线性变换-线性变换矩阵

3、（20分）求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的若尔当标准形

九．（15 分）已知 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}, \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{T}$ 为两个非零实向量 $\displaystyle (n>1), A=\alpha \beta^{T}$ ． （1）求 $A$ 的最小多项式； （2）求 $A$ 的若尔当标准形．

七，（20 分）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 8 \\ 3 & -1 & 6 \\ -2 & 0 & -5\end{array}\right)$ 的行列式因子，不变因子，初等因子，最小多项式，若尔当标准形。

四、（30 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ k & -1 & -k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$ ． （1）当 $k$ 为何值时，存在可逆矩阵 $P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵？并求矩阵 $P$ 和相应的对角矩阵； （2）当 $\displaystyle k=2$ 时，求出矩阵 $A$ 的若尔当标准形和有理标准形．

9．设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-6 \lambda^{2}+32$ ，求 $A$ 的若尔当标准形．

8．矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 的若尔当标准形为 $\displaystyle \_\_\_\_$。

11．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}4 & 5 & -2 \\ -2 & -2 & 1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准形 $J$ ，并求可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle A=T J T^{-1}$ 。

3、（15 分）$A$ 是幂零变换，即存在正整数 $K, A^{k}=0, B$ 满足 $A B+B A=B$ ． （5 分）（1）证明：$E-A$ 可递． （10 分）（2）证明：$B=0$ ．

5．已知复矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 5 & 5 \\ 0 & 4 & 3 \\ 0 & a & 2\end{array}\right)$ 有一个二重特征值． （1）求 $A$ 的最小多项式和若尔当标准形． （2）求 $A$ 可对角化的充要条件．

5．$\displaystyle A=\left(\begin{array}{lllll}1 & & & & \\ 2 & 1 & & & \\ 3 & 0 & 1 & & \\ 4 & 0 & 0 & 1 & \\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1\end{array}\right)$ ， （1）求 $A$ 的若尔当标准形； （2）求 $A$ 的不变因子； （3）$\displaystyle A^{2019}$ 是否与 $A$ 相似。

3．已知复数域上的两个三阶方阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 5 \\ 0 & a & 7 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & 7 \\ 0 & b & c \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right) . $$ （1）讨论矩阵 $A$ 的若尔当标准形； （2）若 $\displaystyle A, B$ 相似，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值．

3．设 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} a & * & * \\ * & 3 & * \\ * & * & 2 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} * & * & * \\ * & * & c \\ * & * & * \end{array}\right) . $$ （1）求 $A$ 的若尔当标准形与不变因子． （2）$A$ 与 $B$ 何时相似？

九．（15分）求矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} -4 & 9 & -4 \\ -9 & 18 & -8 \\ -15 & 29 & -13 \end{array}\right) $$ 的不变因子，初等因子，最小多项式，若尔当标准形与有理标准形．

4．设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换， $\operatorname{Im} \mathscr{A}=\{\mathscr{A} \xi \mid \xi \in V\}, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\{\xi \mid \mathscr{A} \xi=0, \xi \in V\}$ 。证明： $\operatorname{Im} \mathscr{A}^{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A}$ 当且仅当 $\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．

4．设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 为 $V$ 中线性无关的向量，$\beta_{1}, \beta_{2} \in V$ 与 $\alpha_{i}(1 \leq i \leq n-1)$正交，证明：$\beta_{1}, \beta_{2}$ 线性相关．

9、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ ． （1）求 Jordan标准形． （2）求 $\displaystyle B, C$ 使得 $\displaystyle A=B+C, B$ 为幂零阵，$C$ 为可对角化阵．

8．（15分）有一个 6 阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccccc} a & -b & & & & \\ b & a & 1 & & & \\ & & a & -b & & \\ & & b & a & 1 & \\ & & & & a & -b \\ & & & & b & a \end{array}\right) . $$ 其中 $\displaystyle a, b \in \mathbb{R}$ ，且 $\displaystyle b \neq 0$ ，求 $\displaystyle \lambda E-A$ 的不变因子与初等因子以及 $A$ 的若尔当标准形．

六、求矩阵 $\displaystyle \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & 0 & 0 \\ 7 & 1 & 2 & 1 \\ -7 & -6 & -1 & 0\end{array}\right)$ 的不变因子、初等因子、若尔当标准形和有理标准形。

6．（15分）设 $A$ 是复数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵，秩 $\displaystyle (A)=1, A$ 的迹 $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ，求 $A$ 的若尔当标准形，初等因子，不变因子，最小多项式。

11．已知 $A, B$ 分别为 $m$ 阶，$n$ 阶实对称矩阵，若 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{\mathrm{T}} & B\end{array}\right)$ 为正定矩阵，判断矩阵 $B-C^{\mathrm{T}} A^{-1} C$是否为正定矩阵，并证明你的结论．

二、（本题满分 15 分）设整系数多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}+a x^{2}+b x-3$ ，记 $\displaystyle (f(x), g(x))$ 为 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 的首项系数为 1 的最大公因式，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数．若 $\displaystyle \frac{f(x)}{\left(f(x), f^{\prime}(x)\right)}$ 为二次多项式，求 $\displaystyle a^{2}+b^{2}$ 的值．三、（本题满分 16 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的若尔当标准形和 $A$ 的有理标准形．

3、（本题满分 25 分）求矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的若尔当标准形 $J$ ，并求矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ．

8．设四阶矩阵 $A$ 的最小多项式为 $\lambda^{2}\left(\lambda^{2}-9\right)$ ，则 $A$ 的若尔当标准形为 $\_\_\_\_$ ．

7．（20分）已知 5 阶复方阵 $A$ 的若尔当标准形为 $$ J=\left(\begin{array}{lll} J_{1} & & \\ & J_{2} & \\ & & J_{3} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle J_{1}=\left(\begin{array}{ll}2 & 0 \\ 1 & 2\end{array}\right), J_{2}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right), J_{3}=(-1)$ ，即存在可逆矩阵 $\displaystyle P=\left(P_{1} P_{2} P_{3} P_{4} P_{5}\right)$ ，其中 $\displaystyle P_{i}$ 是 $P$ 的第 $i$ 列，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=J$ ． （1）求 $A$ 的特征多项式、极小多项式； （2）求 $A$ 的初等因子组和不变因子组； （3）$P$ 的列向量中，哪些是 $A$ 的特征向量，对应的特征值分别是什么．

4．（可能有误）已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ （1）求 $\displaystyle \lambda E_{4}-A$ 的标准形； （2）求 $A$ 的若尔当标准形．

4．设 $V$ 是数域 $F$ 上的 5 维向量空间，$W_{1}$ 和 $W_{2}$ 都是 $V$ 的 3 维子空间，则 $\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right)$ 的可能值为 $\_\_\_\_$ ．