特征值-特征值与特征向量

5、（20分）设 $\displaystyle \mathscr{G}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换， $\displaystyle \mathscr{G}$ 的核记为 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{S}$ ，若 $V$是 $n$ 维线性空间，且存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{C}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{S}^{k+1}$ 成立。证明：对任意整数 $\displaystyle j \geq k$ 成立，有 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{C}^{j}=\operatorname{Ker} \mathscr{C}^{j+1}$ 。

7、设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实对称矩阵，线性变换 $\displaystyle \varphi: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ 定义为： $$ \varphi(X)=A X A,\left(\forall X \in \mathbb{R}^{n \times n}\right) . $$ （1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{1} \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的特征值． （2）证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。

二．计算 $n$ 阶行列式 $$ A=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & \cdots & 2 & 3 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & & \cdots \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \end{array}\right| . $$ 三设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的非平凡不变子空间，在 $W$ 中取一个基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ ，把它扩充成 $\displaystyle I^{\prime}$ 的一组基 $\displaystyle a_{1}, \cdots, a_{r}, a_{r+1}, \cdots, a_{n}, \mathcal{A}$ 在 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 下的矩 阵为 $$ \left(\begin{array}{ll} A_{1} & A_{3} \\ O & A_{2} \end{array}\right) . $$ 其中 $\displaystyle A_{1}$ 为 $r$ 阶方阵，定义 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}: V / W \rightarrow V / W, a+W \rightarrow \mathcal{A} a+W$ 。证明： （1）$\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 是 $\displaystyle V / W$ 上的线性变换； （2）$\displaystyle A_{2}$ 是 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 在基 $\displaystyle a_{r+1}+W, \cdots, a_{n}+W$ 下的矩阵。

7．设 $P$ 为数域，在 $P^{3}$ 中给出一组基 $\alpha_{1}=(-1,0,2), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(3,-1,0)$ ，定义线性变换 $\sigma$如下：$\sigma\left(\alpha_{1}\right)=(-5,0,3), \sigma\left(\alpha_{2}\right)=(0,-1,6), \sigma\left(\alpha_{3}\right)=(-5,-1,9)$ 。则 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

四．（12 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（ $\displaystyle \varepsilon$ 是 $V$ 的恒等变换）．证明：对 $V$ 中每个向量 $\displaystyle \alpha$ ，存在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \in V$ ，使得 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=-\alpha_{2}$ ，且 $\displaystyle \alpha$ 可唯一地表示成 $\displaystyle \alpha_{1}$ 与 $\displaystyle \alpha_{2}$ 之和（即 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}$ 表示唯一）．

7、设线性变换 在 $V$ 的一组基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵是 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \\ 2 & 4 & 1\end{array}\right)$ ，则． 2 的全部特征值是 $\_\_\_\_$。

七、（16 分）$\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是从 $V$ 到 $\displaystyle \sigma$ 像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma$ 的正交投影．

六、（16分）设 $V$ 是数域 $K$ 上三维线性空间，$V$ 上线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$下的矩阵 $A$ 为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)$ ． （2）对应于 $\displaystyle m(x)$ 的因式分解，写出 $V$ 的直和分解式，并且求出分解式中出现的每个子空间的一个基．

五．（20 分）$\displaystyle P^{2 \times 2}$ 为数域 $P$ 上的 $\displaystyle 2 \times 2$ 方阵构成的线性空间．令 $\displaystyle \sigma: P^{2 \times 2} \rightarrow P^{2 \times 2}$ ，对任意的 $\displaystyle X \in P^{2 \times 2}$ ，有 $\displaystyle \sigma(X)=A X B$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的表示矩阵。 （3）是否存在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的某组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵为对角阵？存在的话，求出基和对应的对角阵。

六．（20 分）$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性反称变换，即对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $\displaystyle (\sigma(\alpha), \beta)+(\alpha, \sigma(\beta))=0$ ，其中 $\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示欧氏空间的内积。证明：存在 $V$ 的一组标准正交基，使得 $\displaystyle \sigma^{2}$ 在此组基下的矩阵为对角阵。

1、若 $t \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 为正定矩阵，求 $t$ 的取值范围．

5．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，记齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r}$ ，其中 $r$为矩阵 $A$ 的秩，令 $\displaystyle \beta_{i}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \eta_{i}(i=1,2, \cdots, n-r)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n-r}\right)$ 。

8．（20 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle n \geq 2$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，若有 $\displaystyle \xi \in V$ ，满足 $\displaystyle \sigma^{n-1}(\xi) \neq 0, \sigma^{n}(\xi)=0$ ，求 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为 $$ \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{array}\right) . $$

五．简单题（ 20 分） 设 $V$ 为 $n$ 阶实方阵全体在矩阵的加法和数乘运算下构成的实数域上的线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\displaystyle A \in V$ ，都有 $\displaystyle \sigma(A)=2 A^{\mathrm{T}}$ ． （1）求 $\displaystyle \sigma$ 的特征值． （2）求 $\displaystyle \sigma$ 的属于每一个特征值的特征子空间的维数和一组基． （3）证明：$V$ 恰为 $\displaystyle \sigma$ 的所有特征子空间的直和．

7．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式为 $$ f(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)^{m_{1}}\left(x-\lambda_{2}\right)^{m_{2}}, \lambda_{1} \neq \lambda_{2} $$ 其中 $\displaystyle m_{1}+m_{2}=n$ ． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，其中 $\displaystyle \mathscr{E}$ 是恒等变换． （2）证明：$\displaystyle V=\operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}} \oplus \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{2} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{2}}$ ．

8．（15分）空间直角坐标系下，已知两异面直线的方程分别为 $$ l_{1}: \frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{-1}, \quad l_{2}: \frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{-1} . $$ （1）（10 分）求两条异面直线的公垂线方程． （2）（5 分）求该公垂线在坐标平面 $x O y$ 的射影直线方程．

5．（20 分）对于有限维线性空间 $\displaystyle V, \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换，证明：存在 $V$ 上的两个线性变换 $\displaystyle \mathscr{D}, \mathscr{N}$ ，满足 （1） $\displaystyle \mathscr{D}$ 可对角化． （2） $\displaystyle \mathscr{N}$ 为幂零变换． （3） $\displaystyle \mathscr{A}=\mathscr{D}+\mathscr{N}, \mathscr{D} \mathscr{N}=\mathscr{N} \mathscr{D}$ ．

6．（20 分）设 $\displaystyle \varphi, \theta$ 是线性空间 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle f(x), g(x)$ 分别为 $\displaystyle \varphi, \theta$ 的特征多项式． （1）若 $\displaystyle h(x)$ 是一个多项式，$a$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，证明：$\displaystyle h(a)$ 是 $\displaystyle h(\varphi)$ 的一个特征值． （2）若 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 互素，证明：$\displaystyle f(\theta)$ 和 $\displaystyle g(\varphi)$ 都是可逆的线性变换．

4．已知 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，其特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=0, \alpha_{1}=(1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1,-2)^{\mathrm{T}}$分别是特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 对应的特征向量，求矩阵 $A$ 。

5．设 $P^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $$ G_{1}=\left(\begin{array}{cc} a & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right), G_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\ 1 & 1 \end{array}\right), G_{3}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ a & 1 \end{array}\right), G_{4}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & a \end{array}\right) $$ 讨论由 $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ 生成的子空间 $L\left(G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}\right)$ 的维数并给出相应的一组基。

8．已知 $A$ 为数域 $P$ 上的 6 阶矩阵，$f(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda+3)^{2}(\lambda-4)$ 为 $A$ 的特征多项式，$m(\lambda)= (\lambda-2)^{2}(\lambda+3)(\lambda-4)$ 为 $A$ 的最小多项式． （1）求 $A$ 的所有不变因子． （2）写出 $A$ 的 Jordan 标准形． （3）写出 $A$ 的有理标准形．

11．给定 2 维平面 $\mathbb{R}^{2}$ 上 3 条不同的直线 $$ L_{1}: a x+b y=c, L_{2}: b x+c y=a, L_{3}: c x+a y=b . $$ 证明：三条直线相交于一点当且仅当 $a+b+c=0$ ．

八，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$T$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换， $\displaystyle T^{-1}(0)=\{\xi \in V \mid T \xi=0\}$ 是 $T$ 的核，$\displaystyle T(V)=\{T \xi \mid \xi \in V\}$ 是 $T$ 的值域。证明 $\displaystyle T(V) \subseteq T^{-1}(0)$的充分必要条件是 $\displaystyle T^{2}$ 是零变换．

六，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换． 证明（1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的两个不同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的分别属于特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$的特征向量，则 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}$ 不是 $\displaystyle \sigma$ 的特征向量． （2）如果线性变换 $\displaystyle \sigma$ 以 $V$ 中每个非零向量作为它的特征向量，那么 $\displaystyle \sigma$ 是数乘变换

八，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$T$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换， $\displaystyle T^{2}=T, T^{-1}(0)=\{\xi \in V \mid T \xi=0\}$ 是 $T$ 的核，$\displaystyle T(V)=\{T \xi \mid \xi \in V\}$ 是 $T$ 的值域。证明 （1）$\displaystyle T^{-1}(0)=\{\xi-T \xi \mid \xi \in V\}$ ； （2）$\displaystyle V=T^{-1}(0) \oplus T(V)$

六，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换．，$\displaystyle \xi \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{n-1}(\xi) \neq 0$ 但 $\displaystyle \sigma^{n}(\xi) \neq 0$ ，证明 （1）向量组 $\displaystyle \xi, \sigma(\xi), \cdots \sigma^{n-1}(\xi)$ 是线性无关的； （2）$\displaystyle \sigma$ 在一组基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\end{array}\right)$

八，（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，且 $\displaystyle f(x)=g(x) h(x)$ ， $\displaystyle (g(x), h(x))=1, \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle K, U, W$ 分别是 $V$ 的线性变换 $\displaystyle f(\sigma), g(\sigma), h(\sigma)$ 的核，证明：$\displaystyle K=U \oplus W$ ．

七，（20 分）设向量组 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性 变换，且 $\displaystyle \sigma \alpha=\alpha+\beta+\gamma, \sigma \beta=\beta+\gamma, \sigma \gamma=\gamma$ ． （1）证明 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一可逆线性变换； （2）求线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle 3 \sigma-2 \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 下的矩阵。

六，（15 分）设 $\displaystyle f, g$ 为线性空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle f^{2}=f, g^{2}=g$ 。证明：$f$ 与 $g$ 由相同核的充分必要条件是 $\displaystyle f g=f$ 且 $\displaystyle g f=g$ ．

五，（20 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，$V$ 的线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ，向量 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}, \eta_{2}=2 \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}, \eta_{3}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}$ ． （1）证明：$\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \cdot \eta_{3}$ 也是 $V$ 的一组基； （2）求线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} . \eta_{3}$ 下的矩阵； （3）求矩阵 $\displaystyle A^{2018}$ ．

2、矩阵 $E-A^{2}$ 是正定矩阵．

1、求正交矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵；

六、（20 分）设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是向量空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ 。证明： （1） $\displaystyle \mathcal{A}$ 为可逆变换当且仅当 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为恒等变换； （2） $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值只能为 0 或 1 ； （3）若 $\displaystyle V_{0}, V_{1}$ 分别是特征值 0,1 的特征子空间，则 $\displaystyle V_{1}=\mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V, V_{0}=\mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．

六，（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的两个线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$有 $n$ 个互异的特征值，证明：若 $\displaystyle \mathcal{A} \mathcal{B}=\mathcal{B} \mathcal{A}$ ，则 $\displaystyle \mathcal{B}$ 是 $\displaystyle \varepsilon, \mathcal{A}^{1}, \mathcal{A}^{2}, \cdots, \mathcal{A}^{n-1}$ 的线性组合。

七．（20 分）实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 经过正交变换化为 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ． （1）求 $\displaystyle a, b$ 的值； （2）求所作的正交变换； （3）判断二次型是否为正定二次型，并说明理由．

五．（20 分）设 $P$ 是数域，$n$ 是正整数，数域 $P$ 上线性空间 $$ V=\{f(x) \in P[x] \mid \partial(f(x))<n\} \cup\{0\}, $$ 定义 $V$ 上的一个线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ，其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的一阶微商． （1）分别求出 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V$ 与 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$（0）的一组基与维数； （2）证明：$\displaystyle V=\mathcal{A} V \oplus \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．

五、（20 分）若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+a x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+2 b x_{2} x_{3}$ 经过正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}{ }^{2}+2 y_{2}{ }^{2}$ ，试求参数 $\displaystyle a, b$ 的值以及正交阵 $P$ ．六、（7＋8＝15分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle \mathscr{A}=\mathscr{A} \mathscr{A} \mathscr{A}=\mathscr{B} \mathscr{A}$ 。 （1）证明： $\displaystyle \mathscr{A} V=\mathscr{A}^{2} V, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}$ ． （2）$\displaystyle V=\mathscr{A} V \oplus \operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．

八、 $\displaystyle (\mathbf{1 0}+\mathbf{1 0}=\mathbf{2 0}$ 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle (\mathscr{A}, \mathbf{\alpha})=-(\mathbf{\alpha}, \mathscr{B} \mathbf{\beta})$ ． （1）若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，求 $\displaystyle \mathscr{F}$ 在该基下的矩阵 B． （2）证明： $\displaystyle \mathbf{V}=\mathscr{A} \mathbf{V} \oplus(\mathscr{P} \mathbf{V})^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle (\mathscr{B} \mathbf{V})^{\perp}$ 为 $\displaystyle \mathscr{P} \mathbf{V}$ 的正交补。

7．（20 分）证明：实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的内积空间 $V$ 中保持任意两个向量内积不变的变换一定是线性的，从而是正交变换。

2．（14 分）设 $A, B$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，$A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，$A B=B A$ ，证明：$A, B$ 可同时对角化．

六、（30 分）设 $\displaystyle V=R^{2 \times 2}$ 是实数域上所有 2 阶方阵构成的实数域上的线性空间， $$ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ \lambda & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{array}\right) \text {, 其中 } \lambda \text { 是参数. } $$ （1）任取 $\displaystyle X \in V$ ，证明：$\displaystyle \varphi(X)=A X B$ 是 $V$ 上的一个线性变换； （2）当 $\displaystyle \lambda \neq-1$ 时，证明：$\displaystyle \varphi$ 是一个可逆线性变换； （3）当 $\displaystyle \lambda=-1$ 时，求线性变换的 $\displaystyle \varphi$ 值域 $\displaystyle \varphi V$ 和核 $\displaystyle \varphi^{-1}(0)$ ，并在值域中取一组基，把它扩充成 $V$的一组基．

七．（15分）设 $\displaystyle P^{m}$ 是次数不超过 $m$ 的一元多项式空间，定义 $\displaystyle P^{m}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $$ \mathscr{A}(f(x))=f(x+1)-f(x) $$ （1）写出 $\displaystyle \mathscr{A}$ 关于基底 $\displaystyle 1, x, \cdots, x^{m}$ 的矩阵 $A$ ． （2）求 $A$ 的 Jordan 标准形与最小多项式． （3）求 $\displaystyle \mathscr{A}^{k}$ 的核空间 $\displaystyle N\left(\mathscr{A}^{k}\right)$ 的维数和一组基．

九．（15 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}$ 和 $\displaystyle y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两个线性无关的向量组．证明：存在正交变换 $\displaystyle \varphi$ 使得 $\displaystyle \varphi\left(x_{i}\right)=y_{i}(i=1,2, \cdots, k)$ 的充要条件是 $\displaystyle \left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(y_{i}, y_{j}\right)(i, j=1,2, \cdots, k)$ ．

六．（15分）设线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 在标准基下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ （1）将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\mathrm{T}} A X$ 化为标准形． （2）设 $\displaystyle S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 定义为 $\displaystyle S(X)=\mathscr{A}^{2} X-2 \mathscr{A} X+2 X$ ，求 $S$ 的特征值，像空间维数与零空间维数．

四．（15 分）设 $V$ 是复数域上以 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为基底的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $$ \left\{\begin{array}{l} \mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{1}(i=1,2,3) \\ \mathscr{A}\left(\alpha_{4}\right)=\alpha_{2} \end{array}\right. $$ 求 $\displaystyle R(\mathscr{A}), N(\mathscr{A}), R(\mathscr{A}) \cap N(\mathscr{A})$ ，其中 $\displaystyle R(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的值域，$\displaystyle N(\mathscr{A})$ 表示 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的核。

2．$M_{n}=S \oplus T$ ．

8．设 $\displaystyle V=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}$ ，其中 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $V$ 的一个变族 $\displaystyle \varphi: \varphi(X)=A X, \forall X \in V$ 。 （1）证明 $\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 的特征值，特征向量： （3）是否存在 $V$ 的一组基，使 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角阵，为什么？

1．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}0 & a \\ b & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个线性变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=A X, \forall X \in W$ 。 （1）证明：$W$ 是 $P$ 上的线性空间； （2）证明：$\displaystyle \tau$ 是 $W$ 上的线性变换： （3）是否存在 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \tau$ 在该基下的矩阵是对角阵，为什么？

5．欧氏空间 $V$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 称为反对称的。如果对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ， $\displaystyle (\sigma \alpha, \beta)=-(\alpha, \sigma \beta)$ 。证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 为反对称的充要条件是，$\displaystyle \sigma$ 在一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵； （2）如果 $\displaystyle V_{1}^{4}$ 是反对称线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，则 $\displaystyle V_{1}^{1}$ 也是。

6．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=X^{T} A X, \forall X \in W 。$ （1）求 $\displaystyle \tau$ 关于基 $\displaystyle M_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), M_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), M_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 的矩阵； （2）求 $\displaystyle \tau$ 的所有 1 维不变子空间。

10．$\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right), B=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 为 $\displaystyle n \times m$ 阶矩阵，则存在 $\displaystyle R^{n}$ 上的正交变换 $\displaystyle \sigma$ ，使得 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle A^{T} A=B^{T} B$ 。

6．$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的两个子空间，证明：存在 $V$ 的线性变换 A ，使得 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 一个为 A 的值域，一个为 A 的核的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n$ 。

7．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵为一 Jordan块，证明： （1）$V$ 中任一非零 $\displaystyle \sigma$－子空间都包含 $\displaystyle \varepsilon_{n}$ ； （2）$V$ 不能分解成两个非平凡的 $\displaystyle \sigma$－子空间的直和。

六．已知 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。证明：$W$ 的正交补也是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。

6．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换，证明以下两个命题等价： （1）$\displaystyle (\sigma(\alpha), \sigma(\beta))=(\alpha, \beta), \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{n}$ ； （2）$\displaystyle \sigma$ 将 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基映射为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基．

9．设 $V$ 是 $n$ 维复线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{B A}, f(t)$ 是一个复系数多项式。 （1） $\displaystyle \mathcal{B}$ 的特征子空间与核空间的和是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的不变子空间； （2）$\displaystyle f(\mathcal{A})$ 和 $\displaystyle f(\mathcal{B})$ 有共同的特征向量．

4．设 $A_{m}$ 为 $m$ 阶方阵，$B_{n}$ 为 $n$ 阶方阵，$\left|A_{m}\right|=a,\left|B_{n}\right|=b$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}0 & A_{m} \\ B_{m} & 0\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

1．若 $\lambda_{0} \neq 0$ ，求证 $\lambda_{0}$ 也是 $\mathcal{B} \mathcal{A}$ 的特征值，并求相应的一个特征向量；

七、设 $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle \mathcal{A B}$ 的特征值，且 $\displaystyle \beta$ 为相应的特征向量．

三、求正交变换 $\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}u \\ v \\ w\end{array}\right)$ ，化二次型 $\displaystyle f=x^{2}+4 x y+4 x z+y^{2}+4 y z+z^{2}$ 为标准形．

九、设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$V$ 的保持内积的线性变换称为正交变换，对 $V$ 的任何单位向量 $\displaystyle \eta$ ，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}_{\eta}, \mathcal{\mathcal { A } _ { \eta }}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta(\alpha \in V)$ 称为 $V$ 的镜面反射。求证：

二、在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 定义为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\mathcal{A} \alpha_{1}=(-5,0,3) \\ \mathcal{A} \alpha_{2}=(0,-1,6) \\ \mathcal{A} \alpha_{3}=(-5,-1,9)\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}=(-1,0,2) \\ \alpha_{2}=(0,1,1) \\ \alpha_{3}=(3,-1,0)\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 下的矩阵 $A$ ．

八、设 $V$ 为复数域上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{B} \mathcal{A}=\mathcal{B} \mathcal{A}$ ，求证：

六、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}E_{r} & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$, 这里，$\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathcal{A}(V)$

1．求证 $\lambda$ 为 $\mathcal{A}$ 的特征值的存在充分必要条件为 $V_{\lambda} \neq\{0\}$ ；

三、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 2 维线性空间 $V$ 上的非零的幂零线性变换，求证在 $V$ 的某个基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$.

九、设 $V$ 为复数域上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda$ 为一个复数，令 $$ V_{\lambda}=\left\{v \in V \mid \exists k \geq 1, \text { 使 }(\mathcal{A}-\lambda \mathcal{E})^{k} v=0\right\} $$

二、在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 定义为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\mathcal{A} \beta_{1}=(1,0,0) \\ \mathcal{A} \beta_{2}=(3,3,2) \\ \mathcal{A} \beta_{3}=(3,3,1)\end{array}\right.$ ，其中，$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\beta_{1}=(1,0,0) \\ \beta_{2}=(1,1,0) \\ \beta_{3}=(1,1,1)\end{array}\right.$ ．

五、设 $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为 $n$ 维向量空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{A}+\mathcal{B}$ ．

六、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，求证 $\displaystyle V=\mathcal{A}(V) \oplus \operatorname{Ker}(\mathcal{A})$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}^{2}=\operatorname{Ker} \mathcal{A}$.

8．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A$ 可逆，则 $A B$ 与 $B A$ 的关系是 $\_\_\_\_$。

二、设 $V$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的一个线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ． （1）求 $V$ 的另一组基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 使 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵 $B$ 为对角阵； （2）求 $\displaystyle A^{k}$ ．

五、设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle P[x]$ 中两个互素的多项式，$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，求证： $\displaystyle \operatorname{Ker} f(\sigma)=\operatorname{Ker} f_{1}(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} f_{2}(\sigma)$ ．

六、设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$ ，求证 $\displaystyle \sigma$ 可对角化．

四、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle (\sigma+\tau)^{2}=\sigma+\tau, \sigma^{2}=\sigma, \tau^{2}=\tau$ ，求证： $\displaystyle \sigma \tau=0$.

一、填空（ $\displaystyle 10 \times 5=50$ 分） （1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组 $$ b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3} $$ 线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类． （10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

五、（本题 15 分）复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的一切 $\displaystyle n \times n$ 矩阵的集合 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 为复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性空间，对任何选定的矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，定义映射 $\displaystyle \phi_{A}: \mathbb{C}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{C}^{n \times n}, ~ X \rightarrow A X-X A$ ． （1）求证 $\displaystyle \phi_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 上的线性变换； （2）若矩阵 $A$ 可对角化，求证线性变换 $\displaystyle \phi_{A}$ 也可对角化．

八、（本题10分）设 $V$ 为数域 上的线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上可对角化的线性变换， $\displaystyle 0 \neq v \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{2} v=0$ ，求证 0 为 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征值，且 $v$ 为一个对应的特征向量．

六、（本题 10 分）设 $V$ 为数域 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，证明： $\displaystyle V=\sigma^{n}(V) \oplus \operatorname{Ker}\left(\sigma^{n}\right)$

七、设 $V$ 为复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的有限维线性空间，$\displaystyle \alpha, \beta$ 为其上可对角化的线性变换，且 $\displaystyle \alpha \beta=\beta \alpha$ ，求证：$\displaystyle \alpha, \beta$ 可同时对角化．

六、设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为实对称矩阵，定义 $\displaystyle \mathbf{\phi}_{A}: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}, X \rightarrow A X A^{T}$ ，求证 $\displaystyle \mathbf{\phi}_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的可角化线性变换．

二、设 $V$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 5 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为其上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}, \varepsilon_{5}$ 之下矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{lllll} & & & & 1 \\ & & & 1 & \\ & & 1 & & \\ & 1 & & & \\ 1 & & & & \end{array}\right) $$ （1）求 $V$ 的另一组基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ ，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在此基下的矩阵为对角阵； （2）求 $\displaystyle A^{n}$ ．

四、设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间 $\displaystyle (n \geq 3), \mathcal{A}$ 为其上的线性变换， $\displaystyle \mathcal{A}^{n-2} \neq 0, \mathcal{A}^{n-1} \neq 0$ ．求证： $\displaystyle \mathcal{A}$ 在 $V$ 的某个基下的矩阵为 $$ \left(\begin{array}{ccccc} 0 & & & & \\ 1 & \ddots & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & 1 & 0 & \\ & & & 0 & 0 \end{array}\right) $$

2．验证 $\displaystyle \phi$ 为 $\displaystyle V \otimes W$ 的线性变换，且求 $\displaystyle \phi$ 在 $\displaystyle V \otimes W$ 的某组基下的矩阵 $C$ ．

三、设 $\displaystyle V, W$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的线性空间， $\displaystyle \operatorname{dim} V=2, \operatorname{dim} W=3, \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 为 $V$ 的基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 为 $W$ 的基，再设 $\displaystyle \sigma, \eta$ 分别为 $V$ 和 $W$ 的线性变换，且它们在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，令线性空间 $\displaystyle V \otimes W=\{(v, w) \mid v \in V, w \in W\}$ 为 $V$ 和 $W$ 的外直和． $\displaystyle \left(v_{1}, w_{1}\right)+\left(v_{2}, w_{2}\right)=\left(v_{1}+v_{2}, w_{1}+w_{2}\right), k(v, w)=(k v, k w)$ $\displaystyle \phi: V \otimes W,(v, w) \rightarrow(\sigma(v), \eta(w))$.

7．设 $A$ 为 3 阶半正定阵，向量 $\displaystyle \alpha, \beta$ 线性无关，若 $\displaystyle \alpha^{T} A \alpha=\beta^{T} A \beta=0$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=2$ ，则二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{T} A x$ 经正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化成的标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

二、设 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 的一个线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 的一组基， $\displaystyle \mathcal{A}\left(\alpha_{1}\right)=2 \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2 \alpha_{3}$ （1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵； （2）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值，特征向量； （3）求 的一组基，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角阵。

五、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为数域 上 维线性空间 上的线性变换，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle P[x]$ 中两个互素多项式，$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，求证： $\displaystyle \operatorname{Ker} f(\mathcal{A})=\operatorname{Ker} f_{1}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} f_{2}(\mathcal{A})$ ．

十、（10分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $V$ 上的一个线性变换， $\displaystyle \operatorname{Im}(\mathcal{A})$ 与 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}$ 分别为线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的值域和核空间，求证： $\displaystyle \operatorname{Im}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} \mathcal{A}=V$ 的充分必要条件为 $\displaystyle \operatorname{Ker}(\mathcal{A})=\operatorname{Ker} \mathcal{A}^{2}$.

五、用配方法化 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}$ 为标准形，并写出相应的线性变换．

八、设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换 $\displaystyle T(x)=A x$ 。证明： （1）若 $A$ 是正交矩阵，则 $T$ 是正交变换； （2）若 $A$ 是对称矩阵，则 $T$ 是对称变换．

十、定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 上的线性变换 $\displaystyle T f(x)=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ． （1）求 $T$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 的基 $\displaystyle 1, x, x^{2}$ 下的矩阵； （6）证明 $\displaystyle \operatorname{Im}(T) \oplus \operatorname{Ker}(T)=\mathbb{R}[x]_{3}$ ．

七、（15 分）$\displaystyle V=L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)\right), f_{1}(x)=e^{x} \sin x, f_{2}(x)=e^{x} \cos x$ ， $\displaystyle f_{3}(x)=x e^{x} \sin x, f_{4}(x)=x e^{x} \cos x, \mathcal{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$. （1）证明： $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 在基 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)$ 下的矩阵．

七、（15 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ． （1）求 $a$ 的值； （2）用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换．

九、（15 分）设 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中线性变换 $\displaystyle T_{1}$ 在基 $\displaystyle a_{1}=(1,2)^{T}, a_{2}=(2,3)^{T}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 4 & 3\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle T_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(3,1)^{T}, \beta_{2}(4,2)^{T}$ 下的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}4 & 6 \\ 6 & 9\end{array}\right)$ ． （1）求基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 到基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 的过渡矩阵 $P$ ； （2）求线性变化 $\displaystyle T_{1}+T_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 下的矩阵．

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

6．$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，下述条件等价． （1）$r(A)=n$ ；（2）存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A=\binom{E_{n}}{0}$ ；（3）存在 $n \times m$ 阶矩阵 $B$ ，使得 $B A=E_{n}$ ．

8．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$C(A)=\{B \mid A B=B A\}$ ． （1）证明 $C(A)$ 是线性空间；（2）当 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $C(A)$ 的维数与一组基．

八．用正交变换将二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3} $$ 化为标准形，并写出所用的正交变换．

10．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & 0 \\ 0 & a & 6\end{array}\right)$ 可相似对角化． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\displaystyle X=P Y$ ，将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{T} A X$ 化为标准形．

11．设 $V$ 为 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{T}_{1}$ 为 $V$ 上的线性变换，求证：存在 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}_{2}$ 和 $\displaystyle \mathscr{T}_{3}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{T}_{1}=\mathscr{T}_{2} \mathscr{T}_{3}$ ，其中 $\displaystyle \mathscr{T}_{2}^{2}=\mathscr{T}_{2}$ ，且 $\displaystyle \mathscr{T}_{3}$ 可逆。

12．记 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 为所有次数小于 4 的实系数一元多项式及零多项式构成的线性空间．$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \forall f(x) \in \mathbb{R}[x]_{4}, \mathscr{T}(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=1, \varepsilon_{2}=x, \varepsilon_{3}=x^{2}, \varepsilon_{4}=x^{3}$ 下的矩阵 $A$ 。 （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值和线性无关的特性向量．

12．二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X $$ 在正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 下的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}, Y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ ，且正交矩阵 $Q$ 的第三列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{T}$ ，求实对称矩阵 $A$ ，并证明 $\displaystyle A+E_{3}$ 正定。

13．取 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，定义线性变换 $$ \sigma(X)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2} $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。 （2）证明：当 $\displaystyle a d-b c \neq 0$ 时，$\displaystyle \sigma$ 可逆． （3）当 $\displaystyle \sigma$ 可逆时，求 $\displaystyle \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。

14．设 $V$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$V$ 上线性变换 $\displaystyle \tau$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} \lambda & & & \\ 1 & \lambda & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \lambda \end{array}\right) $$ 证明：对任意非零的 $\displaystyle \tau$－子空间 $W$ ，有 $\displaystyle \varepsilon_{n} \in W$ ．

十．（15分）记 $\displaystyle E_{i j}$ 是 $\displaystyle (i, j)$ 元素是 1 其余元素是 0 的 $n$ 阶实矩阵．设 $\displaystyle \varphi$ 是实列向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换，定义映射 $$ \begin{aligned} f_{\varphi}: & \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \\ \alpha & \mapsto \sum_{i, j=1}^{n} E_{i j} \varphi\left(E_{j i} \alpha\right) . \end{aligned} $$ 求证：存在常数 $\displaystyle c_{\varphi}$ ，满足 $\displaystyle f_{\varphi}=c_{\varphi} \mathrm{Id}, \mathrm{Id}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的恒等变换．

五．设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的正交变换，设子空间 $$ V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha, \alpha \in V\}, V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-\sigma(\alpha), \alpha \in V\} . $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

十．设随机变换 $\displaystyle X, Y$ 相互独立，概率密度函数分别为 $$ f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array} \quad f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll} \mu e^{-\mu y}, & y>0, \\ 0, & \text { 其他. } \end{array} \quad \lambda, \mu>0 .\right.\right. $$ （1）求 $\displaystyle P(X>Y)$ ． （2）令 $\displaystyle M=\max \{X, Y\}, N=\min \{X, Y\}$ ，求其概率密度函数 $\displaystyle f_{M}(x), f_{N}(x)$ ． （3）求 $N$ 的特征函数 $\displaystyle \varphi_{N}(t)$ ．

2．（可能有误）三阶矩阵 $A$ 的行列式因子为 $1, x-2,(x-2)^{2}(x-3)^{2}$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形为 $\_\_\_\_$ ．

六．设 $\displaystyle \tau$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是其 $n$ 个不同的特征值，证明：$\displaystyle \alpha, \tau(\alpha), \cdots, \tau^{n-1}(\alpha)$线性无关的充要条件是 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}$ ，其中 $\displaystyle \alpha_{i}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 的特征向量．

四．（可能有误）二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3}$ 的矩阵记为 $\displaystyle A, A$ 的特征值之和为 1 ，积为 -12 ，求 $b$ 的值，并将二次型用正交线性替换化为标准形，写出正交变换矩阵。

2．设 $A$ 是 3 阶实方阵，且 $|E+A|=0,|E+2 A|=0,|E-3 A|=0, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $|E+6 A|=$ $\_\_\_\_$

4．设 $\alpha, \beta$ 为3维列向量，且 $\alpha \beta^{T}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ，则 $\beta^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

6．（15 分）设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵是 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 4 & -1 \end{array}\right) $$ 求 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵。

5．已知列向量组 $\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ 是方阵 $\left(\begin{array}{ccc}-b & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的特征向量，则 $4 a-3 b=$ $\_\_\_\_$ ．

7．设 $V$ 是数域 $F$ 上的线性空间，则 $V$ 能表示成它的 2 个真子空间的并．

10．设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶实矩阵，且满足 （1） $0 \leq a_{i j} \leq 1, i, j=1,2, \cdots, n$ ． （2）$a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=1, i=1,2, \cdots, n$ ． 则对于每一个特征值 $\lambda$ ，都有 $|\lambda| \leq 1$ ．

1．已知齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} (a+b) x_{1}+a x_{2}+\cdots+a x_{n}=0 \\ a x_{1}+(a+b) x_{2}+\cdots+a x_{n}=0 \\ \quad \cdots \cdots \\ a x_{1}+a x_{2}+\cdots+(a+b) x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 其中 $a \neq 0, n \geq 2$ ．试讨论 $a$ 和 $b$ 满足什么条件时： （1）方程组仅有零解。 （2）方程组有非零解，并求出其通解．

3．已知 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\varphi$ 对于基 $\xi_{1}=(-1,0,2)^{\mathrm{T}}, \xi_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \xi_{3}=(3,-1,-6)^{\mathrm{T}}$ 的像为 $$ \varphi\left(\xi_{1}\right)=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{2}\right)=(0,-1,2)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{3}\right)=(-1,-1,3)^{\mathrm{T}} $$ （1）求 $\varphi$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ 下的矩阵。 （2）设 $x=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\varphi(x)$ ． （3）证明：$\xi_{1}-\xi_{3}, \xi_{2}, \xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的基，并求 $\varphi$ 在该基下的矩阵。

4．设 $V$ 是数域 $P$ 上的4维线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，$\sigma$ 在 $V$ 的基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵为 $A$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 4 & 2 & 5 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & -2 & 1 \\ -1 & 4 & -1 & 1 \end{array}\right) $$ （1）求包含 $\varepsilon_{1}$ 的最小的 $\sigma$－不变子空间 $W$ ． （2）记 $\sigma_{1}$ 为 $\sigma$ 在 $W$ 上的限制，求 $\sigma_{1}$ 在 $W$ 的基下的矩阵 $A_{1}$ 的 Jordan 标准形．

7．设向量组 $$ \left\{\begin{array} { l } { \varepsilon _ { 1 } = ( 1 , 0 , 0 ) , } \\ { \varepsilon _ { 2 } = ( - 2 , 1 , 0 ) , } \\ { \varepsilon _ { 3 } = ( 0 , 0 , 1 ) } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{l} \eta_{1}=(1,2,-3) \\ \eta_{2}=(2,2,-1) \\ \eta_{3}=(2,-1,-1) \end{array}\right.\right. $$ 设线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 满足 $\displaystyle \mathscr{T} \varepsilon_{i}=\eta_{i}, i=1,2,3$ 。 （1）求 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 到 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 的过渡矩阵。 （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。 （3）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 下的矩阵。 （4）是否存在非零 $\displaystyle \xi \in \mathbb{R}^{3}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{T} \xi=\xi$ ？

8．设 $V$ 为有限维欧氏空间，线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: V \rightarrow V$ 满足 $\displaystyle (\mathscr{A} \alpha, \beta)=(\alpha, \mathscr{A} \beta), \forall \alpha, \beta \in V$ ．证明： （1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基下的矩阵为对称矩阵。 （2）存在 $V$ 的一组基使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在该基下的矩阵是对角矩阵。 （3）$\displaystyle (\mathscr{A}(V))^{\perp}=\mathscr{A}^{-1}(0)$ ，且 $\displaystyle V=\mathscr{A}(V) \oplus \mathscr{A}^{-1}(0)$ 。

七、（本题满分20分）已知 $\displaystyle \sigma$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，求证 （1）$\displaystyle \sigma$ 的特征值只有 0 和 1 ； （2）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，其中其中 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, ~ V_{2}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}$ 。fl：线性空间与线性变换

九、（本题15分）设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维欧氏空间上的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ 也是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。

六、（本题满分 20 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}4 & & & \\ 1 & 4 & & \\ & 1 & 4 & \\ & & 1 & 4\end{array}\right), W=\left\{B \mid A B=B A, B \in P^{4 \times 4}\right\}$ ，求证： （1）$W$ 为 $\displaystyle P^{4 \times 4}$ 的子空间； （2）求 $W$ 的维数与一组基．fl：线性空间与线性变换

5．数域 $F$ 上 4 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 有 4 个不同的特征值，则 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的 2 维不变子空间的个数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

七．（15 分）（可能有误）线性变换的矩阵 $A$ 对应的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{i}$ ． （1）证明：存在非零特征向量 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle A \alpha=\lambda_{1} \alpha$ ； （2）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{-1} A C$ 为对角阵．

五．（15 分）设矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle T: A \mapsto A B-2 A^{T}, \forall A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ． （1）求线性变换 $T$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （2）在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中找一组基，使得变换在基下的矩阵为对角阵。

八．（20分）设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换．证明： （1）若存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+1}$ ，则对任意正整数 $l$ ，有 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l}$ ； （2）证明：存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} \oplus \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m}$ ．

1．设 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}, \lambda$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的复特征值，此时 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的相应特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid \mathscr{A} \alpha=\lambda \alpha\} \neq 0$ ． （1）证明 $\displaystyle V_{\lambda}$ 是一个 $\displaystyle \mathscr{B}$－子空间； （2）将 $\displaystyle \mathscr{B}$ 限制到 $\displaystyle V_{\lambda}$ 得到的线性变换记为 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ ，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 可对角化，证明 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ 也可对角化。 （3）若 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 都可以对角化，证明：存在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 在该基下的矩阵都为对角阵。

3．记 $\displaystyle F[x]_{4}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 3 的多项式关于多项式的加法与 $F$ 数乘构成的线性空间．线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: F[x]_{4} \rightarrow F[x]_{4}, f(x) \mapsto f(2-x)$ ．求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征多项式和最小多项式．

4．设 $V$ 是 $\displaystyle n(n>1)$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的单位向量． （1）$V$ 上的正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 称为关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 满足： （i）若 $\displaystyle (\alpha, \beta)=0$ ，则 $\displaystyle \mathscr{B} \beta=\beta$ ； （ii） $\displaystyle \mathscr{B} \alpha=-\alpha$ ． 证明：如果正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 是关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射，则 $\displaystyle \mathscr{B} \gamma=\gamma-2(\alpha, \gamma) \alpha, \forall \gamma \in V$ 。 （2）设 $\displaystyle \beta$ 也是 $V$ 中的单位向量，证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 使得 $\displaystyle \operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(\mathscr{A}-1_{V}\right)=n-1$ 且 $\displaystyle \mathscr{A} \alpha=\beta$ ，其中 $\displaystyle 1_{V}$ 表示 $V$ 上的恒等变换。

3．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \operatorname{End}_{F}(V)$ 上的线性变换，$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的最小多项式。 （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 可对角化的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 可分解为互素一次因式的乘积． （2）若 $\displaystyle A^{5}=I, A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，当 $\displaystyle F=\mathbb{Q}$ 或 $\displaystyle F=\mathbb{C}$ 时，$A$ 是否可以对角化？请说明理由．

5．若矩阵 $\displaystyle A^{T}=A, B^{T}=-B, A B=B A$ 且 $A$ 可逆，$\displaystyle C=A^{-1} B$ ． （1）证明：$C$ 为反对称矩阵； （2）设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，记线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足 $$ \mathscr{A}: \alpha \rightarrow C \alpha, \forall \alpha \in V $$ 证明： $\displaystyle \mathscr{A}(\alpha) \perp \alpha, \forall \alpha \in V$ ． （3）证明：$\displaystyle C^{2}$ 非负定．

6．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $\displaystyle \operatorname{End}_{F}(V)$ 上的线性变换，且多项式 $\displaystyle f(x)$ 无重根，则 $\displaystyle \operatorname{Im} f(\mathscr{A})+ \operatorname{Im} f^{\prime}(\mathscr{A})=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是复数域上 3 维线性空间 $V$ 的一组基，$V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足 $$ \mathscr{A} \alpha_{1}=3 \alpha_{1}-2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{2}=\alpha_{1}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{3}=-\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3} $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $A$ ，以及 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 。 （2）求 $V$ 的另一组基，使得该基下 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵恰为 $J$ 。

14、设 $A, B$ 是正定实对称矩阵． （1）证明存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C A C=I, C^{T} B C$ 是对角元为正数的对角阵． （2）证明 $\sqrt[n]{\operatorname{det}(A+B)} \geq \sqrt[n]{\operatorname{det}(A)}+\sqrt[n]{\operatorname{det}(B)}$ ．

5．平面二次曲线 $13 x^{2}-6 \sqrt{3} x y+7 y^{2}-256=0$ 的类型为 $\_\_\_\_$ ．

十．（20 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+5 z^{2}-6 x y+2 x z-2 y z-4 x+8 y-12 z+14=0$ ，使用直角坐标变换将其化为标准方程并判断该曲面的类型。

一．（12 分）设 $\displaystyle P=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，考虑增广矩阵 $\displaystyle B=(A, P)$ ，其中 $A$ 是 3 阶方阵．若 $B$ 经过若干次初等行变换化为 $$ \left(\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -3 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) . $$ 证明：$A$ 可逆，并求 $\displaystyle A^{-1}$ ．

三．（15 分）设 $M$ 是秩为 $r$ 的 $m$ 阶方阵，$V$ 是全体 $\displaystyle m \times n$ 矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $\displaystyle \varphi$ 为 $$ \varphi(N)=M N, N \in V $$ 证明：$\displaystyle \varphi$ 是线性变换，并求 $\displaystyle \varphi$ 的像空间的维数．

十．（20 分）已知二次曲面方程 $\displaystyle 2 x^{2}+5 y^{2}+5 z^{2}+4 x y-4 x z-8 y z-9=0$ ，使用直角坐标变换将其化为标准方程，并判断该曲面的类型（要求写出所用的坐标变换及得到这一变换的详细过程）．

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

7．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵可以对角化，证明：对 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的任意不变子空间 $\displaystyle W, \mathscr{A}$ 限制在 $W$ 上的变换 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 的矩阵也可以对角化。

8．设 $f$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，这里 $\displaystyle n \geq 2$ ，它在一组基下的矩阵 $A$ 为对角线元素为 1的若尔当块 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $f$ 的特征多项式，特征值及相应的特征子空间的维数．请回答 $A$ 可以对角化吗？说明理由． （2）证明：矩阵 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 相似．

5．已知 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 是线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=-1 \\ 3 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=1 \\ a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=d\end{array}\right.$ 的两个解，系数矩阵的秩为 $\_\_\_\_$ ，方程组的通解为 $\_\_\_\_$ ．

4．$V=\left\{\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right) \mid x_{i} \in P\right\}$ 是 $P$ 上的 $n$ 维向量空间，定义： $$ \sigma\left(x_{1}, \cdots, x_{n-1}, x_{n}\right)=\left(0, x_{1}, \cdots, x_{n-1}\right) $$

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．已知 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(1-a) x_{1}^{2}+(1-a) x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2(1-a) x_{1} x_{2}$ （a）求 $a$ （b）求正交变换 $X=Q Y$ ，使得 f 为标准型 （c）求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解 （d）请问矩阵方程 $X^{3}=A$ 是否有解？若有的话请给出解，若没有的话请说明理由。（其中 A 为与 f 相伴的矩阵）

3．设 A 和 B 均为实对称矩阵，且 A 和 B 有完全相同的特征值，求证： （a）存在正交矩阵 T ，使得 $B=T^{-1} A T$ （b）若 A 为正定矩阵，则 $|B+E|=|A+E|>1$

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

3、矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，求 $E-A$ 的逆．

5、 $W=\left\{\left(x_{0} x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{1}+x_{0}+\cdots+x_{n}=0\right\}$ 的补空间 $W^{\perp}$ 的一组标准正交基。

4、（16 分）非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{4}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}+3 x_{3}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=3\end{array}\right.$ ，有 3 个线性无关的解． （5 分）（1）记 $A$ 为方程组的系数矩阵，证明：$r(A)=2$ ． （5 分）（2）求 $a, b$ 的值． （6 分）（3）求方程组的解．

1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组 $$ \beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m} $$ 线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．

7．求 $n$ 阶方阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a^{2} & a & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & \cdots & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵。

6、（20 分）设 $W$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的非零子空间，$\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma(W)$ 与 $\displaystyle \sigma^{-1}(W)$ 分别表示 $W$ 中全体的像与原像构成的子空间，证明： （1） $\displaystyle \operatorname{dim}(\sigma(W))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma \cap W)=\operatorname{dim}(W)$ ． （2）若 $\displaystyle W \subseteq \operatorname{Im} \sigma$ ，则 $$ \operatorname{dim}(W) \leq \operatorname{dim}\left(\sigma^{-1}(W)\right) \leq \operatorname{dim}(W)+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma) . $$ ## 2025 年山东大学常微分方程考研真题

6．设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中一组基，满足：$\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{3}, \cdots, \sigma\left(\alpha_{n-1}\right)= \alpha_{n}, \sigma\left(\alpha_{n}\right)=0$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的表示矩阵 （2）证明：$\displaystyle \sigma^{n}=O, \sigma^{n-1} \neq O$ 常微分方程部分

2、 $f(\lambda)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，若 $f(2+\sqrt{3})=0$ ，则 $f(5)=$ $\_\_\_\_$。

3、线性空间 $V$ 的维数为 30 ，线性空间 $\mathcal{A V}, \mathcal{B V}, \mathcal{C V}$ 的维数分别为 $24, \mathcal{A B C V}$ 的最小维数是 $\_\_\_\_$。

3．证明：$V=U \oplus W$ ．

四、二次型 $\displaystyle f(x)=X^{\prime} A X$ 的矩阵 $A$ 的 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=3$ ，且满足 $$ A\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -1 & -4 \\ 2 & -4 \end{array}\right] $$ 1．求 $A$ 的特征值及对应的特征向量． 2．写出 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的表达式． 3．求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为标准型．

7．已知 $\displaystyle R^{n \times n}$ 是全体 $n$ 阶矩阵组成的线性空间，$\displaystyle f_{A}$ 是 $\displaystyle R^{n \times n}$ 上的线性变换，定义为 $\displaystyle f_{A}=A X+X A$ ， $\displaystyle X \in R^{n \times n}$ ，其中 $A$ 为实对称矩阵 （1）求 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 的维数和一组基 （2）证明：$\displaystyle f_{A}$ 为 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 上的线性变换 （3）问：取什么基时 $\displaystyle f_{A}$ 的矩阵可以化为对角形？请求出这组基和对角形形式

6．设 $F$ 是数域， $$ \begin{aligned} & V_{1}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a+b+c=0, a, b, c \in F\right\} \\ & V_{2}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a-b+c=0, a, b, c \in F\right\} \end{aligned} $$ 则 $\_\_\_\_$是 $V_{1}$ 的一个基，$V_{1}$ 的维数＝ $\_\_\_\_$ ，$V_{1} \cap V_{2}$ 的 维 数 $=$ $\_\_\_\_$。

7．设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\lambda^{4}(\lambda-1)^{2}$ ，且 $r(A)=4, r\left(A^{2}\right)=2, r(A-E)=4$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形是 $\_\_\_\_$。

1．填空题 （1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足 $$ \sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} . $$ 则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式． （8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

7．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，且 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \varphi \oplus W$ ，证明： $$ V=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \varphi . $$

4．$n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\varphi, w$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩陈分别为 $A, B$ ，X知 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$到 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 的过渡矩阵为 $P$ ，则 $\varphi \psi+2 \varphi^{3}-\mathrm{id}_{V}$ 在 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

八．设 $\displaystyle \varphi$ 为数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，设 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in V$ ，记 $$ F[\varphi] \alpha=\{f(\varphi) \alpha \mid f(\lambda) \in F[\lambda]\} $$ 设 $\displaystyle \varphi$ 限制在 $\displaystyle F[\varphi] \alpha$ 上的线性变换为 $\displaystyle \varphi_{1}$ ，若 $\displaystyle \varphi_{1}$ 的极小多项式 $\displaystyle m_{\varphi_{1}}(\lambda)$ 的标准分解式为 $$ m_{\varphi_{1}}(\lambda)=p_{1}^{e_{1}}(\lambda) p_{2}^{e_{2}}(\lambda) \cdots p_{t}^{e_{t}}(\lambda) $$ 其中 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 两两互素，且对每个 $\displaystyle 1 \leq i \leq t$ ，都有 $\displaystyle p_{i}(\lambda)$ 首一且不可约，$\displaystyle e_{i} \geq 1$ ，则存在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ ，使得 （1）$\displaystyle F[\varphi] \alpha_{i}=\operatorname{Ker} p_{i}^{e_{i}}\left(\varphi_{1}\right)$ ； （2）$\displaystyle F[\varphi] \alpha=F[\varphi] \alpha_{1} \oplus F[\varphi] \alpha_{2} \oplus \cdots \oplus F[\varphi] \alpha_{t}$ ．

5. $\varphi$ 是线性空间 $V$ 到 $W$ 的线性映射，$e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 是 $V$ 的一个基，$\eta_{1}, \eta_{2}$ 是 $W$ 的一个基，$\varphi$ 在两个基下的矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\operatorname{ker} \varphi=?\left(L\left(e_{1}+e_{2}-e_{3}\right)\right)$

八．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \exists f \in \mathbb{C}[\mathbf{x}]$ s．t．$\displaystyle \varphi f(\varphi)=\sigma$ ，其中 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，并且 $\displaystyle \varphi$ 与 $\displaystyle \sigma$ 有相同的特征多项式。

五．设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，满足 ＠跟锦数学微信公众号 $$ \varphi^{3}-2 \varphi^{2}+\varphi=\mathscr{O} . $$

四．1．设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，秩为 $r$ ，试证：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{rank} B=r$ ．［张祖锦注：题目回忆有误，反例见参考解答！我们给出并证明了正确表述方式！］

6．设多项式 $f(x)=x^{5}+x^{4}-x^{3}+2 x^{2}-x-2$ ，则它在有理数域上的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

七．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的不可逆且非幂零的线性变换．证明：存在 $\displaystyle \sigma$ —子空间 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ ，满足 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，且 $\displaystyle \sigma \mid V_{1}$ 为可逆变换，$\displaystyle \sigma \mid V_{2}$ 为幂零变换．

六．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ 是数域 $F$ 上的不可约多项式，$\displaystyle \varphi$ 是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $V$ 中非零向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 满足 $$ \varphi\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1}(1 \leq i \leq n-1), \varphi\left(\alpha_{n}\right)=-a_{n} \alpha_{1}-a_{n-1} \alpha_{2}-\cdots-a_{1} \alpha_{n} $$ 证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关．

8．给定 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}(X)=X B-B X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，另外取子空间 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0\right\}$ ． （1）求 $W$ 的一组基． （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间． （3）记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $W$ 上的限制 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 的特征值和特征向量． （4）求 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。

8、设 $V$ 是 $C$ 上的 2 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是 $V$ 的一组基，线性变换中将 $C$ 降维到 $R$ ， $V$ 可视为 $R$ 上的线性空间记为 $\displaystyle V_{R}$ ，记 $\displaystyle \mathscr{N}_{R}$ 为 $\displaystyle \propto \mid V_{R}$ 上的线性变换． （1）设 $\displaystyle \alpha_{3}=i \alpha_{1}, \partial_{4}=i \alpha_{2}, i^{2}=-1$ ，试证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $R$ 的一组基． （2）若设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]$ ，且 $\displaystyle a_{i j}=O_{i j}+i V_{i j},(i, j=1,2)$ ，试求 $\displaystyle \mathscr{A}_{R}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵。

九．（14 分）设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换． （1）证明：如果 $n$ 是奇数，则 $\displaystyle \mathscr{A}$ 有 1 维不变子空间． （2）证明：如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 没有1维不变子空间，那么 $\displaystyle \mathscr{A}$ 必有2维不变子空间。

八．（12 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{O}$ ．证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & O \\ E_{r} & O\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathscr{A}(V)$ ．

4．（20 分）设 $V$ 是数域（ $\displaystyle \mathbb{K}$ ）上的 4 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $V$ 的一组基。若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，且在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵为准对角阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，试求所有 $\displaystyle \mathscr{A}$－不变子空间。

8．（20分）域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上全体 $n$ 阶矩阵组成一个 $\displaystyle n^{2}$ 维线性空间 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C}), A \in M_{n}(\mathbb{C}), A$ 可对角化，特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$（不一定不相等），设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 的变换， $\displaystyle \mathscr{A}(B)=A B-B A$ ， （1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 为域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性变换， （2）．求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的所有 $\displaystyle n^{2}$ 个特征值．

4．（15 分）设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的向量．已知整数 $m$ 满足 $\displaystyle \varphi^{m}(\alpha) \neq 0$ ，但 $\displaystyle \varphi^{m+1}(\alpha)=0$ ．求证 $\displaystyle \alpha, \varphi(\alpha), \cdots, \varphi^{m}(\alpha)$ 线性无关．

6．（20 分）设 $V$ 是全体 $n$ 阶实系数矩阵构成的线性空间，定义运算 $$ (A, B)=\operatorname{Tr}\left(A^{T} B\right), \quad A, B \in V . $$ （1）证明：（，）是内积，$V$ 是 $\displaystyle n^{2}$ 维欧式空间． （2）设 $\displaystyle T \in V$ 是给定矩阵，定义映射 $$ \phi(A)=T A, \quad A \in V $$ 证明：$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的线性映射． （3）求 $\displaystyle \phi$ 的伴随算子。

8．（15 分）设 $\displaystyle f: U \rightarrow V, g: V \rightarrow W$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上有限维的线性映射，证明： $$ \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} f)+\operatorname{dim}(\operatorname{Im} f \cap \operatorname{Ker} g)=\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(g f)) $$

5．（20分）（1）利用初等变换将下列矩阵化成简化的行阶梯形矩阵。 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ -1 & -2 & 0 & 0 & 1 & -2 & -3 \\ 1 & 2 & -3 & 0 & 5 & 1 & 6 \end{array}\right) $$ （2）设 $V$ 数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定他的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ 。对于 $V$ 中的一个非零向量 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha i$ ，若 $i$ 是最小正整数使得 $\displaystyle \lambda_{i}$ 不为 0 ，则称 $\displaystyle e_{i}$ 为它的 $\displaystyle \operatorname{tip}$ ，记为 $\displaystyle e_{i}=\operatorname{tip}(\alpha)$ ，对于 $V$ 的一个子空间 $W$ ，定义 $$ \begin{aligned} \operatorname{Tip}(W) & =\{\operatorname{tip}(\alpha): \alpha \in W, \alpha \neq 0\} \\ \operatorname{NonTip}(W) & =\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}-\operatorname{Tip}(W) . \end{aligned} $$ 现设 $\displaystyle v=\mathbb{K}^{7}$ 是7维行向量组成的空间，取它的标准基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{7}$ 。令 $W$ 为（1）中矩阵的行向量张成的子空间。求 $\displaystyle \operatorname{Tip}(W)$ 和 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 。 （3）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定它的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ ，设 $W$ 是 $V$ 的一个子空间．证： $$ V=W \oplus \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W)), $$ 这里 $\displaystyle \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W))$ 是 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 张成的子空间。

6．（15 分）设 $f$ 与 $g$ 是从有限维线性空间 $U$ 到有限维线性空间 $W$ 的两个线性映射．若 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)= \operatorname{Im}(g)$ ，这里 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 是 $f$ 的像，证明：存在 $U$ 上的可逆线性变换 $h$ ，使得 $\displaystyle g=f \circ h$ ．

7．（25分）设 $\displaystyle \mathbb{K}$ 是一个数域，$\displaystyle m, n$ 为自然数，$\displaystyle M_{m, n}(\mathbb{K}), M_{m}(\mathbb{K})$ 分别是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上 $\displaystyle m \times n$ 阶与 $m$ 阶矩阵生成的空间，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵。定义 $$ f: M_{m}(\mathbb{K}) \longrightarrow M_{m, n}(\mathbb{K}), \quad f(X)=X A $$ （1）．证明：$f$ 是一个线性映射； （2）．设 $\displaystyle m=n=2, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ，分别求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的一组基与 $f$ 的像 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 的一组基； （3）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的秩； （4）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的维数．

9．（20 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 个两两不同的数，$V$ 是 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，且它在基 $\displaystyle \xi_{1}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ ． （1）．设 $W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，$\displaystyle x_{1} \xi_{1}+\cdots+x_{n} \xi_{n} \in W$ ，其中 $\displaystyle x_{1}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{K}$ ，证明：若某个 $\displaystyle x_{i}$ 不为 0 ，则 $\displaystyle \xi_{i} \in W$ ． （2）．求 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间个数．

5．（20 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}: V \rightarrow V$ 是有限维复线性空间 $V$ 上的线性变换。设 $\displaystyle v \in V$ ，存在 $\displaystyle f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda]$使得 $\displaystyle f(\mathscr{A})(v)=0$ ，则称 $\displaystyle f(\lambda)$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的零化多项式。 （1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的非零零化多项式存在。 （2）． $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的次数最低的首项系数为 1 的零化多项式称为极小多项式，记为 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 。证明：零化多项式均能被 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 整除。 （3）．记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的极小多项式为 $\displaystyle m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ ，证明：存在 $\displaystyle v \in V$ 使得 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)=m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ 。

7．（20 分）记 $\displaystyle V_{n}(n \geqslant 0)$ 为次数不大于 $n$ 的关于 $\displaystyle x, y$ 的实系数二元多项式生成的空间．求 $\displaystyle V_{2}$ 上线性变换 $$ \mathscr{A}=2 \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} $$ 的 Jordan 标准型，并推广到一般情形。

6．（20 分）令 $\displaystyle f(x, y)=a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 b_{1} x+2 b_{2} y+c$ ， $$ A_{f}=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right), \quad B_{f}=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{12} & a_{22} & b_{2} \\ b_{1} & b_{2} & c \end{array}\right) . $$ 证明：函数 $f$ 在坐标变换 $\displaystyle \binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=Q\binom{x}{y}+\binom{d_{1}}{d_{2}}$ 下对应的 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(B_{f}\right)$ 保持不变，其中 $Q$ 是二阶正交矩阵。

3．（20 分）考虑未定元为 $x$ 和 $y$ 的次数至多为 2 的复系数二元多项式空间。求线性变换 $$ \mathscr{A}: f(x, y) \rightarrow f(2 x+1,2 y+1) $$ 的 Jordan 标准型。

4．（15 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是有限维欧式空间 $V$ 上的正交变换，且满足 $\displaystyle \sigma^{m}=I$ ，其中 $m$ 为大于 1 的整数，$I$是恒等变换。记 $\displaystyle V^{\sigma}=\{\theta \in V: \sigma(v)=v\}$ ，而 $\displaystyle V^{\sigma}$ 的正交补记为 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 。 （a）．求证 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 是 $\displaystyle \sigma$－不变子空间． （b）．对于 $\displaystyle v \in V$ ，定义 $\displaystyle \bar{v}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(v)$ 。求证： $\displaystyle \bar{v} \in V^{\sigma}$ ． （c）。证明：若将 $\displaystyle v \in V$ 展开成 $\displaystyle v=v_{1}+v_{2}$ ，其中 $\displaystyle v_{1} \in V^{\sigma}, v_{2} \in V^{\sigma \perp}$ ，则 $\displaystyle v_{1}=\bar{v}$ 。

6．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换． （a）．证明：存在正整数 $\displaystyle k \leq n$ ，使得 $$ \operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{n}\right) \quad \text { 且 } \quad \operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{n}\right) . $$ （b）．考虑如下数值指标： （i） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩 $r$ ； （ii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块个数 $m$ ； （iii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块的最大阶数 $n$ ； （iv）（a）中出现最小的 $k$ 。 讨论这些数值之间的关系，并证明你的结论。

7．（15 分）设 $V$ 是实内积空间，$\displaystyle \langle\cdot, \cdot\rangle$ 是 $V$ 上的内积，$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的可逆线性变换，且满足 $$ <\phi(\phi(x)), y>=<x, \phi(y)>, \quad \forall x, y \in V . $$ 证明：$\displaystyle \phi$ 是正交变换．

1．考虑由所有二阶复系数方阵构成的集合 $$ M_{2}(\mathbb{C})=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{C}\right\} . $$ 已知 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 是以 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为基的复线性空间，这里 $\displaystyle E_{i j}$ 是指除第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 外其余元素均为 0 的二阶方阵。设 $$ B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22} $$ （1）证明：如下映射为线性映射． $$ \begin{aligned} \varphi_{B}: M_{2}(\mathbb{C}) & \rightarrow M_{2}(\mathbb{C}) \\ X & \mapsto \varphi_{B}(X)=B X \end{aligned} $$ （2）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 在上述基下的表示矩阵； （3）分别求核空间 $\displaystyle \operatorname{Ker} \varphi_{B}$ 和像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi_{B}$ 的维数与基； （4）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 的若尔当典范形．

2．已知 $\displaystyle \mathscr{A}: U \rightarrow U$ 是西空间 $U$ 上的线性变换，且满足 $\displaystyle (v, \mathscr{A}(v)) \in \mathbb{R}, \forall v \in U$ 。证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 Hermite 变换，即 $\displaystyle (\mathscr{A}(v), w)=(v, \mathscr{A}(w)), \forall v, w \in U$ 。

5．设 $U$ 和 $V$ 是数域 $K$ 上的有限维线性空间，如果 $K$ 上的任意线性空间 $T$ 和双线性映射 $\displaystyle \sigma$ ： $\displaystyle U \times V \rightarrow T$ 满足：对 $K$ 上的任意线性空间 $W$ 以及任意双线性映射 $\displaystyle \theta: U \times V \rightarrow W$ ，都存在唯一的线性映射 $\displaystyle \varphi: T \rightarrow W$ ，使得 $\displaystyle \theta=\varphi \sigma$ ，则称 $T$ 是 $U$ 和 $V$ 的张量积．证明：张量积 $T$ 在同构意义下是唯一的。

9．实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right)$ 可以通过正交相似变换化为对角阵 $\displaystyle \_\_\_\_$

7、已知线性映射 $\varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}$ 满足 $\varphi(x, y, z, w)=(10 x-3 z+4 w, 2 x +3 y+2 w, 5 y+z+2 w,-2 x+2 y+z)$ ，则核空间 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ 的维数是

13、设 $N \in M_{n}(\mathbb{C})$ 为 $n$ 阶方阵，满足：$N^{n}=O$ ，但 $N^{n-1} \neq 0,(n \geq 2)$ ．证明：不存在 $n$ 阶复方阵 $A$ ，使得 $A^{2}=N$ ．

15、设复数域上全体二元二次型构成集合 $V$ ： $$ V=\left\{q(x, y)=c_{0} x^{2}+c_{1} x y+c_{2} y^{2} \mid c_{1}, c_{2}, c_{3} \in \mathbb{C}\right\} $$ 给定矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，考虑 $V$ 上的线性变换： $$ \varphi_{M}: V \mapsto V, q(x, y) \mapsto q(a x+b y, c x+d y) $$ （1）证明： $\operatorname{det} M$ 是 $\varphi_{M}$ 特征值，当 $M=\left(\begin{array}{cc}\mu & 1 \\ 0 & \mu\end{array}\right), \mu \in \mathbb{C}$ ，计算 $\varphi_{M}$ 属于特征值 $\operatorname{det} M$ 的所有特征向量。 （2）证明：$\varphi_{M}$ 可对角化当且仅当 $M$ 可对角化．

13．设 $A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，且 $A$ 可逆．已知存在正整数 $t$ ，使得对 $k \in\{t+1, t+2, \cdots, t+n\}, B$ 与 $A^{k}$均可交换．证明：$B$ 与 $A$ 可交换．

14．设 $V$ 是 $n \geq 2$ 维欧几里得空间，$v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in V$ ，令 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j}=\left(v_{i}, v_{j}\right)$ 是 $v_{i}$ 与 $v_{j}$的内积． （1）证明：$A$ 是半正定矩阵． （2）证明：$A$ 是正定矩阵当且仅当 $v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 构成 $V$ 的一组基。 （3）若 $\left(v_{i}, v_{i}\right)=1$ 对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，且 $\left(v_{i}, v_{j}\right)=c>0$ 对任意的 $i \neq j$ ．试求 $\operatorname{det}(A)$ ，并判断 $c$满足什么条件时，$A$ 是正定矩阵。

11．（15 分）设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性变换，证明：如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足下列条件中的任意两个，则它必满足剩余的另一个条件。 （1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 是正交变换． （2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 是对称变换． （3） $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{E}, \mathscr{E}$ 为 $V$ 上的恒等变换．

9．定义 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle f(X)=A X B, X \in P^{2 \times 2}$ ，其中，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right)$ ， $$ B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) $$ （1）求 $f$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。 （2）判断是否存在一组基，使 $f$ 在该基下的矩阵为对角阵。

2．已知 $\displaystyle V=\mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，定义 $V$ 上的变换 $T$ 满足 $\displaystyle T(A)=A+A^{\prime}, A \in V$ ． （1）证明 $T$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）写出 $T$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （3）求 $T$ 的特征值并写出特征子空间的一组基； （4）$T$ 是否可以对角化？ （5）计算 $T$ 中心化子空间的维数，即所有满足 $\displaystyle T X=X T$ 的线性变换 $X$ 所生成的线性空间的维数．

4．已知 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle h(x), f(x), g(x) \in P[x]$ 满足 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle W=\operatorname{Ker} h(\mathscr{A}), W_{1}=\operatorname{Ker} f(\mathscr{A}), W_{2}=\operatorname{Ker} g(\mathscr{A})$ ． （1）证明 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 均为 $W$ 的子空间； （2）证明 $\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

7．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是复数域上线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的一个非零向量，$\displaystyle W \subseteq V$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，若存在多项式 $\displaystyle p(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，使得 $\displaystyle p(\mathscr{A}) \alpha \in W$ ，则称 $\displaystyle p(x)$ 为 $\displaystyle \alpha$ 到 $W$ 的导向多项式，所有导向多项式中次数最低且首项系数为 1 的多项式称为极小 $\displaystyle \alpha$ 型多项式，记为 $\displaystyle m(x)$ 。 （1）证明：对任意的导向多项式 $\displaystyle p(x)$ ，均有 $\displaystyle m(x) \mid p(x)$ ； （2）证明：极小 $\displaystyle \alpha$ 型多项式存在且唯一； （3）（可能有误）若 $W$ 为 $V$ 的真子空间，则存在 $\displaystyle \alpha \notin W$ 及多项式 $\displaystyle q(x) \in \mathbb{C}[x]$ 使得 $\displaystyle q(\mathscr{A}) \alpha-c \alpha \in W$ ，其中 $\displaystyle c \in \mathbb{C}$ 为常数．

8．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 分别为对应的特征向量，若 $W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s} \in W$ ，证明 $\displaystyle \operatorname{dim} W \geq s$ ．

9．已知 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle f, g$ 为 $V$ 上的两个变换，若 $f$ 为正交变换，且对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $$ (f(\alpha), \beta)=(\alpha, g(\beta)) $$ 证明 $g$ 也是 $V$ 上的正交变换．

10．设 $f$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的对称变换，即 $\displaystyle (f(\alpha), \beta)=(\alpha, f(\beta))$ 对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ 成立．证明：$f$ 的特征值全为实数，且 $\displaystyle \min _{0 \neq \alpha \in V} \frac{(\alpha, f(\alpha))}{(\alpha, \alpha)}=\lambda_{1}$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{1}$ 为 $f$ 的最小特征值．

5．设 $V$ 是数域 $P$ 上所有二阶矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $f$ 为 $\displaystyle f(X)=X^{*}, X \in V$ ，其中 $\displaystyle X^{*}$为 $X$ 的伴随矩阵。 （1）证吅 $f$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $f$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵，并求 $V$ 的一组基，使得 $f$ 在该基下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle \Lambda$ ，并求出对角阵。

9．设 $f$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等变换，$\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid f(\alpha)=0\}, V_{2}=\{f(\beta) \mid \beta \in V\}$ ，且 $f$ 在某组基下的矩阵为 $A$ ．证明： （1）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$ ； （2）$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和； （3）$\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．

2．（20 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(B X)^{T}(B X)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ ，$a$ 为实数，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 。已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过可逆线性变换化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+0 y_{3}^{2}$ ．求 $a$ 的值，并求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化为标准形。

9．（10 分）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间，其中 $n$ 为正整数，$I$ 为 $V$ 上的恒等变换，即 $\displaystyle I(\alpha)=\alpha, \alpha \in V$ ，且 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为 $V$ 上的线性变换，若 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle I-\mathscr{A} \mathscr{B}$ 的值域， $\displaystyle V_{2}$ 为 $\displaystyle I-\mathscr{B} \mathscr{A}$ 的值域，证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}$ 。

4．$n$ 维欧氏空间 $V$ 上的变换 $f$ 满足对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，有 $$ f(\alpha)=a \alpha-b(\alpha, \eta) \eta,\|\eta\|=\sqrt{3} $$ $\displaystyle a, b$ 取何值时，$f$ 是正交变换？

7．在几何空间中，设 $O-x y z$ 为一直角坐标系， $\mathscr{A}$ 表示将空间绕 $O x$ 轴，由 $O y$ 轴向 $O z$ 轴旋转 $90^{\circ}$的线性变换，则 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

6．已知实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+4 a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+5 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3} $$ 经正交变换可化为标准型 $f=-16 y_{1}^{2}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

6．设 $W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle W_{0}=W \cap \mathcal{A}^{-1}(0)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{dim} W=\operatorname{dim} \mathcal{A} W+\operatorname{dim} W_{0}$ ．

7．二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}$ 。 （1）判断是否是正定二次型． （2）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出相应正交变换和标准形。（15分）

8．在 $\displaystyle P^{3}$ 中定义线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)$ 。 （1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵； （2）设 $\displaystyle \alpha=(1,0,-2)$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}(\alpha)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,0,1), \alpha_{2}=(0,-1,1), \alpha_{3}=(-1,0,2)$ 下的坐标． （3） $\displaystyle \mathcal{A}$ 是否可逆，若可逆，求其逆 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$

8、设数域 $\displaystyle K, M=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义在 $K$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma: \sigma(x)=M X-X M$ ， $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0, x_{i} \in K, i=1,2,3,4\right\} . $$ 是数域 $k$ 的子空间． （1）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间． （2）$\displaystyle \sigma \mid W$ 是线性变换在 $W$ 的上的限制．

10．（15 分）已知线性变换 $\displaystyle \sigma, M_{n}(\mathbb{F})$ 表示次数不大于 $n$ 的多项式。 $\displaystyle \forall f(x) \in M_{n}(\mathbb{F}), \sigma(f(x))=f(x+1)-f(x)$ ． （1）已知基 $\displaystyle \alpha_{0}=1, \alpha_{i}=\frac{x(x-1) \cdots(x-i+1)}{i!}, i=1,2, \ldots, n$ ．求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的坐标． （2）当 $\displaystyle n=3$ 时，求 $\displaystyle \sigma\left(x^{3}+2 x^{2}+3 x-1\right)$ 在 $\displaystyle \alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标．

12．（15 分） （1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，且 $\displaystyle (m, n)=d$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 到自身的一个映射，证明：如果 $\displaystyle \sigma$ 保持内积不变，即任意的 $\displaystyle \xi, \eta \in V$ ，有 $\displaystyle \langle\sigma(\xi), \sigma(\eta)\rangle= \langle\xi, \eta\rangle$ ，则 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的线性变换，从而也是正交变换． （3）设 $A$ 是一个实对称矩阵，如果以 $A$ 为矩阵的实二次型是正定的，$A$ 是正定的．证明：若 $A$ 是正定的，则 $A$ 可逆且可逆矩阵也是正定的．

八．（15 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ．证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 的特征值为 1 或 0 ． （2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ．

3．若 $x^{2}-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，求 $r(A+E)+r(A-E)$ ，其中 $E$ 是单位矩阵， $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩．（15 分）

1．证明方程组的系数矩阵 $A$ 的秩为 2 ；

1．求 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,0)^{T}, \varepsilon_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ 。（＂$T$＂表示转置，以下各题相同）．

八．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle U, W$ 是 $V$ 的两个子空间，并且 $\displaystyle V=U \oplus W$ ．任给 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} \in V$ ，其中 $\displaystyle \alpha_{1} \in U, \alpha_{2} \in W$ ，令 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha_{1}$ ．记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}, \operatorname{Im} \sigma=\{\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ．证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ； （2） $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=W, \operatorname{Im} \sigma=U$ ； （3）$\displaystyle \sigma$ 可对角化．

四．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ ，且 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(0,-1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(1,1+a, 0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1, a-1,1)^{T} . $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=(1,0,0)^{T}, \eta_{2}=(0,1,0)^{T}, \eta_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ ； （2）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值； （3）当 $\displaystyle a=2$ 时，求一多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(A)=A^{-1}$ ．

3．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$下的矩阵为 $A$ ，且 $\displaystyle \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(1,0,0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(0,1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1,1+a, a)^{T}$ ． （1）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值． （2）当 $\displaystyle a=2$ 时，求 $\displaystyle A^{2023}$ ．

8．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，多项式 $\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ， $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \mid \alpha \in V, \sigma(\alpha)=0\}$ ．证明： （1） $\displaystyle \operatorname{Ker} h(\sigma)=\operatorname{Ker} f(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} g(\sigma)$ ． （2） $\displaystyle \operatorname{dimKer} \sigma+\operatorname{dimKer} \sigma^{3} \leq 2 \operatorname{dimKer} \sigma^{2}$ ．

7．已知线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}(X)=A X B$ ，其中 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，$A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{i}, B$ 的特征值为 $\displaystyle \mu_{j}$ ．证明： （1）$\displaystyle \lambda_{i} \mu_{j}$ 为 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值． （2）存在正整数 $k$ 使得 $\displaystyle \mathscr{T}^{k}=\mathscr{O}$ 等价于存在正整数 $s$ 使得 $\displaystyle A^{s}=O$ 或 $\displaystyle B^{s}=O$ ．

2．$\left|\begin{array}{lllll}1 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ 3 & 2 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ 3 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} \\ 3 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & n\end{array}\right|\left(\begin{array}{ll}n^{3} & 2\end{array}\right)$（注：对角线上元素分别为 $1,2, \mathrm{~L} n$, 其余元素为 3）

七（20分）、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是四维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $f$ 在这组基下的矩阵为 $$ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & -2 \end{array}\right) $$ 求 （1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵 （2）求线性变换 f 的核和值域

九（20 分）、设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle f, g$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $f$ 有 $n$ 个互异的特征根，证明 $\displaystyle \mathrm{fg}=\mathrm{gf}$ 当且仅当 g 是 $\displaystyle \mathrm{f}^{0}=\mathrm{I}, \mathrm{f}, \mathrm{f}^{2}, \cdots, \mathrm{f}^{\mathrm{n}-1}$ 的线性组合

三、 元素属于实数域 R 的 2 阶方阵按矩阵的加法与数量乘法构成 R 上的一个线性空间 $\displaystyle M_{2}(R)$ ，令 $\displaystyle H=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right)$ ，定义变换 $\displaystyle \delta(A)=A H-H A, A \in M_{2}(R)$ 为其上的线性变换，求 $\displaystyle \delta$ 的核的维数和一组基。（20分）

二、 试化二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 \sqrt{2} x_{1} x_{3}$ 为标准型，并求出变到标准型的正交变换 （20分）

3．（15 分）已知 $\displaystyle \eta_{1}=(-1,0,2), \eta_{2}=(0,1,1), \eta_{3}=(3,-1,0)$ 。 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle P^{3}$ 中的线性变换，且 $\displaystyle \mathbf{A} \eta_{1}=(-5,0,3), \mathbf{A} \eta_{2}=(0,-1,6), \mathbf{A} \eta_{3}=(-5,-1,9)$ 。求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0)$ ， $\displaystyle \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵。

9．（15分）设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是四维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $f$ 在这组基下的矩 阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ， 求：（1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵 （2）求线性变换 f 的核和值域。

七、（20分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明： （1）$\displaystyle \sigma^{-1}(0)=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ； （2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ； （3）如果 $\displaystyle \tau$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma^{-1}(0), \sigma(V)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，则有 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．

八、（20 分）设 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式相同，求证 $\displaystyle \exists \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha, \mathbf{A} \alpha, \mathbf{A}^{2} \alpha, \cdots, \mathbf{A}^{n-1} \alpha$ 是 $V$ 的一个基．

四、（20分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换 $$ \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) \text {, 其中 } B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ 与线性子空间 $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathbf{K}\right\} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。

六、（20 分）已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且两两可互相交换，并有 $\displaystyle A C+B D=E$ ，这里 $E$ 是单位变换，证明 $$ \operatorname{ker}(A B)=\operatorname{ker} A \oplus \operatorname{ker} B $$

七、（20 分）设 $\displaystyle \tau_{1}, \tau_{2}, \ldots, \tau_{n}$ 为实数域上的线性空间 $V$ 上的非零线性变换，则存在向量 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \tau_{i}(\alpha) \neq 0(i=1,2, \ldots, n)$.

四、（20分）设 $\displaystyle \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 为 $\displaystyle \tau$ 的两两不同的特征根，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}$ 分别为属于特征根 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 的特征向量，若 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{m} \in W$ ，求证：$\displaystyle \alpha_{i} \in W(i=1,2, \ldots, m)$ ．

三、（本题20分）已知3维线性空间 $V$ 有两组基： （I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$ （II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$ （1）求（I）到（II）的过渡矩阵； （2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标； （3）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为： $\displaystyle \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（I）、（II）的矩阵。

五、（本题 20 分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换 $$ \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) $$ 其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，线性子空间 $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。

四、（本题 20 分）求一个正交变换化下列二次型为标准形： $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3} $$

5、子空间的正交补

九、（15 分）已知线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在一组基下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4\end{array}\right)$ ，求复数域上线性空间 $V$ 的线 性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值与特征向量。

十、（ 15 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是线性变换 $A$ 的两个不同特征值，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 是分别属于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的特征向量，（1） 证明：$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 线性无关；（2）证明：$\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$ 不是 $A$ 的特征向量．

七、（15 分） 已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换及线性子空间 $W$ 如下： $$ \begin{gathered} \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}), \quad \text { 其中 } B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \\ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\}, \end{gathered} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间。

九、（20分） 已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且两两可互相交换，并有 $\displaystyle A C+B D=E$ ，这里 $E$ 是单位变换，证明： $\displaystyle \operatorname{ker}(A B)=\operatorname{ker} A \oplus \operatorname{ker} B$ ．

五、（20分） 已知3维线性空间 $V$ 有两组基： （I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\}$ ； （II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{3}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{1}\right\}$ （1）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,1,-1)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标； （2）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}: \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（II）的矩阵 $P$ 。

九、（20分） 设 $A$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle A^{2}=I$（单位变换），令 $$ V_{1}=\{x \mid x \in V, A x=x\}, \quad V_{2}=\{x \mid x \in V, A x=-x\}, $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

七、（20分） 设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，记 $$ W=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\} $$ （1）证明 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)=W$ ； （2）证明 $\displaystyle V=W \oplus \sigma(V)$ ．

七、（15 分） 设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，且 $$ \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} . $$ （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是可逆线性变换； （2）求 $\displaystyle 2 \sigma-\sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵。

九、（15 分） 设 $\displaystyle V=C^{4}$（ $C$ 为复数域），$f$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ 是 $V$ 的一组基，而 $$ \begin{aligned} & f\left(e_{1}\right)=e_{1}+2 e_{2}+6 e_{3}+7 e_{4}, f\left(e_{2}\right)=-2 e_{1}-4 e_{2}-12 e_{3}-14 e_{4}, \\ & f\left(e_{3}\right)=3 e_{1}+5 e_{2}+17 e_{3}+18 e_{4}, f\left(e_{4}\right)=-4 e_{1}+7 e_{2}-9 e_{3}+17 e_{4}, \end{aligned} $$ 求 $f$ 的核 $\displaystyle f^{-1}(0)$ 的一组基和维数．

十、（15 分） 已知矩阵空间 $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 的子空间 $$ W=\left\{\left.X=\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right] \right\rvert\, x_{3}-x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\} . $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的内积为 $$ (A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}\left(\forall A=\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right) \in R^{2 \times 2}\right), $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的线性变换为 $\displaystyle \sigma(X)=X B\left(\forall X \in R^{2 \times 2}, B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\right)$ ． （1）证明：求子空间 $W$ 的一组标准正交基； （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \sigma$ 看作是 $W$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $W$ 上的对称变换； （4）求 $W$ 的一组标准正交基，使 $\displaystyle \sigma$ 在该组基下的矩阵为对角矩阵。

七、（15分） 已知线性空间 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的两个线性变换： $$ \sigma(X)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{array}\right) X, \quad \tau(X)=X\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right), \quad\left(\forall X \in P^{2 \times 2}\right), $$ （1）求 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （2）判断 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 是否可逆．

九、（15 分） 设二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{\mathrm{T}} A X=a x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3} \quad(b>0), $$ 其中二次型的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为－ 12 ． （1）求 $a$ 和 $b$ 的值； （2）利用正交变换将二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

八、（15 分） 设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 3 维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], $$ 求 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ ．

七、（15 分） 设 $\displaystyle R^{2}$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma_{1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle \sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \sigma_{1}+\sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵； （2）求 $\displaystyle \sigma_{1} \sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵； （3）设 $\displaystyle \xi=(3,3)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\displaystyle \sigma_{1}(\xi)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标； （4）求 $\displaystyle \sigma_{2}(\xi)$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标．

九、（15 分） （1）已知 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), $$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的一组基，将 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 转换为正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ ；若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), $$ 求 $\displaystyle \sigma$ 在正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵； （2）设 $V$ 是有限维欧式空间，内积记为 $\displaystyle (\alpha, \beta)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个正交变换，记 $$ V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}, $$ $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $V$ 的子空间，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

五、（15 分） 已知二次曲面 $$ x^{2}+a y^{2}+z^{2}+2 b x y+2 x z+2 y z=4 $$ 可以经过正交变换 $$ \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l} \xi \\ \eta \\ \zeta \end{array}\right) $$ 化为椭圆柱面方程 $\displaystyle \eta^{2}+4 \zeta^{2}=4$ ，求 $\displaystyle a, b$ 的值和正交矩阵 $P$ ．

八、（15 分） 设 $V$ 是全体实 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵所构成的实线性空间，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，定义 $V$ 的变换 $$ \sigma x=A x, \quad \forall x \in V, $$ （1）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 是线性的； （2）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 可逆 ⇔ 矩阵 $A$ 可逆； （3）当 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -4\end{array}\right)$ 时，求 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 和 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 及它们的一组基．

6．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $V$ 的 $\mathscr{A}-$ 子空间，已知 $\mathscr{A}$ 有 $k$ 个互异的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k}$ ，相应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{k}$ ，证明：若 $\xi_{1}+\xi_{2}+\cdots+\xi_{k} \in W$ ，则 $\operatorname{dim} W \geq k$ ．

8．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 12 & 2022 \\ 0 & 0 & 25 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，证明：矩阵方程 $X^{2}=A$ 无解，其中 $X \in \mathbb{C}^{3 \times 3}$ ．

1．已知 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为一个 $n$ 阶实矩阵，对角元 $a_{i i}=a>0(i=1,2, \cdots, n)$ ，且对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，有 $\sum_{j=1}^{n}\left(\left|a_{i j}\right|+\left|a_{j i}\right|\right)<4 a$ ．设二次型 $f=X^{T} A X$ ，其中 $X$ 为实 $n$ 维列向量． （1）求二次型 $f$ 的矩阵 $B=\left(b_{i j}\right)$ ； （2）证明：$b_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|b_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ； （3）证明：$f$ 是正定二次型．

6．设 $f(x), g(x)$ 为数域 $P$ 上的多项式，并且满足 $(f(x), g(x))=1$ ．设 $V, V_{1}, V_{2}$ 分别是 $f(A) g(A) X=0$ ， $f(A) X=0, g(A) X=0$ 的解空间．证明：$V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

1．已知 $X, Y$ 为三维列向量，$A=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实对称矩阵． （1）（10 分）对任意的实数 $a$ ，证明：$\left|\begin{array}{cc}a & X^{T} \\ Y & A\end{array}\right|=a|A|-X^{T} A^{*} Y$ ． （2）（10 分）已知 $A$ 的所有特征值的和为 $1, A$ 的所有特征值的积为 -12 ，并且 $(1,0,-2)^{T}$ 为 $\left(A^{*}-4 E\right) X=0$ 的解．对于下列四元二次型，用正交替换化为标准形． $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left|\begin{array}{cccc} x_{1}^{2} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ -x_{2} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ -x_{3} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ -x_{4} & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| $$

2．对于 $n$ 阶实矩阵 $A$ 及任意的 $n$ 维列向量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ ，且 $X_{n} \neq 0$ ，满足 $$ A X_{1}=X_{2}, A X_{2}=X_{3}, \cdots, A X_{n-1}=X_{n}, A X_{n}=0 $$ 证明： （1）（8 分）$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关． （2）（ 8 分）求 $A$ 的所有特征值及特征向量． （3）（ 4 分）$A$ 是否可以对角化？为什么？

3．设 $A$ 是实反称矩阵，证明：$E+A$ 可逆，且 $Q=(E-A)(E+A)^{-1}$ 为 $|Q|=1$ 的正交矩阵．

8．设 $A$ 是实矩阵，其特征值均为实数，证明：存在正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T$ 为上三角矩阵。

3．设 $a<0, X$ 为 $n-1$ 维实列向量，$B$ 是 $n-1$ 阶正定矩阵，证明：$A=\left(\begin{array}{cc}a & X^{\mathrm{T}} \\ X & B\end{array}\right)$ 的正惯性指数为 $n-1$ ．

7．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\mathscr{A}$ 存在 $n$ 个不同的特征值，证明： $\mathscr{A}$ 有且仅有 $2^{n}$ 个不变子空间。

1．设 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j}=\min \{i, j\}, 1 \leq i, j \leq n$ ． （1）计算 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式． （2）证明：$A$ 正定．

1、设 $\displaystyle \mathscr{A}(\alpha)=\alpha-k(\alpha, \varepsilon) \varepsilon, k$ 为常数，$\displaystyle \varepsilon$ 为单位列问量，若 $\displaystyle \Omega$ 是正交变换，求 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=J$ ．

5．设 $A$ 为 $n$ 阶可逆复矩阵，记 $A=\left(\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{array}\right)$ ，其中 $A_{11}$ 为 $m \times(n-m)$ 型矩阵 $(1<m<n)$ ，若 $A_{21}$ 在 $A$ 中所有到代数余子式全为 0 ，证明：$n \leq 2 m$ ．

三、已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=3 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+3 a x_{2} x_{3}, a>0$ ，通过正交变换将 $f$ 化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$ ，求 $a$ 及所用的正交变换．

九、设 $A$ 为 $n$ 维欧氏空间上的线性变换，$W$ 为 $A$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$也是 $A$ 的不变子空间．

八、设 $\displaystyle P^{n \times n}$ 为数域 $P$ 上全体 $n$ 阶方阵组成的线性空间，$\displaystyle A, B$ 为两个 $n$ 阶方阵，定义 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的变换 $\displaystyle \varphi(X)=A X B, X \in P^{n \times n}$ ，求证： （1）$A$ 为 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的线性变换； （2）$\displaystyle \varphi$ 是可逆变换当且仅当 $\displaystyle A, B$ 都是可逆矩阵．

4．若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 可由正交变换 $\displaystyle X=T Y$化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4 y_{3}^{2}$ ，求 $\displaystyle a, b$ 及所用的正交变换．

6．设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的全体 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵组成的线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的变换，且 $$ \varphi(x)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right) x, x \in V $$ 完成下列问题： （1）证明 $\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （3）求 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi$ 的一组基和维数； （4）求 $\displaystyle \operatorname{ker} \varphi$ 的一组基和维数．

7．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{ker} \phi$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi^{2}$.

8．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $\displaystyle f_{\varphi}(x)=(x+1)^{3}(x-2)^{2}(x+3)$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式，$\displaystyle m_{\varphi}(x)=(x+1)^{2}(x-2)(x+3)$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的极小多项式． （1）求 $\displaystyle \varphi$ 的不变因子； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 的 Jordan 标准型．

三．设 $\displaystyle u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$ 和 $\displaystyle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 是内积空间 $V$ 的两组规范正交基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个等距变换，并且 $\displaystyle \left[\sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)\right]=\left[v_{1}, v_{2}\right]$ ，即 $\displaystyle \sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)$ 生成的子空间与 $\displaystyle v_{1}, v_{2}$ 生成的子空间相等．证明： $$ \left[\sigma\left(u_{3}\right), \sigma\left(u_{4}\right), \cdots, \sigma\left(u_{n}\right)\right]=\left[v_{3}, v_{4}, \cdots, v_{n}\right] $$

8．（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换． （1）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可同时对角化，则 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换； （2）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换，则 $\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

七．（20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 和 $\displaystyle \tau$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的两个线性变换，$\displaystyle \sigma$ 在数域 $P$ 上有 $n$ 个互不相同的特征值，证明：$\displaystyle \sigma$ 的特征向量都是 $\displaystyle \tau$ 的特征向量的充要必要条件是 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．

八．（20 分）设 $V$ 是复数域上的一个 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明： （1）若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征值，则特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的一个不变子空间． （2）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

7．（20分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 3 维线性空间，线性变换 $\displaystyle f: V \rightarrow V$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 6 & -15 \\ 1 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & -4 \end{array}\right) $$ 问 $f$ 可否在 $V$ 的某个基下的矩阵为 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 3 \\ -2 & -6 & 13 \\ -1 & -4 & 8\end{array}\right)$ ，为什么？

七．（15 分）设 $V$ 是数域上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle \sigma(V)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的值域，$\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的核．证明： （1）维 $\displaystyle \left(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)\right) \geq \frac{n}{2}$ ． （2）维 $\displaystyle \left(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)\right)=\frac{n}{2}$ 当且仅当 $\displaystyle \sigma(V)=\sigma^{-1}(0)$ ．

7．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是数域 $P$ 上 4 维线性空间 $V$ 的一组基，线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在这组基下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 3 & 4 & 2 \\ -2 & 5 & 1 & 3 \\ -6 & 17 & 9 & 11 \\ -7 & 18 & -17 & 11 \end{array}\right) . $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的核及其一组基． （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的值域及其一组基．

8．设 $\displaystyle \eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个单位向量，定义变换 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha-2(\alpha, \eta) \eta$ ． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是正交变换． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的任意一组标准正交基下的矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle |A|=-1$ ．

2．已知 $n$（自然数 $n \geq 1$ ）阶方阵 $J$ 的所有元素都是 $-1, A=\left(a_{i j}\right)$ 中除了 $\left(a_{m}\right.$ 外，所有元素 $a_{i j}=0$ 。如果 $J$ 和 $A$ 相似，则 $a_{m}=$ $\_\_\_\_$

4．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), T=\{B \mid A B=B A\}$ ，其中 $B$ 为 3 阶实方阵，$T$ 关于矩阵加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$

5．设 $D_{n}=\left|a_{i j}\right|$ 是 $n$ 阶行列式，其中 $a_{i i}=2, a_{i, i+1}=a_{i+1, i}=-1, i=1,2, \cdots, n-1$ ，则 $D_{n}=$ $\_\_\_\_$ （写出具体表达式）

2．秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，则行列式 $|A+E|=$（ （A）$(-1)^{r} 3^{r}$ （B） $3^{r}$ （C）$(-1)^{r} 2^{r}$ （D） $2^{r}$

1．设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵，B为 $n \times m$ 型矩阵，其中 $m<n$ ，若 $A B=E_{m}$ ，则（ （A）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=m$ ； （B）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=n$ ； （C）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=m$ ； （D）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=n$ ．

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

4．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ 的特征值为 $\lambda_{4}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$ （4） $\_\_\_\_$

4．设矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & 4 & 0\end{array}\right)$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}+\lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$ （4） $\_\_\_\_$

二．（20 分）设 $V$ 为实数域上的全体 $n$ 阶方阵在通常的运算下松成的线性空间。 $\displaystyle \sigma$为 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\displaystyle A \in V, \sigma(A)=A^{T}$ 。 （1）求 $\displaystyle \sigma$ 的特征值；（2）对于每一个特征值，求其特咙字空间； （3）证明 $V$ 恰为 $\displaystyle \sigma$ 的所有特征子空间的直和。

六．（共 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换。证明： （1）存在正整数 $k$ ，使得对所有 $\displaystyle l>k$ 有 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(\sigma^{l}\right)=\operatorname{ker}\left(\sigma^{k}\right)$ ； （2）$\displaystyle \sigma$ 的秩与 $\displaystyle \sigma^{2}$ 的秩相等的充分必要条件是 $\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \operatorname{ker}(\sigma)$ 。

2．（20分）$A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\prime} & c\end{array}\right)$ 正定，$B$ 为 $n \times 1$ 阶矩阵，$c$ 为常数。证明： $$ \left|\begin{array}{cc} A & B \\ B^{\prime} & c \end{array}\right| \leq c|A| $$ 等号成立时当且仅当 $B=O$ ．

3．（20分）设 $\eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的一个单位向量，定义 $\mathscr{A}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta$ 为镜面反射。 （1）证明 $\mathscr{A}$ 是一个正交变换，求 $\mathscr{A}$ 的一组标准正交基，并并求 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵。 （2）如果 $n$ 维欧氏空间中，正交变换 $\mathscr{A}$ 以 1 作为特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 $V_{1}$ 的维数为 $n-1$ ，则 $\mathscr{A}$ 一定为镜面反射。

4．（20分）在线性空间 $V$ 中，有线性变换 $\sigma, \tau, \nu$ ．且 $\nu \tau-\tau \nu=\sigma$ ．证明： （1）$\nu \tau^{k}-\tau^{k} \nu=k \tau^{k-1} \sigma$ ． （2）存在正整数 $m$ ，使得 $\sigma^{m}=0$ ．

1．求 $\beta$ 的值．

2．求一个正交线性替换 $X=T Y$ ，将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并求此标准形．

2．若 $A$ 是数域 $P$ 上 $r \times n$ 矩阵，$B$ 是 $P$ 上 $(n-r) \times n$ 矩阵，且分块矩阵 $\binom{A}{B}$ 是非奇异矩阵，则 $n$ 维线性空间 $P^{n}=\left\{X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{\prime} \mid x_{i} \in P\right\}$ 是齐次线性方程组 $A X=0$ 的解子空间 $V_{1}$ 与 $B X=0$ 的解子空间 $V_{2}$ 的直和，即 $P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

1．秩 $\left(A^{n}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+1}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+2}\right)=\cdots$ ．

七．已知 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，且 $\displaystyle \sigma^{m}=\mathrm{id}_{V}$ ，其中 $\displaystyle m>1$ 为正整数， $\displaystyle \mathrm{id}_{V}$ 为 $V$ 上的恒等变换． （1）证明 $\displaystyle V_{\sigma}=\{u \in V \mid \sigma(u)=u\}$ 为 $V$ 的子空间，并称其为 $V$ 的不动子空间； （2）对任意的 $\displaystyle u \in V$ ，其在 $\displaystyle V_{\sigma}$ 上的正交投影为 $\displaystyle \bar{u}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(u)$ ； （3）证明 $\displaystyle V_{\sigma}$ 的维数等于 $\displaystyle \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}$ 的迹． ## （第三、四、六题回忆数据可能不准，11月份之前会根据官方修订真题）

五．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的不可逆且非零的线性变换，$A$ 为 $\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵．证明： （1）存在 $\displaystyle m>1$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma^{m} \oplus \operatorname{Ker} \sigma^{m}$ ； （2）$A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 为可逆矩阵，$C$ 为幂零矩阵．

4．（20分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基．用 $\displaystyle V_{1}$ 表示 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$生成的子空间，令 $\displaystyle V_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in F\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ； （2）设 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵 $A$ 是置换矩阵（即 $A$ 每行每列只有一个元素为 1 ，其余元素为 0 ），证明：$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。

5．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $V$ 的一组标准正交基．End $\displaystyle (V)$ 表示 $V$ 上全体线性变换构成的线性空间。定义 $\displaystyle \langle\sigma, \tau\rangle=\sum_{i=1}^{n}\left(\sigma\left(\varepsilon_{i}\right), \tau\left(\varepsilon_{i}\right)\right)$ ，其中 $\displaystyle \sigma, \tau \in \operatorname{End}(V), ~(, ~)$ 为 $V$ 上的内积． （1）证明 〈 ，〉为 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 上的内积； （2）求 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 的一组标准正交基．

7．（30 分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间．$\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$ 都是 $V$ 上的非零线性变换． $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma$ 表示线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的秩。 （1）证明：存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \sigma_{i}(\alpha) \neq 0, i=1,2, \cdots, s$ ； （2）令 $\displaystyle \sigma=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\cdots+\sigma_{s}$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是幂等变换且 $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma=\sum_{i=1}^{s} \operatorname{rank} \sigma_{i}$ 的充要条件为 $\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$都是幂等变换，且 $\displaystyle \sigma_{i} \sigma_{j}=0(i \neq j)$ ．

1、求 $x, y$ 的值．

2、求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ，使得 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵．

3、求 $A^{n}$ ，其中 $n$ 是正整数．

7、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的线性变换，若对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，都有 $$ (\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta)), $$ 则称 $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭，证明： （1） $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭的充分必要条件是两者在同一组标准正交基下的矩阵互为转置． （2）若 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \tau$ 的共轭，则 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma=(\operatorname{Ker} \tau)^{\perp}$ ．

6．记 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的全体 $\displaystyle 2 \times 2$ 阶矩阵构成的线性空间，定义 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma(X)=A X$ ，对任意的 $\displaystyle X \in \mathbb{C}^{2 \times 2}, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的矩阵。 （2）求 $\displaystyle \sigma$ 的值域的维数和一组基以及 $\displaystyle \sigma$ 的核的维数和一组基．

八、（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是有限维线性空间 V 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：$\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$当且仅当 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma(\mathrm{V})$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间。

六、（15分）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个线性变换，满足 $\displaystyle \alpha+\beta=\varepsilon, \alpha \beta =\beta d=0$ ，这里 $\displaystyle \varepsilon, 0$ 分别为单位变换和零变换。证明： （1） $\displaystyle \mathrm{V}=\alpha \mathrm{V} \oplus \beta \mathrm{V}$ ， （2）$\displaystyle \alpha V=\beta^{-1}(0)$ ． 这里 $\displaystyle \alpha V, \beta V$ 分别表示 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值域，$\displaystyle \beta^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \beta$ 的核。

3．设 $A, B$ 分别为 $n \times m$ 和 $m \times n$ 矩阵，若 $r(A B)=n$ ，则 $r(B A)=$ $\_\_\_\_$。

8．设 $$ F[x]_{n}=\left\{a_{n} x^{n}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \mid a_{n}, \cdots, a_{1}, a_{0} \in F\right\} $$ 求线性变换 $\mathscr{D}: F[x]_{n} \rightarrow F[x]_{n}, \mathscr{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$ 的特征多项式和所有特征值．

9．设 $\alpha$ 为 $n$ 维实单位列向量，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，求 $E-\alpha \alpha^{T}$ 的秩并说明理由．

17．设 $\varphi, \psi$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\varphi^{2}=\varphi$ ．证明： （1） $\operatorname{Ker} \varphi=\{\alpha-\varphi(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ． （2） $\operatorname{Ker} \varphi, \operatorname{Im} \varphi$ 均是 $\psi$－不变子空间的充分必要条件是 $\psi \varphi=\varphi \psi$ 。

9．（5 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，试问：$A B$ 是否必为正定矩阵？若是，请说明理由；若否，请给出反例．

10．（5 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶实方阵，且存在 $n$ 阶复可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1} A P$ ，试问：是否存在 $n$ 阶实可逆矩阵 $Q$ 使得 $B=Q^{-1} A Q$ ？若是，请说明理由；若否，请给出反例．

3．$V=\operatorname{ker}(\sigma) \oplus \operatorname{Im}(\sigma)$ ．

四．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，$A$ 可逆，且满足 $\displaystyle 2 A^{-1} B=B-4 E$ ．证明：$\displaystyle A-2 E$ 可逆，并求其逆矩阵。 五。设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X=a x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 b x_{1} x_{3}$ ，其中，$\displaystyle b>0$ ，且 $A$的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ． 1．求参数 $\displaystyle a, b$ 的值； 2．利用正交变换将二次型化成标准型，并写出所用的正交变换．

八、（15分）设 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $Q$ 在基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 2 & -3 & -1\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。 （2）求 $a$ 满足什么条件时？佮好有 3 个 1 维不变子空间。

2、（4分）将 $f(x)$ 分解为实数域上不可约多项式乘积．

2、（10 分）求 $D_{n}$ ，其中 $n \geq 4$ ．

7、（15 分）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}-2 x_{1} x_{3}$ ，用正交变换化为标准型．

6．已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ 在正交变换 $\displaystyle x=Q y$ 的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $Q$ 的第 3 列列向量为 $\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{T}$ ，求正交矩阵 $Q$ 。

8．设 $A$ 为欧式空间 $V$ 上的对称变换。证明：$\displaystyle (A V)^{\perp}=\operatorname{ker} A$ 。

1．若 $p(x)$ 是不可约多项式且 $p^{5}(x) \mid f^{2}(x)$ ，是否一定有：$p^{3}(x) \mid f(x)$ ，为什么？

2．若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则 $A+B, A B, A^{-1}$ 中哪些必是正交矩阵，为什么？

12．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle u \in V$ ，且 $\displaystyle u, \mathscr{A}^{\prime} u, \mathscr{A}^{2} u, \cdots, \mathscr{A}^{n-1} u$ 构成 $V$的一组基，记 $\displaystyle L(V)$ 是 $V$ 上所有线性变换的集合． （1）记 $\displaystyle C(\mathscr{A})=\{\mathscr{B} \in L(V) \mid \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}\}$ ，证明：$\displaystyle C(\mathscr{A})$ 为线性空间． （2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} C(\mathscr{A})=n$ ． （3）证明：若 $\displaystyle \mathscr{B} \in C(\mathscr{A})$ ，则存在 $\displaystyle f(x) \in P[x]$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{B}=f(\mathscr{A})$ ．

2．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle f(t), g(t)$ 是两个多项式，$\displaystyle h(t)=f(t) g(t)$ ，问什么情况下，有 $\displaystyle f(\mathscr{A}) V \cap g(\mathscr{A}) V=h(\mathscr{A}) V$ ．

3．若 3 阶非零方阵的所有二阶余子式均等于 0 ，那么其秩是多少？为什么？

12．设 $A$ 为 2026 阶非零实矩阵，且 $A$ 的伴随矩阵与其转置矩阵相等，证明：$A$ 是行列式为 1 的正交矩阵。

七．在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中，$\displaystyle \gamma$ 是非零向量，定义 $V$ 中线性变换 $$ W_{0}=\{x \mid(x, \gamma)=0, x \in V\} . \quad A x=x-\frac{2(x, \gamma)}{(\gamma, \gamma)} \gamma, \forall x \in V . $$ （1）证明 $\displaystyle W_{0}$ 是 $A$ 的不变子空间，并求 $\displaystyle W_{0}$ 的维数． （2）若 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，证明：$\displaystyle \gamma \in W$ 或 $\displaystyle W \subset W_{0}$ ．

六．$\displaystyle f(x) \in \mathbb{P}[x], x_{1}, x_{2} \in \mathbb{P}$ 是二次多项式 $\displaystyle f(x)$ 的两个不同根，对数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的线性空间 $V$ 上的非数乘线性变换 $A$ 有 $\displaystyle f(A)=0$ 。 （1）证明：$\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $A$ 的特征值； （2）证明：$\displaystyle V=V_{x_{1}} \oplus V_{x_{2}}$ ．

四．$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，二次型 $\displaystyle f(X)$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B^{T} \\ B & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明：$\displaystyle B^{T} A^{-1} B$ 是正定矩阵； （2）求 $f$ 的正负惯性指数。 五。 $V$ 是有限维实线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换存在复数 $\displaystyle a+b i(b \neq 0)$ 对 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(x)$有 $\displaystyle f(a+b i)=0$ ，证明：$V$ 上存在二维了空间 $W$ ，使得 $\displaystyle A(W) \subset W$ ．

7．（20 分）设 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}, \mathscr{A}_{2}, \cdots, \mathscr{A}_{m}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的 $m$ 个线性变换，且满足： （1） $\displaystyle \mathscr{A}_{i}^{2}=\mathscr{A}_{i}, i=1,2, \cdots, m$ ． （2） $\displaystyle \mathscr{A}_{i} \mathscr{A}_{j}=\mathscr{O}, \forall i \neq j$ ． （3） $\displaystyle \mathscr{A}_{1}^{-1}(0) \cap \mathscr{A}_{2}^{-1}(0) \cap \cdots \cap \mathscr{A}_{m}^{-1}(0)=\{0\}$ ． 证明：$\displaystyle V=\mathscr{A}_{1}(V) \oplus \mathscr{A}_{2}(V) \oplus \cdots \oplus \mathscr{A}_{m}(V)$ ．

7．（20分）设 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}, \mathscr{A}_{2}, \cdots, \mathscr{A}_{m}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的 $m$ 个线性变换，且满足： （1） $\displaystyle \mathscr{A}_{i}^{2}=\mathscr{A}_{i}, i=1,2, \cdots, m$ ． （2） $\displaystyle \mathscr{A}_{i} \mathscr{A}_{j}=\mathscr{O}, \forall i \neq j$ ． （3） $\displaystyle \mathscr{A}_{1}^{-1}(0) \cap \mathscr{A}_{2}^{-1}(0) \cap \cdots \cap \mathscr{A}_{m}^{-1}(0)=\{0\}$ ． 证明：$\displaystyle V=\mathscr{A}_{1}(V) \oplus \mathscr{A}_{2}(V) \oplus \cdots \oplus \mathscr{A}_{m}(V)$ ．

8、（20分）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的两个子空间，且 $$ \operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n . $$ 证明：存在 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \because$ ，使得 $\displaystyle \because V=V_{1}, r^{-1}(0)=V_{2}$ 。

7．（20 分）设 $\displaystyle n \geq 2, V=F^{n \times n}$ 为数域 $F$ 上 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的一个线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}: X \rightarrow X^{\mathrm{T}}, \forall X \in F^{n \times n}$ 。 （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值和特征向量． （2）判断 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是否可以对角化？并说明理由．

8．（20分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，且 $V$ 上线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示为 $$ A=\left(\begin{array}{cccccc} \lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda \end{array}\right) $$ 证明： （1）$V$ 是仅有的包含 $\displaystyle \alpha_{1}$ 的 $\displaystyle \sigma$ 不变子空间． （2）$\displaystyle \sigma$ 的任意不变子空间必包含 $\displaystyle \alpha_{n}$ ．（应该指明非零不变子空间） （3）每个子空间 $\displaystyle V_{i}=L\left(\alpha_{n-i+1}, \cdots, \alpha_{n}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 为 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha \in V_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle (\sigma-\lambda \varepsilon)^{i} \alpha=0$ ，其中 $\displaystyle \varepsilon$ 为恒等变换．

9．设 $A$ 是一个秩为 3 的四阶矩阵，$A$ 的对角元的代数余子式分别为 $1,-2,3,-4$ ，则 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 的特征值为 $\_\_\_\_$

七、（15 分） 设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的正交变换，记 $$ V_{1}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\} $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

4．设 $V$ 是 3 维欧氏空间，其一组基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的度量矩阵为 $$ \left(\begin{array}{lll} 5 & a & 4 \\ a & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \end{array}\right) $$ （1）求 $a$ 的值． （2）求该欧氏空间的一组标准正交基．

5．（15 分）设 $U=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 为欧式空间，其中 $\alpha_{1}=(1,1,2,1)^{\prime}, \alpha_{2}=(1,0,0,-2)^{\prime}$ ，定义 $U$上的内积为 $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\alpha_{1}{ }^{\prime} \alpha_{2}$ ．求 $\operatorname{dim} U^{\perp}$ 和 $U^{\perp}$ 的一个标准正交基．

7．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)(n \geq 3)$ ． （1）证明：$A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ． （2）证明：$A^{100}-E$ 不是零矩阵。

10．（15分）设 $A, B$ 都为 $n$ 阶方阵。 （1）证明：$A B, B A$ 有相同的特征值． （2）证明：不存在矩阵 $A, B$ ，使得 $A^{2}=A B+B^{2}$ ．

1．求实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}-x_{2} x_{3}+x_{4}^{2}-2 x_{4} x_{5}$ 的正惯性指数和负惯性指数．

2．设 $\mathscr{T}$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换，其特征多项式为 $f(x)=x^{4}-x^{3}+x-1$ ，求 $\mathscr{T}$ 的极小多项式．

1．设 $A, B \in M_{m \times n}(\mathbb{F})$ ，证明：$(m+n) \times(m+n)$ 型矩阵 $\left(\begin{array}{cc}O & A \\ O & O\end{array}\right)$ 与 $\left(\begin{array}{cc}O & B \\ O & O\end{array}\right)$ 相似当且仅当 $A$ 与 $B$ 秩相等．

6．设 $A, B$ 都是 $n$ 阶方阵，且 $|A|=2,|B|=3$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

10．设 $\alpha_{1}=(1,1,1,2)^{T}, \alpha_{2}=(4,6,2 a+7,10)^{T}, \alpha_{3}=(3, a+4,2 a+5, a+7)^{T}, \beta=(2,3,2 a+3,5)^{T}$ ，若 $\beta$ 不能用 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

六．（15 分）设 $\displaystyle \Phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，证明：$\displaystyle \Phi$ 的秩 $\displaystyle +\Phi$ 的零度 $\displaystyle =n$ 。

6、在 $R^{3}$ 中定义线性变换 $T$ ，对 $\forall \alpha=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \in R^{3}$ ，有 $$ T\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)^{T} . $$ 则 $T$ 在 $R^{3}$ 的基 $\alpha_{1}=(1,0,0)^{T}, \alpha_{2}=(0,1,0)^{T}, \alpha_{3}= (0,0,1)^{T}$ 下的矩阵为： $\_\_\_\_$ ．

7、设、 $\mathscr{C}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$为 $\mathbf{V}$ 的一组基，满足 $$ \mathscr{C}\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1},(1 \leq i \leq n-1), \mathscr{C}\left(\alpha_{n}\right)=\alpha_{1} . $$ 则 $\operatorname{det}(. /)=$ $\_\_\_\_$ ．

七、设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$T$ 是 $V$ 的一个正交变换，构造子空间： $$ \begin{aligned} & V_{1}=\left\{\alpha_{0} \mid T \alpha_{0}=\alpha_{0}, \forall \alpha_{0} \in V\right\} \\ & V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-T \alpha, \forall \alpha \in V\} . \end{aligned} $$ 证明：$\displaystyle V_{1}=V_{2}{ }^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle V_{2}{ }^{\perp}$ 表示 $\displaystyle V_{2}$ 的正交补。

五、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle \mathbf{V}$ 的一组基。已知线性变换 在这组基下的矩阵为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathscr{C}$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}$ ， $\displaystyle \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵. （2）求．$\displaystyle /$ 的核与值域． （3）在 $\displaystyle \mathscr{C}$ 的核中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求 .2 在这组基下的矩阵。 （4）在 $\displaystyle \triangle$ 的值域中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求在这组基下的矩阵。

八、设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1-a & 2 a & 1 \\ 2 & 1-a & -1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$的秩为 $\displaystyle \mathbf{2}$ ． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ ，将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形． （3）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解．

7．若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $\displaystyle \sigma$ 有 $\displaystyle \_\_\_\_$个不变子空间．

五．已知 $$ \alpha_{1}=(1,1, a)^{T}, \alpha_{2}=(1, a, 1)^{T}, \alpha_{3}=(a, 1,1)^{T}, \beta=(1,1,-2)^{T} . $$ $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出且不唯一，求 $a$ 的值．记 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，求正交变换 $Q$ ，通过 $\displaystyle X=Q Y$ ，使 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T}\left(E_{3}+A\right)^{-1} X $$ 为标准型。

八．设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏线性空间 $V$ 上的线性变换，且满足 $\displaystyle (\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta))$ 对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ．证明： （1） $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=(\operatorname{Im} \tau)^{\perp}$ ． （2）$\displaystyle V=\operatorname{Ker} \sigma \oplus \operatorname{Im} \tau$ ．

5．（20分）设线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 下的矩阵为 $$ J_{n}(\mu)=\left(\begin{array}{cccc} \mu & & & \\ 1 & \mu & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \mu \end{array}\right) $$ （1）证明：对于任意非零的 $\displaystyle \sigma$－不变子空间 $W$ ，必有 $\displaystyle e_{n} \in W$ ． （2）求所有的 $\displaystyle \sigma$－子空间．

1、已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明当 $n \geq 3$ 时，有 $A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵。 （2）求 $A^{100}$ ．

2、证明：数域 $P$ 上的一元多项式组成的线性空间，$P[x]$ 可以与它的一个真子集空间同构。

6、设 $1, x, y, x^{2}, x y$ 在实数域 $\mathbb{R}$ 上生成的线性空间为 $V$ ，设线性变换： $\mathcal{A}(f)=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}$ ， $f \in V$ ，则 $\mathcal{A}$ 在基 $\left\{1, x, y, x^{2}, x y\right\}$ 下矩阵为 $\_\_\_\_$ 0， $\operatorname{Ker}(\mathcal{A})=$ $\_\_\_\_$ ， $\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(\mathcal{A}))=$ $\_\_\_\_$。

七、（10 分）设 $V$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换．证明：存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \left\{\alpha, \mathcal{A}(\alpha), \cdots, \mathcal{A}^{n-1}(\alpha)\right\}$ 成为 $V$ 的一组基当且仅当对于 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的任一特征值 $\displaystyle \lambda$ 的几何重数为 1 ．

五、（10 分）设 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上所有 $n$ 阶方阵组成的线性空间，$\displaystyle T: M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{C}$是线性映射，满足：$\displaystyle T(A B)=T(B A),\left(\forall A, B \in M_{n}(\mathbb{C})\right)$ ．证明：对任意 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，总存在 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{C}$ ，使得 $\displaystyle T(A)=\lambda \operatorname{tr}(A)$ ．

4．已知 $f_{1}=2+2 x^{2}+3 x^{3}, f_{2}=1+x+x^{2}+3 x^{3}, f_{3}=5+x+5 x^{2}+9 x^{3}, f_{4}=2 x+3 x^{3}, W$ 是由它们张成的线性空间，那么从基 $f_{1}, f_{2}$ 到基 $f_{3}, f_{4}$ 的过渡矩阵为 $\_\_\_\_$ ，向量组 $f_{1}, f_{3}-f_{2}, 2 f_{3}+f_{4}$的秩等于 $\_\_\_\_$ ．

6．假如 $A, B, C$ 是实数域上 $n$ 维线性空间上的线性变换，满足 $(A-B) C=C(A-B)$ ，且 $C$ 是幂零的，如果 $B C-C B=10(A-B)$ ，证明：$A$ 和 $B$ 有相同的迹．

5．已知 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 对基 $$ \varepsilon_{1}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right), \varepsilon_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \varepsilon_{3}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ -6 \end{array}\right) $$ 的像为 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right), \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。 （2）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \sigma(X)$ ． （3）已知 $\displaystyle \sigma(Y)$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标向量为 $\displaystyle \left(\begin{array}{c}2 \\ -4 \\ -2\end{array}\right)$ ，求 $Y$ ．

8．设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ．证明： （1）$\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma \oplus \operatorname{Ker} \sigma$ ． （2） $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma, \operatorname{Ker} \sigma$ 均为 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间当且仅当 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．

5．已知 $V$ 为有限维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} \operatorname{Ker} \mathscr{A}+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \mathscr{A}$ ． （2）证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 可逆的充要条件是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为单射． （3）举例说明 $V$ 为无限维线性空间时，（2）不成立．

5．设 $\displaystyle V=\mathbb{R}^{2 \times 2}, V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足 $\displaystyle \varphi(X)=A^{T} X A, X \in V$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ 求 $V$ 中的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在这组基下的矩阵为若尔当形矩阵。

9．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，令 $$ V_{1}=\left\{\alpha \in V \mid \text { 存在正整数 } r \text {, 使得 } \mathscr{A}^{r}(\alpha)=0\right\}, V_{2}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \mathscr{A}^{i}(V) \text {. } $$ 证明： （1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间。 （2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{1}$ 上是幂零变换． （3） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{2}$ 上是可逆变换． （4）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

10．$A$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上可相似对角化，$\displaystyle \varphi(X)=A X A$ 为 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 上线性变换。证明：$\displaystyle \varphi$ 在 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 上存在一组基使其表示阵为对角阵。

9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \ldots, \beta_{m}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上两向量组，定义 $\displaystyle (x, y)=x_{1} y_{1}+\cdots+x_{n} y_{n}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上内积，且 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)= \left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)(\forall i, j=1, \ldots, m)$ 。证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ ．

2．设 $A, B$ 为三阶矩阵，$|A|=3,|B|=2,\left|3 A^{-1}+2 B\right|=2$ ，则 $\left|2 A+3 B^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

14．设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $s \times t$ 矩阵，$C$ 是 $m \times t$ 矩阵．记 $R(M)$ 表示矩阵 $M$ 的秩． （1）求证：若矩阵方程 $A X B=C$ 有解，则 $r(A)=r(A, C)$ 且 $R(B)=R\binom{B}{C}$ ． （2）请问（1）中逆命题是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，给出反例． （3）在什么情况下，（1）中的解是惟一的？请证明结论．

五、（本题满分 20 分）设 $V$ 是由数域 $F$ 上 $x$ 的次数小于 $n$ 的全体多项式，再添上零多项式构成的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 A ，使 $\displaystyle \mathrm{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ，其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数。（1）求 A 的核 $\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(0)$ 与值域 $\displaystyle \mathrm{A} V$ ；（2）证明：线性空间 $V$ 是 $\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(0)$ 与 $\displaystyle \mathrm{A} V$ 的直和．

七、（20分）设三维线性空间 $V$ 上的线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{3}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{1}$ 下的矩阵； （2）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, k \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵，其中 $\displaystyle k \in P$ 且 $\displaystyle k \neq 0$ ； （3）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。 科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$ 高等代数

7、（本题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，证明： $\displaystyle \sigma(V)$ 的一组基的原像及 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来就是 $V$ 的一组基．

一、（20 分，每题 5 分）叙述题： （1）艾森斯坦（Eisenstein）判别法； （2）克拉默（Cramer）法则； （3）哈密顿－凯莱（Hamilton－Caylay）定理； （4）正交变换．

5．（本小题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 和 $\displaystyle \tau$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个线性变换，满足 $\displaystyle \sigma+\tau=\varepsilon$（恒等变换），且 $\displaystyle \sigma \tau=0$ ，证明：$\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \tau(V)$ ． $$ v=\sigma(v)+ $$

6．（本小题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $\displaystyle V=P^{n \times n}$ 的一个线性变换，满足 $\displaystyle \sigma(A)=A^{\prime}$ ，其中 $\displaystyle A^{\prime}$ 为 $A$ 的转置矩阵，求 $\displaystyle \sigma$ 的全部特征值及对应的特征向量。

六、（20 分）设 $V$ 为一个有限维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle V=\mathscr{A} V \oplus \mathscr{A}^{-1}(0)$ 当且仅当 $$ \mathscr{A}^{2} V=\mathscr{A} V $$

6．（20 分）设线性空间 $V$ 的线性变换 $A$ 与 $B$ ，满足条件 $\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B, A B=B A=0$ ． 证明：$\displaystyle (A+B) V=A V \oplus B V$ ．

5．（15 分）设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \in V$ 是一个给定的非零向量，定义 $V$ 中的变换 $\displaystyle \sigma(v)=v-\frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha$ ，称为由 $\displaystyle \alpha$ 确定的镜面反射． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的对称变换；（2）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的正交变换，并且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（恒等变换）；（3）确定 $\displaystyle \sigma$ 在一个标准正交基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{\alpha}{|\alpha|}$ ．

4．（20 分）设 $Q$ 为有理数域，$\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,3), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(2,0,3), Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 满足： $$ A \alpha_{1}=(-2,1,3), \quad A \alpha_{2}=(0,-1,0), \quad A \alpha_{3}=(-1,-1,0) $$ （i）证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $\displaystyle Q^{3}$ 的一组基；并求线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $T$ ； （ii）求 $\displaystyle Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 的全部特征值与特征向量．

8．（20 分）设 A 为实线性空间 $\displaystyle \mathrm{R}^{3}$ 上的线性变换， E 为恒等变换， A 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-1$ ，令 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \mid(\mathrm{A}-\mathrm{E}) \alpha=0\}, V_{2}=\left\{\alpha \mid\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}+\mathrm{E}\right) \alpha=0\right\}$ 。 证明：（1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 A 的不变子空间；（2） $\displaystyle \mathbf{R}^{3}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

7．（15 分）设 $F$ 为一数域，令 $\displaystyle \mathcal{A}(\alpha)=A \alpha, \forall \alpha \in F^{3}$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) $$ 求 $\displaystyle F^{3}$ 上线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的所有不变子空间。

5．（20分）设 V 是数域 P 上的三维线性空间， V 上的线性变换， $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为： $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的最小多项式； （2）把 $V$ 分解成 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的非平凡不变子空间的直和，并求出分解式中出现的每个子空间的基。

8．设 $V$ 是全体次数不超过 $n$ 的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ ，任给 $\displaystyle f(x) \in V$ ，有 $\displaystyle \mathcal{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ 和值域 $\displaystyle \mathcal{A} V$ ； （2）证明：$\displaystyle V=\mathcal{A}^{-1}(0) \oplus \mathcal{A} V$ ．

六．设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma(V)$ 的一组基的原象及 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来为 $V$ 的一组基，由此即证 $\displaystyle \sigma$ 的零度 $\displaystyle +\sigma$ 的秩 $\displaystyle =n$ ．

2．在 $P^{2 \times 2}$ 中定义线性变换 $\sigma(X)=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right) X$ ，则 $\sigma$ 在基 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

三．（19 分）（1）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征向量，则由 $\displaystyle \alpha$ 生成的子空间 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \alpha$ 的不变子空间。 （2）证明：实数域 $R$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的任何线性变换 $\displaystyle \sigma$ 必有一维或二维不变子空间。

六．（20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle (n>1)$ 且 $\displaystyle \sigma$ 满足 $\displaystyle \sigma^{n-1} \neq 0$ ， $\displaystyle \sigma^{n}=0$ ．证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)$ ； （2）证明：$\displaystyle \sigma$ 在任意一组基下的矩阵都不可能是对角形．

7、设线性变换 $\sigma$ 是四维线性空间 $V$ 上的线性变换，如果 $\sigma$ 有 4 个不同特征值，那么 $\sigma$ 有 $\_\_\_\_$个不同的不变方空间。

6．矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right), M_{2}(R)$ 表示所有的 $\displaystyle 2 \times 2$ 实矩阵集。定义映射 $$ L_{A}: M_{2}(R) \rightarrow M_{2}(R), \quad \forall M \in M_{2}(R), \quad L_{A}(M)=A M $$ （1）证明：$\displaystyle L_{A}$ 是实向量空间 $\displaystyle M_{2}(R)$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle L_{A}$ 的核空间 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(L_{A}\right)$ 的组基。

8．（15分）设2维实向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基底 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,3)^{\prime}, \alpha_{2}=(-1,4)^{\prime}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right)$ ．线性变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 在基底 $\displaystyle \beta_{1}=(5,13)^{\prime}, \beta_{2}=(3,10)^{\prime}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -1 & 5\end{array}\right)$ 。求线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}-2 \mathscr{B}$ 在基底 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 下的矩阵。

6．（30 分）设 $F$ 是一个数域，$\displaystyle V, W$ 分别为一个 $n$ 维和 $m$ 维的 $F$－向量空间． （1）对任意的尺码为 $\displaystyle m \times n$ 的 $F$ —矩阵 $A$ ，证明：总存在从 $V$ 到 $W$ 的一个线性映射 $\displaystyle \theta$ 和 $V$ 的一组有序基及 $W$的一组有序基，使得在该有序基之下 $\displaystyle \theta$ 的矩阵为 $A$ ． （2）设 $A$ 及 $\displaystyle \theta$ 如（1）中所示，证明：$\displaystyle \theta$ 的象空间 $\displaystyle \operatorname{Im}(\theta)$ 的维数等于矩阵 $A$ 的秩．

8．（20分）证明：欧氏空间的一个线性变换为正交变换当且仅当这个线性变换在任何一组标准正交基之下的矩阵为正交矩阵。

6．设 $V$ 是实数域上所有 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵构成的线性空间，$\displaystyle A, B \in V$ 是两个给定的 2 阶实矩阵，定义 $V$ 上的映射 $f$ 为 $\displaystyle f(X)=A X+X B, X \in V$ ． （1）证明：$f$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right)$（具体数值未知），求 $\displaystyle \operatorname{Im} f$ 及 $\displaystyle \operatorname{Ker} f$ 以及它们的维数．

8．设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \langle *, *\rangle$ 是 $V$ 上的内积，已知 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足：对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $$ \langle\varphi(\alpha), \beta\rangle=-\langle\alpha, \varphi(\beta)\rangle . $$ （1）若 $\displaystyle \varphi$ 为同构映射，证明 $n$ 为偶数； （2）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，则 $\displaystyle \lambda$ 是零或者纯虚数．

3．三阶矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right)$ 的若尔当标准型为 $\_\_\_\_$ ．

10．（15分）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 是负定的当且仅当 $A$ 的所有奇数阶顺序主子式为负，且 $A$ 的所有偶数阶顺序主子式为正。

4．实对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ 的正惯性指数是 $\_\_\_\_$ ．

6．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为不可逆线性变换，证明：存在线性变换 $\displaystyle \mathscr{B} \neq 0$ 满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}=0$ ．

11．设 $A$ 是三阶实对称矩阵， 1 是 $A$ 的一个特征值， $\operatorname{tr}(A)=5$ ． （1）若存在无穷个多个三阶正交阵 $R$ 使得 $R^{-1} A R$ 为对角阵，求该对角阵并说明理由． （2）若只有有限个三阶正交阵 $R$ 使得 $R^{-1} A R$ 为对角阵，求该类正交阵 $R$ 的个数．

13．设 $A, B$ 都是复数域上的 $n$ 阶方阵，证明： $\operatorname{rank}(A B) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-n$ ．

4．已知 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3\end{array}\right)$ ，求原矩阵 $A=$ $\_\_\_\_$ ．

5．在三次多项式空间 $P[x]_{3}$ 中，求多项式 $1+x+x^{2}+x^{3}$ 在基 $\left\{2,1+x,-x+2 x^{2}, x+x^{3}\right\}$ 下的坐标 $\_\_\_\_$。