二次型-正定二次型

3、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ ，如果方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有无穷多个解，求 $a$ 的值，并求正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{T} A Q$ 为对角矩阵．

七、（16 分）$\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是从 $V$ 到 $\displaystyle \sigma$ 像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma$ 的正交投影．

五、（15 分）已知 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级实对称矩阵，满足：$\displaystyle A B=B A$ ，证明：存在正交矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{T} A T, T^{T} B T$ 同时为对角矩阵。

2、求从基 $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ 到基 $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}$ 的过渡矩阵．

2．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right)$ ，已知线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有解但不唯一． （1）求 $a$ 的值． （2）求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{\prime} A Q$ 为对角矩阵．

5．设 $A$ 是 $n$ 阶实满秩矩阵，证明：存在正交矩阵 $\displaystyle P_{1}, P_{2}$ 使得 $$ P_{1}^{-1} A P_{2}=\left(\begin{array}{llll} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0(i=1,2, \cdots, n)$ ．

3．（15 分）设 $A$ 是 $m$ 行 $n$ 列矩阵，$b$ 是 $m$ 维非零向量，$X$ 是 $n$ 个未知量构成的 $n$ 维向量，向量方程 $A X=b$ 的增广矩阵记为 $C$ ，若 $A$ 的秩 $r(A)$ 与 $C$ 的秩 $r(C)$ 都是 $r$ ，且满足 $1 \leq r<n$ ，证明： （1）（5 分）若 $X_{1}, \cdots, X_{n-r}$ 是 $n-r$ 个线性无关的 $n$ 维向量，且 $$ A X_{k}=0, k=1,2, \cdots, n-r $$ 则 $X_{1}, \cdots, X_{n-r}$ 是向量方程 $A X=0$ 的一个基础解系． （2）（10 分）若 $Y_{1}, \cdots, Y_{n-r+1}$ 是 $n-r+1$ 个线性无关的 $n$ 维向量，且 $$ A Y_{s}=b, s=1,2, \cdots, n-r+1 $$ 则向量方程 $A X=b$ 的任何一个解可由 $Y_{1}, \cdots, Y_{n-r+1}$ 线性表示．

5．设 $P^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $$ G_{1}=\left(\begin{array}{cc} a & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right), G_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\ 1 & 1 \end{array}\right), G_{3}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ a & 1 \end{array}\right), G_{4}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & a \end{array}\right) $$ 讨论由 $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ 生成的子空间 $L\left(G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}\right)$ 的维数并给出相应的一组基。

8．已知 $A$ 为数域 $P$ 上的 6 阶矩阵，$f(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda+3)^{2}(\lambda-4)$ 为 $A$ 的特征多项式，$m(\lambda)= (\lambda-2)^{2}(\lambda+3)(\lambda-4)$ 为 $A$ 的最小多项式． （1）求 $A$ 的所有不变因子． （2）写出 $A$ 的 Jordan 标准形． （3）写出 $A$ 的有理标准形．

五，（20 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & b & 1 \\ b & a & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 都是 3 级实对称矩阵，且有正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=B$ ，试求 $\displaystyle a, b$ 和正交矩阵 $P$ ．

五，（20 分）设 3 级实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & b & 1\end{array}\right)$ ，与矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似， （1）试求实数 $\displaystyle a, b$ ； （2）求一正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=B$ ．

2、线性方程组 $A X=\beta$ 的任一解都可以表示为 $$ k_{0} \gamma_{0}+k_{1} \beta_{1}+k_{2} \beta_{2}+\cdots+k_{t} \beta_{t} \text {, 其中 } k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{t}=1-k_{0} \text {. } $$

九、（15 分）设 $A$ 是 $n$ 阶非零实反对称矩阵。证明： （1）$A$ 的特征值只能为 0 或纯虚数； （2）矩阵 $\displaystyle T=(E+A)^{-1}(E-A)$ 为正交矩阵。

九，（15 分）证明：任意一个实可逆矩阵都可以分解为一个正交矩阵与一个主 对角线元都为正数的上三角矩阵的乘积，并且这种分解是唯一的．

七．（20 分）实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 经过正交变换化为 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ． （1）求 $\displaystyle a, b$ 的值； （2）求所作的正交变换； （3）判断二次型是否为正定二次型，并说明理由．

五、（20 分）若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+a x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+2 b x_{2} x_{3}$ 经过正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}{ }^{2}+2 y_{2}{ }^{2}$ ，试求参数 $\displaystyle a, b$ 的值以及正交阵 $P$ ．六、（7＋8＝15分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle \mathscr{A}=\mathscr{A} \mathscr{A} \mathscr{A}=\mathscr{B} \mathscr{A}$ 。 （1）证明： $\displaystyle \mathscr{A} V=\mathscr{A}^{2} V, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}$ ． （2）$\displaystyle V=\mathscr{A} V \oplus \operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．

7．（20 分）证明：实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的内积空间 $V$ 中保持任意两个向量内积不变的变换一定是线性的，从而是正交变换。

九．（15 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}$ 和 $\displaystyle y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两个线性无关的向量组．证明：存在正交变换 $\displaystyle \varphi$ 使得 $\displaystyle \varphi\left(x_{i}\right)=y_{i}(i=1,2, \cdots, k)$ 的充要条件是 $\displaystyle \left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(y_{i}, y_{j}\right)(i, j=1,2, \cdots, k)$ ．

8．设 $\displaystyle A, B \in R^{n \times n}$ 是两个正交矩阵，若 $\displaystyle A+B$ 可逆，证明 $\displaystyle |A|=|B|$ 。

10．$\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right), B=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 为 $\displaystyle n \times m$ 阶矩阵，则存在 $\displaystyle R^{n}$ 上的正交变换 $\displaystyle \sigma$ ，使得 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle A^{T} A=B^{T} B$ 。

六．已知 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。证明：$W$ 的正交补也是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。

七．判断正误，并说明理由． $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 0 & x & y \\ -x & 0 & z \\ -y & -z & 0 \end{array}\right) $$ 是否存在正交矩阵 $P$ 使得 $\displaystyle A P=P B \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

10．设 $a$ 为实数，矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ll} 0 & a \\ 1 & 1 \end{array}\right) $$ 若存在正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为上三角的实矩阵，求 $a$ 的取值范围．

4．设 $A_{m}$ 为 $m$ 阶方阵，$B_{n}$ 为 $n$ 阶方阵，$\left|A_{m}\right|=a,\left|B_{n}\right|=b$ ，则 $\left|\begin{array}{cc}0 & A_{m} \\ B_{m} & 0\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

1．若 $\lambda_{0} \neq 0$ ，求证 $\lambda_{0}$ 也是 $\mathcal{B} \mathcal{A}$ 的特征值，并求相应的一个特征向量；

三、求正交变换 $\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}u \\ v \\ w\end{array}\right)$ ，化二次型 $\displaystyle f=x^{2}+4 x y+4 x z+y^{2}+4 y z+z^{2}$ 为标准形．

九、设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$V$ 的保持内积的线性变换称为正交变换，对 $V$ 的任何单位向量 $\displaystyle \eta$ ，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}_{\eta}, \mathcal{\mathcal { A } _ { \eta }}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta(\alpha \in V)$ 称为 $V$ 的镜面反射。求证：

三、（本题 20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{array}\right)$ ． （1）求一正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 为对角阵； （2）求 $\displaystyle A^{n}$ ．

9．设 $A$ 为正交矩阵，且 $\displaystyle |A|=-1$ ，则 $A$ 必有特征值为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

7．设 $A$ 为 3 阶半正定阵，向量 $\displaystyle \alpha, \beta$ 线性无关，若 $\displaystyle \alpha^{T} A \alpha=\beta^{T} A \beta=0$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=2$ ，则二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{T} A x$ 经正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化成的标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

八、设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换 $\displaystyle T(x)=A x$ 。证明： （1）若 $A$ 是正交矩阵，则 $T$ 是正交变换； （2）若 $A$ 是对称矩阵，则 $T$ 是对称变换．

七、（15 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ． （1）求 $a$ 的值； （2）用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换．

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

7．若对称矩阵 $A_{n \times n}$ 为二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的矩阵，证明：$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 半正定的充要条件为存在对称矩阵 $B$ 使 $A=B^{2}$ ．

八．用正交变换将二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3} $$ 化为标准形，并写出所用的正交变换．

10．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & 0 \\ 0 & a & 6\end{array}\right)$ 可相似对角化． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\displaystyle X=P Y$ ，将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{T} A X$ 化为标准形．

12．二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X $$ 在正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 下的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}, Y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ ，且正交矩阵 $Q$ 的第三列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{T}$ ，求实对称矩阵 $A$ ，并证明 $\displaystyle A+E_{3}$ 正定。

三．（15 分）实矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -4 \\ -2 & x & -2 \\ -4 & -2 & 1 \end{array}\right) $$ 与对角阵 $\displaystyle \Lambda=\operatorname{diag}\{5,-4, y\}$ 相似，求 $\displaystyle x, y$ 的值． $\displaystyle \begin{aligned} & \text { 四．（15 分）设 } A= \\ & \text { A33元素为0 }\end{aligned}=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $P$ 及对角矩阵 $D$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P=D$ ．

五．设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的正交变换，设子空间 $$ V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha, \alpha \in V\}, V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-\sigma(\alpha), \alpha \in V\} . $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

判断题 （1）$U$ 是酉矩阵，$\displaystyle U^{*}$ 是 $U$ 的共轭转置，则 $U$ 的所有特征值的模长为 1 （2）$\displaystyle A, B$ 为二阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 有相同的迹和行列式，则 $\displaystyle A, B$ 一定相似 （3）$\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle n \times k$ 阶复矩阵，$\displaystyle C=A B$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C) \leq \min \{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$ （4）$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，则存在 $\displaystyle A B-B A=I_{n}$ （5）$\displaystyle U_{1}, U_{2}, U_{3}$ 是 $V$ 的子空间 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(U_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{2} \cap U_{3}\right)+2 \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}\right)$证明题

四．（可能有误）二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3}$ 的矩阵记为 $\displaystyle A, A$ 的特征值之和为 1 ，积为 -12 ，求 $b$ 的值，并将二次型用正交线性替换化为标准形，写出正交变换矩阵。

4．设 $\alpha, \beta$ 为3维列向量，且 $\alpha \beta^{T}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ，则 $\beta^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

7．（15 分）设矩阵 $A$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，证明：矩阵 $A$ 能唯一地分解为 $\displaystyle A=Q U$ ，其中 $Q$ 是正交矩阵，$\displaystyle U=\left(u_{i j}\right)_{n \times n}$ 是上三角矩阵且对角元 $\displaystyle u_{i i}(1 \leq i \leq n)$ 均为大于 0 的实数．

5．已知列向量组 $\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ 是方阵 $\left(\begin{array}{ccc}-b & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的特征向量，则 $4 a-3 b=$ $\_\_\_\_$ ．

8．设 $A$ 为非零实方阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $A^{\mathrm{T}}=A^{*}$ ，则 $A$ 可逆．

6．设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值．证明： （1）$\lambda$ 的实部为 0 ． （2）存在正交矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A^{2} P$ 是对角矩阵。

九、（本题15分）设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维欧氏空间上的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ 也是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。

八、（本题 20 分）设实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & b \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2\end{array}\right)$ ，且 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ． （1）求的 $\displaystyle a, b$ 值； （2）证明：存在正交矩阵 $T$ ，使二次型 $\displaystyle f(x)=x^{\mathrm{T}} A x$ 化为标准形，并写出正交矩阵 $T$ 。

六．（15 分）设 $A$ 是 3 阶正交矩阵，且 $\displaystyle |A|=-1$ ． （1）证明：-1 是 $A$ 的特征值； （2）证明：存在正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=P^{T} A P=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ 或 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ．

4．设 $V$ 是 $\displaystyle n(n>1)$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的单位向量． （1）$V$ 上的正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 称为关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 满足： （i）若 $\displaystyle (\alpha, \beta)=0$ ，则 $\displaystyle \mathscr{B} \beta=\beta$ ； （ii） $\displaystyle \mathscr{B} \alpha=-\alpha$ ． 证明：如果正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 是关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射，则 $\displaystyle \mathscr{B} \gamma=\gamma-2(\alpha, \gamma) \alpha, \forall \gamma \in V$ 。 （2）设 $\displaystyle \beta$ 也是 $V$ 中的单位向量，证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 使得 $\displaystyle \operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(\mathscr{A}-1_{V}\right)=n-1$ 且 $\displaystyle \mathscr{A} \alpha=\beta$ ，其中 $\displaystyle 1_{V}$ 表示 $V$ 上的恒等变换。

2．设矩阵 $\displaystyle B=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ 为正交矩阵，则矩阵 $\displaystyle A=2 \alpha_{2} \alpha_{2}^{T}+\alpha_{3} \alpha_{3}^{T}+\alpha_{4} \alpha_{4}^{T}$ 的最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．设 4 阶正交矩阵 $A$ 无实特征值，证明：存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $$ Q^{T} A Q=\left(\begin{array}{cccc} \cos \theta_{1} & \sin \theta_{1} & & \\ -\sin \theta_{1} & \cos \theta_{1} & & \\ & & \cos \theta_{2} & -\sin \theta_{2} \\ & & \sin \theta_{2} & \cos \theta_{2} \end{array}\right), \theta_{i} \neq k \alpha(i=1,2) $$

5．设正交矩阵 $\displaystyle P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 在线性替换 $\displaystyle X=P Y$ 下化为标准型 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，令 $\displaystyle Q=\left(-\alpha_{3}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在线性替换 $\displaystyle X=Q Y$ 下化为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．直纹面 $x y+z+1=0$ 平行于直线 $\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{1}$ 的直母线的标准方程为 $\_\_\_\_$ ．

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

3．取实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 3 级矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right) $$ （1）求正交矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{\prime} A C$ 为对角矩阵，其中 $\displaystyle C^{\prime}$ 表示 $C$ 的转置． （2）求正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ．

5．已知 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 是线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=-1 \\ 3 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=1 \\ a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=d\end{array}\right.$ 的两个解，系数矩阵的秩为 $\_\_\_\_$ ，方程组的通解为 $\_\_\_\_$ ．

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．已知 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(1-a) x_{1}^{2}+(1-a) x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2(1-a) x_{1} x_{2}$ （a）求 $a$ （b）求正交变换 $X=Q Y$ ，使得 f 为标准型 （c）求 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解 （d）请问矩阵方程 $X^{3}=A$ 是否有解？若有的话请给出解，若没有的话请说明理由。（其中 A 为与 f 相伴的矩阵）

4．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关，求 $L\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \ldots, \alpha_{s-1}+\alpha_{s}, \alpha_{s}+\alpha_{1}\right)$的基和维数

3、矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，求 $E-A$ 的逆．

1．（10 分）求方程 $\left(y+x^{3} y+2 x^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x+4 x y^{4}+8 y^{3}\right) \mathrm{d} y=0$ 的通解．

4、（15 分）证明：（1）若 $\displaystyle |A|=1$ ，则 $A$ 为正交矩阵 $\displaystyle \Leftrightarrow A$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式． （2）若 $\displaystyle |\mathbf{A}|=-1$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为正交矩阵 $\displaystyle \Leftrightarrow \mathbf{A}$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式乘以 $\displaystyle (-1)$ ．

2、 $f(\lambda)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，若 $f(2+\sqrt{3})=0$ ，则 $f(5)=$ $\_\_\_\_$。

四、二次型 $\displaystyle f(x)=X^{\prime} A X$ 的矩阵 $A$ 的 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=3$ ，且满足 $$ A\left[\begin{array}{cc} 2 & 1 \\ -1 & 2 \\ 2 & 2 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 2 & -2 \\ -1 & -4 \\ 2 & -4 \end{array}\right] $$ 1．求 $A$ 的特征值及对应的特征向量． 2．写出 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的表达式． 3．求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为标准型．

六．设 $A$ 是可逆矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$和正定矩阵 $S$ ，使得 $\displaystyle A=Q S$ 。

6．解答如下问题： （1）设 $A$ 为上三角矩阵也为正交矩阵．证明：$A$ 为对角矩阵，且对角线元素为 $\displaystyle \pm 1$ ． （2）设 $B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$ 和主对角线元素大于零的上三角矩阵 $R$ ，使得 $\displaystyle B=Q R$ ，并且这种分解是唯一的．

七．（15 分）设 $n$ 阶实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 0\end{array}\right), n \geq 2$ ． （1）求 $A$ 的所有特征值与特征向量． （2）求 $n$ 阶正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{\mathrm{T}} A Q$ 为对角矩阵。

2．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & -2 & -2 \\ -2 & 1 & -2 & -2 \\ -2 & -2 & 1 & -2 \\ -2 & -2 & -2 & 1\end{array}\right)$ ，求一个正交矩阵 $T$ ，使 $\displaystyle T^{-1} A T$ 为对角阵。

3．（30 分）已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 3 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 3 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right), $$ 求正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q$ 为对角矩阵，并写出得到的对角矩阵。

3．（20 分）已知实对称矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right), $$ 求正交矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 为对角矩阵。

4．（15 分）设 $\displaystyle A=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$ ．求一个正交矩阵 $P$ 使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 为对角阵，并写出该对角阵。

4．（25 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{7}{4} & -\frac{3}{4} & \frac{\sqrt{6}}{4} \\ -\frac{3}{4} & \frac{7}{4} & -\frac{\sqrt{6}}{4} \\ \frac{\sqrt{6}}{4} & -\frac{\sqrt{6}}{4} & \frac{7}{2}\end{array}\right)$ ． （1）．求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 是对角矩阵。 （2）．求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\frac{7}{4} x_{1}^{2}+\frac{7}{4} x_{2}^{2}+\frac{7}{2} x_{3}^{2}-\frac{3}{2} x_{1} x_{2}-\frac{\sqrt{6}}{2} x_{2} x_{3}+\frac{\sqrt{6}}{2} x_{1} x_{3}$ 在单位球面 $\displaystyle S^{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in\right. \left.\mathbb{R}^{3} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\right\}$ 上能取到的最大值，并求出能取到该最大值的所有 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ ．

6．（20 分）令 $\displaystyle f(x, y)=a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 b_{1} x+2 b_{2} y+c$ ， $$ A_{f}=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right), \quad B_{f}=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{12} & a_{22} & b_{2} \\ b_{1} & b_{2} & c \end{array}\right) . $$ 证明：函数 $f$ 在坐标变换 $\displaystyle \binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=Q\binom{x}{y}+\binom{d_{1}}{d_{2}}$ 下对应的 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(B_{f}\right)$ 保持不变，其中 $Q$ 是二阶正交矩阵。

4．（15 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是有限维欧式空间 $V$ 上的正交变换，且满足 $\displaystyle \sigma^{m}=I$ ，其中 $m$ 为大于 1 的整数，$I$是恒等变换。记 $\displaystyle V^{\sigma}=\{\theta \in V: \sigma(v)=v\}$ ，而 $\displaystyle V^{\sigma}$ 的正交补记为 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 。 （a）．求证 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 是 $\displaystyle \sigma$－不变子空间． （b）．对于 $\displaystyle v \in V$ ，定义 $\displaystyle \bar{v}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(v)$ 。求证： $\displaystyle \bar{v} \in V^{\sigma}$ ． （c）。证明：若将 $\displaystyle v \in V$ 展开成 $\displaystyle v=v_{1}+v_{2}$ ，其中 $\displaystyle v_{1} \in V^{\sigma}, v_{2} \in V^{\sigma \perp}$ ，则 $\displaystyle v_{1}=\bar{v}$ 。

7．（15 分）设 $V$ 是实内积空间，$\displaystyle \langle\cdot, \cdot\rangle$ 是 $V$ 上的内积，$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的可逆线性变换，且满足 $$ <\phi(\phi(x)), y>=<x, \phi(y)>, \quad \forall x, y \in V . $$ 证明：$\displaystyle \phi$ 是正交变换．

2．已知 $\displaystyle \mathscr{A}: U \rightarrow U$ 是西空间 $U$ 上的线性变换，且满足 $\displaystyle (v, \mathscr{A}(v)) \in \mathbb{R}, \forall v \in U$ 。证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 Hermite 变换，即 $\displaystyle (\mathscr{A}(v), w)=(v, \mathscr{A}(w)), \forall v, w \in U$ 。

11．（15 分）设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性变换，证明：如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足下列条件中的任意两个，则它必满足剩余的另一个条件。 （1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 是正交变换． （2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 是对称变换． （3） $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{E}, \mathscr{E}$ 为 $V$ 上的恒等变换．

9．已知 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle f, g$ 为 $V$ 上的两个变换，若 $f$ 为正交变换，且对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $$ (f(\alpha), \beta)=(\alpha, g(\beta)) $$ 证明 $g$ 也是 $V$ 上的正交变换．

10．设 $f$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的对称变换，即 $\displaystyle (f(\alpha), \beta)=(\alpha, f(\beta))$ 对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ 成立．证明：$f$ 的特征值全为实数，且 $\displaystyle \min _{0 \neq \alpha \in V} \frac{(\alpha, f(\alpha))}{(\alpha, \alpha)}=\lambda_{1}$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{1}$ 为 $f$ 的最小特征值．

2．已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right) \text { (数值可能有误) } $$ 证明：存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q A$ 为上三角矩阵，且主对角线元素全为正数．

2．（20 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(B X)^{T}(B X)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ ，$a$ 为实数，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 。已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过可逆线性变换化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+0 y_{3}^{2}$ ．求 $a$ 的值，并求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化为标准形。

4．$n$ 维欧氏空间 $V$ 上的变换 $f$ 满足对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，有 $$ f(\alpha)=a \alpha-b(\alpha, \eta) \eta,\|\eta\|=\sqrt{3} $$ $\displaystyle a, b$ 取何值时，$f$ 是正交变换？

6．已知实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+4 a x_{3}^{2}+6 x_{1} x_{2}+5 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3} $$ 经正交变换可化为标准型 $f=-16 y_{1}^{2}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

四．设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 2 ，向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,0,-1)^{T}, \alpha_{2}=(2,-1,-1)^{T}$ 是线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的两个解． （1）求 $A$ 的特征值和特征向量． （2）求正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\displaystyle \Lambda$ ，使得 $\displaystyle Q^{T} A Q=\Lambda$ ．

五．设 $A$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，证明：$A$ 可以化成一个正定矩阵与一个正交矩阵的乘积．

7．二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}$ 。 （1）判断是否是正定二次型． （2）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出相应正交变换和标准形。（15分）

12．（15 分） （1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，且 $\displaystyle (m, n)=d$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 到自身的一个映射，证明：如果 $\displaystyle \sigma$ 保持内积不变，即任意的 $\displaystyle \xi, \eta \in V$ ，有 $\displaystyle \langle\sigma(\xi), \sigma(\eta)\rangle= \langle\xi, \eta\rangle$ ，则 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的线性变换，从而也是正交变换． （3）设 $A$ 是一个实对称矩阵，如果以 $A$ 为矩阵的实二次型是正定的，$A$ 是正定的．证明：若 $A$ 是正定的，则 $A$ 可逆且可逆矩阵也是正定的．

4．设 $A$ 为行列式等于 1 的 3 阶正交矩阵，则 $A$ 必有实特征值 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $A$ 为 $n$ 阶非零实矩阵，$\displaystyle n \geq 3$ ，且 $\displaystyle A^{T}=A^{*}$ ，证明：（1）$\displaystyle |A|>0$ ；（2）$A$ 为正交矩阵。

1．求 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,0)^{T}, \varepsilon_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ 。（＂$T$＂表示转置，以下各题相同）．

4．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的单位列向量且相互正交，实二次型 $\displaystyle f(X)=2\left(\alpha^{T} X\right)^{2}+\left(\beta^{T} X\right)^{2}$ 的矩阵为 $A$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}$ ．证明： （1）存在正交矩阵 $U$ ，使得 $\displaystyle U^{T} A U$ 为对角形 $\displaystyle \operatorname{diag}\{2,1,0\}$ ． （2）是否存在唯一的半正定矩阵 $S$ 使得 $\displaystyle A=S^{2}$ ？请说明理由．

7．设复方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，记 $\displaystyle \bar{A}=\left(\bar{a}_{i j}\right)_{n \times n}\left(\bar{a}_{i j}\right.$ 为 $\displaystyle a_{i j}$ 的共轭复数）．如果复方阵 $A$ 满足 $\displaystyle (\bar{A})^{T}=A$ ，称 $A$为 Hermite 矩阵．证明： （1）若复方阵 $A$ 为 Hermite 矩阵，则 $A$ 的特征值均为实数． （2）若复方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A(\bar{A})^{T}=A^{2}$ ，则 $A$ 为 Hermite 矩阵。

八、（15 分）设 $\displaystyle A=\left|\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right|$ ，求正交矩阵 $Q$ 使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q$ 为对角矩阵。

二、 试化二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 \sqrt{2} x_{1} x_{3}$ 为标准型，并求出变到标准型的正交变换 （20分）

2．（15 分）已知 $$ \mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right] $$ 求一正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{T}$ 使 $\displaystyle \mathbf{T}^{\prime} \mathbf{A T}$ 成对角形。

五、求正交矩阵 $Q$ 使得 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}-1 & -3 & 3 & -3 \\ -3 & -1 & -3 & 3 \\ 3 & -3 & -1 & -3 \\ -3 & 3 & -3 & -1\end{array}\right)$ 使 $\displaystyle Q^{\prime} A Q$ 为对角正交矩阵（25 分）

三、（20分）设 $A$ 是 3 阶对称矩阵，且 $A$ 的各行元素之和都是 3 ，向量 $$ \alpha=(0,-1,1)^{T}, \beta=(-1,2,-1)^{T} $$ 是方程 $\displaystyle A x=0$ 的解。 （1）求矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征值和特征向量； （2）求正交矩阵 $Q$ 和矩阵 $B$ ，使行 $\displaystyle Q^{T} B Q=A$ 。

五、（25 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ （1）求 $A$ 的特征多项式，并确定其是否有重根； （2）求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}$ 为对角阵； （3）设 $V$ 为所有与 $A$ 可交换的实矩阵的全体，求证：$V$ 是实数域上的向量空间，并求 $V$ 的维数．

四、（本题 20 分）求一个正交变换化下列二次型为标准形： $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3} $$

3、正定矩阵

十、（15 分） 已知矩阵空间 $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 的子空间 $$ W=\left\{\left.X=\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right] \right\rvert\, x_{3}-x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\} . $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的内积为 $$ (A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}\left(\forall A=\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right) \in R^{2 \times 2}\right), $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的线性变换为 $\displaystyle \sigma(X)=X B\left(\forall X \in R^{2 \times 2}, B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\right)$ ． （1）证明：求子空间 $W$ 的一组标准正交基； （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \sigma$ 看作是 $W$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $W$ 上的对称变换； （4）求 $W$ 的一组标准正交基，使 $\displaystyle \sigma$ 在该组基下的矩阵为对角矩阵。

九、（15 分） 设二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{\mathrm{T}} A X=a x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3} \quad(b>0), $$ 其中二次型的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为－ 12 ． （1）求 $a$ 和 $b$ 的值； （2）利用正交变换将二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

九、（15 分） （1）已知 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), $$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的一组基，将 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 转换为正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ ；若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), $$ 求 $\displaystyle \sigma$ 在正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵； （2）设 $V$ 是有限维欧式空间，内积记为 $\displaystyle (\alpha, \beta)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个正交变换，记 $$ V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}, $$ $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $V$ 的子空间，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

五、（15 分） 已知二次曲面 $$ x^{2}+a y^{2}+z^{2}+2 b x y+2 x z+2 y z=4 $$ 可以经过正交变换 $$ \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right)=P\left(\begin{array}{l} \xi \\ \eta \\ \zeta \end{array}\right) $$ 化为椭圆柱面方程 $\displaystyle \eta^{2}+4 \zeta^{2}=4$ ，求 $\displaystyle a, b$ 的值和正交矩阵 $P$ ．

1．已知 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为一个 $n$ 阶实矩阵，对角元 $a_{i i}=a>0(i=1,2, \cdots, n)$ ，且对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，有 $\sum_{j=1}^{n}\left(\left|a_{i j}\right|+\left|a_{j i}\right|\right)<4 a$ ．设二次型 $f=X^{T} A X$ ，其中 $X$ 为实 $n$ 维列向量． （1）求二次型 $f$ 的矩阵 $B=\left(b_{i j}\right)$ ； （2）证明：$b_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|b_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ； （3）证明：$f$ 是正定二次型．

5．设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，证明：$A B$ 与 $B A$ 有相同的特征多项式．

8．设 $A$ 是实矩阵，其特征值均为实数，证明：存在正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T$ 为上三角矩阵。

2．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间． （1）若 $V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，证明：在 $V$ 上存在唯一的幂等变换 $\mathscr{A}\left(\mathscr{A}^{2}=\mathscr{A}\right)$ ，使得 $$ V_{1}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}, V_{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A} . $$ （2）设 $$ \begin{gathered} V_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in P^{n} \mid x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0\right\}, \\ V_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in P^{n} \mid x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}\right\} . \end{gathered} $$ 证明：$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ，并求 $P^{n}$ 上的幂等变换 $\mathscr{A}$ ，使得 $V_{1}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}, V_{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A}$ ．

1、设 $\displaystyle \mathscr{A}(\alpha)=\alpha-k(\alpha, \varepsilon) \varepsilon, k$ 为常数，$\displaystyle \varepsilon$ 为单位列问量，若 $\displaystyle \Omega$ 是正交变换，求 $\displaystyle k=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}13 & 16 & 16 \\ -5 & -7 & -6 \\ -6 & -8 & -7\end{array}\right)$ 的若尔当标准型为 $\_\_\_\_$。

三、已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=3 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+3 a x_{2} x_{3}, a>0$ ，通过正交变换将 $f$ 化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$ ，求 $a$ 及所用的正交变换．

4．若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 可由正交变换 $\displaystyle X=T Y$化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4 y_{3}^{2}$ ，求 $\displaystyle a, b$ 及所用的正交变换．

9．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right)$ 完成下列问题： （1）求正交矩阵 $Q$ 和主对角线上都大于 0 的上三角矩阵 $T$ 使得 $\displaystyle A=Q T$ ； （2）求正交矩阵 $P$ 和正定矩阵 $R$ 使得 $\displaystyle A=P R$ ； （3）求正交矩阵 $\displaystyle U, V$ 使得 $\displaystyle U A V$ 为对角矩阵．

8．（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换． （1）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可同时对角化，则 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换； （2）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换，则 $\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

八．（15 分）设 $A$ 为实对称矩阵，$S$ 为实反称矩阵，$\displaystyle A S=S A, A$ 可逆，证明：$\displaystyle A-S$ 可逆，且 $$ (A+S)(A-S)^{-1} $$ 为正交矩阵。

8．设 $\displaystyle \eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个单位向量，定义变换 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha-2(\alpha, \eta) \eta$ ． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是正交变换． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的任意一组标准正交基下的矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle |A|=-1$ ．

2．秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，则行列式 $|A+E|=$（ （A）$(-1)^{r} 3^{r}$ （B） $3^{r}$ （C）$(-1)^{r} 2^{r}$ （D） $2^{r}$

2．若实对称矩阵 $A$ 与矩阵 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 合同，且 $X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ ，则 $X^{T} A X$ 的规范形为 3．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & t & 1 \\ 1 & t & 0 & 1\end{array}\right)$ ，齐次线性方程组 $A X=0$ 解空间的维数为 2 ，则 $t=$ 4．设 $A$ 与 $B$ 均为 $n$ 阶矩阵，$A^{*}, B^{*}$ 分别为它们的伴随矩阵，$|A|=2,|B|=-4$ ，则 $\left|A^{*} B^{-1}-A^{-1} B^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

3．（20分）设 $\eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的一个单位向量，定义 $\mathscr{A}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta$ 为镜面反射。 （1）证明 $\mathscr{A}$ 是一个正交变换，求 $\mathscr{A}$ 的一组标准正交基，并并求 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵。 （2）如果 $n$ 维欧氏空间中，正交变换 $\mathscr{A}$ 以 1 作为特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 $V_{1}$ 的维数为 $n-1$ ，则 $\mathscr{A}$ 一定为镜面反射。

1．求 $\beta$ 的值．

1．秩 $\left(A^{n}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+1}\right)=$ 秩 $\left(A^{n+2}\right)=\cdots$ ．

七．已知 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，且 $\displaystyle \sigma^{m}=\mathrm{id}_{V}$ ，其中 $\displaystyle m>1$ 为正整数， $\displaystyle \mathrm{id}_{V}$ 为 $V$ 上的恒等变换． （1）证明 $\displaystyle V_{\sigma}=\{u \in V \mid \sigma(u)=u\}$ 为 $V$ 的子空间，并称其为 $V$ 的不动子空间； （2）对任意的 $\displaystyle u \in V$ ，其在 $\displaystyle V_{\sigma}$ 上的正交投影为 $\displaystyle \bar{u}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(u)$ ； （3）证明 $\displaystyle V_{\sigma}$ 的维数等于 $\displaystyle \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}$ 的迹． ## （第三、四、六题回忆数据可能不准，11月份之前会根据官方修订真题）

三．设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反称矩阵．证明： （1）$\displaystyle A-B^{2}$ 是正定矩阵； （2）$\displaystyle T=(E-B)(E+B)^{-1}$ 为正交矩阵； （3）-1 不是 $T$ 的特征值．

七、（15 分）设 A ， B 都是正交矩阵，且 $\displaystyle |A|=|B|$ ，则 $\displaystyle |A+\mathrm{B}|=0$ ．

8、（15 分）求正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{\top} A Q$ 为对角矩阵，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2\end{array}\right)$ ．

14．设 $A, B, A B-E$ 都是 $n$ 阶可逆阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。 （1）证明：$A-B^{-1}$ 可逆，并求其逆． （2）证明：$\left(A-B^{-1}\right)^{-1}-A^{-1}$ 可逆，并求其逆。

1．（5 分）设 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵且是反对称矩阵，则 $A^{2}=$ $\_\_\_\_$ ．

7．（5分）设 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，求 $A$ 的极小多项式．

四．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，$A$ 可逆，且满足 $\displaystyle 2 A^{-1} B=B-4 E$ ．证明：$\displaystyle A-2 E$ 可逆，并求其逆矩阵。 五。设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X=a x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 b x_{1} x_{3}$ ，其中，$\displaystyle b>0$ ，且 $A$的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ． 1．求参数 $\displaystyle a, b$ 的值； 2．利用正交变换将二次型化成标准型，并写出所用的正交变换．

2、（10 分）求 $D_{n}$ ，其中 $n \geq 4$ ．

7、（15 分）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}-2 x_{1} x_{3}$ ，用正交变换化为标准型．

6．已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ 在正交变换 $\displaystyle x=Q y$ 的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $Q$ 的第 3 列列向量为 $\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{T}$ ，求正交矩阵 $Q$ 。

7．设，$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶正交矩阵，且满足 $\displaystyle |A B|=-1$ ，证明：$\displaystyle |A+B|=0$ 。

8．设 $A$ 为欧式空间 $V$ 上的对称变换。证明：$\displaystyle (A V)^{\perp}=\operatorname{ker} A$ 。

1．若 $p(x)$ 是不可约多项式且 $p^{5}(x) \mid f^{2}(x)$ ，是否一定有：$p^{3}(x) \mid f(x)$ ，为什么？

2．若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则 $A+B, A B, A^{-1}$ 中哪些必是正交矩阵，为什么？

11．设 $A$ 是正定的正交矩阵，证明：$\displaystyle A=E$ ．

4．正交矩阵的复特征值一定是 -1 或 1 吗？为什么？

8．设 $V$ 是实线性空间，$v_{1}, v_{2}$ 是 $V$ 的一组基，且 $V$ 上线性变换 $\mathscr{T}$ 满足 $$ \mathscr{T}\left(v_{1}\right)=v_{1}+v_{2}, \mathscr{T}\left(v_{2}\right)=-2 v_{1}+4 v_{2} . $$ 计算 $\mathscr{T}^{2026}\left(v_{1}\right)$ 在基 $v_{1}, v_{2}$ 下的坐标．

八．$\displaystyle A, B$ 均为正交矩阵，$\displaystyle |A|=-1,|B|=1$ ． （1）证明 -1 为 $A$ 的特征值； （2）证明：$\displaystyle |A+B|=0$ ．

2．设 $A$ 是 3 阶实方阵，且 $|E+A|=0,|E+2 A|=0,|E-3 A|=0, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $|E+6 A|=$ $\_\_\_\_$

七、（15 分） 设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的正交变换，记 $$ V_{1}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\} $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

1．求实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}-x_{2} x_{3}+x_{4}^{2}-2 x_{4} x_{5}$ 的正惯性指数和负惯性指数．

6．设 $A, B$ 都是 $n$ 阶方阵，且 $|A|=2,|B|=3$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

10．设 $\alpha_{1}=(1,1,1,2)^{T}, \alpha_{2}=(4,6,2 a+7,10)^{T}, \alpha_{3}=(3, a+4,2 a+5, a+7)^{T}, \beta=(2,3,2 a+3,5)^{T}$ ，若 $\beta$ 不能用 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．

七．（15 分）设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 线性无关，且 $$ \xi_{i}=a_{1 i} \beta_{1}+a_{2 i} \beta_{2}+\cdots+a_{m i} \beta_{m}(i=1,2, \cdots, s) . $$ 证明：向量组 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s}$ 的秩 $\displaystyle =$ 矩阵 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)_{m \times v}$ 的秩。 人．（ 15 分）证明：若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是正交矩阵 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle \lambda_{0}^{-1}$ 也是 $A$ 的特征值。

七、设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$T$ 是 $V$ 的一个正交变换，构造子空间： $$ \begin{aligned} & V_{1}=\left\{\alpha_{0} \mid T \alpha_{0}=\alpha_{0}, \forall \alpha_{0} \in V\right\} \\ & V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-T \alpha, \forall \alpha \in V\} . \end{aligned} $$ 证明：$\displaystyle V_{1}=V_{2}{ }^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle V_{2}{ }^{\perp}$ 表示 $\displaystyle V_{2}$ 的正交补。

八、设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1-a & 2 a & 1 \\ 2 & 1-a & -1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$的秩为 $\displaystyle \mathbf{2}$ ． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ ，将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形． （3）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解．

五．已知 $$ \alpha_{1}=(1,1, a)^{T}, \alpha_{2}=(1, a, 1)^{T}, \alpha_{3}=(a, 1,1)^{T}, \beta=(1,1,-2)^{T} . $$ $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性表出且不唯一，求 $a$ 的值．记 $\displaystyle A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，求正交变换 $Q$ ，通过 $\displaystyle X=Q Y$ ，使 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T}\left(E_{3}+A\right)^{-1} X $$ 为标准型。

3、设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ， （1）求 $A$ 的全部特征值． （2）对 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ ，求属于特征值 $\lambda$ 的特征子空间的维数和一组基． （3）求正交矩阵 $P$ ，使 $P^{\top} A P$ 是对角阵，并写出此对角阵．

9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \ldots, \beta_{m}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上两向量组，定义 $\displaystyle (x, y)=x_{1} y_{1}+\cdots+x_{n} y_{n}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上内积，且 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)= \left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)(\forall i, j=1, \ldots, m)$ 。证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ ．

2．设 $A, B$ 为三阶矩阵，$|A|=3,|B|=2,\left|3 A^{-1}+2 B\right|=2$ ，则 $\left|2 A+3 B^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

一、（20 分，每题 5 分）叙述题： （1）艾森斯坦（Eisenstein）判别法； （2）克拉默（Cramer）法则； （3）哈密顿－凯莱（Hamilton－Caylay）定理； （4）正交变换．

8、（本题满分 20 分）设 $A$ 为 $n$ 级可逆实矩阵。证明：存在 $n$ 级正交矩阵 $P$ 利 $Q$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A Q=\left(\begin{array}{llll}\lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0$ ，且 $\displaystyle \lambda_{i}^{2}$ 为 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的特征值 $\displaystyle (i=1,2, \cdots, n)$ ．

5．（15 分）设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \in V$ 是一个给定的非零向量，定义 $V$ 中的变换 $\displaystyle \sigma(v)=v-\frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha$ ，称为由 $\displaystyle \alpha$ 确定的镜面反射． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的对称变换；（2）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的正交变换，并且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（恒等变换）；（3）确定 $\displaystyle \sigma$ 在一个标准正交基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{\alpha}{|\alpha|}$ ．

9．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵．证明：存在正交矩阵 $U$ 使得 $\displaystyle U^{-1} A U$和 $\displaystyle U^{-1} B U$ 同时为对角矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．

8．（10 分）证明：不存在 $n$ 阶正交矩阵 $\displaystyle A, B$ ，使得 $\displaystyle A^{2}=A B+B^{2}$ ．

6、设 $A$ 是 $n$ 阶正交矩阵，如果 $A$ 还是对称矩阵，那么 $A$ 的特征值是 $\_\_\_\_$ ．

5．（25分）设实对称矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & -2 \end{array}\right) $$ （1）求 $A$ 的合同标准形及正、负惯性指数； （2）求 $A$ 的相似标准形 $B$ ； （3）求正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A P=B$ ．

8．（20分）证明：欧氏空间的一个线性变换为正交变换当且仅当这个线性变换在任何一组标准正交基之下的矩阵为正交矩阵。

6．$\left(30\right.$ 分）已知 $T=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1\end{array}\right)$ ． （1）（10 分）证明：$T$ 可相似对角化； （2）（10 分）证明：存在多项式 $f(\lambda)$ ，使得 $A=f(T)$ ； （3）（10 分）求 $A$ 的行列式．

3．设 $|A|=\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & -7 \\ 2 & 7 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 17 & 16 & 19 & 11\end{array}\right|$ ，求 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=$ $\_\_\_\_$ ．