特征值-若尔当标准形

三、（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的一个 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 可对角化的充分必要条件是： $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式 $\displaystyle \left|\mathbf{\lambda} \mathbf{E}_{n}-\mathbf{A}\right|$ 在复数域中的全部根都属于数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 数学 （从而每个根都是 $A$ 的特征值），并且每一根 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$ 的重数等于 $A$ 的属于特征值 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$的特征子空间的维数．

8．（15分）空间直角坐标系下，已知两异面直线的方程分别为 $$ l_{1}: \frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{-1}, \quad l_{2}: \frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{-1} . $$ （1）（10 分）求两条异面直线的公垂线方程． （2）（5 分）求该公垂线在坐标平面 $x O y$ 的射影直线方程．

5．（20 分）对于有限维线性空间 $\displaystyle V, \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换，证明：存在 $V$ 上的两个线性变换 $\displaystyle \mathscr{D}, \mathscr{N}$ ，满足 （1） $\displaystyle \mathscr{D}$ 可对角化． （2） $\displaystyle \mathscr{N}$ 为幂零变换． （3） $\displaystyle \mathscr{A}=\mathscr{D}+\mathscr{N}, \mathscr{D} \mathscr{N}=\mathscr{N} \mathscr{D}$ ．

2、 $\left|A^{*}\right|=|A|^{n-1}$ 且 $\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ．

1．（7分）给定数域 $K$ 上的对角矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{llll} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right) $$ 其中 $\lambda_{i} \neq \lambda_{j}(i \neq j)$ ，求与 $A$ 可交换的数域 $K$ 上的所有 $n$ 阶方阵。

七、（20 分）求 $A$ 的特征值及其线性无关特征向量，若 $A$ 可对角化，求它的可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}7 & -12 & 6 \\ 10 & -19 & 10 \\ 12 & -24 & 13\end{array}\right)$ ．

五．（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & 1 \\ 1 & & & & 0 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccccc} c_{0} & c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_{0} & c_{1} & \ddots & \vdots \\ \vdots & c_{n-1} & c_{0} & \ddots & c_{2} \\ c_{2} & \ddots & \ddots & \ddots & c_{1} \\ c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} & c_{0} \end{array}\right) $$ （1）用 $E$ 及 $A$ 的幂表示循环矩阵 $C$ ． （2）求 $\displaystyle A, C$ 的特征值及 $C$ 的行列式． （3）证明：$C$ 相似于对角阵．

8．证在复数内任何一个 $n$ 级矩阵 $A$ 可表示成一个可对角化矩阵 $B$ 与一个幂零矩阵 $C$ 之和。

2．已知多项式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n}$ ，矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1}\end{array}\right)$ ． （1）证明：$A$ 的不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, f(\lambda)$ ； （2）证明：$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值．

六、设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$ ，求证 $\displaystyle \sigma$ 可对角化．

五、（本题 15 分）复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的一切 $\displaystyle n \times n$ 矩阵的集合 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 为复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性空间，对任何选定的矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，定义映射 $\displaystyle \phi_{A}: \mathbb{C}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{C}^{n \times n}, ~ X \rightarrow A X-X A$ ． （1）求证 $\displaystyle \phi_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 上的线性变换； （2）若矩阵 $A$ 可对角化，求证线性变换 $\displaystyle \phi_{A}$ 也可对角化．

八、（本题10分）设 $V$ 为数域 上的线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上可对角化的线性变换， $\displaystyle 0 \neq v \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{2} v=0$ ，求证 0 为 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征值，且 $v$ 为一个对应的特征向量．

9．令 $A \in \mathbb{C}^{5 \times 5}, A^{3}=E, 1=5-r(E-A)$ ，则 $\operatorname{tr}\left(E+A+A^{2}\right)$ $\_\_\_\_$。

七、设 $V$ 为复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的有限维线性空间，$\displaystyle \alpha, \beta$ 为其上可对角化的线性变换，且 $\displaystyle \alpha \beta=\beta \alpha$ ，求证：$\displaystyle \alpha, \beta$ 可同时对角化．

四、设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & y & 2\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 可对角化的条件； （2）当 $\displaystyle x=1, y=0$ 时，求 $A$ 的约当标准形 $J$ 和可逆矩阵 $P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

5．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & a & 9 \\ 0 & 6 & 0 \\ 4 & 2 b & 0\end{array}\right)$ 相似于对角阵，则 $a$ 与 $b$ 的关系式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．若对称矩阵 $A_{n \times n}$ 为二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的矩阵，证明：$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 半正定的充要条件为存在对称矩阵 $B$ 使 $A=B^{2}$ ．

10．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & 0 \\ 0 & a & 6\end{array}\right)$ 可相似对角化． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\displaystyle X=P Y$ ，将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{T} A X$ 化为标准形．

一．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶实方阵，$A$ 可对角化，且 $\displaystyle B A^{2}=A+B$ ．证明： （1） 1 不是 $A$ 的特征值． （2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 均为对角矩阵。

7．若向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，则 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}-\alpha_{3}, \alpha_{1}+2 \alpha_{3}$ 也线性无关．

1．设 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}, \lambda$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的复特征值，此时 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的相应特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid \mathscr{A} \alpha=\lambda \alpha\} \neq 0$ ． （1）证明 $\displaystyle V_{\lambda}$ 是一个 $\displaystyle \mathscr{B}$－子空间； （2）将 $\displaystyle \mathscr{B}$ 限制到 $\displaystyle V_{\lambda}$ 得到的线性变换记为 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ ，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 可对角化，证明 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ 也可对角化。 （3）若 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 都可以对角化，证明：存在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 在该基下的矩阵都为对角阵。

3．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \operatorname{End}_{F}(V)$ 上的线性变换，$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的最小多项式。 （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 可对角化的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 可分解为互素一次因式的乘积． （2）若 $\displaystyle A^{5}=I, A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，当 $\displaystyle F=\mathbb{Q}$ 或 $\displaystyle F=\mathbb{C}$ 时，$A$ 是否可以对角化？请说明理由．

3．（8 分）设 $B$ 是一个 3 阶矩阵且满足 $A B=B A$ ，证明：$B$ 也可对角化．

2．（5 分）设曲线 $a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 b_{1} x+2 b_{2} y+c=0$ 为双曲线，则它的实轴和虚轴长度的平方和可以用二次曲线的不变量表达为 $\_\_\_\_$ ．

7．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵可以对角化，证明：对 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的任意不变子空间 $\displaystyle W, \mathscr{A}$ 限制在 $W$ 上的变换 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 的矩阵也可以对角化。

8．设 $f$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，这里 $\displaystyle n \geq 2$ ，它在一组基下的矩阵 $A$ 为对角线元素为 1的若尔当块 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $f$ 的特征多项式，特征值及相应的特征子空间的维数．请回答 $A$ 可以对角化吗？说明理由． （2）证明：矩阵 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 相似．

3）问 $V$ 是否为 $\sigma V, \sigma^{-1}(0)$ 的直和．（本题20分）

2、多项式 $f(x)$ 满足，$x-1$ 除 $f(x)$ 余 $5, x+2$ 除 $f(x)$ 余 2 ，求 $(x-1)(x+2)$ 除 $f(x)$的余式。

7、在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，定义内积 $(\alpha, \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \alpha=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ． $u, v, w \in \mathbb{R}^{3}$ ，其长度分别为 $1,2,4$ ，它们两两之间夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ． （1）直接写出 $u, v, w$ 的格拉姆矩阵 $G=\left(\begin{array}{lll}(u, u) & (u, v) & (u, w) \\ (v, u) & (v, v) & (v, w) \\ (w, u) & (w, v) & (w, w)\end{array}\right)$ ． （2） $\operatorname{det}\left(I+u^{T} u+v^{T} v+w^{T} w\right)$ 的值．

11、12维线性空间 $V$ ，且 $A B=B A . \operatorname{dim} V_{A}=5, \operatorname{dim} V_{B}=4, \operatorname{dim} V_{A+B}=6$ ． （1）证明 $A B X=0$ 所生成的线性空间的维数最小值是 3 ． （2）$R(A B) \leq R(A)+R(B)-R(A+B)$ ．

2．设 $A$ 是 3 阶方阵，$P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 。若 $P=\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)$ ， $Q=\left(X_{2}, X_{1}, X_{3}\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $P^{-1}$ 表示 $P$ 的逆。

二．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & a\end{array}\right), X=(1, b, 1)^{T}$ 是 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，求 $a$ ．$\displaystyle b, \lambda$ 的值，并讨论 $A$ 是否可以相似对角化．

八．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \exists f \in \mathbb{C}[\mathbf{x}]$ s．t．$\displaystyle \varphi f(\varphi)=\sigma$ ，其中 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，并且 $\displaystyle \varphi$ 与 $\displaystyle \sigma$ 有相同的特征多项式。

四．（15 分）设 $A$ 为实矩阵满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明： （1）$A$ 可对角化． （2）存在实对称矩阵 $B$ 和正定矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ．

5．已知复矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & a & 2\end{array}\right)$ 有一个二重特征值． （1）求 $A$ 的最小多项式和若尔当标准形． （2）求 $A$ 可对角化的充要条件．

9．（15 分）设 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 都是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶非零矩阵， $$ A_{i}^{2}=A_{i}(i=1,2, \cdots, n), A_{i} A_{j}=0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n) . $$ （1）．证明：$\displaystyle A_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 都可以对角化； （2）．求数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A_{1} P, P^{-1} A_{2} P, \cdots, P^{-1} A_{n} P$ 为对角矩阵。

8．（20分）域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上全体 $n$ 阶矩阵组成一个 $\displaystyle n^{2}$ 维线性空间 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C}), A \in M_{n}(\mathbb{C}), A$ 可对角化，特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$（不一定不相等），设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 的变换， $\displaystyle \mathscr{A}(B)=A B-B A$ ， （1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 为域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性变换， （2）．求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的所有 $\displaystyle n^{2}$ 个特征值．

3．（20 分）已知矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ -2 & -3 & a \\ 3 & 3 & -4\end{array}\right)$ 的特征多项式有二重根，求 $a$ 的值，并讨论可否对角化．

5．（15 分）已知矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 满足 $$ A+A^{2}+\frac{1}{2!} A^{3}+\frac{1}{3!} A^{4}+\cdots+\frac{1}{2019!} A^{2020}=0 $$ 求证：$A$ 可对角化．

4．（15 分）证明：若 $n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=B A$ ，且 $B$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $A$ 可对角化．

9．实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right)$ 可以通过正交相似变换化为对角阵 $\displaystyle \_\_\_\_$

7、已知线性映射 $\varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}$ 满足 $\varphi(x, y, z, w)=(10 x-3 z+4 w, 2 x +3 y+2 w, 5 y+z+2 w,-2 x+2 y+z)$ ，则核空间 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ 的维数是

15、设复数域上全体二元二次型构成集合 $V$ ： $$ V=\left\{q(x, y)=c_{0} x^{2}+c_{1} x y+c_{2} y^{2} \mid c_{1}, c_{2}, c_{3} \in \mathbb{C}\right\} $$ 给定矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，考虑 $V$ 上的线性变换： $$ \varphi_{M}: V \mapsto V, q(x, y) \mapsto q(a x+b y, c x+d y) $$ （1）证明： $\operatorname{det} M$ 是 $\varphi_{M}$ 特征值，当 $M=\left(\begin{array}{cc}\mu & 1 \\ 0 & \mu\end{array}\right), \mu \in \mathbb{C}$ ，计算 $\varphi_{M}$ 属于特征值 $\operatorname{det} M$ 的所有特征向量。 （2）证明：$\varphi_{M}$ 可对角化当且仅当 $M$ 可对角化．

2．已知 $\displaystyle V=\mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，定义 $V$ 上的变换 $T$ 满足 $\displaystyle T(A)=A+A^{\prime}, A \in V$ ． （1）证明 $T$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）写出 $T$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （3）求 $T$ 的特征值并写出特征子空间的一组基； （4）$T$ 是否可以对角化？ （5）计算 $T$ 中心化子空间的维数，即所有满足 $\displaystyle T X=X T$ 的线性变换 $X$ 所生成的线性空间的维数．

9、设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，与 $\displaystyle I_{n}+J(0, n)$ 相似，$\displaystyle I_{n}$ 为单位 $n$ 矩阵，$\displaystyle J(0, n)$ 为对角线元素为 0 的 Jordan 阵，即 $$ J(0, n)=\left(\begin{array}{llll} 0 & & & \\ 1 & 0 & & \\ & 1 & & 0 \\ & & 1 & 0 \end{array}\right) . $$ 证明：存在复问量 $\displaystyle \alpha \in C^{n}$ ，使 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \ldots, A^{n-1} \alpha$ 线性无关．

3．若 $x^{2}-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，求 $r(A+E)+r(A-E)$ ，其中 $E$ 是单位矩阵， $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩．（15 分）

七．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=A+B$ ．证明： （1）$\displaystyle A B=B A$ ； （2）$\displaystyle \lambda=1$ 不是 $A$ 的特征值； （3）若 $A$ 相似于对角阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同时为对角阵．

八．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle U, W$ 是 $V$ 的两个子空间，并且 $\displaystyle V=U \oplus W$ ．任给 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} \in V$ ，其中 $\displaystyle \alpha_{1} \in U, \alpha_{2} \in W$ ，令 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha_{1}$ ．记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}, \operatorname{Im} \sigma=\{\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ．证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ； （2） $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=W, \operatorname{Im} \sigma=U$ ； （3）$\displaystyle \sigma$ 可对角化．

六．解答如下问题： （1）判别多项式 $\displaystyle x^{6}-5 x+6$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上有无重因式； （2）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{4}=E$ ，证明：在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上 $A$ 一定可对角化； （3）设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且满足 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 在数域 $P$ 上可对角化．证明：在数域 $P$ 上，$\displaystyle A, B$ 均可对角化．

四．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ ，且 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(0,-1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(1,1+a, 0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1, a-1,1)^{T} . $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=(1,0,0)^{T}, \eta_{2}=(0,1,0)^{T}, \eta_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ ； （2）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值； （3）当 $\displaystyle a=2$ 时，求一多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(A)=A^{-1}$ ．

3．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的线性变换，$\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,1)^{T}, \varepsilon_{3}=(1,1,1)^{T}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$下的矩阵为 $A$ ，且 $\displaystyle \sigma\left(\varepsilon_{1}\right)=(1,0,0)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{2}\right)=(0,1,1)^{T}, \sigma\left(\varepsilon_{3}\right)=(1,1+a, a)^{T}$ ． （1）若 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，求 $a$ 的值． （2）当 $\displaystyle a=2$ 时，求 $\displaystyle A^{2023}$ ．

5．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=4 B+3 A-10 E$ ．证明： （1）$\displaystyle \lambda=4$ 不是 $A$ 的特征值，且 $\displaystyle A B=B A$ ． （2）若 $A$ 相似于对角矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 均为对角矩阵．

六、（20 分）设 $A$ 为 $n$ 级方阵，且满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．求证：$A$ 相似于对角阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}E_{r} & \\ & O\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle E_{r}$ 为 $r$阶单位矩阵。

七、（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1\end{array}\right)$ ，问矩阵 $A$ 是否可以对角化？若 $A$ 可以对角化，求出一个可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 成对角形．

3．设 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 为整系数多项式，并且 $(a+b) c$ 为奇数．证明：$f(x)$ 在有理数域上不可约．

9、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ ． （1）求 Jordan标准形． （2）求 $\displaystyle B, C$ 使得 $\displaystyle A=B+C, B$ 为幂零阵，$C$ 为可对角化阵．

1．证明：$V$ 是 $\sigma$ 下构成的一个 $\mathbb{R}$ 上的内积空间．

5．在三次多项式空间 $P[x]_{3}$ 中，求多项式 $1+x+x^{2}+x^{3}$ 在基 $\left\{2,1+x,-x+2 x^{2}, x+x^{3}\right\}$ 下的坐标 $\_\_\_\_$。

二．设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明： （1）$A$ 可以对角化． （2） $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=$ 秩 $\displaystyle (A)$ ．

8．（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换． （1）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可同时对角化，则 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换； （2）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换，则 $\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

八．（15 分）已知复数域上的三阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{array}\right) $$ 求 $A$ 所有可能的 Jordan 标准形，并确定 $A$ 可对角化的条件．

10．（20分）设 $n$ 级实矩阵 $A$ 与 $B$ 都可对角化，即存在可逆矩阵 $S$ 与 $T$ ，使得 $\displaystyle S^{-1} A S$ 与 $\displaystyle T^{-1} B T$ 都是对角矩阵。证明：当 $\displaystyle A B=B A$ 时，存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $A$ 与 $B$ 可同时对角化，即 $\displaystyle C^{-1} A C$ 与 $\displaystyle C^{-1} B C$ 都是对角阵。

1．如果实矩阼 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $A^{n}=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A, P$ 均为3阶矩阵，且 $P^{T} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ， $Q=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，则 $Q^{T} A Q=($ （A）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （C）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$

3．（20 分）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & c & -1 \\ 1-c & -a & 0 \\ 5 & 3 & b\end{array}\right)$ 有一特征向量 $\displaystyle \alpha=(-1,1,-1)^{T}$ ． （1）若 $\displaystyle |A|=0$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？为什么？ （2）若 $\displaystyle |A|=-1$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？此时求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$及可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

2、求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ，使得 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵．

8、（20分）设 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中三个非零向量，已知它们两两正交， 记矩阵 $\displaystyle A=\alpha \beta^{T}+\beta \gamma^{T}+\gamma \alpha^{T}$ ． （1）证明：$\displaystyle r(A)=3$ ． （2）$A$ 是否可以相似对角化？请证明你的结论。

1．若 $p(x)$ 是不可约多项式且 $p^{5}(x) \mid f^{2}(x)$ ，是否一定有：$p^{3}(x) \mid f(x)$ ，为什么？

3．若 3 阶非零方阵的所有二阶余子式均等于 0 ，那么其秩是多少？为什么？

6．（20分）设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & -a-1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & a+2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ 在复数域上不可对角化． （1）求 $a$ 的值； （2）对每个 $a$ ，求出 $A$ 的若尔当标准型．

6．（ 20 分）设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -a-1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & a+2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ 在复数域上不可对角化． （1）求 $a$ 的值； （2）对每个 $a$ ，求出 $A$ 的若尔当标准型．

6．（15 分）设 4 阶方阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 2 & 0 \\ 2 & a & b & 1\end{array}\right)$ ．若 4 阶方阵 $A$ 在复数域上可对角化。 （1）求 4 阶方阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式。 （2）确定 $a$ 和 $b$ 的值． （3）求可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $\displaystyle \mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角方阵．

7．（20 分）设 $\displaystyle n \geq 2, V=F^{n \times n}$ 为数域 $F$ 上 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的一个线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}: X \rightarrow X^{\mathrm{T}}, \forall X \in F^{n \times n}$ 。 （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值和特征向量． （2）判断 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是否可以对角化？并说明理由．

八、（20分） 已知 $A$ 是 $\displaystyle n(n \geq 3)$ 阶矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，且 $\displaystyle A^{*}=A^{2}-2 A-E,|A|=-2$ ． （1）（5 分）证明：$A$ 可相似对角化； （2）（12 分）求 $\displaystyle n=3,4,5,6$ 时，$A$ 的相似对角形； （3）（3分）求 $A$ 的迹（用 $n$ 表示）。

九．（ 15 分）设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A-B$ 。证明： （1）$\displaystyle \lambda=1$ 不是 $B$ 的特征值： （2）若 $B$ 相似于对角矩阵，则有可逆矩降 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 与 $\displaystyle T^{-1} B T$ 均为对角矩阵．

7．用 $J$ 表示元素全为 1 的 $n$ 阶方阵 $\displaystyle (n \geq 2)$ ，设 $\displaystyle f(x)=a+b x \in \mathbb{Q}[x]$ ，令 $\displaystyle A=f(J)$ ． （1）求 $J$ 的全部特征值及特征向量． （2）求 $A$ 的所有特征子空间． （3）问 $A$ 是否可对角化？若可以，求可逆矩阵 $\displaystyle P \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角阵．

7．设 $A$ 为复数域上的 $n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle A^{2}$ 在复数域上可相似对角化，证明：$A$ 在复数域上可相似对角化．

10．$A$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上可相似对角化，$\displaystyle \varphi(X)=A X A$ 为 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 上线性变换。证明：$\displaystyle \varphi$ 在 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 上存在一组基使其表示阵为对角阵。

4．设 $n$ 维向量 $\alpha=(t, 0, \cdots, 0, t)^{\mathrm{T}}, t \neq 0, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，矩阵 $A=E-\alpha \alpha^{\mathrm{T}}, B=E+\frac{1}{t} \alpha \alpha^{\mathrm{T}}$ ，其中 $A$ 的逆矩阵为 $B$ ，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

十、（本题满分 15 分）设 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级循环矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0}\end{array}\right)$ ． （1）试把 $A$ 表示为一个 $n$ 级可逆矩阵 $T$ 的多项式； （2）证明：所有的 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级循环矩阵在复数域上可以同时对角化． 科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$高等代数 （共 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2页，第 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2

八、（ 20 分）设 $A$ 是 $n$ 级实矩阵满足 $\displaystyle A^{2}=2 A+3 E_{n}$ 。证明：（1）$A$ 相似于一个对角矩阵；（2）$\displaystyle A+2 E_{n}$是可逆矩阵．

8．（20 分）设 $A, B$ 是两个尺码相同的矩阵，若通过初等变换能把 $A$ 变为 $B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 等价．设 $A$的列向量构成的向量组生成的子空间为 $U, B$ 的列向量构成的向量组生成的子空间为 $V$ 。 （1）（10 分）当 $U=V$ 时，证明：$A$ 与 $B$ 等价； （2）（10 分）请举例说明：当矩阵 $A$ 与 $B$ 等价时，不一定有 $U=V$ ．

13．设 $A, B$ 都是复数域上的 $n$ 阶方阵，证明： $\operatorname{rank}(A B) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-n$ ．