 3 阶单位阵，$A$ 与 $B$ 相似，且 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 满足 $$ A_{i j}=a_{i j}(i, j=1,2,3) $$ 其中 $\displaystyle A_{i j}$ 为元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，记 $\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，又已知 $\displaystyle |E+B|=|E-B|=0$ ，求 $$ \left|A^{*} B+2 A^{*}+2 B+4 E\right| $$

8．设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间，$V$ 的一组基 $\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ． （1）求证：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ 也是 $V$ 的基。 （2）求基 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 到基 $\displaystyle B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 的过渡矩阵．

9．设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关，且 $\displaystyle \beta_{k}=\sum_{i=1}^{n} c_{k i} \alpha_{i}(k=1,2, \cdots, n)$ ，令 $\displaystyle C=\left(c_{i j}\right)_{n \times n}$ ，求证：向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关的充要条件是 $\displaystyle |C| \neq 0$ ．

13．取 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，定义线性变换 $$ \sigma(X)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2} $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。 （2）证明：当 $\displaystyle a d-b c \neq 0$ 时，$\displaystyle \sigma$ 可逆． （3）当 $\displaystyle \sigma$ 可逆时，求 $\displaystyle \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。

14．设 $V$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$V$ 上线性变换 $\displaystyle \tau$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} \lambda & & & \\ 1 & \lambda & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \lambda \end{array}\right) $$ 证明：对任意非零的 $\displaystyle \tau$－子空间 $W$ ，有 $\displaystyle \varepsilon_{n} \in W$ ．

九．（15 分）对非负整数 $n$ ，已知 $\displaystyle M_{2 n+1}(\mathbb{R})$ 关于矩阵加法与数乘构成一个实线性空间，设 $V$ 是 $\displaystyle M_{2 n+1}(\mathbb{R})$的一个非零子空间，满足 $V$ 中任意非零矩阵都可逆．求证： $\displaystyle \operatorname{dim} V=1$ ．

八．（15分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是正定对称矩阵，其对角元 $\displaystyle a_{i i}$ 及特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 满足 $$ a_{11} \leq a_{22} \leq \cdots \leq a_{n n}, \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n} . $$ 问 $\displaystyle \lambda_{i} \leq a_{i i}$ 是否对所有 $\displaystyle 1 \leq i \leq n$ 成立？若成立，给出证明；若不成立，举出反例．

九．设随机变量 $X$ 的分布律为 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k}}, k=1,2, \cdots$ ，令 $\displaystyle Y=\sin \left(\frac{\pi}{2} X\right)$ ． （1）求 $Y$ 的分部律． （2）设随机变量序列 $\displaystyle \left\{Y_{n}, n=1,2, \cdots\right\}$ 独立同分布，且与 $Y$ 有相同的分布函数． $\displaystyle (2-1)$ 对于任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，利用切比雪夫不等式证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} Y_{k}-\frac{2}{5}\right|>\varepsilon\right)=0 $$ $\displaystyle (2-2)$ 设常数 $\displaystyle a>0$ ，满足 $\displaystyle \Phi\left(\sqrt{\frac{75}{38}}\right)=a$ ，其中 $\displaystyle \Phi$ 为标准正态分布的分布函数，求 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\left|\sum_{k=1}^{n} Y_{k}-\frac{2 n}{5}\right|>1\right) $$

五．设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的正交变换，设子空间 $$ V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha, \alpha \in V\}, V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-\sigma(\alpha), \alpha \in V\} . $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

四．设 $\displaystyle A, B$ 分别是数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n, n \times s$ 矩阵，$\displaystyle V=\left\{B \gamma \mid \gamma \in P^{s}, A B \gamma=0\right\}$ 是 $n$ 维向量空间 $\displaystyle P^{n}$ 的子空间，证明：维 $\displaystyle (V)=$ 秩 $\displaystyle (B)-$ 秩 $\displaystyle (A B)$ ．

2．（可能有误）三阶矩阵 $A$ 的行列式因子为 $1, x-2,(x-2)^{2}(x-3)^{2}$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形为 $\_\_\_\_$ ．

6．多项式 $x^{3}-1$ 与 $x^{5}-1$ 的最大公因式为 1 ．

7．若向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，则 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}-\alpha_{3}, \alpha_{1}+2 \alpha_{3}$ 也线性无关．

8．若 $U, V$ 时 $\mathbb{F}^{n}$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} V=n$ ，则 $\mathbb{F}^{n}=U \oplus V$ ．

11．（15 分）已知线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}-2 b x_{2}+2 x_{4}=1 \\ x_{1}-2 x_{2}+(a-1) x_{3}+x_{4}=2 \\ 2 x_{1}-4 b x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=b \end{array}\right. $$ 有三个线性无关的解，求参数 $a, b$ 和该方程组的通解．

15．（20分）（可能有误）设矩阵 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶复矩阵，且 $A, B$ 无公共的特征值．如果 $A, B$ 可对角化，证明：对任意的 $m \times n$ 复矩阵 $C$ ，矩阵 $H=\left(\begin{array}{cc}2 A & C \\ O & 3 B\end{array}\right)$ 可对角化．

16．（20 分）已知矩阵 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{T} & B\end{array}\right)$ ，其中 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶实矩阵，$C$ 为 $m \times n$ 实矩阵，且 $A, B$ 实对称．证明或否定下列命题： （1）如果 $D$ 正定，则 $A, B$ 可逆。 （2）如果 $D$ 正定，则 $B-C^{T} A^{-1} C$ 也正定．

判断题 （1）$U$ 是酉矩阵，$\displaystyle U^{*}$ 是 $U$ 的共轭转置，则 $U$ 的所有特征值的模长为 1 （2）$\displaystyle A, B$ 为二阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 有相同的迹和行列式，则 $\displaystyle A, B$ 一定相似 （3）$\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle n \times k$ 阶复矩阵，$\displaystyle C=A B$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C) \leq \min \{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$ （4）$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，则存在 $\displaystyle A B-B A=I_{n}$ （5）$\displaystyle U_{1}, U_{2}, U_{3}$ 是 $V$ 的子空间 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(U_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{2} \cap U_{3}\right)+2 \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}\right)$证明题

4．$\displaystyle W_{i}$ 是 $V$ 的任意 $k$ 个真子空间，$V$ 是 $C$ 上的线性空间，$\displaystyle t_{i}$ 是 $V$ 中任意 $k$ 个向量，$\displaystyle t_{i}+W_{i}=\left\{t_{i}+w_{i} \mid w_{i} \in W_{i}\right\}$证明 （1）$\displaystyle V \neq \cup_{i=1}^{k} W_{i}$ （2）$\displaystyle V \neq \cup_{i=1}^{k}\left(t_{i}+W_{i}\right)$

7．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+\lambda x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ 是正定的，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

7．（15 分）设矩阵 $A$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，证明：矩阵 $A$ 能唯一地分解为 $\displaystyle A=Q U$ ，其中 $Q$ 是正交矩阵，$\displaystyle U=\left(u_{i j}\right)_{n \times n}$ 是上三角矩阵且对角元 $\displaystyle u_{i i}(1 \leq i \leq n)$ 均为大于 0 的实数．

9．（20 分）设实数域上的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=O$ ，记 $$ B=A A^{\mathrm{T}}+A^{\mathrm{T}} A, C=A+A^{\mathrm{T}} $$ 令 $\displaystyle \operatorname{Ker}(B), \operatorname{Ker}(C), \operatorname{Im}(A)$ 和 $\displaystyle \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right)$ 为如下定义的实向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的子空间： $$ \begin{aligned} & \operatorname{Ker}(B)=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid B X=0\right\}, \operatorname{Ker}(C)=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid C X=0\right\}, \\ & \operatorname{Im}(A)=\left\{A X \mid X \in \mathbb{R}^{n}\right\}, \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right)=\left\{A^{\mathrm{T}} X \mid X \in \mathbb{R}^{n}\right\} . \end{aligned} $$ 证明： （1） $\displaystyle \operatorname{Ker}(B)=\operatorname{Ker}(C)$ ． （2） $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=\operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right) \oplus \operatorname{Ker}(B)$ ．

7．设 $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间，则 $V$ 能表示成它的 2 个真子空间的并．

18．设 $\mathscr{A}$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂零线性变换，即存在正整数 $k$ ，使得 $\mathscr{A}^{k}=\mathscr{O}$ ，证明：存在 $V$ 上的线性变换 $\mathscr{B}$ ，使得 $\mathscr{B}^{2}=\mathscr{I}+\mathscr{A}$ ，其中 $\mathscr{I}$ 为恒等变换。

4．与矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 10 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & 1\end{array}\right)$ 乘法可交换的所有实矩阵在实数域上对于矩阵加法和数乘构成一个线性空间 $V$ ，则 $V$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．

3．已知 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\varphi$ 对于基 $\xi_{1}=(-1,0,2)^{\mathrm{T}}, \xi_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \xi_{3}=(3,-1,-6)^{\mathrm{T}}$ 的像为 $$ \varphi\left(\xi_{1}\right)=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{2}\right)=(0,-1,2)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{3}\right)=(-1,-1,3)^{\mathrm{T}} $$ （1）求 $\varphi$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ 下的矩阵。 （2）设 $x=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\varphi(x)$ ． （3）证明：$\xi_{1}-\xi_{3}, \xi_{2}, \xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的基，并求 $\varphi$ 在该基下的矩阵。

4．设 $V$ 是数域 $P$ 上的4维线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，$\sigma$ 在 $V$ 的基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵为 $A$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 4 & 2 & 5 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & -2 & 1 \\ -1 & 4 & -1 & 1 \end{array}\right) $$ （1）求包含 $\varepsilon_{1}$ 的最小的 $\sigma$－不变子空间 $W$ ． （2）记 $\sigma_{1}$ 为 $\sigma$ 在 $W$ 上的限制，求 $\sigma_{1}$ 在 $W$ 的基下的矩阵 $A_{1}$ 的 Jordan 标准形．

6．设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，记 $\displaystyle C(A)=\left\{B \in \mathbb{C}^{n \times n} \mid A B=B A\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle C(A)$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 的子空间． （2）若 $A$ 为单位矩阵，求 $\displaystyle C(A)$ ． （3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基和维数． （4）若将（3）中 $\displaystyle C(A)$ 看作 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基和维数．

九、（本题15分）设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维欧氏空间上的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ 也是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。

二、（本题 15 分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n, \eta_{0}$ 为非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个特解，且 $\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{n-r}$为齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 的一个基础解系．证明：$\displaystyle \eta_{0}, \eta_{0}+\eta_{1}, \eta_{0}+\eta_{2}, \cdots . \eta_{0}+\eta_{n-r}$ 是方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解．ff：线性方程组

六、（本题满分 20 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}4 & & & \\ 1 & 4 & & \\ & 1 & 4 & \\ & & 1 & 4\end{array}\right), W=\left\{B \mid A B=B A, B \in P^{4 \times 4}\right\}$ ，求证： （1）$W$ 为 $\displaystyle P^{4 \times 4}$ 的子空间； （2）求 $W$ 的维数与一组基．fl：线性空间与线性变换

四、（本题15分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$H$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$\displaystyle r(H)=n$ ，求证：$\displaystyle r(A H)=r(A)$ ．

4．（可能有误）矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{5 \times 5}$ ，其最小多项式为 $\displaystyle (\lambda-1)(\lambda-2)^{3}, A-I$ 不可逆，则复空间 $\displaystyle V=\{B \in \left.\mathbb{C}^{5 \times 5} \mid A B=B A\right\}$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$。

5．数域 $F$ 上 4 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 有 4 个不同的特征值，则 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的 2 维不变子空间的个数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

二．（10 分）设 $\displaystyle \operatorname{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}|x|, & x \neq 0 ; \\ 0, & x=0 .\end{array}, D_{n}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}\right.$ ，其中 $\displaystyle a_{i j}=\operatorname{sgn}(i-j)$ ，求 $\displaystyle \operatorname{det}\left(D_{n}\right)$ ．

五．（15 分）设矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle T: A \mapsto A B-2 A^{T}, \forall A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ． （1）求线性变换 $T$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （2）在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中找一组基，使得变换在基下的矩阵为对角阵。

八．（20分）设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换．证明： （1）若存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+1}$ ，则对任意正整数 $l$ ，有 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l}$ ； （2）证明：存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} \oplus \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m}$ ．

四．（15 分）$A$ 为 $\displaystyle 3 \times 4$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle 4 \times 3$ 矩阵． （1）证明：$\displaystyle \left|\lambda I_{4}-B A\right|=\lambda\left|\lambda I_{3}-A B\right|$ ； （2）若 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=6, A B$ 每行元素之和均为 $\displaystyle 1, B A-2 I$ 不可逆，求 $\displaystyle |B A+2 I|$ ．

1．设 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}, \lambda$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的复特征值，此时 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的相应特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid \mathscr{A} \alpha=\lambda \alpha\} \neq 0$ ． （1）证明 $\displaystyle V_{\lambda}$ 是一个 $\displaystyle \mathscr{B}$－子空间； （2）将 $\displaystyle \mathscr{B}$ 限制到 $\displaystyle V_{\lambda}$ 得到的线性变换记为 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ ，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 可对角化，证明 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ 也可对角化。 （3）若 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 都可以对角化，证明：存在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 在该基下的矩阵都为对角阵。

2． 4 阶实矩阵 $A$ 的秩为 2 ，线性无关的向量 $\displaystyle \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{4}$ 满足 $\displaystyle A(\alpha+\beta)=4 \alpha+3 \beta, A(\alpha-\beta)=2 \alpha-3 \beta$ ，试确定线性空间 $\displaystyle S=\left\{B \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \mid A B=B A\right\}$ 的维数．

3．设 $V$ 是全体 4 阶实矩阵关于矩阵加法和数乘构成的实线性空间，记 $$ V_{1}=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}, V_{2}=\left\{\left(a_{i j}\right) \mid a_{i j}=0, \forall i>j\right\} $$ 则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．设 $V$ 是 $\displaystyle n(n>1)$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的单位向量． （1）$V$ 上的正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 称为关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 满足： （i）若 $\displaystyle (\alpha, \beta)=0$ ，则 $\displaystyle \mathscr{B} \beta=\beta$ ； （ii） $\displaystyle \mathscr{B} \alpha=-\alpha$ ． 证明：如果正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 是关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射，则 $\displaystyle \mathscr{B} \gamma=\gamma-2(\alpha, \gamma) \alpha, \forall \gamma \in V$ 。 （2）设 $\displaystyle \beta$ 也是 $V$ 中的单位向量，证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 使得 $\displaystyle \operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(\mathscr{A}-1_{V}\right)=n-1$ 且 $\displaystyle \mathscr{A} \alpha=\beta$ ，其中 $\displaystyle 1_{V}$ 表示 $V$ 上的恒等变换。

5．设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{rr}2 & -\frac{1}{2} \\ 3 & -\frac{1}{2}\end{array}\right), X=\binom{1}{1}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} X^{T} B^{i} X$ 的值．

6．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -3 & 5\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}4 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 4\end{array}\right), f(x)$ 是使得 $\displaystyle f(A)=O$ 且 $\displaystyle f(B)=O$ 的次数最小的首项系数为 1 的多项式，则 $\displaystyle f^{\prime}(0)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

1．已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{lllll} 0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & 0 & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ 32 & & & & 0 \end{array}\right) $$ 计算 $\displaystyle f(x)=|x I-A|$ ，并求 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left((x I-A)^{*}\right)-f^{\prime}(x)$ ．

3．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \operatorname{End}_{F}(V)$ 上的线性变换，$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的最小多项式。 （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 可对角化的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 可分解为互素一次因式的乘积． （2）若 $\displaystyle A^{5}=I, A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，当 $\displaystyle F=\mathbb{Q}$ 或 $\displaystyle F=\mathbb{C}$ 时，$A$ 是否可以对角化？请说明理由．

4．若矩阵 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r<n$ ，则 $\displaystyle A X=b$ 的解中线性无关的向量的个数最多为 $\displaystyle \_\_\_\_$个。

4．设矩阵 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right) P^{-1}$ ，且 $\displaystyle C(A)=\left\{X \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \mid A X=X A\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle C(A)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 的子空间； （2）求 $\displaystyle C(A)$ 的维数和基．

5．设 $A$ 为 4 阶实对称矩阵，三个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=4$ ，且 $\displaystyle |A|=-12$ ，其中 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 分别为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 特征子空间，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(\left(V_{1} \oplus V_{2} \oplus V_{3}\right)^{\perp}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle \operatorname{End}_{F}(V)$ 上的线性变换，且多项式 $\displaystyle f(x)$ 无重根，则 $\displaystyle \operatorname{Im} f(\mathscr{A})+ \operatorname{Im} f^{\prime}(\mathscr{A})=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．已知 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，且 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B} \in \operatorname{End}_{F}(V)$ ．证明： $$ \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{A} \mathscr{B}) \leq \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{A})+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{B}) $$ 并证明 $\displaystyle R(A B) \geq R(A)+R(B)-n, \forall A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ．

10．在 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 关于标准内积构成的线性空间中，$\displaystyle \alpha=(1,2,1,1), \beta=(-2,0,0,1), V=\operatorname{span}(\alpha, \beta)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 的子空间． （1）求 $V$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 中的正交补的一组基． （2）求 $\displaystyle \gamma=(3,4-2,2)$ 在 $V$ 中的正交投影，即求 $\displaystyle \delta \in V$ ，使得 $\displaystyle \|\delta-\gamma\|$ 最小．

11．设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}$ ．证明：存在 $V$ 的子空间 $W$ ，使得 $\displaystyle W=V_{1} \oplus W=V_{2} \oplus W$ ．

14．设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{2 \times 2}, f(X, Y)=X^{T} A Y$ 是复数域上 2 维列向量空间 $\displaystyle \mathbb{C}^{2}$ 上的对称双线性函数．证明：存在非零列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{2}$ ，使得 $\displaystyle f(\alpha, \alpha)=0$ 。

3、线性空间 $V$ 的维数为 30 ，线性空间 $\mathcal{A V}, \mathcal{B V}, \mathcal{C V}$ 的维数分别为 $24, \mathcal{A B C V}$ 的最小维数是 $\_\_\_\_$。

11、12维线性空间 $V$ ，且 $A B=B A . \operatorname{dim} V_{A}=5, \operatorname{dim} V_{B}=4, \operatorname{dim} V_{A+B}=6$ ． （1）证明 $A B X=0$ 所生成的线性空间的维数最小值是 3 ． （2）$R(A B) \leq R(A)+R(B)-R(A+B)$ ．

1．空间直角坐标系下，已知向量 $\vec{\alpha}=(1,0,-1), \vec{\beta}=(1,-2,0), \vec{\gamma}=(-1,2,-1)$ ，则 $(2 \alpha+\beta+\gamma) \times(\alpha+\beta+\gamma) \times(\alpha+\beta)=$ $\_\_\_\_$

四．（15 分）（学硕）设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一个向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中 $n$ 个非零向量．令 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $n$ 维行向量空间，记 $\displaystyle W=\left\{\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i}=0\right\}$ ．假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的极大线性无关组包含 $r$ 个向量，证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的 $\displaystyle n-r$ 维子空间． （15 分）（专硕）证明：有限维欧氏空间任意一组正交的非零向量都线性无关。

三．（15 分）设 $M$ 是秩为 $r$ 的 $m$ 阶方阵，$V$ 是全体 $\displaystyle m \times n$ 矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $\displaystyle \varphi$ 为 $$ \varphi(N)=M N, N \in V $$ 证明：$\displaystyle \varphi$ 是线性变换，并求 $\displaystyle \varphi$ 的像空间的维数．

二．（12 分）证明：$n$ 维向量空间 $\displaystyle \mathbb{F}^{n}$ 的任意一个不等于 $\displaystyle \mathbb{F}^{n}$ 的子空间都是若干个 $\displaystyle n-1$ 维子空间的交．

五．（15 分）设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，若存在 $\displaystyle n \times m$ 矩阵 $G$ ，满足 $\displaystyle A G A=A$ ，则称 $G$ 为 $A$ 的一个广义逆．若 $A$为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且满足 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cc}I_{r} & O \\ O & O\end{array}\right) Q$ ，其中 $\displaystyle P, Q$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵。证明：$A$ 的全部广义逆可表示为 $$ G=Q^{-1}\left(\begin{array}{cc} I_{r} & C \\ D & F \end{array}\right) P^{-1} $$ 其中 $\displaystyle C, D, F$ 分别是任意的 $\displaystyle r \times(m-r),(n-r) \times r,(n-r) \times(m-r)$ 矩阵．

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的一个 $n$ 维线性空间，在 $V$ 上定义一个二元实值函数，记为 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ ，且满足：对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma \in V, k \in \mathbb{R}$ ，有 （i）$\displaystyle [k \alpha, \beta]=k[\alpha, \beta]$ ． （ii）$\displaystyle [\alpha+\beta, \gamma]=[\alpha, \gamma]+[\beta, \gamma]$ ． （iii）$\displaystyle [\alpha, \beta]=-[\beta, \alpha]$ ． （iv）如果 $\displaystyle [\alpha, \beta]=0$ 对任意的 $\displaystyle \beta \in V$ 成立，则有 $\displaystyle \alpha=0$ ． 此时我们称 $V$ 关于该二元函数构成一个实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $S$ 空间。证明：对于一个 $n$ 为 $S$ 空间 $V$ ，以下结论成立： （1）$\displaystyle n \neq 1$ ． （2）对于 $V$ 中的任意非零向量 $\displaystyle \alpha$ ，存在 $\displaystyle \beta \in V$ ，使得 $\displaystyle [\alpha, \beta]=1$ ． （3）设 $K$ 为 $V$ 中的由（2）中的 $\displaystyle \alpha, \beta$ 生成的子空间，记 $$ K^{\perp}=\{\gamma \in V \mid[\gamma, \delta]=0, \forall \delta \in K\} . $$ 证明：$\displaystyle K^{\perp}$ 也是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=K \oplus K^{\perp}$ ． （4）证明：$n$ 为偶数（记 $\displaystyle n=2 k$ ），且存在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{k}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-k}$ ，使得 $$ \left[\varepsilon_{i}, \varepsilon_{-i}\right]=1, \forall 1 \leq i \leq k ;\left[\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right]=0, \forall i, j \in\{ \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm k\} \text {, 并且 } i+j \neq 0 \text {. } $$

3．取实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 3 级矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right) $$ （1）求正交矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{\prime} A C$ 为对角矩阵，其中 $\displaystyle C^{\prime}$ 表示 $C$ 的转置． （2）求正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ．

5．设 $A$ 是 $n$ 级半正定矩阵，$D$ 是 $n$ 级实矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 表示 $A$ 的伴随矩阵． （1）证明：若 $A$ 正定，则 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 半正定． （2）当 $A$ 非正定时，请问 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 是半正定吗？说明理由．

7．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵可以对角化，证明：对 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的任意不变子空间 $\displaystyle W, \mathscr{A}$ 限制在 $W$ 上的变换 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 的矩阵也可以对角化。

8．设 $f$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，这里 $\displaystyle n \geq 2$ ，它在一组基下的矩阵 $A$ 为对角线元素为 1的若尔当块 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $f$ 的特征多项式，特征值及相应的特征子空间的维数．请回答 $A$ 可以对角化吗？说明理由． （2）证明：矩阵 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 相似．

9．设 $\displaystyle V, W$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的两个线性空间，其维数分别为 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n, \operatorname{dim} W=m, \sigma$ 是 $V$ 到 $W$ 的一个满射，且满足线性性，即 $$ \sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta), \sigma(k \alpha)=k \sigma(\alpha), \forall \alpha, \beta \in V, k \in \mathbb{P} . $$ 记 $\displaystyle U=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}$ ，证明：$U$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} U=n-m$ ．

3．如果把复 $n$ 级对称矩阵按合同分类，即两个复 $n$ 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有 $\_\_\_\_$类。

1）求 $B$ 的行列式因子、不变因子和初等因子；

4．$V=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right) \mid x_{i} \in P\right\}$ 是 $P$ 上的 $n$ 维向量空间，定义： $$ \sigma\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right)=\left(0, x_{1}, \cdots, x_{n-1}\right) $$

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

5、 $W=\left\{\left(x_{0} x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{1}+x_{0}+\cdots+x_{n}=0\right\}$ 的补空间 $W^{\perp}$ 的一组标准正交基。

1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组 $$ \beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m} $$ 线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．

2．设 $\left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}=(1,2,1,0) \\ \alpha_{2}=(-1,1,, 1,1)\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}\beta_{1}=(2,-1,0,1) \\ \beta_{2}=(1,-1,3,7)\end{array}\right.$ ，求向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间与向量组 $\beta_{1}, \beta_{2}$生成的子空间的交的基与维数．

2．设 $A$ 是数域 $K$ 上 $m \times n$ 矩阵，$V$ 是 $K$ 上满足 $A X=O(X$ 是 $n \times s$ 未知矩阵，$O$ 是 $m \times s$ 零矩阵）的全体 $n \times s$ 矩阵组成的集合。问：对矩阵普通加法以及数与矩阵乘法，$V$ 是否构成线性空间？若 $V$ 构成线性空间，求其维数并给出一组基．

3．设 $\alpha_{1}=(1,1,1)^{T}, \alpha_{2}=(1,1,2)^{T}, \alpha_{3}=(1,2,3)^{T}$ ，试证：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的一组基，并用两种方法求向量 $\alpha=(6,9,14)^{T}$ 在该组基下的坐标．

4．设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，$f(x), g(x) \in P[x], h(x)=f(x) g(x)$ ．证明： （1） $\operatorname{Ker} f(\sigma)+\operatorname{Ker} g(\sigma) \subseteq \operatorname{Ker} h(\sigma)$ ； （2）若 $(f(x), g(x))=1$ ，则 $\operatorname{Ker} h(\sigma)=\operatorname{Ker} f(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} g(\sigma)$ ．

6．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵且 $A+B=A B$ ，求 $A-E$ 的逆矩阵，并证明 $A B=B A$ ．

7．求 $n$ 阶方阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a^{2} & a & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & \cdots & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵。

8．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，证明 $A B$ 正定的充要条件为 $A B=B A$ ．

1．求解微分方程 $y=\left(y^{\prime}-1\right) e^{y^{\prime}}$ ．

5．求区域 $G$ ，使得当 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in G$ 时，初值问题 $\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}=2 \sqrt{1+y} ; \\ y\left(x_{0}\right)=y_{0} .\end{array}\right.$ 的解存在且唯一．

3．（10分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\alpha$ 为 $n$ 维实的列向量，证明：$A^{-1}$ 与 $A+\alpha \alpha^{T}$ 均为正定矩阵，其中 $A^{-1}$ 为 $A$ 的逆矩阵，$\alpha^{T}$ 为 $\alpha$ 的转置。

4．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & b & -c \\ -b & 0 & a \\ c & -a & 0\end{array}\right)$ 为实矩阵，令 $B=A^{2}+q A+E$ ，其中 $q=a^{2}+b^{2}+c^{2}, E$ 为三阶单位阵。试问：当且仅当 $q$ 为何值时，矩阵 $B$ 是正交矩阵？

2．（10 分）求方程 $\left(y^{\prime}\right)^{3}+y^{3}-3 y y^{\prime}=0$ 的通解．

3．（10 分）试证若 $y=\varphi(x)$ 是方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=p(x) \sin y$ 的满足初试条件 $\varphi(0)=0$ 的解，则 $\varphi(x) \equiv 0$ ，其中 $p(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续．

4．（20 分）设 $t>0, x, y$ 是关于 $t$ 的函数，解方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} t x^{\prime}-x-y=0 \\ t y^{\prime}+x-y=0 \end{array}\right. $$

5．（10 分）是否存在 $\mathbb{R}$ 上连续函数 $p, q$ ，使得微分方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0, x \in \mathbb{R}$ 有两个解 $\phi(x)=\sin x, \psi(x)=x e^{x}, x \in \mathbb{R} ?$

3、（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n} \times \mathbf{m}$ 实矩阵。证明：如果 $\displaystyle r(B)=m$ ，则 $m$ 阶实方阵 $\displaystyle B^{T} A B$ 为正定矩阵。

4、（10 分）求解微分方程 $\displaystyle y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=x e^{x} \sin x$ 的通解．

6、（20 分）设 $W$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的非零子空间，$\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma(W)$ 与 $\displaystyle \sigma^{-1}(W)$ 分别表示 $W$ 中全体的像与原像构成的子空间，证明： （1） $\displaystyle \operatorname{dim}(\sigma(W))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma \cap W)=\operatorname{dim}(W)$ ． （2）若 $\displaystyle W \subseteq \operatorname{Im} \sigma$ ，则 $$ \operatorname{dim}(W) \leq \operatorname{dim}\left(\sigma^{-1}(W)\right) \leq \operatorname{dim}(W)+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma) . $$ ## 2025 年山东大学常微分方程考研真题

2．解方程：$\displaystyle y=x\left(y^{\prime}+\sqrt{1+y^{\prime 2}}\right)$

3．已知 $\displaystyle y^{\prime}+y=f(x), f(x)$ 连续且 $\displaystyle |f(x)| \leq M$ ，证明：$\displaystyle y=y(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 存在有界解，并求出该解。

4．已知 $\displaystyle y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=f(x)$ 的有界解为 $\displaystyle \psi(x)$ ，证明：若 $f$ 是周期为 $T$ 的连续函数，则 $\displaystyle \psi(x)$ 是周期为 $T$ 的连 续函数。

5．解方程组：$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=-4 x-2 y+\frac{2}{e^{t}-1} \\ y^{\prime}=6 x+3 y-\frac{3}{e^{t}-1}\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle x, y$ 是关于 $t$ 的函数

3、线性空间 $V$ 的维数为 30 ，线性空间 $\mathcal{A V}, \mathcal{B V}, \mathcal{C V}$ 的维数分别为 $24, \mathcal{A B C V}$ 的最小维数是 $\_\_\_\_$。

7、在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，定义内积 $(\alpha, \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \alpha=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ． $u, v, w \in \mathbb{R}^{3}$ ，其长度分别为 $1,2,4$ ，它们两两之间夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ． （1）直接写出 $u, v, w$ 的格拉姆矩阵 $G=\left(\begin{array}{lll}(u, u) & (u, v) & (u, w) \\ (v, u) & (v, v) & (v, w) \\ (w, u) & (w, v) & (w, w)\end{array}\right)$ ． （2） $\operatorname{det}\left(I+u^{T} u+v^{T} v+w^{T} w\right)$ 的值．

8、若 $\beta=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 7\end{array}\right)$ 可由 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 4 c\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}2 \\ c \\ 10\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$ 的两种不同系数的线性表出． （1）$c$ 的值． （2）$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 \\ c x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=5 \\ 3 x_{1}+5 x_{2}+(12-c) x_{3}=7\end{array}\right.$ 的通解．

六、已知 $V$ 是数域 $P$ 上由对称矩阵的加法和数乘构成的线性空间，且 $\displaystyle U=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}, W=\{\lambda E \mid \lambda \in P\}$ 1．证明 $\displaystyle U, W$ 为 $V$ 上的子空间． 2．求 $U$ 和 $W$ 的基和维数． 3．证明：$\displaystyle V=U \oplus W$ ．

四、二次型 $\displaystyle f(x)=X^{\prime} A X$ 的矩阵 $A$ 的 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=3$ ，且满足 $$ A\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -1 & -4 \\ 2 & -4 \end{array}\right] $$ 1．求 $A$ 的特征值及对应的特征向量． 2．写出 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的表达式． 3．求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为标准型．

6．假设 $\displaystyle A_{m \times n}$ 为行满秩实矩阵，$\displaystyle m<n$ ，令 $\displaystyle B=A^{T} A$ 。 （1）证明：使得 $\displaystyle x^{T} B x=0$ 的所有 $x$ 构成 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的一个线性子空间 $W$ ； （2）求 $W$ 的维数

7．已知 $\displaystyle R^{n \times n}$ 是全体 $n$ 阶矩阵组成的线性空间，$\displaystyle f_{A}$ 是 $\displaystyle R^{n \times n}$ 上的线性变换，定义为 $\displaystyle f_{A}=A X+X A$ ， $\displaystyle X \in R^{n \times n}$ ，其中 $A$ 为实对称矩阵 （1）求 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 的维数和一组基 （2）证明：$\displaystyle f_{A}$ 为 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 上的线性变换 （3）问：取什么基时 $\displaystyle f_{A}$ 的矩阵可以化为对角形？请求出这组基和对角形形式

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A=3$ ，则行列式 $\operatorname{det}\left(A^{*}-A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

6．设 $F$ 是数域， $$ \begin{aligned} & V_{1}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a+b+c=0, a, b, c \in F\right\} \\ & V_{2}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a-b+c=0, a, b, c \in F\right\} \end{aligned} $$ 则 $\_\_\_\_$是 $V_{1}$ 的一个基，$V_{1}$ 的维数＝ $\_\_\_\_$ ，$V_{1} \cap V_{2}$ 的 维 数 $=$ $\_\_\_\_$。

7．设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\lambda^{4}(\lambda-1)^{2}$ ，且 $r(A)=4, r\left(A^{2}\right)=2, r(A-E)=4$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形是 $\_\_\_\_$。

1．填空题 （1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足 $$ \sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} . $$ 则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式． （8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

2．已知 $A$ 为 3 阶实矩阵，其每行元素之和为 6 ，且 $\displaystyle \alpha_{1}=(,,)^{\prime}, \alpha_{2}=(,,)^{\prime}$ 为方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解。 （1）求 $A$ 的特征值与特征向量； （2）求 $A$ 与 $\displaystyle (A-3 E)^{4}$ ．

3．已知 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为 $n$ 维实列向量，且当 $\displaystyle i \neq j$ 时，有 $\displaystyle X_{i}^{\prime} A X_{j}=0$ ，证明： $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关。

6．设 $\displaystyle W_{1}, W_{2}, W_{3}$ 均为有限维线性空间 $V$ 的子空间，且 $$ W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{3}, W_{1} \cap W_{2}=W_{2} \cap W_{3}, W_{1} \subseteq W_{2} . $$ 证明 $\displaystyle W_{1}=W_{2}$ ．

7．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，且 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \varphi \oplus W$ ，证明： $$ V=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \varphi . $$

2．设 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 不可逆，且 $A_{11} \neq 0$ ，则 $\_\_\_\_$是 $A$ 的伴随矩阵的行向量组的一个极大线性无关组。

3．设 $V_{1}, V_{2}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间， $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=\operatorname{dim} V_{1}+1$ ，则 $\operatorname{dim} V_{2}-\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

七．设 $\displaystyle U, V$ 为数域 $F$ 上的有限维线性空间，$\displaystyle \varphi: V \rightarrow U, \psi: U \rightarrow V$ ，且 $\displaystyle \psi \varphi=\operatorname{id}_{V}$ ，证明：$\displaystyle U=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \psi$ ．

八．设 $\displaystyle \varphi$ 为数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，设 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in V$ ，记 $$ F[\varphi] \alpha=\{f(\varphi) \alpha \mid f(\lambda) \in F[\lambda]\} $$ 设 $\displaystyle \varphi$ 限制在 $\displaystyle F[\varphi] \alpha$ 上的线性变换为 $\displaystyle \varphi_{1}$ ，若 $\displaystyle \varphi_{1}$ 的极小多项式 $\displaystyle m_{\varphi_{1}}(\lambda)$ 的标准分解式为 $$ m_{\varphi_{1}}(\lambda)=p_{1}^{e_{1}}(\lambda) p_{2}^{e_{2}}(\lambda) \cdots p_{t}^{e_{t}}(\lambda) $$ 其中 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 两两互素，且对每个 $\displaystyle 1 \leq i \leq t$ ，都有 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 首一且不可约，$\displaystyle e_{i} \geq 1$ ，则存在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ ，使得 （1）$\displaystyle F[\varphi] \alpha_{i}=\operatorname{Ker} p_{i}^{e_{i}}\left(\varphi_{1}\right)$ ； （2）$\displaystyle F[\varphi] \alpha=F[\varphi] \alpha_{1} \oplus F[\varphi] \alpha_{2} \oplus \cdots \oplus F[\varphi] \alpha_{t}$ ．

3．若 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{array}\right), \alpha_{i}(i=1,2,3)$ 是线性无关的 3 维列向量，则 $A \alpha_{1}, A \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的秩 $=$ ？（3）

5. $\varphi$ 是线性空间 $V$ 到 $W$ 的线性映射，$e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 是 $V$ 的一个基，$\eta_{1}, \eta_{2}$ 是 $W$ 的一个基，$\varphi$ 在两个基下的矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\operatorname{ker} \varphi=?\left(L\left(e_{1}+e_{2}-e_{3}\right)\right)$

6． $\operatorname{deg} f=4, f \in \mathbb{R}[\mathbf{x}], f=3\left(f, f^{\prime}\right) x\left(x^{2}+1\right)$ ，则 $f=?\left(3 x^{2}\left(x^{2}+1\right)\right)$

2．$A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \eta\right)$ ， $2 \alpha_{1}+\alpha_{2}=0, m \alpha_{1}+n \alpha_{2}+k \alpha_{3}=0$ $\_\_\_\_$ $m, n, k$ ？），则 $\operatorname{rank} A^{\star}=$ $\_\_\_\_$ ．［题目不全，张祖锦没法做哦．］

2．设 $A$ 是反对称矩阵（ $A^{\mathrm{T}}=-A$ ），求证：对任一 $n$ 维列向量 $x, x^{\mathrm{T}} A x=0$ ．

八．用 $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 到 $\displaystyle \mathbb{R}$ 的映射 $f$  $$ f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\mid $$ 其中 $\displaystyle r \geq s \geq 0$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的一个 $\displaystyle n-r$ 维子空间 $W$ ，使得 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W$ ． （2）若 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的两个 $\displaystyle n-r$ 维子空间，  $$ f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2}, $$ 则一定有 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$ ．

6．设多项式 $f(x)=x^{5}+x^{4}-x^{3}+2 x^{2}-x-2$ ，则它在有理数域上的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

七．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的不可逆且非幂零的线性变换．证明：存在 $\displaystyle \sigma$ —子空间 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ ，满足 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，且 $\displaystyle \sigma \mid V_{1}$ 为可逆变换，$\displaystyle \sigma \mid V_{2}$ 为幂零变换．

三．（15分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 为 3 阶实矩阵，$\displaystyle a_{i j}=A_{i j}(i, j=1,2,3)$ ，若 $\displaystyle a_{33}=1$ ，求线性方程组 $$ A\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) $$ 的解．

五．（15 分）（可能有误）设 $\displaystyle f(x)$ 是实数域上的 $n$ 次多项式 $\displaystyle (n \geq 3)$ ，若 $\displaystyle \left(f(x), f^{\prime}(x)\right)=f^{\prime \prime}(x)$ ，且 $\displaystyle f(2025)=0$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．

7．设数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，令 $\displaystyle \beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ ，已知 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle \beta$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}=\left\{k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in P, i=1,2, \cdots, n\right\}$ ． （1）求 $\displaystyle V_{2}$ 的一组基和维数． （2）证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

8．给定 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}(X)=X B-B X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，另外取子空间 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0\right\}$ ． （1）求 $W$ 的一组基． （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间． （3）记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $W$ 上的限制 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 的特征值和特征向量． （4）求 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。

11、已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变化，试证 $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{A} \Leftrightarrow V=\mathscr{N} \otimes \operatorname{ker} \mathscr{A}$ 。

5、已知矩阵的迹为 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ ，其中 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ． （1）证明 $\displaystyle \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B), \operatorname{tr}(k A)=\operatorname{tr}(A), \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}$ ． （2）空间 $\displaystyle U=\left\{B \in P^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(B)=0\right\}$ ，试确定 $U$ 的维数，并求 $U$ 的一组基．

7、已知 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，设 $\displaystyle M \in P^{n \times n}$ ，令 $\displaystyle A=f(M), B=g(M)$ 且设 $\displaystyle w, w_{1}, w_{2}$ 分别为 $\displaystyle A B x=0, A x=0, B x=0$ 的解空间，试证明 $\displaystyle w=w_{1} \otimes w_{2}$ ．

九．（14 分）设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换． （1）证明：如果 $n$ 是奇数，则 $\displaystyle \mathscr{A}$ 有 1 维不变子空间． （2）证明：如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 没有1维不变子空间，那么 $\displaystyle \mathscr{A}$ 必有2维不变子空间。

五．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上所有 3 阶对称矩阵关于通常矩阵加法与矩阵数乘构成的线性空间，考察 $V$ 的子空间 $$ U=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}, W=\{k E \mid k \in P\} . $$ 其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹，证明：$\displaystyle V=U \oplus W$ ．

八．（12 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{O}$ ．证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & O \\ E_{r} & O\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathscr{A}(V)$ ．

六．（14 分）设 $A$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 2 阶方阵，记 $\displaystyle W_{A}=\left\{Y \in \mathbb{C}^{2 \times 2} \mid A Y=Y A\right\}$ 。 （1）证明：$\displaystyle W_{A}$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 的子空间． （2）讨论 $\displaystyle W_{A}$ 的维数所有可能的值．

四．（12 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 次首一多项式，$\displaystyle n \geq 1$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 有 $n$个根 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，重根按重数计算，$\displaystyle c \in P$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的根．证明： $$ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}-c}=-\frac{f^{\prime}(c)}{f(c)} $$ 其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，即 $\displaystyle f^{\prime}(x)=n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_{1}$ ．

2．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in M_{m \times n}(\mathbb{R}), B=\left(b_{1}, \cdots, b_{m}\right)^{T} \in M_{m \times 1}(\mathbb{R})$ ．证明：线性方程组 $\displaystyle A^{T} A X=A^{T} B$ 一定有解．

3．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 的特征值互不相同。定义 $$ C(A)=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid A B=B A\right\} $$ （1）．验证：$\displaystyle C(A)$ 是复线性空间 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的线性子空间； （2）．证明：对于任意 $\displaystyle B, C \in C(A)$ ，有 $\displaystyle B C=C B$ ．

4．（20 分）设 $V$ 是数域（ $\displaystyle \mathbb{K}$ ）上的 4 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $V$ 的一组基。若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，且在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵为准对角阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，试求所有 $\displaystyle \mathscr{A}$－不变子空间。

7．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in R^{2 \times 2}$ ，且 $$ A^{2}=B^{2}=E, A B+B A=0 $$ 证明：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $$ P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) $$

6．（10 分）给定 $\displaystyle m+n$ 阶分块方阵 $$ A=\left(\begin{array}{cc} 0_{m} & B_{m \times n} \\ C_{n \times m} & 0_{n} \end{array}\right), $$ 证明：若 $\displaystyle \lambda$ 为 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle -\lambda$ 也为 $A$ 的特征值．

8．（15 分）设 $\displaystyle f: U \rightarrow V, g: V \rightarrow W$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上有限维的线性映射，证明： $$ \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} f)+\operatorname{dim}(\operatorname{Im} f \cap \operatorname{Ker} g)=\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(g f)) $$

5．（20分）（1）利用初等变换将下列矩阵化成简化的行阶梯形矩阵。 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ -1 & -2 & 0 & 0 & 1 & -2 & -3 \\ 1 & 2 & -3 & 0 & 5 & 1 & 6 \end{array}\right) $$ （2）设 $V$ 数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定他的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ 。对于 $V$ 中的一个非零向量 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha i$ ，若 $i$ 是最小正整数使得 $\displaystyle \lambda_{i}$ 不为 0 ，则称 $\displaystyle e_{i}$ 为它的 $\displaystyle \operatorname{tip}$ ，记为 $\displaystyle e_{i}=\operatorname{tip}(\alpha)$ ，对于 $V$ 的一个子空间 $W$ ，定义 $$ \begin{aligned} \operatorname{Tip}(W) & =\{\operatorname{tip}(\alpha): \alpha \in W, \alpha \neq 0\} \\ \operatorname{NonTip}(W) & =\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}-\operatorname{Tip}(W) . \end{aligned} $$ 现设 $\displaystyle v=\mathbb{K}^{7}$ 是7维行向量组成的空间，取它的标准基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{7}$ 。令 $W$ 为（1）中矩阵的行向量张成的子空间。求 $\displaystyle \operatorname{Tip}(W)$ 和 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 。 （3）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定它的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ ，设 $W$ 是 $V$ 的一个子空间．证： $$ V=W \oplus \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W)), $$ 这里 $\displaystyle \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W))$ 是 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 张成的子空间。

6．（15 分）设 $f$ 与 $g$ 是从有限维线性空间 $U$ 到有限维线性空间 $W$ 的两个线性映射．若 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)= \operatorname{Im}(g)$ ，这里 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 是 $f$ 的像，证明：存在 $U$ 上的可逆线性变换 $h$ ，使得 $\displaystyle g=f \circ h$ ．

7．（25分）设 $\displaystyle \mathbb{K}$ 是一个数域，$\displaystyle m, n$ 为自然数，$\displaystyle M_{m, n}(\mathbb{K}), M_{m}(\mathbb{K})$ 分别是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上 $\displaystyle m \times n$ 阶与 $m$ 阶矩阵生成的空间，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵。定义 $$ f: M_{m}(\mathbb{K}) \longrightarrow M_{m, n}(\mathbb{K}), \quad f(X)=X A $$ （1）．证明：$f$ 是一个线性映射； （2）．设 $\displaystyle m=n=2, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ，分别求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的一组基与 $f$ 的像 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 的一组基； （3）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的秩； （4）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的维数．

8．（20 分）设 $\displaystyle M_{k, n}$ 是所有 $\displaystyle k \times n$ 阶复矩阵的集合，$\displaystyle N_{k}^{-}$是所有 $k$ 阶下三角幂么方阵的集合，$\displaystyle N_{k}^{+}$是所有 $n$ 阶上三角幂么方阵的集合。这里的幂么矩阵是指对角线上全为 1 的上三角或下三角。在 $\displaystyle M_{k, n}$ 中定义如下关系 $$ A \sim B \Leftrightarrow \exists P \in N_{k}^{-}, Q \in N_{k}^{+} \text {, s.t. } A=P B Q \text {. } $$ （1）．求证 $\displaystyle \sim$ 是 $\displaystyle M_{k, n}$ 上的等价关系。 （2）．设 $\displaystyle r=\min \{k, n\}$ ，求证 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 是上述等价关系的不变量，也就是说，两个满足该等价关系的矩阵具有相同的 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 值，这里 $\displaystyle \Delta_{i}(i=1, \cdots, r)$ 是矩阵的第 $i$ 个顺序主子式。

9．（20 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 个两两不同的数，$V$ 是 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，且它在基 $\displaystyle \xi_{1}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ ． （1）．设 $W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，$\displaystyle x_{1} \xi_{1}+\cdots+x_{n} \xi_{n} \in W$ ，其中 $\displaystyle x_{1}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{K}$ ，证明：若某个 $\displaystyle x_{i}$ 不为 0 ，则 $\displaystyle \xi_{i} \in W$ ． （2）．求 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间个数．

1．（20 分）$\displaystyle m \times n$ 实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 以 $\displaystyle a_{11}$ 为圆心逆时针旋转 $\displaystyle 90^{\circ}$ 得到矩阵 $B$ 。 （1）．求 $B$ 的行数和列数． （2）． $\displaystyle \operatorname{rank}(A)$ 与 $\displaystyle \operatorname{rank}(B)$ 的关系，并解释原因。 （3）．设 $\displaystyle m=n,|A|$ 与 $\displaystyle |B|$ 的关系？并证明．

8．（20 分）$\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})$ 为 2 阶可逆复矩阵集合，$V$ 是迹为 0 的 2 阶复矩阵构成的复线性空间。若 $V$的一个线性子空间 $W$ 满足：$\displaystyle \forall P \in G L_{2}(\mathbb{C})$ 与 $\displaystyle \forall A \in W$ ，总有 $\displaystyle P^{-1} A P$ 落在 $W$ 中，称 $W$ 为 $\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})$－不变子空间。求证：$V$ 的 $\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})-$ 不变子空间只有零空间和 $V$ 。

3．（15 分）已知 $\displaystyle n \geqslant 2, a, b \in \mathbb{C}$ ．求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}a & a & a & a & a & \cdots \\ a & b & b & b & b & \cdots \\ a & b & a & a & a & \cdots \\ a & b & a & b & b & \cdots \\ a & b & a & b & a & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{array}\right)_{n \times n}$ 的行列式．

6．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，令 $\displaystyle L(A, B)=\left\{X \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid A X B=0\right\}$ 。 （1）．验证 $\displaystyle L(A, B)$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的线性子空间． （2）．设 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r, \operatorname{rank}(B)=s$ ．求 $\displaystyle \operatorname{dim} L(A, B)$ 。（用 $\displaystyle n, r, s$ 表示）。

1．（15 分）设 $\displaystyle A \in \mathbb{M}_{m \times n}, \beta \in \mathbb{M}_{m \times 1}$ ，问：线性方程组 $\displaystyle A x=\beta$ 有多少个线性无关的解（用 $\displaystyle r=\operatorname{rank}(A)$ 表示），并说明理由。

2．（15 分）设 $\displaystyle 2 n$ 阶方阵 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{cc}0 & E_{n} \\ -E_{n} & 0\end{array}\right)$ ，给出复线性空间 $$ S P_{n}=\left\{X \in \mathbb{M}_{2 n \times 2 n}(\mathbb{C}) \mid S X=-X^{T} S\right\} $$ 的一组基，并计算其维数。

3．（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A(t)=\left(a_{i j}(t)\right)_{n \times n}$ 中元素（ $\displaystyle a_{i j}(t)$ 为实变量 $t$ 的可微函数。记 $\displaystyle A^{\prime}(t)= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} a_{i j}(t)\right)_{n \times n}$ ．证明：若对 $\displaystyle \forall t \in \mathbb{R},|A(t)|>0$ ，则 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \ln |A(t)|=\operatorname{tr}\left(A^{-1}(t) A^{\prime}(t)\right) $$

6．（20 分）令 $\displaystyle f(x, y)=a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 b_{1} x+2 b_{2} y+c$ ， $$ A_{f}=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right), \quad B_{f}=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{12} & a_{22} & b_{2} \\ b_{1} & b_{2} & c \end{array}\right) . $$ 证明：函数 $f$ 在坐标变换 $\displaystyle \binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=Q\binom{x}{y}+\binom{d_{1}}{d_{2}}$ 下对应的 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(B_{f}\right)$ 保持不变，其中 $Q$ 是二阶正交矩阵。

4．（15 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是有限维欧式空间 $V$ 上的正交变换，且满足 $\displaystyle \sigma^{m}=I$ ，其中 $m$ 为大于 1 的整数，$I$是恒等变换。记 $\displaystyle V^{\sigma}=\{\theta \in V: \sigma(v)=v\}$ ，而 $\displaystyle V^{\sigma}$ 的正交补记为 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 。 （a）．求证 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 是 $\displaystyle \sigma$－不变子空间． （b）．对于 $\displaystyle v \in V$ ，定义 $\displaystyle \bar{v}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(v)$ 。求证： $\displaystyle \bar{v} \in V^{\sigma}$ ． （c）。证明：若将 $\displaystyle v \in V$ 展开成 $\displaystyle v=v_{1}+v_{2}$ ，其中 $\displaystyle v_{1} \in V^{\sigma}, v_{2} \in V^{\sigma \perp}$ ，则 $\displaystyle v_{1}=\bar{v}$ 。

6．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换． （a）．证明：存在正整数 $\displaystyle k \leq n$ ，使得 $$ \operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{n}\right) \quad \text { 且 } \quad \operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{n}\right) . $$ （b）．考虑如下数值指标： （i） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩 $r$ ； （ii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块个数 $m$ ； （iii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块的最大阶数 $n$ ； （iv）（a）中出现最小的 $k$ 。 讨论这些数值之间的关系，并证明你的结论。

8．（15 分）设 $\displaystyle U, V, W$ 是 6 维线性空间的 3 个 3 维子空间，设 $\displaystyle U \cap V=0$ ，求 $\displaystyle \operatorname{dim}((U+V) \cap(V+W))$的最大值和最小值．

1．考虑由所有二阶复系数方阵构成的集合 $$ M_{2}(\mathbb{C})=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{C}\right\} . $$ 已知 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 是以 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为基的复线性空间，这里 $\displaystyle E_{i j}$ 是指除第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 外其余元素均为 0 的二阶方阵。设 $$ B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22} $$ （1）证明：如下映射为线性映射． $$ \begin{aligned} \varphi_{B}: M_{2}(\mathbb{C}) & \rightarrow M_{2}(\mathbb{C}) \\ X & \mapsto \varphi_{B}(X)=B X \end{aligned} $$ （2）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 在上述基下的表示矩阵； （3）分别求核空间 $\displaystyle \operatorname{Ker} \varphi_{B}$ 和像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi_{B}$ 的维数与基； （4）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 的若尔当典范形．

2．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 同上一题，$W$ 是由它们生成的子空间，则向量 $\displaystyle \gamma=(0,1,0,1)$ 在 $W$ 中的正交投影为

3．考虑欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 中的向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,3,1,-1), \alpha_{2}=(2,3,2,1), \beta_{1}=(3,-1,-3,-5), \beta_{2}= (2,-1,0,1)$ ，设 $\displaystyle W_{1}$ 是由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空问，$\displaystyle W_{2}$ 是由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间，则 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$

3．已知 $\displaystyle D: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ 是实系数多项式空间上的映射，满足 （i）$\displaystyle D(f g)=D(f) g+f D(g), \forall f, g \in \mathbb{R}[x]$ ； （ii）$\displaystyle D(x)=1$ ． （1）证明：$\displaystyle D(f)=f^{\prime}$ 是 $f$ 的形式导数； （2）求 $D$ 限制在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{n}$ 上的所有不变子空间，其中 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{n}$ 是次数不超过 $n$ 的实多项式空间．

5．设 $U$ 和 $V$ 是数域 $K$ 上的有限维线性空间，如果 $K$ 上的任意线性空间 $T$ 和双线性映射 $\displaystyle \sigma$ ： $\displaystyle U \times V \rightarrow T$ 满足：对 $K$ 上的任意线性空间 $W$ 以及任意双线性映射 $\displaystyle \theta: U \times V \rightarrow W$ ，都存在唯一的线性映射 $\displaystyle \varphi: T \rightarrow W$ ，使得 $\displaystyle \theta=\varphi \sigma$ ，则称 $T$ 是 $U$ 和 $V$ 的张量积．证明：张量积 $T$ 在同构意义下是唯一的。

2、实系数多项式 $f(x)=x^{5}+3 x^{4}+5 x^{3}+5 x^{2}+3 x+1$ 与其导函数 $f^{\prime}(x)$ 的最大公因式为 $\_\_\_\_$。

7、已知线性映射 $\varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}$ 满足 $\varphi(x, y, z, w)=(10 x-3 z+4 w, 2 x +3 y+2 w, 5 y+z+2 w,-2 x+2 y+z)$ ，则核空间 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ 的维数是

8、考虑置换 $\sigma(1276)(354), \tau=(1637)(24)(5)$ ，则 $\sigma^{-1} \tau^{-1} \sigma \tau=$ $\_\_\_\_$。 （写成不相交轮换积）

13、设 $N \in M_{n}(\mathbb{C})$ 为 $n$ 阶方阵，满足：$N^{n}=O$ ，但 $N^{n-1} \neq 0,(n \geq 2)$ ．证明：不存在 $n$ 阶复方阵 $A$ ，使得 $A^{2}=N$ ．

2．设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 4 \\ -1 & 0 & 2 & -3 \\ 5 & 4 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 3 & 2 \end{array}\right) $$ 其特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}+\lambda_{4}^{2}=$ $\_\_\_\_$。

4．一个关于未知数 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)^{\mathrm{T}}$ 的齐次线性方程组的解空间是由 $(5,0,2,2,1)^{\mathrm{T}}$ 和 $(-1,7,1,-6,-3)^{\mathrm{T}}$张成的线性子空间，那么在 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 中，主变元是 $\_\_\_\_$ ．

6．$\left|\begin{array}{cccccccc}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 9 & 16 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 8 & 27 & 64 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 18 & 32 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 16 & 54 & 128 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

10．设 $V$ 是 2025 维实线性空间，$F: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个非退化双线性型．已知在 $V$ 的一个线性子空间 $W$ 上，$F$ 限制在 $W \times W$ 上恒为零．考虑所有可能的 $F$ 和 $W, \operatorname{dim} W$ 的最大可能值是 $\_\_\_\_$ ．

11．考虑关于 $(x, y, z)$ 的线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x+2 y+3 z=0 \\ 2 x+3 y+a z=3 \\ 3 x+4 y+5 z=b \end{array}\right. $$ 其中 $(a, b)$ 为参数。试讨论 $(a, b)$ 为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解？并在有解（唯一解或无穷多解）时，求出它的所有解．

13．设 $A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，且 $A$ 可逆．已知存在正整数 $t$ ，使得对 $k \in\{t+1, t+2, \cdots, t+n\}, B$ 与 $A^{k}$均可交换．证明：$B$ 与 $A$ 可交换．

14．设 $V$ 是 $n \geq 2$ 维欧几里得空间，$v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in V$ ，令 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j}=\left(v_{i}, v_{j}\right)$ 是 $v_{i}$ 与 $v_{j}$的内积． （1）证明：$A$ 是半正定矩阵． （2）证明：$A$ 是正定矩阵当且仅当 $v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 构成 $V$ 的一组基。 （3）若 $\left(v_{i}, v_{i}\right)=1$ 对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，且 $\left(v_{i}, v_{j}\right)=c>0$ 对任意的 $i \neq j$ ．试求 $\operatorname{det}(A)$ ，并判断 $c$满足什么条件时，$A$ 是正定矩阵。

8．（20 分）设 $V$ 是定义在实数域上的所有函数所组成的线性空间，$\displaystyle V_{1}$ 是偶函数构成的集合，$\displaystyle V_{2}$ 是奇函数构成的集合．证明： （1）（10 分）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 均是 $V$ 的子空间． （2）（10 分）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

9．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，且 $\displaystyle A^{2}=B^{2}=E, A B+B A=O$ ． （1）（10 分）证明：矩阵 $A$ 的特征值一个为 1 ，另一个为 -1 ． （2）（10 分）证明：存在可逆矩阵 $\displaystyle P \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ．

3．证明：存在 $\displaystyle n \times n$ 实矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}+2 A+3 E=0$ 当且仅当 $n$ 为偶数。

6．$V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$W$ 为其子空间，$\displaystyle \eta_{0} \in V$ ，存在 $\displaystyle \eta \in W$ ，使得 $\displaystyle \left|\eta-\eta_{0}\right|=\min _{\xi \in \mathbb{V}}\left|\xi-\eta_{0}\right|_{0}$ （1）证明：$\displaystyle \eta \in W$ ，使得 $\displaystyle \left|\eta-\eta_{0}\right|=\min _{\xi \in W}\left|\xi-\eta_{0}\right|$ 当且仅当 $\displaystyle \eta-\eta_{0} \perp W$ ： （2）$\displaystyle \eta_{0}$ 为单位向量，则 $\displaystyle \eta_{0}$ 与 $W$ 的距离为 1 当且仅当 $\displaystyle \eta_{0} \perp W$ 。

8．$M$ 为 $P$ 上的 $\displaystyle V_{M}=\left\{X \in P^{n \times n} \mid M X=O\right\}$ 。 （1）$\displaystyle M=\left(\begin{array}{ll}1 & -1 \\ 1 & -1\end{array}\right)$ ，讨论 $\displaystyle V_{M}$ 的基； （2）设 $M$ 的秩为 $r$ ，讨论 $\displaystyle V_{M}$ 的维数。

9．定义 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle f(X)=A X B, X \in P^{2 \times 2}$ ，其中，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right)$ ， $$ B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) $$ （1）求 $f$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。 （2）判断是否存在一组基，使 $f$ 在该基下的矩阵为对角阵。

10．已知 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶半正定矩阵，证明存在可逆实矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{\prime} A C, C^{\prime} B C$ 同时为对角矩阵．

2．已知 $\displaystyle V=\mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，定义 $V$ 上的变换 $T$ 满足 $\displaystyle T(A)=A+A^{\prime}, A \in V$ ． （1）证明 $T$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）写出 $T$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （3）求 $T$ 的特征值并写出特征子空间的一组基； （4）$T$ 是否可以对角化？ （5）计算 $T$ 中心化子空间的维数，即所有满足 $\displaystyle T X=X T$ 的线性变换 $X$ 所生成的线性空间的维数．

4．已知 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle h(x), f(x), g(x) \in P[x]$ 满足 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle W=\operatorname{Ker} h(\mathscr{A}), W_{1}=\operatorname{Ker} f(\mathscr{A}), W_{2}=\operatorname{Ker} g(\mathscr{A})$ ． （1）证明 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 均为 $W$ 的子空间； （2）证明 $\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

6．已知 $A$ 是 $\displaystyle s \times n$ 列满秩矩阵，$B$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，证明 $\displaystyle r(A B)=r(B)$ ．

7．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是复数域上线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的一个非零向量，$\displaystyle W \subseteq V$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，若存在多项式 $\displaystyle p(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，使得 $\displaystyle p(\mathscr{A}) \alpha \in W$ ，则称 $\displaystyle p(x)$ 为 $\displaystyle \alpha$ 到 $W$ 的导向多项式，所有导向多项式中次数最低且首项系数为 1 的多项式称为极小 $\displaystyle \alpha$ 型多项式，记为 $\displaystyle m(x)$ 。 （1）证明：对任意的导向多项式 $\displaystyle p(x)$ ，均有 $\displaystyle m(x) \mid p(x)$ ； （2）证明：极小 $\displaystyle \alpha$ 型多项式存在且唯一； （3）（可能有误）若 $W$ 为 $V$ 的真子空间，则存在 $\displaystyle \alpha \notin W$ 及多项式 $\displaystyle q(x) \in \mathbb{C}[x]$ 使得 $\displaystyle q(\mathscr{A}) \alpha-c \alpha \in W$ ，其中 $\displaystyle c \in \mathbb{C}$ 为常数．

8．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 分别为对应的特征向量，若 $W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s} \in W$ ，证明 $\displaystyle \operatorname{dim} W \geq s$ ．

1．已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 解的集合为 $S$ ，其中 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r$ ．证明：$S$ 中存在 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的向量，任意 $\displaystyle n-r+2$ 个向量线性相关．

9．设 $f$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等变换，$\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid f(\alpha)=0\}, V_{2}=\{f(\beta) \mid \beta \in V\}$ ，且 $f$ 在某组基下的矩阵为 $A$ ．证明： （1）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$ ； （2）$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和； （3）$\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．

1．（20分）设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的全体 4 维列向量构成的向量空间． $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ a \end{array}\right) . $$ 若 $V$ 的子空间 $\displaystyle V_{1}=\left\{k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+k_{3} \alpha_{3} \mid k_{1}, k_{2}, k_{3} \in P\right\}, V_{2}=\left\{l_{1} \beta_{1}+l_{2} \beta_{2} \mid l_{1}, l_{2} \in\right.$ （1）参数 $a$ 满足什么条件时，$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和？ （2）若 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 不是直和，分别求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 与 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基．

4．（20 分）设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$b$ 为 $m$ 维列向量． （1）若存在 $\displaystyle n \times m$ 矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B A=E$ ，则对于线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 有何结论？并说明理由． （2）若存在 $\displaystyle n \times m$ 矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B=E$ ，则对于线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 有何结论？并说明理由．

6．（10 分）设非零矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, a_{i j}$ 不全为零，$\displaystyle A_{i j}$ 表示其代数余子式，且满足 $\displaystyle a_{i j}+A_{i j}=0(i, j=1,2, \cdots)$ ．证明：$A$ 可逆．

9．（10 分）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间，其中 $n$ 为正整数，$I$ 为 $V$ 上的恒等变换，即 $\displaystyle I(\alpha)=\alpha, \alpha \in V$ ，且 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为 $V$ 上的线性变换，若 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle I-\mathscr{A} \mathscr{B}$ 的值域， $\displaystyle V_{2}$ 为 $\displaystyle I-\mathscr{B} \mathscr{A}$ 的值域，证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}$ 。

1．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 的各元素的代数余子式之和为 1 ，求 $$ \left|\begin{array}{lll} 1+a_{11} & 1+a_{12} & 1+a_{13} \\ 1+a_{21} & 1+a_{22} & 1+a_{23} \\ 1+a_{31} & 1+a_{32} & 1+a_{33} \end{array}\right| $$

2．多项式 $\displaystyle f(x)$ 无重因式，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的微商，$A$ 是 3 阶方阵，求 $$ r\binom{f(A)}{f^{\prime}(A)} $$

7．$A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵． （1）存在矩阵 $B$ 满足 $\displaystyle A B A=A, B A B=B$ ． （2）若 $B$ 满足 $\displaystyle A B A=A$ 且 $\displaystyle B A B=B, K(A)=\left\{A X=0 \mid X \in P^{n}\right\}, R(B)=\left\{B Y \mid Y \in P^{m}\right\}$ ，证明： $$ P^{n}=K(A) \oplus R(B) $$

八．（12 分）设 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，证明：存在 $\displaystyle m \times r$ 的列满秩矩阵 $F$ 和 $\displaystyle r \times n$ 的行满秩矩阵 $G$ ，使得 $\displaystyle A=F G$ ．

六．（12 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明：$\displaystyle \{g(A) \mid g(x) \in P[x]\}$ 是 $\displaystyle P^{n \times n}$ 的维数不超过 $n$ 的线性子空间。

四．（12分）在线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中定义 $$ \mathscr{A}: \mathbb{R}^{2 \times 2} \rightarrow \mathbb{R}^{2 \times 2}, X \mapsto\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) X-X\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) $$ （1）记 $\displaystyle E_{i j}(i, j=1,2)$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 其余元素为 0 的二阶方阵，求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$下的矩阵； （2）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩与零度．

九．（15 分）设 $A$ 为一个秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明：存在一个秩为 $r$ 的 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $B$ 与一个秩为 $r$ 的 $\displaystyle n \times r$ 矩阵 $C$ ，满足 $\displaystyle A=C B$ ，且 $\displaystyle B C=E_{r}$（ $\displaystyle E_{r}$ 为 $r$ 阶单位矩阵）．

五．（15分）设 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,3), \alpha_{2}=(1,0,1)$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 为 $\displaystyle \beta_{1}=(-1,2, t), \beta_{2}=(4,1,5)$ 生成的子空间．若 $\displaystyle V_{1}=V_{2}$ ，求 $t$ 的值，并将 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 写成 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 的线性组合．

7．设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，则齐次线性方程组 $A X=0$ 仅有零解得充要条件是 $\_\_\_\_$。

七．设 $V$ 为 $n$ 维线性空间，证明：$V$ 的任一非平凡子空间都是若干个 $\displaystyle n-1$ 维子空间的交．

7．$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$ 的解空间为 $V_{1}, x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}$ 的解空间为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 的维数 $\_\_\_\_$ ．

1．已知多项式 $\displaystyle f(x) \in P[x], P$ 为数域．（15 分） （1）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 具有 $k$ 重因式，判断 $\displaystyle f(x)$ 是否一定有 $\displaystyle k+1$ 重因式？并写出理由．（7分） （2）若 $\displaystyle f(x)=x^{3}-3 x^{2}+t x-1$ ，当 $t$ 为何值时．$\displaystyle f(x)$ 有重根？在有重根时．写出重根及其重数．

3．$\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,1,1)^{\prime}, \quad \alpha_{2}=(0,1,-1,-1,1)^{T}, \quad \alpha_{3}=(1,-1,3,3,-1)^{T}, \quad \alpha_{4}=(3,3 .-2,-4,2)^{\prime}$ ， $\displaystyle \alpha_{5}=(5,2,1,1,1)^{T}, \quad \alpha_{6}=(-4,-2,-1,1,-1)^{t}$ （1）求 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 的秩和一极大线性无关组；（8 分） （2）$\displaystyle \alpha_{6}$ 用 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 线性表出．（7分）

6．设 $W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle W_{0}=W \cap \mathcal{A}^{-1}(0)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{dim} W=\operatorname{dim} \mathcal{A} W+\operatorname{dim} W_{0}$ ．

4、数域 $\displaystyle K, n>1$ ，矩阵 $\displaystyle A \in K^{n \times n}, A$ 的元素 $\displaystyle a_{2 j}=\left\{\begin{array}{l}a, i \neq j \\ 1, i=j\end{array}\right.$ ，求齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$的解空间 $S$ ．

8、设数域 $\displaystyle K, M=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义在 $K$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma: \sigma(x)=M X-X M$ ， $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0, x_{i} \in K, i=1,2,3,4\right\} . $$ 是数域 $k$ 的子空间． （1）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间． （2）$\displaystyle \sigma \mid W$ 是线性变换在 $W$ 的上的限制．

9．（15 分）设 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$ 是一个 $n$ 阶方阵，称 $A$ 的对角线元素之和为 $A$ 的迹，记为 $\displaystyle \operatorname{tr} A$ ．即 $\displaystyle \operatorname{tr} A=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$ 。令 $\displaystyle W_{1}=\left\{A \in M_{n}(\mathbb{F}) \mid \operatorname{tr} A=0\right\}$ ，其中 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上全体 $n$ 阶方阵构成的向量空间． （1）证明：$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 的子空间． （2）求 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 的一个子空间 $\displaystyle W_{2}$ ，使得 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

5．所有与 $n$ 阶方阵 $A$ 可交换的矩阵集合 $C(A)$ 是 $P^{n \times n}$ 的一个子空间，当对角矩阵 $$ A=\operatorname{diag}\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\} $$ 中对角元素 $a_{i}(1 \leq i \leq n)$ 互不相同时，$C(A)$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．

五．（15 分）设 $$ \alpha=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right), A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 10 & 11 \\ 4 & 8 & 12 & 17 \end{array}\right)-\frac{1}{30^{2025}}\left(\alpha \alpha^{\prime}\right)^{2026}, B=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right) . $$ （1）求矩阵 $A$ ． （2）若 $X$ 满足 $\displaystyle X\left(E-B^{-1} A\right)^{\prime} B^{\prime}=E$ ，求矩阵 $X$ ．

十．（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，秩 $\displaystyle (A+B)=n$ ．证明：$\displaystyle A^{\prime} A+B^{\prime} B$ 为正定矩阵．

四．（15 分）设非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \\ a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s} \end{array}\right. $$ 的系数矩阵为 $A$ ，向量 $\displaystyle \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{s}\right)^{\prime}$ ． （1）若方程组有解且秩 $\displaystyle (A)=r$ ，求方程组的解向量中最多线性无关解的数目． （2）若方程组对任意的 $s$ 维列向量 $\displaystyle \beta$ 都有解，求秩（ $A$ ）．

4．已知 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是 $n$ 级正定矩阵，证明： （1）$\displaystyle a_{i i}>0(i=1,2, \cdots, n)$ （2） $\displaystyle 2\left|a_{i j}\right|<a_{i i}+a_{j j},(i \neq j)$ ． （3）$A$ 的所有元素中绝对值最大的元素一定在主对角线上．

6．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, n \geq 2$ 的矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，证明：$\displaystyle \left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ．

三．设 $\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1, \alpha)^{T}, \alpha_{2}=(-2, \alpha, 4)^{T}, \alpha_{3}=(-2, \alpha,-2)^{T}$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1, \alpha)^{T}, \beta_{2}=(1, \alpha, 1)^{T}, \beta_{3}=(\alpha, 1,1)^{T}$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间． （1）若 $\displaystyle V_{2}$ 的维数为 1 ，求 $\displaystyle \alpha$ 的值； （2）若 $\displaystyle V_{1}=V_{2}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围； （3）求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 维数的取值范围．

八．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle U, W$ 是 $V$ 的两个子空间，并且 $\displaystyle V=U \oplus W$ ．任给 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} \in V$ ，其中 $\displaystyle \alpha_{1} \in U, \alpha_{2} \in W$ ，令 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha_{1}$ ．记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}, \operatorname{Im} \sigma=\{\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ．证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ； （2） $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=W, \operatorname{Im} \sigma=U$ ； （3）$\displaystyle \sigma$ 可对角化．

2．设 $\displaystyle V_{1}$ 是由 $$ \alpha_{1}=(1,1, a)^{T}, \alpha_{2}=(-2, a, 4)^{T}, \alpha_{3}=(-2, a,-2)^{T} $$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由 $$ \beta_{1}=(1,1, a)^{T}, \beta_{2}=(1, a, 1)^{T}, \beta_{3}=(a, 1,1)^{T} $$ 生成的 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的子空间． （1）若 $\displaystyle V_{1} \neq V_{2}$ ，求 $a$ 的范围． （2）当 $\displaystyle a=2$ 时，求 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)$ ．

7．设复方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，记 $\displaystyle \bar{A}=\left(\bar{a}_{i j}\right)_{n \times n}\left(\bar{a}_{i j}\right.$ 为 $\displaystyle a_{i j}$ 的共轭复数）．如果复方阵 $A$ 满足 $\displaystyle (\bar{A})^{T}=A$ ，称 $A$为 Hermite 矩阵．证明： （1）若复方阵 $A$ 为 Hermite 矩阵，则 $A$ 的特征值均为实数． （2）若复方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A(\bar{A})^{T}=A^{2}$ ，则 $A$ 为 Hermite 矩阵。

8．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，多项式 $\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ， $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \mid \alpha \in V, \sigma(\alpha)=0\}$ ．证明： （1） $\displaystyle \operatorname{Ker} h(\sigma)=\operatorname{Ker} f(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} g(\sigma)$ ． （2） $\displaystyle \operatorname{dimKer} \sigma+\operatorname{dimKer} \sigma^{3} \leq 2 \operatorname{dimKer} \sigma^{2}$ ．

2．$\displaystyle V_{1} \neq V_{2}$ 时 $\displaystyle a, b$ 的取值 $\displaystyle (a=2, b \in \mathbb{R}$ 或 $\displaystyle b=1, a \in \mathbb{R}), \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=3$ ．

2．$\left|\begin{array}{lllll}1 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ 3 & 2 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ 3 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} \\ 3 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & n\end{array}\right|\left(\begin{array}{ll}n^{3} & 2\end{array}\right)$（注：对角线上元素分别为 $1,2, \mathrm{~L} n$, 其余元素为 3）

五、（15 分）设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |A|<0$ 。证明：存在实 $n$ 维向量 $x$ 使得 $\displaystyle x^{\prime} A x<0$ 。

四、（20分）证明：$\displaystyle \left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ，其中 $A$ 是 $\displaystyle n^{\prime} n$ 矩阵（ $\displaystyle n>2$ ）。

七（20分）、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是四维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $f$ 在这组基下的矩阵为 $$ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & -2 \end{array}\right) $$ 求 （1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵 （2）求线性变换 f 的核和值域

五（15 分）、设 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=X^{\prime} A X$ 是一实二次型，若有实 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 使得 $\displaystyle \mathrm{X}_{1}^{\prime} \mathrm{AX}_{1}>0, \mathrm{X}_{2}^{\prime} \mathrm{AX}_{2}<0$ 。证明存在非零实 n 维向量 $\displaystyle \mathrm{X}_{3}$ 使得 $\displaystyle \mathrm{X}_{3}^{\prime} \mathrm{AX}_{3}=0$ 。

八（15 分）、设 $B$ 为一 $\displaystyle r \times r$ 矩阵，$C$ 为一 $\displaystyle r \times n$ 矩阵，且秩（ $C$ ）$\displaystyle =r$ ，证明：1）若 $\displaystyle B C=0$ ，则 $\displaystyle \mathrm{B}=0$ ；2）若 $\displaystyle \mathrm{BC}=\mathrm{C}$ ，则 $\displaystyle \mathrm{B}=\mathrm{E}$

六（15 分）、求由向量 $\displaystyle \alpha_{\mathrm{i}}$ 生成的子空间与由向量 $\displaystyle \beta_{\mathrm{i}}$ 生成的子空间的交的基和维数，设 $$ \left\{\begin{array}{l} \alpha_{1}=(1,2,1,0) \\ \alpha_{2}=(-1,1,1,1) \end{array},\left\{\begin{array}{l} \beta_{1}=(2,-1,0,1) \\ \beta_{2}=(1,-1,3,7) \end{array}\right.\right. $$

七、设 $\displaystyle A \in C^{n \times n}, ~ C \in C^{n \times n}, A$ 为正定矩阵，矩阵 $C$ 的秩为 $\displaystyle m, n>m$ ，求 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{T} & 0\end{array}\right)$ 的正、负惯性指数，其中 $\displaystyle C^{T}$ 为矩阵 $C$ 的转置（15 分）

三、 元素属于实数域 R 的 2 阶方阵按矩阵的加法与数量乘法构成 R 上的一个线性空间 $\displaystyle M_{2}(R)$ ，令 $\displaystyle H=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right)$ ，定义变换 $\displaystyle \delta(A)=A H-H A, A \in M_{2}(R)$ 为其上的线性变换，求 $\displaystyle \delta$ 的核的维数和一组基。（20分）

八、设 $\displaystyle A=\left(a_{i, j}\right)_{n \times n}$ ，满足 $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i, j}=0, \forall i=1,2, \cdots, n$ ，证明 $\displaystyle A_{n 1}=A_{n 2}=\cdots=A_{n n}, A_{n j}$ 为 $\displaystyle a_{n j}$ 的代数余子式。（20分）

四、设实矩阵 $\displaystyle A \in C^{m \times n}$ ，证明秩 $\displaystyle \left(A^{\prime} A\right)=$ 秩 $\displaystyle (A), A^{\prime}$ 为矩阵 $A$ 的转置。（15 分）

2．（15 分）已知 $$ \mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right] $$ 求一正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{T}$ 使 $\displaystyle \mathbf{T}^{\prime} \mathbf{A T}$ 成对角形。

8．（15 分）设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |\mathrm{A}|<0$ 。证明存在实 n 维向量 X 使得 $\displaystyle \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{AX}<0$ 。

9．（15分）设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是四维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $f$ 在这组基下的矩 阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ， 求：（1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵 （2）求线性变换 f 的核和值域。

一、判断题目：（20分） （2）若向量组的一个线性组合为零，则该向量组线性相关； （3）$\displaystyle V_{1}=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}=0\right\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的子空间； （4）矩阵相似具有相同特征多项式； （5）合同矩阵具有相同的负惯性指数

七、设 $\displaystyle A, B, C$ 分别为 $n$ 阶矩阵，若 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ B^{\prime} & C\end{array}\right)$ 为正定矩阵，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ B^{\prime} & C\end{array}\right| \leq|A||C|$ 。（20 分）

五、求正交矩阵 $Q$ 使得 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}-1 & -3 & 3 & -3 \\ -3 & -1 & -3 & 3 \\ 3 & -3 & -1 & -3 \\ -3 & 3 & -3 & -1\end{array}\right)$ 使 $\displaystyle Q^{\prime} A Q$ 为对角正交矩阵（25 分）

六、 证明对 $n$ 阶正定矩阵 $A$ ，存在可逆矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=B^{\prime} B$（20 分）

一、（ 20 分）设 $\displaystyle A, B$ 分别是 $\displaystyle n \times m$ 利 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$\displaystyle I_{k}$ 是 $k$ 阶单位矩阵。 （1）证明：$\displaystyle \left|I_{n}-A B\right|=\left|I_{m}-B A\right|$ ； （2）计算行列式：$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}a_{1} b_{1} & 1+a_{1} b_{2} & \cdots & 1+a_{1} b_{n} \\ 1+a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \cdots & 1+a_{2} b_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1+a_{n} b_{1} & 1+a_{n} b_{2} & \cdots & a_{n} b_{n}\end{array}\right|$ 。

七、（20分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明： （1）$\displaystyle \sigma^{-1}(0)=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ； （2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ； （3）如果 $\displaystyle \tau$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma^{-1}(0), \sigma(V)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，则有 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．

四、（20分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换 $$ \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) \text {, 其中 } B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ 与线性子空间 $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathbf{K}\right\} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。

七、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 分别为数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n$ 与 $\displaystyle n \times s$ 矩阵，又设 $$ W=\left\{B \alpha \mid A B \alpha=0, \alpha \in P^{s \times 1}\right\} \subset P^{n \times 1} $$ 证明： $$ \operatorname{dim}(W)=\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B) $$

六、（20 分）已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且两两可互相交换，并有 $\displaystyle A C+B D=E$ ，这里 $E$ 是单位变换，证明 $$ \operatorname{ker}(A B)=\operatorname{ker} A \oplus \operatorname{ker} B $$

四、（20分）设 $\displaystyle \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 为 $\displaystyle \tau$ 的两两不同的特征根，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}$ 分别为属于特征根 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 的特征向量，若 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{m} \in W$ ，求证：$\displaystyle \alpha_{i} \in W(i=1,2, \ldots, m)$ ．

五、（本题 20 分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换 $$ \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) $$ 其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，线性子空间 $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。

七、（15 分）在 $\displaystyle P^{4}$ 中，设 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1,3,1), \alpha_{2}=(1,2,0,1), \alpha_{3}=(-1,1,-3,0), \alpha_{4}=(1,1,1,1)$ ，（1）求向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的一个极大线性无关组；（2）求由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 生成的子空间的基与维数。八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2,1,0), \alpha_{2}=(-1,1,1,1), \beta_{1}=(2,-1,0,1), \beta_{2}=(1,-1,3,7)$ ，求由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间与由向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间的交的基与维数。

七、（15 分） 已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换及线性子空间 $W$ 如下： $$ \begin{gathered} \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}), \quad \text { 其中 } B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \\ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\}, \end{gathered} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间。

九、（20分） 已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且两两可互相交换，并有 $\displaystyle A C+B D=E$ ，这里 $E$ 是单位变换，证明： $\displaystyle \operatorname{ker}(A B)=\operatorname{ker} A \oplus \operatorname{ker} B$ ．

二、（15分） 设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} \in \mathbf{R}$ ，记 $\displaystyle a_{i j}=\sin \left(\alpha_{i}+\alpha_{j}\right), i, j=1, \cdots, n$ ，定义矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbf{R}^{n \times n}$ ，试对 $\displaystyle n=2$ 时计算行列式 $\displaystyle |A|$ 的值；当 $\displaystyle n \geq 3$ 时结果如何？

七、（20分） 设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，记 $$ W=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\} $$ （1）证明 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)=W$ ； （2）证明 $\displaystyle V=W \oplus \sigma(V)$ ．

八、（20分） 设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \neq 0$ 是 $V$ 中一个固定向量。 （1）证明 $\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0, x \in V\}$ 是 $V$ 的子空间； （2）证明 $\displaystyle V_{1}$ 的维数等于 $\displaystyle n-1$ ．

五、（15 分） 设 $V$ 是数域 F 上一个 n 维向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 是其一组基，$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ 生成的子空间，$\displaystyle W_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in \mathrm{~F}, i=1,2, \ldots, n\right\}$ 。 证明：（1）$\displaystyle W_{2}$ 是 $V$ 的子空间；（2）$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ 。

十、（15 分） 已知 $A$ 是复数域 $n$ 阶方阵，则存在唯一 $\displaystyle A_{1}$ 和 $\displaystyle A_{2}$ ，使得 $\displaystyle A=A_{1}+A_{2}$ ，其中 $$ A_{1}=U\left[\begin{array}{ll} T & S \\ 0 & 0 \end{array}\right] U^{H}, A_{2}=U\left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & N \end{array}\right] U^{H}, $$ $\displaystyle T \in \mathbb{C}^{r \times r}$ 是可逆的，$\displaystyle N \in \mathbb{C}^{(m-r) \times(m-r)}, N^{k}=0, U$ 是可逆的且满足 $\displaystyle U^{-1}=U^{H}$ 。 （1）求 $\displaystyle A^{k}$ 的秩； （2）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, r(X)=r$ 的解； （3）求方程组 $\displaystyle X A^{k+1}=A^{k}, X A X=X,(A X)^{H}=A X, r(X)=r$ 的解。

九、（15 分） 设 $\displaystyle V=C^{4}$（ $C$ 为复数域），$f$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ 是 $V$ 的一组基，而 $$ \begin{aligned} & f\left(e_{1}\right)=e_{1}+2 e_{2}+6 e_{3}+7 e_{4}, f\left(e_{2}\right)=-2 e_{1}-4 e_{2}-12 e_{3}-14 e_{4}, \\ & f\left(e_{3}\right)=3 e_{1}+5 e_{2}+17 e_{3}+18 e_{4}, f\left(e_{4}\right)=-4 e_{1}+7 e_{2}-9 e_{3}+17 e_{4}, \end{aligned} $$ 求 $f$ 的核 $\displaystyle f^{-1}(0)$ 的一组基和维数．

八、（15 分） 设 $R$ 是实数域，集合 $$ V=\left\{\left.\left[\begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{array}\right] \right\rvert\, a, b, c \in R\right\} . $$ （1）证明：$V$ 是 $\displaystyle R^{3 \times 3}$ 的一个线性子空间； （2）对任意 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & a_{1} & a_{2} \\ 0 & 0 & a_{1}\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ 0 & b_{1} & b_{2} \\ 0 & 0 & b_{1}\end{array}\right] \in V$ ，定义二元函数 $$ (A, B)=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}, $$ 则 $V$ 是一个欧式空间．

十、（15 分） 已知矩阵空间 $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 的子空间 $$ W=\left\{\left.X=\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right] \right\rvert\, x_{3}-x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\} . $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的内积为 $$ (A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}\left(\forall A=\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right) \in R^{2 \times 2}\right), $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的线性变换为 $\displaystyle \sigma(X)=X B\left(\forall X \in R^{2 \times 2}, B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\right)$ ． （1）证明：求子空间 $W$ 的一组标准正交基； （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \sigma$ 看作是 $W$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $W$ 上的对称变换； （4）求 $W$ 的一组标准正交基，使 $\displaystyle \sigma$ 在该组基下的矩阵为对角矩阵。

七、（15分） 已知线性空间 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的两个线性变换： $$ \sigma(X)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{array}\right) X, \quad \tau(X)=X\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right), \quad\left(\forall X \in P^{2 \times 2}\right), $$ （1）求 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （2）判断 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 是否可逆．

八、（15 分） 设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 3 维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], $$ 求 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ ．

六、（15 分） 已知集合 $$ W=\left\{\left(0, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n} \in R\right\}, $$ （1）证明：$W$ 是 $R$ 上 $n$ 维向量空间 $\displaystyle R^{n}$ 的一个线性子空间； （2）求 $W$ 的一组基和维数．

九、（15 分） （1）已知 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), $$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的一组基，将 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 转换为正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ ；若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), $$ 求 $\displaystyle \sigma$ 在正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵； （2）设 $V$ 是有限维欧式空间，内积记为 $\displaystyle (\alpha, \beta)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个正交变换，记 $$ V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}, $$ $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $V$ 的子空间，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

八、（15 分） 设 $V$ 是全体实 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵所构成的实线性空间，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，定义 $V$ 的变换 $$ \sigma x=A x, \quad \forall x \in V, $$ （1）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 是线性的； （2）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 可逆 ⇔ 矩阵 $A$ 可逆； （3）当 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -4\end{array}\right)$ 时，求 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 和 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 及它们的一组基．

3．设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，$\lambda_{n}$ 是 $A$ 最大的特征值，证明：$\lambda_{n}=\max _{0 \neq X \in \mathbb{R}^{n}} \frac{X^{T} A X}{X^{T} X}, \mathbb{R}^{n}$ 为实 $n$ 维列向量的集合．

6．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $V$ 的 $\mathscr{A}-$ 子空间，已知 $\mathscr{A}$ 有 $k$ 个互异的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k}$ ，相应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{k}$ ，证明：若 $\xi_{1}+\xi_{2}+\cdots+\xi_{k} \in W$ ，则 $\operatorname{dim} W \geq k$ ．

7．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，若 $\mathscr{A}$ 不改变向量的距离，即 $|\mathscr{A} \alpha-\mathscr{A} \beta|=|\alpha-\beta|$ 对任意的 $\alpha, \beta \in V$ 成立。证明： $\mathscr{A}$ 是正交变换．

8．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 12 & 2022 \\ 0 & 0 & 25 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，证明：矩阵方程 $X^{2}=A$ 无解，其中 $X \in \mathbb{C}^{3 \times 3}$ ．

2．已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -a_{n} \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & -a_{2} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -a_{1} \end{array}\right) $$ （1）若 $A F=F A$ ，证明：$A=a_{11} E+a_{21} F+a_{31} F^{2}+\cdots+a_{n 1} F^{n-1}$ ； （2）求子空间 $C(F)=\left\{B \in \mathbb{C}^{n \times n} \mid B F=F B\right\}$ 的维数．

2．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为矩阵 $A_{n \times n}$ 的 $n$ 个列向量，$\beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ ，并且 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 线性相关．证明：线性方程组 $A X=\beta$ 有无穷多解．

6．设 $f(x), g(x)$ 为数域 $P$ 上的多项式，并且满足 $(f(x), g(x))=1$ ．设 $V, V_{1}, V_{2}$ 分别是 $f(A) g(A) X=0$ ， $f(A) X=0, g(A) X=0$ 的解空间．证明：$V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

1．已知 $X, Y$ 为三维列向量，$A=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实对称矩阵． （1）（10 分）对任意的实数 $a$ ，证明：$\left|\begin{array}{cc}a & X^{T} \\ Y & A\end{array}\right|=a|A|-X^{T} A^{*} Y$ ． （2）（10 分）已知 $A$ 的所有特征值的和为 $1, A$ 的所有特征值的积为 -12 ，并且 $(1,0,-2)^{T}$ 为 $\left(A^{*}-4 E\right) X=0$ 的解．对于下列四元二次型，用正交替换化为标准形． $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left|\begin{array}{cccc} x_{1}^{2} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ -x_{2} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ -x_{3} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ -x_{4} & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| $$

2．非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} k x_{1}+x_{2}+x_{3}=k \\ x_{1}+k x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+k x_{3}=k \end{array}\right. $$ 何时有唯一解，有无穷多解，无解？并在有无穷多解时求通解．

3．设 $A$ 是实反称矩阵，证明：$E+A$ 可逆，且 $Q=(E-A)(E+A)^{-1}$ 为 $|Q|=1$ 的正交矩阵．

8．设 $A$ 是实矩阵，其特征值均为实数，证明：存在正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T$ 为上三角矩阵。

3．若矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & & & \\ & 2 & 2 & & \\ & & 3 & \ddots & \\ & & & \ddots & n-1 \\ & & & & n \end{array}\right) $$ 的若尔当标准形 $J$ ．

3．设 $a<0, X$ 为 $n-1$ 维实列向量，$B$ 是 $n-1$ 阶正定矩阵，证明：$A=\left(\begin{array}{cc}a & X^{\mathrm{T}} \\ X & B\end{array}\right)$ 的正惯性指数为 $n-1$ ．

7．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\mathscr{A}$ 存在 $n$ 个不同的特征值，证明： $\mathscr{A}$ 有且仅有 $2^{n}$ 个不变子空间。

1．设 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j}=\min \{i, j\}, 1 \leq i, j \leq n$ ． （1）计算 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式． （2）证明：$A$ 正定．

11、若 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1} \geq \frac{\eta}{2}$ ，证明：存在 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 使得 $\displaystyle V=V_{1} \oplus W_{1}=V_{1} \oplus W_{2}$ ，且 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}=\{0\}$ ．

6、设 $\displaystyle A=\beta \alpha^{\top}$ ，且 $\displaystyle \alpha^{\top} \beta=0$ ，求 $A$ 的特征值和特征子空间的一组基．

2．当方程组有解时，求出所有解．

1．求 $|A|$ ．

2．设 $V_{1}$ 是由全体对称矩阵构成的子空间，$V_{2}$ 是由全体反对称矩阵构成的子空间，证明：$V_{1}$ 是 $V_{2}$ 的正交补空间．

2．求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=J$ ．

八．（15 分）设 $\displaystyle V=M_{n}(\mathbb{R})$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上 $n$ 阶矩阵全体，定义 $\displaystyle \sigma: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, \sigma(A, B)=\operatorname{tr}\left(A B^{\mathrm{T}}\right)$ ．

3．设 $|A|=\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & -7 \\ 2 & 7 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 17 & 16 & 19 & 11\end{array}\right|$ ，求 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=$ $\_\_\_\_$ ．

1．设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1+a & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2+a & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & n & \cdots & n+a \end{array}\right) . $$ 求 $\operatorname{det} A$ ，判断 $a$ 为何值时，$A X=0$ 有非零解，并求该非零解．

6．设 $A$ 为元素全为整数的对称方阵，且对任意非零行向量 $z$（其分量均为非负整数），总有 $z A z^{\mathrm{T}} \geq 0$ ． （1）证明：对任意非零行向量 $z$（其分量均为非负实数），总有 $z A z^{\mathrm{T}} \geq 0$ ． （2）判断：是否存在非零行向量 $z$（其分量均为非负整数），使得 $z A z^{\mathrm{T}}=0$ 。

6．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V^{*}$ 是 $V$ 的对偶空间，若 $\displaystyle W \subset V^{*}$ 是 $r$ 维子空间，证明： $$ W^{\perp}=\{v \in V \mid l(v)=0, \forall l \in W\} \subset V $$ 是 $\displaystyle n-r$ 维线性子空间．

9．设 $\displaystyle T: V \rightarrow V$ 是欧氏空间上的一个正规算子． （1）证明：$T$ 的伴随算子的核空间与 $T$ 的核空间相等． （2）若 $\displaystyle T^{2}=T$ ，则 $T$ 必为对称算子．

九、设 $A$ 为 $n$ 维欧氏空间上的线性变换，$W$ 为 $A$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$也是 $A$ 的不变子空间．

八、设 $\displaystyle P^{n \times n}$ 为数域 $P$ 上全体 $n$ 阶方阵组成的线性空间，$\displaystyle A, B$ 为两个 $n$ 阶方阵，定义 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的变换 $\displaystyle \varphi(X)=A X B, X \in P^{n \times n}$ ，求证： （1）$A$ 为 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的线性变换； （2）$\displaystyle \varphi$ 是可逆变换当且仅当 $\displaystyle A, B$ 都是可逆矩阵．

6．设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的全体 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵组成的线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的变换，且 $$ \varphi(x)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right) x, x \in V $$ 完成下列问题： （1）证明 $\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （3）求 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi$ 的一组基和维数； （4）求 $\displaystyle \operatorname{ker} \varphi$ 的一组基和维数．

7．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{ker} \phi$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi^{2}$.

三．设 $\displaystyle u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$ 和 $\displaystyle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 是内积空间 $V$ 的两组规范正交基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个等距变换，并且 $\displaystyle \left[\sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)\right]=\left[v_{1}, v_{2}\right]$ ，即 $\displaystyle \sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)$ 生成的子空间与 $\displaystyle v_{1}, v_{2}$ 生成的子空间相等．证明： $$ \left[\sigma\left(u_{3}\right), \sigma\left(u_{4}\right), \cdots, \sigma\left(u_{n}\right)\right]=\left[v_{3}, v_{4}, \cdots, v_{n}\right] $$

四．设 $n$ 阶上三角矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ & & 1 & \cdots & n-2 \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $A$ 的极小多项式和 Jordan 标准形． （2）证明：$\displaystyle K=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid(A-I) B=O\right\}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的子空间，并求 $\displaystyle \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} K$ ．

4．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in P^{n \times n}$ ，证明：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ ，其中 $\displaystyle n \geq 2, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵．

5．（20 分）设 $\displaystyle A, C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正定矩阵，实矩阵 $B$ 是矩阵方程 $\displaystyle A X+X A=C$ 的唯一解，证明：$B$ 是正定矩阵。

7．（20 分）已知 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{s}$ 是线性空问 $V$ 的一些子空问，证明下列命题等价： （1）$\displaystyle W=\sum_{i=1}^{s} V_{i}$ 是直和； （2）零向量的分解式唯一； （3）$\displaystyle V_{i} \cap \sum_{j \neq i} V_{j}=\{0\}(i=1,2, \cdots, s)$.

4．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，已知 $$ a_{i i}>0(i=1,2, \cdots, n), a_{i j}<0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n) $$ 且 $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i j}=0(i=1,2, \cdots, n)$ ，证明：秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．

7．（20分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 级实矩阵，并设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle B A$ 的非零特征值，以 $\displaystyle V_{\lambda}^{B A}$ 表示 $\displaystyle B A$ 关于 $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间．证明： （1）$\displaystyle \lambda$ 也是 $\displaystyle A B$ 的特征值； （2） $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{A B}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{B A}\right)$ ．

9．（10 分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ 中的一切向量．

五．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵，证明：$n$ 元实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}\right)^{2}+\cdots+\left(a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}\right)^{2} $$ 是正定二次型的充要必要条件是 $A$ 的秩等于 $n$ ．

七．（15 分）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，若 $\displaystyle V_{1} \cup V_{2}$ 也是 $V$ 的子空间．证明： （1）$\displaystyle V_{1} \cup V_{2}=V_{1}+V_{2}$ ． （2）$\displaystyle V_{1} \subset V_{2}$ 或者 $\displaystyle V_{2} \subset V_{1}$ ．

五．（20 分）$\displaystyle A, B$ 均是 $\displaystyle 4 \times 4$ 级实矩阵，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系中包含 3 个解向量，$\displaystyle B X=0$的一个基础解系中包含 2 个解向量。证明： （1）$\displaystyle A B X=0$ 至少有 3 个线性无关的解向量． （2） $\displaystyle 4 A+5 B$ 一定有实特征向量

八．（20 分）设 $V$ 是复数域上的一个 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明： （1）若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征值，则特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的一个不变子空间． （2）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

四．（15 分）设 $A$ 是秩为 $m$ 的 $\displaystyle m \times n$ 级矩阵，$B$ 是秩为 $\displaystyle n-m$ 的 $\displaystyle n \times(n-m)$ 级矩阵，而且 $\displaystyle A B=O$ ．若 $n$维向量 $\displaystyle \eta$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解．证明：存在唯一的 $\displaystyle n-m$ 维列向量 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle \eta=B \xi$ ．

4．（10 分）设 $\displaystyle A \in M_{m \times n}(P)$ ，证明：$A$ 的秩等于 $r$ 的充要条件是存在秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times r$ 矩阵 $M$ 和 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $N$ ，使得 $\displaystyle A=M N$ ．

5．（10 分）若 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是正定阵，证明： $$ 0<|A| \leq a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} $$ 其中 $\displaystyle a_{i i}$ 为 $A$ 的主对角线上的元素，$\displaystyle i=1,2, \cdots, n$ ．

七．（15 分）设 $V$ 是数域上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle \sigma(V)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的值域，$\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的核．证明： （1）维 $\displaystyle \left(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)\right) \geq \frac{n}{2}$ ． （2）维 $\displaystyle \left(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)\right)=\frac{n}{2}$ 当且仅当 $\displaystyle \sigma(V)=\sigma^{-1}(0)$ ．

六．（15分）设 $V$ 为有限维线性空间，$\displaystyle V_{1}$ 为 $V$ 的非零子空间．证明：如果有且仅有一个子空间 $\displaystyle V_{2}$ ，使得 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，则必有 $\displaystyle V_{1}=V$ ．

十．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 为五维欧几里得空间 $V$ 的一组标准正交基， $$ W=\left\{x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+x_{3} \alpha_{3}+x_{4} \alpha_{4} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} $$ 证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，求出 $W$ 的维数与一组基，并求出 $W$ 的正交补．

7．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是数域 $P$ 上 4 维线性空间 $V$ 的一组基，线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在这组基下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 3 & 4 & 2 \\ -2 & 5 & 1 & 3 \\ -6 & 17 & 9 & 11 \\ -7 & 18 & -17 & 11 \end{array}\right) . $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的核及其一组基． （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的值域及其一组基．

1．如果实矩阼 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$

3．一个 $n$ 阶行列式 $D$ 的元素由 $a_{i j}=\max (i, j)$ 给定，则 $D=$ $\_\_\_\_$

2．已知三阶矩阵 $A$ 的特征值是 $x^{3}=1$ 的三个不同根，则 $|A+E|=$ $\_\_\_\_$

4．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), T=\{B \mid A B=B A\}$ ，其中 $B$ 为 3 阶实方阵，$T$ 关于矩阵加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$

2．秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，则行列式 $|A+E|=$（ （A）$(-1)^{r} 3^{r}$ （B） $3^{r}$ （C）$(-1)^{r} 2^{r}$ （D） $2^{r}$

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 为 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 为 $1 \times n$ 矩阵，且 $|A|=2, ~\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$

2．已知 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $0,2,-1$ ，则行列式 $\left|A^{2}+A+E\right|$ 的值为（ （A） 1 （B） 0 （C） 7 （D） 14

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

5．已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}-x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1+\lambda \\ -2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 无解，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ （5） $\_\_\_\_$

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}4 & 6 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & -1 & -1 \\ 7 & -4 & 1 & 2\end{array}\right), A_{11}$ 是 $A$ 中元素 $a_{11}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+2 A_{12}-A_{13}-A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

4．设矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & 4 & 0\end{array}\right)$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}+\lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$ （4） $\_\_\_\_$

1．设 $A$ 为 2 阶方阵，满足 $|A-E|=0,|A+2 E|=0$ ，则 $\left|A^{*}+E\right|=($ （6） （A） 0 （B） 2 （C）-2 （D） 1

二．（20 分）设 $V$ 为实数域上的全体 $n$ 阶方阵在通常的运算下松成的线性空间。 $\displaystyle \sigma$为 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\displaystyle A \in V, \sigma(A)=A^{T}$ 。 （1）求 $\displaystyle \sigma$ 的特征值；（2）对于每一个特征值，求其特咙字空间； （3）证明 $V$ 恰为 $\displaystyle \sigma$ 的所有特征子空间的直和。

五．（共20 分）$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 3 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 4 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & -5 & 1 & -6\end{array}\right)$ ， （1）求 $\displaystyle 5 \times 5$ 的秩为 2 的矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B=0$ ； （2）已知 $C$ 是满足 $\displaystyle A C=0$ 的 $\displaystyle 5 \times 5$ 矩阵，证明 $\displaystyle r(C) \leq 2$ 。

六．（共 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换。证明： （1）存在正整数 $k$ ，使得对所有 $\displaystyle l>k$ 有 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(\sigma^{l}\right)=\operatorname{ker}\left(\sigma^{k}\right)$ ； （2）$\displaystyle \sigma$ 的秩与 $\displaystyle \sigma^{2}$ 的秩相等的充分必要条件是 $\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \operatorname{ker}(\sigma)$ 。

1．（20分）矩阵 $A$ 不可逆，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，证明使 $k E+A^{*}$ 不可逆的复数 $k$ 至多只有两个．

2．（20分）$A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\prime} & c\end{array}\right)$ 正定，$B$ 为 $n \times 1$ 阶矩阵，$c$ 为常数。证明： $$ \left|\begin{array}{cc} A & B \\ B^{\prime} & c \end{array}\right| \leq c|A| $$ 等号成立时当且仅当 $B=O$ ．

3．（20分）设 $\eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的一个单位向量，定义 $\mathscr{A}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta$ 为镜面反射。 （1）证明 $\mathscr{A}$ 是一个正交变换，求 $\mathscr{A}$ 的一组标准正交基，并并求 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵。 （2）如果 $n$ 维欧氏空间中，正交变换 $\mathscr{A}$ 以 1 作为特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 $V_{1}$ 的维数为 $n-1$ ，则 $\mathscr{A}$ 一定为镜面反射。

2．求一个正交线性替换 $X=T Y$ ，将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并求此标准形．

1．设矩阵 $A=A_{m \times n}, B=B_{n \times m}(m \leq n)$ ，证明：$\left|\lambda E_{n}-B A\right|=\lambda^{n-m}\left|\lambda E_{m}-A B\right|$ ．

2．若 $A$ 是数域 $P$ 上 $r \times n$ 矩阵，$B$ 是 $P$ 上 $(n-r) \times n$ 矩阵，且分块矩阵 $\binom{A}{B}$ 是非奇异矩阵，则 $n$ 维线性空间 $P^{n}=\left\{X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{\prime} \mid x_{i} \in P\right\}$ 是齐次线性方程组 $A X=0$ 的解子空间 $V_{1}$ 与 $B X=0$ 的解子空间 $V_{2}$ 的直和，即 $P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

1．若 $A$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上 $n \times n$ 对称矩阵，且 $|A|<0$ ，则必存在 $n$ 维实列向量，使得 $X^{\prime} A X<0$ ．

2．若方阵 $A=\left(\begin{array}{cc}B & D \\ D^{\prime} & C\end{array}\right)$ 为实对称阵，则 $A$ 是正定的充分必要条件为 $B$ 是正定且 $C-D^{\prime} B^{-1} D$ 也是正定的．

1．秩 $\left(A^{n}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+1}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+2}\right)=\cdots$ ．

2．若 $A$ 为非零矩阵，则线性方程组 $A^{\prime} A X=A^{\prime} b$ 必有解，这里 $b=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{\prime}$ 为任意列向量．

七．已知 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，且 $\displaystyle \sigma^{m}=\mathrm{id}_{V}$ ，其中 $\displaystyle m>1$ 为正整数， $\displaystyle \mathrm{id}_{V}$ 为 $V$ 上的恒等变换． （1）证明 $\displaystyle V_{\sigma}=\{u \in V \mid \sigma(u)=u\}$ 为 $V$ 的子空间，并称其为 $V$ 的不动子空间； （2）对任意的 $\displaystyle u \in V$ ，其在 $\displaystyle V_{\sigma}$ 上的正交投影为 $\displaystyle \bar{u}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(u)$ ； （3）证明 $\displaystyle V_{\sigma}$ 的维数等于 $\displaystyle \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}$ 的迹． ## （第三、四、六题回忆数据可能不准，11月份之前会根据官方修订真题）

五．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的不可逆且非零的线性变换，$A$ 为 $\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵．证明： （1）存在 $\displaystyle m>1$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma^{m} \oplus \operatorname{Ker} \sigma^{m}$ ； （2）$A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 为可逆矩阵，$C$ 为幂零矩阵．

4．（20分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基．用 $\displaystyle V_{1}$ 表示 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$生成的子空间，令 $\displaystyle V_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in F\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ； （2）设 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵 $A$ 是置换矩阵（即 $A$ 每行每列只有一个元素为 1 ，其余元素为 0 ），证明：$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。

4、 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，且 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明： $$ \lambda_{k}=\min _{\operatorname{dim} S=n-k+1} \max _{X \in S, X \neq 0} \frac{(A X, X)}{(X, X)},(k=1,2,3, \cdots, n) $$ 其中 $S$ 为向量空间，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ，内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 为 (X, X)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ ，其中 $$ Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T} $$

5、解答如下问题： （1） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 实矩阵，则 $\displaystyle \mathbf{B}^{T} \mathbf{A} \mathbf{B}$ 是正定矩阵的充要条件是 $\displaystyle r(B)=n$ ． （2） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶实对称矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 为半正定矩阵的充分必要条件是存在 $r$ 行 $n$ 列的行满秩矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=B^{T} B$ ．

7、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的线性变换，若对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，都有 $$ (\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta)), $$ 则称 $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭，证明： （1） $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭的充分必要条件是两者在同一组标准正交基下的矩阵互为转置． （2）若 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \tau$ 的共轭，则 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma=(\operatorname{Ker} \tau)^{\perp}$ ．

3．设 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵 $\displaystyle (n \geq 2)$ ，满足 $\displaystyle A^{2}=A, B, C$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵． （1）证明：$\displaystyle r(A)+r\left(A-E_{n}\right)=n$ ． （2）若 $\displaystyle E_{n}+C^{\mathrm{T}} B$ 可逆，则 $\displaystyle E_{m}+B C^{\mathrm{T}}$ 可逆，并求 $\displaystyle E_{m}+B C^{\mathrm{T}}$ 的逆．

4．解答如下问题： （1）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 是正定矩阵，证明：存在 $\displaystyle n \times n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P, P^{\mathrm{T}} B P$ 同时为对角矩阵。 （2）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ ，写出该二次型的矩阵，并用正交线性替换把该二次型化为标准型，判断该二次型是否正定．

5．设 $P$ 是一个数域，记 $\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $$ \alpha_{1}=(1,2,1,0)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(-1,1,1,1)^{\mathrm{T}}, \alpha_{3}=(0,3,2,1)^{\mathrm{T}} $$ 生成的 $\displaystyle P^{4}$ 的子空间，即 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，记 $\displaystyle V_{2}$ 是由向量 $$ \beta_{1}=(2,-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,-1,3,7)^{\mathrm{T}} $$ 生成的 $\displaystyle P^{4}$ 的子空间，即 $\displaystyle V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ ，分别求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}, V_{1}+V_{2}$ 的维数和一组基．

6．记 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的全体 $\displaystyle 2 \times 2$ 阶矩阵构成的线性空间，定义 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma(X)=A X$ ，对任意的 $\displaystyle X \in \mathbb{C}^{2 \times 2}, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的矩阵。 （2）求 $\displaystyle \sigma$ 的值域的维数和一组基以及 $\displaystyle \sigma$ 的核的维数和一组基．

7．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上全体 $\displaystyle n \times n(n \geq 2)$ 阶实对称矩阵构成的线性空间，对任意 $\displaystyle A, B \in V$ ，定义 $\displaystyle (A, B)=\operatorname{tr}(A B)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 表示 $\displaystyle A B$ 的迹． （1）证明：$V$ 是欧氏空间． （2）$\displaystyle W=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}$ ．证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，并求 $W$ 的维数． （3）求 $W$ 的正交补空间 $\displaystyle W^{\perp}$ 的维数．

五、设 $\displaystyle \mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，记 $\displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{A})$ 为所有与 A 可交换的实矩阵全体， （1）证明 $\displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{A})$ 是线性空间 $\displaystyle R^{3 \times 3}$ 的一个子空间； （2）求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基与维数。

八、（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是有限维线性空间 V 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：$\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$当且仅当 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma(\mathrm{V})$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间。

六、（15分）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个线性变换，满足 $\displaystyle \alpha+\beta=\varepsilon, \alpha \beta =\beta d=0$ ，这里 $\displaystyle \varepsilon, 0$ 分别为单位变换和零变换。证明： （1） $\displaystyle \mathrm{V}=\alpha \mathrm{V} \oplus \beta \mathrm{V}$ ， （2）$\displaystyle \alpha V=\beta^{-1}(0)$ ． 这里 $\displaystyle \alpha V, \beta V$ 分别表示 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值域，$\displaystyle \beta^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \beta$ 的核。

10、（15 分）设 $\displaystyle V=K^{r \times n},(V,(\cdot, \cdot))$ 是一个欧氏空间，其中内积的定义为：对任意的 $\displaystyle A, B \in V,(A, B)=\operatorname{tr}\left(A B^{T}\right)$ 又设 $\displaystyle U=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}, W=\left\{B \in V \mid B^{T}=-B\right\}$ ，证明： $\displaystyle U \perp W$ 且 $\displaystyle V=U \oplus W$ 。

3．（15 分）设 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，证明：如果 $\displaystyle A^{2}-A=2 E$ ，那么秩 $\displaystyle (A+E)+$ 秩 $\displaystyle (A-2 E)=n$.

4．（15分）设 $A$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，其中 $\displaystyle n<m$ ，若 $\displaystyle A B=E$ ，其中 $E$为 $n$ 阶单位矩阵，证明：秩 $\displaystyle (B)=n$ ．

5．（15 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，设齐次线性方程组 $\displaystyle f(A) g(A) X=0, f(A) X=0, g(A) X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W, V_{1}, V_{2}$ ，证明：$\displaystyle W=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

6．（15分）设 $A$ 是复数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵，秩 $\displaystyle (A)=1, A$ 的迹 $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ，求 $A$ 的若尔当标准形，初等因子，不变因子，最小多项式。

7．（15 分）设 $A$ 是实数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，若对任意非零的 $n$ 维实向量 $X$ ，恒有 $\displaystyle X^{\top} A X>0$ ，证明：$\displaystyle |A|>0$ ．

8．设 $$ F[x]_{n}=\left\{a_{n} x^{n}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \mid a_{n}, \cdots, a_{1}, a_{0} \in F\right\} $$ 求线性变换 $\mathscr{D}: F[x]_{n} \rightarrow F[x]_{n}, \mathscr{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$ 的特征多项式和所有特征值．

9．设 $\alpha$ 为 $n$ 维实单位列向量，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，求 $E-\alpha \alpha^{T}$ 的秩并说明理由．

10．$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2\end{array}\right)$ ，求 $A^{2025}$ ．

12．设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 $4, r(A-E)=1$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵．求矩阵 $A$ ．

15．设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\lambda$ 实部为 0 ．

17．设 $\varphi, \psi$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\varphi^{2}=\varphi$ ．证明： （1） $\operatorname{Ker} \varphi=\{\alpha-\varphi(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ． （2） $\operatorname{Ker} \varphi, \operatorname{Im} \varphi$ 均是 $\psi$－不变子空间的充分必要条件是 $\psi \varphi=\varphi \psi$ 。

9．（5 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，试问：$A B$ 是否必为正定矩阵？若是，请说明理由；若否，请给出反例．

12．（12 分）用正交线性替换化二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3} $$ （注：这里有不同版本，有同学回忆最后两项为 $-4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3}$ 或 $8 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ ）为标准型，并写出所用的正交线性替换和所得的标准型。

13．（12 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $A B=B A$ ．证明：若 $A$ 是可逆矩阵，$B$ 是幂零矩阵（即存在正整数 $k$ 使得 $B^{k}=O$ ），则 $A+B$ 可逆．

14．（12 分）设 $\eta$ 是非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 的一个特解，$\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n-\tau}$ 是相应齐次线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系。证明： （1）向量组 $\eta, \eta+\xi_{1}, \eta+\xi_{2}, \cdots, \eta+\xi_{n-r}$ 线性无关． （2）$\gamma$ 是 $A X=\beta$ 的一个解的充分必要条件是存在 $c_{0}, c_{1}, \cdots, c_{n-r} \in \mathbb{F}$ 使得 $$ \gamma=c_{0} \eta+c_{1}\left(\eta+\xi_{1}\right)+c_{2}\left(\eta+\xi_{2}\right)+\cdots+c_{n-r}\left(\eta+\xi_{n-r}\right) . $$ 其中 $c_{0}+c_{1}+\cdots+c_{n-r}=1$ ．

2．利用正交变换将二次型化成标准型，并写出所用的正交变换．

3．$V=\operatorname{ker}(\sigma) \oplus \operatorname{Im}(\sigma)$ ．

七、（15分）设非零矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 满足对所有 $\displaystyle j<n$ 都有 $\displaystyle a_{i j}=0$ ． （1）若 $\displaystyle a_{n n} \neq 0$ ，求出 $A$ 的 Jordan标准型． （2）若 $\displaystyle a_{n n} \neq 0$ ，求出 $A$ 的 Jordan标准型．

八、（15分）设 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $Q$ 在基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 2 & -3 & -1\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。 （2）求 $a$ 满足什么条件时？佮好有 3 个 1 维不变子空间。

六、（30分）设 $V$ 是数域 $P$ 上所有 $\displaystyle 2 \times 3$ 矩阵组成的线性空间． （1）给出 $V$ 的一组基，并证明． （2）给出 $V$ 的两个子空间 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ ，使 $V$ 是它们直和并证明． （3）给出 $V$ 的两个子空间 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ ，使 $V$ 是它们的和，但不是直和并证明．

2、（4分）将 $f(x)$ 分解为实数域上不可约多项式乘积．

2、（5分）求 $A$ 的所有特征值．

3．$\displaystyle C \in M_{m \times n}(\mathbb{C}), r(C)=r$ ，且 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（计重数）．

4．有限维线性空间 $V$ 有2026个子空间 $\displaystyle W_{1}, W_{2}, \cdots, W_{2026}$ ，其中 $$ \operatorname{dim} W_{i}=2026(i=1,2, \cdots, 2026), \operatorname{dim}\left(W_{i} \cap W_{j}\right)=2025(i \neq j) . $$ 证明下列条件之一成立： （a）存在 $W$ 为 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} W=2025, W \subset W_{i}(i=1,2, \cdots, 2026)$ ． （b）存在 $U$ 为 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} U=2027, W_{i} \subset U(i=1,2, \cdots, 2026)$ ．

5．设 $\displaystyle A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$ 且 $\displaystyle |\lambda|<\delta$ 时，$\displaystyle \lambda E+A$ 可逆． （2） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow 0} A(\lambda E+A)^{-1}$ 存在的充分必要条件是 $\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．

7．$\displaystyle A_{n \times n}$ 为正定矩阵，$\displaystyle B_{n \times m}$ 满足 $\displaystyle r(B)=r$ ，求矩阵 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & O\end{array}\right)$ 的正负惯性指数．

10、（15 分）$\displaystyle \varepsilon_{1} \cdots \varepsilon_{n}$ 为 $V$ 的一组基 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 可逆当且仅当 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right), \cdots, \sigma\left(\varepsilon_{n}\right) $$ 线性无关．

8、（15 分）$A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle (n-m) \times n$ 矩阵，$\displaystyle W_{1}$ 为 $\displaystyle A X=0$ 的解立间，$\displaystyle W_{\text {、 }}$ 内 $\displaystyle B X=0$ 的解空间，证明：$\displaystyle \binom{A}{B} X=0$ 仅有 0 解当且仅当 $\displaystyle R^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

9、（15 分）$V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha$ 为非 0 固定向量． （1）证明：$\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0\}$ 为 $V$ 的子空间。 （2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=n-1$ ．

4．设 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，$C$ 为 $n$ 阶方阵，$D$ 为 $\displaystyle m \times n$ 阶方阵。证明：矩阵 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{ll}A & D \\ B & C\end{array}\right)$ 可逆的充分必要条件是，$\displaystyle A, B, C$ 均可逆，并在可逆时用 ，$\displaystyle A, B, C$ 及其逆矩阵表示 $\displaystyle M^{-1}$ 。

8．设 $A$ 为欧式空间 $V$ 上的对称变换。证明：$\displaystyle (A V)^{\perp}=\operatorname{ker} A$ 。

2．若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则 $A+B, A B, A^{-1}$ 中哪些必是正交矩阵，为什么？

12．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle u \in V$ ，且 $\displaystyle u, \mathscr{A}^{\prime} u, \mathscr{A}^{2} u, \cdots, \mathscr{A}^{n-1} u$ 构成 $V$的一组基，记 $\displaystyle L(V)$ 是 $V$ 上所有线性变换的集合． （1）记 $\displaystyle C(\mathscr{A})=\{\mathscr{B} \in L(V) \mid \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}\}$ ，证明：$\displaystyle C(\mathscr{A})$ 为线性空间． （2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} C(\mathscr{A})=n$ ． （3）证明：若 $\displaystyle \mathscr{B} \in C(\mathscr{A})$ ，则存在 $\displaystyle f(x) \in P[x]$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{B}=f(\mathscr{A})$ ．

3．设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{s}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，问什么情况下有 $\displaystyle V=\bigcup_{i=1}^{s} V_{i}$ ．

9．已知 $\displaystyle S=\left\{X Y-Y X \mid X, Y \in \mathbb{F}^{n \times n}\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle S=\left\{X \in \mathbb{F}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(X)=0\right\}$ ． （2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} S$ ．

9．设 $n$ 为正整数，且有理数域上二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 n x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3} $$ 有三个不小于 -4 的整数特征值，确定 $n$ 的取值并计算此二次型在有理数域上的标准形．

11．设 $n \geq 2, \mathscr{T}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且向量 $v$ 满足 $\mathscr{T}^{n-1} v \neq 0, \mathscr{T}^{n} v=0$ ． （1）证明：向量组 $v, \mathscr{T} v, \cdots, \mathscr{T}^{n-1} v$ 线性无关． （2）证明： $\mathscr{T}$ 不可以对角化．

七．在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中，$\displaystyle \gamma$ 是非零向量，定义 $V$ 中线性变换 $$ W_{0}=\{x \mid(x, \gamma)=0, x \in V\} . \quad A x=x-\frac{2(x, \gamma)}{(\gamma, \gamma)} \gamma, \forall x \in V . $$ （1）证明 $\displaystyle W_{0}$ 是 $A$ 的不变子空间，并求 $\displaystyle W_{0}$ 的维数． （2）若 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，证明：$\displaystyle \gamma \in W$ 或 $\displaystyle W \subset W_{0}$ ．

1．（20 分）设 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：$\displaystyle f^{2}(x)+g^{2}(x)$ 的重根必是 $\displaystyle \left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[g^{\prime}(x)\right]^{2}$的根．

1．（20 分）设 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：$\displaystyle f^{2}(x)+g^{2}(x)$ 的重根必是 $\displaystyle \left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[g^{\prime}(x)\right]^{2}$ 的根．

3．（20 分）若 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$\displaystyle \beta$ 为 $n$ 维列向量．考虑下列两个线性方程组 $$ \text { (a) } A X=\beta \text {; (b) }\binom{A^{\prime}}{\beta^{\prime}} X=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \text {. } $$ （1）当（a）有解时，（b）有解吗？证明你的结论． （2）当（a）无解时，（b）有解吗？证明你的结论．

3．（20 分）已知 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$\displaystyle \beta$ 为 $n$ 维列向量．考虑下列两个线性方程组 $$ \text { (1) } A X=\beta ; \quad \text { (2) }\binom{A^{\prime}}{\beta^{\prime}} X=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \text {. } $$ （1）当（1）有解时，（2）有解吗？证明你的结论． （2）当（1）无解时，（2）有解吗？证明你的结论．

5．（20 分）解答如下问题： （1）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X / A X$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right) . $$ 将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 化为一次因式的乘积． （2）根据（1）的结果，将 $n$ 元二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 化为一次因式的乘积，其中 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n+1 \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & n+2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & n+1 & n+2 & \cdots & 2 n-1 \end{array}\right) . $$

5．（ 20 分）解答如下问题： （1）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X^{\prime} A X$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right) . $$ 将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 化为一次因式的乘积． （2）根据（1）的结果，将 $n$ 元二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 化为一次因式的乘积，其中 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n+1 \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & n+2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & n+1 & n+2 & \cdots & 2 n-1 \end{array}\right) . $$

8．（15 分）定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 满足$ $$ (A C, B)=(A, C B), \forall A, B, C \in \mathbb{R}^{n \times n} $$ 证明：存在常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle (A, B)=c \operatorname{tr}(A B)$ ．

8．（15 分）定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的内积（，）满足 $\displaystyle \forall A, B, C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，成立 $\displaystyle (A C, B)=(A, C B)$ ．证明：存在常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle (A, B)=c \operatorname{tr}(A B)$ ．

7、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）设 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1 & & & \\ & \lambda & 1 & & \\ & & \lambda & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \lambda\end{array}\right)$ ，若 $J$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶若尔当矩阵， 且 $\displaystyle V=\left\{A \in P^{n \times n} \mid A J=J A\right\}$ ，证明： （1）$V$ 是线性空间． （2） $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ．

8、（20分）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的两个子空间，且 $$ \operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n . $$ 证明：存在 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \because$ ，使得 $\displaystyle \because V=V_{1}, r^{-1}(0)=V_{2}$ 。

3．（20分）设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(E_{m}-A A^{\mathrm{T}}\right)-\operatorname{rank}\left(E_{n}-A^{\mathrm{T}} A\right)=m-n$ ．

6．（20分）设 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的线性子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} W_{1}<\operatorname{dim} W_{2}$ ，证明：$\displaystyle W_{2}$ 中必有一个非零向量正交于 $\displaystyle W_{1}$ 中的所有向量．

7．（20 分）设 $\displaystyle n \geq 2, V=F^{n \times n}$ 为数域 $F$ 上 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的一个线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}: X \rightarrow X^{\mathrm{T}}, \forall X \in F^{n \times n}$ 。 （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值和特征向量． （2）判断 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是否可以对角化？并说明理由．

8．（20分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，且 $V$ 上线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示为 $$ A=\left(\begin{array}{cccccc} \lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda \end{array}\right) $$ 证明： （1）$V$ 是仅有的包含 $\displaystyle \alpha_{1}$ 的 $\displaystyle \sigma$ 不变子空间． （2）$\displaystyle \sigma$ 的任意不变子空间必包含 $\displaystyle \alpha_{n}$ ．（应该指明非零不变子空间） （3）每个子空间 $\displaystyle V_{i}=L\left(\alpha_{n-i+1}, \cdots, \alpha_{n}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 为 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha \in V_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle (\sigma-\lambda \varepsilon)^{i} \alpha=0$ ，其中 $\displaystyle \varepsilon$ 为恒等变换．

8．设 $A$ 是复数域上的 $n \times n$ 矩阵。证明： （1）$A$ 与 $A^{T}$ 有相同的特征值． （2）$A$ 与 $A^{T}$ 的特征子空间的维数相同． （3）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A=A^{T} P$ ．

9．设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，线性方程组 $A X=\beta$ 有解．证明： （1）$A X=\beta$ 线性无关解向量的个数至多为 $n-r(A)+1$ ． （2）设 $A$ 的特征多项式中非零根的个数为 $k$ ，则 $k \leq r(A)$ ．（特征值重根按重数计算）

10．设 $A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，$B$ 为可逆矩阵．满足 $r(E-A B)+r(E+B A)=n$ ．设 $S_{1}, S_{2}$分别为 $(E-A B) X=0$ 与 $(E+A B) X=0$ 的解空间．证明： （1）$r(E+B A)=r(E+A B)$ ． （2）$S_{1} \oplus S_{2}=P^{n}$ ． （3）$A$ 是可逆矩阵．

4．（15 分）（1）设 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{ccc} 0 & 3 & -1 \\ 1 & -2 & 2 \\ 4 & 1 & -1 \end{array}\right] $$ 求 $\mathscr{A}\left(2 \varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}+5 \varepsilon_{3}\right)$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标． （2）设 $\alpha$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的非零向量， $\mathscr{A}^{n-1} \alpha \neq 0, \mathscr{A}^{n} \alpha=0$ 。证明：$\alpha, \mathscr{A}^{n} \alpha \cdot \mathscr{A}^{n-1} \alpha$构成 $V$ 的一个基。

6．（15分）设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2 \end{array}\right] $$ 求 $\operatorname{ker} \mathscr{A}, \operatorname{Im} \mathscr{A}$ 。

7．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)(n \geq 3)$ ． （1）证明：$A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ． （2）证明：$A^{100}-E$ 不是零矩阵。

10．（15分）设 $A, B$ 都为 $n$ 阶方阵。 （1）证明：$A B, B A$ 有相同的特征值． （2）证明：不存在矩阵 $A, B$ ，使得 $A^{2}=A B+B^{2}$ ．

1．求 $a$ 的值，使得线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}-5 x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=11 \\ -3 x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+2 x_{4}=-5 \\ -x_{1}-9 x_{2}-4 x_{4}=17 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}-x_{4}=a \end{array}\right. $$ 有解，并在有解的情况下求出其在数域 $\mathbb{F}$ 上的通解．

2．设 $n, m$ 是正整数且 $n>m$ ，设 $b_{0}, b_{1}, \cdots, b_{m}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 中的数，且 $b_{m} \neq 0$ ．证明：对任意的 $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} \in \mathbb{F}$ ，关于 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n-m}, y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{m-1}$ 的方程组 $$ \begin{cases}y_{i}+\sum_{j+k=i} b_{j} x_{k}=a_{i}, & i=0,1, \cdots, m-1 \\ \sum_{j+k=i} b_{j} x_{k}=a_{i}, & i=m, m+1, \cdots, n\end{cases} $$ 有唯一解。

2．设 $\mathscr{T}$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换，其特征多项式为 $f(x)=x^{4}-x^{3}+x-1$ ，求 $\mathscr{T}$ 的极小多项式．

3．设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 为 $V$ 的一组基，且 $$ \begin{gathered} \mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=8 \varepsilon_{1}-10 \varepsilon_{3}+2 \varepsilon_{4}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=-3 \varepsilon_{1}+3 \varepsilon_{2}+6 \varepsilon_{3} \\ \mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{1}-3 \varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{4}\right)=-2 \varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{2}+4 \varepsilon_{3}+2 \varepsilon_{4} \end{gathered} $$ 求 $\mathscr{A}$ 的全部特征子空间。

1．设 $A, B \in M_{m \times n}(\mathbb{F})$ ，证明：$(m+n) \times(m+n)$ 型矩阵 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ O & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}O & B \\ O & O\end{array}\right)$ 相似当且仅当 $A$ 与 $B$ 秩相等．

七．（15 分）设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 线性无关，且 $$ \xi_{i}=a_{1 i} \beta_{1}+a_{2 i} \beta_{2}+\cdots+a_{m i} \beta_{m}(i=1,2, \cdots, s) . $$ 证明：向量组 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s}$ 的秩 $\displaystyle =$ 矩阵 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)_{m \times v}$ 的秩。 人．（ 15 分）证明：若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是正交矩阵 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle \lambda_{0}^{-1}$ 也是 $A$ 的特征值。

二．（15分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, A_{i j}$ 为行列式 $\displaystyle |A|$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，且 $\displaystyle A_{i j}=a_{i j}$ ，又 $\displaystyle a_{11} \neq 0$ ，求 $\displaystyle |A|$ 。

七、设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$T$ 是 $V$ 的一个正交变换，构造子空间： $$ \begin{aligned} & V_{1}=\left\{\alpha_{0} \mid T \alpha_{0}=\alpha_{0}, \forall \alpha_{0} \in V\right\} \\ & V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-T \alpha, \forall \alpha \in V\} . \end{aligned} $$ 证明：$\displaystyle V_{1}=V_{2}{ }^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle V_{2}{ }^{\perp}$ 表示 $\displaystyle V_{2}$ 的正交补。

九、设 $B$ 是 $\displaystyle m \times n$ 的实矩阵，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ ，证明：线性方程组 $\displaystyle B X=0$ 只有零解充要条件是 $\displaystyle B^{T} B$ 正定．

二、计算 $n$ 阶行列式：$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccccccc}x & y & y & y & \cdots & y & y \\ z & x & y & y & \cdots & y & y \\ z & z & x & y & \cdots & y & y \\ z & z & z & x & \cdots & y & y \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ z & z & z & z & \cdots & x & z \\ z & z & z & z & \cdots & z & x\end{array}\right|_{n \times n}$ 。

五、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle \mathbf{V}$ 的一组基。已知线性变换 在这组基下的矩阵为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathscr{C}$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}$ ， $\displaystyle \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵. （2）求．$\displaystyle /$ 的核与值域． （3）在 $\displaystyle \mathscr{C}$ 的核中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求 .2 在这组基下的矩阵。 （4）在 $\displaystyle \triangle$ 的值域中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求在这组基下的矩阵。

7．若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $\displaystyle \sigma$ 有 $\displaystyle \_\_\_\_$个不变子空间．

八．设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏线性空间 $V$ 上的线性变换，且满足 $\displaystyle (\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta))$ 对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ．证明： （1） $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=(\operatorname{Im} \tau)^{\perp}$ ． （2）$\displaystyle V=\operatorname{Ker} \sigma \oplus \operatorname{Im} \tau$ ．

1．（20分）设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵，且满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ，定义子空间 $$ W_{1}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=0\right\}, W_{2}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=X\right\} . $$ 证明： $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

2．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，$\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示内积。设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$由基向量组线性表示为 $$ \left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) C . $$ 其中 $\displaystyle C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ，定义 $\displaystyle \Delta=\left(b_{i j}\right)_{m \times m}$ ，其中 $\displaystyle b_{i j}=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ．证明： $$ \operatorname{rank}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right\}=\operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(\Delta) . $$

3．（25 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p}+p x+1$ ，其中 $p$ 为奇素数． （1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上是不可约多项式． （2）证明：存在矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle f(A)=O$ 的充要条件是 $\displaystyle p \mid n$ ．

4．（ 20 分）解答如下问题： （1）证明：实反对称矩阵的特征值只能是 0 或纯虚数． （2）设 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{cc}O & E_{k} \\ -E_{k} & O\end{array}\right)$ ，子空间 $\displaystyle W=\left\{A \in \mathbb{R}^{2 k \times 2 k} \mid A S+S A^{\mathrm{T}}=O\right\}$ ，求 $W$ 的维数及一组基．

5．（20分）设线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 下的矩阵为 $$ J_{n}(\mu)=\left(\begin{array}{cccc} \mu & & & \\ 1 & \mu & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \mu \end{array}\right) $$ （1）证明：对于任意非零的 $\displaystyle \sigma$－不变子空间 $W$ ，必有 $\displaystyle e_{n} \in W$ ． （2）求所有的 $\displaystyle \sigma$－子空间．

6．（20 分）解答如下问题： （1）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足 $\displaystyle A^{2}=E_{n}$ ，证明：一定存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $$ C^{-1} A C=\left(\begin{array}{cc} E_{s} & O \\ O & -E_{n-s} \end{array}\right) $$ （2）$n$ 为奇数，如果存在矩阵 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，使得对于任意实数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，均有 $$ \left(x_{1} A_{1}+x_{2} A_{2}+\cdots+x_{k} A_{k}\right)^{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}\right) E_{n} $$ 成立，证明：$\displaystyle k=1$ ．

三．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为不同的 $n$ 维实列向量，若 $\displaystyle \|\alpha\|=\|\beta\|$ ，证明：存在 $n$ 阶方阵 $\displaystyle H=I_{n}-2 u u^{\prime}$ ，使得 $\displaystyle H \alpha=\beta$ ，其中 $u$ 为某个单位向量．

九．设 $A$ 为 $n$ 阶正定对称矩阵，$n$ 维实列向量组 $\displaystyle \alpha, \beta$ 满足 $\displaystyle \alpha^{\prime} \beta>0$ ，求证： $$ H=A-\frac{A \beta \beta^{\prime} A}{\beta^{\prime} A \beta}+\frac{\alpha \alpha^{\prime}}{\alpha^{\prime} \beta} $$ 是正定矩阵．

五．设 $$ \begin{aligned} & \alpha_{1}=(1,1,0,0)^{\prime}, \alpha_{2}=(0,1,1,0)^{\prime}, \alpha_{3}=(0,0,1,1)^{\prime} \\ & \beta_{1}=(1,0,1,0)^{\prime}, \beta_{2}=(0,2,1,1)^{\prime}, \beta_{3}=(1,2,1,2)^{\prime} \end{aligned} $$ 求向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 和向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 所生成的两个线性空间的和与交的维数与一组基．

八．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两组向量．证明：若 $$ \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right), i, j=1,2, \cdots, m $$ 则由向量组生成的子空间 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 与 $\displaystyle L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 同构．

3、设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ， （1）求 $A$ 的全部特征值． （2）对 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ ，求属于特征值 $\lambda$ 的特征子空间的维数和一组基． （3）求正交矩阵 $P$ ，使 $P^{\top} A P$ 是对角阵，并写出此对角阵．

5、设 $V$ 为数域 $V$ 上的 4 维线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，求 $\sigma$ 的基 $\varepsilon_{1}$ 的最小不变子空间 $W$ 。

2、证明：数域 $P$ 上的一元多项式组成的线性空间，$P[x]$ 可以与它的一个真子集空间同构。

6、设 $1, x, y, x^{2}, x y$ 在实数域 $\mathbb{R}$ 上生成的线性空间为 $V$ ，设线性变换： $\mathcal{A}(f)=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}$ ， $f \in V$ ，则 $\mathcal{A}$ 在基 $\left\{1, x, y, x^{2}, x y\right\}$ 下矩阵为 $\_\_\_\_$ 0， $\operatorname{Ker}(\mathcal{A})=$ $\_\_\_\_$ ， $\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(\mathcal{A}))=$ $\_\_\_\_$。

7、设 $A$ 为 5 阶方阵，其特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda \cdots 9)^{3}(\lambda+5)^{2}$ ，最小多项式 $$ m(\lambda)=(\lambda-9)^{2}(\lambda+5)^{2} $$ 求 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 标准形 $\_\_\_\_$ ， $\mathbf{\lambda}=9$ 的特征子空间的维数为 $\_\_\_\_$ ，以及 $r(-5 I-A)=$ $\_\_\_\_$。 ◯

2．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 t x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}$ ，当 $t$ 满足 $\_\_\_\_$时，$f$ 是正定的，当 $t$ 满足 $\_\_\_\_$时，$f$ 的负惯性指数是 1 ．

4．已知 $f_{1}=2+2 x^{2}+3 x^{3}, f_{2}=1+x+x^{2}+3 x^{3}, f_{3}=5+x+5 x^{2}+9 x^{3}, f_{4}=2 x+3 x^{3}, W$ 是由它们张成的线性空间，那么从基 $f_{1}, f_{2}$ 到基 $f_{3}, f_{4}$ 的过渡矩阵为 $\_\_\_\_$ ，向量组 $f_{1}, f_{3}-f_{2}, 2 f_{3}+f_{4}$的秩等于 $\_\_\_\_$ ．

5．设矩阵 $A$ 的秩等于 $3, b$ 不等于零，$A X=b$ 有解 $$ X_{1}=(1,-1,2,3,1)^{\mathrm{T}}, X_{2}=(0,1,-1,0,-2)^{\mathrm{T}}, X_{3}=(-1,1,2,1,3)^{\mathrm{T}} . $$ 那么 $A X=b$ 的通解用 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 表示为 $\_\_\_\_$ ，给出一个所有解集合的极大线性无关组 $\_\_\_\_$ ．

3．已知矩阵 $C$ 的极小多项式为 $(\lambda-a)^{2}(\lambda-b)^{3}(\lambda-c)^{4}$ ，而 $a, b, c$ 是互异的实数．假设 $$ A=C^{4}+C^{3}+C^{2}+C+E, B=C^{4}+2 C^{2}+3 E $$ 证明：$|A+B| \geq|A|+|B|$ ．

4．设 $P$ 为数域，在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 中，令 $$ V_{1}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} x & -x \\ y & z \end{array}\right) \right\rvert\, x, y, z \in P\right\}, V_{2}=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc} a & b \\ -a & c \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\} $$ （1）判断 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是否为 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的子空间，并说明理由． （2）分别求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}, V_{1} \cap V_{2}$ 的维数和一组基．

7．用 $J$ 表示元素全为 1 的 $n$ 阶方阵 $\displaystyle (n \geq 2)$ ，设 $\displaystyle f(x)=a+b x \in \mathbb{Q}[x]$ ，令 $\displaystyle A=f(J)$ ． （1）求 $J$ 的全部特征值及特征向量． （2）求 $A$ 的所有特征子空间． （3）问 $A$ 是否可对角化？若可以，求可逆矩阵 $\displaystyle P \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角阵．

8．设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ．证明： （1）$\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma \oplus \operatorname{Ker} \sigma$ ． （2） $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma, \operatorname{Ker} \sigma$ 均为 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间当且仅当 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．

1．设 $\displaystyle f(x)=(x+1)^{2024}-x^{2024}-1$ ． （1）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ． （2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的所有复数根及在复数域和实数上的不可约因式分解． （3）判断 $\displaystyle f(x)$ 是否有重根，并说明理由．

2．判断题．正确的请简要证明，错误的请举出反例． （1）已知 $\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ，则对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，有 $\displaystyle \alpha \in W_{1}$ 或 $\displaystyle \alpha \in W_{2}$ ． （2）多项式 $\displaystyle p(x)$ 在数域 $K$ 上不可约，则 $\displaystyle p\left(x^{2}\right)$ 在数域 $K$ 上也不可约． （3）$n$ 为偶数，则存在 $\displaystyle A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ ，满足对任意的 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，都有 $\displaystyle A \alpha, B \alpha$ 线性无关．

5．已知 $V$ 为有限维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} \operatorname{Ker} \mathscr{A}+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \mathscr{A}$ ． （2）证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 可逆的充要条件是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为单射． （3）举例说明 $V$ 为无限维线性空间时，（2）不成立．

5．设 $\displaystyle V=\mathbb{R}^{2 \times 2}, V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足 $\displaystyle \varphi(X)=A^{T} X A, X \in V$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ 求 $V$ 中的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在这组基下的矩阵为若尔当形矩阵。

8．实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 满足 $\displaystyle a_{i i}>0, a_{i j}=-a_{j i}(i \neq j)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{det}(A)>0$ ．

9．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，令 $$ V_{1}=\left\{\alpha \in V \mid \text { 存在正整数 } r \text {, 使得 } \mathscr{A}^{r}(\alpha)=0\right\}, V_{2}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \mathscr{A}^{i}(V) \text {. } $$ 证明： （1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间。 （2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{1}$ 上是幂零变换． （3） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{2}$ 上是可逆变换． （4）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

4．求 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & -1 & & \\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & -1 \\ -1 & & & 0\end{array}\right)$ 的特征值与特征子空间．

6．$\displaystyle P \in M_{m \times n}(\mathbb{C}), A \in M_{n \times s}(\mathbb{C}), Q \in M_{s \times t}(\mathbb{C})$ ，证明： $$ \operatorname{rank}(P A Q) \geq \operatorname{rank}(P A)+\operatorname{rank}(A Q)-\operatorname{rank}(A) $$

7．$\displaystyle A, B$ 分别为 $\displaystyle m \times l, n \times l$ 阵，证明：$A$ 的行向量组由 $B$ 的行向量线性表出当且仅当 $\displaystyle B X=0$ 的解均为 $\displaystyle A X=0$的解．

8．$A$ 为实对称阵，$\displaystyle p \in \mathbb{N}_{+}$，证明：$A$ 的正惯性指数大于等于 $p$ 当且仅当在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上有一个 $p$ 维子空间 $W$ ，使得 $$ \forall x \in W, x \neq 0, x^{T} A x>0 $$

6．设 $A$ 的伴随矩阵为 $$ A^{*}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8 \end{array}\right) $$ 且 $A B A^{-1}=B A^{-1}+3 E$ ，其中 $E$ 为 4 阶单位阵，求矩阵 $B$ ．

二、（本题满分 15 分）设整系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+a x^{2}+b x-3$ ，记 $\displaystyle (f(x), g(x))$ 为 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的首项系数为 1 的最大公因式，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数．若 $\displaystyle \frac{f(x)}{\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)}$ 为二次多项式，求 $\displaystyle a^{2}+b^{2}$ 的值．三、（本题满分 16 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准形和 $A$ 的有理标准形．

五、（本题满分 20 分）设 $V$ 是由数域 $F$ 上 $x$ 的次数小于 $n$ 的全体多项式，再添上零多项式构成的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 A ，使 $\displaystyle \mathrm{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ，其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数。（1）求 A 的核 $\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(0)$ 与值域 $\displaystyle \mathrm{A} V$ ；（2）证明：线性空间 $V$ 是 $\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(0)$ 与 $\displaystyle \mathrm{A} V$ 的直和．

五、（15 分）设 $A$ 是一个 $n$ 级矩阵，证明： （1）$A$ 是反对称矩阵当且仅当对任一个 $n$ 维向量 $X$ ，有 $\displaystyle X^{\prime} A X=0$ ；（ $\displaystyle X^{\prime}$ 表示 $X$ 的转置） （2）如果 $A$ 是对称矩阵，且对任一个 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{\text {有 } X^{\prime} A X=0 \text { ，那么 } A=0 \text { ．}}$

六、（15分）设 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 分别是齐次方程组 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0$ 与 $\displaystyle x_{1}=x_{2}^{\prime}=\cdots=x_{n}$ 的解空间，证明： $$ P^{n}=V_{1} \oplus V_{2} $$

6．（本题满分 20 分）证明：$n$ 维 $\displaystyle (n>2)$ 实线性空间 $V$ 的一个线性变抰 $\displaystyle \sigma$ 必有一维或 2 维不变子空间．

8、（本题满分 20 分）设 $A$ 为 $n$ 级可逆实矩阵。证明：存在 $n$ 级正交矩阵 $P$ 利 $Q$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A Q=\left(\begin{array}{llll}\lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0$ ，且 $\displaystyle \lambda_{i}^{2}$ 为 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的特征值 $\displaystyle (i=1,2, \cdots, n)$ ．

6．（本小题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $\displaystyle V=P^{n \times n}$ 的一个线性变换，满足 $\displaystyle \sigma(A)=A^{\prime}$ ，其中 $\displaystyle A^{\prime}$ 为 $A$ 的转置矩阵，求 $\displaystyle \sigma$ 的全部特征值及对应的特征向量。

8．（本小题满分 25 分）设 $A$ 是复数域上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle A^{n}=0$ ，且 $\displaystyle A^{n-1} \neq 0$ ，（1）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，其对应的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid A \alpha=\lambda \alpha, \alpha$ 是复向量 $\displaystyle \}$ ，证明：$\displaystyle V_{\lambda}$ 的维数是 1 ；（2）是否存在一个复知阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ？请说明理由． $$ \begin{aligned} & A x=\lambda x \\ & \frac{A^{n} x}{A^{n+1} x}=\lambda^{n} x=0 \\ & f(\partial)=f(\beta)=f(\gamma)=0 \\ & g(\gamma)= \\ & {[x-g(\gamma)][x-g(\beta)=\text { in }} \\ & \hline x-g) x=0 \end{aligned} $$ ## $\displaystyle \pm 1 \pm 2$ （－2）$\displaystyle -8+8-$ $$ \partial^{2} \cdot(\partial+2)-2=0 $$ 102. $$ \begin{aligned} & \gamma^{3}+2 \gamma^{2}-2=0 \\ & \gamma^{2}+\gamma-1= \end{aligned} $$

三、（15分）设矩阵 $\displaystyle A, C$ 分别为 $n$ 级和 $m$ 级可逆矩阵，$\displaystyle B, D$ 分别为 $\displaystyle n \times m$ 和 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明： $$ |C| \cdot\left|A-B C^{-1} D\right|=|A| \cdot\left|C-D A^{-1} B\right| . $$

二、（15 分）证明数域 $P$ 上的线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 有解的充要条件是 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}A^{\prime} y=0, \\ b^{\prime} y=1\end{array}\right.$ 无解，其中 $\displaystyle A \in P^{m \times n}, b \in P^{m}, A^{\prime}$ 和 $\displaystyle b^{\prime}$ 分别表示 $A$ 和 $b$ 的转置，$\displaystyle x \in P^{n}$ 和 $\displaystyle y \in P^{m}$ 是未知量．

五、（20分）已知 $\displaystyle s \times n$ 实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 的秩为 $r$ ，求如下二次型的正惯性指数． $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{s}\left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+\cdots+a_{i n} x_{n}\right)^{2} $$

八、（25分）设 $A$ 为 $n$ 级实对称矩阵，记它的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。设 $A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{1}$ 的一个特征向量为 $\displaystyle u_{1}$ ．证明： $\displaystyle \min _{\substack{x \neq 0 \\ x \perp u_{1}}} \frac{x^{\prime} A x}{x^{\prime} x}=\lambda_{2}$ ．

四、（15 分）设数域 $P$ 上的 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 次多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有单因式，证明： $$ f^{\prime \prime}(x) \mid f(x) \text { 当且仅当 } f(x)=c(x-a)^{n} \text {, } $$ 其中 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 表示二阶导数，$\displaystyle a, c$ 是数域 $P$ 中的常数．

2．（15 分）设 $A$ 是一个 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，秩 $\displaystyle (A)=r$ ，在 $A$ 中任取 $s$ 个列向量作为列向量构成的矩阵为 $B$ 。 证明：秩 $\displaystyle (B) \geq r+s-m$ ．

7．（20 分）设有限维线性空间 $V$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ．证明：$V$ 的任意真子空间均可表为若干个 $\displaystyle n-1$ 维子空间的交．

8．（20 分）设 $n$ 元实二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 的秩为 $n$ ，正负惯性指数分别为 $\displaystyle p, q$ ，且 $\displaystyle p \geq q>0$ ． 证明：存在 $\displaystyle R^{n}$ 的 $q$ 维子空间 $W$ ，使 $\displaystyle \forall X_{0} \in W$ 都有 $\displaystyle f\left(X_{0}\right)=0$ ．

3．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(0,3,2,1), \alpha_{2}=(2,1,0,-1), \beta_{1}=(1,0,-3,-6), \quad \beta_{2}=(1,0,1,2)$ ， $\displaystyle V_{1}$ 是由向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}$ 是由向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间， （i）求 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的交的一组基及维数； （ii）求 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 的和的一组基及维数．

5．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A, B$ 分别是数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，证明：线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 与 $\displaystyle B x=0$ 同解的充分必要条件是存在矩阵 $\displaystyle T_{1}, T_{2}$ 使得 $\displaystyle A=T_{1} B, B=T_{2} A$ ．

6．（20分）设矩阵 $\displaystyle A, D$ 分别为 $n$ 阶和 $m$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle B, C$ 分别为 $\displaystyle n \times m$ 和 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 矩阵． 证明：（1）$\displaystyle \left\ \begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right\ =\ A\ \cdot\left\ D-C A^{-1} B\right\$ ； （2）秩 $\displaystyle \left(A-B D^{-1} C\right)-$ 秩 $\displaystyle \left(D-C A^{-1} B\right)=n-m$ ．

8．（20 分）设 A 为实线性空间 $\displaystyle \mathrm{R}^{3}$ 上的线性变换， E 为恒等变换， A 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-1$ ，令 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \mid(\mathrm{A}-\mathrm{E}) \alpha=0\}, V_{2}=\left\{\alpha \mid\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}+\mathrm{E}\right) \alpha=0\right\}$ 。 证明：（1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 A 的不变子空间；（2） $\displaystyle \mathbf{R}^{3}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

3．（15 分）证明：如果 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 矩阵（ $\displaystyle n \geq 2$ ），那么 $$ \text { 秩 }\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{l} n, \text { 当秩 }(A)=n, \\ \mathbf{1}, \text { 当秩 }(A)=n-\mathbf{1}, \\ \mathbf{0}, \text { 当秩 }(A)<n-\mathbf{1} . \end{array}\right. $$

4．（每小题 10 分，共 20 分）线性方程组 $$ \left\{\begin{aligned} & a_{11} x_{1}+ a_{12} x_{2}+\cdots+ \\ & a_{21} x_{1}+ a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ & a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0 \end{aligned}\right. $$ 的系数矩阵为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 。设 $\displaystyle \mathbf{M}_{\mathbf{i}}$ 是矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 中划去第 $\displaystyle \mathbf{i}$ 列剩下的 $\displaystyle (\mathbf{n}-\mathbf{1}) \times(\mathbf{n}-\mathbf{1})$ 矩阵的行列式。证明： （1）$\displaystyle \left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个解； （2）如果 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 $\displaystyle \mathbf{n}-\mathbf{1}$ ，那么方程组的解全是 $\displaystyle \left(\mathbf{M}_{\mathbf{1}},-\mathbf{M}_{\mathbf{2}}, \cdots,(-\mathbf{1})^{\mathbf{n}-\mathbf{1}} \mathbf{M}_{\mathbf{n}}\right)$ 的倍数．

5．（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{M}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{B}^{\prime} & \mathbf{D}\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级正定矩阵，其中 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{r}$ 级矩阵 $\displaystyle (\mathbf{r}<\mathbf{n})$ ．证明： $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{D}, \mathbf{D}-\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{-\mathbf{1}} \mathbf{B}$ 都是正定矩阵。

6．（每小题 10 分，共 30 分）设 $\displaystyle \mathbf{F}$ 为一数域， $\displaystyle \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ 表示 $\displaystyle \mathbf{F}$ 上所有迹为 0 的 3 阶矩阵组成的集合。 （1）证明：$\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 是 $\displaystyle M_{3}(F)$ 的一个子空间； （2）求 $\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 的一组基和维数； （3）证明： $\displaystyle \mathbf{M}_{3}(\mathbf{F})=<\mathbf{E}_{3}>\oplus \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ ，其中 $\displaystyle <\mathbf{E}_{3}>$ 表示 3 阶单位矩阵 $\displaystyle \mathbf{E}_{3}$ 生成的子空间。

7．（15 分）设 $F$ 为一数域，令 $\displaystyle \mathcal{A}(\alpha)=A \alpha, \forall \alpha \in F^{3}$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) $$ 求 $\displaystyle F^{3}$ 上线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的所有不变子空间。

3．（15分）设 A 是数域 P 上的 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 矩阵，证明：秩 $\displaystyle (\mathrm{A})=\mathrm{r}$ 的充分必要条件是存在秩为 r 的列满秩矩阵 M 和秩为 r 的行满矩阵 N ，使得 $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{MN}$ ．

5．（20分）设 V 是数域 P 上的三维线性空间， V 上的线性变换， $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为： $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的最小多项式； （2）把 $V$ 分解成 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的非平凡不变子空间的直和，并求出分解式中出现的每个子空间的基。

6．（15分）设 P 是数域，$\displaystyle m<n, A \in P^{m \times n}, B \in P^{(n-m) \times n} V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 分别是齐次线性方程组 $\displaystyle \mathrm{AX}=0$ 与 $\displaystyle \mathrm{BX}=0$ 的解空间，证明：$\displaystyle P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \binom{A}{B} X=0$ 只有零解．

9．（15分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为 n 维欧氏空间 V 的子空间，且 维 $\displaystyle \left(V_{1}\right)<$ 维 $\displaystyle \left(V_{2}\right)$ ，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ ．

6．（20分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1} \subseteq V_{3}$ ．证明： $$ V_{1}+\left(V_{2} \cap V_{3}\right)=\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3} $$

7．若 $\displaystyle W, W_{1}, W_{2}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，$\displaystyle W_{1} \subseteq W, V=W_{1} \oplus W_{2}$ ，证明： $$ \operatorname{dim} W=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim}\left(W_{2} \cap W\right) $$

8．设 $V$ 是全体次数不超过 $n$ 的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ ，任给 $\displaystyle f(x) \in V$ ，有 $\displaystyle \mathcal{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ 和值域 $\displaystyle \mathcal{A} V$ ； （2）证明：$\displaystyle V=\mathcal{A}^{-1}(0) \oplus \mathcal{A} V$ ．

七．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$A$ 的 $n$ 个特征值满足 $\displaystyle \lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{n}$ ，设 $\displaystyle \alpha_{i}$ 为 $A$ 的对应特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 的特征向量． （1）构造正交阵 $S$ ，使得 $\displaystyle S^{\prime} A S=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\}$ ． （2）证明：$\displaystyle \lambda_{1}=\min _{X \in \mathbb{R}^{n}, X^{\prime} X=1} X^{\prime} A X$ ．

五．设 $\displaystyle A, B, C, D \in P^{n \times n}$ 两两可交换，且 $\displaystyle A C+B D=E$ ，设 $\displaystyle A B X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V, A X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V_{1}, B X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V_{2}$ ，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

2．在 $P^{2 \times 2}$ 中定义线性变换 $\sigma(X)=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right) X$ ，则 $\sigma$ 在基 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

3．已知 $a, b$ 是数域 $P$ 上的两个固定的数，而 $$ W=\left\{\left(a, b, x_{3}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{i} \in P, i=3,4, \cdots, n\right\} $$ 是 $P$ 的子空间，则 $W$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．

七．（20 分）设 $P$ 是数域，$\displaystyle V_{1}$ 是 $P$ 上 $n$ 阶上三角矩阵的全体，$\displaystyle V_{2}$ 是 $P$ 上 $n$ 阶反对称矩阵的全体． （1）证明：$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 关于矩阵的加法和数乘构成 $\displaystyle P^{n \times n}$ 的子空间，并分别求 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 的一组基和维数； （2）证明：$\displaystyle P^{n \times n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

三．（19 分）（1）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征向量，则由 $\displaystyle \alpha$ 生成的子空间 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \alpha$ 的不变子空间。 （2）证明：实数域 $R$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的任何线性变换 $\displaystyle \sigma$ 必有一维或二维不变子空间。

四．（20 分）（1）设 $A$ 为 $\displaystyle m \times r$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle r \times s$ 矩阵且 $B$ 的秩为 $r$ ．证明：若 $\displaystyle A B=0$ ，则 $\displaystyle A=0$ ． （2）若 $\displaystyle A, B$ 分别为 $\displaystyle 3 \times 2$ 矩阵和 $\displaystyle 2 \times 3$ 的实矩阵且 $\displaystyle A B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．证明：$\displaystyle B A=4 E$ ．

5、设 $V$ 是实数域上全体 3 阶矩阵构成的实数域上的线性空间，其子空间 $$ W=\left\{A=\left(a_{i j}\right) \in V \mid a_{11}+a_{22}+a_{33}=0\right\} . $$ 则 $W$ 的维数为 $\_\_\_\_$。

七、（20分）$n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, A^{2}=A$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ． （1）（10 分）求 $A$ 的特征值和特征子空间的维数． （2）（10 分）求行列式 $\displaystyle |E+A|$ ．

五、（20分）$A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵。 （1）（10 分）证明：$\displaystyle r(A)=r\left(A^{\top} A\right)$ （2）（10 分）存在半正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A^{\top} A$ ．

6．矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right), M_{2}(R)$ 表示所有的 $\displaystyle 2 \times 2$ 实矩阵集。定义映射 $$ L_{A}: M_{2}(R) \rightarrow M_{2}(R), \quad \forall M \in M_{2}(R), \quad L_{A}(M)=A M $$ （1）证明：$\displaystyle L_{A}$ 是实向量空间 $\displaystyle M_{2}(R)$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle L_{A}$ 的核空间 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(L_{A}\right)$ 的组基。

2．（20分）设 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n+1} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n+1}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1} \end{array}\right)_{n \times(n+1)} $$ 其中 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}$ 是两两不同的实数． （1）求 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)$ ； （2）若线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有非零解 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n+1}\right)^{\prime} \neq(0,0, \cdots, 0)^{\prime}$ ．证明：对任意的 $\displaystyle i, 1 \leqslant i \leqslant n+1$ ，都有 $\displaystyle x_{i} \neq 0$ ．

5．（25分）设实对称矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & -2 \end{array}\right) $$ （1）求 $A$ 的合同标准形及正、负惯性指数； （2）求 $A$ 的相似标准形 $B$ ； （3）求正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A P=B$ ．

8．（15分）设2维实向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基底 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,3)^{\prime}, \alpha_{2}=(-1,4)^{\prime}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right)$ ．线性变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 在基底 $\displaystyle \beta_{1}=(5,13)^{\prime}, \beta_{2}=(3,10)^{\prime}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -1 & 5\end{array}\right)$ 。求线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}-2 \mathscr{B}$ 在基底 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 下的矩阵。

6．（30 分）设 $F$ 是一个数域，$\displaystyle V, W$ 分别为一个 $n$ 维和 $m$ 维的 $F$－向量空间． （1）对任意的尺码为 $\displaystyle m \times n$ 的 $F$ —矩阵 $A$ ，证明：总存在从 $V$ 到 $W$ 的一个线性映射 $\displaystyle \theta$ 和 $V$ 的一组有序基及 $W$的一组有序基，使得在该有序基之下 $\displaystyle \theta$ 的矩阵为 $A$ ． （2）设 $A$ 及 $\displaystyle \theta$ 如（1）中所示，证明：$\displaystyle \theta$ 的象空间 $\displaystyle \operatorname{Im}(\theta)$ 的维数等于矩阵 $A$ 的秩．

1．计算行列式 $$ D=\operatorname{det}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right) $$ 其中 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(1, \cos \theta_{i}, \cos 2 \theta_{i}, \cos 3 \theta_{i}\right)^{\prime}$ ．

2．解答如下问题： （1）已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ 当且仅当存在非零向量 $$ \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right), \beta=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) . $$ 使得 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ． （2）对上述矩阵 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ，计算行列式 $\displaystyle \operatorname{det}\left(E_{n}+A\right)$ ．

5．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶复方阵，且有 $\displaystyle A B=B A$ ． （1）设 $\displaystyle \lambda_{1}$ 是 $A$ 的特征值，$\displaystyle V_{\lambda_{1}}$ 是对应的特征子空间，证明：对任意的 $\displaystyle X \in V_{\lambda_{1}}$ ，有 $\displaystyle B X \in V_{\lambda_{1}}$ ； （2）证明：$\displaystyle A, B$ 有公共的特征向量； （3）若 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 都为对角矩阵．

6．设 $V$ 是实数域上所有 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵构成的线性空间，$\displaystyle A, B \in V$ 是两个给定的 2 阶实矩阵，定义 $V$ 上的映射 $f$ 为 $\displaystyle f(X)=A X+X B, X \in V$ ． （1）证明：$f$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right)$（具体数值未知），求 $\displaystyle \operatorname{Im} f$ 及 $\displaystyle \operatorname{Ker} f$ 以及它们的维数．

7．已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ll} B & C \\ C^{\prime} & O \end{array}\right) $$ 其中 $B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$C$ 为 $n$ 阶可逆实矩阵，求 $A$ 的正惯性指数与负惯性指数．

10．（15分）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 是负定的当且仅当 $A$ 的所有奇数阶顺序主子式为负，且 $A$ 的所有偶数阶顺序主子式为正。

4．实对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ 的正惯性指数是 $\_\_\_\_$ ．

8．设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $n$ 个复数，且满足 $$ \lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}^{2}=\cdots=\lambda_{1}^{n}+\lambda_{2}^{n}+\cdots+\lambda_{n}^{n}=0 . $$ 证明：$\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0$ ．

1．填空题 （1）若 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ 且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ ，则 $B$ 的秩最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & * \\ 0 & 4 & * \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2023}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）设 $\displaystyle \left(g(\lambda), f(\lambda)=1\right.$ ，且 $\displaystyle f, g$ 均为首一多项式，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}g(\lambda) & 0 \\ 0 & f(\lambda)\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （5）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）子空间 $\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$ 的维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

5．实矩阵 $A$ 的前 $r$ 列是 $A$ 列向量的极大无关组当且仅当 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的前 $r$ 列是 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的极大线性无关组．

7．若 $\displaystyle Q \in M_{n}(\mathbb{C}), Q \overline{Q^{\prime}}=E_{n \times n}$ ，证明：$Q$ 特征值模长为 1 ．举例说明 $\displaystyle \exists P \in M_{2}(\mathbb{C})$ 的特征值模长为 1 ，但 $\displaystyle P \bar{P}^{\prime} \neq E_{2 \times 2}$ ．

8．解答如下问题： （1）设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k}$ 是 $A$ 的不同特征值，$X_{i}$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda_{i}$ 的特征向量，证明：向量组 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{k}$ 线性无关． （2）设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 的特征值都是实数． （3）设 $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 的属于不同特征值的特征向量彼此正交．

11．设 $A$ 是三阶实对称矩阵， 1 是 $A$ 的一个特征值， $\operatorname{tr}(A)=5$ ． （1）若存在无穷个多个三阶正交阵 $R$ 使得 $R^{-1} A R$ 为对角阵，求该对角阵并说明理由． （2）若只有有限个三阶正交阵 $R$ 使得 $R^{-1} A R$ 为对角阵，求该类正交阵 $R$ 的个数．

2．直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-z=2, \\ 3 x-y+z=3 .\end{array}\right.$ 求该直线绕 $y$ 轴旋转所得旋转曲面的方程 $\_\_\_\_$ ．

4．已知 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3\end{array}\right)$ ，求原矩阵 $A=$ $\_\_\_\_$ ．

6．二次型 $2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范型为 $\_\_\_\_$ ．