特征值-特征多项式

3、（20分）求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的若尔当标准形

4．矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5\end{array}\right)$ 的初等因子组为 $\_\_\_\_$

九．（15 分）已知 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}, \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T}$ 为两个非零实向量 $\displaystyle (n>1), A=\alpha \beta^{T}$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式； （2）求 $A$ 的若尔当标准形．

1、若 $t \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 为正定矩阵，求 $t$ 的取值范围．

13．已知 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，其度量矩阵为 $G$ 。 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ．证明：$\sigma$ 为对称变换的充要条件是 $A^{\mathrm{T}} G=G A$ ．

七，（20 分）设 3 级复方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 1 \\ -4 & -4 & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ ， （1）$A$ 的不变因子，初等因子． （2）$A$ 的最小多项式． （3）$A$ 的若尔当标准型．

九，（15 分）设 $J$ 为一个 $k$ 级若尔当块，$A$ 为 $n$ 阶复矩阵，$\displaystyle J^{T}$ 和 $\displaystyle A^{T}$ 分别为 $J$ 和 $A$的转置矩阵，证明： （1）$\displaystyle J^{T}$ 和 $J$ 是相似的； （2）存在 $n$ 阶可逆实对称矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=A^{T}$ ．

1、 $A$ 的特征值的实部一定是零；

2、 $\left|A^{*}\right|=|A|^{n-1}$ 且 $\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ．

七、（15分）设 5 阶 $\displaystyle \lambda$－短阵 $\displaystyle A(\lambda)$ 的秩为 4 ，其初等因子为 $\displaystyle \lambda, \lambda, \lambda^{2}, \lambda-1, \lambda-1, \lambda+1,(\lambda+1)^{2}$ ，求 $\displaystyle A(\lambda)$的行列式因子、不变因子及标准形。

七，（20 分）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ 的行列式因子，不变因子，初等因子，最小多项式，若尔当标准形。

九．设 $J$ 为 $k$ 阶若当（Jordan）块，证明： （1）存在两个 $k$ 阶对称矩阵 $\displaystyle S_{1}, S_{2}$ ，使得 $\displaystyle J=S_{1} S_{2}$ ； （2）任一 $n$ 阶复方阵 $A$ 都可以分解为两个对称矩阵的乘积。

六．（20 分）设四阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，求：（1）$A$ 的行列式因子，不变因子，及初等因子；（2）$A$ 的最小多项式及若尔当（Jordan）标准形．

七、 $\displaystyle \left(8+7+5=20\right.$ 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & -1 & a+1\end{array}\right)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的行列式因子、不变因子、最小多项式． （2）求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的初等因子，若尔当标准型． （3）当 $a$ 取何值时，$A$ 与对角形相似．

3．（20分）设 $V$ 是复数域上的有限维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $V$ 的一组基，$V$ 到 $V$ 的线性算子 $\displaystyle \varphi$ 在 $V$上的作用如下： $$ \varphi\left(\alpha_{1}\right)=5 \alpha_{1}, \varphi\left(\alpha_{2}\right)=5 \alpha_{2}, \varphi\left(\alpha_{3}\right)=3 \alpha_{1}+2 \alpha_{2}+5 \alpha_{3}, \varphi\left(\alpha_{4}\right)=6 \alpha_{4} $$ （1）求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵 $A$ ． （2）确定 $A$ 的若尔当标准型 $J$ ． （3）试找 $V$ 的一组新的基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在其下的矩阵为 $J$ ．

2．（6 分）求 $a, b, c$ ，使线性方程组 $A X=B$ 有解 $x_{1}=1, x_{2}=a, x_{3}=b, x_{4}=c$ ．

四、（30 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ k & -1 & -k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$ ． （1）当 $k$ 为何值时，存在可逆矩阵 $P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵？并求矩阵 $P$ 和相应的对角矩阵； （2）当 $\displaystyle k=2$ 时，求出矩阵 $A$ 的若尔当标准形和有理标准形．

七．（15分）设 $\displaystyle P^{m}$ 是次数不超过 $m$ 的一元多项式空间，定义 $\displaystyle P^{m}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $$ \mathscr{A}(f(x))=f(x+1)-f(x) $$ （1）写出 $\displaystyle \mathscr{A}$ 关于基底 $\displaystyle 1, x, \cdots, x^{m}$ 的矩阵 $A$ ． （2）求 $A$ 的 Jordan 标准形与最小多项式． （3）求 $\displaystyle \mathscr{A}^{k}$ 的核空间 $\displaystyle N\left(\mathscr{A}^{k}\right)$ 的维数和一组基．

2．求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right)$ 为 Jordan 标准形。

7．试求矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 7 & 9 & 3\end{array}\right)$ 的不变因子、初等因子及 Jordan 标准形。

8．知 $$ A=\left(\begin{array}{cccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ -a_{n} & -a_{n-1} & -a_{n-2} & \cdots & -a_{z} & a_{n} \end{array}\right) $$ 求 $\displaystyle I I_{n}-A$ 的不变因子。

7．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵为一 Jordan块，证明： （1）$V$ 中任一非零 $\displaystyle \sigma$－子空间都包含 $\displaystyle \varepsilon_{n}$ ； （2）$V$ 不能分解成两个非平凡的 $\displaystyle \sigma$－子空间的直和。

2．已知多项式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n}$ ，矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1}\end{array}\right)$ ． （1）证明：$A$ 的不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, f(\lambda)$ ； （2）证明：$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值．

10．已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的不变因子和 Jordan 标准形．

9．设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-6 \lambda^{2}+32$ ，求 $A$ 的若尔当标准形．

8．矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 的若尔当标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

11．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 5 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准形 $J$ ，并求可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle A=T J T^{-1}$ 。

4．已知矩阵 $A$ 的初等因子为 $\displaystyle \lambda, \lambda^{2},(\lambda+1)^{3}, \lambda-1, \lambda-1$ ，则矩阵 $A$ 的最小多项式是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

五．（15 分）设 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -15 & 6 \\ 1 & -4 & 2 \\ 1 & -5 & 3 \end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{C}) . $$ 求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 及 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle g(\lambda)$ ．

9．对任意实矩阵 $A_{m \times n}$ ，都有 $E+A^{T} A$ 为正定矩阵．

1．计算下列矩阵的 Jordan 标准型 $$ \left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ -4 & 4 & 0 \\ -2 & 1 & 2 \end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{lll} 3 & -1 & 0 \\ 6 & -3 & 2 \\ 8 & -6 & 5 \end{array}\right) \quad\left(\begin{array}{ccc} 4 & -5 & 7 \\ 1 & -4 & 9 \\ -4 & 0 & 5 \end{array}\right) $$

三．设矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2026 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ． （1）求 $B$ 的 Jordan 标准型，并证明 $B$ 的最小多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}$ ． （2）证明：不存在矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{2}=B$ ．

2．设 $A$ 是 3 阶实方阵，且 $|E+A|=0,|E+2 A|=0,|E-3 A|=0, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $|E+6 A|=$ $\_\_\_\_$

6．（15 分）设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵是 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 4 & -1 \end{array}\right) $$ 求 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵。

6．（可能有误）设矩阵 $A$ 的初等因子为 $\lambda, \lambda, \lambda^{3},(\lambda-1)^{2}, \lambda-2,(\lambda-2)^{2}$ ，且 $A$ 的秩为 4 ，则 $A$ 的所有不变因子为 $\_\_\_\_$ ．

17．已知 $A, B$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $B$ 是半正定矩阵，证明：若 $A B^{3}=B^{3} A$ ，则 $A B=B A$ ．

3．已知 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\varphi$ 对于基 $\xi_{1}=(-1,0,2)^{\mathrm{T}}, \xi_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \xi_{3}=(3,-1,-6)^{\mathrm{T}}$ 的像为 $$ \varphi\left(\xi_{1}\right)=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{2}\right)=(0,-1,2)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{3}\right)=(-1,-1,3)^{\mathrm{T}} $$ （1）求 $\varphi$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ 下的矩阵。 （2）设 $x=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\varphi(x)$ ． （3）证明：$\xi_{1}-\xi_{3}, \xi_{2}, \xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的基，并求 $\varphi$ 在该基下的矩阵。

6．设复方阵 $A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda, \lambda^{2}, \lambda^{2},(\lambda-1)^{2}, \lambda+2,(\lambda+2)^{2}$ ，则 $A$ 的最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是复数域上 3 维线性空间 $V$ 的一组基，$V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足 $$ \mathscr{A} \alpha_{1}=3 \alpha_{1}-2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{2}=\alpha_{1}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{3}=-\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3} $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $A$ ，以及 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 。 （2）求 $V$ 的另一组基，使得该基下 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵恰为 $J$ 。

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

8．设 $f$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，这里 $\displaystyle n \geq 2$ ，它在一组基下的矩阵 $A$ 为对角线元素为 1的若尔当块 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $f$ 的特征多项式，特征值及相应的特征子空间的维数．请回答 $A$ 可以对角化吗？说明理由． （2）证明：矩阵 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 相似．

3．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ．

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．已知 $|A-E|=|A-2 E|=|A+E|=2$ ，求 $|A+3 E|$

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

3、（15 分）$A$ 是幂零变换，即存在正整数 $K, A^{k}=0, B$ 满足 $A B+B A=B$ ． （5 分）（1）证明：$E-A$ 可递． （10 分）（2）证明：$B=0$ ．

4．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}a & -b & & & & \\ b & a & 1 & & & \\ & & a & -b & & \\ & b & a & 1 & \\ & & & & a & -b \\ & & & & b & a\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的不变因子，初等因子，若尔当标准型。

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A=3$ ，则行列式 $\operatorname{det}\left(A^{*}-A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

6．设 $F$ 是数域， $$ \begin{aligned} & V_{1}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a+b+c=0, a, b, c \in F\right\} \\ & V_{2}=\left\{a x^{2}+b x+c \mid a-b+c=0, a, b, c \in F\right\} \end{aligned} $$ 则 $\_\_\_\_$是 $V_{1}$ 的一个基，$V_{1}$ 的维数＝ $\_\_\_\_$ ，$V_{1} \cap V_{2}$ 的 维 数 $=$ $\_\_\_\_$。

1．填空题 （1）设3阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), B=\left(\beta_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{det} A=a, \operatorname{det} B=b$ ，则 $\displaystyle \operatorname{det}(A+B)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （2）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & A \\ B & O\end{array}\right)^{-1}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）设 $\displaystyle A, B$ 为 2 阶非零矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ ，则 $A$ 的秩为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）数域 $F$ 上 $n$ 阶反称矩阵全体按照矩阵通常的加法和数乘构成 $F$ 上的线性空间，其维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，基为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）设 $F$ 为数域，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle F^{2}$ 上的线性变换，满足 $$ \sigma:\binom{a}{b} \mapsto\binom{2 a+b}{a+2 b} . $$ 则 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{1}{1}$ 下的矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）已知 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=n-1$ ，设 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 为非线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的两个不同的解，则 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （7）设 $\displaystyle f(x)=x^{4}-2 x^{3}+3 x^{2}+x+7$ ，则多项式 $\displaystyle \_\_\_\_$的根是 $\displaystyle f(x)$ 的根的倒数，且为 4 次多项式． （8）设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}(\lambda-1)^{3}$ ，极小多项式为 $\displaystyle m(\lambda)=\lambda^{2}(\lambda-1)$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

7．设 $A$ 的不变因子组为 $1,1,1,1, \lambda, \lambda^{2}(\lambda+1)^{3}$ ，则 $A$ 的 ．Jordan 标准形，特征多项式和极小多项式分别为 $\_\_\_\_$。

8．若 $n$ 阶方阵仅有特征值 1 且只有一个线性无关的特征向量，则 $A$ 的不变因子为？ $\left(1, \cdots, 1,(\lambda-1)^{n}\right)$

1．证明：$V=\operatorname{ker} \varphi \oplus \operatorname{im} \varphi$ ；2．？［张祖锦注：只有第1问的题目，所以只证了第1问．］

10．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+k x_{2}^{2}+8 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+4 k x_{2} x_{3}$ 是正定二次型，求 $k$ 的取值范围 $\_\_\_\_$ ．

5．已知复矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & a & 2\end{array}\right)$ 有一个二重特征值． （1）求 $A$ 的最小多项式和若尔当标准形． （2）求 $A$ 可对角化的充要条件．

十．（15 分）设 $A$ 是复数域上的 6 阶方阵，$A$ 的最小多项式为 $\displaystyle d(\lambda)=\left(\lambda^{2}-2 \lambda+2\right)^{2}(\lambda-1)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=6$ ，这里 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹． （1）求 $A$ 的特征多项式以及 Jordan 标准型． （2）求 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的 Jordan 标准形．

7．（25 分）设 $n$ 阶矩阵 $$ A_{n}=\left(\begin{array}{cccccc} -2 & 1 & & & & \\ 1 & -2 & 1 & & & \\ & 1 & -2 & 1 & & \\ & & 1 & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & & 1 & -2 \end{array}\right) $$ 其特征多项式记为 $\displaystyle f_{n}(\lambda)$ 。 （1）．证明：$\displaystyle f_{n}(\lambda)=(\lambda+2) f_{n-1}(\lambda)-f_{n-2}(\lambda)$ ． （2）．求 $\displaystyle f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda), f_{3}(\lambda)$ ，并求相应的特征值及特征向量． （3）．试写出 $\displaystyle A_{3}$ 的若尔当典范型．

2．（10 分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle f_{A}(\lambda)$ 与极小多项式 $\displaystyle m_{A}(\lambda)$ 分别为 $$ f_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^{3}(\lambda+2)^{2}, \quad m_{A}(\lambda)=(\lambda-1)^{2}(\lambda+2) . $$ 求 $A$ 的 Jordan 典范型。

7．（20 分）记 $\displaystyle V_{n}(n \geqslant 0)$ 为次数不大于 $n$ 的关于 $\displaystyle x, y$ 的实系数二元多项式生成的空间．求 $\displaystyle V_{2}$ 上线性变换 $$ \mathscr{A}=2 \frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y} $$ 的 Jordan 标准型，并推广到一般情形。

3．（20 分）考虑未定元为 $x$ 和 $y$ 的次数至多为 2 的复系数二元多项式空间。求线性变换 $$ \mathscr{A}: f(x, y) \rightarrow f(2 x+1,2 y+1) $$ 的 Jordan 标准型。

6．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换． （a）．证明：存在正整数 $\displaystyle k \leq n$ ，使得 $$ \operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{n}\right) \quad \text { 且 } \quad \operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{n}\right) . $$ （b）．考虑如下数值指标： （i） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩 $r$ ； （ii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块个数 $m$ ； （iii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块的最大阶数 $n$ ； （iv）（a）中出现最小的 $k$ 。 讨论这些数值之间的关系，并证明你的结论。

1．考虑由所有二阶复系数方阵构成的集合 $$ M_{2}(\mathbb{C})=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{C}\right\} . $$ 已知 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 是以 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为基的复线性空间，这里 $\displaystyle E_{i j}$ 是指除第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 外其余元素均为 0 的二阶方阵。设 $$ B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22} $$ （1）证明：如下映射为线性映射． $$ \begin{aligned} \varphi_{B}: M_{2}(\mathbb{C}) & \rightarrow M_{2}(\mathbb{C}) \\ X & \mapsto \varphi_{B}(X)=B X \end{aligned} $$ （2）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 在上述基下的表示矩阵； （3）分别求核空间 $\displaystyle \operatorname{Ker} \varphi_{B}$ 和像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi_{B}$ 的维数与基； （4）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 的若尔当典范形．

8．已知方阵 $A$ 的初等因子组为 $\displaystyle \lambda, \lambda, \lambda^{2}, \lambda+1,(\lambda+1)^{2},(\lambda-1)^{2}$ ，则 $A$ 的极小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$

10、设 $A=J_{2025}(0)$ ，复线性空间 $V=\left\{X \in M_{2025}(\mathbb{C}) \mid A X=X A^{2}\right\}$ ．则 $\operatorname{dim}(V)=$ $\_\_\_\_$。

10．（15 分）设复矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ． （1）（ 7 分）求矩阵 $A$ 的若尔当标准型矩阵． （2）（8 分）证明：不存在矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ．

5．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{lllll}1 & & & & \\ 2 & 1 & & & \\ 3 & 0 & 1 & & \\ 4 & 0 & 0 & 1 & \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)$ ， （1）求 $A$ 的若尔当标准形； （2）求 $A$ 的不变因子； （3）$\displaystyle A^{2019}$ 是否与 $A$ 相似。

3．已知复数域上的两个三阶方阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 5 \\ 0 & a & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 7 \\ 0 & b & c \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) . $$ （1）讨论矩阵 $A$ 的若尔当标准形； （2）若 $\displaystyle A, B$ 相似，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值．

5．（ 15 分）设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1-a & a & 0 \\ -a & 1+a & b \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ 针对参数 $\displaystyle a, b$ 的不同取值，分别求 $A$ 的不变因子及初等因子．

3．设 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} a & * & * \\ * & 3 & * \\ * & * & 2 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} * & * & * \\ * & * & c \\ * & * & * \end{array}\right) . $$ （1）求 $A$ 的若尔当标准形与不变因子． （2）$A$ 与 $B$ 何时相似？

9、设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，与 $\displaystyle I_{n}+J(0, n)$ 相似，$\displaystyle I_{n}$ 为单位 $n$ 矩阵，$\displaystyle J(0, n)$ 为对角线元素为 0 的 Jordan 阵，即 $$ J(0, n)=\left(\begin{array}{llll} 0 & & & \\ 1 & 0 & & \\ & 1 & & 0 \\ & & 1 & 0 \end{array}\right) . $$ 证明：存在复问量 $\displaystyle \alpha \in C^{n}$ ，使 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \ldots, A^{n-1} \alpha$ 线性无关．

九．（15分）求矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} -4 & 9 & -4 \\ -9 & 18 & -8 \\ -15 & 29 & -13 \end{array}\right) $$ 的不变因子，初等因子，最小多项式，若尔当标准形与有理标准形．

9．设矩阵 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(\lambda)=(\lambda+1)^{3}(\lambda-2)^{2}(\lambda+3)$ ，最小多项式 $\displaystyle m(\lambda)= (\lambda+1)^{2}(\lambda-2)(\lambda+3)$ ，求：（1）$A$ 的所有不变因子；（2）$A$ 的若尔当标准型．

5、（15分）设 $\displaystyle \mathbf{a} \neq \mathbf{0}$ ，求 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccccc}\mathbf{a} & \mathbf{a} & \mathbf{a} & \cdots & \mathbf{a} \\ \mathbf{0} & \mathbf{a} & \mathbf{a} & \cdots & \mathbf{a} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{a} & \cdots & \mathbf{a} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & \mathbf{0} & \cdots & \mathbf{a}\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型．

9、（15 分）已知 $\displaystyle J=J_{n}\left(\lambda_{0}\right)$ 是特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的 $n$ 阶若尔当块，证明：和 $J$ 可乘法交换的 $n$ 阶矩阵必定可以表示为 $J$ 的次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式。

3．若 $x^{2}-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，求 $r(A+E)+r(A-E)$ ，其中 $E$ 是单位矩阵， $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩．（15 分）

一．已知三阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & a \\ -1 & -1 & 4 \end{array}\right) $$ $\displaystyle f(x)=|x E-A|$ 是 $A$ 的特征多项式，且 $\displaystyle (x-1)^{2}$ 是 $A$ 的最小多项式． （1）求 $a$ 及 $\displaystyle f(x)$ ； （2）求 $A$ 的初等因子； （3）$A$ 是否与对角矩阵相似？请说明理由．

1．给定矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\ 4 & -7 & 8 \\ 6 & -7 & 7 \end{array}\right) $$ （1）求 $A$ 的特征值和最小多项式． （2）求 $A$ 的初等因子和 Jordan 标准形．

4．设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换， $\operatorname{Im} \mathscr{A}=\{\mathscr{A} \xi \mid \xi \in V\}, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\{\xi \mid \mathscr{A} \xi=0, \xi \in V\}$ 。证明： $\operatorname{Im} \mathscr{A}^{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A}$ 当且仅当 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．

4．设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 为 $V$ 中线性无关的向量，$\beta_{1}, \beta_{2} \in V$ 与 $\alpha_{i}(1 \leq i \leq n-1)$正交，证明：$\beta_{1}, \beta_{2}$ 线性相关．

9、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ ． （1）求 Jordan标准形． （2）求 $\displaystyle B, C$ 使得 $\displaystyle A=B+C, B$ 为幂零阵，$C$ 为可对角化阵．

2．当 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的秩等于 2 时，求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的正、负惯性指数．

4．设 $A$ 为 $n$ 阶可逆实方阵，且 $\operatorname{tr}(A)=n$ ，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 是对角元全为 1 的矩阵。

七、求复矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的不变因子，初等因子与 Jordan 标准形．

8．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $\displaystyle f_{\varphi}(x)=(x+1)^{3}(x-2)^{2}(x+3)$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式，$\displaystyle m_{\varphi}(x)=(x+1)^{2}(x-2)(x+3)$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的极小多项式． （1）求 $\displaystyle \varphi$ 的不变因子； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 的 Jordan 标准型．

四．设 $n$ 阶上三角矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ & & 1 & \cdots & n-2 \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $A$ 的极小多项式和 Jordan 标准形． （2）证明：$\displaystyle K=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid(A-I) B=O\right\}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的子空间，并求 $\displaystyle \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} K$ ．

8．（15分）有一个 6 阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccccc} a & -b & & & & \\ b & a & 1 & & & \\ & & a & -b & & \\ & & b & a & 1 & \\ & & & & a & -b \\ & & & & b & a \end{array}\right) . $$ 其中 $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$ ，且 $\displaystyle b \neq 0$ ，求 $\displaystyle \lambda E-A$ 的不变因子与初等因子以及 $A$ 的若尔当标准形．

八．（15 分）已知复数域上的三阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{array}\right) $$ 求 $A$ 所有可能的 Jordan 标准形，并确定 $A$ 可对角化的条件．

3．（20 分）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & c & -1 \\ 1-c & -a & 0 \\ 5 & 3 & b\end{array}\right)$ 有一特征向量 $\displaystyle \alpha=(-1,1,-1)^{T}$ ． （1）若 $\displaystyle |A|=0$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？为什么？ （2）若 $\displaystyle |A|=-1$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？此时求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$及可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

六、求矩阵 $\displaystyle \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & 0 & 0 \\ 7 & 1 & 2 & 1 \\ -7 & -6 & -1 & 0\end{array}\right)$ 的不变因子、初等因子、若尔当标准形和有理标准形。

6．（15分）设 $A$ 是复数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵，秩 $\displaystyle (A)=1, A$ 的迹 $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ，求 $A$ 的若尔当标准形，初等因子，不变因子，最小多项式。

13．设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $A B=B A$ ，证明：$\left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=\left|A^{2}-B^{2}\right|$ ．

16．设 $\varphi$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $\varphi$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=\lambda^{k}(\lambda-1)^{n-k}$ ，其中 $0<k<n$ ．证明：$V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，其中 $V_{1}=\operatorname{Ker} \varphi^{k}, V_{2}=\operatorname{Ker}\left(\varphi-\operatorname{id}_{V}\right)^{n-k}$ 。

17．（14 分）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：存在正整数 $m$ ，使得 $$ V=\operatorname{Ker}\left(\varphi^{m}\right) \oplus \operatorname{Im}\left(\varphi^{m}\right) $$ 且 $\operatorname{Ker}\left(\varphi^{m}\right), \operatorname{Im}\left(\varphi^{m}\right)$ 都是 $\varphi$ 的不变子空间。

七、（15分）设非零矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 满足对所有 $\displaystyle j<n$ 都有 $\displaystyle a_{i j}=0$ ． （1）若 $\displaystyle a_{n n} \neq 0$ ，求出 $A$ 的 Jordan标准型． （2）若 $\displaystyle a_{n n} \neq 0$ ，求出 $A$ 的 Jordan标准型．

6．（20分）设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & -a-1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & a+2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ 在复数域上不可对角化． （1）求 $a$ 的值； （2）对每个 $a$ ，求出 $A$ 的若尔当标准型．

6．（ 20 分）设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -a-1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & a+2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ 在复数域上不可对角化． （1）求 $a$ 的值； （2）对每个 $a$ ，求出 $A$ 的若尔当标准型．

7、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）设 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1 & & & \\ & \lambda & 1 & & \\ & & \lambda & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \lambda\end{array}\right)$ ，若 $J$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶若尔当矩阵， 且 $\displaystyle V=\left\{A \in P^{n \times n} \mid A J=J A\right\}$ ，证明： （1）$V$ 是线性空间． （2） $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ．

6．已知实二次型 $f=a x_{1}^{2}+8 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ 的符号差为 2 ． （1）求 $a$ 的值． （2）用正交线性替换的方法化二次型为标准形，并写出正交线性替换．

9．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ 的最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ，Jordan 标准型为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7、设 $A$ 为 5 阶方阵，其特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda \cdots 9)^{3}(\lambda+5)^{2}$ ，最小多项式 $$ m(\lambda)=(\lambda-9)^{2}(\lambda+5)^{2} $$ 求 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 标准形 $\_\_\_\_$ ， $\mathbf{\lambda}=9$ 的特征子空间的维数为 $\_\_\_\_$ ，以及 $r(-5 I-A)=$ $\_\_\_\_$。 ◯

5．假如 $A^{*}$ 是 $A=\left(\begin{array}{ccc}a & -1 & c \\ 5 & b & 3 \\ 1-c & 0 & -a\end{array}\right)$ 的伴随矩阵，$A$ 的行列式等于 $-1, \xi=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$ 是 $A^{*}$ 的对应特征值 $\lambda_{0}$ 的特征向量，求 $A$ 所相似的 Jordan 标准型．

5．设 $\displaystyle V=\mathbb{R}^{2 \times 2}, V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足 $\displaystyle \varphi(X)=A^{T} X A, X \in V$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ 求 $V$ 中的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在这组基下的矩阵为若尔当形矩阵。

11．已知 $A, B$ 分别为 $m$ 阶，$n$ 阶实对称矩阵，若 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{\mathrm{T}} & B\end{array}\right)$ 为正定矩阵，判断矩阵 $B-C^{\mathrm{T}} A^{-1} C$是否为正定矩阵，并证明你的结论．

二、（本题满分 15 分）设整系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+a x^{2}+b x-3$ ，记 $\displaystyle (f(x), g(x))$ 为 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的首项系数为 1 的最大公因式，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数．若 $\displaystyle \frac{f(x)}{\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)}$ 为二次多项式，求 $\displaystyle a^{2}+b^{2}$ 的值．三、（本题满分 16 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准形和 $A$ 的有理标准形．

3、（本题满分 25 分）求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的若尔当标准形 $J$ ，并求矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

8．设四阶矩阵 $A$ 的最小多项式为 $\lambda^{2}\left(\lambda^{2}-9\right)$ ，则 $A$ 的若尔当标准形为 $\_\_\_\_$ ．

8．一个复方阵 $A$ 称为幂零矩阵，如果存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=0$ ，求 4 阶幂零方阵所有可能的 Jordan 标准形。

7．（20分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的若尔当标准形为 $$ J=\left(\begin{array}{lll} J_{1} & & \\ & J_{2} & \\ & & J_{3} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle J_{1}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right), J_{2}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right), J_{3}=(-1)$ ，即存在可逆矩阵 $\displaystyle P=\left(P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5}\right)$ ，其中 $\displaystyle P_{i}$ 是 $P$ 的第 $i$ 列，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ． （1）求 $A$ 的特征多项式、极小多项式； （2）求 $A$ 的初等因子组和不变因子组； （3）$P$ 的列向量中，哪些是 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别是什么．

4．（可能有误）已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ （1）求 $\displaystyle \lambda E_{4}-A$ 的标准形； （2）求 $A$ 的若尔当标准形．

5．在 3 维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，向量 $(1,1,-1)$ 与向量 $(2,1,1)$ 夹角的余弦值为 $\_\_\_\_$ ．

1．填空题 （1）若 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ 且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ ，则 $B$ 的秩最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & * \\ 0 & 4 & * \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2023}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）设 $\displaystyle \left(g(\lambda), f(\lambda)=1\right.$ ，且 $\displaystyle f, g$ 均为首一多项式，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}g(\lambda) & 0 \\ 0 & f(\lambda)\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （5）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）子空间 $\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$ 的维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．设 $V$ 是数域 $F$ 上的 5 维向量空间，$W_{1}$ 和 $W_{2}$ 都是 $V$ 的 3 维子空间，则 $\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)$ 的可能值为 $\_\_\_\_$ ．