特征值-相似对角化

7、设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实对称矩阵，线性变换 $\displaystyle \varphi: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ 定义为： $$ \varphi(X)=A X A,\left(\forall X \in \mathbb{R}^{n \times n}\right) . $$ （1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{1} \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的特征值． （2）证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。

6．设 $$ \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{array}\right),\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 0 \\ 5 & 3 & 2 & 1 \\ 6 & 6 & 1 & 3 \end{array}\right) . $$ 则基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 到 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 的过渡矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

二．计算 $n$ 阶行列式 $$ A=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & \cdots & 2 & 3 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & & \cdots \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \end{array}\right| . $$ 三设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的非平凡不变子空间，在 $W$ 中取一个基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ ，把它扩充成 $\displaystyle I^{\prime}$ 的一组基 $\displaystyle a_{1}, \cdots, a_{r}, a_{r+1}, \cdots, a_{n}, \mathcal{A}$ 在 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 下的矩 阵为 $$ \left(\begin{array}{ll} A_{1} & A_{3} \\ O & A_{2} \end{array}\right) . $$ 其中 $\displaystyle A_{1}$ 为 $r$ 阶方阵，定义 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}: V / W \rightarrow V / W, a+W \rightarrow \mathcal{A} a+W$ 。证明： （1）$\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 是 $\displaystyle V / W$ 上的线性变换； （2）$\displaystyle A_{2}$ 是 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 在基 $\displaystyle a_{r+1}+W, \cdots, a_{n}+W$ 下的矩阵。

7．设 $P$ 为数域，在 $P^{3}$ 中给出一组基 $\alpha_{1}=(-1,0,2), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(3,-1,0)$ ，定义线性变换 $\sigma$如下：$\sigma\left(\alpha_{1}\right)=(-5,0,3), \sigma\left(\alpha_{2}\right)=(0,-1,6), \sigma\left(\alpha_{3}\right)=(-5,-1,9)$ 。则 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

7、设线性变换 在 $V$ 的一组基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵是 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \\ 2 & 4 & 1\end{array}\right)$ ，则． 2 的全部特征值是 $\_\_\_\_$。

8．欧氏空间 $V$ 的基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的度量矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 且 $\beta=2 \alpha_{1}-\alpha_{2} +\alpha_{3}$ ，则 $|\beta|=$ $\_\_\_\_$ ．

六、（16分）设 $V$ 是数域 $K$ 上三维线性空间，$V$ 上线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$下的矩阵 $A$ 为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)$ ． （2）对应于 $\displaystyle m(x)$ 的因式分解，写出 $V$ 的直和分解式，并且求出分解式中出现的每个子空间的一个基．

五．（20 分）$\displaystyle P^{2 \times 2}$ 为数域 $P$ 上的 $\displaystyle 2 \times 2$ 方阵构成的线性空间．令 $\displaystyle \sigma: P^{2 \times 2} \rightarrow P^{2 \times 2}$ ，对任意的 $\displaystyle X \in P^{2 \times 2}$ ，有 $\displaystyle \sigma(X)=A X B$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的表示矩阵。 （3）是否存在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的某组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵为对角阵？存在的话，求出基和对应的对角阵。

六．（20 分）$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性反称变换，即对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $\displaystyle (\sigma(\alpha), \beta)+(\alpha, \sigma(\beta))=0$ ，其中 $\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示欧氏空间的内积。证明：存在 $V$ 的一组标准正交基，使得 $\displaystyle \sigma^{2}$ 在此组基下的矩阵为对角阵。

1、若 $t \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 为正定矩阵，求 $t$ 的取值范围．

5．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，记齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r}$ ，其中 $r$为矩阵 $A$ 的秩，令 $\displaystyle \beta_{i}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \eta_{i}(i=1,2, \cdots, n-r)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n-r}\right)$ 。

8．（20 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle n \geq 2$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，若有 $\displaystyle \xi \in V$ ，满足 $\displaystyle \sigma^{n-1}(\xi) \neq 0, \sigma^{n}(\xi)=0$ ，求 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为 $$ \left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{array}\right) . $$

8．（15分）空间直角坐标系下，已知两异面直线的方程分别为 $$ l_{1}: \frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{-1}, \quad l_{2}: \frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{-1} . $$ （1）（10 分）求两条异面直线的公垂线方程． （2）（5 分）求该公垂线在坐标平面 $x O y$ 的射影直线方程．

4．已知 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，其特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=0, \alpha_{1}=(1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1,-2)^{\mathrm{T}}$分别是特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 对应的特征向量，求矩阵 $A$ 。

5．设 $P^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $$ G_{1}=\left(\begin{array}{cc} a & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right), G_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\ 1 & 1 \end{array}\right), G_{3}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ a & 1 \end{array}\right), G_{4}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & a \end{array}\right) $$ 讨论由 $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ 生成的子空间 $L\left(G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}\right)$ 的维数并给出相应的一组基。

11．给定 2 维平面 $\mathbb{R}^{2}$ 上 3 条不同的直线 $$ L_{1}: a x+b y=c, L_{2}: b x+c y=a, L_{3}: c x+a y=b . $$ 证明：三条直线相交于一点当且仅当 $a+b+c=0$ ．

六，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换．，$\displaystyle \xi \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{n-1}(\xi) \neq 0$ 但 $\displaystyle \sigma^{n}(\xi) \neq 0$ ，证明 （1）向量组 $\displaystyle \xi, \sigma(\xi), \cdots \sigma^{n-1}(\xi)$ 是线性无关的； （2）$\displaystyle \sigma$ 在一组基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\end{array}\right)$

七，（20 分）设向量组 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性 变换，且 $\displaystyle \sigma \alpha=\alpha+\beta+\gamma, \sigma \beta=\beta+\gamma, \sigma \gamma=\gamma$ ． （1）证明 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一可逆线性变换； （2）求线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle 3 \sigma-2 \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 下的矩阵。

三，（15 分）设 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$A$ 为 $n$ 阶实矩阵，且满足 $\displaystyle A^{2}+2 A+2 E=0$ ．证明（1）对于任意实数 $a$ ，方阵 $\displaystyle A+a E$ 都是可逆矩阵。 （2）将 $\displaystyle A+3 E$ 的逆矩阵表示为 $A$ 的多项式．

五，（20 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，$V$ 的线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ，向量 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}, \eta_{2}=2 \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}, \eta_{3}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}$ ． （1）证明：$\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \cdot \eta_{3}$ 也是 $V$ 的一组基； （2）求线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} . \eta_{3}$ 下的矩阵； （3）求矩阵 $\displaystyle A^{2018}$ ．

1、求正交矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵；

九、 $\displaystyle \left(7+8=15\right.$ 分）已知 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}\right\}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的实矩阵。 （1）证明：$W$ 为实矩阵集 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间． （2）求 $W$ 的一组基，并扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，求 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}x & y \\ y & z\end{array}\right)$ 在该基下的矩阵。

八、 $\displaystyle (\mathbf{1 0}+\mathbf{1 0}=\mathbf{2 0}$ 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle (\mathscr{A}, \mathbf{\alpha})=-(\mathbf{\alpha}, \mathscr{B} \mathbf{\beta})$ ． （1）若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，求 $\displaystyle \mathscr{F}$ 在该基下的矩阵 B． （2）证明： $\displaystyle \mathbf{V}=\mathscr{A} \mathbf{V} \oplus(\mathscr{P} \mathbf{V})^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle (\mathscr{B} \mathbf{V})^{\perp}$ 为 $\displaystyle \mathscr{P} \mathbf{V}$ 的正交补。

3．（20分）设 $V$ 是复数域上的有限维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $V$ 的一组基，$V$ 到 $V$ 的线性算子 $\displaystyle \varphi$ 在 $V$上的作用如下： $$ \varphi\left(\alpha_{1}\right)=5 \alpha_{1}, \varphi\left(\alpha_{2}\right)=5 \alpha_{2}, \varphi\left(\alpha_{3}\right)=3 \alpha_{1}+2 \alpha_{2}+5 \alpha_{3}, \varphi\left(\alpha_{4}\right)=6 \alpha_{4} $$ （1）求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵 $A$ ． （2）确定 $A$ 的若尔当标准型 $J$ ． （3）试找 $V$ 的一组新的基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在其下的矩阵为 $J$ ．

七．（15分）设 $\displaystyle P^{m}$ 是次数不超过 $m$ 的一元多项式空间，定义 $\displaystyle P^{m}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $$ \mathscr{A}(f(x))=f(x+1)-f(x) $$ （1）写出 $\displaystyle \mathscr{A}$ 关于基底 $\displaystyle 1, x, \cdots, x^{m}$ 的矩阵 $A$ ． （2）求 $A$ 的 Jordan 标准形与最小多项式． （3）求 $\displaystyle \mathscr{A}^{k}$ 的核空间 $\displaystyle N\left(\mathscr{A}^{k}\right)$ 的维数和一组基．

六．（15分）设线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 在标准基下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ （1）将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\mathrm{T}} A X$ 化为标准形． （2）设 $\displaystyle S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 定义为 $\displaystyle S(X)=\mathscr{A}^{2} X-2 \mathscr{A} X+2 X$ ，求 $S$ 的特征值，像空间维数与零空间维数．

8．设 $\displaystyle V=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}$ ，其中 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $V$ 的一个变族 $\displaystyle \varphi: \varphi(X)=A X, \forall X \in V$ 。 （1）证明 $\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 的特征值，特征向量： （3）是否存在 $V$ 的一组基，使 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角阵，为什么？

1．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}0 & a \\ b & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个线性变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=A X, \forall X \in W$ 。 （1）证明：$W$ 是 $P$ 上的线性空间； （2）证明：$\displaystyle \tau$ 是 $W$ 上的线性变换： （3）是否存在 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \tau$ 在该基下的矩阵是对角阵，为什么？

5．欧氏空间 $V$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 称为反对称的。如果对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ， $\displaystyle (\sigma \alpha, \beta)=-(\alpha, \sigma \beta)$ 。证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 为反对称的充要条件是，$\displaystyle \sigma$ 在一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵； （2）如果 $\displaystyle V_{1}^{4}$ 是反对称线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，则 $\displaystyle V_{1}^{1}$ 也是。

6．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & c \\ c & b\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=X^{T} A X, \forall X \in W 。$ （1）求 $\displaystyle \tau$ 关于基 $\displaystyle M_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), M_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), M_{3}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ 的矩阵； （2）求 $\displaystyle \tau$ 的所有 1 维不变子空间。

7．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵为一 Jordan块，证明： （1）$V$ 中任一非零 $\displaystyle \sigma$－子空间都包含 $\displaystyle \varepsilon_{n}$ ； （2）$V$ 不能分解成两个非平凡的 $\displaystyle \sigma$－子空间的直和。

二、在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 定义为 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\mathcal{A} \alpha_{1}=(-5,0,3) \\ \mathcal{A} \alpha_{2}=(0,-1,6) \\ \mathcal{A} \alpha_{3}=(-5,-1,9)\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\alpha_{1}=(-1,0,2) \\ \alpha_{2}=(0,1,1) \\ \alpha_{3}=(3,-1,0)\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 下的矩阵 $A$ ．

六、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}E_{r} & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$, 这里，$\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathcal{A}(V)$

2．多项式 $x^{7}+2 x^{6}+6 x^{2}+2$ 在复数域上所有根的关系是 $\_\_\_\_$ ．

三、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 2 维线性空间 $V$ 上的非零的幂零线性变换，求证在 $V$ 的某个基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$.

二、设 $V$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的一个线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ． （1）求 $V$ 的另一组基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 使 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵 $B$ 为对角阵； （2）求 $\displaystyle A^{k}$ ．

2．多项式 $x^{21}-1$ 和 $x^{14}-1$ 的最大公因式为 $\_\_\_\_$。

9．令 $A \in \mathbb{C}^{5 \times 5}, A^{3}=E, 1=5-r(E-A)$ ，则 $\operatorname{tr}\left(E+A+A^{2}\right)$ $\_\_\_\_$。

二、设 $V$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 5 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为其上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}, \varepsilon_{5}$ 之下矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{lllll} & & & & 1 \\ & & & 1 & \\ & & 1 & & \\ & 1 & & & \\ 1 & & & & \end{array}\right) $$ （1）求 $V$ 的另一组基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ ，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在此基下的矩阵为对角阵； （2）求 $\displaystyle A^{n}$ ．

四、设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间 $\displaystyle (n \geq 3), \mathcal{A}$ 为其上的线性变换， $\displaystyle \mathcal{A}^{n-2} \neq 0, \mathcal{A}^{n-1} \neq 0$ ．求证： $\displaystyle \mathcal{A}$ 在 $V$ 的某个基下的矩阵为 $$ \left(\begin{array}{ccccc} 0 & & & & \\ 1 & \ddots & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & 1 & 0 & \\ & & & 0 & 0 \end{array}\right) $$

2．验证 $\displaystyle \phi$ 为 $\displaystyle V \otimes W$ 的线性变换，且求 $\displaystyle \phi$ 在 $\displaystyle V \otimes W$ 的某组基下的矩阵 $C$ ．

三、设 $\displaystyle V, W$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的线性空间， $\displaystyle \operatorname{dim} V=2, \operatorname{dim} W=3, \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 为 $V$ 的基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 为 $W$ 的基，再设 $\displaystyle \sigma, \eta$ 分别为 $V$ 和 $W$ 的线性变换，且它们在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵分别为 $\displaystyle A, B$ ，令线性空间 $\displaystyle V \otimes W=\{(v, w) \mid v \in V, w \in W\}$ 为 $V$ 和 $W$ 的外直和． $\displaystyle \left(v_{1}, w_{1}\right)+\left(v_{2}, w_{2}\right)=\left(v_{1}+v_{2}, w_{1}+w_{2}\right), k(v, w)=(k v, k w)$ $\displaystyle \phi: V \otimes W,(v, w) \rightarrow(\sigma(v), \eta(w))$.

6．线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中， 基（I ）：$\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), A_{4}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ； 基（ I ）：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right), B_{4}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ． 则在基（I）与基（I）下有相同坐标的矩阵的为 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ （ $k$ 为任意常数）．

10．在向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中规定内积（不一定是标准内积）后得到欧式空间 $V$ ，且 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1), \alpha_{2}=(3,2)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}6 & 10 \\ 10 & 17\end{array}\right)$ ，则基 $\displaystyle e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中，基（I ）：$\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{3}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right) \quad A\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{1} & 1\end{array}\right) \quad$ 到基 （II）：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right) \quad B_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \quad B_{3}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{1} & 0\end{array}\right) \quad B_{4}^{\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ \overline{0} & 1\end{array}\right) \quad \text { 的过渡矩阵为 }}$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

二、设 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 的一个线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 的一组基， $\displaystyle \mathcal{A}\left(\alpha_{1}\right)=2 \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2 \alpha_{3}$ （1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵； （2）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值，特征向量； （3）求 的一组基，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角阵。

四、设 $\displaystyle V=\left\{A \mid \operatorname{tr}(A)=0, A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\right\}$ （1）求证：按通常的矩阵加法和数乘构成实数域上的线性空间； （2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} V$ ，找出 的一组基，并用基的定义说明找出矩阵是 的基．

二、设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $V$ 的一个线性变化，且 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ． （1）求 $V$ 的另一个基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在此基下的矩阵 $B$ 为对角阵； （2）求 $\displaystyle A^{k}$ ．

六、设 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 上的线性变化， $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证： （1）$\displaystyle V=\mathcal{A}(V) \oplus \operatorname{Ker}_{\mathcal{A}} \mathcal{A}$ ； （2）存在 的一个基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ ，在此基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\{1, \cdots, 1,0, \cdots, 0\}$（对角线为 $\displaystyle 1, \cdots, 1,0, \cdots 0$ ）的对角阵）。

七、（15分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 的 3 维线性空间， 是空间 $V$ 的一组基 $\displaystyle \beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}$ ， $\displaystyle \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \quad \beta_{3}=\alpha_{3}+\alpha_{1}$. （1）求证 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 也是空间 $V$ 的基； （2）求基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 到 的过渡矩阵； （3）求 $\displaystyle \gamma=3 \alpha_{1}+\alpha_{2}-4 \alpha_{3}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的坐标．

5．欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 的内积 $\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x$ ，则基 $\displaystyle 1, x, x^{2}$ 的度量矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

十、定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 上的线性变换 $\displaystyle T f(x)=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ． （1）求 $T$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 的基 $\displaystyle 1, x, x^{2}$ 下的矩阵； （6）证明 $\displaystyle \operatorname{Im}(T) \oplus \operatorname{Ker}(T)=\mathbb{R}[x]_{3}$ ．

七、（15 分）$\displaystyle V=L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)\right), f_{1}(x)=e^{x} \sin x, f_{2}(x)=e^{x} \cos x$ ， $\displaystyle f_{3}(x)=x e^{x} \sin x, f_{4}(x)=x e^{x} \cos x, \mathcal{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$. （1）证明： $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 在基 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)$ 下的矩阵．

九、（15 分）设 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中线性变换 $\displaystyle T_{1}$ 在基 $\displaystyle a_{1}=(1,2)^{T}, a_{2}=(2,3)^{T}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}3 & 5 \\ 4 & 3\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle T_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(3,1)^{T}, \beta_{2}(4,2)^{T}$ 下的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}4 & 6 \\ 6 & 9\end{array}\right)$ ． （1）求基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 到基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 的过渡矩阵 $P$ ； （2）求线性变化 $\displaystyle T_{1}+T_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 下的矩阵．

4．（1）$A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ ． 证 $|A+x F|=|A|+\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i j}$ ． （2）$\left|\begin{array}{ccccc}1 & a_{12}-a_{11} & a_{13}-a_{12} & \cdots & a_{1 n}-a_{1, n-1} \\ 1 & a_{22}-a_{21} & a_{23}-a_{22} & \cdots & a_{2 n}-a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & a_{n 2}-a_{n 1} & a_{n 3}-a_{n 2} & \cdots & a_{n n}-a_{n, n-1}\end{array}\right|=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i j}$ ．

5．$\left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=1 \\ x_{1}+2 \lambda x_{2}+3 x_{3}=\lambda, \\ x_{1}+2 x_{2}+3 \lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 取何值时，有解（解是多少）？无解，唯一？

6．$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，下述条件等价． （1）$r(A)=n$ ；（2）存在 $m$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A=\binom{E_{n}}{0}$ ；（3）存在 $n \times m$ 阶矩阵 $B$ ，使得 $B A=E_{n}$ ．

12．记 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 为所有次数小于 4 的实系数一元多项式及零多项式构成的线性空间．$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \forall f(x) \in \mathbb{R}[x]_{4}, \mathscr{T}(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=1, \varepsilon_{2}=x, \varepsilon_{3}=x^{2}, \varepsilon_{4}=x^{3}$ 下的矩阵 $A$ 。 （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值和线性无关的特性向量．

8．设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间，$V$ 的一组基 $\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ． （1）求证：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ 也是 $V$ 的基。 （2）求基 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 到基 $\displaystyle B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 的过渡矩阵．

12．二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X $$ 在正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 下的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}, Y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ ，且正交矩阵 $Q$ 的第三列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{T}$ ，求实对称矩阵 $A$ ，并证明 $\displaystyle A+E_{3}$ 正定。

13．取 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，定义线性变换 $$ \sigma(X)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2} $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。 （2）证明：当 $\displaystyle a d-b c \neq 0$ 时，$\displaystyle \sigma$ 可逆． （3）当 $\displaystyle \sigma$ 可逆时，求 $\displaystyle \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。

14．设 $V$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$V$ 上线性变换 $\displaystyle \tau$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} \lambda & & & \\ 1 & \lambda & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \lambda \end{array}\right) $$ 证明：对任意非零的 $\displaystyle \tau$－子空间 $W$ ，有 $\displaystyle \varepsilon_{n} \in W$ ．

四．（可能有误）二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3}$ 的矩阵记为 $\displaystyle A, A$ 的特征值之和为 1 ，积为 -12 ，求 $b$ 的值，并将二次型用正交线性替换化为标准形，写出正交变换矩阵。

2．设 $A$ 是 3 阶实方阵，且 $|E+A|=0,|E+2 A|=0,|E-3 A|=0, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $|E+6 A|=$ $\_\_\_\_$

4．设 $\alpha, \beta$ 为3维列向量，且 $\alpha \beta^{T}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ，则 $\beta^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

6．（15 分）设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵是 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 4 & -1 \end{array}\right) $$ 求 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵。

1．已知齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} (a+b) x_{1}+a x_{2}+\cdots+a x_{n}=0 \\ a x_{1}+(a+b) x_{2}+\cdots+a x_{n}=0 \\ \quad \cdots \cdots \\ a x_{1}+a x_{2}+\cdots+(a+b) x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 其中 $a \neq 0, n \geq 2$ ．试讨论 $a$ 和 $b$ 满足什么条件时： （1）方程组仅有零解。 （2）方程组有非零解，并求出其通解．

3．已知 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\varphi$ 对于基 $\xi_{1}=(-1,0,2)^{\mathrm{T}}, \xi_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \xi_{3}=(3,-1,-6)^{\mathrm{T}}$ 的像为 $$ \varphi\left(\xi_{1}\right)=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{2}\right)=(0,-1,2)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{3}\right)=(-1,-1,3)^{\mathrm{T}} $$ （1）求 $\varphi$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ 下的矩阵。 （2）设 $x=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\varphi(x)$ ． （3）证明：$\xi_{1}-\xi_{3}, \xi_{2}, \xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的基，并求 $\varphi$ 在该基下的矩阵。

4．设 $V$ 是数域 $P$ 上的4维线性空间，$\sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，$\sigma$ 在 $V$ 的基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵为 $A$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 4 & 2 & 5 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & -2 & 1 \\ -1 & 4 & -1 & 1 \end{array}\right) $$ （1）求包含 $\varepsilon_{1}$ 的最小的 $\sigma$－不变子空间 $W$ ． （2）记 $\sigma_{1}$ 为 $\sigma$ 在 $W$ 上的限制，求 $\sigma_{1}$ 在 $W$ 的基下的矩阵 $A_{1}$ 的 Jordan 标准形．

7．设向量组 $$ \left\{\begin{array} { l } { \varepsilon _ { 1 } = ( 1 , 0 , 0 ) , } \\ { \varepsilon _ { 2 } = ( - 2 , 1 , 0 ) , } \\ { \varepsilon _ { 3 } = ( 0 , 0 , 1 ) } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{l} \eta_{1}=(1,2,-3) \\ \eta_{2}=(2,2,-1) \\ \eta_{3}=(2,-1,-1) \end{array}\right.\right. $$ 设线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 满足 $\displaystyle \mathscr{T} \varepsilon_{i}=\eta_{i}, i=1,2,3$ 。 （1）求 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 到 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 的过渡矩阵。 （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。 （3）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 下的矩阵。 （4）是否存在非零 $\displaystyle \xi \in \mathbb{R}^{3}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{T} \xi=\xi$ ？

8．设 $V$ 为有限维欧氏空间，线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: V \rightarrow V$ 满足 $\displaystyle (\mathscr{A} \alpha, \beta)=(\alpha, \mathscr{A} \beta), \forall \alpha, \beta \in V$ ．证明： （1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基下的矩阵为对称矩阵。 （2）存在 $V$ 的一组基使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在该基下的矩阵是对角矩阵。 （3）$\displaystyle (\mathscr{A}(V))^{\perp}=\mathscr{A}^{-1}(0)$ ，且 $\displaystyle V=\mathscr{A}(V) \oplus \mathscr{A}^{-1}(0)$ 。

七．（15 分）（可能有误）线性变换的矩阵 $A$ 对应的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{i}$ ． （1）证明：存在非零特征向量 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle A \alpha=\lambda_{1} \alpha$ ； （2）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{-1} A C$ 为对角阵．

五．（15 分）设矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 4\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle T: A \mapsto A B-2 A^{T}, \forall A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ． （1）求线性变换 $T$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （2）在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中找一组基，使得变换在基下的矩阵为对角阵。

1．设 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}, \lambda$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的复特征值，此时 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的相应特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid \mathscr{A} \alpha=\lambda \alpha\} \neq 0$ ． （1）证明 $\displaystyle V_{\lambda}$ 是一个 $\displaystyle \mathscr{B}$－子空间； （2）将 $\displaystyle \mathscr{B}$ 限制到 $\displaystyle V_{\lambda}$ 得到的线性变换记为 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ ，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 可对角化，证明 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ 也可对角化。 （3）若 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 都可以对角化，证明：存在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 在该基下的矩阵都为对角阵。

9．若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是复数域上 3 维线性空间 $V$ 的一组基，$V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足 $$ \mathscr{A} \alpha_{1}=3 \alpha_{1}-2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{2}=\alpha_{1}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{3}=-\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3} $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $A$ ，以及 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 。 （2）求 $V$ 的另一组基，使得该基下 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵恰为 $J$ 。

5．平面二次曲线 $13 x^{2}-6 \sqrt{3} x y+7 y^{2}-256=0$ 的类型为 $\_\_\_\_$ ．

二．（10 分）已知欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一个基为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ，其度量矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) . $$ 向量 $\displaystyle \beta=\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}$ ，求 $\displaystyle \beta$ 长度．

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

7．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵可以对角化，证明：对 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的任意不变子空间 $\displaystyle W, \mathscr{A}$ 限制在 $W$ 上的变换 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 的矩阵也可以对角化。

8．设 $f$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，这里 $\displaystyle n \geq 2$ ，它在一组基下的矩阵 $A$ 为对角线元素为 1的若尔当块 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $f$ 的特征多项式，特征值及相应的特征子空间的维数．请回答 $A$ 可以对角化吗？说明理由． （2）证明：矩阵 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 相似．

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．设 A 和 B 均为实对称矩阵，且 A 和 B 有完全相同的特征值，求证： （a）存在正交矩阵 T ，使得 $B=T^{-1} A T$ （b）若 A 为正定矩阵，则 $|B+E|=|A+E|>1$

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组 $$ \beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m} $$ 线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．

5、（20 分）对于方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{~d} t}=A(t) X$ ，其中 $\displaystyle A(t)$ 的每个元素 $\displaystyle a_{i j}(t)$ 都是以 $T$ 为周期的周期函数，且 $\displaystyle X(t)$ 为方程的基解矩阵。证明：$\displaystyle X(t+T)$ 也是方程组的解，且存在可逆矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle X(t+T)=B X(t)$ ．

6．设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中一组基，满足：$\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{3}, \cdots, \sigma\left(\alpha_{n-1}\right)= \alpha_{n}, \sigma\left(\alpha_{n}\right)=0$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的表示矩阵 （2）证明：$\displaystyle \sigma^{n}=O, \sigma^{n-1} \neq O$ 常微分方程部分

2、 $f(\lambda)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，若 $f(2+\sqrt{3})=0$ ，则 $f(5)=$ $\_\_\_\_$。

3、线性空间 $V$ 的维数为 30 ，线性空间 $\mathcal{A V}, \mathcal{B V}, \mathcal{C V}$ 的维数分别为 $24, \mathcal{A B C V}$ 的最小维数是 $\_\_\_\_$。

3．证明：$V=U \oplus W$ ．

7．已知 $\displaystyle R^{n \times n}$ 是全体 $n$ 阶矩阵组成的线性空间，$\displaystyle f_{A}$ 是 $\displaystyle R^{n \times n}$ 上的线性变换，定义为 $\displaystyle f_{A}=A X+X A$ ， $\displaystyle X \in R^{n \times n}$ ，其中 $A$ 为实对称矩阵 （1）求 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 的维数和一组基 （2）证明：$\displaystyle f_{A}$ 为 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 上的线性变换 （3）问：取什么基时 $\displaystyle f_{A}$ 的矩阵可以化为对角形？请求出这组基和对角形形式

6．设 $F$ 是数域， $$ \begin{aligned} & V_{1}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a+b+c=0, a, b, c \in F\right\} \\ & V_{2}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a-b+c=0, a, b, c \in F\right\} \end{aligned} $$ 则 $\_\_\_\_$是 $V_{1}$ 的一个基，$V_{1}$ 的维数＝ $\_\_\_\_$ ，$V_{1} \cap V_{2}$ 的 维 数 $=$ $\_\_\_\_$。

1．填空题 （1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足 $$ \sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} . $$ 则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式． （8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

4．$n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\varphi, w$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩陈分别为 $A, B$ ，X知 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}$到 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 的过渡矩阵为 $P$ ，则 $\varphi \psi+2 \varphi^{3}-\mathrm{id}_{V}$ 在 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

5. $\varphi$ 是线性空间 $V$ 到 $W$ 的线性映射，$e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 是 $V$ 的一个基，$\eta_{1}, \eta_{2}$ 是 $W$ 的一个基，$\varphi$ 在两个基下的矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\operatorname{ker} \varphi=?\left(L\left(e_{1}+e_{2}-e_{3}\right)\right)$

四．1．设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，秩为 $r$ ，试证：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{rank} B=r$ ．［张祖锦注：题目回忆有误，反例见参考解答！我们给出并证明了正确表述方式！］

8．给定 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}(X)=X B-B X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，另外取子空间 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0\right\}$ ． （1）求 $W$ 的一组基． （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间． （3）记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $W$ 上的限制 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 的特征值和特征向量． （4）求 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。

八．（12 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{O}$ ．证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & O \\ E_{r} & O\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathscr{A}(V)$ ．

4．（20 分）设 $V$ 是数域（ $\displaystyle \mathbb{K}$ ）上的 4 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $V$ 的一组基。若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，且在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵为准对角阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，试求所有 $\displaystyle \mathscr{A}$－不变子空间。

5．（20分）（1）利用初等变换将下列矩阵化成简化的行阶梯形矩阵。 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 2 & -1 & 0 & 2 & 1 & 5 \\ -1 & -2 & 0 & 0 & 1 & -2 & -3 \\ 1 & 2 & -3 & 0 & 5 & 1 & 6 \end{array}\right) $$ （2）设 $V$ 数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定他的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ 。对于 $V$ 中的一个非零向量 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \alpha i$ ，若 $i$ 是最小正整数使得 $\displaystyle \lambda_{i}$ 不为 0 ，则称 $\displaystyle e_{i}$ 为它的 $\displaystyle \operatorname{tip}$ ，记为 $\displaystyle e_{i}=\operatorname{tip}(\alpha)$ ，对于 $V$ 的一个子空间 $W$ ，定义 $$ \begin{aligned} \operatorname{Tip}(W) & =\{\operatorname{tip}(\alpha): \alpha \in W, \alpha \neq 0\} \\ \operatorname{NonTip}(W) & =\left\{e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right\}-\operatorname{Tip}(W) . \end{aligned} $$ 现设 $\displaystyle v=\mathbb{K}^{7}$ 是7维行向量组成的空间，取它的标准基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{7}$ 。令 $W$ 为（1）中矩阵的行向量张成的子空间。求 $\displaystyle \operatorname{Tip}(W)$ 和 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 。 （3）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的有限维线性空间，给定它的一组基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ ，设 $W$ 是 $V$ 的一个子空间．证： $$ V=W \oplus \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W)), $$ 这里 $\displaystyle \operatorname{Span}_{k}(\operatorname{NonTip}(W))$ 是 $\displaystyle \operatorname{NonTip}(W)$ 张成的子空间。

9．（20 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 个两两不同的数，$V$ 是 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，且它在基 $\displaystyle \xi_{1}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ ． （1）．设 $W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，$\displaystyle x_{1} \xi_{1}+\cdots+x_{n} \xi_{n} \in W$ ，其中 $\displaystyle x_{1}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{K}$ ，证明：若某个 $\displaystyle x_{i}$ 不为 0 ，则 $\displaystyle \xi_{i} \in W$ ． （2）．求 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间个数．

6．（20 分）令 $\displaystyle f(x, y)=a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 b_{1} x+2 b_{2} y+c$ ， $$ A_{f}=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right), \quad B_{f}=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{12} & a_{22} & b_{2} \\ b_{1} & b_{2} & c \end{array}\right) . $$ 证明：函数 $f$ 在坐标变换 $\displaystyle \binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=Q\binom{x}{y}+\binom{d_{1}}{d_{2}}$ 下对应的 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(B_{f}\right)$ 保持不变，其中 $Q$ 是二阶正交矩阵。

1．考虑由所有二阶复系数方阵构成的集合 $$ M_{2}(\mathbb{C})=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{C}\right\} . $$ 已知 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 是以 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为基的复线性空间，这里 $\displaystyle E_{i j}$ 是指除第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 外其余元素均为 0 的二阶方阵。设 $$ B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22} $$ （1）证明：如下映射为线性映射． $$ \begin{aligned} \varphi_{B}: M_{2}(\mathbb{C}) & \rightarrow M_{2}(\mathbb{C}) \\ X & \mapsto \varphi_{B}(X)=B X \end{aligned} $$ （2）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 在上述基下的表示矩阵； （3）分别求核空间 $\displaystyle \operatorname{Ker} \varphi_{B}$ 和像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi_{B}$ 的维数与基； （4）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 的若尔当典范形．

9．定义 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle f(X)=A X B, X \in P^{2 \times 2}$ ，其中，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & -1\end{array}\right)$ ， $$ B=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) $$ （1）求 $f$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。 （2）判断是否存在一组基，使 $f$ 在该基下的矩阵为对角阵。

2．已知 $\displaystyle V=\mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，定义 $V$ 上的变换 $T$ 满足 $\displaystyle T(A)=A+A^{\prime}, A \in V$ ． （1）证明 $T$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）写出 $T$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （3）求 $T$ 的特征值并写出特征子空间的一组基； （4）$T$ 是否可以对角化？ （5）计算 $T$ 中心化子空间的维数，即所有满足 $\displaystyle T X=X T$ 的线性变换 $X$ 所生成的线性空间的维数．

5．设 $V$ 是数域 $P$ 上所有二阶矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $f$ 为 $\displaystyle f(X)=X^{*}, X \in V$ ，其中 $\displaystyle X^{*}$为 $X$ 的伴随矩阵。 （1）证吅 $f$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $f$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵，并求 $V$ 的一组基，使得 $f$ 在该基下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle \Lambda$ ，并求出对角阵。

9．设 $f$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等变换，$\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid f(\alpha)=0\}, V_{2}=\{f(\beta) \mid \beta \in V\}$ ，且 $f$ 在某组基下的矩阵为 $A$ ．证明： （1）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$ ； （2）$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和； （3）$\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．

2．（20 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(B X)^{T}(B X)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ ，$a$ 为实数，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 。已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过可逆线性变换化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+0 y_{3}^{2}$ ．求 $a$ 的值，并求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化为标准形。

4．已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 到 $\beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \beta_{3}=\alpha_{3}$ 的过渡矩阵为 $A$ ，则 $A^{4}=$ $\_\_\_\_$ ．

7．在几何空间中，设 $O-x y z$ 为一直角坐标系， $\mathscr{A}$ 表示将空间绕 $O x$ 轴，由 $O y$ 轴向 $O z$ 轴旋转 $90^{\circ}$的线性变换，则 $\mathscr{A}$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

七．（15 分）设 $\displaystyle V=P[x]_{n}$ 为次数小于 $n$ 多项式与零多项式生成的线性空间，在 $V$ 上定义一个二元函数 $$ \varphi(f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x, f(x), g(x) \in V $$ （1）（6 分）若 $\displaystyle n=4$ ，求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle 1, x, x^{2}, x^{3}$ 下的度量矩阵。 （2）（ 9 分）证明：$\displaystyle \varphi$ 为非退化的．

8．在 $\displaystyle P^{3}$ 中定义线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)$ 。 （1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵； （2）设 $\displaystyle \alpha=(1,0,-2)$ ，求 $\displaystyle \mathcal{A}(\alpha)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,0,1), \alpha_{2}=(0,-1,1), \alpha_{3}=(-1,0,2)$ 下的坐标． （3） $\displaystyle \mathcal{A}$ 是否可逆，若可逆，求其逆 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$

3．若 $x^{2}-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，求 $r(A+E)+r(A-E)$ ，其中 $E$ 是单位矩阵， $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩．（15 分）

四．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ ，且 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(0,-1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(1,1+a, 0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1, a-1,1)^{T} . $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=(1,0,0)^{T}, \eta_{2}=(0,1,0)^{T}, \eta_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ ； （2）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值； （3）当 $\displaystyle a=2$ 时，求一多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(A)=A^{-1}$ ．

3．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$下的矩阵为 $A$ ，且 $\displaystyle \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(1,0,0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(0,1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1,1+a, a)^{T}$ ． （1）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值． （2）当 $\displaystyle a=2$ 时，求 $\displaystyle A^{2023}$ ．

2．$\displaystyle V_{1} \neq V_{2}$ 时 $\displaystyle a, b$ 的取值 $\displaystyle (a=2, b \in \mathbb{R}$ 或 $\displaystyle b=1, a \in \mathbb{R}), \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=3$ ．

七（20分）、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是四维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $f$ 在这组基下的矩阵为 $$ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & -2 \end{array}\right) $$ 求 （1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵 （2）求线性变换 f 的核和值域

3．（15 分）已知 $\displaystyle \eta_{1}=(-1,0,2), \eta_{2}=(0,1,1), \eta_{3}=(3,-1,0)$ 。 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle P^{3}$ 中的线性变换，且 $\displaystyle \mathbf{A} \eta_{1}=(-5,0,3), \mathbf{A} \eta_{2}=(0,-1,6), \mathbf{A} \eta_{3}=(-5,-1,9)$ 。求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0)$ ， $\displaystyle \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵。

9．（15分）设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是四维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $f$ 在这组基下的矩 阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ， 求：（1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵 （2）求线性变换 f 的核和值域。

四、（20分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换 $$ \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) \text {, 其中 } B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ 与线性子空间 $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathbf{K}\right\} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。

三、（本题20分）已知3维线性空间 $V$ 有两组基： （I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$ （II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$ （1）求（I）到（II）的过渡矩阵； （2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标； （3）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为： $\displaystyle \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（I）、（II）的矩阵。

五、（本题 20 分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换 $$ \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) $$ 其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，线性子空间 $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。

九、（15 分）已知线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在一组基下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4\end{array}\right)$ ，求复数域上线性空间 $V$ 的线 性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值与特征向量。

五、（20分） 已知3维线性空间 $V$ 有两组基： （I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\}$ ； （II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{3}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{1}\right\}$ （1）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,1,-1)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标； （2）定义线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}: \mathbf{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=\varepsilon_{1}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=2 \varepsilon_{2}, \mathbf{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{3}-\varepsilon_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 关于（II）的矩阵 $P$ 。

四、（15分） 已知 3 维线性空间 $V$ 有两组基： （I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$ （II）$\displaystyle \left\{-\varepsilon_{3},-2 \varepsilon_{2},-3 \varepsilon_{1}\right\}$ （1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵； （2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (1,2,3)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标。

五、（15 分） 已知 3 维线性空间 $V$ 有两组基： （I）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}\right\} ;$ （II）$\displaystyle \left\{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \quad \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{3}\right\}$ （1）求基（I）到基（II）的过渡矩阵； （2）若向量 $\displaystyle \alpha$ 在基（I）下的坐标为 $\displaystyle (2,2,5)^{T}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在基（II）下的坐标。

七、（15 分） 设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，且 $$ \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} . $$ （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是可逆线性变换； （2）求 $\displaystyle 2 \sigma-\sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵。

十、（15 分） 已知矩阵空间 $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 的子空间 $$ W=\left\{\left.X=\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right] \right\rvert\, x_{3}-x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\} . $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的内积为 $$ (A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}\left(\forall A=\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right) \in R^{2 \times 2}\right), $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的线性变换为 $\displaystyle \sigma(X)=X B\left(\forall X \in R^{2 \times 2}, B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\right)$ ． （1）证明：求子空间 $W$ 的一组标准正交基； （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \sigma$ 看作是 $W$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $W$ 上的对称变换； （4）求 $W$ 的一组标准正交基，使 $\displaystyle \sigma$ 在该组基下的矩阵为对角矩阵。

七、（15分） 已知线性空间 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的两个线性变换： $$ \sigma(X)=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{array}\right) X, \quad \tau(X)=X\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right), \quad\left(\forall X \in P^{2 \times 2}\right), $$ （1）求 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （2）判断 $\displaystyle \sigma+\tau$ 和 $\displaystyle \sigma \tau$ 是否可逆．

九、（15 分） 设二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{\mathrm{T}} A X=a x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3} \quad(b>0), $$ 其中二次型的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为－ 12 ． （1）求 $a$ 和 $b$ 的值； （2）利用正交变换将二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

八、（15 分） 设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 3 维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{array}\right], $$ 求 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ ．

七、（15 分） 设 $\displaystyle R^{2}$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma_{1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，线性变换 $\displaystyle \sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}3 & 3 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \sigma_{1}+\sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵； （2）求 $\displaystyle \sigma_{1} \sigma_{2}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的矩阵； （3）设 $\displaystyle \xi=(3,3)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\displaystyle \sigma_{1}(\xi)$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标； （4）求 $\displaystyle \sigma_{2}(\xi)$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}=(1,1)^{\mathrm{T}}, \beta_{2}=(1,2)^{\mathrm{T}}$ 下的坐标．

九、（15 分） （1）已知 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), $$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的一组基，将 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 转换为正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ ；若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), $$ 求 $\displaystyle \sigma$ 在正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵； （2）设 $V$ 是有限维欧式空间，内积记为 $\displaystyle (\alpha, \beta)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个正交变换，记 $$ V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}, $$ $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $V$ 的子空间，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

八、（15 分） 设 $V$ 是全体实 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵所构成的实线性空间，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，定义 $V$ 的变换 $$ \sigma x=A x, \quad \forall x \in V, $$ （1）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 是线性的； （2）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 可逆 ⇔ 矩阵 $A$ 可逆； （3）当 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -4\end{array}\right)$ 时，求 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 和 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 及它们的一组基．

1．设 $f(x), g(x)$ 不全为零，证明：对任意的正整数 $n$ ，都有 $\left(f^{n}(x), g^{n}(x)\right)=(f(x), g(x))^{n}$ ．

7．设 $\displaystyle T: V \rightarrow V$ 是实数域 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性算子，且 $\displaystyle T^{3}=T$ ，其中 $\displaystyle n>1$ ． （1）证明：存在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $T$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。 （2）如果存在一个 $n$ 阶实方阵 $A$ ，使得 $T$ 在 $V$ 的任意一组基下的矩阵均为 $A$ ，证明：$A$ 为 $\displaystyle E_{n},-E_{n}$ 或零矩阵。

八、设 $\displaystyle P^{n \times n}$ 为数域 $P$ 上全体 $n$ 阶方阵组成的线性空间，$\displaystyle A, B$ 为两个 $n$ 阶方阵，定义 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的变换 $\displaystyle \varphi(X)=A X B, X \in P^{n \times n}$ ，求证： （1）$A$ 为 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的线性变换； （2）$\displaystyle \varphi$ 是可逆变换当且仅当 $\displaystyle A, B$ 都是可逆矩阵．

7．（20分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 3 维线性空间，线性变换 $\displaystyle f: V \rightarrow V$ 在 $V$ 的基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 6 & -15 \\ 1 & 3 & -5 \\ 1 & 2 & -4 \end{array}\right) $$ 问 $f$ 可否在 $V$ 的某个基下的矩阵为 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 3 \\ -2 & -6 & 13 \\ -1 & -4 & 8\end{array}\right)$ ，为什么？

7．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是数域 $P$ 上 4 维线性空间 $V$ 的一组基，线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在这组基下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 3 & 4 & 2 \\ -2 & 5 & 1 & 3 \\ -6 & 17 & 9 & 11 \\ -7 & 18 & -17 & 11 \end{array}\right) . $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的核及其一组基． （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的值域及其一组基．

8．设 $\displaystyle \eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个单位向量，定义变换 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha-2(\alpha, \eta) \eta$ ． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是正交变换． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的任意一组标准正交基下的矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle |A|=-1$ ．

2．已知 $n$（自然数 $n \geq 1$ ）阶方阵 $J$ 的所有元素都是 $-1, A=\left(a_{i j}\right)$ 中除了 $\left(a_{m}\right.$ 外，所有元素 $a_{i j}=0$ 。如果 $J$ 和 $A$ 相似，则 $a_{m}=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵，B为 $n \times m$ 型矩阵，其中 $m<n$ ，若 $A B=E_{m}$ ，则（ （A）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=m$ ； （B）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=n$ ； （C）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=m$ ； （D）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=n$ ．

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

4．设矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 2 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 3 & 4 \\ -1 & -1 & 4 & 0\end{array}\right)$ 的特征值为 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}+\lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$ （4） $\_\_\_\_$

2．（20分）$A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\prime} & c\end{array}\right)$ 正定，$B$ 为 $n \times 1$ 阶矩阵，$c$ 为常数。证明： $$ \left|\begin{array}{cc} A & B \\ B^{\prime} & c \end{array}\right| \leq c|A| $$ 等号成立时当且仅当 $B=O$ ．

3．（20分）设 $\eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的一个单位向量，定义 $\mathscr{A}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta$ 为镜面反射。 （1）证明 $\mathscr{A}$ 是一个正交变换，求 $\mathscr{A}$ 的一组标准正交基，并并求 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵。 （2）如果 $n$ 维欧氏空间中，正交变换 $\mathscr{A}$ 以 1 作为特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 $V_{1}$ 的维数为 $n-1$ ，则 $\mathscr{A}$ 一定为镜面反射。

1．秩 $\left(A^{n}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+1}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+2}\right)=\cdots$ ．

五．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的不可逆且非零的线性变换，$A$ 为 $\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵．证明： （1）存在 $\displaystyle m>1$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma^{m} \oplus \operatorname{Ker} \sigma^{m}$ ； （2）$A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 为可逆矩阵，$C$ 为幂零矩阵．

4．（20分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基．用 $\displaystyle V_{1}$ 表示 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$生成的子空间，令 $\displaystyle V_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in F\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ； （2）设 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵 $A$ 是置换矩阵（即 $A$ 每行每列只有一个元素为 1 ，其余元素为 0 ），证明：$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。

2、求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ，使得 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵．

3、求 $A^{n}$ ，其中 $n$ 是正整数．

7、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的线性变换，若对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，都有 $$ (\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta)), $$ 则称 $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭，证明： （1） $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭的充分必要条件是两者在同一组标准正交基下的矩阵互为转置． （2）若 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \tau$ 的共轭，则 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma=(\operatorname{Ker} \tau)^{\perp}$ ．

6．记 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的全体 $\displaystyle 2 \times 2$ 阶矩阵构成的线性空间，定义 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma(X)=A X$ ，对任意的 $\displaystyle X \in \mathbb{C}^{2 \times 2}, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的矩阵。 （2）求 $\displaystyle \sigma$ 的值域的维数和一组基以及 $\displaystyle \sigma$ 的核的维数和一组基．

11．（12 分）求多项式 $f(x)=x^{3}-1$ 和 $g(x)=x^{5}-1$ 的首一最大公因式 $d(x)$ ，并求多项式 $u(x), v(x)$ ，使得 $d(x)=u(x) f(x)+v(x) g(x)$ ．

八、（15分）设 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $Q$ 在基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 2 & -3 & -1\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。 （2）求 $a$ 满足什么条件时？佮好有 3 个 1 维不变子空间。

2、（4分）将 $f(x)$ 分解为实数域上不可约多项式乘积．

4．设 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，$C$ 为 $n$ 阶方阵，$D$ 为 $\displaystyle m \times n$ 阶方阵。证明：矩阵 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{ll}A & D \\ B & C\end{array}\right)$ 可逆的充分必要条件是，$\displaystyle A, B, C$ 均可逆，并在可逆时用 ，$\displaystyle A, B, C$ 及其逆矩阵表示 $\displaystyle M^{-1}$ 。

6．已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ 在正交变换 $\displaystyle x=Q y$ 的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $Q$ 的第 3 列列向量为 $\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{T}$ ，求正交矩阵 $Q$ 。

8．（20分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，且 $V$ 上线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示为 $$ A=\left(\begin{array}{cccccc} \lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda \end{array}\right) $$ 证明： （1）$V$ 是仅有的包含 $\displaystyle \alpha_{1}$ 的 $\displaystyle \sigma$ 不变子空间． （2）$\displaystyle \sigma$ 的任意不变子空间必包含 $\displaystyle \alpha_{n}$ ．（应该指明非零不变子空间） （3）每个子空间 $\displaystyle V_{i}=L\left(\alpha_{n-i+1}, \cdots, \alpha_{n}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 为 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha \in V_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle (\sigma-\lambda \varepsilon)^{i} \alpha=0$ ，其中 $\displaystyle \varepsilon$ 为恒等变换．

4．设 $V$ 是 3 维欧氏空间，其一组基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的度量矩阵为 $$ \left(\begin{array}{lll} 5 & a & 4 \\ a & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 5 \end{array}\right) $$ （1）求 $a$ 的值． （2）求该欧氏空间的一组标准正交基．

5．设 $A$ 是复数域上的方阵，$A$ 的全部初等因子为 $(\lambda-2)^{2},(\lambda-2)^{2},(\lambda-2)^{2}, \lambda+3, \lambda+3,(\lambda+2 \mathrm{i})^{2},(\lambda-2 \mathrm{i})^{2}$ ． （1）求 $A$ 的特征多项式在实数域上的标准分解式． （2）求 $A$ 的所有不变因子和所有行列式因子．

5．（15 分）设 $U=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 为欧式空间，其中 $\alpha_{1}=(1,1,2,1)^{\prime}, \alpha_{2}=(1,0,0,-2)^{\prime}$ ，定义 $U$上的内积为 $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\alpha_{1}{ }^{\prime} \alpha_{2}$ ．求 $\operatorname{dim} U^{\perp}$ 和 $U^{\perp}$ 的一个标准正交基．

7．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)(n \geq 3)$ ． （1）证明：$A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ． （2）证明：$A^{100}-E$ 不是零矩阵。

10．（15分）设 $A, B$ 都为 $n$ 阶方阵。 （1）证明：$A B, B A$ 有相同的特征值． （2）证明：不存在矩阵 $A, B$ ，使得 $A^{2}=A B+B^{2}$ ．

6、在 $R^{3}$ 中定义线性变换 $T$ ，对 $\forall \alpha=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} \in R^{3}$ ，有 $$ T\left(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}\right)=\left(2 x_{1}-x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{1}\right)^{T} . $$ 则 $T$ 在 $R^{3}$ 的基 $\alpha_{1}=(1,0,0)^{T}, \alpha_{2}=(0,1,0)^{T}, \alpha_{3}= (0,0,1)^{T}$ 下的矩阵为： $\_\_\_\_$ ．

五、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle \mathbf{V}$ 的一组基。已知线性变换 在这组基下的矩阵为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathscr{C}$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}$ ， $\displaystyle \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵. （2）求．$\displaystyle /$ 的核与值域． （3）在 $\displaystyle \mathscr{C}$ 的核中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求 .2 在这组基下的矩阵。 （4）在 $\displaystyle \triangle$ 的值域中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求在这组基下的矩阵。

5．（20分）设线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 下的矩阵为 $$ J_{n}(\mu)=\left(\begin{array}{cccc} \mu & & & \\ 1 & \mu & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \mu \end{array}\right) $$ （1）证明：对于任意非零的 $\displaystyle \sigma$－不变子空间 $W$ ，必有 $\displaystyle e_{n} \in W$ ． （2）求所有的 $\displaystyle \sigma$－子空间．

1、已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明当 $n \geq 3$ 时，有 $A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ，其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵。 （2）求 $A^{100}$ ．

2、证明：数域 $P$ 上的一元多项式组成的线性空间，$P[x]$ 可以与它的一个真子集空间同构。

6、设 $1, x, y, x^{2}, x y$ 在实数域 $\mathbb{R}$ 上生成的线性空间为 $V$ ，设线性变换： $\mathcal{A}(f)=\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}$ ， $f \in V$ ，则 $\mathcal{A}$ 在基 $\left\{1, x, y, x^{2}, x y\right\}$ 下矩阵为 $\_\_\_\_$ 0， $\operatorname{Ker}(\mathcal{A})=$ $\_\_\_\_$ ， $\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(\mathcal{A}))=$ $\_\_\_\_$。

2．令 $V$ 是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 张成的线性空间，$W$ 是线性变换 $\mathscr{T}(X)=A X$ 的核，其中 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \\ 6 \end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 2 \\ 4 \end{array}\right), \alpha_{4}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right), A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & -1 & 0 & 3 \\ 2 & -2 & -1 & 2 & 4 \\ 3 & -3 & -1 & 4 & 5 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 8 \end{array}\right) . $$ 求 $W+V$ 及 $W \cap V$ 的基和维数．

5．已知 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 对基 $$ \varepsilon_{1}=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right), \varepsilon_{2}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \varepsilon_{3}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ -6 \end{array}\right) $$ 的像为 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right), \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -2 \end{array}\right), \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 3 \end{array}\right) $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。 （2）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle \sigma(X)$ ． （3）已知 $\displaystyle \sigma(Y)$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的坐标向量为 $\displaystyle \left(\begin{array}{c}2 \\ -4 \\ -2\end{array}\right)$ ，求 $Y$ ．

5．设 $\displaystyle V=\mathbb{R}^{2 \times 2}, V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足 $\displaystyle \varphi(X)=A^{T} X A, X \in V$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ 求 $V$ 中的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在这组基下的矩阵为若尔当形矩阵。

14．设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $s \times t$ 矩阵，$C$ 是 $m \times t$ 矩阵．记 $R(M)$ 表示矩阵 $M$ 的秩． （1）求证：若矩阵方程 $A X B=C$ 有解，则 $r(A)=r(A, C)$ 且 $R(B)=R\binom{B}{C}$ ． （2）请问（1）中逆命题是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，给出反例． （3）在什么情况下，（1）中的解是惟一的？请证明结论．

七、（20分）设三维线性空间 $V$ 上的线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{3}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{1}$ 下的矩阵； （2）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, k \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵，其中 $\displaystyle k \in P$ 且 $\displaystyle k \neq 0$ ； （3）求 $A$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。 科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$ 高等代数

6．（本小题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $\displaystyle V=P^{n \times n}$ 的一个线性变换，满足 $\displaystyle \sigma(A)=A^{\prime}$ ，其中 $\displaystyle A^{\prime}$ 为 $A$ 的转置矩阵，求 $\displaystyle \sigma$ 的全部特征值及对应的特征向量。

5．（15 分）设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \in V$ 是一个给定的非零向量，定义 $V$ 中的变换 $\displaystyle \sigma(v)=v-\frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha$ ，称为由 $\displaystyle \alpha$ 确定的镜面反射． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的对称变换；（2）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的正交变换，并且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（恒等变换）；（3）确定 $\displaystyle \sigma$ 在一个标准正交基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{\alpha}{|\alpha|}$ ．

4．（20 分）设 $Q$ 为有理数域，$\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,3), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(2,0,3), Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 满足： $$ A \alpha_{1}=(-2,1,3), \quad A \alpha_{2}=(0,-1,0), \quad A \alpha_{3}=(-1,-1,0) $$ （i）证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $\displaystyle Q^{3}$ 的一组基；并求线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $T$ ； （ii）求 $\displaystyle Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 的全部特征值与特征向量．

5．（20分）设 V 是数域 P 上的三维线性空间， V 上的线性变换， $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为： $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的最小多项式； （2）把 $V$ 分解成 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的非平凡不变子空间的直和，并求出分解式中出现的每个子空间的基。

2．在 $P^{2 \times 2}$ 中定义线性变换 $\sigma(X)=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right) X$ ，则 $\sigma$ 在基 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

六．（20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle (n>1)$ 且 $\displaystyle \sigma$ 满足 $\displaystyle \sigma^{n-1} \neq 0$ ， $\displaystyle \sigma^{n}=0$ ．证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)$ ； （2）证明：$\displaystyle \sigma$ 在任意一组基下的矩阵都不可能是对角形．

8、设 $V=R^{3}$ 是实数域 $R$ 上的线性空间，定义：$f: V \rightarrow V$ ． $$ \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \rightarrow\left(x_{1}+x_{3}, x_{1}-x_{2}+x_{3}, x_{3}\right) . $$ 那么 $f$ 在 $V$ 的一组基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵 $=$ $\_\_\_\_$。

8．（15分）设2维实向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基底 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,3)^{\prime}, \alpha_{2}=(-1,4)^{\prime}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2 & -1\end{array}\right)$ ．线性变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 在基底 $\displaystyle \beta_{1}=(5,13)^{\prime}, \beta_{2}=(3,10)^{\prime}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}3 & 2 \\ -1 & 5\end{array}\right)$ 。求线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}-2 \mathscr{B}$ 在基底 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 下的矩阵。

6．（30 分）设 $F$ 是一个数域，$\displaystyle V, W$ 分别为一个 $n$ 维和 $m$ 维的 $F$－向量空间． （1）对任意的尺码为 $\displaystyle m \times n$ 的 $F$ —矩阵 $A$ ，证明：总存在从 $V$ 到 $W$ 的一个线性映射 $\displaystyle \theta$ 和 $V$ 的一组有序基及 $W$的一组有序基，使得在该有序基之下 $\displaystyle \theta$ 的矩阵为 $A$ ． （2）设 $A$ 及 $\displaystyle \theta$ 如（1）中所示，证明：$\displaystyle \theta$ 的象空间 $\displaystyle \operatorname{Im}(\theta)$ 的维数等于矩阵 $A$ 的秩．

8．（20分）证明：欧氏空间的一个线性变换为正交变换当且仅当这个线性变换在任何一组标准正交基之下的矩阵为正交矩阵。

3．三阶矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1\end{array}\right)$ 的若尔当标准型为 $\_\_\_\_$ ．

13．设 $A, B$ 都是复数域上的 $n$ 阶方阵，证明： $\operatorname{rank}(A B) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-n$ ．

5．在三次多项式空间 $P[x]_{3}$ 中，求多项式 $1+x+x^{2}+x^{3}$ 在基 $\left\{2,1+x,-x+2 x^{2}, x+x^{3}\right\}$ 下的坐标 $\_\_\_\_$。