二次型-合同变换

7、设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实对称矩阵，线性变换 $\displaystyle \varphi: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ 定义为： $$ \varphi(X)=A X A,\left(\forall X \in \mathbb{R}^{n \times n}\right) . $$ （1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{1} \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的特征值． （2）证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。

五、（15 分）已知 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级实对称矩阵，满足：$\displaystyle A B=B A$ ，证明：存在正交矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{T} A T, T^{T} B T$ 同时为对角矩阵。

四．（15 分）设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X^{\prime} A X$ 为实系数二次型，实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1$（二重）， $\displaystyle \lambda_{2}=-1$（二重）．且 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,1,0,0)^{\prime}, \varepsilon_{2}=(1,1,0,1)^{\prime}$ 为属于特征值 $\displaystyle \lambda_{1}=1$ 的特征向量．求二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 的表达式。

2、 $\beta$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 唯一的线性表示，并求出表示式。

2、求从基 $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ 到基 $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}$ 的过渡矩阵．

七．简答题（ 15 分） 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且存在 $n$ 阶实矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B+B^{\mathrm{T}} A$ 为正定矩阵，判断矩阵 $A$ 是否可逆，并给出理由。

8．已知 $A$ 为数域 $P$ 上的 6 阶矩阵，$f(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda+3)^{2}(\lambda-4)$ 为 $A$ 的特征多项式，$m(\lambda)= (\lambda-2)^{2}(\lambda+3)(\lambda-4)$ 为 $A$ 的最小多项式． （1）求 $A$ 的所有不变因子． （2）写出 $A$ 的 Jordan 标准形． （3）写出 $A$ 的有理标准形．

9．设 $m, n, q, r$ 为非负整数，且 $m=n q+r$ ，其中 $0 \leq r<n$ ． （1）证明：$\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=\left(x^{n}-1, x^{r}-1\right)$ ． （2）证明：$\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ，其中 $d=(m, n)$ 为 $m, n$ 的最大公因数．

五，（20 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & b & 1 \\ b & a & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 都是 3 级实对称矩阵，且有正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=B$ ，试求 $\displaystyle a, b$ 和正交矩阵 $P$ ．

五，（20 分）设 3 级实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & a & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & b & 1\end{array}\right)$ ，与矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ 相似， （1）试求实数 $\displaystyle a, b$ ； （2）求一正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=B$ ．

五，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级实对称矩阵，证明： （1）矩阵 $A$ 的特征值都是实数． （2）若矩阵 $A$ 的特征值都大于 $a$ ，矩阵 $B$ 的特征值都大于 $b$ ，则矩阵 $\displaystyle A+B$ 的特征值都大于 $\displaystyle a+b$ 。

九，（15 分）设 $J$ 为一个 $k$ 级若尔当块，$A$ 为 $n$ 阶复矩阵，$\displaystyle J^{T}$ 和 $\displaystyle A^{T}$ 分别为 $J$ 和 $A$的转置矩阵，证明： （1）$\displaystyle J^{T}$ 和 $J$ 是相似的； （2）存在 $n$ 阶可逆实对称矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=A^{T}$ ．

六，（20 分）设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和为 $\displaystyle 1, \lambda_{1}=2, \lambda_{2}=-1$ 是 $A$ 的两个特征值，$E$ 为 3 阶单位矩阵，$\displaystyle B=A^{5}-4 A^{3}+E$ ．求 （1）$B$ 的全部特征值和特征向量； （2）矩阵 $B$

2、线性方程组 $A X=\beta$ 的任一解都可以表示为 $$ k_{0} \gamma_{0}+k_{1} \beta_{1}+k_{2} \beta_{2}+\cdots+k_{t} \beta_{t} \text {, 其中 } k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{t}=1-k_{0} \text {. } $$

五、（20 分）$\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle f(x)=X^{\top} A X$ 是对应的二次型，$\displaystyle \lambda_{1}$ ， $\displaystyle \lambda_{2}$ 分别是 $A$ 的最小和最大特征值． （1）对任一 $n$ 维列向量 $X$ ，证明：$\displaystyle \lambda_{1} X^{\top} X \leq X^{-} A X \leq \lambda_{n} X^{\top} X$ ． （2）证明：$\displaystyle \lambda_{1} \leq \frac{1}{n} \sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \leq \lambda_{n}$ ．

7．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶实对称矩阵。证明 $A$ 与 $B$ 合同的充要条件是：$A$ 的正特征值的个数等于 $B$ 的正特征值的个数，$A$ 的负特征值的个数等于 $B$ 的负特征值的个数。

4．$B$ 为 $n$ 阶实矩阵，证明：存在唯一的 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，使得对任意 $n$ 维列向量 $x$ ，恒有 $\displaystyle x^{T} A x=x^{T} B x$ 。

9．已知 $\displaystyle A, B$ 为同阶实对称矩阵，$B$ 为正定矩阵． （1）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 同时为对角矩阵； （2）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ ，求矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 同时为对角矩阵．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

8．设 $A$ 是实对称矩阵，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{4}, f(X)=X^{T} A X$ 是四元实二次型． （1）$\displaystyle S=\left\{X \in \mathbb{R}^{4} \mid f(X)=0\right\}$ 是不是 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 的子空间？为什么？ （2）若矩阵 $A$ 的正负惯性指数都是 1 ，证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的 3 维子空间 $W$ ，使得当 $\displaystyle X \in W$ 时， $\displaystyle f(X)=0$.

3．若 $\mathcal{A}$ 为 $V$ 的正交变换， 1 为其特征值，且相应的特征子空间的维数为 $n-1$ ，则 $\mathcal{A}$ 为镜面反射．

七、设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m}$ 为 $A$ 的一切不同特征值，若非零 $n$ 维列向量 $\displaystyle \beta$ 与特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m-1}$ 的特征向量正交，求证 $\displaystyle \beta$ 为对应特征值 $\displaystyle \lambda_{m}$ 的特征向量．

八、设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且对任何非零 $n$ 维实列向量 $x$ ，有 $\displaystyle x^{T} A x \neq 0$ ，求证 $A$ 为正定或负定。

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实对称距阵，且 $B$ 正定，求证：存在一个实可逆矩阵 $P$ 使 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$同时为对角阵。

一、填空（ $\displaystyle 10 \times 5=50$ 分） （1）若 $F$ 为同时包含 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 和 $\displaystyle \{\sqrt{2}, \sqrt{3}\}$ 的最小的数域，则 $F$ 作为 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的线性空间有基 $\displaystyle 1, \sqrt{2}, \sqrt{3}$ 和 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）多项式方程 $\displaystyle x^{3}+p x+1=0$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 内有重根，则常数 $p$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （3）设方阵 $\displaystyle A_{k \times k}, B_{l \times l}, C_{m \times m}$ 的行列式都为1，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{lll} & & A \\ & B & \end{array}\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）若 $\displaystyle \alpha=(a, b, c, d)$ ，则 $\displaystyle \left|E-\alpha^{T} \alpha\right|=$ $\displaystyle \_\_\_\_$。 （5）向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3} \in \mathbb{R}^{3}$ 线性无关，则向量组 $$ b_{11} \alpha_{1}+b_{12} \alpha_{2}+b_{13} \alpha_{3}, b_{21} \alpha_{1}+b_{22} \alpha_{2}+b_{23} \alpha_{3}, b_{31} \alpha_{1}+b_{32} \alpha_{2}+b_{33} \alpha_{3} $$ 线性无关的充要条件为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，且 $\displaystyle r(A)=r$ ，则 $\displaystyle \left\{X \in \mathbb{R}^{n \times s} \mid A X=0\right\}$ 作为数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，其维数为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （7）设 $\displaystyle F[x]_{n}$ 为数域 $F$ 上次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式集合，其为 $F$ 上的线性空间，对任何 $\displaystyle f(x) \in F[x]_{n}$ ，令 $\displaystyle \mathcal{D} f(x)=f^{\prime}(x)$ ，则 $\displaystyle \mathcal{D}$ 作为 $\displaystyle F[x]_{n}$ 的线性变换，其最小多项式为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （8）设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 的线性变换， $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，且 $\displaystyle \sigma^{2}=0$ ，则 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)$ 最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$。 （9）一切 $\displaystyle n \times n$ 实对称矩阵按合同分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类． （10）一切 $\displaystyle 4 \times 4$ 幂零矩阵在复数域中按相似分类，可分 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

六、设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为实对称矩阵，定义 $\displaystyle \mathbf{\phi}_{A}: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}, X \rightarrow A X A^{T}$ ，求证 $\displaystyle \mathbf{\phi}_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的可角化线性变换．

10．$n$ 阶实对称矩阵按合同可分为 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 元实对称矩阵，且 $B$ 正定，求证：存在一个实可逆阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$同时为对角阵。

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

12．二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X $$ 在正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 下的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}, Y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ ，且正交矩阵 $Q$ 的第三列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{T}$ ，求实对称矩阵 $A$ ，并证明 $\displaystyle A+E_{3}$ 正定。

3．$\displaystyle A, B$ 为实对称矩阵，$A$ 正定。证明（1）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A=P P^{T}, B=P \operatorname{diag}\left\{\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}\right\} P^{T}$ （2）证明：$\displaystyle A+B$ 正定的充要条件是 $\displaystyle A^{-1} B$ 的特征值大于 -1

7．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+\lambda x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ 是正定的，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

八、（本题 20 分）设实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & b \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2\end{array}\right)$ ，且 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ． （1）求的 $\displaystyle a, b$ 值； （2）证明：存在正交矩阵 $T$ ，使二次型 $\displaystyle f(x)=x^{\mathrm{T}} A x$ 化为标准形，并写出正交矩阵 $T$ 。

2． 3 阶实对称矩阵按合同分类，可分为 $\displaystyle \_\_\_\_$类．

2．设 $\displaystyle A, C$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & C\end{array}\right)$ 是正定矩阵。 （1）证明：$\displaystyle C-B^{T} A^{-1} B$ 正定； （2）证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & C\end{array}\right| \leq|A| \cdot|C|$ ．

5．设 $A$ 为 4 阶实对称矩阵，三个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=3, \lambda_{3}=4$ ，且 $\displaystyle |A|=-12$ ，其中 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 分别为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 特征子空间，则 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(\left(V_{1} \oplus V_{2} \oplus V_{3}\right)^{\perp}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

13．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$n$ 维列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ 为 $A$ 的对应特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，证明：线性方程组 $\displaystyle (A-\lambda I) X=\alpha$ 无解．

6、12 维线性空间 $V$ ，子空间 $U, W$ 的维数分别为 $3,4, \operatorname{dim}\left(U^{\perp} \cap W^{\perp}\right)$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

四．（16 分）设 $A$ 是如下的实对称矩阵： $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right) $$ 证明：$A$ 为半正定矩阵，并求半正定矩阵 $B$ ，满足 $\displaystyle B^{2}=A$ ．

4．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关，求 $L\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \ldots, \alpha_{s-1}+\alpha_{s}, \alpha_{s}+\alpha_{1}\right)$的基和维数

9、令 $\mathscr{A}$ 是 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$V$ 中任意向量可由 $\alpha, \mathscr{A} \alpha, \mathscr{A}^{2} \alpha$ 线性表出，且 $2 \alpha-5 \mathscr{N} \alpha+4 \mathscr{N}^{2} \alpha-\mathscr{N}^{3} \alpha=0$ ． （1）求 $\mathscr{A}$ 的全部特征值与特征向量． （2）是否存在 $V$ 中的一组基， $\mathscr{A}$ 在此基下为对角阵，若存在，求出此基，若不存在，请说明理由．

7．已知 $\displaystyle R^{n \times n}$ 是全体 $n$ 阶矩阵组成的线性空间，$\displaystyle f_{A}$ 是 $\displaystyle R^{n \times n}$ 上的线性变换，定义为 $\displaystyle f_{A}=A X+X A$ ， $\displaystyle X \in R^{n \times n}$ ，其中 $A$ 为实对称矩阵 （1）求 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 的维数和一组基 （2）证明：$\displaystyle f_{A}$ 为 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 上的线性变换 （3）问：取什么基时 $\displaystyle f_{A}$ 的矩阵可以化为对角形？请求出这组基和对角形形式

四．（15 分）设 $A$ 为实矩阵满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明： （1）$A$ 可对角化． （2）存在实对称矩阵 $B$ 和正定矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ．

七．（15 分）设 $n$ 阶实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & \cdots & 0\end{array}\right), n \geq 2$ ． （1）求 $A$ 的所有特征值与特征向量． （2）求 $n$ 阶正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{\mathrm{T}} A Q$ 为对角矩阵。

1．（20 分）求一个 3 阶实对称矩阵 $A$ ，满足：特征值为 $\displaystyle 6,3,3$ ，且 6 对应的特征向量为 $\displaystyle \alpha_{1}= (1,1,1)^{T}$ ．

3．（20 分）已知实对称矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right), $$ 求正交矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 为对角矩阵。

4．（15 分）已知 2019 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=2019 A$ ，证明：$\displaystyle E+A+\cdots+A^{2019}$ 为正定矩阵。

2．（20 分）设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 2 ，且 -2 是它的二重特征值，若 $\displaystyle (1,0,0)^{\top},(2,1,1)^{\top}$ 都是 $A$ 的属于特征值 -2 的特征向量，求矩阵 $A$ 。

9．（20 分）（a）．设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是半正定对称矩阵，$\displaystyle x \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明：$\displaystyle x^{\top} A x=0$ 等价于 $\displaystyle A x=0$ ． （b）．设 $A$ 是 $n$ 阶半正定对称矩阵，将其写成分块矩阵的形式 $$ A=\left(\begin{array}{ll} A_{1} & A_{2} \\ A_{2}^{\top} & A_{4} \end{array}\right), $$ 其中 $\displaystyle A_{1}$ 是 $r$ 阶方阵。证明：对 $\displaystyle x \in \mathbb{R}^{r}$ ，若 $\displaystyle A_{1} x=0$ ，则 $\displaystyle A_{2}^{\top} x=0$ ． （c）．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ 。证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $$ P^{-1} A\left(P^{-1}\right)^{\top}=\left(\begin{array}{cc} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad P^{\top} B P=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\} $$

9．实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -2 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & -2 & 0\end{array}\right)$ 可以通过正交相似变换化为对角阵 $\displaystyle \_\_\_\_$

6、设 $\mathbf{A}=\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\lambda}) \mathbf{J}_{n}(\mathbf{\mu})-\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\mu})-\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\lambda}),(\mathbf{\lambda}, \mathbf{\mu} \in \mathbb{C})$ ，则矩阵函数 $\mathbf{e}^{\mathbf{A}}$的行列式为 $\_\_\_\_$

15、设复数域上全体二元二次型构成集合 $V$ ： $$ V=\left\{q(x, y)=c_{0} x^{2}+c_{1} x y+c_{2} y^{2} \mid c_{1}, c_{2}, c_{3} \in \mathbb{C}\right\} $$ 给定矩阵 $M=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，考虑 $V$ 上的线性变换： $$ \varphi_{M}: V \mapsto V, q(x, y) \mapsto q(a x+b y, c x+d y) $$ （1）证明： $\operatorname{det} M$ 是 $\varphi_{M}$ 特征值，当 $M=\left(\begin{array}{cc}\mu & 1 \\ 0 & \mu\end{array}\right), \mu \in \mathbb{C}$ ，计算 $\varphi_{M}$ 属于特征值 $\operatorname{det} M$ 的所有特征向量。 （2）证明：$\varphi_{M}$ 可对角化当且仅当 $M$ 可对角化．

7．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$U, W$ 分别是 $V$ 的 $m$ 维和 $r$ 维线性子空间，设 $T$ 是所有满足 $f(V) \subset W$ 的 $V$ 的线性变换所构成的线性空间，则 $\operatorname{dim} T=$ $\_\_\_\_$ ．（用 $n, m, r$ 表示）

5．已知两个 $n$ 阶实对称矩阵 $\displaystyle A, B$ 相似，证明它们在实数域上合同．

10．（10分）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 为正定矩阵，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ，证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．

十．（20 分）设 $A$ 为三阶实对称矩阵，齐次线性方程组 $\displaystyle (A-E) X=0$ 有一个非零解 $\displaystyle (1,-1,-1)^{T}$ ，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有两个线性无关的解． （1）求齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的通解； （2）求矩阵 $A$ ．

四．设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的各行元素之和均为 2 ，向量 $\displaystyle \alpha_{1}=(1,0,-1)^{T}, \alpha_{2}=(2,-1,-1)^{T}$ 是线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的两个解． （1）求 $A$ 的特征值和特征向量． （2）求正交矩阵 $Q$ 和对角矩阵 $\displaystyle \Lambda$ ，使得 $\displaystyle Q^{T} A Q=\Lambda$ ．

7．$x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0$ 的解空间为 $V_{1}, x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}$ 的解空间为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 的维数 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且满足 $\displaystyle n-1 \leq R(A) \leq n$ ．证明存在实可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 均为对角矩阵（20分）

10、设 $A$ 为实对称矩阵，证明：存在正定矩阵 $\displaystyle P, Q$ ，使 $$ P A Q=\left(\begin{array}{llll} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}>0$ ．

7、设实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}A_{1} & \beta \\ \beta^{\top} & \alpha\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \beta$ 为 $\displaystyle n-1$ 阶列向量． （1）证明：$\displaystyle \alpha-\beta^{\top} A_{1} \beta>0$ ． （2）若 $A$ 的非对角线元素都不大于零，即 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ ，当 $\displaystyle i \neq j$ 时，$\displaystyle a_{i j} \leq 0$ ，证明： $\displaystyle A^{-1}$ 的元素都非负．

12．（15 分） （1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，且 $\displaystyle (m, n)=d$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 到自身的一个映射，证明：如果 $\displaystyle \sigma$ 保持内积不变，即任意的 $\displaystyle \xi, \eta \in V$ ，有 $\displaystyle \langle\sigma(\xi), \sigma(\eta)\rangle= \langle\xi, \eta\rangle$ ，则 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的线性变换，从而也是正交变换． （3）设 $A$ 是一个实对称矩阵，如果以 $A$ 为矩阵的实二次型是正定的，$A$ 是正定的．证明：若 $A$ 是正定的，则 $A$ 可逆且可逆矩阵也是正定的．

1．求 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,0)^{T}, \varepsilon_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ 。（＂$T$＂表示转置，以下各题相同）．

6．解答如下问题： （1）已知 $\displaystyle \bar{A}^{\mathrm{T}} A=E$ ，证明：$A$ 特征值模长为 1 ． （2）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，且 $A$ 正定，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ．证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．

五、（15 分）设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |A|<0$ 。证明：存在实 $n$ 维向量 $x$ 使得 $\displaystyle x^{\prime} A x<0$ 。

8．（15 分）设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |\mathrm{A}|<0$ 。证明存在实 n 维向量 X 使得 $\displaystyle \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{AX}<0$ 。

三、（15 分）设 $A$ 为正定矩阵，$B$ 为实对称矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}, P B P^{T}$ 同时为对角矩阵。

八、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，求证：属于 $A$ 的不同特征值的特征向量一定正交。

七、（20分） 设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |A|<0$ ，证明：必存在 $n$ 维向量 $\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \neq 0$使得 $\displaystyle f(x)=x^{T} A x<0$ ．

九、（15 分） 设 $A$ 为三阶实对称矩阵，且满足条件 $\displaystyle A^{2}-4 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $\displaystyle r(A)=2$ 。 求：（1）$A$ 的所有特征值； （2）当 $k$ 为何值时，矩阵 $\displaystyle A+k E$ 为正定矩阵。

六、（15 分） 设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，且满足 $\displaystyle A^{2}+2 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $\displaystyle =2$ ． （1）求 $A$ 的全部特征值； （2）当 $k$ 为何值时，矩阵 $\displaystyle A+k E$ 为正定矩阵，其中 $E$ 是 3 阶单位矩阵．

5．设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是数域 $P$ 上的 $(n-m) \times n$ 矩阵。令 $V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}$ ， $V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\}$ ．已知矩阵 $C=\binom{A}{B}$ 可逆，证明：$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

3．矩阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-3)^{2}$ ，若不计若尔当块的排列顺序，求 $A$ 的所有可能的若尔当标准形．

7．设 $\mathscr{A}$ 为有限维线性空间 $V$ 上的线性变换，并且 $\mathscr{A}$ 为可逆线性变换，$W$ 是 $V$ 的子空间．证明：若 $W$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，则 $W$ 也是 $\mathscr{A}^{-1}$ 的不变子空间。

五．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$\displaystyle A+I$ 与 $\displaystyle A-I$ 合同当且仅当 $\displaystyle A^{2}-I$ 正定．

八．（15 分）设 $A$ 为实对称矩阵，$S$ 为实反称矩阵，$\displaystyle A S=S A, A$ 可逆，证明：$\displaystyle A-S$ 可逆，且 $$ (A+S)(A-S)^{-1} $$ 为正交矩阵。

4．设 $\alpha$ 为3 维列向量，$\alpha^{T}$ 是 $\alpha$ 的转置，如果 $\alpha \alpha^{T}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\alpha^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

2．已知三阶矩阵 $A$ 的特征值是 $x^{3}=1$ 的三个不同根，则 $|A+E|=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A, P$ 均为3阶矩阵，且 $P^{T} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ， $Q=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，则 $Q^{T} A Q=($ （A）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （C）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 为 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 为 $1 \times n$ 矩阵，且 $|A|=2, ~\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵，B为 $n \times m$ 型矩阵，其中 $m<n$ ，若 $A B=E_{m}$ ，则（ （A）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=m$ ； （B）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=n$ ； （C）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=m$ ； （D）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=n$ ．

2．把复数域看成它自身上的线性空间，它的维数是 $\_\_\_\_$ （2） $\_\_\_\_$

1．（20分）矩阵 $A$ 不可逆，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，证明使 $k E+A^{*}$ 不可逆的复数 $k$ 至多只有两个．

六．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶正定矩阵．证明： （1）$\displaystyle A^{2}+B$ 也为正定矩阵； （2）$\displaystyle \left|2022 E_{n}-B^{2}\right| \geq 2022^{n}$ ，当且仅当 $\displaystyle B=O$ 时等号成立．

6．（20 分）考虑实对称矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{T} & 1\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}$ ． （1）若 $A$ 可逆，证明：$\displaystyle |B|=|A|\left(1-\alpha^{T} A^{-1} \alpha\right)=\left|A-\alpha \alpha^{T}\right|$ ； （2）证明：矩阵 $\displaystyle A-\alpha \alpha^{T}$ 正定当且仅当矩阵 $A$ 正定，且 $\displaystyle \alpha^{T} A^{-1} \alpha<1$ ．

2、求 $\mathbf{A}$ 的所有特征值．

4、 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，且 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明： $$ \lambda_{k}=\min _{\operatorname{dim} S=n-k+1} \max _{X \in S, X \neq 0} \frac{(A X, X)}{(X, X)},(k=1,2,3, \cdots, n) $$ 其中 $S$ 为向量空间，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ，内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 为 (X, X)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ ，其中 $$ Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T} $$

5、解答如下问题： （1） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 实矩阵，则 $\displaystyle \mathbf{B}^{T} \mathbf{A} \mathbf{B}$ 是正定矩阵的充要条件是 $\displaystyle r(B)=n$ ． （2） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶实对称矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 为半正定矩阵的充分必要条件是存在 $r$ 行 $n$ 列的行满秩矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=B^{T} B$ ．

4．解答如下问题： （1）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 是正定矩阵，证明：存在 $\displaystyle n \times n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P, P^{\mathrm{T}} B P$ 同时为对角矩阵。 （2）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ ，写出该二次型的矩阵，并用正交线性替换把该二次型化为标准型，判断该二次型是否正定．

7．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上全体 $\displaystyle n \times n(n \geq 2)$ 阶实对称矩阵构成的线性空间，对任意 $\displaystyle A, B \in V$ ，定义 $\displaystyle (A, B)=\operatorname{tr}(A B)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 表示 $\displaystyle A B$ 的迹． （1）证明：$V$ 是欧氏空间． （2）$\displaystyle W=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}$ ．证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，并求 $W$ 的维数． （3）求 $W$ 的正交补空间 $\displaystyle W^{\perp}$ 的维数．

四、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2 ，且－2 是它的二重特征值，若 $\displaystyle (1,0,0)^{T},(2,1,1)^{T}$都是 $A$ 的属于特征值－ 2 的特征向量，求矩阵 $A$ 。

十、（15 分）设 A 是 n 阶实对称矩阵， E 是 n 阶单位阵，证明： （1）如果 A 正定，则 A 的特征值全大于零。 （2）如果 A 是正定且正交的矩阵，证明 $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{E}$ ．

9、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值全为实数．

4．设 $A=\alpha \beta^{T}$ ，其中 $\alpha=(1,3,4)^{T}, \beta=(2,2,1)^{T}$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形为 $\_\_\_\_$ ．

7．（5分）设 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，求 $A$ 的极小多项式．

1、（5分）求 $D_{3}$ ．

6．（可能有误）设 $A$ 为三阶可逆实对称矩阵，证明下面两个命题等价： （a） $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ． （b）对任意三阶实反对称矩阵 $S$ ，存在三阶实反对称矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B+B A=S$ ．

1．设 $V_{1}, V_{2}$ 是某个线性空间的子空间，满足 $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)+1<\infty$ ．证明：$V_{1} \cup V_{2}$ 是子空间．

2．设 $\mathscr{T}$ 是有限维空间 $V$ 上的线性变换，设 $V_{0}=\bigcup_{i=1}^{\infty} \operatorname{Ker} \mathscr{T}^{i}, V_{1}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \operatorname{Im} \mathscr{T}^{i}$ ，其中 $\operatorname{Ker} \mathscr{T}^{i}, \operatorname{Im} \mathscr{T}^{i}$分别表示线性变换 $\mathscr{T}^{i}$ 的核与像。证明：$V_{0}, V_{1}$ 都是 $\mathscr{T}$ 的不变子空间，且 $V=V_{0} \oplus V_{1}$ ．

四．（ 15 分）设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} a & -2 & 0 \\ b & 1 & -2 \\ c & -2 & 0 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right) . $$ （1）若 $A$ 有特征值 $\displaystyle 4,1,-2$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ ； （2）设 $\displaystyle \alpha=(1, k, 1)^{T}$ 是 $\displaystyle B^{-1}$ 的一个特征向量，求 $k$ ． 五。（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 正定，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值都是实数。

7．（ 25 分）解答如下问题： （1）设 $M$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle \lambda_{M}$ 是 $M$ 的最大特征值，证明：对于任意非零向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $$ \alpha^{\mathrm{T}} M \alpha \leq \lambda_{M} \alpha^{\mathrm{T}} \alpha $$ （2）若 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & D\end{array}\right)$ 半正定，其中 $\displaystyle A, D$ 为方阵，记 $\displaystyle \lambda_{M}, \lambda_{A}, \lambda_{D}$ 分别为矩阵 $\displaystyle M, A, D$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{M} \leq \lambda_{A}+\lambda_{D}$ ．

3、 10 阶实对称矩阵的合同种类有 $\_\_\_\_$种？

4．对于 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，存在 $\displaystyle Y \in \mathbb{R}^{n}$ 使得 $\displaystyle Y^{T} A Y>0$ ．证明：对任意的 $\displaystyle X \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $$ \left(X^{T} A Y\right)^{2} \geq\left(X^{T} A X\right)\left(Y^{T} A Y\right) $$ 的充要条件是 $\displaystyle X^{T} A X$ 的正惯性指数等于 1 ．

3．设三阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$ ，三维列向量 $\alpha=(t, 1,1)^{\mathrm{T}}$ ，已知 $A \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

15．解答如下问题： （1）已知复数域上的 $n$ 阶方阵 $$ B=\left(\begin{array}{ccccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\ a_{n} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{n} & a_{1} & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{1} \end{array}\right) . $$ 记 $\omega_{0}, \omega_{1}, \cdots, \omega_{n-1}$ 是方程 $x^{n}-1=0$ 的 $n$ 个复根．证明：对任意的 $k=0,1, \cdots, n-1$ ，向量 $\eta=\left(1, \omega_{k}, \omega_{k}^{2}, \cdots, \omega_{k}^{n-1}\right)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $B$ 的特征向量。 （2）设 $A$ 为复数域上的 4 阶幂等阵 $\left(A^{2}=A\right)$ ，证明：存在 4 个复数 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ ，使得 $A$ 相似于 $$ \left(\begin{array}{llll} c_{1} & c_{2} & c_{3} & c_{4} \\ c_{4} & c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ c_{3} & c_{4} & c_{1} & c_{2} \\ c_{2} & c_{3} & c_{4} & c_{1} \end{array}\right) $$

七、（15 分）设 $A$ 是 $n$ 级实对称矩阵并且饸好有 $r$ 个不同的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r}$ 。证明存在矩阵 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{r}$ 满足条件：（1）$\displaystyle A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{r}=E_{r}$ ；（2）$\displaystyle A_{i}^{2}=A_{i}, i=1,2, \cdots, r$ ；（3）$\displaystyle A_{i} A_{j}=0$ ， $\displaystyle i \neq j:(4) \quad A=\lambda_{1} A_{1}+\lambda_{2} A_{2}+\cdots+\lambda_{r} A_{r}$.

五、（15分）设矩阵 $A$ 是实对称矩阵。证明：当实数 $\displaystyle \lambda$ 充分大之后，$\displaystyle \lambda E+A$ 是正定矩阵。

八、（25分）设 $A$ 为 $n$ 级实对称矩阵，记它的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。设 $A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{1}$ 的一个特征向量为 $\displaystyle u_{1}$ ．证明： $\displaystyle \min _{\substack{x \neq 0 \\ x \perp u_{1}}} \frac{x^{\prime} A x}{x^{\prime} x}=\lambda_{2}$ ．

9．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵．证明：存在正交矩阵 $U$ 使得 $\displaystyle U^{-1} A U$和 $\displaystyle U^{-1} B U$ 同时为对角矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．

8．（每小题 10 分，共 20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，它的 $n$ 个特征值排序成 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明： （1）对于 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}(\mathbf{R}$ 为实数域）中任一非零列向量 $\displaystyle \alpha$ ，都有 $$ \lambda_{n} \leq \frac{\alpha A \alpha}{|\alpha|^{2}} \leq \lambda_{1} $$ （2）$\displaystyle \lambda_{n} \leq a_{i i} \leq \lambda_{1}, i=1,2, \cdots, n$ ．

6．设 $A$ 为实对称矩阵，$E$ 为单位矩阵，求证：存在一个极小数 $\displaystyle \varepsilon$ ，使得 $\displaystyle E+\varepsilon A$ 为正定阵．

七．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$A$ 的 $n$ 个特征值满足 $\displaystyle \lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{n}$ ，设 $\displaystyle \alpha_{i}$ 为 $A$ 的对应特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 的特征向量． （1）构造正交阵 $S$ ，使得 $\displaystyle S^{\prime} A S=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\}$ ． （2）证明：$\displaystyle \lambda_{1}=\min _{X \in \mathbb{R}^{n}, X^{\prime} X=1} X^{\prime} A X$ ．

4．若实对称矩阵 $A$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ 合同，则二次型 $X^{T} A X$ 的规范形为 $\_\_\_\_$

五．（20 分）设偶数阶的实对称矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{3}+7 A^{2}+14 A+8 E=0$ ，证明：$A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 为负定矩阵．

5．（25分）设实对称矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & -2 \end{array}\right) $$ （1）求 $A$ 的合同标准形及正、负惯性指数； （2）求 $A$ 的相似标准形 $B$ ； （3）求正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A P=B$ ．

6．（20分） （1）至少列举 3 条实对称矩阵正定的等价条件； （2）设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{n}$ ，说明当 $a$ 取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是正定矩阵；当 $a$取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是负定矩阵．并证明你的结论．

2．设 $f(x)=(x-1)^{2}(x+1)(x-2), g(x)=(x+1)^{2}(x-2)^{2}$ ，则 $f(x), g(x)$ 的首一最大公因式为 $\_\_\_\_$ ．

7．计算 $n$ 阶行列式 $$ \left|\begin{array}{cccccc} 2 & -4 & & & & \\ 2 & 2 & -4 & & & \\ & 2 & 2 & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & 2 & -4 \\ & & & & 2 & 2 \end{array}\right| . $$

3．设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，$A B-B A=A$ ，则 $\operatorname{tr}\left(A^{2026}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

12．设 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\alpha, \beta$ 都是复数域上的 $n$ 维非零列向量． （1）求 $A$ 的极小多项式和特征多项式． （2）求 $A$ 的若尔当标准形．