向量-内积与正交

9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}, \beta_{1}, \cdots, \beta_{m}$ 为欧几里得空间 $V$ 的两组向量。始果 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ， $\displaystyle i, j=1, \cdots, m$ 。证明： （1）子空间 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \cdots, \beta_{m}\right)$（作为欧几里得空间）同构： （2）$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关当且仅当 $\displaystyle \left(\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)\right)$ 为正定阵。

5．（20 分）设 $V$ 是数域 $K$ 上的线性空间，$X$ 是一个集合．已知存在一个双射 $\displaystyle \varphi: X \rightarrow V$ ．先在 $X$上定义加法和数乘运算如下： $$ \begin{aligned} & x \oplus y=\varphi^{-1}(\varphi(x)+\varphi(y)), \quad \forall x, y \in X, \\ & x \circ y=\varphi^{-1}(\lambda \varphi(x)), \quad \forall \lambda \in K, x \in X . \end{aligned} $$ 验证 $X$ 关于上述定义的加法与数乘构成 $K$ 上的一个线性空间，并且 $\displaystyle \varphi$ 是线性空间之间的一个同构。

5．设 $U$ 和 $V$ 是数域 $K$ 上的有限维线性空间，如果 $K$ 上的任意线性空间 $T$ 和双线性映射 $\displaystyle \sigma$ ： $\displaystyle U \times V \rightarrow T$ 满足：对 $K$ 上的任意线性空间 $W$ 以及任意双线性映射 $\displaystyle \theta: U \times V \rightarrow W$ ，都存在唯一的线性映射 $\displaystyle \varphi: T \rightarrow W$ ，使得 $\displaystyle \theta=\varphi \sigma$ ，则称 $T$ 是 $U$ 和 $V$ 的张量积．证明：张量积 $T$ 在同构意义下是唯一的。

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

3、求 $A^{n}$ ，其中 $n$ 是正整数．

八．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两组向量．证明：若 $$ \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right), i, j=1,2, \cdots, m $$ 则由向量组生成的子空间 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 与 $\displaystyle L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 同构．

1、计算 $D=\left|\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & 0 & 0 & 0 & x_{3} \\ a_{1} & b_{1} & 1 & 1 & 1 & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & c_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & 0 & 0 & 0 & x_{3}^{2}\end{array}\right|$ ．

8．设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \langle *, *\rangle$ 是 $V$ 上的内积，已知 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足：对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $$ \langle\varphi(\alpha), \beta\rangle=-\langle\alpha, \varphi(\beta)\rangle . $$ （1）若 $\displaystyle \varphi$ 为同构映射，证明 $n$ 为偶数； （2）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，则 $\displaystyle \lambda$ 是零或者纯虚数．

3．三阶矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right)$ 的若尔当标准型为 $\_\_\_\_$ ．