线性空间-基本概念

3、（20分）求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的若尔当标准形

九．（15 分）已知 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}, \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T}$ 为两个非零实向量 $\displaystyle (n>1), A=\alpha \beta^{T}$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式； （2）求 $A$ 的若尔当标准形．

1、若 $t \mathbf{E}+\mathbf{A}$ 为正定矩阵，求 $t$ 的取值范围．

13．已知 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，其度量矩阵为 $G$ 。 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ．证明：$\sigma$ 为对称变换的充要条件是 $A^{\mathrm{T}} G=G A$ ．

七，（20 分）设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 可以经过正交线性替换化为 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ． （1）求 $\displaystyle a, b$ 的值，并判断二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是否为正定二次型． （2）写出所作的正交线性替换．

1、 $A$ 的特征值的实部一定是零；

七、（15分）设 5 阶 $\displaystyle \lambda$－短阵 $\displaystyle A(\lambda)$ 的秩为 4 ，其初等因子为 $\displaystyle \lambda, \lambda, \lambda^{2}, \lambda-1, \lambda-1, \lambda+1,(\lambda+1)^{2}$ ，求 $\displaystyle A(\lambda)$的行列式因子、不变因子及标准形。

四、（20 分）用正交的线性替换化二次型 $\displaystyle 2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3}$ 为标准形．

七，（20 分）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ 的行列式因子，不变因子，初等因子，最小多项式，若尔当标准形。

八，（20 分）$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{1} x_{4}-2 x_{2} x_{3}+2 x_{2} x_{4}+2 x_{3} x_{4}$ ，写出正交线性替换化为标准形。

七．（20 分）实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 经过正交变换化为 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ． （1）求 $\displaystyle a, b$ 的值； （2）求所作的正交变换； （3）判断二次型是否为正定二次型，并说明理由．

六．（20 分）设四阶矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，求：（1）$A$ 的行列式因子，不变因子，及初等因子；（2）$A$ 的最小多项式及若尔当（Jordan）标准形．

五、（20 分）若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+a x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+2 b x_{2} x_{3}$ 经过正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}{ }^{2}+2 y_{2}{ }^{2}$ ，试求参数 $\displaystyle a, b$ 的值以及正交阵 $P$ ．六、（7＋8＝15分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle \mathscr{A}=\mathscr{A} \mathscr{A} \mathscr{A}=\mathscr{B} \mathscr{A}$ 。 （1）证明： $\displaystyle \mathscr{A} V=\mathscr{A}^{2} V, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}$ ． （2）$\displaystyle V=\mathscr{A} V \oplus \operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．

2．（6 分）求 $a, b, c$ ，使线性方程组 $A X=B$ 有解 $x_{1}=1, x_{2}=a, x_{3}=b, x_{4}=c$ ．

五、（20 分）已知实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 秩为 2 ，且 $\displaystyle (0,1,0)^{\mathrm{T}}$是该二次型矩阵 $A$ 的特征向量，求正交线性替换 $\displaystyle x=Q y$ 化二次型为标准形．

四、（30 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ k & -1 & -k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$ ． （1）当 $k$ 为何值时，存在可逆矩阵 $P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵？并求矩阵 $P$ 和相应的对角矩阵； （2）当 $\displaystyle k=2$ 时，求出矩阵 $A$ 的若尔当标准形和有理标准形．

七．（15分）设 $\displaystyle P^{m}$ 是次数不超过 $m$ 的一元多项式空间，定义 $\displaystyle P^{m}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $$ \mathscr{A}(f(x))=f(x+1)-f(x) $$ （1）写出 $\displaystyle \mathscr{A}$ 关于基底 $\displaystyle 1, x, \cdots, x^{m}$ 的矩阵 $A$ ． （2）求 $A$ 的 Jordan 标准形与最小多项式． （3）求 $\displaystyle \mathscr{A}^{k}$ 的核空间 $\displaystyle N\left(\mathscr{A}^{k}\right)$ 的维数和一组基．

六．（15分）设线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 在标准基下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{array}\right) $$ （1）将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\mathrm{T}} A X$ 化为标准形． （2）设 $\displaystyle S: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ 定义为 $\displaystyle S(X)=\mathscr{A}^{2} X-2 \mathscr{A} X+2 X$ ，求 $S$ 的特征值，像空间维数与零空间维数．

2．求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right)$ 为 Jordan 标准形。

7．试求矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{lll}1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 7 & 9 & 3\end{array}\right)$ 的不变因子、初等因子及 Jordan 标准形。

5．设 $\displaystyle g_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), h_{j}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),(i=1,2, \cdots, p, j=1,2, \cdots, q)$ 都是 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的一次齐次多项式。二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\right)=g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+\cdots+g_{p}^{2}-h_{1}^{2}-h_{2}^{2}-\cdots-h_{q}^{2}$ 。证明： $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的负惯性指数 $\displaystyle \leq q$ 。

2．设 $f(x)$ 为多项式，$k$ 为 $1,2,3,4, \cdots, f(k)=\sum_{m=1}^{k} m^{5}$ ，求 $f(-3)$ ． 3 ．求 $x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+x_{3} x_{4}+\cdots+x_{98} x_{99}$ 的正惯性指数．

10．已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的不变因子和 Jordan 标准形．

8．设 $A$ 是实对称矩阵，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{4}, f(X)=X^{T} A X$ 是四元实二次型． （1）$\displaystyle S=\left\{X \in \mathbb{R}^{4} \mid f(X)=0\right\}$ 是不是 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 的子空间？为什么？ （2）若矩阵 $A$ 的正负惯性指数都是 1 ，证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的 3 维子空间 $W$ ，使得当 $\displaystyle X \in W$ 时， $\displaystyle f(X)=0$.

9．设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-6 \lambda^{2}+32$ ，求 $A$ 的若尔当标准形．

五．设数域 $P$ 上的 $n$ 元二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 对应的方阵 $S$ 的顺序主子式 $\displaystyle d_{1}, d_{2}, \cdots, d_{n}$ 均不为 0 ，其中 $\displaystyle d_{i}$ 是 $i$ 阶顺序主子式．求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的标准形．

三、求正交变换 $\displaystyle \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}u \\ v \\ w\end{array}\right)$ ，化二次型 $\displaystyle f=x^{2}+4 x y+4 x z+y^{2}+4 y z+z^{2}$ 为标准形．

9．矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ 的约当标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

四、设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & y & 2\end{array}\right)$ ． （1）求 $A$ 可对角化的条件； （2）当 $\displaystyle x=1, y=0$ 时，求 $A$ 的约当标准形 $J$ 和可逆矩阵 $P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

7．设 $A$ 为 3 阶半正定阵，向量 $\displaystyle \alpha, \beta$ 线性无关，若 $\displaystyle \alpha^{T} A \alpha=\beta^{T} A \beta=0$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=2$ ，则二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{T} A x$ 经正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化成的标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

8．矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 的若尔当标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

八、（15 分）用正交线性交替换化二次型为标准形，并判断 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=1$ 为何种曲面？其中，$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ ．

4．已知 $x^{3}+3 x+a x=1$ 的三个根成等差数列，求 $a$ ． 5 ．求 $$ \left(\begin{array}{ccc} -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right)^{99} $$

五、用配方法化 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}$ 为标准形，并写出相应的线性变换．

七、（15 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 ． （1）求 $a$ 的值； （2）用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换．

八．用正交变换将二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3} $$ 化为标准形，并写出所用的正交变换．

10．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & 0 \\ 8 & 2 & 0 \\ 0 & a & 6\end{array}\right)$ 可相似对角化． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\displaystyle X=P Y$ ，将二次型 $\displaystyle f(X)=X^{T} A X$ 化为标准形．

11．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 5 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准形 $J$ ，并求可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle A=T J T^{-1}$ 。

12．二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X $$ 在正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 下的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}, Y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ ，且正交矩阵 $Q$ 的第三列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{T}$ ，求实对称矩阵 $A$ ，并证明 $\displaystyle A+E_{3}$ 正定。

五．（15 分）设 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -15 & 6 \\ 1 & -4 & 2 \\ 1 & -5 & 3 \end{array}\right) \in M_{3}(\mathbb{C}) . $$ 求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 及 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle g(\lambda)$ ．

9．对任意实矩阵 $A_{m \times n}$ ，都有 $E+A^{T} A$ 为正定矩阵．

12．（15 分）设 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right), E$ 为 3 阶单位矩阵，$n \geq 3$ ． （1）证明：$A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ． （2）求 $A^{10}$ ．

四．（可能有误）二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3}$ 的矩阵记为 $\displaystyle A, A$ 的特征值之和为 1 ，积为 -12 ，求 $b$ 的值，并将二次型用正交线性替换化为标准形，写出正交变换矩阵。

1．多项式 $x^{3}+4 x^{2}+7 x+12$ 的有理根为 $\_\_\_\_$

2．设 $A$ 是 3 阶实方阵，且 $|E+A|=0,|E+2 A|=0,|E-3 A|=0, E$ 为 3 阶单位矩阵，则 $|E+6 A|=$ $\_\_\_\_$

7．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+\lambda x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ 是正定的，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

5．已知列向量组 $\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1 \\ a\end{array}\right)$ 是方阵 $\left(\begin{array}{ccc}-b & -2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的特征向量，则 $4 a-3 b=$ $\_\_\_\_$ ．

3．已知 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\varphi$ 对于基 $\xi_{1}=(-1,0,2)^{\mathrm{T}}, \xi_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \xi_{3}=(3,-1,-6)^{\mathrm{T}}$ 的像为 $$ \varphi\left(\xi_{1}\right)=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{2}\right)=(0,-1,2)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{3}\right)=(-1,-1,3)^{\mathrm{T}} $$ （1）求 $\varphi$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ 下的矩阵。 （2）设 $x=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\varphi(x)$ ． （3）证明：$\xi_{1}-\xi_{3}, \xi_{2}, \xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的基，并求 $\varphi$ 在该基下的矩阵。

5．设实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}=X^{\mathrm{T}} A X $$ 其中 $\displaystyle A^{\mathrm{T}}=A$ ．若 $f$ 经过正交线性替换 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+4 y_{2}^{2}$ ． （1）求 $\displaystyle a, b$ 及 $P$ ． （2）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 上的最大值，最小值． （3）$\displaystyle B=x A^{2}+y A+E$ ，若 $B$ 正定，求 $\displaystyle x, y$ 满足的条件．

八、（本题 20 分）设实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & b \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2\end{array}\right)$ ，且 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ． （1）求的 $\displaystyle a, b$ 值； （2）证明：存在正交矩阵 $T$ ，使二次型 $\displaystyle f(x)=x^{\mathrm{T}} A x$ 化为标准形，并写出正交矩阵 $T$ 。

3．二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}-x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 经过可逆线性替换化为 $\displaystyle y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$ ，则 $\displaystyle a=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

4．设 $\displaystyle n(n>1)$ 元实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) A\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right) \text {, 其中 } A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 2 a & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 2 a & 2 a & \cdots & 1 \end{array}\right), a \in \mathbb{R} \text {. } $$ （1）求 $f$ 在正交线性替换下的标准形（不用写出正交线性替换）； （2）若二次型 $f$ 正定，求 $a$ 的取值范围．

5．设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}+2 a x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 的负惯性指数为 1 ，则 $a$ 的范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．若二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc} 1 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & -3 \\ 1 & -1 & 3 \end{array}\right)\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T} $$ 将二次型 $f$ 化为标准形．

5．设正交矩阵 $\displaystyle P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}\right)$ ，若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 在线性替换 $\displaystyle X=P Y$ 下化为标准型 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+2 y_{2}^{2}-y_{3}^{2}$ ，令 $\displaystyle Q=\left(-\alpha_{3}, \alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在线性替换 $\displaystyle X=Q Y$ 下化为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是复数域上 3 维线性空间 $V$ 的一组基，$V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足 $$ \mathscr{A} \alpha_{1}=3 \alpha_{1}-2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{2}=\alpha_{1}-\alpha_{3}, \mathscr{A} \alpha_{3}=-\alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3} $$ （1）求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $A$ ，以及 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$ 。 （2）求 $V$ 的另一组基，使得该基下 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵恰为 $J$ 。

4．直纹面 $x y+z+1=0$ 平行于直线 $\frac{x}{1}=\frac{y}{0}=\frac{z}{1}$ 的直母线的标准方程为 $\_\_\_\_$ ．

5．已知 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 是线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=-1 \\ 3 x_{1}+x_{2}+4 x_{3}=1 \\ a x_{1}+b x_{2}+c x_{3}=d\end{array}\right.$ 的两个解，系数矩阵的秩为 $\_\_\_\_$ ，方程组的通解为 $\_\_\_\_$ ．

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

3、（15 分）$A$ 是幂零变换，即存在正整数 $K, A^{k}=0, B$ 满足 $A B+B A=B$ ． （5 分）（1）证明：$E-A$ 可递． （10 分）（2）证明：$B=0$ ．

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的行列式 $\operatorname{det} A=3$ ，则行列式 $\operatorname{det}\left(A^{*}-A^{-1}\right)=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵。

3．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和为客，且 $A$ 的秩 $r(A)=n-1$ ，则齐次线性方程组 $A X=0$ 的所有解为 $\_\_\_\_$。

7．设 $A$ 的不变因子组为 $1,1,1,1, \lambda, \lambda^{2}(\lambda+1)^{3}$ ，则 $A$ 的 ．Jordan 标准形，特征多项式和极小多项式分别为 $\_\_\_\_$。

2．证明 $(E-A)^{-1}$ 和 $E-A$ 相似．

10．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+k x_{2}^{2}+8 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+4 k x_{2} x_{3}$ 是正定二次型，求 $k$ 的取值范围 $\_\_\_\_$ ．

5．已知复矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & a & 2\end{array}\right)$ 有一个二重特征值． （1）求 $A$ 的最小多项式和若尔当标准形． （2）求 $A$ 可对角化的充要条件．

十．（15 分）设 $A$ 是复数域上的 6 阶方阵，$A$ 的最小多项式为 $\displaystyle d(\lambda)=\left(\lambda^{2}-2 \lambda+2\right)^{2}(\lambda-1)$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=6$ ，这里 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹． （1）求 $A$ 的特征多项式以及 Jordan 标准型． （2）求 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 的 Jordan 标准形．

6、设 $\mathbf{A}=\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\lambda}) \mathbf{J}_{n}(\mathbf{\mu})-\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\mu})-\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\lambda}),(\mathbf{\lambda}, \mathbf{\mu} \in \mathbb{C})$ ，则矩阵函数 $\mathbf{e}^{\mathbf{A}}$的行列式为 $\_\_\_\_$

5．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{lllll}1 & & & & \\ 2 & 1 & & & \\ 3 & 0 & 1 & & \\ 4 & 0 & 0 & 1 & \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)$ ， （1）求 $A$ 的若尔当标准形； （2）求 $A$ 的不变因子； （3）$\displaystyle A^{2019}$ 是否与 $A$ 相似。

3．已知复数域上的两个三阶方阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 5 \\ 0 & a & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 7 \\ 0 & b & c \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) . $$ （1）讨论矩阵 $A$ 的若尔当标准形； （2）若 $\displaystyle A, B$ 相似，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值．

2．（20 分）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=(B X)^{T}(B X)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & a\end{array}\right)$ ，$a$ 为实数，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 。已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过可逆线性变换化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+0 y_{3}^{2}$ ．求 $a$ 的值，并求一个正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 经过正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 化为标准形。

3．设 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} a & * & * \\ * & 3 & * \\ * & * & 2 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} * & * & * \\ * & * & c \\ * & * & * \end{array}\right) . $$ （1）求 $A$ 的若尔当标准形与不变因子． （2）$A$ 与 $B$ 何时相似？

7．二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}$ 。 （1）判断是否是正定二次型． （2）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出相应正交变换和标准形。（15分）

3．（5 分）实数域上秩为 $n$ 的 $n$ 元二次型 $\displaystyle q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 与 $\displaystyle -q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 等价，其中 $n$ 是偶数，则 $\displaystyle q\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)$ 的正惯性指数是 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

2．实数域上四元二次型的不同规范形的个数是 $\_\_\_\_$ ．

九．（15分）求矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} -4 & 9 & -4 \\ -9 & 18 & -8 \\ -15 & 29 & -13 \end{array}\right) $$ 的不变因子，初等因子，最小多项式，若尔当标准形与有理标准形．

3．若 $x^{2}-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，求 $r(A+E)+r(A-E)$ ，其中 $E$ 是单位矩阵， $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩．（15 分）

1．求 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_{1}=(1,0,0)^{T}, \varepsilon_{2}=(0,1,0)^{T}, \varepsilon_{3}=(0,0,1)^{T}$ 下的矩阵 $A$ 。（＂$T$＂表示转置，以下各题相同）．

1．给定矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -3 & 4 \\ 4 & -7 & 8 \\ 6 & -7 & 7 \end{array}\right) $$ （1）求 $A$ 的特征值和最小多项式． （2）求 $A$ 的初等因子和 Jordan 标准形．

七、设 $\displaystyle A \in C^{n \times n}, ~ C \in C^{n \times n}, A$ 为正定矩阵，矩阵 $C$ 的秩为 $\displaystyle m, n>m$ ，求 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{T} & 0\end{array}\right)$ 的正、负惯性指数，其中 $\displaystyle C^{T}$ 为矩阵 $C$ 的转置（15 分）

一、判断题目：（20分） （2）若向量组的一个线性组合为零，则该向量组线性相关； （3）$\displaystyle V_{1}=\left\{x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}=0\right\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的子空间； （4）矩阵相似具有相同特征多项式； （5）合同矩阵具有相同的负惯性指数

四、（本题 20 分）求一个正交变换化下列二次型为标准形： $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{2} x_{3} $$

四、（20分）将二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}-3 x_{2}^{2}-2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 化为标准形，并写出非退化的线性替换。

六、（15分） 设二次型为 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ， （1）求二次型 $f$ 的矩阵的所有特征值； （2）若 $f$ 的规范形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，求 $a$ 的值．

五、（15 分） 化下列二次型为标准形，并写出所用的非退化的线性替换： $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3} . $$

九、（15 分） 设二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{\mathrm{T}} A X=a x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{3} \quad(b>0), $$ 其中二次型的矩阵 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为－ 12 ． （1）求 $a$ 和 $b$ 的值； （2）利用正交变换将二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵。

1．已知 $n$ 维向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 为线性方程组 $A X=0$ 的一个基础解系，$n$ 维向量 $\beta$ 不是 $A X=0$的解．证明：向量组 $\beta, \beta+\alpha_{1}, \cdots, \beta+\alpha_{r}$ 线性无关．

3．矩阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-3)^{2}$ ，若不计若尔当块的排列顺序，求 $A$ 的所有可能的若尔当标准形．

4．设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换， $\operatorname{Im} \mathscr{A}=\{\mathscr{A} \xi \mid \xi \in V\}, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\{\xi \mid \mathscr{A} \xi=0, \xi \in V\}$ 。证明： $\operatorname{Im} \mathscr{A}^{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A}$ 当且仅当 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．

4．已知 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $A^{3}=O$ ，证明：$E+A+\frac{A^{2}}{2}$ 可逆．

1．证明方程组 $A X=\beta$ 有解的充要条件是 $\binom{A^{\mathrm{T}}}{\beta^{\mathrm{T}}} X=\binom{0}{1}$ 无解．

4．设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 为 $V$ 中线性无关的向量，$\beta_{1}, \beta_{2} \in V$ 与 $\alpha_{i}(1 \leq i \leq n-1)$正交，证明：$\beta_{1}, \beta_{2}$ 线性相关．

5．设 $\mathscr{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明： $$ \operatorname{Im} \mathscr{A}^{n}=\operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+1}=\operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+2}=\cdots $$

9、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ ． （1）求 Jordan标准形． （2）求 $\displaystyle B, C$ 使得 $\displaystyle A=B+C, B$ 为幂零阵，$C$ 为可对角化阵．

2．求证：矩阵 $A$ 可以对角化．

5．化下列实二次型为标准形：$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2}$ ．

七、求复矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的不变因子，初等因子与 Jordan 标准形．

三、已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=3 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+3 a x_{2} x_{3}, a>0$ ，通过正交变换将 $f$ 化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$ ，求 $a$ 及所用的正交变换．

4．若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+a x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}$ 可由正交变换 $\displaystyle X=T Y$化为标准型 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+4 y_{3}^{2}$ ，求 $\displaystyle a, b$ 及所用的正交变换．

四．设 $n$ 阶上三角矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ & & 1 & \cdots & n-2 \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $A$ 的极小多项式和 Jordan 标准形． （2）证明：$\displaystyle K=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid(A-I) B=O\right\}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的子空间，并求 $\displaystyle \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} K$ ．

8．（15分）有一个 6 阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccccc} a & -b & & & & \\ b & a & 1 & & & \\ & & a & -b & & \\ & & b & a & 1 & \\ & & & & a & -b \\ & & & & b & a \end{array}\right) . $$ 其中 $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$ ，且 $\displaystyle b \neq 0$ ，求 $\displaystyle \lambda E-A$ 的不变因子与初等因子以及 $A$ 的若尔当标准形．

八．（15 分）已知复数域上的三阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 2 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & c & 1 \end{array}\right) $$ 求 $A$ 所有可能的 Jordan 标准形，并确定 $A$ 可对角化的条件．

4．已知三元实二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\mathrm{T}} A X$ 在正交线性替换 $\displaystyle X=Q Y$ 下化为标准形 $\displaystyle f=y_{2}^{2}+y_{3}^{2}$ ，其中 $Q$ 的第一列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{\mathrm{T}}$ ，求矩阵 $A$ 。

3．一个 $n$ 阶行列式 $D$ 的元素由 $a_{i j}=\max (i, j)$ 给定，则 $D=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 为 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 为 $1 \times n$ 矩阵，且 $|A|=2, ~\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵，B为 $n \times m$ 型矩阵，其中 $m<n$ ，若 $A B=E_{m}$ ，则（ （A）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=m$ ； （B）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=n$ ； （C）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=m$ ； （D）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=n$ ．

二．（20 分）已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 a x_{2} x_{3}$（其中参数 $\displaystyle a>0$ ）通过正 交替换 $\displaystyle X=T Y$ 化为标准形 $\displaystyle f=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$ 。 （1）求参数 $a$ 及所用的正交替换 $\displaystyle X=T Y$ 。 （2）求在条件 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1+y$ 阳最人值。

3．$\tau$ 为 $V$ 上的正交变换的充要条件是 $k=-\frac{2}{\left(X_{0}, X_{0}\right)}$ ．

3．（20 分）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & c & -1 \\ 1-c & -a & 0 \\ 5 & 3 & b\end{array}\right)$ 有一特征向量 $\displaystyle \alpha=(-1,1,-1)^{T}$ ． （1）若 $\displaystyle |A|=0$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？为什么？ （2）若 $\displaystyle |A|=-1$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ 及 $A$ 的所有特征值，问 $A$ 是否可以对角化？此时求 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$及可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

4．解答如下问题： （1）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 是正定矩阵，证明：存在 $\displaystyle n \times n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P, P^{\mathrm{T}} B P$ 同时为对角矩阵。 （2）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ ，写出该二次型的矩阵，并用正交线性替换把该二次型化为标准型，判断该二次型是否正定．

九、（20 分）设二次型 $\displaystyle \mathrm{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+\mathrm{t} x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 （1）求 t 的值； （2）用正交线性替换将此二次型化为标准形，并写出所用的正交线性替换。十、证明以下结论： （1）设 A 为 n 阶实矩阵，证明 A 为反对称矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \mathrm{A} A^{T}=-A^{2}$ ； （2）设 $A$ 为正定阵，则存在正定矩阵使得 $\displaystyle A=B^{2}$ 。

六、求矩阵 $\displaystyle \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & 0 & 0 \\ 7 & 1 & 2 & 1 \\ -7 & -6 & -1 & 0\end{array}\right)$ 的不变因子、初等因子、若尔当标准形和有理标准形。

九、（15 分）求一个正交线性替换将实二次型 $\displaystyle \mathrm{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}{ }^{2}+5 x_{2}{ }^{2}+5 x_{3}{ }^{2}+ 4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}$ 化为标准形．

6．（15分）设 $A$ 是复数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵，秩 $\displaystyle (A)=1, A$ 的迹 $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ，求 $A$ 的若尔当标准形，初等因子，不变因子，最小多项式。

3．设 $A, B$ 分别为 $n \times m$ 和 $m \times n$ 矩阵，若 $r(A B)=n$ ，则 $r(B A)=$ $\_\_\_\_$。

13．设 $n$ 阶方阵 $A, B$ 满足 $A B=B A$ ，证明：$\left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=\left|A^{2}-B^{2}\right|$ ．

四．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，$A$ 可逆，且满足 $\displaystyle 2 A^{-1} B=B-4 E$ ．证明：$\displaystyle A-2 E$ 可逆，并求其逆矩阵。 五。设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X=a x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 b x_{1} x_{3}$ ，其中，$\displaystyle b>0$ ，且 $A$的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ． 1．求参数 $\displaystyle a, b$ 的值； 2．利用正交变换将二次型化成标准型，并写出所用的正交变换．

7．$\displaystyle A_{n \times n}$ 为正定矩阵，$\displaystyle B_{n \times m}$ 满足 $\displaystyle r(B)=r$ ，求矩阵 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & O\end{array}\right)$ 的正负惯性指数．

6．已知 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ 在正交变换 $\displaystyle x=Q y$ 的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $Q$ 的第 3 列列向量为 $\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{T}$ ，求正交矩阵 $Q$ 。

13．设实方阵 $A$ 满足 $A^{4}=-A^{2}$ ，证明：$A$ 的迹等于 0 ．

四．$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，二次型 $\displaystyle f(X)$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B^{T} \\ B & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明：$\displaystyle B^{T} A^{-1} B$ 是正定矩阵； （2）求 $f$ 的正负惯性指数。 五。 $V$ 是有限维实线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换存在复数 $\displaystyle a+b i(b \neq 0)$ 对 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(x)$有 $\displaystyle f(a+b i)=0$ ，证明：$V$ 上存在二维了空间 $W$ ，使得 $\displaystyle A(W) \subset W$ ．

5．（20 分）解答如下问题： （1）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X / A X$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right) . $$ 将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 化为一次因式的乘积． （2）根据（1）的结果，将 $n$ 元二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 化为一次因式的乘积，其中 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n+1 \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & n+2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & n+1 & n+2 & \cdots & 2 n-1 \end{array}\right) . $$

5．（ 20 分）解答如下问题： （1）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=X^{\prime} A X$ ，其中 $$ A=\left(\begin{array}{llll} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{array}\right), X=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right) . $$ 将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)$ 化为一次因式的乘积． （2）根据（1）的结果，将 $n$ 元二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 化为一次因式的乘积，其中 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n+1 \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & n+2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & n+1 & n+2 & \cdots & 2 n-1 \end{array}\right) . $$

5．（20 分）设 $\displaystyle L_{i}=c_{i 1} x_{1}+c_{i 2} x_{2}+\cdots+c_{i n} x_{n}, i=1,2, \cdots, p+q, c_{i j} \in \mathbb{R}$ ，证明：实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=L_{1}^{2}+\cdots+L_{p}^{2}-L_{p+1}^{2}-\cdots-L_{p+q}^{2} $$ 的正惯性指数 $\displaystyle \leq p$ ，负惯性指数 $\displaystyle \leq q$ ．

7．设 $A$ 是实数域上的 $n \times n$ 矩阵。证明：$A^{2}+A^{T} A=O$ 的充要条件是 $A$ 是实反称矩阵．

4．证明：多项式 $x^{2026}+x^{2024}+x^{3}-3 x+1$ 的根不可能都是实根．

6．设 $A, B$ 都是 $n$ 阶方阵，且 $|A|=2,|B|=3$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

八、设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\left(\begin{array}{ccc}1-a & 2 a & 1 \\ 2 & 1-a & -1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$的秩为 $\displaystyle \mathbf{2}$ ． （1）求 $a$ 的值． （2）求正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ ，将 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形． （3）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=0$ 的解．

7、设 $A$ 为 5 阶方阵，其特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda \cdots 9)^{3}(\lambda+5)^{2}$ ，最小多项式 $$ m(\lambda)=(\lambda-9)^{2}(\lambda+5)^{2} $$ 求 $\mathbf{A}$ 的 Jordan 标准形 $\_\_\_\_$ ， $\mathbf{\lambda}=9$ 的特征子空间的维数为 $\_\_\_\_$ ，以及 $r(-5 I-A)=$ $\_\_\_\_$。 ◯

3．已知 $V$ 是实数域上次数小于等于 3 的多形式组成的线性空间，当 $a=$ $\_\_\_\_$时，该线性空间中满足 $f(1)=a, f(-1)=0$ 的多项式集合是 $V$ 的子空间，关于内积 $(f, g)=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 下该子空间的单位正交基为 $\_\_\_\_$ ．

6．已知实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=t\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ ． （1）若 $f$ 正定，求 $t$ 的取值范围． （2）$\displaystyle t=2$ 时，求 $f$ 的规范形，并写出所作的非退化线性替换．

4．对于 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，存在 $\displaystyle Y \in \mathbb{R}^{n}$ 使得 $\displaystyle Y^{T} A Y>0$ ．证明：对任意的 $\displaystyle X \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $$ \left(X^{T} A Y\right)^{2} \geq\left(X^{T} A X\right)\left(Y^{T} A Y\right) $$ 的充要条件是 $\displaystyle X^{T} A X$ 的正惯性指数等于 1 ．

8．$A$ 为实对称阵，$\displaystyle p \in \mathbb{N}_{+}$，证明：$A$ 的正惯性指数大于等于 $p$ 当且仅当在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上有一个 $p$ 维子空间 $W$ ，使得 $$ \forall x \in W, x \neq 0, x^{T} A x>0 $$

2．设 $A, B$ 为三阶矩阵，$|A|=3,|B|=2,\left|3 A^{-1}+2 B\right|=2$ ，则 $\left|2 A+3 B^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

11．已知 $A, B$ 分别为 $m$ 阶，$n$ 阶实对称矩阵，若 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{\mathrm{T}} & B\end{array}\right)$ 为正定矩阵，判断矩阵 $B-C^{\mathrm{T}} A^{-1} C$是否为正定矩阵，并证明你的结论．

15．解答如下问题： （1）已知复数域上的 $n$ 阶方阵 $$ B=\left(\begin{array}{ccccc} a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\ a_{n} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{n} & a_{1} & \cdots & a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{1} \end{array}\right) . $$ 记 $\omega_{0}, \omega_{1}, \cdots, \omega_{n-1}$ 是方程 $x^{n}-1=0$ 的 $n$ 个复根．证明：对任意的 $k=0,1, \cdots, n-1$ ，向量 $\eta=\left(1, \omega_{k}, \omega_{k}^{2}, \cdots, \omega_{k}^{n-1}\right)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $B$ 的特征向量。 （2）设 $A$ 为复数域上的 4 阶幂等阵 $\left(A^{2}=A\right)$ ，证明：存在 4 个复数 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ ，使得 $A$ 相似于 $$ \left(\begin{array}{llll} c_{1} & c_{2} & c_{3} & c_{4} \\ c_{4} & c_{1} & c_{2} & c_{3} \\ c_{3} & c_{4} & c_{1} & c_{2} \\ c_{2} & c_{3} & c_{4} & c_{1} \end{array}\right) $$

二、（本题满分 15 分）设整系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+a x^{2}+b x-3$ ，记 $\displaystyle (f(x), g(x))$ 为 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的首项系数为 1 的最大公因式，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数．若 $\displaystyle \frac{f(x)}{\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)}$ 为二次多项式，求 $\displaystyle a^{2}+b^{2}$ 的值．三、（本题满分 16 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准形和 $A$ 的有理标准形．

八、（20分）用正交线性替换化下列二次型为标准形： $$ x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3} . $$

3、（本题满分 25 分）求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的若尔当标准形 $J$ ，并求矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

7．（本小题满分 25 分）设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵， $\displaystyle \operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}$ 称为矩阵 $A$ 的迹。（1）若 $\displaystyle f(x)=\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}(x-1)$ 是 6 阶方阵 $A$ 的最小爫项式，且 $\displaystyle \operatorname{Tr}(A)=6$ ，求 $A$ 的若小当标准形；（2）若 $\displaystyle B, C$ 均为对称半止定实矩阵，并且 $\displaystyle T r(B C)=0$ ，证明：对任意的止整数 $\displaystyle m,(B+C)^{m}=B^{m}+C^{m}$ ．

五、（20分）已知 $\displaystyle s \times n$ 实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 的秩为 $r$ ，求如下二次型的正惯性指数． $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{s}\left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+\cdots+a_{i n} x_{n}\right)^{2} $$

8．（20 分）设 $n$ 元实二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 的秩为 $n$ ，正负惯性指数分别为 $\displaystyle p, q$ ，且 $\displaystyle p \geq q>0$ ． 证明：存在 $\displaystyle R^{n}$ 的 $q$ 维子空间 $W$ ，使 $\displaystyle \forall X_{0} \in W$ 都有 $\displaystyle f\left(X_{0}\right)=0$ ．

6．（20分）设 $\displaystyle f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{p}, g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{q}$ 均为 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的实系数的一次齐次式， 证明：二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+\cdots+f_{p}^{2}-g_{1}^{2}-g_{2}^{2}-\cdots-g_{q}^{2} $$ 的正惯性指数 $\displaystyle \leq p$ ．

4．若实对称矩阵 $A$ 与 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ 合同，则二次型 $X^{T} A X$ 的规范形为 $\_\_\_\_$

8．设四阶矩阵 $A$ 的最小多项式为 $\lambda^{2}\left(\lambda^{2}-9\right)$ ，则 $A$ 的若尔当标准形为 $\_\_\_\_$ ．

5．求二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}-x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+3 x_{2} x_{3}+4 x_{1} x_{3}$ 的正惯性指数。

8．一个复方阵 $A$ 称为幂零矩阵，如果存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=0$ ，求 4 阶幂零方阵所有可能的 Jordan 标准形。

5．（25分）设实对称矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -3 & 0 \\ -2 & 0 & -2 \end{array}\right) $$ （1）求 $A$ 的合同标准形及正、负惯性指数； （2）求 $A$ 的相似标准形 $B$ ； （3）求正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A P=B$ ．

7．（20分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的若尔当标准形为 $$ J=\left(\begin{array}{lll} J_{1} & & \\ & J_{2} & \\ & & J_{3} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle J_{1}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right), J_{2}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right), J_{3}=(-1)$ ，即存在可逆矩阵 $\displaystyle P=\left(P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5}\right)$ ，其中 $\displaystyle P_{i}$ 是 $P$ 的第 $i$ 列，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ． （1）求 $A$ 的特征多项式、极小多项式； （2）求 $A$ 的初等因子组和不变因子组； （3）$P$ 的列向量中，哪些是 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别是什么．

4．（可能有误）已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ （1）求 $\displaystyle \lambda E_{4}-A$ 的标准形； （2）求 $A$ 的若尔当标准形．

7．已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ll} B & C \\ C^{\prime} & O \end{array}\right) $$ 其中 $B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$C$ 为 $n$ 阶可逆实矩阵，求 $A$ 的正惯性指数与负惯性指数．

7．计算 $n$ 阶行列式 $$ \left|\begin{array}{cccccc} 2 & -4 & & & & \\ 2 & 2 & -4 & & & \\ & 2 & 2 & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & 2 & -4 \\ & & & & 2 & 2 \end{array}\right| . $$

4．设 $V$ 是数域 $F$ 上的 5 维向量空间，$W_{1}$ 和 $W_{2}$ 都是 $V$ 的 3 维子空间，则 $\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)$ 的可能值为 $\_\_\_\_$ ．

9．设 $M_{n}(\mathbb{C})$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 阶方阵构成的复向量空间，令 $A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，定义咉射 $$ \operatorname{ad}_{A}: M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow M_{n}(\mathbb{C}), \operatorname{ad}_{A}(X)=A X-X A $$ （1）证明： $\operatorname{ad}_{A}$ 是线性变换。 （2）若 $A$ 可相似对角化，证明：存在 $M_{n}(\mathbb{C})$ 的一组基底，使得 $\operatorname{ad}_{A}$ 在这组基下的矩阵为对角阵。 （3）若 $A$ 是幂零矩阵，证明： $\operatorname{ad}_{A}$ 是幂零的线性变换．