特征值-实对称矩阵

8、（10 分）设 $\displaystyle B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}, C \in \mathbb{R}^{2 \times n}, D \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，且 $\displaystyle B, D$ 均为对称矩阵．设 $B$ 的两个特征值为 $\displaystyle \mu_{1}, \mu_{2}$ 。矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}B & C \\ C^{T} & D\end{array}\right)$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+2}$ ．求证： $\displaystyle \min \left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+2}\right\} \leq \min \left\{\mu_{1}, \mu_{2}\right\}$ ．

7、设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实对称矩阵，线性变换 $\displaystyle \varphi: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ 定义为： $$ \varphi(X)=A X A,\left(\forall X \in \mathbb{R}^{n \times n}\right) . $$ （1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{1} \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的特征值． （2）证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。

7、设线性变换 在 $V$ 的一组基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵是 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 2 \\ -2 & -1 & 4 \\ 2 & 4 & 1\end{array}\right)$ ，则． 2 的全部特征值是 $\_\_\_\_$。

三、（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的一个 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 可对角化的充分必要条件是： $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式 $\displaystyle \left|\mathbf{\lambda} \mathbf{E}_{n}-\mathbf{A}\right|$ 在复数域中的全部根都属于数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 数学 （从而每个根都是 $A$ 的特征值），并且每一根 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$ 的重数等于 $A$ 的属于特征值 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$的特征子空间的维数．

八．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，$B$ 为 $m$ 阶复方阵，且存在秩为 $r$ 的矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A X=X B$ ，其中 $\displaystyle 1 \leq r \leq \min \{n, m\}$ ．证明：$A$ 与 $B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（重根按重数计算）．

四．（15 分）设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X^{\prime} A X$ 为实系数二次型，实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1$（二重）， $\displaystyle \lambda_{2}=-1$（二重）．且 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0,0)^{\prime}, \varepsilon_{2}=(1,1,0,1)^{\prime}$ 为属于特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1$ 的特征向量．求二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 的表达式。

9．（20 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，若 $\displaystyle \alpha$ 为任意的 $n$ 维非零列向量，$\displaystyle B=A \alpha \alpha^{T}$ ． （1）证明：$\displaystyle \left|\lambda E_{n}-B\right|=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\alpha^{T} A \alpha\right), E_{n}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。 （2）求 $B$ 最大的特征值 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ ． （3）求 $B$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ 的特征子空间的维数与一组基．

五．简单题（ 20 分） 设 $V$ 为 $n$ 阶实方阵全体在矩阵的加法和数乘运算下构成的实数域上的线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\displaystyle A \in V$ ，都有 $\displaystyle \sigma(A)=2 A^{\mathrm{T}}$ ． （1）求 $\displaystyle \sigma$ 的特征值． （2）求 $\displaystyle \sigma$ 的属于每一个特征值的特征子空间的维数和一组基． （3）证明：$V$ 恰为 $\displaystyle \sigma$ 的所有特征子空间的直和．

7．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式为 $$ f(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)^{m_{1}}\left(x-\lambda_{2}\right)^{m_{2}}, \lambda_{1} \neq \lambda_{2} $$ 其中 $\displaystyle m_{1}+m_{2}=n$ ． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，其中 $\displaystyle \mathscr{E}$ 是恒等变换． （2）证明：$\displaystyle V=\operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}} \oplus \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{2} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{2}}$ ．

6．（20 分）设 $\displaystyle \varphi, \theta$ 是线性空间 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle f(x), g(x)$ 分别为 $\displaystyle \varphi, \theta$ 的特征多项式． （1）若 $\displaystyle h(x)$ 是一个多项式，$a$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，证明：$\displaystyle h(a)$ 是 $\displaystyle h(\varphi)$ 的一个特征值． （2）若 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 互素，证明：$\displaystyle f(\theta)$ 和 $\displaystyle g(\varphi)$ 都是可逆的线性变换．

9．（20分）已知直线 $$ L_{1}:\left\{\begin{array}{l} x-2 y-2=0, \\ y-z+2=0 . \end{array} \quad L_{2}:\left\{\begin{array}{l} x-2 y-2=0 \\ x-z+1=0 \end{array}\right.\right. $$ 平面 $\displaystyle \Pi: x-y+2=0$ ．求与直线 $\displaystyle L_{1}, L_{2}$ 都相交且与平面 $\displaystyle \Pi$ 垂直的直线的轨迹方程．

9．设 $m, n, q, r$ 为非负整数，且 $m=n q+r$ ，其中 $0 \leq r<n$ ． （1）证明：$\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=\left(x^{n}-1, x^{r}-1\right)$ ． （2）证明：$\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ，其中 $d=(m, n)$ 为 $m, n$ 的最大公因数．

11．给定 2 维平面 $\mathbb{R}^{2}$ 上 3 条不同的直线 $$ L_{1}: a x+b y=c, L_{2}: b x+c y=a, L_{3}: c x+a y=b . $$ 证明：三条直线相交于一点当且仅当 $a+b+c=0$ ．

13．已知 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，其度量矩阵为 $G$ 。 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ．证明：$\sigma$ 为对称变换的充要条件是 $A^{\mathrm{T}} G=G A$ ．

七，（20 分）设三级方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & 0\end{array}\right)$ 试求（1）A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ ； （2）试问 A 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)$ 是否是实数域上不可约多项式？为什么？

六，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换． 证明（1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的两个不同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的分别属于特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$的特征向量，则 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}$ 不是 $\displaystyle \sigma$ 的特征向量． （2）如果线性变换 $\displaystyle \sigma$ 以 $V$ 中每个非零向量作为它的特征向量，那么 $\displaystyle \sigma$ 是数乘变换

九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$A$ 是一个 $n$ 级实方阵，满足 $\displaystyle A^{3}+A=0$ ，证明：矩阵 $A$ 的迹是零．

五，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级实对称矩阵，证明： （1）矩阵 $A$ 的特征值都是实数． （2）若矩阵 $A$ 的特征值都大于 $a$ ，矩阵 $B$ 的特征值都大于 $b$ ，则矩阵 $\displaystyle A+B$ 的特征值都大于 $\displaystyle a+b$ 。

八，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$A$ 是一个秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，满足 $\displaystyle A^{2}=A, E$ 是 $n$阶单位矩阵。 （1）求矩阵 $\displaystyle A+E$ 的行列式； （2）矩阵 $A$ 的迹是 $r$ ．

四，（20 分）设 $A$ 为 3 阶实矩阵，实数 $a$ 满足线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=3 \\ 2 x_{1}+(a+4) x_{2}-5 x_{3}=6 \text { ，} \\ -x_{1}-2 x_{2}+a x_{3}=-3\end{array}\right.$有无穷多个解，且 $\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 a \\ -1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}a \\ a+3 \\ a+2\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{c}a-2 \\ -1 \\ a+1\end{array}\right)$ 为 $A$ 的分别属于三个特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=0$ 的特征向量。求 （1）矩阵 $A$ （2）行列式 $\displaystyle \left|A^{2017}+2 E\right|$

六，（20 分）设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和为 $\displaystyle 1, \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=-1$ 是 $A$ 的两个特征值，$E$ 为 3 阶单位矩阵，$\displaystyle B=A^{5}-4 A^{3}+E$ ．求 （1）$B$ 的全部特征值和特征向量； （2）矩阵 $B$

2、判断 $V=f(V)+f^{-1}(0)$ 是否成立？并说明理由．

2、可逆阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵．

九、（15 分）设 $A$ 是 $n$ 阶非零实反对称矩阵。证明： （1）$A$ 的特征值只能为 0 或纯虚数； （2）矩阵 $\displaystyle T=(E+A)^{-1}(E-A)$ 为正交矩阵。

六、（20 分）设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是向量空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ 。证明： （1） $\displaystyle \mathcal{A}$ 为可逆变换当且仅当 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为恒等变换； （2） $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值只能为 0 或 1 ； （3）若 $\displaystyle V_{0}, V_{1}$ 分别是特征值 0,1 的特征子空间，则 $\displaystyle V_{1}=\mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V, V_{0}=\mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．

六，（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的两个线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$有 $n$ 个互异的特征值，证明：若 $\displaystyle \mathcal{A} \mathcal{B}=\mathcal{B} \mathcal{A}$ ，则 $\displaystyle \mathcal{B}$ 是 $\displaystyle \varepsilon, \mathcal{A}^{1}, \mathcal{A}^{2}, \cdots, \mathcal{A}^{n-1}$ 的线性组合。

1．（7分）给定数域 $K$ 上的对角矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{llll} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right) $$ 其中 $\lambda_{i} \neq \lambda_{j}(i \neq j)$ ，求与 $A$ 可交换的数域 $K$ 上的所有 $n$ 阶方阵。

1．（10 分）证明：$r(A) \leq 1$ 当且仅当存在列向量 $\alpha \in K^{m}, \beta \in K^{n}$ ，使得 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ．

五、（20 分）已知实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 秩为 2 ，且 $\displaystyle (0,1,0)^{\mathrm{T}}$是该二次型矩阵 $A$ 的特征向量，求正交线性替换 $\displaystyle x=Q y$ 化二次型为标准形．

七、（20 分）求 $A$ 的特征值及其线性无关特征向量，若 $A$ 可对角化，求它的可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}7 & -12 & 6 \\ 10 & -19 & 10 \\ 12 & -24 & 13\end{array}\right)$ ．

五、（20 分）$\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle f(x)=X^{\top} A X$ 是对应的二次型，$\displaystyle \lambda_{1}$ ， $\displaystyle \lambda_{2}$ 分别是 $A$ 的最小和最大特征值． （1）对任一 $n$ 维列向量 $X$ ，证明：$\displaystyle \lambda_{1} X^{\top} X \leq X^{-} A X \leq \lambda_{n} X^{\top} X$ ． （2）证明：$\displaystyle \lambda_{1} \leq \frac{1}{n} \sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \leq \lambda_{n}$ ．

八、（20 分）$\displaystyle A, B$ 为复数域上的 $n$ 阶方阵． （1）证明：若 $\displaystyle A, B$ 无公共特征值则 $\displaystyle A X=X B$ 只有重解。 $X$ 为 $n$ 阶方阵． （2）当 $\displaystyle A, B$ 特征值均不为零，证明：若 $\displaystyle A^{2}=B^{2}$ 则有 $\displaystyle A=B$ ．

四、（20 分）$A$ 为 $n$ 阶不可逆矩阵，证明：$A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 至少有 $\displaystyle n-1$ 个特征值为 0 ，另一个非零特征值（如果存在，它满足 $\displaystyle \operatorname{tr} A^{*}=A_{11}+A_{22}+\ldots+A_{n n}$ ）．

五．（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & 1 \\ 1 & & & & 0 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccccc} c_{0} & c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_{0} & c_{1} & \ddots & \vdots \\ \vdots & c_{n-1} & c_{0} & \ddots & c_{2} \\ c_{2} & \ddots & \ddots & \ddots & c_{1} \\ c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} & c_{0} \end{array}\right) $$ （1）用 $E$ 及 $A$ 的幂表示循环矩阵 $C$ ． （2）求 $\displaystyle A, C$ 的特征值及 $C$ 的行列式． （3）证明：$C$ 相似于对角阵．

八．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，且 $A$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a, b), B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (c, d), a, b, c, d>0$ ．证明： （1）$\displaystyle A+B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a+c, b+d)$ ． （2）$\displaystyle A B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a c, b d)$ ．

六．（15分）设线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 在标准基下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ （1）将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\mathrm{T}} A X$ 化为标准形． （2）设 $\displaystyle S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 定义为 $\displaystyle S(X)=\mathscr{A}^{2} X-2 \mathscr{A} X+2 X$ ，求 $S$ 的特征值，像空间维数与零空间维数．

10．设 $\displaystyle n(>1)$ 阶复矩阵 $A$ 的所有特征值均为 $\displaystyle 0, r(A)=n-1$ 。证明：不存在矩阵 $B$使 $\displaystyle B^{2}=A$ 。

7．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶实对称矩阵。证明 $A$ 与 $B$ 合同的充要条件是：$A$ 的正特征值的个数等于 $B$ 的正特征值的个数，$A$ 的负特征值的个数等于 $B$ 的负特征值的个数。

8．设 $\displaystyle V=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}$ ，其中 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $V$ 的一个变族 $\displaystyle \varphi: \varphi(X)=A X, \forall X \in V$ 。 （1）证明 $\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 的特征值，特征向量： （3）是否存在 $V$ 的一组基，使 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角阵，为什么？

10．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, ~ B \in P^{n \times m}$ 。证明：除零特征值外，$\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle B A$的特征值相同，重数也相同。

4．$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=X^{T} A X$ 是一实二次型，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是对称矩阵 $A$ 的特征多项式的根，且 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。 （1）证明：对任一 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，都有 $\displaystyle \lambda_{1} \leq f(X) \leq \lambda_{n}$ ； （2）证明：存在 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，使得 $\displaystyle f(X)=\lambda_{n}$ 。

9．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, ~ \lambda_{0} \in P$ 是 $A$ 的 $m$ 重特征根，证明：对应于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}, A$ 至多有 $m$ 个线性无关的特征向量。

8．设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶正定阵，证明 $\displaystyle A B$ 的特征值均为正数。

3．$\displaystyle A, B$ 矩阵为复数域上的二阶矩阵，它们的特征多项式都是 $\displaystyle f(x)=x^{2}$ ，问 $A$ 与 $B$是否相似？

7．设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，$\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维列向量，使得 $\displaystyle A^{n-1} \alpha=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right), A^{n} \alpha=0$ ，求 $A$ 的特征值，特征向量，特征子空间。

九．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, f(x), g(x) \in P[x], d(x)=(f(x), g(x))$ ，证明： 若 $\displaystyle f(x)$ 是 $A$ 的特征多项式，则 $\displaystyle r(g(A))=r(d(A))$ 。

七．判断正误，并说明理由． $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 0 & x & y \\ -x & 0 & z \\ -y & -z & 0 \end{array}\right) $$ 是否存在正交矩阵 $P$ 使得 $\displaystyle A P=P B \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ．

二．判断正误，并说明理由． $\displaystyle A, B$ 为非零二阶复矩阵，$\displaystyle A B-B A=A^{2}, \operatorname{tr}(B)=0$ 则 $\displaystyle B^{2}=0$ ．

2．已知多项式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n}$ ，矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1}\end{array}\right)$ ． （1）证明：$A$ 的不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, f(\lambda)$ ； （2）证明：$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

6．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $A$ 的几何重数为 $m$ 的特征值，证明：$\displaystyle \left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{m} \| \lambda E_{n}-A \mid$ ．

9．设 $V$ 是 $n$ 维复线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \mathcal{A B}=\mathcal{B A}, f(t)$ 是一个复系数多项式。 （1） $\displaystyle \mathcal{B}$ 的特征子空间与核空间的和是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的不变子空间； （2）$\displaystyle f(\mathcal{A})$ 和 $\displaystyle f(\mathcal{B})$ 有共同的特征向量．

9．设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-6 \lambda^{2}+32$ ，求 $A$ 的若尔当标准形．

六．设矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=2 A+3 B$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & -3 \end{array}\right) $$ 求 $B$ 的特征值．

2．多项式 $x^{5}-1$ 在多项式环 $\mathbb{Q}[x]$ 中的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

3．$n(n \geq 2)$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{cccccc}x & y & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & y & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x & y \\ y & 0 & 0 & \cdots & 0 & x\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

5．向量组 $\alpha_{1}=(5,2,-3,) \alpha_{2}=(4,1,2), 3 \alpha_{3}=(1,-1,-), \alpha_{4},(3,4)$ 的一个极大线性无关组为 $\_\_\_\_$ ．

7．设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3$ ，则 $\left|16 E_{3}-A^{2}\right|=$ $\_\_\_\_$。

8．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{m}=0$（ $m$ 为一个正整数），则 $A$ 的特征多项式为 $\_\_\_\_$ ．

1．若 $\lambda_{0} \neq 0$ ，求证 $\lambda_{0}$ 也是 $\mathcal{B} \mathcal{A}$ 的特征值，并求相应的一个特征向量；

1． $\mathcal{A}_{\eta}$ 为正交变换；

2． $\mathcal{A}_{\eta}$ 的行列式为 -1 ；

3．若 $\mathcal{A}$ 为 $V$ 的正交变换， 1 为其特征值，且相应的特征子空间的维数为 $n-1$ ，则 $\mathcal{A}$ 为镜面反射．

七、设 $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle \mathcal{A B}$ 的特征值，且 $\displaystyle \beta$ 为相应的特征向量．

四、设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有 3 个线性无关的特征向量，求 $x$ 和 $y$ 应满足的条件．

4．设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩为 $r$ ，满足 $A^{2}=A$ ，则 $|2 E-A|=$ $\_\_\_\_$。

5．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4} \in \mathbb{R}^{4}$ 线性无关，则向量组 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \alpha_{3}+\alpha_{4}, \alpha_{4}+\alpha_{1}$ 的线性相关性为 $\_\_\_\_$。

7．设 $A$ 为 3 维线性空间 $V$ 中的线性变换，则 $\operatorname{dim} \mathcal{A}(V)$ 与 $\operatorname{dimKer} \mathcal{A}$ 的关系是 $\_\_\_\_$。

1．求 $\mathcal{A}$ 在基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵；

七、设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m}$ 为 $A$ 的一切不同特征值，若非零 $n$ 维列向量 $\displaystyle \beta$ 与特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m-1}$ 的特征向量正交，求证 $\displaystyle \beta$ 为对应特征值 $\displaystyle \lambda_{m}$ 的特征向量．

七、 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值，此时我们称 $\displaystyle n-r\left(\lambda_{0} E-A\right)$ 为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数，$\displaystyle \lambda_{0}$ 作为 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 之根的重数称为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的代数重数，求证 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数不超过其代数重数．

八、（本题10分）设 $V$ 为数域 上的线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上可对角化的线性变换， $\displaystyle 0 \neq v \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{2} v=0$ ，求证 0 为 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征值，且 $v$ 为一个对应的特征向量．

4．若 $P$ 为5阶正交阵，则 $\left|E-P^{2}\right|=$ $\_\_\_\_$。

6．设 $S=\left(\begin{array}{cc}0 & E_{2} \\ -E_{2} & 0\end{array}\right), V=\left\{X \in \mathbb{R}^{4 \times 4} \mid S X+X^{T} S=0\right\}$ ，则 $V$ 作为数域 $\mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\_\_\_\_$ ．

1．求证 $V$ 为 $\mathbb{R}^{n \times n}$ 的子空间，并求 $\operatorname{dim} V$ ；

2．求证： $\mathbb{R}^{n \times n}=V \oplus W$ ．

三、设 $\displaystyle V=\left\{A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(\mathcal{A})=0\right\}, W=\{a E \mid a \in \mathbb{R}\}$ ．

8．若 $A$ 为 3 阶实对称阵，其特征值为 $\displaystyle -3,1,4$ ，则当 $t$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$时，$\displaystyle t E+A$ 正定．

9．令 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ 的特征值为 $\displaystyle 1,2,3,4$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$

八、设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 可逆，求证矩阵方程 $\displaystyle A X A^{T}-X=0$ 仅有零解的充要条件为 $A$ 的任何两个特征值的乘积不为 1 。

8．若 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 秩为 1 ，则 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

八、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，若 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)+\operatorname{dim} \tau(V)<n$ ，求证：$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个相同的特征值和特征向量．

3．三阶方阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle 1,-1,2$ ，则 $\displaystyle A^{2}+4 A^{-1}$ 的特征值 $\displaystyle \_\_\_\_$。

7．令 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{4 \times 4}$ 的特征值为 $\displaystyle 1,2,3,4$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．设 $A$ 为正交矩阵，且 $\displaystyle |A|=-1$ ，则 $A$ 必有特征值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

三、设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实方阵，证明： （1）若 $B$ 正定，则 $\displaystyle A B$ 的特征值皆大于 0 ； （2）若 $B$ 正定，且 $\displaystyle A B=B A$ ，则 $\displaystyle A B$ 正定．

六、设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵，已知 $A$ 的特征值全为实数，且 $\displaystyle A A^{T}=A^{T} A$ ，证明：$A$ 必为对称矩阵。

7．设 $A$ 为 3 阶半正定阵，向量 $\displaystyle \alpha, \beta$ 线性无关，若 $\displaystyle \alpha^{T} A \alpha=\beta^{T} A \beta=0$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=2$ ，则二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{T} A x$ 经正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化成的标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle -1,-2,-2$ ，则 $\displaystyle \left|\left(\frac{1}{2} A\right)^{*}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

七、设 $n$ 阶实对称阵 $A$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 满足 $\displaystyle 1<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n} \leq 2$ ，求证：对任意零实向量 $X$ ，总有 $\displaystyle X^{T} X<X^{T} A X<2 X^{T} X$ ．

三、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵（ $\displaystyle n>1$ ），求证： （1）若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则存在 $n$ 行 1 列矩阵 $B$ 和 1 行 $n$ 列矩阵 $C$ ，使 $\displaystyle A=B C$ ； （2）若 $\displaystyle r(A)=1$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=1$ ，则 $\displaystyle A^{n}=A$ ．

二、设 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的三维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 的一个线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 的一组基， $\displaystyle \mathcal{A}\left(\alpha_{1}\right)=2 \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+\alpha_{3}, \mathcal{A}\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+2 \alpha_{3}$ （1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵； （2）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值，特征向量； （3）求 的一组基，使 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角阵。

四、设 $\displaystyle V=\left\{A \mid \operatorname{tr}(A)=0, A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\right\}$ （1）求证：按通常的矩阵加法和数乘构成实数域上的线性空间； （2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} V$ ，找出 的一组基，并用基的定义说明找出矩阵是 的基．

七、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值，此时我们称 $\displaystyle n-r\left(\lambda_{0} E-A\right)$ 为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数，$\displaystyle \lambda_{0}$作为 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 之根的重数称为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的代数重数，求证 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数不超过其代数重数．

六、（ 15 分）设 $A$ 为阶正交阵。 （1）求证：对任意的 维列向量 $X$ ，有 $\displaystyle \|A X\|=\|X\|$ ； （2）若 $\displaystyle \lambda$ 为 $A$ 的一个特征值，求证 $\displaystyle |\lambda|=1$ ．

5．若 $P$ 为正交阵，$\lambda$ 为 $P$ 的实特征值，则 $\lambda^{2}=$ $\_\_\_\_$。

五、（15 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 的特征值和 3 个线性无关的特征向量； （2）求 $\displaystyle A^{100}$ ．

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

9．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为其列向量．证明如下论述等价： （1）$A$ 是正交矩阵； （2）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是规范正交基； （3）对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $(A X, A Y)=(X, Y)$ ．

12．记 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 为所有次数小于 4 的实系数一元多项式及零多项式构成的线性空间．$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{4}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}: \forall f(x) \in \mathbb{R}[x]_{4}, \mathscr{T}(f(x))=f(x)-f(0)+f^{\prime}(x)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=1, \varepsilon_{2}=x, \varepsilon_{3}=x^{2}, \varepsilon_{4}=x^{3}$ 下的矩阵 $A$ 。 （2）求 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值和线性无关的特性向量．

八．（15分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是正定对称矩阵，其对角元 $\displaystyle a_{i i}$ 及特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 满足 $$ a_{11} \leq a_{22} \leq \cdots \leq a_{n n}, \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n} . $$ 问 $\displaystyle \lambda_{i} \leq a_{i i}$ 是否对所有 $\displaystyle 1 \leq i \leq n$ 成立？若成立，给出证明；若不成立，举出反例．

六．（15 分）设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，任意给定非零列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}$ ，求证：存在次数小 $n$ 的多项式 $\displaystyle h(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，使得 $\displaystyle h(A) \alpha$ 为 $A$ 的特征向量．

一．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶实方阵，$A$ 可对角化，且 $\displaystyle B A^{2}=A+B$ ．证明： （1） 1 不是 $A$ 的特征值． （2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 均为对角矩阵。

5．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}-a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$时，$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上的规范形为 $y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$ ．

7．若向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，则 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}-\alpha_{3}, \alpha_{1}+2 \alpha_{3}$ 也线性无关．

2．$A$ 是六阶复方阵 $$ A=\left(\begin{array}{llllll} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) $$ 求（1）$\displaystyle A^{2026}$ （2）求矩阵 $\displaystyle A^{2}+2 A+I$ 的特征值

3．$\displaystyle A, B$ 为实对称矩阵，$A$ 正定。证明（1）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A=P P^{T}, B=P \operatorname{diag}\left\{\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}\right\} P^{T}$ （2）证明：$\displaystyle A+B$ 正定的充要条件是 $\displaystyle A^{-1} B$ 的特征值大于 -1

判断题 （1）$U$ 是酉矩阵，$\displaystyle U^{*}$ 是 $U$ 的共轭转置，则 $U$ 的所有特征值的模长为 1 （2）$\displaystyle A, B$ 为二阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 有相同的迹和行列式，则 $\displaystyle A, B$ 一定相似 （3）$\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle n \times k$ 阶复矩阵，$\displaystyle C=A B$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C) \leq \min \{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$ （4）$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，则存在 $\displaystyle A B-B A=I_{n}$ （5）$\displaystyle U_{1}, U_{2}, U_{3}$ 是 $V$ 的子空间 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(U_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{2} \cap U_{3}\right)+2 \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}\right)$证明题

2．设 $A, B$ 是两个相似的三阶矩阵，$B$ 有特征值 $1,-1$ ，且 $|2 E+A|=0$ ，则 $|A+2 A B|=$ $\_\_\_\_$ ．

六．设 $\displaystyle \tau$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是其 $n$ 个不同的特征值，证明：$\displaystyle \alpha, \tau(\alpha), \cdots, \tau^{n-1}(\alpha)$线性无关的充要条件是 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}$ ，其中 $\displaystyle \alpha_{i}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 的特征向量．

四．（可能有误）二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3}$ 的矩阵记为 $\displaystyle A, A$ 的特征值之和为 1 ，积为 -12 ，求 $b$ 的值，并将二次型用正交线性替换化为标准形，写出正交变换矩阵。

2．设 $A, B$ 都为可逆方阵，则 $\left(\begin{array}{ll}A & C \\ O & B\end{array}\right)^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

16．设 $A, B$ 均为正交矩阵，且 $|A|+|B|=0$ ，证明：$|A+B|=0$ ．

6．设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值．证明： （1）$\lambda$ 的实部为 0 ． （2）存在正交矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A^{2} P$ 是对角矩阵。

7．设 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a \end{array}\right) $$ 是 3 阶实矩阵，证明：当 $a>2$ 时，对于任意一个 3 阶的正定矩阵 $B$ ，都有 $\operatorname{tr}(A B)>0$（其中 $\operatorname{tr}(A B)$为矩阵 $A B$ 的迹）。

3．已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）判断 $A$ 的特征多项式是否有有理根，并说明在有理数域上是否存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 是对角矩阵。 （2）判断 $A$ 的特征多项式在复数域上有无重根，并说明在复数域上是否存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$是对角矩阵。

七、（本题满分20分）已知 $\displaystyle \sigma$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，求证 （1）$\displaystyle \sigma$ 的特征值只有 0 和 1 ； （2）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，其中其中 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, ~ V_{2}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}$ 。fl：线性空间与线性变换

五、（本题20分）设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，求证： （1）$A$ 的特征值全大于 0 ； （2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P=E, P^{\mathrm{T}} B P$ 为对角矩阵。 fl ：矩阵

八、（本题 20 分）设实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & b \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2\end{array}\right)$ ，且 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ． （1）求的 $\displaystyle a, b$ 值； （2）证明：存在正交矩阵 $T$ ，使二次型 $\displaystyle f(x)=x^{\mathrm{T}} A x$ 化为标准形，并写出正交矩阵 $T$ 。

5．数域 $F$ 上 4 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 有 4 个不同的特征值，则 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的 2 维不变子空间的个数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

七．（15 分）（可能有误）线性变换的矩阵 $A$ 对应的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{i}$ ． （1）证明：存在非零特征向量 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle A \alpha=\lambda_{1} \alpha$ ； （2）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{-1} A C$ 为对角阵．

六．（15 分）设 $A$ 是 3 阶正交矩阵，且 $\displaystyle |A|=-1$ ． （1）证明：-1 是 $A$ 的特征值； （2）证明：存在正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=P^{T} A P=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ 或 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ．

四．（15 分）$A$ 为 $\displaystyle 3 \times 4$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle 4 \times 3$ 矩阵． （1）证明：$\displaystyle \left|\lambda I_{4}-B A\right|=\lambda\left|\lambda I_{3}-A B\right|$ ； （2）若 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=6, A B$ 每行元素之和均为 $\displaystyle 1, B A-2 I$ 不可逆，求 $\displaystyle |B A+2 I|$ ．

1．设 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}, \lambda$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的复特征值，此时 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的相应特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid \mathscr{A} \alpha=\lambda \alpha\} \neq 0$ ． （1）证明 $\displaystyle V_{\lambda}$ 是一个 $\displaystyle \mathscr{B}$－子空间； （2）将 $\displaystyle \mathscr{B}$ 限制到 $\displaystyle V_{\lambda}$ 得到的线性变换记为 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ ，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 可对角化，证明 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ 也可对角化。 （3）若 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 都可以对角化，证明：存在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 在该基下的矩阵都为对角阵。

3．记 $\displaystyle F[x]_{4}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 3 的多项式关于多项式的加法与 $F$ 数乘构成的线性空间．线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: F[x]_{4} \rightarrow F[x]_{4}, f(x) \mapsto f(2-x)$ ．求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征多项式和最小多项式．

1．已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{lllll} 0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & 0 & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ 32 & & & & 0 \end{array}\right) $$ 计算 $\displaystyle f(x)=|x I-A|$ ，并求 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left((x I-A)^{*}\right)-f^{\prime}(x)$ ．

2．设 4 阶正交矩阵 $A$ 无实特征值，证明：存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $$ Q^{T} A Q=\left(\begin{array}{cccc} \cos \theta_{1} & \sin \theta_{1} & & \\ -\sin \theta_{1} & \cos \theta_{1} & & \\ & & \cos \theta_{2} & -\sin \theta_{2} \\ & & \sin \theta_{2} & \cos \theta_{2} \end{array}\right), \theta_{i} \neq k \alpha(i=1,2) $$

5．设 $A$ 为 4 阶实对称矩阵，三个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=4$ ，且 $\displaystyle |A|=-12$ ，其中 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 分别为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 特征子空间，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(\left(V_{1} \oplus V_{2} \oplus V_{3}\right)^{\perp}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

13．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$n$ 维列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ 为 $A$ 的对应特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，证明：线性方程组 $\displaystyle (A-\lambda I) X=\alpha$ 无解．

15．设 $\displaystyle B, C$ 为 $n$ 阶复矩阵。 （1）如果矩阵方程 $\displaystyle A X=X C$ 有非零解，证明：$\displaystyle B, C$ 有公共的特征值． （2）如果 $\displaystyle B, C$ 有公共的特征值，证明：$\displaystyle B X=X C$ 有非零解．

3．设 $A$ 为 4 阶方阵满足 $\displaystyle A^{4}+3 A^{2}+2 I=3 A^{3}+3 A$ ，伴随阵 $\displaystyle (A-I)^{*},(A-2 I)^{*}$ 秩均为 0 ，则 $\displaystyle A^{2}$ 的迹 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。

2、 $f(\lambda)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，若 $f(2+\sqrt{3})=0$ ，则 $f(5)=$ $\_\_\_\_$。

10、设二次型 $f(x)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ ． （1）求 $f(x)$ 的矩阵的特征值与特征向量． （2）求正交线性替换 $X=C Y$ 使 $f(x)$ 为标准型． （3）求 $f(x)$ 在条件 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=4$ 下的最大值．

14、设 $A, B$ 是正定实对称矩阵． （1）证明存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $C A C=I, C^{T} B C$ 是对角元为正数的对角阵． （2）证明 $\sqrt[n]{\operatorname{det}(A+B)} \geq \sqrt[n]{\operatorname{det}(A)}+\sqrt[n]{\operatorname{det}(B)}$ ．

六．（15 分）（学硕）设 $A$ 为 $m$ 阶复方阵，$B$ 为 $n$ 阶复方阵。若 $A$ 与 $B$ 没有公共的特征值，证明：关于 $X$ 的矩阵方程 $\displaystyle A X=X B$ 只有零解． （20 分）（专硕）设 $\displaystyle A, B$ 和 $C$ 是三个 $n$ 阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 是幂零矩阵，$C$ 是可逆矩阵．若它们满足 $\displaystyle A B=B A$ 和 $\displaystyle A C=C A$ ．证明：1．$\displaystyle A+B$ 是幂零矩阵；2．$\displaystyle A+C$ 是可逆矩阵．

1．（4分）求 $a$ 的值．

六．（20分）设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} -2 & 0 & 0 \\ 2 & a & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right) . $$ 且 -1 是 $A$ 的一个特征值．

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

8．设 $f$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，这里 $\displaystyle n \geq 2$ ，它在一组基下的矩阵 $A$ 为对角线元素为 1的若尔当块 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $f$ 的特征多项式，特征值及相应的特征子空间的维数．请回答 $A$ 可以对角化吗？说明理由． （2）证明：矩阵 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 相似．

3）问 $V$ 是否为 $\sigma V, \sigma^{-1}(0)$ 的直和．（本题20分）

4．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关，求 $L\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \ldots, \alpha_{s-1}+\alpha_{s}, \alpha_{s}+\alpha_{1}\right)$的基和维数

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

1、 -3 是 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & -4 \\ -2 & x & -2 \\ -4 & -2 & 3\end{array}\right)$ 的特征值，求 $x$ ．

2、多项式 $f(x)$ 满足，$x-1$ 除 $f(x)$ 余 $5, x+2$ 除 $f(x)$ 余 2 ，求 $(x-1)(x+2)$ 除 $f(x)$的余式。

1、（16 分）$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2025 & 2025 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & a & 4\end{array}\right)$ 有一个二重特征值． （8分）（1）求 $a$ 的值． （8分）（2）判断 $A$ 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{-1} A C=D, D$ 为对角矩阵．

3、（15 分）$A$ 是幂零变换，即存在正整数 $K, A^{k}=0, B$ 满足 $A B+B A=B$ ． （5 分）（1）证明：$E-A$ 可递． （10 分）（2）证明：$B=0$ ．

1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组 $$ \beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m} $$ 线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．

3．（10 分）试证若 $y=\varphi(x)$ 是方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=p(x) \sin y$ 的满足初试条件 $\varphi(0)=0$ 的解，则 $\varphi(x) \equiv 0$ ，其中 $p(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续．

4、（15 分）证明：（1）若 $\displaystyle |A|=1$ ，则 $A$ 为正交矩阵 $\displaystyle \Leftrightarrow A$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式． （2）若 $\displaystyle |\mathbf{A}|=-1$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为正交矩阵 $\displaystyle \Leftrightarrow \mathbf{A}$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式乘以 $\displaystyle (-1)$ ．

5、（15 分）设 $\displaystyle A, B, C, D$ 为具有相同特征多项式的三阶复方阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ 中必有两个矩阵相似．

7、在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，定义内积 $(\alpha, \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \alpha=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ． $u, v, w \in \mathbb{R}^{3}$ ，其长度分别为 $1,2,4$ ，它们两两之间夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ． （1）直接写出 $u, v, w$ 的格拉姆矩阵 $G=\left(\begin{array}{lll}(u, u) & (u, v) & (u, w) \\ (v, u) & (v, v) & (v, w) \\ (w, u) & (w, v) & (w, w)\end{array}\right)$ ． （2） $\operatorname{det}\left(I+u^{T} u+v^{T} v+w^{T} w\right)$ 的值．

10、设二次型 $f(x)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ ． （1）求 $f(x)$ 的矩阵的特征值与特征向量． （2）求正交线性替换 $X=C Y$ 使 $f(x)$ 为标准型． （3）求 $f(x)$ 在条件 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=4$ 下的最大值．

六、已知 $V$ 是数域 $P$ 上由对称矩阵的加法和数乘构成的线性空间，且 $\displaystyle U=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}, W=\{\lambda E \mid \lambda \in P\}$ 1．证明 $\displaystyle U, W$ 为 $V$ 上的子空间． 2．求 $U$ 和 $W$ 的基和维数． 3．证明：$\displaystyle V=U \oplus W$ ．

四、二次型 $\displaystyle f(x)=X^{\prime} A X$ 的矩阵 $A$ 的 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=3$ ，且满足 $$ A\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -1 & -4 \\ 2 & -4 \end{array}\right] $$ 1．求 $A$ 的特征值及对应的特征向量． 2．写出 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的表达式． 3．求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为标准型．

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A=3$ ，则行列式 $\operatorname{det}\left(A^{*}-A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

6．设 $F$ 是数域， $$ \begin{aligned} & V_{1}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a+b+c=0, a, b, c \in F\right\} \\ & V_{2}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a-b+c=0, a, b, c \in F\right\} \end{aligned} $$ 则 $\_\_\_\_$是 $V_{1}$ 的一个基，$V_{1}$ 的维数＝ $\_\_\_\_$ ，$V_{1} \cap V_{2}$ 的 维 数 $=$ $\_\_\_\_$。

1．填空题 （1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足 $$ \sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} . $$ 则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式． （8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

2．已知 $A$ 为 3 阶实矩阵，其每行元素之和为 6 ，且 $\displaystyle \alpha_{1}=(,,)^{\prime}, \alpha_{2}=(,,)^{\prime}$ 为方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解。 （1）求 $A$ 的特征值与特征向量； （2）求 $A$ 与 $\displaystyle (A-3 E)^{4}$ ．

5．设 $n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 的秩均为 1 ，且 $A$ 与 $B$ 的迹相同，证明：$A$ 相似于 $B$ ．

6．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & a \\ 1 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 只有一个线性无关的特征向量，则 $A$ 的特征值为 $\_\_\_\_$ ．

7．设 $A$ 的不变因子组为 $1,1,1,1, \lambda, \lambda^{2}(\lambda+1)^{3}$ ，则 $A$ 的 ．Jordan 标准形，特征多项式和极小多项式分别为 $\_\_\_\_$。

二．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right), X=(1, b, 1)^{T}$ 是 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，求 $a$ ．$\displaystyle b, \lambda$ 的值，并讨论 $A$ 是否可以相似对角化．

7．$\alpha, \beta \in \mathbb{F}^{n}, \beta^{T} \alpha=3$ ，则 $\alpha \beta$ 的特征值为？（ $0(n-1$ 重）， 3$)$

8．若 $n$ 阶方阵仅有特征值 1 且只有一个线性无关的特征向量，则 $A$ 的不变因子为？ $\left(1, \cdots, 1,(\lambda-1)^{n}\right)$

八．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \exists f \in \mathbb{C}[\mathbf{x}]$ s．t．$\displaystyle \varphi f(\varphi)=\sigma$ ，其中 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，并且 $\displaystyle \varphi$ 与 $\displaystyle \sigma$ 有相同的特征多项式。

四．$\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}), f(x) \in \mathbb{C}[\mathbf{x}], g(x)$ 是 $A$ 的最小多项式，$\displaystyle (f, g)=d(x)$ ，证明： $\displaystyle (1) \operatorname{rank}(f(A))=\operatorname{rank}(d(A)) ; \quad(2) f(A)$ 可逆 $\displaystyle \Leftrightarrow(f, g)=1$.

1．求 $E-A$ 的逆；

8．若 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素全为 1 ，则其极小多项式为 $\_\_\_\_$ ．

5．已知复矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & a & 2\end{array}\right)$ 有一个二重特征值． （1）求 $A$ 的最小多项式和若尔当标准形． （2）求 $A$ 可对角化的充要条件．

8．给定 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}(X)=X B-B X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，另外取子空间 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0\right\}$ ． （1）求 $W$ 的一组基． （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间． （3）记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $W$ 上的限制 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 的特征值和特征向量． （4）求 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。

11、已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变化，试证 $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{A} \Leftrightarrow V=\mathscr{N} \otimes \operatorname{ker} \mathscr{A}$ 。

5、已知矩阵的迹为 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ ，其中 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ． （1）证明 $\displaystyle \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B), \operatorname{tr}(k A)=\operatorname{tr}(A), \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}$ ． （2）空间 $\displaystyle U=\left\{B \in P^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(B)=0\right\}$ ，试确定 $U$ 的维数，并求 $U$ 的一组基．

9、（1）$\displaystyle A, B$ 是 3 阶复矩阵，$\displaystyle A, B$ 的特征多项式相同，最小多项式相同，试证 A与 B 相似。 （2）试举例（1）对 4 阶复矩阵不成立。

七．（15 分）设 $n$ 阶实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 0\end{array}\right), n \geq 2$ ． （1）求 $A$ 的所有特征值与特征向量． （2）求 $n$ 阶正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{\mathrm{T}} A Q$ 为对角矩阵。

五．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上所有 3 阶对称矩阵关于通常矩阵加法与矩阵数乘构成的线性空间，考察 $V$ 的子空间 $$ U=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}, W=\{k E \mid k \in P\} . $$ 其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹，证明：$\displaystyle V=U \oplus W$ ．

十．（15 分）设 $A$ 是复数域上的 6 阶方阵，$A$ 的最小多项式为 $\displaystyle d(\lambda)=\left(\lambda^{2}-2 \lambda+2\right)^{2}(\lambda-1)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=6$ ，这里 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹． （1）求 $A$ 的特征多项式以及 Jordan 标准型． （2）求 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的 Jordan 标准形．

3．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 的特征值互不相同。定义 $$ C(A)=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid A B=B A\right\} $$ （1）．验证：$\displaystyle C(A)$ 是复线性空间 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的线性子空间； （2）．证明：对于任意 $\displaystyle B, C \in C(A)$ ，有 $\displaystyle B C=C B$ ．

7．（25 分）设 $n$ 阶矩阵 $$ A_{n}=\left(\begin{array}{cccccc} -2 & 1 & & & & \\ 1 & -2 & 1 & & & \\ & 1 & -2 & 1 & & \\ & & 1 & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & & 1 & -2 \end{array}\right) $$ 其特征多项式记为 $\displaystyle f_{n}(\lambda)$ 。 （1）．证明：$\displaystyle f_{n}(\lambda)=(\lambda+2) f_{n-1}(\lambda)-f_{n-2}(\lambda)$ ． （2）．求 $\displaystyle f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda), f_{3}(\lambda)$ ，并求相应的特征值及特征向量． （3）．试写出 $\displaystyle A_{3}$ 的若尔当典范型．

1．（20 分）求一个 3 阶实对称矩阵 $A$ ，满足：特征值为 $\displaystyle 6,3,3$ ，且 6 对应的特征向量为 $\displaystyle \alpha_{1}= (1,1,1)^{T}$ ．

8．（20分）域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上全体 $n$ 阶矩阵组成一个 $\displaystyle n^{2}$ 维线性空间 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C}), A \in M_{n}(\mathbb{C}), A$ 可对角化，特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$（不一定不相等），设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 的变换， $\displaystyle \mathscr{A}(B)=A B-B A$ ， （1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 为域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性变换， （2）．求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的所有 $\displaystyle n^{2}$ 个特征值．

1．（15 分）设 $M$ 是二阶矩阵，求证： $$ M\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) M^{T}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) \Leftrightarrow|M|=1 $$

6．（20 分）设 $V$ 是全体 $n$ 阶实系数矩阵构成的线性空间，定义运算 $$ (A, B)=\operatorname{Tr}\left(A^{T} B\right), \quad A, B \in V . $$ （1）证明：（，）是内积，$V$ 是 $\displaystyle n^{2}$ 维欧式空间． （2）设 $\displaystyle T \in V$ 是给定矩阵，定义映射 $$ \phi(A)=T A, \quad A \in V $$ 证明：$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的线性映射． （3）求 $\displaystyle \phi$ 的伴随算子。

8．（20 分）已知实矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} a_{1} & b_{1} & & & \\ c_{1} & a_{2} & b_{2} & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_{n} \end{array}\right) $$ 满足 $\displaystyle b_{i} c_{i}>0,(i=1,2, \cdots, n-1)$ ．求证：$A$ 有 $n$ 个两两不同的实特征值． （提示：先考虑 $\displaystyle b_{i}=c_{i}(i=1,2, \cdots, n-1)$ 的特殊情况；对一般情形，试找出一个实对角可逆矩阵 $D$ 使得 $\displaystyle D^{-1} A D$ 符合该特殊情形。）

6．（10 分）给定 $\displaystyle m+n$ 阶分块方阵 $$ A=\left(\begin{array}{cc} 0_{m} & B_{m \times n} \\ C_{n \times m} & 0_{n} \end{array}\right), $$ 证明：若 $\displaystyle \lambda$ 为 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle -\lambda$ 也为 $A$ 的特征值．

7．（20 分）（1）求证： 3 阶复矩阵 $A$ 与 $B$ 相似的充要条件是它们有相同的特征多项式和极小多项式； （2）举例说明 4 阶复矩阵即使有相同的特征多项式和极小多项式也不一定相似。

2．（10 分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f_{A}(\lambda)$ 与极小多项式 $\displaystyle m_{A}(\lambda)$ 分别为 $$ f_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^{3}(\lambda+2)^{2}, \quad m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^{2}(\lambda+2) . $$ 求 $A$ 的 Jordan 典范型。

3．（10 分）已知实二次型 $Q$ 满足 $\displaystyle Q(\alpha)=0 \Leftrightarrow \alpha=0$ ．求证：$Q$ 或者正定或者负定．

8．（20 分）设 $\displaystyle M_{k, n}$ 是所有 $\displaystyle k \times n$ 阶复矩阵的集合，$\displaystyle N_{k}^{-}$是所有 $k$ 阶下三角幂么方阵的集合，$\displaystyle N_{k}^{+}$是所有 $n$ 阶上三角幂么方阵的集合。这里的幂么矩阵是指对角线上全为 1 的上三角或下三角。在 $\displaystyle M_{k, n}$ 中定义如下关系 $$ A \sim B \Leftrightarrow \exists P \in N_{k}^{-}, Q \in N_{k}^{+} \text {, s.t. } A=P B Q \text {. } $$ （1）．求证 $\displaystyle \sim$ 是 $\displaystyle M_{k, n}$ 上的等价关系。 （2）．设 $\displaystyle r=\min \{k, n\}$ ，求证 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 是上述等价关系的不变量，也就是说，两个满足该等价关系的矩阵具有相同的 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 值，这里 $\displaystyle \Delta_{i}(i=1, \cdots, r)$ 是矩阵的第 $i$ 个顺序主子式。

3．（20 分）已知矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ -2 & -3 & a \\ 3 & 3 & -4\end{array}\right)$ 的特征多项式有二重根，求 $a$ 的值，并讨论可否对角化．

8．（20 分）$\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})$ 为 2 阶可逆复矩阵集合，$V$ 是迹为 0 的 2 阶复矩阵构成的复线性空间。若 $V$的一个线性子空间 $W$ 满足：$\displaystyle \forall P \in G L_{2}(\mathbb{C})$ 与 $\displaystyle \forall A \in W$ ，总有 $\displaystyle P^{-1} A P$ 落在 $W$ 中，称 $W$ 为 $\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})$－不变子空间。求证：$V$ 的 $\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})-$ 不变子空间只有零空间和 $V$ 。

3．（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A(t)=\left(a_{i j}(t)\right)_{n \times n}$ 中元素（ $\displaystyle a_{i j}(t)$ 为实变量 $t$ 的可微函数。记 $\displaystyle A^{\prime}(t)= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} a_{i j}(t)\right)_{n \times n}$ ．证明：若对 $\displaystyle \forall t \in \mathbb{R},|A(t)|>0$ ，则 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \ln |A(t)|=\operatorname{tr}\left(A^{-1}(t) A^{\prime}(t)\right) $$

4．（15 分）证明：若 $n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=B A$ ，且 $B$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $A$ 可对角化．

6．（20 分）令 $\displaystyle f(x, y)=a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 b_{1} x+2 b_{2} y+c$ ， $$ A_{f}=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right), \quad B_{f}=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{12} & a_{22} & b_{2} \\ b_{1} & b_{2} & c \end{array}\right) . $$ 证明：函数 $f$ 在坐标变换 $\displaystyle \binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=Q\binom{x}{y}+\binom{d_{1}}{d_{2}}$ 下对应的 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(B_{f}\right)$ 保持不变，其中 $Q$ 是二阶正交矩阵。

7．（20 分）设实矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right), a, b, c, d>0$ 。证明：一定存在 $A$ 的特征向量 $\displaystyle (x, y)^{\top} \in \mathbb{R}^{2}$ 满足 $\displaystyle x, y>0$ ．

2．（20 分）设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 2 ，且 -2 是它的二重特征值，若 $\displaystyle (1,0,0)^{\top},(2,1,1)^{\top}$ 都是 $A$ 的属于特征值 -2 的特征向量，求矩阵 $A$ 。

6．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换． （a）．证明：存在正整数 $\displaystyle k \leq n$ ，使得 $$ \operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{n}\right) \quad \text { 且 } \quad \operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{n}\right) . $$ （b）．考虑如下数值指标： （i） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩 $r$ ； （ii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块个数 $m$ ； （iii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块的最大阶数 $n$ ； （iv）（a）中出现最小的 $k$ 。 讨论这些数值之间的关系，并证明你的结论。

7、已知线性映射 $\varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}$ 满足 $\varphi(x, y, z, w)=(10 x-3 z+4 w, 2 x +3 y+2 w, 5 y+z+2 w,-2 x+2 y+z)$ ，则核空间 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ 的维数是

8．线性空间 $\mathbb{C}^{3} \times \mathbb{C}^{3}$ 上的线性变换 $\mathscr{L}$ 定义如下：对 $X, Y \in \mathbb{C}^{3}, \mathscr{L}(X, Y)=(X+2 Y, 2 X-Y)$ ，则 $\mathscr{L}$的所有特征值为 $\_\_\_\_$ ．（若有重数，需写明重数）

9．设 $n \geq 3, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 是不定元，$s_{k}$ 是这 $n$ 个不定元的 $k$ 次方的和，$k=1,2, \cdots$ ，用 $s_{k}$ 表示下述多项式 $\sum_{1 \leq i<j \leq n} x_{i} x_{j}\left(x_{i}+x_{j}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

14．设 $V$ 是 $n \geq 2$ 维欧几里得空间，$v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n} \in V$ ，令 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j}=\left(v_{i}, v_{j}\right)$ 是 $v_{i}$ 与 $v_{j}$的内积． （1）证明：$A$ 是半正定矩阵． （2）证明：$A$ 是正定矩阵当且仅当 $v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 构成 $V$ 的一组基。 （3）若 $\left(v_{i}, v_{i}\right)=1$ 对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，且 $\left(v_{i}, v_{j}\right)=c>0$ 对任意的 $i \neq j$ ．试求 $\operatorname{det}(A)$ ，并判断 $c$满足什么条件时，$A$ 是正定矩阵。

9．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，且 $\displaystyle A^{2}=B^{2}=E, A B+B A=O$ ． （1）（10 分）证明：矩阵 $A$ 的特征值一个为 1 ，另一个为 -1 ． （2）（10 分）证明：存在可逆矩阵 $\displaystyle P \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ．

2．求证 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc}2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\ & -1 & 2 & -1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & -1 & 2 & -1 \\ & & & & -1 & 2\end{array}\right)$ 的特征值全大于零。

2．已知 $\displaystyle V=\mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，定义 $V$ 上的变换 $T$ 满足 $\displaystyle T(A)=A+A^{\prime}, A \in V$ ． （1）证明 $T$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）写出 $T$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （3）求 $T$ 的特征值并写出特征子空间的一组基； （4）$T$ 是否可以对角化？ （5）计算 $T$ 中心化子空间的维数，即所有满足 $\displaystyle T X=X T$ 的线性变换 $X$ 所生成的线性空间的维数．

8．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 分别为对应的特征向量，若 $W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s} \in W$ ，证明 $\displaystyle \operatorname{dim} W \geq s$ ．

10．设 $f$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的对称变换，即 $\displaystyle (f(\alpha), \beta)=(\alpha, f(\beta))$ 对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ 成立．证明：$f$ 的特征值全为实数，且 $\displaystyle \min _{0 \neq \alpha \in V} \frac{(\alpha, f(\alpha))}{(\alpha, \alpha)}=\lambda_{1}$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{1}$ 为 $f$ 的最小特征值．

4．已知 $A$ 是元素均为有理数的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle \sqrt{3}$ 为 $A$ 的一个特征值． （1）证明：$\displaystyle -\sqrt{3}$ 也为 $A$ 的一个特征值； （2）证明：$\displaystyle n=3$ 时，存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．

10．（10分）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 为正定矩阵，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ，证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．

8．$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶方阵。 （1） $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 是否等于 $\displaystyle \operatorname{tr}(B A)$ ？ （2）$\displaystyle A, B, A-B$ 正定，证明： $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}-B^{2}\right)>0$ ．

3． 4 阶矩阵 $A$ 的特征值为 $-2,-1,1,2$ ，则 $\left|A^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$。

七．（12 分）证明：实反对称矩阵的特征值为 0 或纯虚数．

4．设 $A$ 为 2 阶矩阵，$\alpha_{1}, \alpha_{2}$ 为线性无关的 2 维列向量，$A \alpha_{1}=0, A \alpha_{2}=2 \alpha_{1}+\alpha_{2}$ ，则 $A$ 的非零特征值为 $\_\_\_\_$

四．设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 2 ，向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,0,-1)^{T}, \alpha_{2}=(2,-1,-1)^{T}$ 是线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的两个解． （1）求 $A$ 的特征值和特征向量． （2）求正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\displaystyle \Lambda$ ，使得 $\displaystyle Q^{T} A Q=\Lambda$ ．

7．$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$ 的解空间为 $V_{1}, x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}$ 的解空间为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 的维数 $\_\_\_\_$ ．

八．$A$ 是 $n$ 阶矩阵， $\displaystyle 1,-1$ 不是 $A$ 的特征值． （1）求证：$\displaystyle A^{2}-E$ 是可逆矩阵． （2）证明：存在次数小于等于 $\displaystyle n-1$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，满足 $\displaystyle f(A)=\left(A^{2}-E\right)^{-1}$ ．

4．（5 分）设 2 阶可逆方阵 $A$ 的特征多项式是 $\displaystyle f(x)=x^{2}-10 x-24$ ，则 $\displaystyle A^{-1}$ 的特征多项式是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

8．（15分）设 3 阶方阵 $A$ 的 3 个特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2, \lambda_{3}=3$ 对应的特征向量 $\displaystyle \xi_{1}=(1,1,1)^{T}, \xi_{2}=(1,2,4)^{T}, \xi_{3}= (1,3,9)^{T}$ ，向量 $\displaystyle \beta=(1,1,3)^{T}$ ．求 $\displaystyle A^{n} \beta$ ，其中 $n$ 是一个正整数．

9．（15 分）设 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$ 是一个 $n$ 阶方阵，称 $A$ 的对角线元素之和为 $A$ 的迹，记为 $\displaystyle \operatorname{tr} A$ ．即 $\displaystyle \operatorname{tr} A=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$ 。令 $\displaystyle W_{1}=\left\{A \in M_{n}(\mathbb{F}) \mid \operatorname{tr} A=0\right\}$ ，其中 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上全体 $n$ 阶方阵构成的向量空间． （1）证明：$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 的子空间． （2）求 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 的一个子空间 $\displaystyle W_{2}$ ，使得 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

4．设 $A$ 为行列式等于 1 的 3 阶正交矩阵，则 $A$ 必有实特征值 $\_\_\_\_$ ．

八．（15 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ．证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 的特征值为 1 或 0 ． （2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ．

5．若 $A$ 是 $n$ 阶方阵，证明：（1）$\displaystyle A^{n}=0$ 当且仅当 $A$ 的特征值全为 0 ；（2）若 $\displaystyle A^{n}=0$ ，则 $\displaystyle |A+E|=1$ ．

9．设矩阵 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)=(\lambda+1)^{3}(\lambda-2)^{2}(\lambda+3)$ ，最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)= (\lambda+1)^{2}(\lambda-2)(\lambda+3)$ ，求：（1）$A$ 的所有不变因子；（2）$A$ 的若尔当标准型．

7、（15 分）已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 的全部特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，求 $\displaystyle 2 n$ 阶矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & A^{2} \\ A^{2} & A\end{array}\right)$ 的全部特征值．

9、（15 分）已知 $\displaystyle J=J_{n}\left(\lambda_{0}\right)$ 是特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的 $n$ 阶若尔当块，证明：和 $J$ 可乘法交换的 $n$ 阶矩阵必定可以表示为 $J$ 的次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式。

1．求 $a, b$ 的值，使得 $(x-1)^{2} \mid f(x)$ ；

一．已知三阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & a \\ -1 & -1 & 4 \end{array}\right) $$ $\displaystyle f(x)=|x E-A|$ 是 $A$ 的特征多项式，且 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 是 $A$ 的最小多项式． （1）求 $a$ 及 $\displaystyle f(x)$ ； （2）求 $A$ 的初等因子； （3）$A$ 是否与对角矩阵相似？请说明理由．

七．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=A+B$ ．证明： （1）$\displaystyle A B=B A$ ； （2）$\displaystyle \lambda=1$ 不是 $A$ 的特征值； （3）若 $A$ 相似于对角阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同时为对角阵．

二．已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ a & 2 & 1 \\ 1 & -1 & b\end{array}\right)$ 有特征向量 $\displaystyle \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle a, b$ 的值； （2）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角阵； （3）求 $\displaystyle A^{2022}$ ．

1．给定矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\ 4 & -7 & 8 \\ 6 & -7 & 7 \end{array}\right) $$ （1）求 $A$ 的特征值和最小多项式． （2）求 $A$ 的初等因子和 Jordan 标准形．

5．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=4 B+3 A-10 E$ ．证明： （1）$\displaystyle \lambda=4$ 不是 $A$ 的特征值，且 $\displaystyle A B=B A$ ． （2）若 $A$ 相似于对角矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 均为对角矩阵．

7．设复方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，记 $\displaystyle \bar{A}=\left(\bar{a}_{i j}\right)_{n \times n}\left(\bar{a}_{i j}\right.$ 为 $\displaystyle a_{i j}$ 的共轭复数）．如果复方阵 $A$ 满足 $\displaystyle (\bar{A})^{T}=A$ ，称 $A$为 Hermite 矩阵．证明： （1）若复方阵 $A$ 为 Hermite 矩阵，则 $A$ 的特征值均为实数． （2）若复方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A(\bar{A})^{T}=A^{2}$ ，则 $A$ 为 Hermite 矩阵。

6．解答如下问题： （1）已知 $\displaystyle \bar{A}^{\mathrm{T}} A=E$ ，证明：$A$ 特征值模长为 1 ． （2）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，且 $A$ 正定，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ．证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．

7．已知线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}(X)=A X B$ ，其中 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，$A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{i}, B$ 的特征值为 $\displaystyle \mu_{j}$ ．证明： （1）$\displaystyle \lambda_{i} \mu_{j}$ 为 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值． （2）存在正整数 $k$ 使得 $\displaystyle \mathscr{T}^{k}=\mathscr{O}$ 等价于存在正整数 $s$ 使得 $\displaystyle A^{s}=O$ 或 $\displaystyle B^{s}=O$ ．

2．$\left|\begin{array}{lllll}1 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ 3 & 2 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ 3 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} \\ 3 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & n\end{array}\right|\left(\begin{array}{ll}n^{3} & 2\end{array}\right)$（注：对角线上元素分别为 $1,2, \mathrm{~L} n$, 其余元素为 3）

九、（20 分）设 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的特征值全为实数，且 $A$ 的一阶主子式之和、二阶主子式之和全为 0 ，证明 $\displaystyle A^{n}=O$ 。

九（20 分）、设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle f, g$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $f$ 有 $n$ 个互异的特征根，证明 $\displaystyle \mathrm{fg}=\mathrm{gf}$ 当且仅当 g 是 $\displaystyle \mathrm{f}^{0}=\mathrm{I}, \mathrm{f}, \mathrm{f}^{2}, \cdots, \mathrm{f}^{\mathrm{n}-1}$ 的线性组合

五、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}b & c & a \\ c & a & b \\ a & b & c\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}c & a & b \\ a & b & c \\ b & c & a\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right)$ ，证明： （1）$\displaystyle A, B, C$ 彼此相似； （2）若 $\displaystyle B C=C B$ ，则 $A$ 至少有两个特征根为 0 。（25 分）

一、判断题目：（20分） （2）若向量组的一个线性组合为零，则该向量组线性相关； （3）$\displaystyle V_{1}=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}=0\right\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的子空间； （4）矩阵相似具有相同特征多项式； （5）合同矩阵具有相同的负惯性指数

三、（20分）设 $A$ 是 3 阶对称矩阵，且 $A$ 的各行元素之和都是 3 ，向量 $$ \alpha=(0,-1,1)^{T}, \beta=(-1,2,-1)^{T} $$ 是方程 $\displaystyle A x=0$ 的解。 （1）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值和特征向量； （2）求正交矩阵 $Q$ 和矩阵 $B$ ，使行 $\displaystyle Q^{T} B Q=A$ 。

八、（20 分）设 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式相同，求证 $\displaystyle \exists \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha, \mathbf{A} \alpha, \mathbf{A}^{2} \alpha, \cdots, \mathbf{A}^{n-1} \alpha$ 是 $V$ 的一个基．

六、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶方阵，且满足矩阵方程：$\displaystyle A X=X B$ ，若 $\displaystyle A, B$ 没有相同的特征值，证明该方程只有零解．

四、（20分）设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的达，证明 $$ A^{n}=0 \text { 当且仅当 } \operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, k=1,2, \cdots, n \text {. } $$

一、（20分）已知 $n$ 阶方阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{1}^{2} & a_{1} a_{2}+1 & \cdots & a_{1} a_{n}+1 \\ a_{2} a_{1}+1 & a_{2}^{2} & \cdots & a_{2} a_{n}+1 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n} a_{1}+1 & a_{n} a_{2}+1 & \cdots & a_{n}^{2} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} a_{i}=1, \sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}=n$ ． （1）求 $A$ 的全部特征值； （2）求 $A$ 的行列式和迹．

五、（25 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ （1）求 $A$ 的特征多项式，并确定其是否有重根； （2）求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}$ 为对角阵； （3）设 $V$ 为所有与 $A$ 可交换的实矩阵的全体，求证：$V$ 是实数域上的向量空间，并求 $V$ 的维数．

四、（20分）设 $\displaystyle \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 为 $\displaystyle \tau$ 的两两不同的特征根，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}$ 分别为属于特征根 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 的特征向量，若 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{m} \in W$ ，求证：$\displaystyle \alpha_{i} \in W(i=1,2, \ldots, m)$ ．

八、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，求证：属于 $A$ 的不同特征值的特征向量一定正交。

九、（15 分）已知线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在一组基下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 3 \\ 3 & -5 & 3 \\ 6 & -6 & 4\end{array}\right)$ ，求复数域上线性空间 $V$ 的线 性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值与特征向量。

十、（ 15 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是线性变换 $A$ 的两个不同特征值，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 是分别属于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的特征向量，（1） 证明：$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 线性无关；（2）证明：$\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$ 不是 $A$ 的特征向量．

八、（20分） 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹，证明：$\displaystyle A^{n}=0$ 当且仅当 $$ \operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, \quad k=1,2, \cdots, n . $$

六、（15分） 设二次型为 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ， （1）求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值； （2）若 $f$ 的规范形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值．

五、（15 分） 设 $A$ 是一个 3 阶方阵，且满足下列等式 $$ A\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) $$ 求矩阵 $A$ ，并求 $A$ 的全部特征值。

六、（15 分） 设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 3 个互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 分别是 $A$ 属于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$的特征向量，证明：$\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$ 不是 $A$ 的特征向量．

三、（15 分） 设 $\displaystyle \alpha=\left(\begin{array}{l}1 \\ t \\ 1\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ 的逆矩阵的特征向量，求 $t$ 的值。

九、（15 分） 设 $A$ 为三阶实对称矩阵，且满足条件 $\displaystyle A^{2}-4 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $\displaystyle r(A)=2$ 。 求：（1）$A$ 的所有特征值； （2）当 $k$ 为何值时，矩阵 $\displaystyle A+k E$ 为正定矩阵。

六、（15分） 设 $A$ 为三阶矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性无关的三维列向量，且满足 $$ A \alpha_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}, A \alpha_{2}=4 \alpha_{1}+\alpha_{2}, A \alpha_{3}=\alpha_{3} $$ （1）求矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right) B$ ； （2）求矩阵 $A$ 的特征值； （3）求可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵。

九、（15 分） 设二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{\mathrm{T}} A X=a x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3} \quad(b>0), $$ 其中二次型的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为－ 12 ． （1）求 $a$ 和 $b$ 的值； （2）利用正交变换将二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

六、（15 分） 设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，且满足 $\displaystyle A^{2}+2 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $\displaystyle =2$ ． （1）求 $A$ 的全部特征值； （2）当 $k$ 为何值时，矩阵 $\displaystyle A+k E$ 为正定矩阵，其中 $E$ 是 3 阶单位矩阵．

5．设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是数域 $P$ 上的 $(n-m) \times n$ 矩阵。令 $V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}$ ， $V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\}$ ．已知矩阵 $C=\binom{A}{B}$ 可逆，证明：$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

8．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 12 & 2022 \\ 0 & 0 & 25 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，证明：矩阵方程 $X^{2}=A$ 无解，其中 $X \in \mathbb{C}^{3 \times 3}$ ．

3．矩阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-3)^{2}$ ，若不计若尔当块的排列顺序，求 $A$ 的所有可能的若尔当标准形．

3．设 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 为整系数多项式，并且 $(a+b) c$ 为奇数．证明：$f(x)$ 在有理数域上不可约．

4．设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换， $\operatorname{Im} \mathscr{A}=\{\mathscr{A} \xi \mid \xi \in V\}, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\{\xi \mid \mathscr{A} \xi=0, \xi \in V\}$ 。证明： $\operatorname{Im} \mathscr{A}^{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A}$ 当且仅当 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．

2．对于 $n$ 阶实矩阵 $A$ 及任意的 $n$ 维列向量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ ，且 $X_{n} \neq 0$ ，满足 $$ A X_{1}=X_{2}, A X_{2}=X_{3}, \cdots, A X_{n-1}=X_{n}, A X_{n}=0 $$ 证明： （1）（8 分）$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关． （2）（ 8 分）求 $A$ 的所有特征值及特征向量． （3）（ 4 分）$A$ 是否可以对角化？为什么？

7．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，且 $A B=B A$ ，证明：$A B$ 也正定．

2．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间． （1）若 $V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，证明：在 $V$ 上存在唯一的幂等变换 $\mathscr{A}\left(\mathscr{A}^{2}=\mathscr{A}\right)$ ，使得 $$ V_{1}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}, V_{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A} . $$ （2）设 $$ \begin{gathered} V_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in P^{n} \mid x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0\right\}, \\ V_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in P^{n} \mid x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}\right\} . \end{gathered} $$ 证明：$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ，并求 $P^{n}$ 上的幂等变换 $\mathscr{A}$ ，使得 $V_{1}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}, V_{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A}$ ．

3．设 $a<0, X$ 为 $n-1$ 维实列向量，$B$ 是 $n-1$ 阶正定矩阵，证明：$A=\left(\begin{array}{cc}a & X^{\mathrm{T}} \\ X & B\end{array}\right)$ 的正惯性指数为 $n-1$ ．

8．设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，证明：存在多项式 $f(x)$ ，使得 $f(A)=A^{-1}, f(B)=B^{-1}$ ．

1．设 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j}=\min \{i, j\}, 1 \leq i, j \leq n$ ． （1）计算 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式． （2）证明：$A$ 正定．

13、 $A$ 有不同特征值，$\displaystyle A B=B A$ ，证明：存在 $f$ 使 $\displaystyle B=f(A)$ ．

14、若 $A$ 半正定，$B$ 正定，证明：$\displaystyle |A+B| \geqslant|B|$ ，等号成立 $\displaystyle \Leftrightarrow A=0$ ．

3、 $A$ 为正定阵，在条件 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 下，二次型 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) A\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 最大值最小值为 4,1 ，且 $\displaystyle |A|=8$ ，求 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6、设 $\displaystyle A=\beta \alpha^{\top}$ ，且 $\displaystyle \alpha^{\top} \beta=0$ ，求 $A$ 的特征值和特征子空间的一组基．

7、设 3 阶实对称阵 $A$ 有特征值 $\displaystyle 1,2,2,1$ 对应 $\displaystyle (1,1,1)^{T}$ ，求 $\displaystyle A^{3}$ ．

2．求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=J$ ．

八．（15 分）设 $\displaystyle V=M_{n}(\mathbb{R})$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上 $n$ 阶矩阵全体，定义 $\displaystyle \sigma: V \times V \rightarrow \mathbb{R}, \sigma(A, B)=\operatorname{tr}\left(A B^{\mathrm{T}}\right)$ ．

5．在三次多项式空间 $P[x]_{3}$ 中，求多项式 $1+x+x^{2}+x^{3}$ 在基 $\left\{2,1+x,-x+2 x^{2}, x+x^{3}\right\}$ 下的坐标 $\_\_\_\_$。

9．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2026 & 2 & -2 \\ 2 & 2029 & -4 \\ -2 & -4 & 2029\end{array}\right)$ ，记 $M=\left\{B \in M_{3}(\mathbb{R}) \mid A B=B A\right\}$（即所有与 $A$ 可交换的 3 阶实矩阵构成的集合），求 $\operatorname{dim} M=$ $\_\_\_\_$ ．

5．设 $A$ 为 $n$ 阶可逆复矩阵，记 $A=\left(\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{array}\right)$ ，其中 $A_{11}$ 为 $m \times(n-m)$ 型矩阵 $(1<m<n)$ ，若 $A_{21}$ 在 $A$ 中所有到代数余子式全为 0 ，证明：$n \leq 2 m$ ．

8．设 $n$ 阶复矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，其中 $\displaystyle n>1$ ． （1）设 $B$ 为一个 $n$ 阶复方阵，且 $B$ 与 $A$ 有完全相同的特征多项式．证明：存在两个复方阵 $\displaystyle P, Q$ ，使得 $\displaystyle A=P Q$ 且 $\displaystyle B=Q P$ ． （2）$C$ 为 $n$ 阶复方阵，且 $\displaystyle A C=C A, C^{n}=O$ ，求矩阵 $C$ ．

8．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $\displaystyle f_{\varphi}(x)=(x+1)^{3}(x-2)^{2}(x+3)$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式，$\displaystyle m_{\varphi}(x)=(x+1)^{2}(x-2)(x+3)$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的极小多项式． （1）求 $\displaystyle \varphi$ 的不变因子； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 的 Jordan 标准型．

二．设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明： （1）$A$ 可以对角化． （2） $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=$ 秩 $\displaystyle (A)$ ．

8．（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换． （1）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可同时对角化，则 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换； （2）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换，则 $\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

7．（20分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 级实矩阵，并设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle B A$ 的非零特征值，以 $\displaystyle V_{\lambda}^{B A}$ 表示 $\displaystyle B A$ 关于 $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间．证明： （1）$\displaystyle \lambda$ 也是 $\displaystyle A B$ 的特征值； （2） $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{A B}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{B A}\right)$ ．

七．（20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 和 $\displaystyle \tau$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的两个线性变换，$\displaystyle \sigma$ 在数域 $P$ 上有 $n$ 个互不相同的特征值，证明：$\displaystyle \sigma$ 的特征向量都是 $\displaystyle \tau$ 的特征向量的充要必要条件是 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．

五．（20 分）$\displaystyle A, B$ 均是 $\displaystyle 4 \times 4$ 级实矩阵，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系中包含 3 个解向量，$\displaystyle B X=0$的一个基础解系中包含 2 个解向量。证明： （1）$\displaystyle A B X=0$ 至少有 3 个线性无关的解向量． （2） $\displaystyle 4 A+5 B$ 一定有实特征向量

八．（20 分）设 $V$ 是复数域上的一个 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明： （1）若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征值，则特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的一个不变子空间． （2）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

九．（20 分）设 $\displaystyle A, B$ 为数域上的 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的 $n$ 个特征值两两不同．证明：$A$ 的特征向量都是 $B$ 的特征向量当且仅当 $\displaystyle A B=B A$ ．

3．一个 $n$ 阶行列式 $D$ 的元素由 $a_{i j}=\max (i, j)$ 给定，则 $D=$ $\_\_\_\_$

4．设 $\alpha$ 为3 维列向量，$\alpha^{T}$ 是 $\alpha$ 的转置，如果 $\alpha \alpha^{T}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\alpha^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

1．如果实方阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$

2．已知三阶矩阵 $A$ 的特征值是 $x^{3}=1$ 的三个不同根，则 $|A+E|=$ $\_\_\_\_$

3．二次型 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ -4 & 2 & 2 \\ -1 & 2 a & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 的秩 $=2$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$

2．秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，则行列式 $|A+E|=$（ （A）$(-1)^{r} 3^{r}$ （B） $3^{r}$ （C）$(-1)^{r} 2^{r}$ （D） $2^{r}$

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 为 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 为 $1 \times n$ 矩阵，且 $|A|=2, ~\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

2．若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为零，且 $R(A)=n-1$ ，则齐次线性方程组 $A x=0$的一个基础解系是 $\_\_\_\_$ （2） $\_\_\_\_$

4．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ 的特征值为 $\lambda_{4}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$ （4） $\_\_\_\_$

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}4 & 6 & 7 & 3 \\ 2 & 5 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & -1 & -1 \\ 7 & -4 & 1 & 2\end{array}\right), A_{11}$ 是 $A$ 中元素 $a_{11}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+2 A_{12}-A_{13}-A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

二．（20 分）设 $V$ 为实数域上的全体 $n$ 阶方阵在通常的运算下松成的线性空间。 $\displaystyle \sigma$为 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\displaystyle A \in V, \sigma(A)=A^{T}$ 。 （1）求 $\displaystyle \sigma$ 的特征值；（2）对于每一个特征值，求其特咙字空间； （3）证明 $V$ 恰为 $\displaystyle \sigma$ 的所有特征子空间的直和。

3．（20分）设 $\eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的一个单位向量，定义 $\mathscr{A}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta$ 为镜面反射。 （1）证明 $\mathscr{A}$ 是一个正交变换，求 $\mathscr{A}$ 的一组标准正交基，并并求 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵。 （2）如果 $n$ 维欧氏空间中，正交变换 $\mathscr{A}$ 以 1 作为特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 $V_{1}$ 的维数为 $n-1$ ，则 $\mathscr{A}$ 一定为镜面反射。

2．$\tau$ 为 $V$ 上的一个对称变换．

2．求一个正交线性替换 $X=T Y$ ，将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并求此标准形．

1．设矩阵 $A=A_{m \times n}, B=B_{n \times m}(m \leq n)$ ，证明：$\left|\lambda E_{n}-B A\right|=\lambda^{n-m}\left|\lambda E_{m}-A B\right|$ ．

1．秩 $\left(A^{n}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+1}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+2}\right)=\cdots$ ．

一．把复数域上的矩阵 $$ J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)=\left(\begin{array}{cccccc} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0} \end{array}\right) $$ 称为 $n$ 阶循环矩阵． （1）证明 $\displaystyle V=\left\{J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right) \mid a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1} \in \mathbb{C}\right\}$ 是线性空间，并求其维数和一组基； （2）求 $\displaystyle J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)$ 的特征值及行列式 $\displaystyle \left|J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)\right|$ ．

七．已知 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，且 $\displaystyle \sigma^{m}=\mathrm{id}_{V}$ ，其中 $\displaystyle m>1$ 为正整数， $\displaystyle \mathrm{id}_{V}$ 为 $V$ 上的恒等变换． （1）证明 $\displaystyle V_{\sigma}=\{u \in V \mid \sigma(u)=u\}$ 为 $V$ 的子空间，并称其为 $V$ 的不动子空间； （2）对任意的 $\displaystyle u \in V$ ，其在 $\displaystyle V_{\sigma}$ 上的正交投影为 $\displaystyle \bar{u}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(u)$ ； （3）证明 $\displaystyle V_{\sigma}$ 的维数等于 $\displaystyle \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}$ 的迹． ## （第三、四、六题回忆数据可能不准，11月份之前会根据官方修订真题）

三．设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反称矩阵．证明： （1）$\displaystyle A-B^{2}$ 是正定矩阵； （2）$\displaystyle T=(E-B)(E+B)^{-1}$ 为正交矩阵； （3）-1 不是 $T$ 的特征值．

3．（20 分）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & c & -1 \\ 1-c & -a & 0 \\ 5 & 3 & b\end{array}\right)$ 有一特征向量 $\displaystyle \alpha=(-1,1,-1)^{T}$ ． （1）若 $\displaystyle |A|=0$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？为什么？ （2）若 $\displaystyle |A|=-1$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？此时求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$及可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

1、求 $\mathbf{A}$ 的行列式 $|\mathbf{A}|$ ．

2、求 $\mathbf{A}$ 的所有特征值．

2、求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ，使得 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵．

3、求 $A^{n}$ ，其中 $n$ 是正整数．

4、 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，且 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明： $$ \lambda_{k}=\min _{\operatorname{dim} S=n-k+1} \max _{X \in S, X \neq 0} \frac{(A X, X)}{(X, X)},(k=1,2,3, \cdots, n) $$ 其中 $S$ 为向量空间，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ，内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 为 (X, X)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ ，其中 $$ Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T} $$

7．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上全体 $\displaystyle n \times n(n \geq 2)$ 阶实对称矩阵构成的线性空间，对任意 $\displaystyle A, B \in V$ ，定义 $\displaystyle (A, B)=\operatorname{tr}(A B)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 表示 $\displaystyle A B$ 的迹． （1）证明：$V$ 是欧氏空间． （2）$\displaystyle W=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}$ ．证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，并求 $W$ 的维数． （3）求 $W$ 的正交补空间 $\displaystyle W^{\perp}$ 的维数．

七、设 $\displaystyle A, B, C, D$ 为数域 $P$ 上的四个 3 阶矩阵，它们具有相同的特征多项式，证明 $\displaystyle A, B, C, D$ 中至少有两个矩阵相似。

四、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2 ，且－2 是它的二重特征值，若 $\displaystyle (1,0,0)^{T},(2,1,1)^{T}$都是 $A$ 的属于特征值－ 2 的特征向量，求矩阵 $A$ 。

八、（15 分）设 A 是 n 阶实方阵，满足 $\displaystyle \mathrm{A}^{2}=\mathrm{A}^{-1}$ ，求 A 的所有可能特征值。

十、（15 分）设 A 是 n 阶实对称矩阵， E 是 n 阶单位阵，证明： （1）如果 A 正定，则 A 的特征值全大于零。 （2）如果 A 是正定且正交的矩阵，证明 $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{E}$ ．

10、（15 分）设 $\displaystyle V=K^{r \times n},(V,(\cdot, \cdot))$ 是一个欧氏空间，其中内积的定义为：对任意的 $\displaystyle A, B \in V,(A, B)=\operatorname{tr}\left(A B^{T}\right)$ 又设 $\displaystyle U=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}, W=\left\{B \in V \mid B^{T}=-B\right\}$ ，证明： $\displaystyle U \perp W$ 且 $\displaystyle V=U \oplus W$ 。

6．（15分）设 $A$ 是复数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵，秩 $\displaystyle (A)=1, A$ 的迹 $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ，求 $A$ 的若尔当标准形，初等因子，不变因子，最小多项式。

9、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值全为实数．

7．设 $A=\left(\begin{array}{llllll}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的不变因子组和初等因子组．

8．设 $$ F[x]_{n}=\left\{a_{n} x^{n}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \mid a_{n}, \cdots, a_{1}, a_{0} \in F\right\} $$ 求线性变换 $\mathscr{D}: F[x]_{n} \rightarrow F[x]_{n}, \mathscr{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$ 的特征多项式和所有特征值．

17．设 $\varphi, \psi$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\varphi^{2}=\varphi$ ．证明： （1） $\operatorname{Ker} \varphi=\{\alpha-\varphi(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ． （2） $\operatorname{Ker} \varphi, \operatorname{Im} \varphi$ 均是 $\psi$－不变子空间的充分必要条件是 $\psi \varphi=\varphi \psi$ 。

7．（5分）设 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，求 $A$ 的极小多项式．

10．（5 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶实方阵，且存在 $n$ 阶复可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1} A P$ ，试问：是否存在 $n$ 阶实可逆矩阵 $Q$ 使得 $B=Q^{-1} A Q$ ？若是，请说明理由；若否，请给出反例．

16．（ 12 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，若 $\operatorname{det}(x A-B)=0$ 的根全是 1 ，证明：$A=B$ ．

四．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，$A$ 可逆，且满足 $\displaystyle 2 A^{-1} B=B-4 E$ ．证明：$\displaystyle A-2 E$ 可逆，并求其逆矩阵。 五。设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X=a x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 b x_{1} x_{3}$ ，其中，$\displaystyle b>0$ ，且 $A$的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ． 1．求参数 $\displaystyle a, b$ 的值； 2．利用正交变换将二次型化成标准型，并写出所用的正交变换．

四、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $P$ 上所有 $n$ 阶矩阵到数域 $P$ 上的线性函数，即对任意 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 和数 $k$ 都有 $$ f(A+B)=f(A)+f(B), f(k A)=k f(A) $$ 再设 $\displaystyle f(A B)=f(B A)$ ，证明： （1）$\displaystyle f(0)=0$ ． （2）若 $\displaystyle i \neq j$ ，则 $\displaystyle f\left(E_{\mathrm{ij}}\right)=0$ ． （3）若 $\displaystyle i \neq j$ ，则 $\displaystyle f\left(E_{i i}\right)=f\left(E_{i j}\right)$ ． （4）存在常数 $C$ ，使 $\displaystyle f(A)=C \cdot \operatorname{tr}(A)$ ．

1、（5分）求 $D_{3}$ ．

3．$\displaystyle C \in M_{m \times n}(\mathbb{C}), r(C)=r$ ，且 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（计重数）．

6．（可能有误）设 $A$ 为三阶可逆实对称矩阵，证明下面两个命题等价： （a） $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ． （b）对任意三阶实反对称矩阵 $S$ ，存在三阶实反对称矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B+B A=S$ ．

8．（可能有误）$\displaystyle A, B$ 为 2026 阶反对称矩阵，证明： （1）$\displaystyle r(A)$ 为偶数． （2）$\displaystyle A B$ 的特征多项式至少有一个二重根．

1．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，证明：$\displaystyle f(x) \mid g(x) \Leftrightarrow \forall h(x) \in P[x]$ ，有 $\displaystyle (f(x)$ ， $\displaystyle h(x)) \mid(g(x), h(x))$ 。

2．若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则 $A+B, A B, A^{-1}$ 中哪些必是正交矩阵，为什么？

5．两个矩阵的特征多项式和最小多项式均相等，是否能得到它们相似？

7．求复矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccccc} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0} \end{array}\right) $$ 的特征值和特征向量．

9．已知 $\displaystyle S=\left\{X Y-Y X \mid X, Y \in \mathbb{F}^{n \times n}\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle S=\left\{X \in \mathbb{F}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(X)=0\right\}$ ． （2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} S$ ．

5．若 $f^{\prime}(x)$ 有 2 重根 $a$ ，那么 $a$ 是多项式 $f(x)$ 的 3 重根吗？为什么？

8．设 $V$ 是实线性空间，$v_{1}, v_{2}$ 是 $V$ 的一组基，且 $V$ 上线性变换 $\mathscr{T}$ 满足 $$ \mathscr{T}\left(v_{1}\right)=v_{1}+v_{2}, \mathscr{T}\left(v_{2}\right)=-2 v_{1}+4 v_{2} . $$ 计算 $\mathscr{T}^{2026}\left(v_{1}\right)$ 在基 $v_{1}, v_{2}$ 下的坐标．

13．设实方阵 $A$ 满足 $A^{4}=-A^{2}$ ，证明：$A$ 的迹等于 0 ．

八．$\displaystyle A, B$ 均为正交矩阵，$\displaystyle |A|=-1,|B|=1$ ． （1）证明 -1 为 $A$ 的特征值； （2）证明：$\displaystyle |A+B|=0$ ．

六．$\displaystyle f(x) \in \mathbb{P}[x], x_{1}, x_{2} \in \mathbb{P}$ 是二次多项式 $\displaystyle f(x)$ 的两个不同根，对数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的线性空间 $V$ 上的非数乘线性变换 $A$ 有 $\displaystyle f(A)=0$ 。 （1）证明：$\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $A$ 的特征值； （2）证明：$\displaystyle V=V_{x_{1}} \oplus V_{x_{2}}$ ．

四．$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，二次型 $\displaystyle f(X)$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B^{T} \\ B & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明：$\displaystyle B^{T} A^{-1} B$ 是正定矩阵； （2）求 $f$ 的正负惯性指数。 五。 $V$ 是有限维实线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换存在复数 $\displaystyle a+b i(b \neq 0)$ 对 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(x)$有 $\displaystyle f(a+b i)=0$ ，证明：$V$ 上存在二维了空间 $W$ ，使得 $\displaystyle A(W) \subset W$ ．

4．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 均为方阵．若 $\displaystyle r(C)=r$ ，证明： $\displaystyle A, B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因式．

4．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 均为方阵．另外，若 $\displaystyle r(C)=r$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因式．

8．（15 分）定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 满足$ $$ (A C, B)=(A, C B), \forall A, B, C \in \mathbb{R}^{n \times n} $$ 证明：存在常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle (A, B)=c \operatorname{tr}(A B)$ ．

8．（15 分）定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的内积（，）满足 $\displaystyle \forall A, B, C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，成立 $\displaystyle (A C, B)=(A, C B)$ ．证明：存在常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle (A, B)=c \operatorname{tr}(A B)$ ．

6．（15 分）设 4 阶方阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & a & b & 1\end{array}\right)$ ．若 4 阶方阵 $A$ 在复数域上可对角化。 （1）求 4 阶方阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式。 （2）确定 $a$ 和 $b$ 的值． （3）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角方阵．

7．（20 分）设 $\displaystyle n \geq 2, V=F^{n \times n}$ 为数域 $F$ 上 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的一个线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}: X \rightarrow X^{\mathrm{T}}, \forall X \in F^{n \times n}$ 。 （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值和特征向量． （2）判断 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是否可以对角化？并说明理由．

2．设 $A$ 是 3 阶实方阵，且 $|E+A|=0,|E+2 A|=0,|E-3 A|=0, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $|E+6 A|=$ $\_\_\_\_$

10．已知 $A$ 是奇数阶正交矩阵，且 $|A|=1$ ，则 1 $\_\_\_\_$ （填＂一定＂或＂不一定＂）是 $A$ 的特征值。

八、（20分） 已知 $A$ 是 $\displaystyle n(n \geq 3)$ 阶矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，且 $\displaystyle A^{*}=A^{2}-2 A-E,|A|=-2$ ． （1）（5 分）证明：$A$ 可相似对角化； （2）（12 分）求 $\displaystyle n=3,4,5,6$ 时，$A$ 的相似对角形； （3）（3分）求 $A$ 的迹（用 $n$ 表示）。

6．已知实二次型 $f=a x_{1}^{2}+8 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ 的符号差为 2 ． （1）求 $a$ 的值． （2）用正交线性替换的方法化二次型为标准形，并写出正交线性替换．

9．设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，线性方程组 $A X=\beta$ 有解．证明： （1）$A X=\beta$ 线性无关解向量的个数至多为 $n-r(A)+1$ ． （2）设 $A$ 的特征多项式中非零根的个数为 $k$ ，则 $k \leq r(A)$ ．（特征值重根按重数计算）

10．设 $A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，$B$ 为可逆矩阵．满足 $r(E-A B)+r(E+B A)=n$ ．设 $S_{1}, S_{2}$分别为 $(E-A B) X=0$ 与 $(E+A B) X=0$ 的解空间．证明： （1）$r(E+B A)=r(E+A B)$ ． （2）$S_{1} \oplus S_{2}=P^{n}$ ． （3）$A$ 是可逆矩阵．

2．（15 分）设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+\lambda x_{2}+\mu x_{3}+1=0 \\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0 \\ 3 x_{3}+(2+\lambda) x_{2}+(4+\mu) x_{3}+4 x_{4}=1\end{array}\right.$ ，其中 $(1,-1,1,-1)^{\prime}$ 为方程组的解。 （1）求该方程组的通解． （2）求符合 $x_{2}=x_{3}$ 的所有解。 3 ．（15 分）（1）求 $x^{4}+x^{2}+1=0$ 的所有复根． （2）设 $\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ 是次数不超过3的首一互异多项式，且 $\left(x^{4}+x^{2}+1\right) \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x^{4} f_{2}\left(x^{3}\right)$ ，求 $\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ 。

3．是否存在特征多项式为 $x^{6}-4 x^{5}+6 x^{4}-8 x^{3}+9 x^{2}-4 x+4$ 的实对称矩阵？说明理由．

2．设 $A, B, C$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵，$A$ 可逆，$A B=B A, C(A+B)=-B A^{-1}$ ．证明：$r(C)=r(B)$ ，且 -1 不是 $C A$ 的特征值．

1．求实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}-x_{2} x_{3}+x_{4}^{2}-2 x_{4} x_{5}$ 的正惯性指数和负惯性指数．

1．设 $V_{1}, V_{2}$ 是某个线性空间的子空间，满足 $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)+1<\infty$ ．证明：$V_{1} \cup V_{2}$ 是子空间．

10．设 $\alpha_{1}=(1,1,1,2)^{T}, \alpha_{2}=(4,6,2 a+7,10)^{T}, \alpha_{3}=(3, a+4,2 a+5, a+7)^{T}, \beta=(2,3,2 a+3,5)^{T}$ ，若 $\beta$ 不能用 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

七．（15 分）设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 线性无关，且 $$ \xi_{i}=a_{1 i} \beta_{1}+a_{2 i} \beta_{2}+\cdots+a_{m i} \beta_{m}(i=1,2, \cdots, s) . $$ 证明：向量组 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s}$ 的秩 $\displaystyle =$ 矩阵 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)_{m \times v}$ 的秩。 人．（ 15 分）证明：若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是正交矩阵 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle \lambda_{0}^{-1}$ 也是 $A$ 的特征值。

九．（ 15 分）设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A-B$ 。证明： （1）$\displaystyle \lambda=1$ 不是 $B$ 的特征值： （2）若 $B$ 相似于对角矩阵，则有可逆矩降 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 与 $\displaystyle T^{-1} B T$ 均为对角矩阵．

四．（ 15 分）设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} a & -2 & 0 \\ b & 1 & -2 \\ c & -2 & 0 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right) . $$ （1）若 $A$ 有特征值 $\displaystyle 4,1,-2$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ ； （2）设 $\displaystyle \alpha=(1, k, 1)^{T}$ 是 $\displaystyle B^{-1}$ 的一个特征向量，求 $k$ ． 五。（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 正定，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值都是实数。

2、设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right)$ 有三个线性无关的特征向量，则 $x, y$ 满足 $\_\_\_\_$ ．

3、设矩阵 $\mathbf{A}$ 是 $\mathbf{3}$ 阶矩阵，特征值是 $\mathbf{1}, 2,3$ ，则 $$ \left(A^{2}\right)^{*}+\left(A^{-1}\right)^{*}+\left(A^{*}\right)^{*} $$ 的全部特征值为 $\_\_\_\_$。

五、设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是 4 维线性空间 $\displaystyle \mathbf{V}$ 的一组基。已知线性变换 在这组基下的矩阵为：$\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathscr{C}$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}$ ， $\displaystyle \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵. （2）求．$\displaystyle /$ 的核与值域． （3）在 $\displaystyle \mathscr{C}$ 的核中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求 .2 在这组基下的矩阵。 （4）在 $\displaystyle \triangle$ 的值域中选一组基，把它扩充成 $V$ 的一组基，并求在这组基下的矩阵。

7．若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $\displaystyle \sigma$ 有 $\displaystyle \_\_\_\_$个不变子空间．

4．（ 20 分）解答如下问题： （1）证明：实反对称矩阵的特征值只能是 0 或纯虚数． （2）设 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{cc}O & E_{k} \\ -E_{k} & O\end{array}\right)$ ，子空间 $\displaystyle W=\left\{A \in \mathbb{R}^{2 k \times 2 k} \mid A S+S A^{\mathrm{T}}=O\right\}$ ，求 $W$ 的维数及一组基．

7．（ 25 分）解答如下问题： （1）设 $M$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle \lambda_{M}$ 是 $M$ 的最大特征值，证明：对于任意非零向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $$ \alpha^{\mathrm{T}} M \alpha \leq \lambda_{M} \alpha^{\mathrm{T}} \alpha $$ （2）若 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & D\end{array}\right)$ 半正定，其中 $\displaystyle A, D$ 为方阵，记 $\displaystyle \lambda_{M}, \lambda_{A}, \lambda_{D}$ 分别为矩阵 $\displaystyle M, A, D$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{M} \leq \lambda_{A}+\lambda_{D}$ ．

1、已知实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+a x_{2}{ }^{2}-2 x_{3}{ }^{2}+b x_{1} x_{3}(b>0)$ ，其中二次型的矩阵 $A$的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．

3、设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ， （1）求 $A$ 的全部特征值． （2）对 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ ，求属于特征值 $\lambda$ 的特征子空间的维数和一组基． （3）求正交矩阵 $P$ ，使 $P^{\top} A P$ 是对角阵，并写出此对角阵．

7、设 $A$ 为 5 阶方阵，其特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda \cdots 9)^{3}(\lambda+5)^{2}$ ，最小多项式 $$ m(\lambda)=(\lambda-9)^{2}(\lambda+5)^{2} $$ 求 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 标准形 $\_\_\_\_$ ， $\mathbf{\lambda}=9$ 的特征子空间的维数为 $\_\_\_\_$ ，以及 $r(-5 I-A)=$ $\_\_\_\_$。 ◯

七、（10 分）设 $V$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换．证明：存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \left\{\alpha, \mathcal{A}(\alpha), \cdots, \mathcal{A}^{n-1}(\alpha)\right\}$ 成为 $V$ 的一组基当且仅当对于 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的任一特征值 $\displaystyle \lambda$ 的几何重数为 1 ．

五、（10 分）设 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上所有 $n$ 阶方阵组成的线性空间，$\displaystyle T: M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{C}$是线性映射，满足：$\displaystyle T(A B)=T(B A),\left(\forall A, B \in M_{n}(\mathbb{C})\right)$ ．证明：对任意 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，总存在 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{C}$ ，使得 $\displaystyle T(A)=\lambda \operatorname{tr}(A)$ ．

1．假如 $A$ 是 4 阶整数矩阵，其有特征值 $\sqrt{5}+\sqrt{3}$ ，那么在复数范围内 $A$ 的相似标准型为 $\_\_\_\_$ ， $\left|2 \sqrt{5} E-A^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

5．假如 $A^{*}$ 是 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$ 的伴随矩阵，$A$ 的行列式等于 $-1, \xi=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ 是 $A^{*}$ 的对应特征值 $\lambda_{0}$ 的特征向量，求 $A$ 所相似的 Jordan 标准型．

6．假如 $A, B, C$ 是实数域上 $n$ 维线性空间上的线性变换，满足 $(A-B) C=C(A-B)$ ，且 $C$ 是幂零的，如果 $B C-C B=10(A-B)$ ，证明：$A$ 和 $B$ 有相同的迹．

7．用 $J$ 表示元素全为 1 的 $n$ 阶方阵 $\displaystyle (n \geq 2)$ ，设 $\displaystyle f(x)=a+b x \in \mathbb{Q}[x]$ ，令 $\displaystyle A=f(J)$ ． （1）求 $J$ 的全部特征值及特征向量． （2）求 $A$ 的所有特征子空间． （3）问 $A$ 是否可对角化？若可以，求可逆矩阵 $\displaystyle P \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角阵．

7．设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵．若存在数域 $K$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为上三角矩阵，则称 $A$ 在数域 $K$ 上可相似上三角化．证明： （1）数域 $K$ 上的矩阵 $A$ 可相似上三角化的充要条件是 $A$ 的所有复特征值都在数域 $K$ 中． （2）若数域 $K$ 上的矩阵 $\displaystyle A, B$ 均可相似上三角化，且 $\displaystyle A B=B A$ ，则 $\displaystyle A, B$ 可同时相似上三角化，即存在可逆矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q, Q^{-1} B Q$ 同时为上三角矩阵。 （3）若 $\displaystyle A B=B A$ ，其中 $B$ 还是幂零矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A+B)$ ．

4．求 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & -1 & & \\ & 0 & \ddots & \\ & & \ddots & -1 \\ -1 & & & 0\end{array}\right)$ 的特征值与特征子空间．

7．已知方程组 $$ (\mathrm{I}):\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=1, \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=2, \\ 4 x_{1}+5 x_{2}-5 x_{3}=-1 . \end{array}\right. $$ 与方程组 $$ \text { (II) : }\left\{\begin{array}{l} a x_{1}+b x_{2}-x_{3}=0 \\ 2 x_{1}-x_{2}+a x_{3}=3 \end{array}\right. $$ 同解，求 $a, b$ 的值以及方程组的通解．

11．已知 $A, B$ 分别为 $m$ 阶，$n$ 阶实对称矩阵，若 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{\mathrm{T}} & B\end{array}\right)$ 为正定矩阵，判断矩阵 $B-C^{\mathrm{T}} A^{-1} C$是否为正定矩阵，并证明你的结论．

八、（本题满分 10 分）设 $\displaystyle A, B$ 为复数域上的 $n$ 级矩阵，且 $A$ 和 $B$ 无公共特征根，证明：关于 $X$ 的矩阵方程 $\displaystyle A X=X B$ 只有零解．

七、（15 分）设 $A$ 是 $n$ 级实对称矩阵并且饸好有 $r$ 个不同的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r}$ 。证明存在矩阵 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{r}$ 满足条件：（1）$\displaystyle A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{r}=E_{r}$ ；（2）$\displaystyle A_{i}^{2}=A_{i}, i=1,2, \cdots, r$ ；（3）$\displaystyle A_{i} A_{j}=0$ ， $\displaystyle i \neq j:(4) \quad A=\lambda_{1} A_{1}+\lambda_{2} A_{2}+\cdots+\lambda_{r} A_{r}$.

4．（本题满分 15 分）设 $\displaystyle \lambda$ 为 $n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 的一个实特征值．证明：存在正整数 $\displaystyle k(1 \leq k \leq n)$ 使得 $\displaystyle \left|\lambda-a_{k k}\right| \leq \sum_{j \neq k}\left|a_{k j}\right|$ ． 战、本题满分 20 分）设 $n$ 级矩阵 $A$ 利 $B$ 可交换．证明：秩 $\displaystyle (A)+$ 秩 $\displaystyle (B) \geq$ 秩 $\displaystyle (A B)+$ 秩 $\displaystyle (A+B)$ ．

8、（本题满分 20 分）设 $A$ 为 $n$ 级可逆实矩阵。证明：存在 $n$ 级正交矩阵 $P$ 利 $Q$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A Q=\left(\begin{array}{llll}\lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0$ ，且 $\displaystyle \lambda_{i}^{2}$ 为 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的特征值 $\displaystyle (i=1,2, \cdots, n)$ ．

3．（本小题满分 15 分）已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}+2 x^{2}-2, g(x)=x^{2}+x-1, \alpha, \beta, \gamma$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的根，求一个整系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使其以 $\displaystyle g(\alpha), g(\beta), g(\gamma)$ 为根。 （4．）（本小题满分 20 分）设 $A$ 为反对称实知阵，$\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个非零特征值，$\displaystyle \alpha+\mathrm{i} \beta$ 为 $A$ 的属丁 $\displaystyle \lambda$ 的复特征向量，其中 $\displaystyle \alpha$ 利 $\displaystyle \beta$ 均为实向量，证明：（1）$\displaystyle \lambda$ 为纯虚数；（2）$\displaystyle \alpha$ 和 $\displaystyle \beta$ 的长度相等且坐相止交．

6．（本小题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $\displaystyle V=P^{n \times n}$ 的一个线性变换，满足 $\displaystyle \sigma(A)=A^{\prime}$ ，其中 $\displaystyle A^{\prime}$ 为 $A$ 的转置矩阵，求 $\displaystyle \sigma$ 的全部特征值及对应的特征向量。

7．（本小题满分 25 分）设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵， $\displaystyle \operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}$ 称为矩阵 $A$ 的迹。（1）若 $\displaystyle f(x)=\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}(x-1)$ 是 6 阶方阵 $A$ 的最小爫项式，且 $\displaystyle \operatorname{Tr}(A)=6$ ，求 $A$ 的若小当标准形；（2）若 $\displaystyle B, C$ 均为对称半止定实矩阵，并且 $\displaystyle T r(B C)=0$ ，证明：对任意的止整数 $\displaystyle m,(B+C)^{m}=B^{m}+C^{m}$ ．

8．（本小题满分 25 分）设 $A$ 是复数域上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle A^{n}=0$ ，且 $\displaystyle A^{n-1} \neq 0$ ，（1）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，其对应的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid A \alpha=\lambda \alpha, \alpha$ 是复向量 $\displaystyle \}$ ，证明：$\displaystyle V_{\lambda}$ 的维数是 1 ；（2）是否存在一个复知阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ？请说明理由． $$ \begin{aligned} & A x=\lambda x \\ & \frac{A^{n} x}{A^{n+1} x}=\lambda^{n} x=0 \\ & f(\partial)=f(\beta)=f(\gamma)=0 \\ & g(\gamma)= \\ & {[x-g(\gamma)][x-g(\beta)=\text { in }} \\ & \hline x-g) x=0 \end{aligned} $$ ## $\displaystyle \pm 1 \pm 2$ （－2）$\displaystyle -8+8-$ $$ \partial^{2} \cdot(\partial+2)-2=0 $$ 102. $$ \begin{aligned} & \gamma^{3}+2 \gamma^{2}-2=0 \\ & \gamma^{2}+\gamma-1= \end{aligned} $$

七、（25分）设 $A$ 为正定矩阵，1）证明对任意的正整数 $m$ ，存在正定矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=B^{m} ; 2$ ）在 $A$ 的特征值两两不同的情形下证明：满足 $\displaystyle A=B^{m}$ 的正定矩阵 $B$ 是唯一确定的．

八、（25分）设 $A$ 为 $n$ 级实对称矩阵，记它的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。设 $A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{1}$ 的一个特征向量为 $\displaystyle u_{1}$ ．证明： $\displaystyle \min _{\substack{x \neq 0 \\ x \perp u_{1}}} \frac{x^{\prime} A x}{x^{\prime} x}=\lambda_{2}$ ．

5．（20分）设 $\displaystyle f(x)=x^{3 m}-x^{3 n+1}+x^{3 p+2}, g(x)=x^{2}-x+1$ ．其中 $\displaystyle m, n, p$ 为非负整数， 证明：$\displaystyle \quad g(x) \mid f(x) \Leftrightarrow m, n, p$ 具有相同的奇偶性．

4．（20 分）设 $Q$ 为有理数域，$\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,3), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(2,0,3), Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 满足： $$ A \alpha_{1}=(-2,1,3), \quad A \alpha_{2}=(0,-1,0), \quad A \alpha_{3}=(-1,-1,0) $$ （i）证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $\displaystyle Q^{3}$ 的一组基；并求线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $T$ ； （ii）求 $\displaystyle Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 的全部特征值与特征向量．

8．（20 分）设 A 为实线性空间 $\displaystyle \mathrm{R}^{3}$ 上的线性变换， E 为恒等变换， A 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-1$ ，令 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \mid(\mathrm{A}-\mathrm{E}) \alpha=0\}, V_{2}=\left\{\alpha \mid\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}+\mathrm{E}\right) \alpha=0\right\}$ 。 证明：（1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 A 的不变子空间；（2） $\displaystyle \mathbf{R}^{3}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

6．（每小题 10 分，共 30 分）设 $\displaystyle \mathbf{F}$ 为一数域， $\displaystyle \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ 表示 $\displaystyle \mathbf{F}$ 上所有迹为 0 的 3 阶矩阵组成的集合。 （1）证明：$\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 是 $\displaystyle M_{3}(F)$ 的一个子空间； （2）求 $\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 的一组基和维数； （3）证明： $\displaystyle \mathbf{M}_{3}(\mathbf{F})=<\mathbf{E}_{3}>\oplus \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ ，其中 $\displaystyle <\mathbf{E}_{3}>$ 表示 3 阶单位矩阵 $\displaystyle \mathbf{E}_{3}$ 生成的子空间。

8．（每小题 10 分，共 20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，它的 $n$ 个特征值排序成 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明： （1）对于 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}(\mathbf{R}$ 为实数域）中任一非零列向量 $\displaystyle \alpha$ ，都有 $$ \lambda_{n} \leq \frac{\alpha A \alpha}{|\alpha|^{2}} \leq \lambda_{1} $$ （2）$\displaystyle \lambda_{n} \leq a_{i i} \leq \lambda_{1}, i=1,2, \cdots, n$ ．

4．（10分）设 M 为半正定矩阵，且可以分块成 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & D\end{array}\right)$ ，其中 A 为方阵，设 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}(M), \lambda_{\text {max }}(A), \lambda_{\text {max }}(D)$ 分别是 $\displaystyle \mathrm{M}, \mathrm{A}, \mathrm{D}$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{\text {max }}(M) \leq \lambda_{\text {max }}(A)+\lambda_{\text {max }}(D)$ ．

7．（ 20 分）设 A 是 n 阶实对称正定矩阵， B 是 n 阶实反称矩阵，求证： （1） B 的特征值为 0 或纯虚数； （2）$\displaystyle |\mathrm{A}+\mathrm{B}|>0$ ．

4．求矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$ 的特征值及重数．

七．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$A$ 的 $n$ 个特征值满足 $\displaystyle \lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{n}$ ，设 $\displaystyle \alpha_{i}$ 为 $A$ 的对应特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 的特征向量． （1）构造正交阵 $S$ ，使得 $\displaystyle S^{\prime} A S=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\}$ ． （2）证明：$\displaystyle \lambda_{1}=\min _{X \in \mathbb{R}^{n}, X^{\prime} X=1} X^{\prime} A X$ ．

三．（可能有误）$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，证明：$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & 2 B \\ -4 B & B\end{array}\right)$ 的特征多项式为 $$ f(\lambda)=|\lambda E-(A+2 B)||\lambda E-(A-2 B)| . $$

6．设 $\alpha=(0,1,-1,0), A=\alpha^{T} \alpha$ ，其中 $\alpha^{T}$ 是 $\alpha$ 的转置，则 $A^{3}$ 的迹为 $\_\_\_\_$ ．

三．（19 分）（1）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征向量，则由 $\displaystyle \alpha$ 生成的子空间 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \alpha$ 的不变子空间。 （2）证明：实数域 $R$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的任何线性变换 $\displaystyle \sigma$ 必有一维或二维不变子空间。

6、设 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，如果 $A$ 还是对称矩阵，那么 $A$ 的特征值是 $\_\_\_\_$ ．

7、设线性变换 $\sigma$ 是四维线性空间 $V$ 上的线性变换，如果 $\sigma$ 有 4 个不同特征值，那么 $\sigma$ 有 $\_\_\_\_$个不同的不变方空间。

七、（20分）$n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, A^{2}=A$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ． （1）（10 分）求 $A$ 的特征值和特征子空间的维数． （2）（10 分）求行列式 $\displaystyle |E+A|$ ．

6．（20分） （1）至少列举 3 条实对称矩阵正定的等价条件； （2）设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{n}$ ，说明当 $a$ 取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是正定矩阵；当 $a$取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是负定矩阵．并证明你的结论．

7．（20分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的若尔当标准形为 $$ J=\left(\begin{array}{lll} J_{1} & & \\ & J_{2} & \\ & & J_{3} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle J_{1}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right), J_{2}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right), J_{3}=(-1)$ ，即存在可逆矩阵 $\displaystyle P=\left(P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5}\right)$ ，其中 $\displaystyle P_{i}$ 是 $P$ 的第 $i$ 列，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ． （1）求 $A$ 的特征多项式、极小多项式； （2）求 $A$ 的初等因子组和不变因子组； （3）$P$ 的列向量中，哪些是 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别是什么．

5．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶复方阵，且有 $\displaystyle A B=B A$ ． （1）设 $\displaystyle \lambda_{1}$ 是 $A$ 的特征值，$\displaystyle V_{\lambda_{1}}$ 是对应的特征子空间，证明：对任意的 $\displaystyle X \in V_{\lambda_{1}}$ ，有 $\displaystyle B X \in V_{\lambda_{1}}$ ； （2）证明：$\displaystyle A, B$ 有公共的特征向量； （3）若 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 都为对角矩阵．

8．设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \langle *, *\rangle$ 是 $V$ 上的内积，已知 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足：对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $$ \langle\varphi(\alpha), \beta\rangle=-\langle\alpha, \varphi(\beta)\rangle . $$ （1）若 $\displaystyle \varphi$ 为同构映射，证明 $n$ 为偶数； （2）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，则 $\displaystyle \lambda$ 是零或者纯虚数．

8．设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $n$ 个复数，且满足 $$ \lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}^{2}=\cdots=\lambda_{1}^{n}+\lambda_{2}^{n}+\cdots+\lambda_{n}^{n}=0 . $$ 证明：$\lambda_{1}=\lambda_{2}=\cdots=\lambda_{n}=0$ ．

1．填空题 （1）若 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ 且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ ，则 $B$ 的秩最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & * \\ 0 & 4 & * \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2023}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）设 $\displaystyle \left(g(\lambda), f(\lambda)=1\right.$ ，且 $\displaystyle f, g$ 均为首一多项式，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}g(\lambda) & 0 \\ 0 & f(\lambda)\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （5）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）子空间 $\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$ 的维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．若 $\displaystyle Q \in M_{n}(\mathbb{C}), Q \overline{Q^{\prime}}=E_{n \times n}$ ，证明：$Q$ 特征值模长为 1 ．举例说明 $\displaystyle \exists P \in M_{2}(\mathbb{C})$ 的特征值模长为 1 ，但 $\displaystyle P \bar{P}^{\prime} \neq E_{2 \times 2}$ ．

3．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，$A B-B A=A$ ，则 $\operatorname{tr}\left(A^{2026}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $V$ 是数域 $F$ 上的 5 维向量空间，$W_{1}$ 和 $W_{2}$ 都是 $V$ 的 3 维子空间，则 $\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)$ 的可能值为 $\_\_\_\_$ ．

7．设 $\Psi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的可逆线性变换，$V$ 的子空间 $W$ 是 $\Psi$ 的不变子空间，证明：$W$ 也是 $\Psi^{-1}$ 的不变子空间。

10．设 $M_{2}(\mathbb{C})$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 2 阶矩阵构成的复向量空间，$A, B, C \in M_{2}(\mathbb{C})$ 且线性无关，证明：存在复数 $a, b, c$ 使得 $a A+b B+c C$ 是可逆矩阵．

12．设 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\alpha, \beta$ 都是复数域上的 $n$ 维非零列向量． （1）求 $A$ 的极小多项式和特征多项式． （2）求 $A$ 的若尔当标准形．

2．直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-z=2, \\ 3 x-y+z=3 .\end{array}\right.$ 求该直线绕 $y$ 轴旋转所得旋转曲面的方程 $\_\_\_\_$ ．