二次型-二次型概念

八．（12分）设 $\displaystyle \alpha$ 是欧氏空间 $V$ 的一个非零向量，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \in V$ 满足 $$ \left(\alpha_{i}, \alpha\right)>0(i=1,2, \cdots, n) ;\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right) \leq 0(i, j=1,2, \cdots, m ; i \neq j) $$ 其中符号 $\displaystyle (x, y)$ 表示向量 $\displaystyle x, y$ 的内积。证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关。

8．欧氏空间 $V$ 的基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的度量矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$ 且 $\beta=2 \alpha_{1}-\alpha_{2} +\alpha_{3}$ ，则 $|\beta|=$ $\_\_\_\_$ ．

七、（16 分）$\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是从 $V$ 到 $\displaystyle \sigma$ 像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma$ 的正交投影．

六．（20 分）$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性反称变换，即对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $\displaystyle (\sigma(\alpha), \beta)+(\alpha, \sigma(\beta))=0$ ，其中 $\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示欧氏空间的内积。证明：存在 $V$ 的一组标准正交基，使得 $\displaystyle \sigma^{2}$ 在此组基下的矩阵为对角阵。

六．计算题（15分） 设 $V$ 为欧氏空间，$\displaystyle v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}$ 是 $V$ 的一组标准正交基，令向量 $$ \alpha=v_{1}+v_{2}, \beta=v_{1}+v_{3}, \gamma=2 v_{1}+v_{2}+2 v_{3}+v_{4} . $$ 子空间 $\displaystyle W=L(\alpha, \beta), W^{\perp}$ 为 $W$ 的正交补．求 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}$ ，使得 $\displaystyle \gamma=\gamma_{1}+\gamma_{2}$ ，且 $\displaystyle \gamma_{1} \in W, \gamma_{2} \in W^{\perp}$ ．

6．设 $V$ 是欧氏空间，$W$ 是 $V$ 的子空间，$V$ 中的向量 $\displaystyle \alpha$ 不在 $W$ 中，问是否存在 $\displaystyle \alpha_{0} \in W$ ，使得 $\displaystyle \alpha-\alpha_{0}$ 与 $W$ 中任意向量都正交？如果不存在，举出例子；如果存在，说明理由并讨论其唯一性．

4．（15 分）已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，证明： $$ (\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^{n}\left(\alpha, \varepsilon_{i}\right)\left(\beta, \varepsilon_{i}\right) . $$

5．设 $P^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $$ G_{1}=\left(\begin{array}{cc} a & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right), G_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\ 1 & 1 \end{array}\right), G_{3}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ a & 1 \end{array}\right), G_{4}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & a \end{array}\right) $$ 讨论由 $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ 生成的子空间 $L\left(G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}\right)$ 的维数并给出相应的一组基。

6．线性空间 $P^{3}$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ 向量 $\xi$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标为 $(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ． （1）求 $\sigma(\xi)$ ． （2）求 $\sigma$ 的特征值和特征向量． （3）判断是否存在 $P^{3}$ 的一组基，使得 $\sigma$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。

八、 $\displaystyle (\mathbf{1 0}+\mathbf{1 0}=\mathbf{2 0}$ 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle (\mathscr{A}, \mathbf{\alpha})=-(\mathbf{\alpha}, \mathscr{B} \mathbf{\beta})$ ． （1）若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，求 $\displaystyle \mathscr{F}$ 在该基下的矩阵 B． （2）证明： $\displaystyle \mathbf{V}=\mathscr{A} \mathbf{V} \oplus(\mathscr{P} \mathbf{V})^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle (\mathscr{B} \mathbf{V})^{\perp}$ 为 $\displaystyle \mathscr{P} \mathbf{V}$ 的正交补。

6．（20分）设 $V$ 是有限维内积空间， $\displaystyle \mathscr{P} \in L(V)$ 满足 $\displaystyle \mathscr{P}^{2}=\mathscr{P}$ ，证明： $\displaystyle \mathscr{P}$ 是某个子空间 $U$ 上的投影算子当且仅当 $\displaystyle \mathscr{P}$ 是自伴的．

7．（20 分）证明：实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的内积空间 $V$ 中保持任意两个向量内积不变的变换一定是线性的，从而是正交变换。

1．（10 分）证明：$r(A) \leq 1$ 当且仅当存在列向量 $\alpha \in K^{m}, \beta \in K^{n}$ ，使得 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ．

九．（15 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}$ 和 $\displaystyle y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两个线性无关的向量组．证明：存在正交变换 $\displaystyle \varphi$ 使得 $\displaystyle \varphi\left(x_{i}\right)=y_{i}(i=1,2, \cdots, k)$ 的充要条件是 $\displaystyle \left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(y_{i}, y_{j}\right)(i, j=1,2, \cdots, k)$ ．

5．欧氏空间 $V$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 称为反对称的。如果对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ， $\displaystyle (\sigma \alpha, \beta)=-(\alpha, \sigma \beta)$ 。证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 为反对称的充要条件是，$\displaystyle \sigma$ 在一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵； （2）如果 $\displaystyle V_{1}^{4}$ 是反对称线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，则 $\displaystyle V_{1}^{1}$ 也是。

9．设 $W$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个子空间，且 $\displaystyle 0<\operatorname{dim} W<n$ 。证明： （1）$W$ 在 $V$ 中有无穷多个余子空间； （2）$W$ 在 $V$ 中的正交补空间是唯一的。

六．已知 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。证明：$W$ 的正交补也是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。

6．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换，证明以下两个命题等价： （1）$\displaystyle (\sigma(\alpha), \sigma(\beta))=(\alpha, \beta), \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{n}$ ； （2）$\displaystyle \sigma$ 将 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基映射为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

九、设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$V$ 的保持内积的线性变换称为正交变换，对 $V$ 的任何单位向量 $\displaystyle \eta$ ，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}_{\eta}, \mathcal{\mathcal { A } _ { \eta }}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta(\alpha \in V)$ 称为 $V$ 的镜面反射。求证：

二、设 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,1,1,0,1), \alpha_{2}=(2,1,-1,1,-3), \alpha_{3}=(3,2,-1,1,-2) \in \mathbb{R}^{5}$ ，视 $\displaystyle \mathbb{R}^{5}$ 为欧氏空间。再令 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 生成的子空间 $\displaystyle W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ． （1）求 $W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ ； （2）求 $\displaystyle W^{\perp}$ 的一组标准正交基。

六、若 $\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维欧氏空间的非零向量，子空间 $\displaystyle P_{\alpha}=\{\xi \in V \mid(\xi, \alpha)=0\}$ 为垂直于 $\displaystyle \alpha$ 的超平面，若 $\displaystyle (\gamma, \alpha)(\eta, \alpha)>0$ ，则称向量 $\displaystyle \gamma, \eta$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$ 的同侧，若向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{m}$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$的同侧，且它们相互夹角 $\displaystyle >\frac{\pi}{2}$ ，求证这组向量线性无关．

6．设 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的内积为 $\displaystyle (\alpha, \beta)=\alpha^{\prime} A \beta, A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \binom{1}{0},\binom{0}{1}$ 在此内积之下的度量矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

5．多项式空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{2}$ 上定义内积 $\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{0}^{1} f(x) g(x) d x$ ，则 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{2}$ 的一组标准正交基为 $\displaystyle f_{1}(x)=1, f_{2}(x)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

10．在向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中规定内积（不一定是标准内积）后得到欧式空间 $V$ ，且 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1), \alpha_{2}=(3,2)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}6 & 10 \\ 10 & 17\end{array}\right)$ ，则基 $\displaystyle e_{1}=(1,0), e_{2}=(0,1)$ 的度量矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

5．欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 的内积 $\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x$ ，则基 $\displaystyle 1, x, x^{2}$ 的度量矩阵为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

六、（15 分）在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]$ 上定义内积： $\displaystyle (f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) d x, f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=x+1, f_{3}(x)=x-1$ ，求 $\displaystyle L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x)\right)=\left\{k_{1} f_{1}(x)+k_{2} f_{2}(x)+k_{3} f_{3}(x) \mid k_{1}, k_{2}, k_{3} \in \mathbb{R}\right\}$ 的标准正交基．

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

4．（1）$A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 1\end{array}\right)$ ． 证 $|A+x F|=|A|+\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i j}$ ． （2）$\left|\begin{array}{ccccc}1 & a_{12}-a_{11} & a_{13}-a_{12} & \cdots & a_{1 n}-a_{1, n-1} \\ 1 & a_{22}-a_{21} & a_{23}-a_{22} & \cdots & a_{2 n}-a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & a_{n 2}-a_{n 1} & a_{n 3}-a_{n 2} & \cdots & a_{n n}-a_{n, n-1}\end{array}\right|=\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} A_{i j}$ ．

5．$\left\{\begin{array}{l}\lambda x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}=1 \\ x_{1}+2 \lambda x_{2}+3 x_{3}=\lambda, \\ x_{1}+2 x_{2}+3 \lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 取何值时，有解（解是多少）？无解，唯一？

5．已知 3 维欧氏空间中，内积在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的度量矩阵为 $$ \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{array}\right) $$ 若 $\displaystyle \beta_{1}=2 \alpha_{2}-\alpha_{3}$ 与 $\displaystyle \beta_{2}=t \alpha_{1}-3 \alpha_{2}+\alpha_{3}$ 正交，则 $\displaystyle t=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

五．设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的正交变换，设子空间 $$ V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha, \alpha \in V\}, V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-\sigma(\alpha), \alpha \in V\} . $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

2．（可能有误）三阶矩阵 $A$ 的行列式因子为 $1, x-2,(x-2)^{2}(x-3)^{2}$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形为 $\_\_\_\_$ ．

七．$\displaystyle \alpha, \beta$ 是欧氏空间中的两个不同的向量，且 $\displaystyle |\alpha|=|\beta|=1$ ，证明：$\displaystyle (\alpha, \beta) \neq 1$ ．

4．设 $\alpha, \beta$ 为3维列向量，且 $\alpha \beta^{T}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ，则 $\beta^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

11．计算下列 $n$ 阶行列式 $$ D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc} x & 2025 & 2025 & \cdots & 2025 \\ \frac{1}{225} & x & 3 & \cdots & 3 \\ \frac{1}{225} & 3 & x & \cdots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{1}{225} & 3 & 3 & \cdots & x \end{array}\right| . $$

13．设二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+5 x_{2}^{2}-8 x_{2} x_{3}+5 x_{3}^{2} $$ 利用正交变换将二次型化为标准形．

8．设 $V$ 为有限维欧氏空间，线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: V \rightarrow V$ 满足 $\displaystyle (\mathscr{A} \alpha, \beta)=(\alpha, \mathscr{A} \beta), \forall \alpha, \beta \in V$ ．证明： （1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基下的矩阵为对称矩阵。 （2）存在 $V$ 的一组基使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在该基下的矩阵是对角矩阵。 （3）$\displaystyle (\mathscr{A}(V))^{\perp}=\mathscr{A}^{-1}(0)$ ，且 $\displaystyle V=\mathscr{A}(V) \oplus \mathscr{A}^{-1}(0)$ 。

九、（本题15分）设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维欧氏空间上的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ 也是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。

4．设 $V$ 是 $\displaystyle n(n>1)$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的单位向量． （1）$V$ 上的正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 称为关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 满足： （i）若 $\displaystyle (\alpha, \beta)=0$ ，则 $\displaystyle \mathscr{B} \beta=\beta$ ； （ii） $\displaystyle \mathscr{B} \alpha=-\alpha$ ． 证明：如果正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 是关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射，则 $\displaystyle \mathscr{B} \gamma=\gamma-2(\alpha, \gamma) \alpha, \forall \gamma \in V$ 。 （2）设 $\displaystyle \beta$ 也是 $V$ 中的单位向量，证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 使得 $\displaystyle \operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(\mathscr{A}-1_{V}\right)=n-1$ 且 $\displaystyle \mathscr{A} \alpha=\beta$ ，其中 $\displaystyle 1_{V}$ 表示 $V$ 上的恒等变换。

5．若矩阵 $\displaystyle A^{T}=A, B^{T}=-B, A B=B A$ 且 $A$ 可逆，$\displaystyle C=A^{-1} B$ ． （1）证明：$C$ 为反对称矩阵； （2）设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，记线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足 $$ \mathscr{A}: \alpha \rightarrow C \alpha, \forall \alpha \in V $$ 证明： $\displaystyle \mathscr{A}(\alpha) \perp \alpha, \forall \alpha \in V$ ． （3）证明：$\displaystyle C^{2}$ 非负定．

6．已知 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，且 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B} \in \operatorname{End}_{F}(V)$ ．证明： $$ \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{A} \mathscr{B}) \leq \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{A})+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{B}) $$ 并证明 $\displaystyle R(A B) \geq R(A)+R(B)-n, \forall A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ．

10．在 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 关于标准内积构成的线性空间中，$\displaystyle \alpha=(1,2,1,1), \beta=(-2,0,0,1), V=\operatorname{span}(\alpha, \beta)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 的子空间． （1）求 $V$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 中的正交补的一组基． （2）求 $\displaystyle \gamma=(3,4-2,2)$ 在 $V$ 中的正交投影，即求 $\displaystyle \delta \in V$ ，使得 $\displaystyle \|\delta-\gamma\|$ 最小．

12、若 $g(x)$ 的各次系数的最大公因数为 1 ，且 $g(x) \in \mathbb{Z}[x]$ ，则称 $g(x)$ 是本原多项式。 （1）$h(x) \in \mathbb{Z}[x], d(x) \in \mathbb{Q}[x], g(x)$ 是本原多项式，若 $h(x)=d(x) g(x)$ ，证明： $$ d(x) \in \mathbb{Z}[x] $$ （2）$f(x) \in \mathbb{Z}[x], f^{2}(x)=1$ 有三个不同的整数根 $a, b, c$ ，证明：$f(x)$ 无整数根．

四．（15 分）（学硕）设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一个向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中 $n$ 个非零向量．令 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $n$ 维行向量空间，记 $\displaystyle W=\left\{\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i}=0\right\}$ ．假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的极大线性无关组包含 $r$ 个向量，证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的 $\displaystyle n-r$ 维子空间． （15 分）（专硕）证明：有限维欧氏空间任意一组正交的非零向量都线性无关。

1．（5 分）在 $\triangle A B C$ 的三边 $A B, B C, C A$ 上分别取三点 $E, F, G$ 使得 $A E: A B=\alpha, B F: B C=\beta$ ， $C G: C A=\gamma$ ，那么 $\triangle E F G$ 与 $\triangle A B C$ 的面积之比为 $\_\_\_\_$ ．

二．（10 分）已知欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一个基为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ ，其度量矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right) . $$ 向量 $\displaystyle \beta=\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}$ ，求 $\displaystyle \beta$ 长度．

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

2、（15 分）$v_{1}=\left\{x \in R^{n} \mid(A+E) x=0\right\}, v_{2}=\left\{x \in R^{n} \mid(A-E) x=0\right\}$ ，证明： $$ A^{2}=E \Leftrightarrow R^{n}=V_{1} \oplus V_{2} . $$

5．（10 分）是否存在 $\mathbb{R}$ 上连续函数 $p, q$ ，使得微分方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0, x \in \mathbb{R}$ 有两个解 $\phi(x)=\sin x, \psi(x)=x e^{x}, x \in \mathbb{R} ?$

3、线性空间 $V$ 的维数为 30 ，线性空间 $\mathcal{A V}, \mathcal{B V}, \mathcal{C V}$ 的维数分别为 $24, \mathcal{A B C V}$ 的最小维数是 $\_\_\_\_$。

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A=3$ ，则行列式 $\operatorname{det}\left(A^{*}-A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

10、已知 $\displaystyle \langle f(x), g(x)\rangle=\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) g\left(\frac{k}{n}\right), f(x) \in R_{n+1}[x]$ ． （1）试证明 $\displaystyle \langle f(x), g(x)\rangle$ 构成欧氏空间的内积． （2）试求与 $x$ 正交的所有一次多项式，在上述内积下．

6．（20 分）设 $V$ 是实数域上的 $n$ 维欧式空间，$\displaystyle e_{1}, \cdots, e_{n}$ 是一组基，满足内积 $\displaystyle \left(e_{i}, e_{j}\right) \leqslant 0(i \neq j)$ 。 （1）．证明：存在一个非零向量 $\displaystyle v \in V$ ，满足 $\displaystyle \left(e_{i}, v\right) \geqslant 0, \forall i$ ． （2）．假设 $\displaystyle v=a_{1} e_{1}+\cdots+a_{n} e_{n} \in V$ 是任何满足（1）的向量，证明：$\displaystyle a_{i} \geqslant 0, i=1,2, \cdots, n$ ． （3）．设 $\displaystyle u=b_{1} e_{1}+\cdots+b_{n} e_{n} \in V$ 是另一个满足（1）的向量，并定义 $\displaystyle w=c_{1} e_{1}+\cdots+c_{n} e_{n} \in V$ ，其中 $$ c_{i}=\min \left\{a_{i}, b_{i}\right\}, i=1,2, \cdots, n, $$ 证明：向量 $w$ 也满足（1）。

6．（20 分）设 $V$ 是全体 $n$ 阶实系数矩阵构成的线性空间，定义运算 $$ (A, B)=\operatorname{Tr}\left(A^{T} B\right), \quad A, B \in V . $$ （1）证明：（，）是内积，$V$ 是 $\displaystyle n^{2}$ 维欧式空间． （2）设 $\displaystyle T \in V$ 是给定矩阵，定义映射 $$ \phi(A)=T A, \quad A \in V $$ 证明：$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的线性映射． （3）求 $\displaystyle \phi$ 的伴随算子。

7．（15 分）设 $V$ 是实内积空间，$\displaystyle \langle\cdot, \cdot\rangle$ 是 $V$ 上的内积，$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的可逆线性变换，且满足 $$ <\phi(\phi(x)), y>=<x, \phi(y)>, \quad \forall x, y \in V . $$ 证明：$\displaystyle \phi$ 是正交变换．

3．考虑欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 中的向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,3,1,-1), \alpha_{2}=(2,3,2,1), \beta_{1}=(3,-1,-3,-5), \beta_{2}= (2,-1,0,1)$ ，设 $\displaystyle W_{1}$ 是由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 生成的子空问，$\displaystyle W_{2}$ 是由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 生成的子空间，则 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}$ 的维数是 $\displaystyle \_\_\_\_$

11、设多项式 $f(x)=x^{4}+2 x^{2}+a, g(x)=x^{4}-4 x^{2}+12 x-9(a \in \mathbb{C})$ 在复数域上有公共根，求 $a$ 的值并确定 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的公共根．

4．一个关于未知数 $\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)^{\mathrm{T}}$ 的齐次线性方程组的解空间是由 $(5,0,2,2,1)^{\mathrm{T}}$ 和 $(-1,7,1,-6,-3)^{\mathrm{T}}$张成的线性子空间，那么在 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}$ 中，主变元是 $\_\_\_\_$ ．

6．$\left|\begin{array}{cccccccc}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 9 & 16 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 8 & 27 & 64 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 18 & 32 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 16 & 54 & 128 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

11．（15 分）设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性变换，证明：如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足下列条件中的任意两个，则它必满足剩余的另一个条件。 （1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 是正交变换． （2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 是对称变换． （3） $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{E}, \mathscr{E}$ 为 $V$ 上的恒等变换．

6．$V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$W$ 为其子空间，$\displaystyle \eta_{0} \in V$ ，存在 $\displaystyle \eta \in W$ ，使得 $\displaystyle \left|\eta-\eta_{0}\right|=\min _{\xi \in \mathbb{V}}\left|\xi-\eta_{0}\right|_{0}$ （1）证明：$\displaystyle \eta \in W$ ，使得 $\displaystyle \left|\eta-\eta_{0}\right|=\min _{\xi \in W}\left|\xi-\eta_{0}\right|$ 当且仅当 $\displaystyle \eta-\eta_{0} \perp W$ ： （2）$\displaystyle \eta_{0}$ 为单位向量，则 $\displaystyle \eta_{0}$ 与 $W$ 的距离为 1 当且仅当 $\displaystyle \eta_{0} \perp W$ 。

9．已知 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle f, g$ 为 $V$ 上的两个变换，若 $f$ 为正交变换，且对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $$ (f(\alpha), \beta)=(\alpha, g(\beta)) $$ 证明 $g$ 也是 $V$ 上的正交变换．

10．设 $f$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的对称变换，即 $\displaystyle (f(\alpha), \beta)=(\alpha, f(\beta))$ 对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ 成立．证明：$f$ 的特征值全为实数，且 $\displaystyle \min _{0 \neq \alpha \in V} \frac{(\alpha, f(\alpha))}{(\alpha, \alpha)}=\lambda_{1}$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{1}$ 为 $f$ 的最小特征值．

7．（15分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为欧氏空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 为 $V$ 中的一个正交向量组，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{n}$ 为 $V$ 中的另一个正交向量组，已知对于任意的 $\displaystyle i= 1,2, \cdots, n, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{i}$ 能由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{i}$ 线性表出，也能由 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{i}$ 线性表出．证明：存在数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ ，使得 $$ \beta_{1}=k_{1} \gamma_{1}, \beta_{2}=k_{2} \gamma_{2}, \cdots, \beta_{n}=k_{n} \gamma_{n} $$

4．$n$ 维欧氏空间 $V$ 上的变换 $f$ 满足对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，有 $$ f(\alpha)=a \alpha-b(\alpha, \eta) \eta,\|\eta\|=\sqrt{3} $$ $\displaystyle a, b$ 取何值时，$f$ 是正交变换？

七．（15 分）设 $\displaystyle V=P[x]_{n}$ 为次数小于 $n$ 多项式与零多项式生成的线性空间，在 $V$ 上定义一个二元函数 $$ \varphi(f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x, f(x), g(x) \in V $$ （1）（6 分）若 $\displaystyle n=4$ ，求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle 1, x, x^{2}, x^{3}$ 下的度量矩阵。 （2）（ 9 分）证明：$\displaystyle \varphi$ 为非退化的．

12．（15 分） （1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，且 $\displaystyle (m, n)=d$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 到自身的一个映射，证明：如果 $\displaystyle \sigma$ 保持内积不变，即任意的 $\displaystyle \xi, \eta \in V$ ，有 $\displaystyle \langle\sigma(\xi), \sigma(\eta)\rangle= \langle\xi, \eta\rangle$ ，则 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的线性变换，从而也是正交变换． （3）设 $A$ 是一个实对称矩阵，如果以 $A$ 为矩阵的实二次型是正定的，$A$ 是正定的．证明：若 $A$ 是正定的，则 $A$ 可逆且可逆矩阵也是正定的．

五、（15 分）已则 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 3 个四维欧氏空间 $\displaystyle \mathbf{R}^{4}$ 中线性无关的向量，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \in \mathbf{R}^{4}$ 且与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$均正交，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性相关．

五、（20分）已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，设 $$ \alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\} $$ （1）求 $W$ 的一组标准正交基； （2）求 $\displaystyle W^{-}$的一组标准正交基； （3）若 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ ，求 $\displaystyle \alpha$ 在 $W$ 中的内射影（即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ），并求 $\displaystyle \alpha$到 $W$ 的距离 $\displaystyle \operatorname{dist}(\alpha, W)$ ．

八、（20 分）（1）证明：在一个欧氏空间里，对于任意向量 $\displaystyle \xi, \eta$ ，有不等式： $\displaystyle (\xi, \eta)^{2} \leq(\xi, \xi)(\eta, \eta)$ ，当且仅当 $\displaystyle \xi$ 与 $\displaystyle \eta$ 线性相关时，此不等式才取等号；（2）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是欧氏空间两个线性无关的向量，且满足以下条件：$\displaystyle \frac{2(\alpha, \beta)}{(\alpha, \alpha)}$ 和 $\displaystyle \frac{2(\alpha, \beta)}{(\beta, \beta)}$ 都是 $\displaystyle \leq 0$ 的整数．证明：$\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 的夹角只可能是 $\displaystyle \frac{\pi}{2}, \frac{2}{3} \pi, \frac{3}{4} \pi$ 或 $\displaystyle \frac{5}{6} \pi$ ．

九、（20分） 设 $A$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle A^{2}=I$（单位变换），令 $$ V_{1}=\{x \mid x \in V, A x=x\}, \quad V_{2}=\{x \mid x \in V, A x=-x\}, $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

八、（20分） 已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，设 $$ \alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\} $$ （1）证明 $\displaystyle \left\{\frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{2}, \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2 \sqrt{2}}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{\frac{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}}{\sqrt{2}}\right\}$ 分别是 $W$ 和 $\displaystyle W^{\perp}$ 的标准正交基； （2）求 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ 在 $W$ 中的内射影 $\displaystyle \beta$ ，即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ．

八、（20分） 设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \neq 0$ 是 $V$ 中一个固定向量。 （1）证明 $\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0, x \in V\}$ 是 $V$ 的子空间； （2）证明 $\displaystyle V_{1}$ 的维数等于 $\displaystyle n-1$ ．

七、（15分） 在欧氏空间 $\displaystyle R^{4}=\left\{\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right) \mid a_{i} \in R\right\}$ 中，其内积定义为 $$ \left\langle\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\right),\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right)\right\rangle=\sum_{i=1}^{4} a_{i} b_{i} $$ 令 $\displaystyle \gamma_{1}=(1,0,0,0), \gamma_{2}=\left(0, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ ，求 $\displaystyle \gamma_{3}, \gamma_{4} \in R^{4}$ ，使得 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}, \gamma_{4}$ 为 $\displaystyle R^{4}$ 的标准正交基。

六、（15 分） 已知向量空间 $$ V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\}, $$ （1）求 $V$ 的一组基和维数； （2）求 $V$ 的一组标准正交基．

十、（15 分） 已知矩阵空间 $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 的子空间 $$ W=\left\{\left.X=\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right] \right\rvert\, x_{3}-x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\} . $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的内积为 $$ (A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}\left(\forall A=\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right) \in R^{2 \times 2}\right), $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的线性变换为 $\displaystyle \sigma(X)=X B\left(\forall X \in R^{2 \times 2}, B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\right)$ ． （1）证明：求子空间 $W$ 的一组标准正交基； （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \sigma$ 看作是 $W$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $W$ 上的对称变换； （4）求 $W$ 的一组标准正交基，使 $\displaystyle \sigma$ 在该组基下的矩阵为对角矩阵。

九、（15 分） （1）已知 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), $$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的一组基，将 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 转换为正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ ；若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), $$ 求 $\displaystyle \sigma$ 在正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵； （2）设 $V$ 是有限维欧式空间，内积记为 $\displaystyle (\alpha, \beta)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个正交变换，记 $$ V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}, $$ $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $V$ 的子空间，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

1．已知 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为一个 $n$ 阶实矩阵，对角元 $a_{i i}=a>0(i=1,2, \cdots, n)$ ，且对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，有 $\sum_{j=1}^{n}\left(\left|a_{i j}\right|+\left|a_{j i}\right|\right)<4 a$ ．设二次型 $f=X^{T} A X$ ，其中 $X$ 为实 $n$ 维列向量． （1）求二次型 $f$ 的矩阵 $B=\left(b_{i j}\right)$ ； （2）证明：$b_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|b_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ； （3）证明：$f$ 是正定二次型．

1．设 $f(x), g(x)$ 不全为零，证明：对任意的正整数 $n$ ，都有 $\left(f^{n}(x), g^{n}(x)\right)=(f(x), g(x))^{n}$ ．

8．设 $A$ 是实矩阵，其特征值均为实数，证明：存在正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T$ 为上三角矩阵。

6．设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $A^{2}=A$ ，证明：$A$ 的秩等于迹．

1．求证：$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的秩等于 2 当且仅当 $a, b, c$ 不全相等．

3．设 $|A|=\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & -7 \\ 2 & 7 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 17 & 16 & 19 & 11\end{array}\right|$ ，求 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=$ $\_\_\_\_$ ．

9．设 $\displaystyle T: V \rightarrow V$ 是欧氏空间上的一个正规算子． （1）证明：$T$ 的伴随算子的核空间与 $T$ 的核空间相等． （2）若 $\displaystyle T^{2}=T$ ，则 $T$ 必为对称算子．

九、设 $A$ 为 $n$ 维欧氏空间上的线性变换，$W$ 为 $A$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$也是 $A$ 的不变子空间．

三．设 $\displaystyle u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$ 和 $\displaystyle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 是内积空间 $V$ 的两组规范正交基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个等距变换，并且 $\displaystyle \left[\sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)\right]=\left[v_{1}, v_{2}\right]$ ，即 $\displaystyle \sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)$ 生成的子空间与 $\displaystyle v_{1}, v_{2}$ 生成的子空间相等．证明： $$ \left[\sigma\left(u_{3}\right), \sigma\left(u_{4}\right), \cdots, \sigma\left(u_{n}\right)\right]=\left[v_{3}, v_{4}, \cdots, v_{n}\right] $$

8．（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换． （1）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可同时对角化，则 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换； （2）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换，则 $\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

9．（10 分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ 中的一切向量．

十．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 为五维欧几里得空间 $V$ 的一组标准正交基， $$ W=\left\{x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+x_{3} \alpha_{3}+x_{4} \alpha_{4} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} $$ 证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，求出 $W$ 的维数与一组基，并求出 $W$ 的正交补．

8．设 $\displaystyle \eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个单位向量，定义变换 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha-2(\alpha, \eta) \eta$ ． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是正交变换． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的任意一组标准正交基下的矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle |A|=-1$ ．

2．秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，则行列式 $|A+E|=$（ （A）$(-1)^{r} 3^{r}$ （B） $3^{r}$ （C）$(-1)^{r} 2^{r}$ （D） $2^{r}$

3．（20分）设 $\eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的一个单位向量，定义 $\mathscr{A}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta$ 为镜面反射。 （1）证明 $\mathscr{A}$ 是一个正交变换，求 $\mathscr{A}$ 的一组标准正交基，并并求 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵。 （2）如果 $n$ 维欧氏空间中，正交变换 $\mathscr{A}$ 以 1 作为特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 $V_{1}$ 的维数为 $n-1$ ，则 $\mathscr{A}$ 一定为镜面反射。

1．求 $\beta$ 的值．

七．已知 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，且 $\displaystyle \sigma^{m}=\mathrm{id}_{V}$ ，其中 $\displaystyle m>1$ 为正整数， $\displaystyle \mathrm{id}_{V}$ 为 $V$ 上的恒等变换． （1）证明 $\displaystyle V_{\sigma}=\{u \in V \mid \sigma(u)=u\}$ 为 $V$ 的子空间，并称其为 $V$ 的不动子空间； （2）对任意的 $\displaystyle u \in V$ ，其在 $\displaystyle V_{\sigma}$ 上的正交投影为 $\displaystyle \bar{u}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(u)$ ； （3）证明 $\displaystyle V_{\sigma}$ 的维数等于 $\displaystyle \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}$ 的迹． ## （第三、四、六题回忆数据可能不准，11月份之前会根据官方修订真题）

5．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $V$ 的一组标准正交基．End $\displaystyle (V)$ 表示 $V$ 上全体线性变换构成的线性空间。定义 $\displaystyle \langle\sigma, \tau\rangle=\sum_{i=1}^{n}\left(\sigma\left(\varepsilon_{i}\right), \tau\left(\varepsilon_{i}\right)\right)$ ，其中 $\displaystyle \sigma, \tau \in \operatorname{End}(V), ~(, ~)$ 为 $V$ 上的内积． （1）证明 〈 ，〉为 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 上的内积； （2）求 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 的一组标准正交基．

2、求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ，使得 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵．

3、证明：$n$ 维欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关的充要条件是： $$ \left|\begin{array}{ccc} \left(\alpha_{1}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{1}, \alpha_{n}\right) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \left(\alpha_{n}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{n}, \alpha_{n}\right) \end{array}\right| \neq 0 $$

4、 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，且 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明： $$ \lambda_{k}=\min _{\operatorname{dim} S=n-k+1} \max _{X \in S, X \neq 0} \frac{(A X, X)}{(X, X)},(k=1,2,3, \cdots, n) $$ 其中 $S$ 为向量空间，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ，内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 为 (X, X)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ ，其中 $$ Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T} $$

7、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的线性变换，若对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，都有 $$ (\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta)), $$ 则称 $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭，证明： （1） $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭的充分必要条件是两者在同一组标准正交基下的矩阵互为转置． （2）若 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \tau$ 的共轭，则 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma=(\operatorname{Ker} \tau)^{\perp}$ ．

7．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上全体 $\displaystyle n \times n(n \geq 2)$ 阶实对称矩阵构成的线性空间，对任意 $\displaystyle A, B \in V$ ，定义 $\displaystyle (A, B)=\operatorname{tr}(A B)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 表示 $\displaystyle A B$ 的迹． （1）证明：$V$ 是欧氏空间． （2）$\displaystyle W=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}$ ．证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，并求 $W$ 的维数． （3）求 $W$ 的正交补空间 $\displaystyle W^{\perp}$ 的维数．

10、（15 分）设 $\displaystyle V=K^{r \times n},(V,(\cdot, \cdot))$ 是一个欧氏空间，其中内积的定义为：对任意的 $\displaystyle A, B \in V,(A, B)=\operatorname{tr}\left(A B^{T}\right)$ 又设 $\displaystyle U=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}, W=\left\{B \in V \mid B^{T}=-B\right\}$ ，证明： $\displaystyle U \perp W$ 且 $\displaystyle V=U \oplus W$ 。

10．$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2\end{array}\right)$ ，求 $A^{2025}$ ．

8、（20分）设 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中三个非零向量，已知它们两两正交， 记矩阵 $\displaystyle A=\alpha \beta^{T}+\beta \gamma^{T}+\gamma \alpha^{T}$ ． （1）证明：$\displaystyle r(A)=3$ ． （2）$A$ 是否可以相似对角化？请证明你的结论。

9、（15 分）$V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha$ 为非 0 固定向量． （1）证明：$\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0\}$ 为 $V$ 的子空间。 （2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=n-1$ ．

1．若 $p(x)$ 是不可约多项式且 $p^{5}(x) \mid f^{2}(x)$ ，是否一定有：$p^{3}(x) \mid f(x)$ ，为什么？

2．若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则 $A+B, A B, A^{-1}$ 中哪些必是正交矩阵，为什么？

七．在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中，$\displaystyle \gamma$ 是非零向量，定义 $V$ 中线性变换 $$ W_{0}=\{x \mid(x, \gamma)=0, x \in V\} . \quad A x=x-\frac{2(x, \gamma)}{(\gamma, \gamma)} \gamma, \forall x \in V . $$ （1）证明 $\displaystyle W_{0}$ 是 $A$ 的不变子空间，并求 $\displaystyle W_{0}$ 的维数． （2）若 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，证明：$\displaystyle \gamma \in W$ 或 $\displaystyle W \subset W_{0}$ ．

8．（15 分）定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 满足$ $$ (A C, B)=(A, C B), \forall A, B, C \in \mathbb{R}^{n \times n} $$ 证明：存在常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle (A, B)=c \operatorname{tr}(A B)$ ．

8．（15 分）定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的内积（，）满足 $\displaystyle \forall A, B, C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，成立 $\displaystyle (A C, B)=(A, C B)$ ．证明：存在常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle (A, B)=c \operatorname{tr}(A B)$ ．

6．（20分）设 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的线性子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} W_{1}<\operatorname{dim} W_{2}$ ，证明：$\displaystyle W_{2}$ 中必有一个非零向量正交于 $\displaystyle W_{1}$ 中的所有向量．

5．设 $A$ 是复数域上的方阵，$A$ 的全部初等因子为 $(\lambda-2)^{2},(\lambda-2)^{2},(\lambda-2)^{2}, \lambda+3, \lambda+3,(\lambda+2 \mathrm{i})^{2},(\lambda-2 \mathrm{i})^{2}$ ． （1）求 $A$ 的特征多项式在实数域上的标准分解式． （2）求 $A$ 的所有不变因子和所有行列式因子．

6．（15分）设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & -2 & 1 & -2 \end{array}\right] $$ 求 $\operatorname{ker} \mathscr{A}, \operatorname{Im} \mathscr{A}$ 。

1．求实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}-x_{2} x_{3}+x_{4}^{2}-2 x_{4} x_{5}$ 的正惯性指数和负惯性指数．

3．设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 为 $V$ 的一组基，且 $$ \begin{gathered} \mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=8 \varepsilon_{1}-10 \varepsilon_{3}+2 \varepsilon_{4}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=-3 \varepsilon_{1}+3 \varepsilon_{2}+6 \varepsilon_{3} \\ \mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{1}-3 \varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{4}\right)=-2 \varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{2}+4 \varepsilon_{3}+2 \varepsilon_{4} \end{gathered} $$ 求 $\mathscr{A}$ 的全部特征子空间。

七、设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$T$ 是 $V$ 的一个正交变换，构造子空间： $$ \begin{aligned} & V_{1}=\left\{\alpha_{0} \mid T \alpha_{0}=\alpha_{0}, \forall \alpha_{0} \in V\right\} \\ & V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-T \alpha, \forall \alpha \in V\} . \end{aligned} $$ 证明：$\displaystyle V_{1}=V_{2}{ }^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle V_{2}{ }^{\perp}$ 表示 $\displaystyle V_{2}$ 的正交补。

2．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，$\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示内积。设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$由基向量组线性表示为 $$ \left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) C . $$ 其中 $\displaystyle C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ，定义 $\displaystyle \Delta=\left(b_{i j}\right)_{m \times m}$ ，其中 $\displaystyle b_{i j}=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ．证明： $$ \operatorname{rank}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right\}=\operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(\Delta) . $$

八．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两组向量．证明：若 $$ \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right), i, j=1,2, \cdots, m $$ 则由向量组生成的子空间 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 与 $\displaystyle L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 同构．

8、设 $y_{1}=(1,2,1)^{T}, y_{2}=(1,-1,0)^{T}$ ，欧氏空间 $U=L\left(y_{1}, y_{2}\right)$ ，求 $U$ 的一组标准正交基 $\_\_\_\_$ ，以及 $\alpha=(1,3,0)^{T}$ 在 $U$ 上的正交投影 $\_\_\_\_$ ．

5．设矩阵 $A$ 的秩等于 $3, b$ 不等于零，$A X=b$ 有解 $$ X_{1}=(1,-1,2,3,1)^{\mathrm{T}}, X_{2}=(0,1,-1,0,-2)^{\mathrm{T}}, X_{3}=(-1,1,2,1,3)^{\mathrm{T}} . $$ 那么 $A X=b$ 的通解用 $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 表示为 $\_\_\_\_$ ，给出一个所有解集合的极大线性无关组 $\_\_\_\_$ ．

9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \ldots, \beta_{m}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上两向量组，定义 $\displaystyle (x, y)=x_{1} y_{1}+\cdots+x_{n} y_{n}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上内积，且 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)= \left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)(\forall i, j=1, \ldots, m)$ 。证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ ．

9、（本题满分 10 分）证明：在 $n$ 维欧氏空间中，至多有 $\displaystyle n+1$ 个向量使得其中任意两个向量之间的夹角均大于 $\displaystyle 90^{\circ}$ 。

7、（本题满分20分）设 $V$ 为有限维欧氏空间，$s$ 个单位向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 组成 $V$ 中的一个正交向量组，使得对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，都有 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s}\left(\alpha, \alpha_{i}\right)^{2}=|\alpha|^{2}$ ．证明：$\displaystyle V=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right)$ ．

3．（本小题满分 15 分）已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}+2 x^{2}-2, g(x)=x^{2}+x-1, \alpha, \beta, \gamma$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的根，求一个整系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使其以 $\displaystyle g(\alpha), g(\beta), g(\gamma)$ 为根。 （4．）（本小题满分 20 分）设 $A$ 为反对称实知阵，$\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个非零特征值，$\displaystyle \alpha+\mathrm{i} \beta$ 为 $A$ 的属丁 $\displaystyle \lambda$ 的复特征向量，其中 $\displaystyle \alpha$ 利 $\displaystyle \beta$ 均为实向量，证明：（1）$\displaystyle \lambda$ 为纯虚数；（2）$\displaystyle \alpha$ 和 $\displaystyle \beta$ 的长度相等且坐相止交．

5．（15 分）设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \in V$ 是一个给定的非零向量，定义 $V$ 中的变换 $\displaystyle \sigma(v)=v-\frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha$ ，称为由 $\displaystyle \alpha$ 确定的镜面反射． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的对称变换；（2）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的正交变换，并且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（恒等变换）；（3）确定 $\displaystyle \sigma$ 在一个标准正交基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{\alpha}{|\alpha|}$ ．

8．（20 分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，证明 （i）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V,\left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，那么 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ； （ii）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组向量，满足：对于 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V$ ，只要 $\displaystyle \left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，就有 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ，那么 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基．

9．（15分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为 n 维欧氏空间 V 的子空间，且 维 $\displaystyle \left(V_{1}\right)<$ 维 $\displaystyle \left(V_{2}\right)$ ，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ ．

5．（15分）用 $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域，对 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的基底 $\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,0), \alpha_{2}=(2,0,1), \alpha_{3}=(1,1,-2)$ ．应用格拉姆－施密特正交化方法求出标准正交基．

8．（20分）证明：欧氏空间的一个线性变换为正交变换当且仅当这个线性变换在任何一组标准正交基之下的矩阵为正交矩阵。

8．设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \langle *, *\rangle$ 是 $V$ 上的内积，已知 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足：对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $$ \langle\varphi(\alpha), \beta\rangle=-\langle\alpha, \varphi(\beta)\rangle . $$ （1）若 $\displaystyle \varphi$ 为同构映射，证明 $n$ 为偶数； （2）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，则 $\displaystyle \lambda$ 是零或者纯虚数．

7．（15 分）设 $k$ 是大于 1 的正整数，向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{k}$ 线性相关，且其中任意 $k-1$ 个向量线性无关。证明：存在全不为零的数 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{k-1}$ ，使得 $\alpha_{k}=c_{1} \alpha_{1}+c_{2} \alpha_{2}+\cdots+c_{k-1} \alpha_{k-1}$ ，且这样的 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{k-1}$ 是唯一确定的。

3．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，那么 $A^{2022}=$ $\_\_\_\_$ ．

8．设 $M=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right)$ ，线性变换 $\mathscr{A}$ 满足 $\mathscr{A} x=M x$ ，求 $\mathscr{A}$ 的特征值及重数 $\_\_\_\_$ ．