线性空间-基与维数

4、（20 分）若四阶正定矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=\left(\begin{array}{cccc}10 & -6 & 0 & 0 \\ -6 & 10 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 10 & -6 \\ 0 & 0 & -6 & 10\end{array}\right)$ ．求所有这样的 $A$ ．

6、设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 为实正定矩阵，证明：$\displaystyle |A| \leq a_{11} a_{22} \cdots \cdots a_{n n}$ ．

六．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．七．设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $F$ 上的一个次数大于 0 的一元多项式，证明：$\displaystyle f(x)$ 是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是对数域 $F$ 上的任意多项式 $\displaystyle g(x)$ ，有 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或者存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．

3．已知二次型 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 t x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 是正定的，则 $t$ 满足 $\_\_\_\_$ ．

六．（18 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}, C=\left(a_{i j} b_{i j}\right)_{n \times n}$ ．证明：若 $\displaystyle A, B$ 均是正定矩阵，则 $C$ 也是正定矩阵。

4、已知二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+k x_{2}{ }^{2}+(k-2) x_{3}{ }^{2}+2 x_{1} x_{2}$ 正定，则 $k$的取值范围为 $\_\_\_\_$ ．

2、 $\beta$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 唯一的线性表示，并求出表示式。

2、求从基 $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$ 到基 $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}$ 的过渡矩阵．

6．（15 分）设 $B$ 为正定矩阵，$\displaystyle A-B$ 为半正定矩阵．证明： （1）满足 $\displaystyle |A-2 \lambda B|=0$ 的所有 $\displaystyle \lambda$ 都不小于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （2）$\displaystyle |A| \geq|B|$ ．

9．（20 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，若 $\displaystyle \alpha$ 为任意的 $n$ 维非零列向量，$\displaystyle B=A \alpha \alpha^{T}$ ． （1）证明：$\displaystyle \left|\lambda E_{n}-B\right|=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\alpha^{T} A \alpha\right), E_{n}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。 （2）求 $B$ 最大的特征值 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ ． （3）求 $B$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ 的特征子空间的维数与一组基．

七．简答题（ 15 分） 设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且存在 $n$ 阶实矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B+B^{\mathrm{T}} A$ 为正定矩阵，判断矩阵 $A$ 是否可逆，并给出理由。

6．（15 分）设 $f(x), g(x)$ 是多项式，且 $x^{2}+x+1$ 整除 $f\left(x^{3}\right)+x g\left(x^{3}\right)$ ． （1）（10 分）证明：$x-1$ 整除 $f(x)$ ，且 $x-1$ 整除 $g(x)$ ． （2）（5 分）若 $f(x)$ 是 $x-1$ 的方幂，$h(x)$ 和 $q(x)$ 是多项式，且 $f(x) \mid h(x) q(x)$ ．证明：或者 $f(x)$整除 $h(x)$ ，或者 $f(x)$ 整除 $q(x)$ 的某个方幂。

九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, B=\left(b_{i j}\right)$ 都是正定矩阵， $\displaystyle c_{i j}=a_{i j} b_{i j},(i, j=1,2, \cdots, n)$ ，证明：$n$ 级方阵 $\displaystyle C=\left(c_{i j}\right)$ 也是正定矩阵。

七，（20 分）设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 可以经过正交线性替换化为 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ． （1）求 $\displaystyle a, b$ 的值，并判断二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是否为正定二次型． （2）写出所作的正交线性替换．

八，（20 分）设 $\displaystyle S, A$ 是 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle P=S+A, \alpha^{T}$ 是向量 $\displaystyle \alpha$ 的转置。证明： （1）$A$ 为反对称矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha^{T} A \alpha=0$ ，对任意实的 $n$ 维列向量 $\displaystyle \alpha$ 都成立。 （2）若 $S$ 是对称矩阵，$A$ 是反对称矩阵，则 $S$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha^{T} P \alpha>0$ ，对任意实的 $n$ 维非零列向量 $\displaystyle \alpha$ 都成立．

2、可逆阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵．

3、判断 $f(V) \cup f^{-1}(0)$ 是否为 $V$ 的一个线性子空间？并说明理由．

七．（20 分）实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+2 a x_{2} x_{3}$ 经过正交变换化为 $\displaystyle 3 y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+b y_{3}^{2}$ ． （1）求 $\displaystyle a, b$ 的值； （2）求所作的正交变换； （3）判断二次型是否为正定二次型，并说明理由．

1．（10 分）证明：$r(A) \leq 1$ 当且仅当存在列向量 $\alpha \in K^{m}, \beta \in K^{n}$ ，使得 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ．

八．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，且 $A$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a, b), B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (c, d), a, b, c, d>0$ ．证明： （1）$\displaystyle A+B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a+c, b+d)$ ． （2）$\displaystyle A B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a c, b d)$ ．

1．$S, T$ 都是 $M_{n}$ 的线性子空间；

9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}, \beta_{1}, \cdots, \beta_{m}$ 为欧几里得空间 $V$ 的两组向量。始果 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ， $\displaystyle i, j=1, \cdots, m$ 。证明： （1）子空间 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \cdots, \beta_{m}\right)$（作为欧几里得空间）同构： （2）$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关当且仅当 $\displaystyle \left(\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)\right)$ 为正定阵。

10．设 $R$ 是实数域，$\displaystyle A \in R^{n \times n}, B \in R^{m \times m}, C \in R^{m \times n}$ ，其中 $\displaystyle A, B$ 正定，$m$ 是偶数。证明： $\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & C^{T} \\ C & -B\end{array}\right|>0$ 。

8．设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶正定阵，证明 $\displaystyle A B$ 的特征值均为正数。

9．$A$ 为 $n$ 级正定矩阵，证明存在一个上三角矩阵 $U$ ，使得 $\displaystyle A=U^{T} U$ 。

八．已知 $A$ 是 $n$ 阶正定方阵，$\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ 。 （1）证明：$\displaystyle A^{*}$ 是正定矩阵。 （2）证明：$\displaystyle f(x)=\left|\begin{array}{rr}0 & -x^{T} \\ x & A\end{array}\right|$ 是正定二次型。

9．已知 $\displaystyle A, B$ 为同阶实对称矩阵，$B$ 为正定矩阵． （1）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 同时为对角矩阵； （2）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ ，求矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 同时为对角矩阵．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

八、设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且对任何非零 $n$ 维实列向量 $x$ ，有 $\displaystyle x^{T} A x \neq 0$ ，求证 $A$ 为正定或负定。

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实对称距阵，且 $B$ 正定，求证：存在一个实可逆矩阵 $P$ 使 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$同时为对角阵。

8．若 $A$ 为 3 阶实对称阵，其特征值为 $\displaystyle -3,1,4$ ，则当 $t$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$时，$\displaystyle t E+A$ 正定．

五、（1）求证任何一个正定矩阵 $\displaystyle A=B^{2}, B$ 也为正定矩阵． （2）求证任何一个可逆实矩阵 $\displaystyle A=Q P, Q$ 为正定矩阵，$P$ 为正交阵．

五、判别 $n$ 元实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}+x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\cdots+x_{n-1} x_{n}$ 是否正定．

三、设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实方阵，证明： （1）若 $B$ 正定，则 $\displaystyle A B$ 的特征值皆大于 0 ； （2）若 $B$ 正定，且 $\displaystyle A B=B A$ ，则 $\displaystyle A B$ 正定．

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 元实对称矩阵，且 $B$ 正定，求证：存在一个实可逆阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$同时为对角阵。

7．设 $A$ 为 3 阶半正定阵，向量 $\displaystyle \alpha, \beta$ 线性无关，若 $\displaystyle \alpha^{T} A \alpha=\beta^{T} A \beta=0$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=2$ ，则二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x^{T} A x$ 经正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化成的标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

7．当 $a$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$时，实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}$ 正定．

10．设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，$\displaystyle r(A)=n$ ，则 $n$ 元二次型 $\displaystyle X^{T}\left(A^{T} A\right) X$ 正定性为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶对称阵，且 $A$ 正定，求证：存在一个可逆矩阵使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$ 同时为对角阵．

十、（10 分）$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶对称矩阵，求证：存在同一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$ 同时化为对角阵．

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

3．若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=t\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-2 x_{2} x_{3}$ 正定，则参数 $t$ 应满足 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

12．二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X $$ 在正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 下的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}, Y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ ，且正交矩阵 $Q$ 的第三列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{T}$ ，求实对称矩阵 $A$ ，并证明 $\displaystyle A+E_{3}$ 正定。

八．（15分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是正定对称矩阵，其对角元 $\displaystyle a_{i i}$ 及特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 满足 $$ a_{11} \leq a_{22} \leq \cdots \leq a_{n n}, \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n} . $$ 问 $\displaystyle \lambda_{i} \leq a_{i i}$ 是否对所有 $\displaystyle 1 \leq i \leq n$ 成立？若成立，给出证明；若不成立，举出反例．

8．若 $U, V$ 时 $\mathbb{F}^{n}$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} V=n$ ，则 $\mathbb{F}^{n}=U \oplus V$ ．

16．（20 分）已知矩阵 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{T} & B\end{array}\right)$ ，其中 $A, B$ 分别为 $m, n$ 阶实矩阵，$C$ 为 $m \times n$ 实矩阵，且 $A, B$ 实对称．证明或否定下列命题： （1）如果 $D$ 正定，则 $A, B$ 可逆。 （2）如果 $D$ 正定，则 $B-C^{T} A^{-1} C$ 也正定．

3．$\displaystyle A, B$ 为实对称矩阵，$A$ 正定。证明（1）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A=P P^{T}, B=P \operatorname{diag}\left\{\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}\right\} P^{T}$ （2）证明：$\displaystyle A+B$ 正定的充要条件是 $\displaystyle A^{-1} B$ 的特征值大于 -1

5．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+a_{1} x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+a_{2} x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}+a_{3} x_{1}\right)^{2}$ 正定，则 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 需要满足 $\_\_\_\_$ ．

2．（15 分）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶实矩阵，且 $A$ 是可逆对称矩阵，$\displaystyle B^{\mathrm{T}}=C$ ． （1）（10 分）证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} X P$ 为分块对角矩阵． （2）（10 分）给出 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 正定的充分必要条件．

9．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A-2 B=3 A B$ ，则 $A B=B A$ ．

13．设二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+5 x_{2}^{2}-8 x_{2} x_{3}+5 x_{3}^{2} $$ 利用正交变换将二次型化为标准形．

7．设 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a \end{array}\right) $$ 是 3 阶实矩阵，证明：当 $a>2$ 时，对于任意一个 3 阶的正定矩阵 $B$ ，都有 $\operatorname{tr}(A B)>0$（其中 $\operatorname{tr}(A B)$为矩阵 $A B$ 的迹）。

5．设实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}+2 x_{2} x_{3}=X^{\mathrm{T}} A X $$ 其中 $\displaystyle A^{\mathrm{T}}=A$ ．若 $f$ 经过正交线性替换 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}}=P\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{\mathrm{T}}$ 化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+4 y_{2}^{2}$ ． （1）求 $\displaystyle a, b$ 及 $P$ ． （2）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 在 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 上的最大值，最小值． （3）$\displaystyle B=x A^{2}+y A+E$ ，若 $B$ 正定，求 $\displaystyle x, y$ 满足的条件．

五、（本题20分）设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，求证： （1）$A$ 的特征值全大于 0 ； （2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P=E, P^{\mathrm{T}} B P$ 为对角矩阵。 fl ：矩阵

2．设 $\displaystyle A, C$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & C\end{array}\right)$ 是正定矩阵。 （1）证明：$\displaystyle C-B^{T} A^{-1} B$ 正定； （2）证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & C\end{array}\right| \leq|A| \cdot|C|$ ．

4．设 $\displaystyle n(n>1)$ 元实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) A\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right) \text {, 其中 } A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 2 a & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 2 a & 2 a & \cdots & 1 \end{array}\right), a \in \mathbb{R} \text {. } $$ （1）求 $f$ 在正交线性替换下的标准形（不用写出正交线性替换）； （2）若二次型 $f$ 正定，求 $a$ 的取值范围．

5．若矩阵 $\displaystyle A^{T}=A, B^{T}=-B, A B=B A$ 且 $A$ 可逆，$\displaystyle C=A^{-1} B$ ． （1）证明：$C$ 为反对称矩阵； （2）设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，记线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足 $$ \mathscr{A}: \alpha \rightarrow C \alpha, \forall \alpha \in V $$ 证明： $\displaystyle \mathscr{A}(\alpha) \perp \alpha, \forall \alpha \in V$ ． （3）证明：$\displaystyle C^{2}$ 非负定．

6、12 维线性空间 $V$ ，子空间 $U, W$ 的维数分别为 $3,4, \operatorname{dim}\left(U^{\perp} \cap W^{\perp}\right)$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

5．平面二次曲线 $13 x^{2}-6 \sqrt{3} x y+7 y^{2}-256=0$ 的类型为 $\_\_\_\_$ ．

四．（16 分）设 $A$ 是如下的实对称矩阵： $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right) $$ 证明：$A$ 为半正定矩阵，并求半正定矩阵 $B$ ，满足 $\displaystyle B^{2}=A$ ．

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

3．取实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 3 级矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{array}\right) $$ （1）求正交矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{\prime} A C$ 为对角矩阵，其中 $\displaystyle C^{\prime}$ 表示 $C$ 的转置． （2）求正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ．

5．设 $A$ 是 $n$ 级半正定矩阵，$D$ 是 $n$ 级实矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 表示 $A$ 的伴随矩阵． （1）证明：若 $A$ 正定，则 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 半正定． （2）当 $A$ 非正定时，请问 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 是半正定吗？说明理由．

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关，求 $L\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \ldots, \alpha_{s-1}+\alpha_{s}, \alpha_{s}+\alpha_{1}\right)$的基和维数

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

4．解方程 $y=\frac{3}{2}\left(y^{\prime}\right)^{2}-2 y^{\prime} x+x^{2}$ ．

5．（15分）设 $A, B$ 为 3 阶复方阵，且都只有一个特征值 $\lambda_{0}$ ．证明：$A$ 与 $B$ 相似的充要条件是 $$ \operatorname{dim}\left(V_{\lambda_{0}}(A)\right)=\operatorname{dim}\left(V_{\lambda_{0}}(B)\right) $$

3、（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n} \times \mathbf{m}$ 实矩阵。证明：如果 $\displaystyle r(B)=m$ ，则 $m$ 阶实方阵 $\displaystyle B^{T} A B$ 为正定矩阵。

3．已知对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A_{11}$ 是方阵，证明以下条件是充要的： （1）$A$ 正定 （2）$\displaystyle A_{11}, A_{22}-A_{12}^{T} A_{11}^{-1} A_{12}$ 都正定 （3）$\displaystyle A_{22}, A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21}$ 都正定

9、令 $\mathscr{A}$ 是 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$V$ 中任意向量可由 $\alpha, \mathscr{A} \alpha, \mathscr{A}^{2} \alpha$ 线性表出，且 $2 \alpha-5 \mathscr{N} \alpha+4 \mathscr{N}^{2} \alpha-\mathscr{N}^{3} \alpha=0$ ． （1）求 $\mathscr{A}$ 的全部特征值与特征向量． （2）是否存在 $V$ 中的一组基， $\mathscr{A}$ 在此基下为对角阵，若存在，求出此基，若不存在，请说明理由．

9．已知 $A$ 是正定矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}, \beta$ 是 $n$ 维欧式空间中的 $\displaystyle n+1$ 个向量，满足： （1）$\displaystyle \alpha_{i} \neq 0 \quad i=1,2, \cdots, n$ （2）$\displaystyle \alpha_{i}^{T} A \alpha_{j}=0$ 对于所有 $\displaystyle i \neq j$ （3）$\displaystyle \beta$ 与 $\displaystyle \alpha_{i}$ 正交 $\displaystyle \quad i=1,2, \cdots, n$ 求 $\displaystyle \beta$

3．已知 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为 $n$ 维实列向量，且当 $\displaystyle i \neq j$ 时，有 $\displaystyle X_{i}^{\prime} A X_{j}=0$ ，证明： $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关。

五．设 $\displaystyle f(x)=x^{4}+6 x^{3}+4 x+2 \in \mathbb{Q}[x], c$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个复根．记 $$ \mathbb{Q}[c]=\left\{a_{0}+a_{1} c+a_{2} c^{2}+a_{3} c^{3} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{Q}\right\} $$ 证明： （1）$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上不可约； （2）对任．意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，有 $\displaystyle g(c) \in \mathbb{Q}[c]$ ； （3）对任意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，若 $\displaystyle f(x) \nmid g(x)$ ，则仔在 $\displaystyle h(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，使得 $\displaystyle g(c) h(c)=1$ ． ∴。设 $Q$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$x$ 为 $n$ 维实列向量，证明： $\displaystyle 0 \leq x^{T}\left(Q+x x^{T}\right)^{-1} x<1$ ．

六．$A$ 是 $n$ 阶实正定矩阵，且非对角元均小于 0 ，证明：$\displaystyle A^{-1}$ 的所有元素都大于 0 ．

六．设 $A$ 是可逆矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$和正定矩阵 $S$ ，使得 $\displaystyle A=Q S$ 。

2．设 4 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2\end{array}\right)$ ，其逆矩阵 $A^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

四．（15 分）设 $A$ 为实矩阵满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明： （1）$A$ 可对角化． （2）存在实对称矩阵 $B$ 和正定矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ．

4、已知二项式 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{n}, \cdots x_{n}\right)=a \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}+b \sum_{i=1}^{n} x_{i} x_{n+1-i}$ ，其中 $\displaystyle a, b$ 都是实数，且 $\displaystyle n \geq 2$ ，试判断当二项式正定时 $\displaystyle a, b$ 应满足的条件．

十一．（12 分）设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，证明：$A$ 是正定矩阵的充分必要条件是存在 $n$ 阶正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=B^{2}$ ．

5．（15 分）设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是半正定矩阵，且存在整数 $\displaystyle m>1$ ，使得 $\displaystyle A^{m}=E_{n}$ ，求 $A$ ；若将上述＂半正定＂的条件改为＂半负定＂，你能得出什么结论？

7．（15 分）证明：下列二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2} $$ 是半正定型．

2．（12 分）已知二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+2 \lambda x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3} $$ 正定，求 $\displaystyle \lambda$ 的取值范围．

3．（10 分）已知实二次型 $Q$ 满足 $\displaystyle Q(\alpha)=0 \Leftrightarrow \alpha=0$ ．求证：$Q$ 或者正定或者负定．

4．（15 分）已知 2019 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=2019 A$ ，证明：$\displaystyle E+A+\cdots+A^{2019}$ 为正定矩阵。

9．（20 分）设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实对称正定矩阵。证明： （1）存在唯一 $n$ 阶实矩阵 $C$ 满足 $\displaystyle B C+C B=A$ ； （2）对（1）中实矩阵 $C$ ，有 $\displaystyle B C=C B$ 当且仅当 $\displaystyle A B=B A$ ．

9．（20 分）（a）．设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是半正定对称矩阵，$\displaystyle x \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明：$\displaystyle x^{\top} A x=0$ 等价于 $\displaystyle A x=0$ ． （b）．设 $A$ 是 $n$ 阶半正定对称矩阵，将其写成分块矩阵的形式 $$ A=\left(\begin{array}{ll} A_{1} & A_{2} \\ A_{2}^{\top} & A_{4} \end{array}\right), $$ 其中 $\displaystyle A_{1}$ 是 $r$ 阶方阵。证明：对 $\displaystyle x \in \mathbb{R}^{r}$ ，若 $\displaystyle A_{1} x=0$ ，则 $\displaystyle A_{2}^{\top} x=0$ ． （c）．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ 。证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $$ P^{-1} A\left(P^{-1}\right)^{\top}=\left(\begin{array}{cc} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad P^{\top} B P=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\} $$

10．使得二次型 $\displaystyle q(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}+y z+x z+t x y(t \in \mathbb{R})$ 正定的 $t$ 之取值范围是 $\displaystyle \_\_\_\_$

9、实对称矩阵 $A=J_{3}(0)+J_{3}(0)^{T}$ 可以通过正交相似变换化为对角阵 $\_\_\_\_$。

6．$\left|\begin{array}{cccccccc}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 9 & 16 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 8 & 27 & 64 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 18 & 32 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 16 & 54 & 128 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

4．（10 分）$n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是正定阵，$\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 是任意 $n$ 个非零实数，证明：矩阵 $\displaystyle B=\left(a_{i j} b_{i} b_{j}\right)$ 也是正定阵。

4．设 $\displaystyle A, B$ 为正定矩阵，证明 $\displaystyle f(\lambda)=|\lambda A-B|$ 的根均大于 0 。

10．已知 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶半正定矩阵，证明存在可逆实矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{\prime} A C, C^{\prime} B C$ 同时为对角矩阵．

10．（10分）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 为正定矩阵，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ，证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．

8．$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶方阵。 （1） $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 是否等于 $\displaystyle \operatorname{tr}(B A)$ ？ （2）$\displaystyle A, B, A-B$ 正定，证明： $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}-B^{2}\right)>0$ ．

6．$t$ 满足条件 $\_\_\_\_$时，二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+4 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}+2 t x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}$ 正定．

6．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ ，其中 $A^{T}=A,|A|=a, r(A+b E)=1$ ，若 $f$ 正定，求 $a, b$ 满足的条件为 $\_\_\_\_$ ．

五．设 $A$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，证明：$A$ 可以化成一个正定矩阵与一个正交矩阵的乘积．

10．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且满足 $\displaystyle n-1 \leq R(A) \leq n$ ．证明存在实可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 均为对角矩阵（20分）

7．二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}$ 。 （1）判断是否是正定二次型． （2）利用正交变换将二次型化为标准形，并写出相应正交变换和标准形。（15分）

10、设 $A$ 为实对称矩阵，证明：存在正定矩阵 $\displaystyle P, Q$ ，使 $$ P A Q=\left(\begin{array}{llll} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}>0$ ．

3、设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle r(A)$ 是矩阵 $A$ 的秩，证明：$\displaystyle r(A)=n$ 当且仅当存在一个实阵 $B$ ，使 $\displaystyle A^{\top} B+B^{\top} A$ 是正定矩阵．

12．（15 分） （1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，且 $\displaystyle (m, n)=d$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 到自身的一个映射，证明：如果 $\displaystyle \sigma$ 保持内积不变，即任意的 $\displaystyle \xi, \eta \in V$ ，有 $\displaystyle \langle\sigma(\xi), \sigma(\eta)\rangle= \langle\xi, \eta\rangle$ ，则 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的线性变换，从而也是正交变换． （3）设 $A$ 是一个实对称矩阵，如果以 $A$ 为矩阵的实二次型是正定的，$A$ 是正定的．证明：若 $A$ 是正定的，则 $A$ 可逆且可逆矩阵也是正定的．

十．（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，秩 $\displaystyle (A+B)=n$ ．证明：$\displaystyle A^{\prime} A+B^{\prime} B$ 为正定矩阵．

4．已知 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是 $n$ 级正定矩阵，证明： （1）$\displaystyle a_{i i}>0(i=1,2, \cdots, n)$ （2） $\displaystyle 2\left|a_{i j}\right|<a_{i i}+a_{j j},(i \neq j)$ ． （3）$A$ 的所有元素中绝对值最大的元素一定在主对角线上．

7．设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1} x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+t x_{2} x_{3}$ ，问： （1）当 $t$ 为何值时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 正定； （2）当 $\displaystyle t=1$ 时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 对应矩阵 $A$ 的最小多项式 $\displaystyle m_{A}(\lambda)$ ．

2．求矩阵 $A$ 的全部特征值；

五．设三阶实矩阵 $A$ 的 3 个列向量 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 线性无关，二次型 $$ f(x)=\left(\alpha^{T} x\right)^{2}+\left(\beta^{T} x\right)^{2}+\left(\gamma^{T} x\right)^{2} $$ 其中 $\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}$ ． （1）求此二次型的矩阵 $B$ ； （2）问：此二次型是否正定？并写出此二次型的规范型； （3）是否存在正定矩阵 $S$ ，使得 $\displaystyle B=S^{3}$ ？并说明理由．

4．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的单位列向量且相互正交，实二次型 $\displaystyle f(X)=2\left(\alpha^{T} X\right)^{2}+\left(\beta^{T} X\right)^{2}$ 的矩阵为 $A$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}$ ．证明： （1）存在正交矩阵 $U$ ，使得 $\displaystyle U^{T} A U$ 为对角形 $\displaystyle \operatorname{diag}\{2,1,0\}$ ． （2）是否存在唯一的半正定矩阵 $S$ 使得 $\displaystyle A=S^{2}$ ？请说明理由．

5．解答如下问题： （1）$n$ 阶矩阵 $A$ 正定，证明：$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left|\begin{array}{cc}A & X \\ X^{\mathrm{T}} & 0\end{array}\right|$ 负定． （2）$\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $n$ 维列向量，证明：$\displaystyle \left|A+\alpha^{\mathrm{T}} \beta\right|=|A|+\alpha^{\mathrm{T}} A^{*} \beta$ ．

6．解答如下问题： （1）已知 $\displaystyle \bar{A}^{\mathrm{T}} A=E$ ，证明：$A$ 特征值模长为 1 ． （2）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，且 $A$ 正定，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ．证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．

七、设 $\displaystyle A \in C^{n \times n}, ~ C \in C^{n \times n}, A$ 为正定矩阵，矩阵 $C$ 的秩为 $\displaystyle m, n>m$ ，求 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{T} & 0\end{array}\right)$ 的正、负惯性指数，其中 $\displaystyle C^{T}$ 为矩阵 $C$ 的转置（15 分）

七、设 $\displaystyle A, B, C$ 分别为 $n$ 阶矩阵，若 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ B^{\prime} & C\end{array}\right)$ 为正定矩阵，则 $\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ B^{\prime} & C\end{array}\right| \leq|A||C|$ 。（20 分）

六、 证明对 $n$ 阶正定矩阵 $A$ ，存在可逆矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=B^{\prime} B$（20 分）

八、（20 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 均为实 $n$ 阶正定矩阵，$\displaystyle P(x)=A x^{2}+B x+C, f(x)=\operatorname{det} P(x)$ 表示 $\displaystyle P(x)$ 的行列式，$\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的根，证明：$\displaystyle \lambda$ 的实部是负数，即 $\displaystyle \operatorname{Re}(\lambda)<0$ 。

三、（15 分）设 $A$ 为正定矩阵，$B$ 为实对称矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}, P B P^{T}$ 同时为对角矩阵。

六、（15 分）$t$ 取什么值时，二次型 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 t x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ 是正定的．

九、（15 分） 设 $A$ 为三阶实对称矩阵，且满足条件 $\displaystyle A^{2}-4 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $\displaystyle r(A)=2$ 。 求：（1）$A$ 的所有特征值； （2）当 $k$ 为何值时，矩阵 $\displaystyle A+k E$ 为正定矩阵。

五、（15 分） 已知二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=t x_{1}^{2}+t x_{2}^{2}+t x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}, $$ （1）当 $t$ 取什么值时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是正定的； （2）当 $t$ 取什么值时，二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 是负定的．

六、（15 分） 设 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，且满足 $\displaystyle A^{2}+2 A=O$ ，已知 $A$ 的秩 $\displaystyle =2$ ． （1）求 $A$ 的全部特征值； （2）当 $k$ 为何值时，矩阵 $\displaystyle A+k E$ 为正定矩阵，其中 $E$ 是 3 阶单位矩阵．

3．当 $a, b$ 为何值时，下面方程有唯一解，无穷多解，无解？ $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+a x_{2}+x_{3}=3 \\ x_{1}+x_{2}+b x_{3}=2 \\ x_{1}+x_{2}+2 b x_{3}=3 \end{array}\right. $$

7．设 $\mathscr{A}$ 为有限维线性空间 $V$ 上的线性变换，并且 $\mathscr{A}$ 为可逆线性变换，$W$ 是 $V$ 的子空间．证明：若 $W$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，则 $W$ 也是 $\mathscr{A}^{-1}$ 的不变子空间。

1．已知 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $A B=A-B$ ．证明： （1）$E+A$ 可逆 （2）$A B=B A$ ． （3）$A, B$ 秩相同． （4）若 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -1\end{array}\right)$ ，求 $B$ ．

3．若矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & & & \\ & 2 & 2 & & \\ & & 3 & \ddots & \\ & & & \ddots & n-1 \\ & & & & n \end{array}\right) $$ 的若尔当标准形 $J$ ．

5．设 $\mathscr{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明： $$ \operatorname{Im} \mathscr{A}^{n}=\operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+1}=\operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+2}=\cdots $$

14、若 $A$ 半正定，$B$ 正定，证明：$\displaystyle |A+B| \geqslant|B|$ ，等号成立 $\displaystyle \Leftrightarrow A=0$ ．

3、 $A$ 为正定阵，在条件 $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ 下，二次型 $\displaystyle \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) A\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ 最大值最小值为 4,1 ，且 $\displaystyle |A|=8$ ，求 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1\end{array}\right)$ 完成下列问题： （1）求正交矩阵 $Q$ 和主对角线上都大于 0 的上三角矩阵 $T$ 使得 $\displaystyle A=Q T$ ； （2）求正交矩阵 $P$ 和正定矩阵 $R$ 使得 $\displaystyle A=P R$ ； （3）求正交矩阵 $\displaystyle U, V$ 使得 $\displaystyle U A V$ 为对角矩阵．

五．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$\displaystyle A+I$ 与 $\displaystyle A-I$ 合同当且仅当 $\displaystyle A^{2}-I$ 正定．

5．（20 分）设 $\displaystyle A, C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正定矩阵，实矩阵 $B$ 是矩阵方程 $\displaystyle A X+X A=C$ 的唯一解，证明：$B$ 是正定矩阵。

5．（15 分）求使实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}+a_{i} x_{i+1}\right)^{2}$（约定 $\displaystyle x_{n+1}=x_{1}$ ）正定的充分必要条件．

九．（15 分）设 $A$ 与 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 是正定矩阵的充要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．

五．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵，证明：$n$ 元实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}\right)^{2}+\cdots+\left(a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}\right)^{2} $$ 是正定二次型的充要必要条件是 $A$ 的秩等于 $n$ ．

5．（10 分）若 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是正定阵，证明： $$ 0<|A| \leq a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} $$ 其中 $\displaystyle a_{i i}$ 为 $A$ 的主对角线上的元素，$\displaystyle i=1,2, \cdots, n$ ．

8．（20 分）设 $A$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 级可逆阵，证明：存在实数域上的 $n$ 级正定阵 $P$ 和 $n$ 级正交阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle A=P Q$ ，并且这一分解式是惟一的．

1．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，$\alpha$ 为 $n \times 1$ 矩阵，$\beta$ 为 $1 \times n$ 矩阵，且 $|A|=2, ~\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 1\end{array}\right|=0$ ，则 $\left|\begin{array}{ll}A & \beta \\ \alpha & 4\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 2 & 3 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 5 & 5\end{array}\right)$ ，其中 $A_{i j}$ 是 $A$ 中元素 $a_{i j}$ 的代数余子式，则 $A_{11}+A_{12}+A_{13}+A_{14}=$ $\_\_\_\_$ （1） $\_\_\_\_$

2．把复数域看成它自身上的线性空间，它的维数是 $\_\_\_\_$ （2） $\_\_\_\_$

1．（20分）矩阵 $A$ 不可逆，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，证明使 $k E+A^{*}$ 不可逆的复数 $k$ 至多只有两个．

2．若 $A$ 为非零矩阵，则线性方程组 $A^{\prime} A X=A^{\prime} b$ 必有解，这里 $b=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{\prime}$ 为任意列向量．

三．设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反称矩阵．证明： （1）$\displaystyle A-B^{2}$ 是正定矩阵； （2）$\displaystyle T=(E-B)(E+B)^{-1}$ 为正交矩阵； （3）-1 不是 $T$ 的特征值．

六．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶正定矩阵．证明： （1）$\displaystyle A^{2}+B$ 也为正定矩阵； （2）$\displaystyle \left|2022 E_{n}-B^{2}\right| \geq 2022^{n}$ ，当且仅当 $\displaystyle B=O$ 时等号成立．

6．（20 分）考虑实对称矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{T} & 1\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}$ ． （1）若 $A$ 可逆，证明：$\displaystyle |B|=|A|\left(1-\alpha^{T} A^{-1} \alpha\right)=\left|A-\alpha \alpha^{T}\right|$ ； （2）证明：矩阵 $\displaystyle A-\alpha \alpha^{T}$ 正定当且仅当矩阵 $A$ 正定，且 $\displaystyle \alpha^{T} A^{-1} \alpha<1$ ．

2、求 $\mathbf{A}$ 的所有特征值．

5、解答如下问题： （1） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 实矩阵，则 $\displaystyle \mathbf{B}^{T} \mathbf{A} \mathbf{B}$ 是正定矩阵的充要条件是 $\displaystyle r(B)=n$ ． （2） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶实对称矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 为半正定矩阵的充分必要条件是存在 $r$ 行 $n$ 列的行满秩矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=B^{T} B$ ．

4．解答如下问题： （1）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 是正定矩阵，证明：存在 $\displaystyle n \times n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P, P^{\mathrm{T}} B P$ 同时为对角矩阵。 （2）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ ，写出该二次型的矩阵，并用正交线性替换把该二次型化为标准型，判断该二次型是否正定．

九、（20 分）设二次型 $\displaystyle \mathrm{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+\mathrm{t} x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 （1）求 t 的值； （2）用正交线性替换将此二次型化为标准形，并写出所用的正交线性替换。十、证明以下结论： （1）设 A 为 n 阶实矩阵，证明 A 为反对称矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \mathrm{A} A^{T}=-A^{2}$ ； （2）设 $A$ 为正定阵，则存在正定矩阵使得 $\displaystyle A=B^{2}$ 。

十、（15 分）设 A 是 n 阶实对称矩阵， E 是 n 阶单位阵，证明： （1）如果 A 正定，则 A 的特征值全大于零。 （2）如果 A 是正定且正交的矩阵，证明 $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{E}$ ．

9、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值全为实数．

8．（5 分）设 $n$ 阶方阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & \cdots & (-1)^{n} \\ & 1 & -1 & \ddots & \vdots \\ & & 1 & \ddots & 1 \\ & & & \ddots & -1 \\ & & & & 1 \end{array}\right) $$ 求 $A$ 的 Jordan 标准型．

18．（14 分）设 $V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，$f_{\varphi}(\lambda), m_{\varphi}(\lambda)$ 分别是 $\varphi$ 的特征多项式和极小多项式．证明： （1）存在 $\alpha \in V$ 使得 $m_{\varphi}(\lambda)=m_{\varphi, \alpha}(\lambda)$ ，其中 $m_{\varphi, \alpha}(\lambda)$ 是集合 $\{f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda] \mid f(\varphi) \alpha=0\}$ 中次数最小的首一多项式． （2）设 $\psi$ 是 $V$ 上的线性变换，若 $f_{\varphi}(\lambda)=m_{\varphi}(\lambda)$ ，则 $\varphi \psi=\psi \varphi \Leftrightarrow$ 存在 $f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda]$ ，使得 $\psi=f(\varphi)$ ．

五、（15 分） （1）给出二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 3 x_{i}^{2}+\sum_{\leq i<j \leq n} 2 x_{i} x_{j}$ 的矩阵， （2）证明 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 3 x_{i}^{2}+\sum_{\leq i<j \leq n} 2 x_{i} x_{j}$ 为正定．

1、（5分）求 $D_{3}$ ．

7、（20 分）设 $A$ 为实方阵，$\displaystyle A+A^{T}$ 为正定矩阵，但 $\displaystyle A \neq A^{T}$ ，证明： $$ \left|A+A^{T}\right|<|2 A| . $$

7．$\displaystyle A_{n \times n}$ 为正定矩阵，$\displaystyle B_{n \times m}$ 满足 $\displaystyle r(B)=r$ ，求矩阵 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & O\end{array}\right)$ 的正负惯性指数．

1．若 $p(x)$ 是不可约多项式且 $p^{5}(x) \mid f^{2}(x)$ ，是否一定有：$p^{3}(x) \mid f(x)$ ，为什么？

2．若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则 $A+B, A B, A^{-1}$ 中哪些必是正交矩阵，为什么？

11．设 $A$ 是正定的正交矩阵，证明：$\displaystyle A=E$ ．

4．已知实矩阵 $A$ 的顺序主子式均非负，$A$ 是否为半正定矩阵？

1．两个 $n$ 阶正定矩阵的和是否正定？为什么？

四．$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，二次型 $\displaystyle f(X)$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B^{T} \\ B & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明：$\displaystyle B^{T} A^{-1} B$ 是正定矩阵； （2）求 $f$ 的正负惯性指数。 五。 $V$ 是有限维实线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换存在复数 $\displaystyle a+b i(b \neq 0)$ 对 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(x)$有 $\displaystyle f(a+b i)=0$ ，证明：$V$ 上存在二维了空间 $W$ ，使得 $\displaystyle A(W) \subset W$ ．

5、（20 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶方阵， $\displaystyle \mathbf{\alpha} \in \mathbb{R}^{n}$ 是 $n$ 维列向量．若 $\displaystyle \mathbf{A}$ 正定，证明：$\displaystyle A-\alpha \alpha^{T}$ 正定时当且仅当 $\displaystyle \alpha^{T} A^{-1} \alpha<1$ 。

8．定义线性变换 $\sigma\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+3 x_{2}+x_{3}, x_{2}+x_{3}, x_{1}-x_{3}\right)$ ，则 $\sigma$ 的秩为 $\_\_\_\_$

五、（15 分） 设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反称矩阵，证明：$\displaystyle A-B^{2}$ 可逆．

4．设 $n$ 维列向量 $\alpha=(x, 0, \cdots, 0, x)^{T}(x<0)$ ，矩阵 $A=E-\alpha \alpha^{T}$ ，且 $A^{-1}=E+\frac{1}{x} \alpha \alpha^{T}$ ，其中 $E$ 是单位矩阵，则 $x=$ $\_\_\_\_$ ．

四．（ 15 分）设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} a & -2 & 0 \\ b & 1 & -2 \\ c & -2 & 0 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right) . $$ （1）若 $A$ 有特征值 $\displaystyle 4,1,-2$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ ； （2）设 $\displaystyle \alpha=(1, k, 1)^{T}$ 是 $\displaystyle B^{-1}$ 的一个特征向量，求 $k$ ． 五。（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 正定，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值都是实数。

九、设 $B$ 是 $\displaystyle m \times n$ 的实矩阵，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ ，证明：线性方程组 $\displaystyle B X=0$ 只有零解充要条件是 $\displaystyle B^{T} B$ 正定．

8．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 1\end{array}\right), A+t E$ 正定，$t$ 满足 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

九．已知矩阵 $B$ 为正定矩阵，$\displaystyle A-B$ 为半正定矩阵，证明： （1）$\displaystyle |A-\lambda B|=0$ 的根均大于等于 1 ． （2）$\displaystyle |A| \geq|B|$ ．

7．（ 25 分）解答如下问题： （1）设 $M$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle \lambda_{M}$ 是 $M$ 的最大特征值，证明：对于任意非零向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $$ \alpha^{\mathrm{T}} M \alpha \leq \lambda_{M} \alpha^{\mathrm{T}} \alpha $$ （2）若 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & D\end{array}\right)$ 半正定，其中 $\displaystyle A, D$ 为方阵，记 $\displaystyle \lambda_{M}, \lambda_{A}, \lambda_{D}$ 分别为矩阵 $\displaystyle M, A, D$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{M} \leq \lambda_{A}+\lambda_{D}$ ．

九．设 $A$ 为 $n$ 阶正定对称矩阵，$n$ 维实列向量组 $\displaystyle \alpha, \beta$ 满足 $\displaystyle \alpha^{\prime} \beta>0$ ，求证： $$ H=A-\frac{A \beta \beta^{\prime} A}{\beta^{\prime} A \beta}+\frac{\alpha \alpha^{\prime}}{\alpha^{\prime} \beta} $$ 是正定矩阵．

十．判定实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-8 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ 是否正定．

四、（15 分）证明：设 $A$ 是 $n$ 级正定矩阵，则对 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中任一非零列向量 $\displaystyle \alpha$ ，有 $\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{T} & 0\end{array}\right|<0$ ．

3．已知 $V$ 是实数域上次数小于等于 3 的多形式组成的线性空间，当 $a=$ $\_\_\_\_$时，该线性空间中满足 $f(1)=a, f(-1)=0$ 的多项式集合是 $V$ 的子空间，关于内积 $(f, g)=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 下该子空间的单位正交基为 $\_\_\_\_$ ．

6．已知实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=t\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\right)+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-4 x_{2} x_{3}$ ． （1）若 $f$ 正定，求 $t$ 的取值范围． （2）$\displaystyle t=2$ 时，求 $f$ 的规范形，并写出所作的非退化线性替换．

9．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵，证明：$\displaystyle |A+B|>|A|+|B|$ ．

8．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实正定对称矩阵，且 $\displaystyle a_{i j} \in\{-1,0,1\}$ ，求矩阵 $A$ ，并证明你的结论．

3．设三阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$ ，三维列向量 $\alpha=(t, 1,1)^{\mathrm{T}}$ ，已知 $A \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

七、（本题满分 14 分）已知 $\displaystyle A, B$ 都为 $n$ 级正定矩阵，证明：（1）$A$ 中绝对值最大的元素在主对角线上； （2）$\displaystyle |A+B|>|A|+|B|$ ．

四、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 级实对称半正定矩阵，$B$ 为 $n$ 级正定矩阵。证明：$\displaystyle |A+B| \geq|B|$ ．

5、（本题满分 20 分）求二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+6 x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}-10 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的矩阵并判别该二次型是否正定．

五、（15分）设矩阵 $A$ 是实对称矩阵。证明：当实数 $\displaystyle \lambda$ 充分大之后，$\displaystyle \lambda E+A$ 是正定矩阵。

七、（25分）设 $A$ 为正定矩阵，1）证明对任意的正整数 $m$ ，存在正定矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=B^{m} ; 2$ ）在 $A$ 的特征值两两不同的情形下证明：满足 $\displaystyle A=B^{m}$ 的正定矩阵 $B$ 是唯一确定的．

9．（10分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个不同的正实数，证明：下列 $n$ 级方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{a_{1}+a_{1}} & \frac{1}{a_{1}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{1}+a_{n}} \\ \frac{1}{a_{2}+a_{1}} & \frac{1}{a_{2}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{2}+a_{n}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{1}{a_{n}+a_{1}} & \frac{1}{a_{n}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{n}+a_{n}}\end{array}\right)$ 是正定矩阵。

7．（15 分）已知 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle M_{n}=\left(\frac{1-a_{i}^{n} a_{j}^{n}}{1-a_{i} a_{j}}\right)$ ，证明：当 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 互不相同时， $\displaystyle M_{n}$ 为正定矩阵。

5．（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{M}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{B}^{\prime} & \mathbf{D}\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级正定矩阵，其中 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{r}$ 级矩阵 $\displaystyle (\mathbf{r}<\mathbf{n})$ ．证明： $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{D}, \mathbf{D}-\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{-\mathbf{1}} \mathbf{B}$ 都是正定矩阵。

4．（10分）设 M 为半正定矩阵，且可以分块成 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & D\end{array}\right)$ ，其中 A 为方阵，设 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}(M), \lambda_{\text {max }}(A), \lambda_{\text {max }}(D)$ 分别是 $\displaystyle \mathrm{M}, \mathrm{A}, \mathrm{D}$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{\text {max }}(M) \leq \lambda_{\text {max }}(A)+\lambda_{\text {max }}(D)$ ．

7．（ 20 分）设 A 是 n 阶实对称正定矩阵， B 是 n 阶实反称矩阵，求证： （1） B 的特征值为 0 或纯虚数； （2）$\displaystyle |\mathrm{A}+\mathrm{B}|>0$ ．

5．（20 分）设 $\displaystyle A, B$ 均是正定矩阵，证明： （1）方程 $\displaystyle |\lambda A-B|=0$ 的根均大于 0 ； （2）方程 $\displaystyle |\lambda A-B|=0$ 的所有根等于 1 当且仅当 $\displaystyle A=B$ ．

6．设 $A$ 为实对称矩阵，$E$ 为单位矩阵，求证：存在一个极小数 $\displaystyle \varepsilon$ ，使得 $\displaystyle E+\varepsilon A$ 为正定阵．

四．已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(x_{1}+a_{1} x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}+a_{2} x_{3}\right)^{2}+\cdots+\left(x_{n}+a_{n} x_{1}\right)^{2}$ ． （1）求 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 正定的充分必要条件． （2）当 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 不是正定时，求它的秩．

五．（20 分）设偶数阶的实对称矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{3}+7 A^{2}+14 A+8 E=0$ ，证明：$A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 为负定矩阵．

五、（20分）$A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵。 （1）（10 分）证明：$\displaystyle r(A)=r\left(A^{\top} A\right)$ （2）（10 分）存在半正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A^{\top} A$ ．

6．（20分） （1）至少列举 3 条实对称矩阵正定的等价条件； （2）设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{n}$ ，说明当 $a$ 取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是正定矩阵；当 $a$取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是负定矩阵．并证明你的结论．

7．已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ll} B & C \\ C^{\prime} & O \end{array}\right) $$ 其中 $B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$C$ 为 $n$ 阶可逆实矩阵，求 $A$ 的正惯性指数与负惯性指数．

2．设 $f(x)=(x-1)^{2}(x+1)(x-2), g(x)=(x+1)^{2}(x-2)^{2}$ ，则 $f(x), g(x)$ 的首一最大公因式为 $\_\_\_\_$ ．

3．实二次型 $\displaystyle g\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2(a+1) x_{1} x_{3}+2 x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$ 为正定二次型，求 $a$ 范围．

2．直线 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-z=2, \\ 3 x-y+z=3 .\end{array}\right.$ 求该直线绕 $y$ 轴旋转所得旋转曲面的方程 $\_\_\_\_$ ．