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七．（10 分）设 $\displaystyle S(a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2}(n \pi a)}{n^{3}}, a \in[0,1]$ ． （1）求 $\displaystyle S(a)$ 的收敛域，并证明在收敛域内 $\displaystyle S(a)$ 一致收玫。 （2）证明：$\displaystyle S(a)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微． （3）证明：$\displaystyle f(a)=\frac{S(a)}{a^{2}}$ 单调递减．提示：$\displaystyle S^{\prime \prime}(a)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \pi^{2} \cos (2 n \pi a)}{n}=-\pi^{2} \ln \left(4 \sin ^{2}(\pi a)\right)$ ．

三．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}, f(1)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=-4$ ．

二．（20 分）设 $\displaystyle f:[0,1]^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ 为连续函数，证明：$f$ 的像为有界闭区间．

五．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ ，证明：$\displaystyle \varphi(x)$在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．

八．（10 分）已知在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中，在点 $\displaystyle \mathbf{x}_{0}$ 处存在某个电子，由该电子产生的电场为 $\displaystyle \mathbf{E}=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}}{\left\|\mathbf{x}-\mathbf{x}_{0}\right\|^{3}}$ ，其中 $\displaystyle x \in \mathbb{R}^{3}$ ，且 $\displaystyle x \neq x_{0}, \varepsilon_{0}$ 是正常数．设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的单连通区域，其边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 为光滑曲面． （1）求证：$\displaystyle x_{0} \notin \Omega$ 时，电通量 $\displaystyle \Phi=\iint_{\partial \Omega} E \mathrm{~d} S=0$ ． （2）$\displaystyle x_{0} \in \Omega$ 时，电通量 $\displaystyle \Phi=\iint_{\partial \Omega} \mathbf{E} \mathrm{d} S$ 为常数，求此常数．

5、（20分）设 $\displaystyle \mathscr{G}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换， $\displaystyle \mathscr{G}$ 的核记为 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{S}$ ，若 $V$是 $n$ 维线性空间，且存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{C}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{S}^{k+1}$ 成立。证明：对任意整数 $\displaystyle j \geq k$ 成立，有 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{C}^{j}=\operatorname{Ker} \mathscr{C}^{j+1}$ 。

6、（20 分）设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足：$\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B$ ，求证：$A$ 与 $B$ 相似当且仅当它们的秩相等．

7、（10 分）设 $\displaystyle V^{*}$ 是线性空间 $V$ 的对偶空间，$\displaystyle V_{1}^{*}, V_{2}^{*}$ 是 $\displaystyle V^{*}$ 的子空间，记 $$ \begin{aligned} & W=\left\{v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_{1}^{*} \cap V_{2}^{*}\right\} \\ & W_{i}=\left\{v \in V \mid f(v)=0, \forall f \in V_{i}^{*}, i=1,2\right\} \end{aligned} $$ 证明：$\displaystyle W=W_{1}+W_{2}$ ．

8、（10 分）设 $\displaystyle B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}, C \in \mathbb{R}^{2 \times n}, D \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，且 $\displaystyle B, D$ 均为对称矩阵．设 $B$ 的两个特征值为 $\displaystyle \mu_{1}, \mu_{2}$ 。矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}B & C \\ C^{T} & D\end{array}\right)$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+2}$ ．求证： $\displaystyle \min \left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n+2}\right\} \leq \min \left\{\mu_{1}, \mu_{2}\right\}$ ．

4、设 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 为实数域，$\displaystyle \beta, \gamma \in \mathbb{R}^{n \times 1}, a \in \mathbb{R}$ ，证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \beta \\ \gamma^{T} & a\end{array}\right|=a|A|-\gamma^{T} A^{*} \beta$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{A}^{*}$ 为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的伴随矩阵．

5、设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 都是有限维线性空间 $V$ 的子空间，证明： $$ \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{2} \cap V_{3}\right)+\operatorname{dim}\left(\left(V_{2}+V_{3}\right) \cap V_{1}\right) . $$

6、设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 为实正定矩阵，证明：$\displaystyle |A| \leq a_{11} a_{22} \cdots \cdots a_{n n}$ ．

7、设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实对称矩阵，线性变换 $\displaystyle \varphi: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}$ 定义为： $$ \varphi(X)=A X A,\left(\forall X \in \mathbb{R}^{n \times n}\right) . $$ （1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{1} \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的特征值． （2）证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角矩阵。

8、已知 $n$ 阶复方阵 $A$ 与 $B$ 的秩相等，且 $\displaystyle A^{2} B=A$ ，证明：$\displaystyle B^{2} A=B$ ．

二．计算 $n$ 阶行列式 $$ A=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 3 & 4 & \cdots & n & 1 \\ 3 & 4 & 5 & \cdots & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & \cdots & 2 & 3 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & & \cdots \\ n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \end{array}\right| . $$ 三设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是数域 $F$ 上的线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的非平凡不变子空间，在 $W$ 中取一个基 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ ，把它扩充成 $\displaystyle I^{\prime}$ 的一组基 $\displaystyle a_{1}, \cdots, a_{r}, a_{r+1}, \cdots, a_{n}, \mathcal{A}$ 在 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 下的矩 阵为 $$ \left(\begin{array}{ll} A_{1} & A_{3} \\ O & A_{2} \end{array}\right) . $$ 其中 $\displaystyle A_{1}$ 为 $r$ 阶方阵，定义 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}: V / W \rightarrow V / W, a+W \rightarrow \mathcal{A} a+W$ 。证明： （1）$\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 是 $\displaystyle V / W$ 上的线性变换； （2）$\displaystyle A_{2}$ 是 $\displaystyle \overline{\mathcal{A}}$ 在基 $\displaystyle a_{r+1}+W, \cdots, a_{n}+W$ 下的矩阵。

六．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．七．设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $F$ 上的一个次数大于 0 的一元多项式，证明：$\displaystyle f(x)$ 是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是对数域 $F$ 上的任意多项式 $\displaystyle g(x)$ ，有 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或者存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．

四．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为实数域上的 $n$ 阶矩阵，证明： （1）若 $\displaystyle \left|a_{i i}\right|>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle |A| \neq 0$ ； （2）若 $\displaystyle a_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ，则 $\displaystyle |A|>0$ ．

七．（18 分）设 $m$ 为正整数，$\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 为数域 $P$ 上的非零多项式，证明：$\displaystyle g^{m}(x) \mid f^{m}(x)$ 的充分必要条件是 $\displaystyle g(x) \mid f(x)$ 。

三．（18 分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{s}$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的 $s$ 个非平凡子空间，证明：$V$ 中至少存在向量 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle \alpha \notin V_{i}, i=1,2, \cdots, s$ ．

五．（12分）设有齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \quad \cdots \cdots \\ a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0 \end{array}\right. $$ $\displaystyle M_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 为系数矩阵 $A$ 划去地 $i$ 列剩下的 $\displaystyle (n-1) \times(n-1)$ 矩阵的行列式。证明：如果秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ，则 $\displaystyle \eta_{0}=\left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个基础解系．

八．（12分）设 $\displaystyle \alpha$ 是欧氏空间 $V$ 的一个非零向量，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m} \in V$ 满足 $$ \left(\alpha_{i}, \alpha\right)>0(i=1,2, \cdots, n) ;\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right) \leq 0(i, j=1,2, \cdots, m ; i \neq j) $$ 其中符号 $\displaystyle (x, y)$ 表示向量 $\displaystyle x, y$ 的内积。证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关。

六．（18 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}, C=\left(a_{i j} b_{i j}\right)_{n \times n}$ ．证明：若 $\displaystyle A, B$ 均是正定矩阵，则 $C$ 也是正定矩阵。

四．（12 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（ $\displaystyle \varepsilon$ 是 $V$ 的恒等变换）．证明：对 $V$ 中每个向量 $\displaystyle \alpha$ ，存在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2} \in V$ ，使得 $\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=-\alpha_{2}$ ，且 $\displaystyle \alpha$ 可唯一地表示成 $\displaystyle \alpha_{1}$ 与 $\displaystyle \alpha_{2}$ 之和（即 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}$ 表示唯一）．

七、（16 分）$\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是从 $V$ 到 $\displaystyle \sigma$ 像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma$ 的正交投影．

三、（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的一个 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 可对角化的充分必要条件是： $\displaystyle \mathbf{A}$ 的特征多项式 $\displaystyle \left|\mathbf{\lambda} \mathbf{E}_{n}-\mathbf{A}\right|$ 在复数域中的全部根都属于数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 数学 （从而每个根都是 $A$ 的特征值），并且每一根 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$ 的重数等于 $A$ 的属于特征值 $\displaystyle \mathbf{\lambda}_{i}$的特征子空间的维数．

五、（15 分）已知 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级实对称矩阵，满足：$\displaystyle A B=B A$ ，证明：存在正交矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{T} A T, T^{T} B T$ 同时为对角矩阵。

八、（10 分）$A$ 为 $n$ 级矩阵，$E$ 为 $n$ 级单位矩阵，$\displaystyle A^{4}=E$ ，证明： $$ r(E-A)+r\left(E+A+A^{2}+A^{3}\right)=n . $$

四、（15 分）证明：设 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0},\left(a_{n} \neq 0\right)$是整系数多项式，若有素数 $p$ ，使得：（a）$\displaystyle p \mid a_{i},(i=0,1,2, \cdots, n-1)$ ； （b）$\displaystyle p \dagger a_{n}$ ；（c）$\displaystyle p^{2} \dagger a_{0}$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约。

七．（ 15 分）证明：$\displaystyle f(x)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}$ 无重根．

三．（20分）已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \\ -2 & 6 & 4 \end{array}\right) $$ $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times 5}$ 为实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的所有 $\displaystyle n \times 5$ 矩阵构成的线性空间，$\displaystyle W=\left\{B \in \mathbb{R}^{n \times 5} \mid B A=O\right\}$ ，其中 $O$ 为零矩阵． （1）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times 5}$ 的子空间； （2）求 $W$ 的一组基和维数．

五．（20 分）$\displaystyle P^{2 \times 2}$ 为数域 $P$ 上的 $\displaystyle 2 \times 2$ 方阵构成的线性空间．令 $\displaystyle \sigma: P^{2 \times 2} \rightarrow P^{2 \times 2}$ ，对任意的 $\displaystyle X \in P^{2 \times 2}$ ，有 $\displaystyle \sigma(X)=A X B$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的基 $\displaystyle E_{11}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{12}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), E_{21}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right), E_{22}=\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 下的表示矩阵。 （3）是否存在 $\displaystyle P^{2 \times 2}$ 的某组基，使得 $\displaystyle \sigma$ 在此基下的矩阵为对角阵？存在的话，求出基和对应的对角阵。

八．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，$B$ 为 $m$ 阶复方阵，且存在秩为 $r$ 的矩阵 $X$ 满足 $\displaystyle A X=X B$ ，其中 $\displaystyle 1 \leq r \leq \min \{n, m\}$ ．证明：$A$ 与 $B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（重根按重数计算）．

六．（20 分）$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性反称变换，即对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $\displaystyle (\sigma(\alpha), \beta)+(\alpha, \sigma(\beta))=0$ ，其中 $\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示欧氏空间的内积。证明：存在 $V$ 的一组标准正交基，使得 $\displaystyle \sigma^{2}$ 在此组基下的矩阵为对角阵。

2、 $\beta$ 可由 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 唯一的线性表示，并求出表示式。

1、求 $V$ 的一组基 $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}$ ，使得 $\varphi$ 在该组基下的矩阵为若当尔标准形矩阵。

3．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其元素 $\displaystyle a_{i j}$ 都为整数 $\displaystyle (i, j=1,2, \cdots, n)$ ．令 $$ d=\left|\begin{array}{ccccc} a_{11}-\frac{1}{k} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22}-\frac{1}{k} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \cdots & a_{n n}-\frac{1}{k} \end{array}\right| . $$ 这里 $k$ 为正整数且 $\displaystyle k \geq 2$ ．证明：$\displaystyle d \neq 0$ ．

5．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，设 $\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，记齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系为 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r}$ ，其中 $r$为矩阵 $A$ 的秩，令 $\displaystyle \beta_{i}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) \eta_{i}(i=1,2, \cdots, n-r)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n-r}\right)$ 。

6．（15 分）设 $B$ 为正定矩阵，$\displaystyle A-B$ 为半正定矩阵．证明： （1）满足 $\displaystyle |A-2 \lambda B|=0$ 的所有 $\displaystyle \lambda$ 都不小于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （2）$\displaystyle |A| \geq|B|$ ．

9．（20 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，若 $\displaystyle \alpha$ 为任意的 $n$ 维非零列向量，$\displaystyle B=A \alpha \alpha^{T}$ ． （1）证明：$\displaystyle \left|\lambda E_{n}-B\right|=\lambda^{n-1}\left(\lambda-\alpha^{T} A \alpha\right), E_{n}$ 为 $n$ 阶单位矩阵。 （2）求 $B$ 最大的特征值 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ ． （3）求 $B$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}$ 的特征子空间的维数与一组基．

二．证明题（ 15 分） 设 $A$ 是 $n$ 阶非零矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 1$ ，记矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，若 $\displaystyle A^{2}=O, O$ 为零矩阵． （1）证明：$\displaystyle r(A) \leq \frac{n}{2}$ ． （2）若已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 有解，证明：该方程组的线性无关的解向量的最大个数为 $\displaystyle n-r+1$.

五．简单题（ 20 分） 设 $V$ 为 $n$ 阶实方阵全体在矩阵的加法和数乘运算下构成的实数域上的线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\displaystyle A \in V$ ，都有 $\displaystyle \sigma(A)=2 A^{\mathrm{T}}$ ． （1）求 $\displaystyle \sigma$ 的特征值． （2）求 $\displaystyle \sigma$ 的属于每一个特征值的特征子空间的维数和一组基． （3）证明：$V$ 恰为 $\displaystyle \sigma$ 的所有特征子空间的直和．

八．证明题（15分） 设 $n$ 为正整数，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ 是 $n$ 个多项式，若 $$ \left(x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1\right) \mid\left(f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x^{n-1} f_{n}\left(x^{n+1}\right)\right) . $$ 证明：$\displaystyle (x-1)^{n} \mid f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{n}(x)$ ．

四．证明题（20分） 设 $V$ 是实数域的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \left\{\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n}\right\}$ 是 $V$ 的一组基，令 $\displaystyle \xi_{n+1}=-\xi_{1}-\xi_{2}-\cdots-\xi_{n}$ ．证明： （1）对 $\displaystyle i=1,2, \cdots, n+1,\left\{\xi_{1}, \cdots, \xi_{i-1}, \xi_{i+1}, \cdots, \xi_{n+1}\right\}$ 都构成 $V$ 的基． （2）对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，在（1）中的 $\displaystyle n+1$ 组基中，存在一组基使得 $\displaystyle \alpha$ 在此基下的坐标分量均为非负．

10．证明双曲抛物面同族的任意两条直母线必是异面直线，且同族的整体 直母线平行于同一个平面

3．设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的一个 $m$ 次多项式，$n$ 是大于 $m$ 的正整数，证明：$\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根．

4．证明：秩等于 $r$ 的矩阵可以表示为 $r$ 个秩等于 1 的矩阵之和，但不能表示为少于 $r$ 个秩等于 1 的矩阵之和。

5．设 $A$ 是 $n$ 阶实满秩矩阵，证明：存在正交矩阵 $\displaystyle P_{1}, P_{2}$ 使得 $$ P_{1}^{-1} A P_{2}=\left(\begin{array}{llll} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0(i=1,2, \cdots, n)$ ．

7．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式为 $$ f(x)=\left(x-\lambda_{1}\right)^{m_{1}}\left(x-\lambda_{2}\right)^{m_{2}}, \lambda_{1} \neq \lambda_{2} $$ 其中 $\displaystyle m_{1}+m_{2}=n$ ． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}}$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，其中 $\displaystyle \mathscr{E}$ 是恒等变换． （2）证明：$\displaystyle V=\operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{1} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{1}} \oplus \operatorname{Ker}\left(\left(\varphi-\lambda_{2} \mathscr{E}\right)\right)^{m_{2}}$ ．

9．设函数 $\displaystyle f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}, f(M)=A x+B y+C z+D$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 是不全为零的实数，$\displaystyle M(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}$ ，证明：如果三点 $\displaystyle M_{0}, M_{1}, M_{2}$ 共线，且 $\displaystyle \vec{M}_{1} \vec{M}_{0}=\lambda \overrightarrow{M_{0} M_{2}}, \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq-1$ ，那么 $$ f\left(M_{0}\right)=\frac{f\left(M_{1}\right)+\lambda f\left(M_{2}\right)}{1+\lambda} $$

4．（15 分）设 $A$ 是 $m$ 行 $n$ 列矩阵，$B$ 是 $n$ 行 $s$ 列矩阵．证明： （1）（5 分）若 $A B=O$ ，则 $r(A)+r(B) \leq n$ ． （2）（10 分）$r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$ ．

5．（10 分）设矩阵 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，且 $A B=B A$ ，证明：$A B$ 也是正定矩阵。

6．（15 分）设 $f(x), g(x)$ 是多项式，且 $x^{2}+x+1$ 整除 $f\left(x^{3}\right)+x g\left(x^{3}\right)$ ． （1）（10 分）证明：$x-1$ 整除 $f(x)$ ，且 $x-1$ 整除 $g(x)$ ． （2）（5 分）若 $f(x)$ 是 $x-1$ 的方幂，$h(x)$ 和 $q(x)$ 是多项式，且 $f(x) \mid h(x) q(x)$ ．证明：或者 $f(x)$整除 $h(x)$ ，或者 $f(x)$ 整除 $q(x)$ 的某个方幂。

7．（15 分）设 $V$ 是有限维向量空间，$\Phi$ 和 $\Psi$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $\Phi \Psi=\Psi \Phi$ ． （1）（5 分）若 $M$ 是 $\Phi$ 的不变子空间，则 $\Psi(M)$ 也是 $\Phi$ 的不变子空间． （2）（10 分）若 $\Phi$ 和 $\Psi$ 都可对角化，证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $\Phi$ 和 $\Psi$ 在这组基下的矩阵都是对角矩阵。

8．（15分）空间直角坐标系下，已知两异面直线的方程分别为 $$ l_{1}: \frac{x}{2}=\frac{y+2}{-2}=\frac{z-1}{-1}, \quad l_{2}: \frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+1}{-1} . $$ （1）（10 分）求两条异面直线的公垂线方程． （2）（5 分）求该公垂线在坐标平面 $x O y$ 的射影直线方程．

3．（15 分）已知 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵，$B$ 是 $\displaystyle n \times m$ 阶矩阵。证明： $$ \left|\begin{array}{cc} E_{n} & B \\ A & E_{m} \end{array}\right|=\left|E_{m}-A B\right|=\left|E_{n}-B A\right| . $$

4．（15 分）已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，证明： $$ (\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^{n}\left(\alpha, \varepsilon_{i}\right)\left(\beta, \varepsilon_{i}\right) . $$

5．（20 分）对于有限维线性空间 $\displaystyle V, \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换，证明：存在 $V$ 上的两个线性变换 $\displaystyle \mathscr{D}, \mathscr{N}$ ，满足 （1） $\displaystyle \mathscr{D}$ 可对角化． （2） $\displaystyle \mathscr{N}$ 为幂零变换． （3） $\displaystyle \mathscr{A}=\mathscr{D}+\mathscr{N}, \mathscr{D} \mathscr{N}=\mathscr{N} \mathscr{D}$ ．

6．（20 分）设 $\displaystyle \varphi, \theta$ 是线性空间 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle f(x), g(x)$ 分别为 $\displaystyle \varphi, \theta$ 的特征多项式． （1）若 $\displaystyle h(x)$ 是一个多项式，$a$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，证明：$\displaystyle h(a)$ 是 $\displaystyle h(\varphi)$ 的一个特征值． （2）若 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 互素，证明：$\displaystyle f(\theta)$ 和 $\displaystyle g(\varphi)$ 都是可逆的线性变换．

2．计算行列式 $$ D_{n}=\left|\begin{array}{cccc} 1+a b & 1+a b^{2} & \ldots & 1+a b^{n} \\ 1+a^{2} b & 1+a^{2} b^{2} & \ldots & 1+a^{2} b^{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1+a^{n} b & 1+a^{n} b^{2} & \ldots & 1+a^{n} b^{n} \end{array}\right| $$

3．已知实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}(a>0) $$ 在正交变换下可化为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+c y_{3}^{2}$ ． （1）写出二次型对应的实对称矩阵 $A$ ，给出 $c$ 的值． （2）求矩阵 $A-E$ 的秩，并求 $a, b$ ．

4．已知 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，其特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=0, \alpha_{1}=(1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1,-2)^{\mathrm{T}}$分别是特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 对应的特征向量，求矩阵 $A$ 。

5．设 $P^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $$ G_{1}=\left(\begin{array}{cc} a & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right), G_{2}=\left(\begin{array}{cc} 1 & a \\ 1 & 1 \end{array}\right), G_{3}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ a & 1 \end{array}\right), G_{4}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & a \end{array}\right) $$ 讨论由 $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ 生成的子空间 $L\left(G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}\right)$ 的维数并给出相应的一组基。

6．线性空间 $P^{3}$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) $$ 向量 $\xi$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标为 $(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ． （1）求 $\sigma(\xi)$ ． （2）求 $\sigma$ 的特征值和特征向量． （3）判断是否存在 $P^{3}$ 的一组基，使得 $\sigma$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。

14．设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 为 $V$ 的标准正交基，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中的一组向量，并满足 $\left|\varepsilon_{i}-\alpha_{i}\right|<\frac{1}{\sqrt{n}}(n=1,2, \cdots, n)$ ，其中 $|\alpha|$ 表示 $\alpha$ 的模长．证明：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关．

一，（15 分）设非零的复系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有重因式，证明： $\displaystyle \left(f(x)+f^{\prime}(x), f(x)\right)=1$.

九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $n$ 维欧式空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数。证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有一非零向量与 $\displaystyle V_{1}$ 中任一向量正交．

五，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 级方阵，证明：线性方程组 $\displaystyle A B x=0$与 $\displaystyle B x=0$ 同解的充分必要条件是秩 $\displaystyle (A B)=$ 秩 $\displaystyle (B)$ ．

八，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$T$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换， $\displaystyle T^{-1}(0)=\{\xi \in V \mid T \xi=0\}$ 是 $T$ 的核，$\displaystyle T(V)=\{T \xi \mid \xi \in V\}$ 是 $T$ 的值域。证明 $\displaystyle T(V) \subseteq T^{-1}(0)$的充分必要条件是 $\displaystyle T^{2}$ 是零变换．

六，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换． 证明（1）若 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的两个不同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的分别属于特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$的特征向量，则 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}$ 不是 $\displaystyle \sigma$ 的特征向量． （2）如果线性变换 $\displaystyle \sigma$ 以 $V$ 中每个非零向量作为它的特征向量，那么 $\displaystyle \sigma$ 是数乘变换

四，（20 分）设 $a$ 是一个 $n$ 维非零的列向量，$\displaystyle a^{T}$ 是 $A$ 的转置，$E$ 是 $n$ 级单位矩阵， $\displaystyle A=E-a a^{T}$. （1）证明：$\displaystyle A^{2}=A$ 当且仅当 $\displaystyle a a^{T}=1$ ； （2）当 $\displaystyle a a^{T}=1$ 时；方阵 $A$ 的行列式等于零．

一，（20 分）设 $k$ 和 $n$ 都是正整数，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{n}-1, d(x)=x^{k}-1$ ，证明： $\displaystyle d(x)$ 整除 $\displaystyle f(x)$ 当且仅当 $k$ 整除 $n$ ．

九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, B=\left(b_{i j}\right)$ 都是正定矩阵， $\displaystyle c_{i j}=a_{i j} b_{i j},(i, j=1,2, \cdots, n)$ ，证明：$n$ 级方阵 $\displaystyle C=\left(c_{i j}\right)$ 也是正定矩阵。

二，（ 15 分 ）设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 和 $\displaystyle f_{2}(x)$ 都 是 非 零 的 复 系 数 多 项 式，且 $\displaystyle \left(x^{2}+x+1\right) \mid\left(x f_{1}\left(x^{3}\right)+f_{2}\left(x^{3}\right)\right)$ ，证明：$\displaystyle (x-1) \mid\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ ．

八，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$T$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换， $\displaystyle T^{2}=T, T^{-1}(0)=\{\xi \in V \mid T \xi=0\}$ 是 $T$ 的核，$\displaystyle T(V)=\{T \xi \mid \xi \in V\}$ 是 $T$ 的值域。证明 （1）$\displaystyle T^{-1}(0)=\{\xi-T \xi \mid \xi \in V\}$ ； （2）$\displaystyle V=T^{-1}(0) \oplus T(V)$

六，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换．，$\displaystyle \xi \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{n-1}(\xi) \neq 0$ 但 $\displaystyle \sigma^{n}(\xi) \neq 0$ ，证明 （1）向量组 $\displaystyle \xi, \sigma(\xi), \cdots \sigma^{n-1}(\xi)$ 是线性无关的； （2）$\displaystyle \sigma$ 在一组基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0\end{array}\right)$

四，（20 分）设 $n$ 是一个正整数，$A$ 是一个 $n$ 级实矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 是 $A$ 的转置矩阵，$b$一个 $n$ 维实的列向量，证明：线性方程组 $\displaystyle A^{T} A x=A^{T} b$ 必定有解．

一，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle f(x)$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 次多项式，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$整除 $\displaystyle f(x)$ ，则存在 $\displaystyle a, b \in P$ ，使得 $\displaystyle f(x)=a(x-b)^{n}$ ．

九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$A$ 是一个 $n$ 级实方阵，满足 $\displaystyle A^{3}+A=0$ ，证明：矩阵 $A$ 的迹是零．

八，（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，且 $\displaystyle f(x)=g(x) h(x)$ ， $\displaystyle (g(x), h(x))=1, \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle K, U, W$ 分别是 $V$ 的线性变换 $\displaystyle f(\sigma), g(\sigma), h(\sigma)$ 的核，证明：$\displaystyle K=U \oplus W$ ．

六，（20 分）设三个向量 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 线性相关，但其中任意两个都线性无关。证明 （1）若有常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 使得 $\displaystyle k_{1} \alpha+k_{2} \beta+k_{3} \gamma=0$ ，则这些 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 或者全为零，或者全部为零； （2）若有两组常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, k_{3}$ 和 $\displaystyle l_{1}, l_{2}, l_{3}$ ，使得 $\displaystyle k_{1} \alpha+k_{2} \beta+k_{3} \gamma=0$ 且 $\displaystyle l_{1} \alpha+l_{2} \beta+l_{3} \gamma=0$ ， 其中 $\displaystyle l_{1} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{k_{1}}{l_{1}}=\frac{k_{2}}{l_{2}}=\frac{k_{3}}{l_{3}}$ ．

四，（15 分）设 $\displaystyle m, n, r$ 都是正整数，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：存在秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times r$ 矩阵和秩为 $r$ 的 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ．

七，（20 分）设向量组 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性 变换，且 $\displaystyle \sigma \alpha=\alpha+\beta+\gamma, \sigma \beta=\beta+\gamma, \sigma \gamma=\gamma$ ． （1）证明 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一可逆线性变换； （2）求线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle 3 \sigma-2 \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 下的矩阵。

九，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle A, B$ 都是数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A B=B A$ ，又有一个正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ，证明，矩阵 $\displaystyle A+B$ 的行列式等于矩阵 $B$ 的行列式，即 $\displaystyle |A+B|=|B|$ ．

五，（15 分）设 $n$ 是一个正整数，$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级实对称矩阵，证明： （1）矩阵 $A$ 的特征值都是实数． （2）若矩阵 $A$ 的特征值都大于 $a$ ，矩阵 $B$ 的特征值都大于 $b$ ，则矩阵 $\displaystyle A+B$ 的特征值都大于 $\displaystyle a+b$ 。

六，（20 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots \alpha_{s}$ 是线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $s$ 个解，其中 $b$ 是非零向量，证明： （1）若常数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots k_{s}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} k_{i} \alpha_{i}=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} k_{i}=0$ ． （2）若常数 $\displaystyle h_{1}, h_{2}, \cdots, h_{s}$ ，使得 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} h_{i} \alpha_{i}$ 是线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的解，则 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s} h_{i}=1$

一，（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 为互不相同的四个整数，若 $\displaystyle f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)=f\left(a_{3}\right)=f\left(a_{4}\right)=1$ ，证明：对于任意整数 $\displaystyle n, f(n)-1$ 一定不为素数．

三，（15 分）设 $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，$A$ 为 $n$ 阶实矩阵，且满足 $\displaystyle A^{2}+2 A+2 E=0$ ．证明（1）对于任意实数 $a$ ，方阵 $\displaystyle A+a E$ 都是可逆矩阵。 （2）将 $\displaystyle A+3 E$ 的逆矩阵表示为 $A$ 的多项式．

九，（15 分）设 $A$ 为复数域上的 $n$ 阶方阵，证明：存在两个对称矩阵 $\displaystyle A_{1}$ 和 $\displaystyle A_{2}$ ，使得 $\displaystyle A=A_{1} A_{2}$ ．

五，（20 分）已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m-1}(m \geq 2)$ 线性相关，向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots \alpha_{m}$ 线性无关．证明（1）$\displaystyle \alpha_{1}$ 可以由 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots \alpha_{m}$ 线性表出，且表示方式唯一； （2）$\displaystyle \alpha_{m}$ 不能由 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m-1}$ 线性表出．

八，（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实方阵，证明： （1）$\displaystyle r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$ ； （2）若存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=0$（即 $A$ 为幂零矩阵），则 $\displaystyle r(A) \leq \frac{n(k-1)}{k}$ ．

六，（15 分）设 $\displaystyle f, g$ 为线性空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle f^{2}=f, g^{2}=g$ 。证明：$f$ 与 $g$ 由相同核的充分必要条件是 $\displaystyle f g=f$ 且 $\displaystyle g f=g$ ．

一，（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), g_{1}(x), g_{2}(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，$\displaystyle a \in P$ 满足 $\displaystyle f_{1}(a)=0, g_{2}(a) \neq 0$ ，且 $\displaystyle f_{1}(x) g_{1}(x)+f_{2}(x) g_{2}(x)=x-a$ 。证明：$\displaystyle \left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)=x-a$ ．

七，（15分）设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 为 $A$ 的转置矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。若 $\displaystyle E-A A^{T}$ 是可逆矩阵，证明： （1）$\displaystyle E-A^{T} A$ 也是可逆矩阵； （2）$\displaystyle A^{T}\left(E-A A^{T}\right)^{-1}=\left(E-A^{T} A\right)^{-1} A^{T}$ ．

九，（15 分）设 $J$ 为一个 $k$ 级若尔当块，$A$ 为 $n$ 阶复矩阵，$\displaystyle J^{T}$ 和 $\displaystyle A^{T}$ 分别为 $J$ 和 $A$的转置矩阵，证明： （1）$\displaystyle J^{T}$ 和 $J$ 是相似的； （2）存在 $n$ 阶可逆实对称矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=A^{T}$ ．

二，（15 分）设 $m$ 是正整数，$\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，$\displaystyle f(x)$ 的次数 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1 . a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{s}$ 为互不相同的整数，$\displaystyle s>2 m$ ，且 $\displaystyle f\left(a_{i}\right)=1$ 或 $\displaystyle -1, i=1,2, \cdots, s$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $Q$ 上不可约．

五，（20 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间，$V$ 的线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 下的矩阵为 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ，向量 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}, \eta_{2}=2 \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}, \eta_{3}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{3}$ ． （1）证明：$\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \cdot \eta_{3}$ 也是 $V$ 的一组基； （2）求线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} . \eta_{3}$ 下的矩阵； （3）求矩阵 $\displaystyle A^{2018}$ ．

八，（20 分）设 $\displaystyle S, A$ 是 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle P=S+A, \alpha^{T}$ 是向量 $\displaystyle \alpha$ 的转置。证明： （1）$A$ 为反对称矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha^{T} A \alpha=0$ ，对任意实的 $n$ 维列向量 $\displaystyle \alpha$ 都成立。 （2）若 $S$ 是对称矩阵，$A$ 是反对称矩阵，则 $S$ 为正定矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha^{T} P \alpha>0$ ，对任意实的 $n$ 维非零列向量 $\displaystyle \alpha$ 都成立．

四，（15 分）设 $A$ 为数域 $P$ 上的 $\displaystyle n \times s$ 矩阵，证明：秩 $\displaystyle (A)<n$ 的充分必要条件是存在非零矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B A=0$ ．

1、分别求出 $f$ 的值域 $f(V)$ 与核 $f^{-1}(0)$ 的维数及一组基；

2、可逆阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵．

1、 $A$ 的行列式因子、不变因子及初等因子；

2、 $A$ 的最小多项式及若尔当（Jordan）标准形．

四、（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为两个 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：$A$ 的行向量组与 $B$ 的行向量组等价的充分必要条件是线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle B X=0$ 同解．

1、 $\gamma_{0}, \beta_{1}=\gamma_{0}-\eta_{1}, \beta_{2}=\gamma_{0}-\eta_{2}, \cdots, \beta_{t}=\gamma_{0}-\eta_{t}$ 是线性方程组 $A X=\beta$ 的一组线性无关的解．

2、 $\left|A^{*}\right|=|A|^{n-1}$ 且 $\left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ．

1、写出 $f$ 在基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 下的矩阵；

2、求出 $f$ 的值域 $f(V)$ 的维数及一组基；

3、判断 $f(V) \cup f^{-1}(0)$ 是否为 $V$ 的一个线性子空间？并说明理由．

2、求矩阵 $A$ 及行列式 $\left|\left(A+A^{*}-2 E\right)^{1010}\right|$ ，其中 $A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$E$ 为 3 阶单位阵．

九、（15 分）设 $A$ 是 $n$ 阶非零实反对称矩阵。证明： （1）$A$ 的特征值只能为 0 或纯虚数； （2）矩阵 $\displaystyle T=(E+A)^{-1}(E-A)$ 为正交矩阵。

五、（ 15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，且 $\displaystyle A^{2}=2020 A$ ． （1）证明：秩 $\displaystyle (A)+$ 秩 $\displaystyle (A-2020 E)=n$ ； （2）若 $A$ 的秩为 $\displaystyle r>0$ ），求 $\displaystyle |E+A|$ 的值．

八、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle p(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的多项式，$k$ 是正整数。 （1）证明：若 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle \left(f(x), f^{\prime}(x)\right)$ 的 $k$ 重因式，则 $\displaystyle p(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的 $\displaystyle k+1$ 重因式； （2）若 $\displaystyle f(x)=x^{5}-x^{4}-x^{3}-11 x^{2}-8 x-12$ ，将 $\displaystyle f(x)$ 在有理数范围内因式分解．

六、（20 分）设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 是向量空间 $V$ 的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ 。证明： （1） $\displaystyle \mathcal{A}$ 为可逆变换当且仅当 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为恒等变换； （2） $\displaystyle \mathcal{A}$ 的特征值只能为 0 或 1 ； （3）若 $\displaystyle V_{0}, V_{1}$ 分别是特征值 0,1 的特征子空间，则 $\displaystyle V_{1}=\mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V, V_{0}=\mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．

九，（15 分）证明：任意一个实可逆矩阵都可以分解为一个正交矩阵与一个主 对角线元都为正数的上三角矩阵的乘积，并且这种分解是唯一的．

五，（15 分）已知 $m$ 个向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots \alpha_{m}$ 线性相关，但其中 $\displaystyle m-1$ 个都线性无关。证明 （1）如果等式 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+\cdots+k_{m} \alpha_{m}=0$ ，则这些 $\displaystyle k_{1}, \cdots k_{m}$ 或者全为零，或者全不为零； （2）如果存在两个等式 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+\cdots+k_{m} \alpha_{m}=0$ 与 $\displaystyle l_{1} \alpha_{1}+\cdots+l_{m} \alpha_{m}=0$ ，其中 $\displaystyle l_{1} \neq 0$ ，则 $\displaystyle \frac{k_{1}}{l_{1}}=\frac{k_{2}}{l_{2}}=\cdots=\frac{k_{m}}{l_{m}}$.

六，（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 是 $V$ 的两个线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}$有 $n$ 个互异的特征值，证明：若 $\displaystyle \mathcal{A} \mathcal{B}=\mathcal{B} \mathcal{A}$ ，则 $\displaystyle \mathcal{B}$ 是 $\displaystyle \varepsilon, \mathcal{A}^{1}, \mathcal{A}^{2}, \cdots, \mathcal{A}^{n-1}$ 的线性组合。

四，（15 分）设非齐次线性方程组 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right)(*)$ 有解，其系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，证明非齐次线性方程组（＊）有 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解，且任意的解可由其线性表示。

三．（10 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r-1}(r \geq 3)$ 线性相关，向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关．证明 （1）向量 $\displaystyle \alpha_{1}$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表出，且表出方式唯一； （2）向量 $\displaystyle \alpha_{r}$ 不能由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r-1}$ 线性表出．

九．设 $J$ 为 $k$ 阶若当（Jordan）块，证明： （1）存在两个 $k$ 阶对称矩阵 $\displaystyle S_{1}, S_{2}$ ，使得 $\displaystyle J=S_{1} S_{2}$ ； （2）任一 $n$ 阶复方阵 $A$ 都可以分解为两个对称矩阵的乘积。

五．（20 分）设 $P$ 是数域，$n$ 是正整数，数域 $P$ 上线性空间 $$ V=\{f(x) \in P[x] \mid \partial(f(x))<n\} \cup\{0\}, $$ 定义 $V$ 上的一个线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $\displaystyle \mathcal{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ，其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的一阶微商． （1）分别求出 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的值域 $\displaystyle \mathcal{A} V$ 与 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}$（0）的一组基与维数； （2）证明：$\displaystyle V=\mathcal{A} V \oplus \mathcal{A}^{-1}(0)$ ．

八．设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A+B, E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，证明： （1）$\displaystyle B-E$ 可逆，且 $\displaystyle A B=B A$ ． （2）若 $A$ 是幂零矩阵（即存在正整数 $k$ ，使 $\displaystyle A^{k}=0$ ），则 $\displaystyle |A+B|=|B|$ ．

四．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，证明：秩 $\displaystyle (A-E)+$ 秩 $\displaystyle (A+2 E)=n$的充分必要条件是 $\displaystyle A^{2}=A+2 E$ ．

一、（15 分）已知 $\displaystyle f(x)=x^{4}-4$ ，证明：任何一个有理系数多项式 $\displaystyle g(x)$ ，有 $\displaystyle f(x) \mid g(x)$ 或 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ．

三、（15 分）设向量 $\displaystyle \beta$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表出，证明：若 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ ， $\displaystyle \cdots, \mathbf{\alpha}_{r}$ 线性无关，则表示法是唯一的，反过来也正确。

九、 $\displaystyle \left(7+8=15\right.$ 分）已知 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{cc}a & b \\ -b & a\end{array}\right) \right\rvert\, a, b \in \mathbb{R}\right\}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的实矩阵。 （1）证明：$W$ 为实矩阵集 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间． （2）求 $W$ 的一组基，并扩充为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，求 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}x & y \\ y & z\end{array}\right)$ 在该基下的矩阵。

五、（20 分）若二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}{ }^{2}+a x_{2}{ }^{2}+x_{3}{ }^{2}+2 b x_{2} x_{3}$ 经过正交变换 $\displaystyle x=P y$ 化为标准型 $\displaystyle y_{1}{ }^{2}+2 y_{2}{ }^{2}$ ，试求参数 $\displaystyle a, b$ 的值以及正交阵 $P$ ．六、（7＋8＝15分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle \mathscr{A}=\mathscr{A} \mathscr{A} \mathscr{A}=\mathscr{B} \mathscr{A}$ 。 （1）证明： $\displaystyle \mathscr{A} V=\mathscr{A}^{2} V, \operatorname{Ker} \mathscr{A}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{2}$ ． （2）$\displaystyle V=\mathscr{A} V \oplus \operatorname{Ker} \mathscr{A}$ ．

八、 $\displaystyle (\mathbf{1 0}+\mathbf{1 0}=\mathbf{2 0}$ 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为线性变换，且 $\displaystyle (\mathscr{A}, \mathbf{\alpha})=-(\mathbf{\alpha}, \mathscr{B} \mathbf{\beta})$ ． （1）若 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ，求 $\displaystyle \mathscr{F}$ 在该基下的矩阵 B． （2）证明： $\displaystyle \mathbf{V}=\mathscr{A} \mathbf{V} \oplus(\mathscr{P} \mathbf{V})^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle (\mathscr{B} \mathbf{V})^{\perp}$ 为 $\displaystyle \mathscr{P} \mathbf{V}$ 的正交补。

四、 $\displaystyle (8+7=15$ 分）若 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵。 （1）若 $B$ 为可逆矩阵，$\displaystyle E-A B$ 也可逆，证明：$\displaystyle A-B^{-1}$ 可逆． （2）若 $\displaystyle A B-B A=A$ ，证明：$A$ 不可逆．

1．（10 分）证明：对任意相异整数 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ ，多项式 $$ f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)-1 $$ 在有理数域上不可约．

4．（ 20 分）假设 $A$ 和 $B$ 是 $\displaystyle 3 \times 3$ 的实矩阵，且满足条件 $$ \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B)=\operatorname{det}(A+B)=\operatorname{det}(A-B)=0 . $$ 证明：对于任何实数 $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$ ，都有 $\displaystyle \operatorname{det}(x A+y B)=0$ ．

6．（20分）设 $V$ 是有限维内积空间， $\displaystyle \mathscr{P} \in L(V)$ 满足 $\displaystyle \mathscr{P}^{2}=\mathscr{P}$ ，证明： $\displaystyle \mathscr{P}$ 是某个子空间 $U$ 上的投影算子当且仅当 $\displaystyle \mathscr{P}$ 是自伴的．

7．（20 分）证明：实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的内积空间 $V$ 中保持任意两个向量内积不变的变换一定是线性的，从而是正交变换。

8．（20 分）任取数域 $F$ 上的一个 $\displaystyle m \times n$ 的矩阵 $\displaystyle A, n \times s$ 的矩阵 $B$ ． （1）证明：$\displaystyle r(A B)+n \geq r(A)+r(B)$ ，此处 $r$ 为矩阵的秩函数． （2）证明：上述等式成立当且仅当 $\displaystyle N(A) \subset C(B)$ ，此处 $\displaystyle N(A)$ 为矩阵 $A$ 的零空间，$\displaystyle C(B)$ 为矩阵 $B$ 的列空间．

1．（7分）给定数域 $K$ 上的对角矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{llll} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right) $$ 其中 $\lambda_{i} \neq \lambda_{j}(i \neq j)$ ，求与 $A$ 可交换的数域 $K$ 上的所有 $n$ 阶方阵。

2．（14 分）设 $A, B$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，$A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，$A B=B A$ ，证明：$A, B$ 可同时对角化．

2．（6 分）求 $a, b, c$ ，使线性方程组 $A X=B$ 有解 $x_{1}=1, x_{2}=a, x_{3}=b, x_{4}=c$ ．

1．（10 分）证明：$r(A) \leq 1$ 当且仅当存在列向量 $\alpha \in K^{m}, \beta \in K^{n}$ ，使得 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ．

2．（15 分）证明：$r(A)=r$ 当且仅当存在两个线性无关的列向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 和 $\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r}$ ，使得 $A=\alpha_{1} \beta_{1}^{\mathrm{T}}+\alpha_{2} \beta_{2}^{\mathrm{T}}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{\mathrm{T}}$ 。

七、（20 分）假设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 与 $\displaystyle f_{2}(x)$ 为次数不超过 3 的首项系数为 1 的互异多项式，且 $$ x^{4}+x^{2}+1 \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x^{4} f_{2}\left(x^{3}\right) $$ （1）证明：$\displaystyle x-1 \mid f_{1}(x)$ 且 $\displaystyle x-1 \mid f_{2}(x)$ ； （2）求 $\displaystyle f_{1}(x)$ 与 $\displaystyle f_{2}(x)$ 的最大公因式．

三、（20 分）设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵． （1）如果 $\displaystyle A^{k-1} \alpha \neq 0$ ，但 $\displaystyle A^{k} \alpha=0$ ，证明：$\displaystyle \alpha, A \alpha, \cdots, A^{k-1} \alpha(k>0)$ 线性无关； （2）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(A^{n+1}\right)=\operatorname{rank}\left(A^{n}\right)$ ．

六、（30 分）设 $\displaystyle V=R^{2 \times 2}$ 是实数域上所有 2 阶方阵构成的实数域上的线性空间， $$ A=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ \lambda & 1 \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{array}\right) \text {, 其中 } \lambda \text { 是参数. } $$ （1）任取 $\displaystyle X \in V$ ，证明：$\displaystyle \varphi(X)=A X B$ 是 $V$ 上的一个线性变换； （2）当 $\displaystyle \lambda \neq-1$ 时，证明：$\displaystyle \varphi$ 是一个可逆线性变换； （3）当 $\displaystyle \lambda=-1$ 时，求线性变换的 $\displaystyle \varphi$ 值域 $\displaystyle \varphi V$ 和核 $\displaystyle \varphi^{-1}(0)$ ，并在值域中取一组基，把它扩充成 $V$的一组基．

五、（20 分）$\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle f(x)=X^{\top} A X$ 是对应的二次型，$\displaystyle \lambda_{1}$ ， $\displaystyle \lambda_{2}$ 分别是 $A$ 的最小和最大特征值． （1）对任一 $n$ 维列向量 $X$ ，证明：$\displaystyle \lambda_{1} X^{\top} X \leq X^{-} A X \leq \lambda_{n} X^{\top} X$ ． （2）证明：$\displaystyle \lambda_{1} \leq \frac{1}{n} \sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \leq \lambda_{n}$ ．

八、（20 分）$\displaystyle A, B$ 为复数域上的 $n$ 阶方阵． （1）证明：若 $\displaystyle A, B$ 无公共特征值则 $\displaystyle A X=X B$ 只有重解。 $X$ 为 $n$ 阶方阵． （2）当 $\displaystyle A, B$ 特征值均不为零，证明：若 $\displaystyle A^{2}=B^{2}$ 则有 $\displaystyle A=B$ ．

四、（20 分）$A$ 为 $n$ 阶不可逆矩阵，证明：$A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 至少有 $\displaystyle n-1$ 个特征值为 0 ，另一个非零特征值（如果存在，它满足 $\displaystyle \operatorname{tr} A^{*}=A_{11}+A_{22}+\ldots+A_{n n}$ ）．

一．（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right), T=\left(\begin{array}{cccc} t & t & \cdots & t \\ t & t & \cdots & t \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ t & t & \cdots & t \end{array}\right) . $$ （1）证明：$\displaystyle |A+T|=|A|+t u$ ，其中 $\displaystyle u=\sum_{i, j=1}^{n} A_{i j}$ 为 $\displaystyle |A|$ 的所有元素的代数余子式之和． （2）利用（1）的结论计算 $n$ 阶行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{ccccc}a & b & b & \cdots & b \\ c & a & b & \cdots & b \\ c & c & a & \cdots & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ c & c & c & \cdots & a\end{array}\right|$ ．

三．（15 分）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{m \times n}, B \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ． （1）证明：$\displaystyle r\left(E_{m}+A B\right)-r\left(E_{n}+B A\right)=m-n$ ． （2）证明：当 $\displaystyle E_{m}+A B$ 可逆时，$\displaystyle E_{n}+B A$ 也可逆，并写出其逆矩阵．

九．（15 分）设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k}$ 和 $\displaystyle y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{k}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两个线性无关的向量组．证明：存在正交变换 $\displaystyle \varphi$ 使得 $\displaystyle \varphi\left(x_{i}\right)=y_{i}(i=1,2, \cdots, k)$ 的充要条件是 $\displaystyle \left(x_{i}, x_{j}\right)=\left(y_{i}, y_{j}\right)(i, j=1,2, \cdots, k)$ ．

二．（20分）设数域 $F$ 上 $n$ 阶上三角矩阵集合为 $\displaystyle S=\left\{A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(F) \mid a_{i j}=0\right.$ 当 $\displaystyle \left.i>j\right\}$ ．其中 $\displaystyle M_{n}(F)$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵全体构成的线性空间．求证： （1）$S$ 对矩阵加法和数乘封闭，因此是 $\displaystyle M_{n}(F)$ 的一个线性子空间． （2）$S$ 对矩阵乘法封闭，即若 $\displaystyle A, B \in S$ ，则 $\displaystyle A B \in S$ ． （3）若 $\displaystyle A \in S$ 可逆，则 $\displaystyle A^{-1} \in S$ ． （4）若 $\displaystyle A \in S$ 为严格上三角阵（即主对角线全为 0 ），则 $\displaystyle A^{n}=O$ ．

五．（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 1 & & & \\ & 0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & 1 \\ 1 & & & & 0 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccccc} c_{0} & c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_{0} & c_{1} & \ddots & \vdots \\ \vdots & c_{n-1} & c_{0} & \ddots & c_{2} \\ c_{2} & \ddots & \ddots & \ddots & c_{1} \\ c_{1} & c_{2} & \cdots & c_{n-1} & c_{0} \end{array}\right) $$ （1）用 $E$ 及 $A$ 的幂表示循环矩阵 $C$ ． （2）求 $\displaystyle A, C$ 的特征值及 $C$ 的行列式． （3）证明：$C$ 相似于对角阵．

八．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶正定矩阵，且 $A$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a, b), B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (c, d), a, b, c, d>0$ ．证明： （1）$\displaystyle A+B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a+c, b+d)$ ． （2）$\displaystyle A B$ 的特征值全属于 $\displaystyle (a c, b d)$ ．

十．（10 分）设 $f$ 是 $n$ 阶方阵全体构成的集合到数集上的映射，满足对任意的 $n$ 阶方阵 $A$ ，对任意的 $\displaystyle 1 \leq j \leq n$ ，对任意的常数 $c$ ，有 （1）若 $A$ 的第 $j$ 列等于 $B$ 和 $C$ 的第 $j$ 列之和，且 $A$ 的其余列与 $\displaystyle B, C$ 的对应列完全相同，则 $$ f(A)=f(B)+f(C) $$ （2）将 $A$ 的第 $j$ 列乘以 $c$ 得到 $B$ ，则 $\displaystyle f(B)=c f(A)$ ． （3）对换 $A$ 的任意两列得到 $B$ ，则 $\displaystyle f(B)=-f(A)$ ． （4）$\displaystyle f\left(E_{n}\right)=1$ ． 证明： （1）若 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，则 $$ f(A)=\sum_{\left(i_{1} i_{2} \cdots i_{n}\right) \in S_{n}} a_{i_{1} 1} a_{i_{2} 2} \cdots a_{i_{n} n} f\left(e_{i_{1}}, e_{i_{2}}, \cdots, e_{i_{n}}\right) . $$ 其中 $\displaystyle S_{n}$ 是 $\displaystyle 1,2, \cdots, n$ 的全排列，$\displaystyle e_{i 1}, e_{i_{2}}, \cdots, e_{i_{n}}$ 分别表示第 $\displaystyle i_{1}, i_{2}, \cdots, i_{n}$ 个元素为 1 其余元素为 0 的单位列向量． （2）$\displaystyle f(A)=|A|$ ，即 $\displaystyle f(A)$ 表示 $A$ 的行列式．

2．求一个可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P=B$ ．

1．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则 $A^{n}=0$ ；

八．令 $\displaystyle M_{n}$ 表示数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的一切 $n$ 阶方阵所组成的线性空间，设 $$ S=\left\{A \in M_{n} \mid A=A^{\prime}\right\}, T=\left\{A \in M_{n} \mid A=-A^{\prime}\right\} $$ 证明： 1．$\displaystyle S, T$ 都是 $\displaystyle M_{n}$ 的线性子空间； 2．$\displaystyle M_{n}=S \oplus T$ ．

六．设 $$ X=\left(\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right), $$ 其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A$ 是可逆对称矩阵．$\displaystyle B^{\prime}=C$ ，证明：存在可逆矩阵 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{\prime} X T$ 为分块对角阵。

十．设 $\displaystyle A, B, C \in P^{n \times n}$ ，试证： $$ \mathrm{r}(A B C) \geqslant \mathrm{r}(A B)+\mathrm{r}(B C)-\mathrm{r}(B) $$

四．称矩阵 $A$ 为幂零矩阵，如果存在正整数 $m$ 使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ，试证： 1．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则 $\displaystyle A^{n}=0$ ； 2．若 $A$ 为 $n$ 阶复幂零矩阵，则对任意非零常数 $\displaystyle k, A+k E_{n}$ 都可逆．

1．已知复系数非零多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有重因式．证明 $$ \left(f(x)+f^{\prime}(x), f(x) f^{\prime}(x)\right)=1 $$

10．设 $\displaystyle n(>1)$ 阶复矩阵 $A$ 的所有特征值均为 $\displaystyle 0, r(A)=n-1$ 。证明：不存在矩阵 $B$使 $\displaystyle B^{2}=A$ 。

5．设 $\displaystyle A \in P^{\text {mom }}$ 。证明： （1）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵 $\displaystyle P \in P^{m \times m}$ 使得 $\displaystyle A=P\binom{E_{n}}{0}$ ； （2）$A$ 为列满秩矩阵的充分必要条件是存在行满秩矩阵 $\displaystyle B \in P^{n \times m}$ 使得 $\displaystyle B A=E_{n}$ 。

6．证明：对会定的自然数 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 然系数多项式的体合 $$ V=\{f(x) \in R[x] \mid f(1)=0, \partial f(x)<n\} $$ 关于多项式的加法和数与多项式相乘构成实数域 $R$ 上的线性空间，并冰出 $V$ 的一组基。

7．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶实对称矩阵。证明 $A$ 与 $B$ 合同的充要条件是：$A$ 的正特征值的个数等于 $B$ 的正特征值的个数，$A$ 的负特征值的个数等于 $B$ 的负特征值的个数。

8．设 $\displaystyle V=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\ 0 & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}$ ，其中 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $V$ 的一个变族 $\displaystyle \varphi: \varphi(X)=A X, \forall X \in V$ 。 （1）证明 $\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 的特征值，特征向量： （3）是否存在 $V$ 的一组基，使 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为对角阵，为什么？

9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}, \beta_{1}, \cdots, \beta_{m}$ 为欧几里得空间 $V$ 的两组向量。始果 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ， $\displaystyle i, j=1, \cdots, m$ 。证明： （1）子空间 $\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \cdots, \beta_{m}\right)$（作为欧几里得空间）同构： （2）$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关当且仅当 $\displaystyle \left(\left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)\right)$ 为正定阵。

1．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}0 & a \\ b & c\end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c \in P\right\}, A=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，定义 $W$ 的一个线性变换 $\displaystyle \tau: \tau(X)=A X, \forall X \in W$ 。 （1）证明：$W$ 是 $P$ 上的线性空间； （2）证明：$\displaystyle \tau$ 是 $W$ 上的线性变换： （3）是否存在 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \tau$ 在该基下的矩阵是对角阵，为什么？

10．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, ~ B \in P^{n \times m}$ 。证明：除零特征值外，$\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle B A$的特征值相同，重数也相同。

3．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, B \in P^{n \times m}, C \in P^{m \times n}, A$ 可逆。证明分块阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & O\end{array}\right)$可逆的充要条件 $\displaystyle C A^{-1} B$ 可逆。

4．$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=X^{T} A X$ 是一实二次型，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是对称矩阵 $A$ 的特征多项式的根，且 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。 （1）证明：对任一 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，都有 $\displaystyle \lambda_{1} \leq f(X) \leq \lambda_{n}$ ； （2）证明：存在 $\displaystyle X \in R^{n},|X|=1$ ，使得 $\displaystyle f(X)=\lambda_{n}$ 。

5．欧氏空间 $V$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma$ 称为反对称的。如果对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ， $\displaystyle (\sigma \alpha, \beta)=-(\alpha, \sigma \beta)$ 。证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 为反对称的充要条件是，$\displaystyle \sigma$ 在一组标准正交基下的矩阵为反对称矩阵； （2）如果 $\displaystyle V_{1}^{4}$ 是反对称线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，则 $\displaystyle V_{1}^{1}$ 也是。

7．设 $P$ 是个数域，$\displaystyle f(x), g(x), q(x), r(x) \in P[x], f(x)=g(x) q(x)+r(x)$ ， $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 。证明：$\displaystyle (g(x) r(x), g(x)+r(x))=1$ 。

8．设 $\displaystyle A, B \in R^{n \times n}$ 是两个正交矩阵，若 $\displaystyle A+B$ 可逆，证明 $\displaystyle |A|=|B|$ 。

9．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, ~ \lambda_{0} \in P$ 是 $A$ 的 $m$ 重特征根，证明：对应于特征值 $\displaystyle \lambda_{0}, A$ 至多有 $m$ 个线性无关的特征向量。

1．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle n(n>2)$ 次有理系数多项式，$p$ 是大于 $n$ 的素数，$\displaystyle g(x)=x^{p}+p x+1$ 。 （1）证明 $\displaystyle g(x)$ 在有理数域不可约； （2）求 $\displaystyle (f(x)+g(x), g(x))$ 。

10．设 $R$ 是实数域，$\displaystyle A \in R^{n \times n}, B \in R^{m \times m}, C \in R^{m \times n}$ ，其中 $\displaystyle A, B$ 正定，$m$ 是偶数。证明： $\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & C^{T} \\ C & -B\end{array}\right|>0$ 。

2．设 $\displaystyle f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}$ 是一个整系数多项式，若有理数 $\displaystyle \frac{p}{q}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的一个根，其中整数 $\displaystyle p, q$ 互素，证明：存在整系数多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle f(x)=(q x-p) g(x)$ 。

4．设 $\displaystyle W_{1}$ 和 $\displaystyle W_{2}$ 都是数域 $\displaystyle \mathbf{P}$ 上向量空间 $V$ 的有限维子空间，证明： $$ \operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}\right)=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim} W_{2}-\operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) $$

8．设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶正定阵，证明 $\displaystyle A B$ 的特征值均为正数。

9．设 $W$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个子空间，且 $\displaystyle 0<\operatorname{dim} W<n$ 。证明： （1）$W$ 在 $V$ 中有无穷多个余子空间； （2）$W$ 在 $V$ 中的正交补空间是唯一的。

1．设多项式 $\displaystyle f(x), g(x)$ 满足 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明对于任意正整数 $\displaystyle m, n$ ，都有 $$ \left(f^{m}(x) g^{n}(x), f^{m}(x)+g^{n}(x)\right)=1 $$

10．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$k$ 是任意正整数，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ ，如果 $$ \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}\left(A^{2}\right) . $$ （1）证提：文次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle A^{2} X=0$ 同解。 （2）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(A^{k}\right)=\operatorname{rank}(A)$ 。

3．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, \beta \in P^{m \times 1}, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(A, \beta)=r$ ，证明非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的解（向量）集合的秩是 $\displaystyle n-r+1$ 。

4．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 级方阵，若 $\displaystyle A B=A-B$ ，证明：$\displaystyle E_{n}+A$ 可逆，并且 $\displaystyle B A=A B$ 。

5．设 $\displaystyle g_{i}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right), h_{j}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),(i=1,2, \cdots, p, j=1,2, \cdots, q)$ 都是 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的一次齐次多项式。二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\right)=g_{1}^{2}+g_{2}^{2}+\cdots+g_{p}^{2}-h_{1}^{2}-h_{2}^{2}-\cdots-h_{q}^{2}$ 。证明： $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的负惯性指数 $\displaystyle \leq q$ 。

6．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{m \times n}, B \in P^{n \times m}, m>n, \lambda \in P$ 。证明 $$ \left|\lambda E_{m}-\lambda B\right|=\lambda^{m-n}\left|\lambda E_{n}-B A\right| $$

7．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), C(A)=\left\{B \in P^{3 \times 3} \mid A B=B A, B \in P^{3 \times 3}\right\}$ 。 （1）证明：$\displaystyle C(A)$ 构成 $\displaystyle P^{3 \times 3}$ 的一个子空间； （2）求 $\displaystyle C(A)$ 的经数和一组基。

9．设矩阵 $\displaystyle A \in P^{m \times n}, B \in P^{n \times p}, C \in P^{p \times s}$ ，试证 $$ \operatorname{rank}(A B)+\operatorname{rank}(B C)-\operatorname{rank}(B) \leq \operatorname{rank}(A B C) $$

4．$B$ 为 $n$ 阶实矩阵，证明：存在唯一的 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，使得对任意 $n$ 维列向量 $x$ ，恒有 $\displaystyle x^{T} A x=x^{T} B x$ 。

6．$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 中的两个子空间，证明：存在 $V$ 的线性变换 A ，使得 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 一个为 A 的值域，一个为 A 的核的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n$ 。

1．$\displaystyle M_{n}$ 为 $n$ 级矩阵全体组成的线性空间， $$ U=\left\{A \in M_{n} \mid A=A^{T}\right\}, \quad W=\left\{A \in M_{n} \mid A=-A^{T}\right\} $$ 证明：（1）$\displaystyle U, W$ 为 $\displaystyle M_{n}$ 的线性子空间；（2）$\displaystyle M_{n}=U \oplus W$ 。

10．$W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的真子空间，证明存在 $V$ 的基底 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \alpha_{i} \in W, i=1,2, \cdots, n$ 。

3．（I）$\displaystyle \alpha_{i}=\left(\alpha_{i 1}, \alpha_{i 2}, \cdots, \alpha_{i n}\right), \quad i=1,2, \cdots, s$ ， （II）$\displaystyle \beta_{j}=\left(\beta_{j 1}, \beta_{j 2}, \cdots, \beta_{j m}\right), j=1,2, \cdots, t, \quad \beta_{j}=\sum_{i=1}^{s} k_{j i} \alpha_{i}, \quad j=1,2, \cdots, t 。$ 证明：若（I）线性无关，则矩阵 $\displaystyle K=\left(k_{j i}\right)_{t \times s}$ 的秩与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 的秩相同。

4．$A$ 为 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，$\displaystyle A^{2}-2 A-3 I=0$ ，证明 $\displaystyle r(A+I)+r(A-3 I)=n$ 。

5．设 $A$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，证明 $A$ 为列满秩矩阵的充要条件为存在一个 $\displaystyle m \times p$ 矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle r(A B)=r(B)$ 。

6．s，$t$ 为给定复数，$\displaystyle t \neq 0, n>m>0$ 。证明方程 $\displaystyle x^{n}+s x^{n-m}+t=0$ 没有大于 2 次的复根。

7．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵为一 Jordan块，证明： （1）$V$ 中任一非零 $\displaystyle \sigma$－子空间都包含 $\displaystyle \varepsilon_{n}$ ； （2）$V$ 不能分解成两个非平凡的 $\displaystyle \sigma$－子空间的直和。

9．$A$ 为 $n$ 级正定矩阵，证明存在一个上三角矩阵 $U$ ，使得 $\displaystyle A=U^{T} U$ 。

一．已知 $\displaystyle A, B$ 是复数域上的两个 $n$ 阶矩阵，证明 $\displaystyle |A B|=|A||B|$ 。

七．设 $A$ 是一个 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵，$\displaystyle |A| \neq 0$ ，证明：$A$ 可以表成一个形如 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}a & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), a \neq 0$ 的初等矩阵和有限个 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}1 & b \\ 0 & 1\end{array}\right)$ 和 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}1 & 9 \\ c & 1\end{array}\right)$ 的初等矩阵的乘积。

三．已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性关关，$\displaystyle \beta_{j}=\sum_{i=1}^{m} a_{i j} \alpha_{i}, j=1,2, \cdots, s$ 。若 $\displaystyle \beta_{1}, \cdots, \beta_{s}$ 线性无关，证明 $\displaystyle r\left(\begin{array}{ccc}a_{41} & \cdots & a_{1 s} \\ \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m 1} & \cdots & a_{m s}\end{array}\right)=s$ 。

九．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle A \in P^{n \times n}, f(x), g(x) \in P[x], d(x)=(f(x), g(x))$ ，证明： 若 $\displaystyle f(x)$ 是 $A$ 的特征多项式，则 $\displaystyle r(g(A))=r(d(A))$ 。

五．已知 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{s}$ 是实数域上 $s$ 个两两不同的 $n$ 阶方阵，证明：存在 $n$ 维实列向量 $\displaystyle \alpha, A_{1} \alpha, A_{2} \alpha, \cdots, A_{s} \alpha$ 也两两不同。

八．已知 $A$ 是 $n$ 阶正定方阵，$\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \in R^{n}$ 。 （1）证明：$\displaystyle A^{*}$ 是正定矩阵。 （2）证明：$\displaystyle f(x)=\left|\begin{array}{rr}0 & -x^{T} \\ x & A\end{array}\right|$ 是正定二次型。

六．已知 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。证明：$W$ 的正交补也是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间。

十．设 $P$ 是一个数域，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x], \partial(f(x))>0, \partial(g(x))>0$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：存在多项式 $\displaystyle u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $\displaystyle u(x) f(x)+v(x) g(x)=1$且 $\displaystyle \partial(u(x))<\partial(g(x)), \quad \partial(v(x))<\partial(f(x))$ 。

四．已知 $A$ 为 $\displaystyle 3 \times 3$ 矩阵，证明如果存在正整数 $m$ 使得 $\displaystyle A^{m}=0$ 。那么 $\displaystyle A^{3}=0$ 。

1．设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是线性空间 $V$ 的两个子空间，证明： （1）$\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}$ 等价于 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 是直和； （2）$\displaystyle V_{1} \cup V_{2}=V$ 等价于 $\displaystyle V_{1}=V$ 或 $\displaystyle V_{2}=V$ 。

2．已知多项式 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{n}+a_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n}$ ，矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1}\end{array}\right)$ ． （1）证明：$A$ 的不变因子为 $\displaystyle 1,1, \cdots, 1, f(\lambda)$ ； （2）证明：$A$ 可对角化的充要条件是 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值．

3．已知实矩阵 $\displaystyle A_{n \times n}$ 的列向量组为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，行向量组为 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ ，证明：对任意的 $\displaystyle \gamma \in \mathbb{R}^{n}$ ，方程组 $\displaystyle k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n}=\gamma$ 有解的充要条件是 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关．

5．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的任意 $\displaystyle k(k=1,2, \cdots, n-1)$ 阶顺序主子式不为零． （1）证明：存在下三角矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B A$ 为上三角矩阵； （2）证明：$A$ 可分解为下三角矩阵 $L$ 与上三角矩阵 $U$ 的乘积．

6．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换，证明以下两个命题等价： （1）$\displaystyle (\sigma(\alpha), \sigma(\beta))=(\alpha, \beta), \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{n}$ ； （2）$\displaystyle \sigma$ 将 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基映射为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基．

7．已知多项式 $\displaystyle f(x), g(x)$ 次数大于零，设 $\displaystyle f(x)=(f(x), g(x)) f_{1}(x), g(x)=(f(x), g(x)) g_{1}(x)$ ，证明：存在多项式 $\displaystyle u(x), v(x)$ ，使得 $\displaystyle u(x) f_{1}(x)+v(x) g_{1}(x)=1$ ，且 $\displaystyle \partial(u(x))<\partial\left(g_{1}(x)\right), \partial(v(x))<\partial\left(f_{1}(x)\right)$ ．

9．已知 $\displaystyle A, B$ 为同阶实对称矩阵，$B$ 为正定矩阵． （1）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 同时为对角矩阵； （2）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ ，求矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 同时为对角矩阵．

2．$a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 互不相同。 $F(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right), \quad L(x)=\sum_{i=1}^{n} \frac{b_{i} F(x)}{\left(x-a_{i}\right) F^{\prime}\left(a_{i}\right)}$ ． （1）证明 $L\left(a_{i}\right)=b_{i}$ ；（2）$L(x)$ 是使 $L(x)=b_{i}$ 的次数最低的多项式．

1．解答如下问题： （1）证明：每个次数 $\displaystyle \geq 3$ 的实系数多项式在实数域上一定可约． （2）证明：三次实系数多项式在实数域上一定有根。 （3）四次实系数多项式在实数域上一定有根吗？说明理由．

3．设 $\displaystyle \eta$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta(\beta \neq 0)$ 的一个解向量，$\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{t}$ 是对应齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系，证明： （1）$\displaystyle \eta, \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots \xi_{1}$ 线性无关； （2）$\displaystyle \eta, \xi_{1}+\eta, \xi_{2}+\eta, \cdots, \xi_{t}+\eta$ 是 $\displaystyle A X=\beta$ 的线性无关的解向量； （3）$\displaystyle A X=\beta$ 的任意解 $Y$ 都可以表示成 $$ Y=k_{0} \eta+k_{1}\left(\xi_{1}+\eta\right)+k_{2}\left(\xi_{2}+\eta\right)+\cdots+k_{t}\left(\xi_{t}+\eta\right) . $$ 其中 $\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{t}=1$ ．

4．设 $\displaystyle V=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{5} \mid x_{1}+7 x_{2}+5 x_{3}-4 x_{4}+2 x_{5}=0\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle S=\left\{(-2,0,0,-1,-1)^{T},(1,1,-2,-1,-1)^{T},(-5,1,0,1,1)^{T}\right\}$ 是 $V$ 的一个线性无关的子集； （2）将 $S$ 扩充为 $V$ 的一组基底．

5．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 是线性无关的 $n$ 维列向量，$\displaystyle \beta_{i}=\sum_{j=1}^{r} a_{i j} \alpha_{j}, i=1,2, \cdots, r$ ，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r}$线性相关的充要条件为 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 r} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 r} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r r}\end{array}\right|=0$ 。

6．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $A$ 的几何重数为 $m$ 的特征值，证明：$\displaystyle \left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{m} \| \lambda E_{n}-A \mid$ ．

7．设 $\displaystyle P^{n}$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 中的两组向量． （1）给出并证明 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right) \cup L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}\right)$ 是 $\displaystyle P^{n}$ 的子空间的充要条件； （2）给出并证明 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right) \cup L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}\right)=P^{n}$ 的充要条件．

8．设 $A$ 是实对称矩阵，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \in \mathbb{R}^{4}, f(X)=X^{T} A X$ 是四元实二次型． （1）$\displaystyle S=\left\{X \in \mathbb{R}^{4} \mid f(X)=0\right\}$ 是不是 $\displaystyle \mathbb{R}^{4}$ 的子空间？为什么？ （2）若矩阵 $A$ 的正负惯性指数都是 1 ，证明：存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 的 3 维子空间 $W$ ，使得当 $\displaystyle X \in W$ 时， $\displaystyle f(X)=0$.

1．设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：$\displaystyle r(A)=r$ 的充分必要条件为存在 $\displaystyle m \times r$ 矩阵 $B$ 和 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $C$ 满足 $\displaystyle r(B)=r(C)=r$ ，且 $\displaystyle A=B C$.

3．设 $\displaystyle p(x)$ 是数域 $F$ 上次数大于等于 1 的多项式，证明下列说法等价 （1）$\displaystyle p(x)$ 为不可约多项式． （2）对任意的 $\displaystyle f(x), g(x) \in F[x]$ ，如果 $\displaystyle p(x) \mid f(x) g(x)$ ，则有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 或 $\displaystyle p(x) \mid g(x)$ ． （3）对任意的 $\displaystyle f(x) \in F[x]$ ，都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 或 $\displaystyle (p(x), f(x))=1$ ．

5．设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有解的充分必要条件是齐次线性方程组 $\displaystyle A^{\prime} Y=\mathbf{0}$ 的任意解 $\displaystyle \alpha$ 满足 $\displaystyle \alpha^{\prime} \beta=0$.

三．设 $A$ 是实数域上的 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$X$ 是 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$X$ 的元素由独立的未知数构成，$\displaystyle m \leq n$ ．证明： $$ A X=E_{m} $$ 有解的充分必要条件是秩 $\displaystyle (A)=m$ ．

2．多项式 $x^{5}-1$ 在多项式环 $\mathbb{Q}[x]$ 中的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

九、设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$V$ 的保持内积的线性变换称为正交变换，对 $V$ 的任何单位向量 $\displaystyle \eta$ ，线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}_{\eta}, \mathcal{\mathcal { A } _ { \eta }}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta(\alpha \in V)$ 称为 $V$ 的镜面反射。求证：

五、设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A^{m}=0$（ $m$ 为一个大于 1 的自然数），现令 $$ e^{A}=E_{n}+A+\frac{A^{2}}{2!}+\cdots+\frac{A^{m-1}}{(m-1)!} $$ 求证：矩阵 $\displaystyle e^{A}$ 可逆．

八、设 $V$ 为复数域上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{B} \mathcal{A}=\mathcal{B} \mathcal{A}$ ，求证：

六、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证 $\displaystyle \mathcal{A}$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}E_{r} & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$, 这里，$\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathcal{A}(V)$

十、若 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，求证 $\displaystyle A^{n}$ 的秩等于 $\displaystyle A^{n+1}$ 的秩．

3．行列式 $\left|\begin{array}{cccc}1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+d\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $n$ 阶方阵 $A$ 的秩为 $r$ ，满足 $A^{2}=A$ ，则 $|2 E-A|=$ $\_\_\_\_$。

8．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则 $A$ 与 $A^{T}$ 的关系是 $\_\_\_\_$ ．

9．设 $A$ 为 $\mathbf{n}$ 阶实反对称矩阵，$X$ 为非零的 $\mathbf{n}$ 维列向量，则 $X^{T} A X$ 为 $\_\_\_\_$。

1．求 $\mathcal{A}$ 在基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵；

七、设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m}$ 为 $A$ 的一切不同特征值，若非零 $n$ 维列向量 $\displaystyle \beta$ 与特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{m-1}$ 的特征向量正交，求证 $\displaystyle \beta$ 为对应特征值 $\displaystyle \lambda_{m}$ 的特征向量．

三、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 2 维线性空间 $V$ 上的非零的幂零线性变换，求证在 $V$ 的某个基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 0\end{array}\right)$.

八、设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且对任何非零 $n$ 维实列向量 $x$ ，有 $\displaystyle x^{T} A x \neq 0$ ，求证 $A$ 为正定或负定。

六、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，求证 $\displaystyle V=\mathcal{A}(V) \oplus \operatorname{Ker}(\mathcal{A})$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}^{2}=\operatorname{Ker} \mathcal{A}$.

十、若 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，试用两种不同的方法证明 $\displaystyle r(A+B) \leq r(A)+r(B)$ ．

七、 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值，此时我们称 $\displaystyle n-r\left(\lambda_{0} E-A\right)$ 为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数，$\displaystyle \lambda_{0}$ 作为 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 之根的重数称为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的代数重数，求证 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数不超过其代数重数．

五、设 $\displaystyle \sigma$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle P[x]$ 中两个互素的多项式，$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，求证： $\displaystyle \operatorname{Ker} f(\sigma)=\operatorname{Ker} f_{1}(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} f_{2}(\sigma)$ ．

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实对称距阵，且 $B$ 正定，求证：存在一个实可逆矩阵 $P$ 使 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$同时为对角阵。

六、设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$ ，求证 $\displaystyle \sigma$ 可对角化．

四、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle (\sigma+\tau)^{2}=\sigma+\tau, \sigma^{2}=\sigma, \tau^{2}=\tau$ ，求证： $\displaystyle \sigma \tau=0$.

七、（本题 15 分）用数学归纳法证明：在复数域内，任意一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵都相似于一个上三角阵。

二、（本题 20 分）$\displaystyle V=\mathbb{R}^{3 \times 3}$ 视为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，令 $\displaystyle W_{1}=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}$ ， $\displaystyle W_{2}=\left\{A \in V \mid A^{T}=-A\right\}$. （1）求证 $\displaystyle W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 为 $V$ 的子空间，并分别写出 $\displaystyle W_{1}$ 与 $\displaystyle W_{2}$ 的一个基； （2）求证：$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

五、（本题 15 分）复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的一切 $\displaystyle n \times n$ 矩阵的集合 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 为复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性空间，对任何选定的矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，定义映射 $\displaystyle \phi_{A}: \mathbb{C}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{C}^{n \times n}, ~ X \rightarrow A X-X A$ ． （1）求证 $\displaystyle \phi_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 上的线性变换； （2）若矩阵 $A$ 可对角化，求证线性变换 $\displaystyle \phi_{A}$ 也可对角化．

八、（本题10分）设 $V$ 为数域 上的线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上可对角化的线性变换， $\displaystyle 0 \neq v \in V$使得 $\displaystyle \sigma^{2} v=0$ ，求证 0 为 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征值，且 $v$ 为一个对应的特征向量．

六、（本题 10 分）设 $V$ 为数域 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 为 $V$ 上的线性变换，证明： $\displaystyle V=\sigma^{n}(V) \oplus \operatorname{Ker}\left(\sigma^{n}\right)$

四、（本题 10 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为数域 上的方阵，令 $\displaystyle A^{s}$ 为将 $A$ 中的每个元素 $\displaystyle a_{i j}$ 换为 $\displaystyle a_{n+1-i, n+1-j}$ 所得到的矩阵。例如，$\displaystyle \left(\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)^{s}=\left(\begin{array}{ll}a_{22} & a_{21} \\ a_{12} & a_{11}\end{array}\right)$ ，求证 $A$ 与 $\displaystyle A^{s}$ 相似．

3．$n$ 阶行列式 $A_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}2 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & 2\end{array}\right|(n \geq 2)$ 的值为 $\_\_\_\_$。

7．设 $A, B \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，则矩阵方程 $A X=B$ 有解的充分必要条件为 $\_\_\_\_$。

七、设 $V$ 为复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的有限维线性空间，$\displaystyle \alpha, \beta$ 为其上可对角化的线性变换，且 $\displaystyle \alpha \beta=\beta \alpha$ ，求证：$\displaystyle \alpha, \beta$ 可同时对角化．

五、设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{c}a_{1} \\ \vdots \\ a_{m}\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}b_{1} \\ \vdots \\ b_{m}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{m \times n}$ ，求证：线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 与 $\displaystyle B x=0$ 同解的充分必要条件为行向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \ldots \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle b_{1}, \ldots b_{m}$ 等价。

八、设 $\displaystyle f(x, y)$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的对称双线性函数，$U$ 为 $V$ 的子空间， $\displaystyle U^{\perp}=\{v \in V \mid f(u, v)=0, \forall u \in U\}$ ，若 $\displaystyle U \bigcap U^{\perp}=\{0\}$ ，求证：$\displaystyle V=U \oplus U^{\perp}$ ．

六、设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 为实对称矩阵，定义 $\displaystyle \mathbf{\phi}_{A}: \mathbb{R}^{n \times n} \rightarrow \mathbb{R}^{n \times n}, X \rightarrow A X A^{T}$ ，求证 $\displaystyle \mathbf{\phi}_{A}$ 为线性空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的可角化线性变换．

七、设 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶方阵，$A$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶幕零阵，求证：$\displaystyle |A+B|=|B|$ 。

三、设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}, R(A)=\left\{A x \mid x \in \mathbb{R}^{n}\right\}, N(A)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}$ ，若 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 有相同的秩． 求证： （1）齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 和 $\displaystyle A^{2} x=0$ 同解； （2） $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=R(A) \oplus N(A)$ ．

五、（1）求证任何一个正定矩阵 $\displaystyle A=B^{2}, B$ 也为正定矩阵． （2）求证任何一个可逆实矩阵 $\displaystyle A=Q P, Q$ 为正定矩阵，$P$ 为正交阵．

八、设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 可逆，求证矩阵方程 $\displaystyle A X A^{T}-X=0$ 仅有零解的充要条件为 $A$ 的任何两个特征值的乘积不为 1 。

六、 $\displaystyle \mathbb{F}$ 为数域，$\displaystyle A, B \in \mathbb{F}^{n \times n}, A+B=E_{n}, A B=B A, A^{2}=A, B^{2}=B$ ，求证存在一个可逆矩阵 $P$ 使得 $$ P^{-1} A P=\left(\begin{array}{ll} E_{\mathrm{s}} & \\ & 0 \end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll} 0 & \\ & E_{t} \end{array}\right) $$ 这里 $\displaystyle s+t=n$ ．

四、设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间 $\displaystyle (n \geq 3), \mathcal{A}$ 为其上的线性变换， $\displaystyle \mathcal{A}^{n-2} \neq 0, \mathcal{A}^{n-1} \neq 0$ ．求证： $\displaystyle \mathcal{A}$ 在 $V$ 的某个基下的矩阵为 $$ \left(\begin{array}{ccccc} 0 & & & & \\ 1 & \ddots & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & 1 & 0 & \\ & & & 0 & 0 \end{array}\right) $$

七、设 $A$ 为 阶方阵，证明矩阵方程 $\displaystyle A^{n+1} X=A^{n}$ 有解．

八、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，若 $\displaystyle \operatorname{dim} \sigma(V)+\operatorname{dim} \tau(V)<n$ ，求证：$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个相同的特征值和特征向量．

六、若 $\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维欧氏空间的非零向量，子空间 $\displaystyle P_{\alpha}=\{\xi \in V \mid(\xi, \alpha)=0\}$ 为垂直于 $\displaystyle \alpha$ 的超平面，若 $\displaystyle (\gamma, \alpha)(\eta, \alpha)>0$ ，则称向量 $\displaystyle \gamma, \eta$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$ 的同侧，若向量 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{m}$ 位于超平面 $\displaystyle P_{\alpha}$的同侧，且它们相互夹角 $\displaystyle >\frac{\pi}{2}$ ，求证这组向量线性无关．

三、设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实方阵，证明： （1）若 $B$ 正定，则 $\displaystyle A B$ 的特征值皆大于 0 ； （2）若 $B$ 正定，且 $\displaystyle A B=B A$ ，则 $\displaystyle A B$ 正定．

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 元实对称矩阵，且 $B$ 正定，求证：存在一个实可逆阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$同时为对角阵。

六、设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵，已知 $A$ 的特征值全为实数，且 $\displaystyle A A^{T}=A^{T} A$ ，证明：$A$ 必为对称矩阵。

七、设 $n$ 阶实对称阵 $A$ 的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 满足 $\displaystyle 1<\lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n} \leq 2$ ，求证：对任意零实向量 $X$ ，总有 $\displaystyle X^{T} X<X^{T} A X<2 X^{T} X$ ．

三、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵（ $\displaystyle n>1$ ），求证： （1）若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则存在 $n$ 行 1 列矩阵 $B$ 和 1 行 $n$ 列矩阵 $C$ ，使 $\displaystyle A=B C$ ； （2）若 $\displaystyle r(A)=1$ ，且 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=1$ ，则 $\displaystyle A^{n}=A$ ．

八、求证：在 $n$ 维欧式空间中，两两夹角成钝角的元素不多于 $\displaystyle n+1$ 个．

六、设 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 是 的子空间． （1）判断命题＂若 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}, ~ V_{2} \cap V_{3}=\{0\}, ~ V_{3} \cap V_{1}=\{0\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 为直和＂是否正确，若正确给出证明，若不正确举出反例； （2）判断命题＂若 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}=\{0\}, V_{3} \cap\left(V_{1}+V_{2}\right)=\{0\}$ ，则 $\displaystyle V_{1}+V_{2}+V_{3}$ 为直和＂是否正确，若正确给出证明，若不正确举出反例．

四、设 $\displaystyle V=\left\{A \mid \operatorname{tr}(A)=0, A \in \mathbb{R}^{2 \times 2}\right\}$ （1）求证：按通常的矩阵加法和数乘构成实数域上的线性空间； （2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} V$ ，找出 的一组基，并用基的定义说明找出矩阵是 的基．

七、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle \lambda_{0}$ 为 $A$ 的特征值，此时我们称 $\displaystyle n-r\left(\lambda_{0} E-A\right)$ 为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数，$\displaystyle \lambda_{0}$作为 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle |\lambda E-A|$ 之根的重数称为 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的代数重数，求证 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的几何重数不超过其代数重数．

五、设 $\displaystyle \mathcal{A}$ 为数域 上 维线性空间 上的线性变换，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为 $\displaystyle P[x]$ 中两个互素多项式，$\displaystyle f(x)=f_{1}(x) f_{2}(x)$ ，求证： $\displaystyle \operatorname{Ker} f(\mathcal{A})=\operatorname{Ker} f_{1}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} f_{2}(\mathcal{A})$ ．

八、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶对称阵，且 $A$ 正定，求证：存在一个可逆矩阵使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$ 同时为对角阵．

六、设 为数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 上的线性变化， $\displaystyle \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}$ ，求证： （1）$\displaystyle V=\mathcal{A}(V) \oplus \operatorname{Ker}_{\mathcal{A}} \mathcal{A}$ ； （2）存在 的一个基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ ，在此基下 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的矩阵为 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\{1, \cdots, 1,0, \cdots, 0\}$（对角线为 $\displaystyle 1, \cdots, 1,0, \cdots 0$ ）的对角阵）。

四、设 $\displaystyle \mathcal{A}, \mathcal{B}$ 为 维线性空间 上的线性交换，$\displaystyle (\mathcal{A}+\mathcal{B})^{2}=\mathcal{A}+\mathcal{B}, \mathcal{A}^{2}=\mathcal{A}, \mathcal{B}^{2}=\mathcal{B}$ ，求证： $\displaystyle \mathcal{A B}=0$ ．

七、（15分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 的 3 维线性空间， 是空间 $V$ 的一组基 $\displaystyle \beta_{1}=\alpha_{1}+\alpha_{2}$ ， $\displaystyle \beta_{2}=\alpha_{2}+\alpha_{3}, \quad \beta_{3}=\alpha_{3}+\alpha_{1}$. （1）求证 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 也是空间 $V$ 的基； （2）求基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 到 的过渡矩阵； （3）求 $\displaystyle \gamma=3 \alpha_{1}+\alpha_{2}-4 \alpha_{3}$ 在基 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的坐标．

三、（15 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为一组 $n$ 维向量，求证 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关的充分必要条件为任意 $n$ 维向量均可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性表示．

九、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle f(0)$ 与 $\displaystyle f(1)$ 均为奇数，求证 $\displaystyle f(x)$ 不能有整数根．

五、（15 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求证：$\displaystyle A^{n}=\left(\begin{array}{ccc}2^{n} & 2^{n-1} n & 2^{n-3} n(n-1) \\ 0 & 2^{n} & 2^{n-1} n \\ 0 & 0 & 2^{n}\end{array}\right)$ ．

六、（ 15 分）设 $A$ 为阶正交阵。 （1）求证：对任意的 维列向量 $X$ ，有 $\displaystyle \|A X\|=\|X\|$ ； （2）若 $\displaystyle \lambda$ 为 $A$ 的一个特征值，求证 $\displaystyle |\lambda|=1$ ．

十、（10分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 为 $V$ 上的一个线性变换， $\displaystyle \operatorname{Im}(\mathcal{A})$ 与 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathcal{A}$ 分别为线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的值域和核空间，求证： $\displaystyle \operatorname{Im}(\mathcal{A}) \oplus \operatorname{Ker} \mathcal{A}=V$ 的充分必要条件为 $\displaystyle \operatorname{Ker}(\mathcal{A})=\operatorname{Ker} \mathcal{A}^{2}$.

四、（15分）设 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle |A| \neq 0, A C=C A$ 。求证：$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right|=|A D-C B|$ ．

七、 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}, a_{11}+a_{22}+a_{33}=2, A$ 的秩为1，证明 $A$ 与 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}0 & & \\ & 0 & \\ & & 2\end{array}\right)$ 相似．

三、 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}1+a_{1} & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+a_{2} & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 1+a_{3} & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & 1+a_{n}\end{array}\right|, a_{1} a_{2} \cdots a_{n} \neq 0$ ，求证： $$ D_{n}=a_{1} a_{2} \cdots a_{n}\left(1+\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}\right) $$

二、已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ ，其中 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的三个根， $\displaystyle g(x)=x^{3}-a x^{2}+b x-c$ ，其中，$\displaystyle y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 为 $\displaystyle g(y)$ 的三个根．证明： $\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{1} x_{2} x_{3}=y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{5}+y_{1} y_{2} y_{3}$.

八、设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换 $\displaystyle T(x)=A x$ 。证明： （1）若 $A$ 是正交矩阵，则 $T$ 是正交变换； （2）若 $A$ 是对称矩阵，则 $T$ 是对称变换．

六、 $\displaystyle A=($ ， （1）求 $A$ 和 $\displaystyle A^{*}$ 的秩； （2）证明 $A$ 的列向量都是 $\displaystyle A^{*} x=0$ 的解．

十、定义 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 上的线性变换 $\displaystyle T f(x)=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ． （1）求 $T$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{3}$ 的基 $\displaystyle 1, x, x^{2}$ 下的矩阵； （6）证明 $\displaystyle \operatorname{Im}(T) \oplus \operatorname{Ker}(T)=\mathbb{R}[x]_{3}$ ．

四、已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，$\displaystyle \beta_{1}=\alpha_{1}, \beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \beta_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$ ，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 线性无关。

七、（15 分）$\displaystyle V=L\left(f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)\right), f_{1}(x)=e^{x} \sin x, f_{2}(x)=e^{x} \cos x$ ， $\displaystyle f_{3}(x)=x e^{x} \sin x, f_{4}(x)=x e^{x} \cos x, \mathcal{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$. （1）证明： $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \mathcal{D}(f(x))$ 在基 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x)$ 下的矩阵．

三、设 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵，证明：$\displaystyle r\left(A^{T} A\right)=r(A)$ 。（15 分）

九、（15 分）$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A+B=E, A B=O, R(A)=\left\{A x \mid x \in \mathbb{R}^{n}\right\}$ ， $\displaystyle \operatorname{Ker}(B)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid B x=0\right\}$. （1）求证：$\displaystyle B A=O$ ； （2）求证：秩 $\displaystyle (B)=n-$ 秩 $\displaystyle (A)$ ； （3）求证：$\displaystyle R(A)=\operatorname{Ker}(B)$ ．

二、（15 分）判断题（正确的给出证明，错误的举出反例） （1）方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=0$ ，则 $\displaystyle A=0$ 。

八、（15 分）$A$ 为 $n$ 阶矩阵，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关，$\displaystyle A \alpha_{i}=\alpha_{i}(i=1,2,3)$ ， $\displaystyle A \beta_{j}=2 \beta_{j}(j=1,2)$ ．证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性无关．

十、（10 分）$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶对称矩阵，求证：存在同一个可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{T} A P$ 和 $\displaystyle P^{T} B P$ 同时化为对角阵．

八、（本题 15 分）求证：矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 与矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 相似。

六、（15 分）已知向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性相关，求证：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}+\alpha_{4}$ 线性无关．

十、（本题15分）设 $V$ 为3维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为 $V$ 中的4个向量，已知 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $V$ 的一组基，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}+\alpha_{4}=0$ ． （1）求证：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 中任意 3 个向量均匀构成 $V$ 的一组基； （2）求证：对 $V$ 中任意向量 $\displaystyle \beta$ ，在（1）中 4 组基中必存在一组基 $\displaystyle \beta$ 在该基下的坐标均非负。

2．（10 分）证明多项式 $x^{6}+x^{3}+1$ 在有理数域不可约．

三．（10 分）数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 分别收敛于 $\displaystyle a, b$ ，证明： $$ \begin{aligned} \lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{a_{n}, b_{n}\right\} & =\max \{a, b\} \\ \lim _{n \rightarrow \infty} \min \left\{a_{n}, b_{n}\right\} & =\min \{a, b\} \end{aligned} $$

九．（15 分）证明当 $\displaystyle |q|<1$ 时，$\displaystyle \left(\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}\right)\left(\sum_{n=0}^{\infty} q^{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1) q^{n}$ ．

八．（15 分）设 $\displaystyle \Sigma$ 是区域 $\displaystyle \Omega$ 分片光滑的边界曲面，$\displaystyle u, v$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上二阶连续可微．证明： $$ \iiint_{\Omega} v \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S $$ 其中 $\displaystyle \mathbf{n}$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 上的单位外法向量，$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}$ 为 $u$ 在 $\displaystyle \mathbf{n}$ 方向上的方向导数．

六．（ 10 分）求 $\displaystyle f(x, y, z)=\ln x+\ln y+3 \ln z$ 的最大值，其中 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 r^{2}, x>0, y>0, z>0$ 。并据此证明对任意的正数 $\displaystyle a, b, c$ ，都有 $\displaystyle a b c^{3} \leq 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^{5}$ 成立．

十．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上单调，且无界反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots+f\left(\frac{n-1}{n}\right)}{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x $$

十一．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 是区间 $I$ 上的下凸函数当且仅当对任意 $\displaystyle \lambda>0, e^{\lambda f(x)}$ 是区域 $I$ 上的下凸函数．

十二．（15分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，并且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，又设 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ 是满足 $\displaystyle k_{1}+k_{2}+\cdots+k_{n}=1$ 的 $n$ 个正数．证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 中存在 $n$ 个不相同的数 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}$ ，使得 $$ \frac{k_{1}}{f^{\prime}\left(t_{1}\right)}+\frac{k_{2}}{f^{\prime}\left(t_{2}\right)}+\cdots+\frac{k_{n}}{f^{\prime}\left(t_{n}\right)}=1 $$

7．若对称矩阵 $A_{n \times n}$ 为二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的矩阵，证明：$f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 半正定的充要条件为存在对称矩阵 $B$ 使 $A=B^{2}$ ．

8．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$C(A)=\{B \mid A B=B A\}$ ． （1）证明 $C(A)$ 是线性空间；（2）当 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，求 $C(A)$ 的维数与一组基．

9．$A$ 是 $n \times n$ 矩阵，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为其列向量．证明如下论述等价： （1）$A$ 是正交矩阵； （2）$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是规范正交基； （3）对任意 $X, Y \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $(A X, A Y)=(X, Y)$ ．

10．$A, B$ 为实对称矩阵，证明 $A B=B A$ 的充分必要条件为 $A, B$ 有 $n$ 个公共的线性无关的特征向量．

四．设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，$b$ 是 $m$ 维实列向量．求证：方程组 $\displaystyle A X=b$ 有解的充分必要条件为方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} A^{T} Y=0 \\ b^{T} Y=1 \end{array}\right. $$ 无解．

11．设 $V$ 为 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{T}_{1}$ 为 $V$ 上的线性变换，求证：存在 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}_{2}$ 和 $\displaystyle \mathscr{T}_{3}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{T}_{1}=\mathscr{T}_{2} \mathscr{T}_{3}$ ，其中 $\displaystyle \mathscr{T}_{2}^{2}=\mathscr{T}_{2}$ ，且 $\displaystyle \mathscr{T}_{3}$ 可逆。

13．设 $\displaystyle \beta=\sqrt[3]{2}, \mathbb{Q}$ 为有理数域，求证：$\displaystyle F=\left\{k_{0}+k_{1} \beta+k_{2} \beta^{2} \mid k_{0}, k_{1}, k_{2} \in \mathbb{Q}\right\}$ 构成数域。

14．设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A+B$ ． （1）求证：$\displaystyle A B=B A$ ． （2）求证：若存在正整数 $k$ 使得 $\displaystyle A^{k}=O$ ，则 $\displaystyle |B+2024 A|=|B|$ ．

8．设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的子空间，$V$ 的一组基 $\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right), A_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ． （1）求证：$\displaystyle B_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right), B_{2}=\left(\begin{array}{ll}2 & 2 \\ 0 & 1\end{array}\right), B_{3}=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right)$ 也是 $V$ 的基。 （2）求基 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 到基 $\displaystyle B_{1}, B_{2}, B_{3}$ 的过渡矩阵．

9．设向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关，且 $\displaystyle \beta_{k}=\sum_{i=1}^{n} c_{k i} \alpha_{i}(k=1,2, \cdots, n)$ ，令 $\displaystyle C=\left(c_{i j}\right)_{n \times n}$ ，求证：向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 线性无关的充要条件是 $\displaystyle |C| \neq 0$ ．

12．二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X $$ 在正交变换 $\displaystyle X=Q Y$ 下的标准形为 $\displaystyle y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}, Y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)^{T}$ ，且正交矩阵 $Q$ 的第三列为 $\displaystyle \left(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{T}$ ，求实对称矩阵 $A$ ，并证明 $\displaystyle A+E_{3}$ 正定。

13．取 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 的一组基，定义线性变换 $$ \sigma(X)=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2} $$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。 （2）证明：当 $\displaystyle a d-b c \neq 0$ 时，$\displaystyle \sigma$ 可逆． （3）当 $\displaystyle \sigma$ 可逆时，求 $\displaystyle \sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵。

14．设 $V$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$V$ 上线性变换 $\displaystyle \tau$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 下的矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} \lambda & & & \\ 1 & \lambda & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \lambda \end{array}\right) $$ 证明：对任意非零的 $\displaystyle \tau$－子空间 $W$ ，有 $\displaystyle \varepsilon_{n} \in W$ ．

7．证明 $n$ 阶行列式 $$ \left|\begin{array}{cccccc} \cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 2 \cos \alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \cos \alpha & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \cos \alpha & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \cos \alpha \end{array}\right|=\cos n \alpha . $$

9．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明： （1）$\displaystyle r(A)+r\left(E_{n}-A\right)=n$ ． （2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cc}E_{r} & O \\ O & O\end{array}\right) P^{-1}$ ，其中 $\displaystyle r(A)=r$ ．

七．（15 分）设 $\displaystyle A, B \in M_{n}(\mathbb{R})$ 为可逆矩阵，满足 $\displaystyle A B A=B$ 且 $\displaystyle B A B=A$ ，证明：$\displaystyle A^{4}=B^{4}=I$ ．

九．（15 分）对非负整数 $n$ ，已知 $\displaystyle M_{2 n+1}(\mathbb{R})$ 关于矩阵加法与数乘构成一个实线性空间，设 $V$ 是 $\displaystyle M_{2 n+1}(\mathbb{R})$的一个非零子空间，满足 $V$ 中任意非零矩阵都可逆．求证： $\displaystyle \operatorname{dim} V=1$ ．

八．（15分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n} \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是正定对称矩阵，其对角元 $\displaystyle a_{i i}$ 及特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 满足 $$ a_{11} \leq a_{22} \leq \cdots \leq a_{n n}, \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n} . $$ 问 $\displaystyle \lambda_{i} \leq a_{i i}$ 是否对所有 $\displaystyle 1 \leq i \leq n$ 成立？若成立，给出证明；若不成立，举出反例．

六．（15 分）设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，任意给定非零列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{n}$ ，求证：存在次数小 $n$ 的多项式 $\displaystyle h(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，使得 $\displaystyle h(A) \alpha$ 为 $A$ 的特征向量．

十．（15分）记 $\displaystyle E_{i j}$ 是 $\displaystyle (i, j)$ 元素是 1 其余元素是 0 的 $n$ 阶实矩阵．设 $\displaystyle \varphi$ 是实列向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换，定义映射 $$ \begin{aligned} f_{\varphi}: & \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{n} \\ \alpha & \mapsto \sum_{i, j=1}^{n} E_{i j} \varphi\left(E_{j i} \alpha\right) . \end{aligned} $$ 求证：存在常数 $\displaystyle c_{\varphi}$ ，满足 $\displaystyle f_{\varphi}=c_{\varphi} \mathrm{Id}, \mathrm{Id}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的恒等变换．

一．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶实方阵，$A$ 可对角化，且 $\displaystyle B A^{2}=A+B$ ．证明： （1） 1 不是 $A$ 的特征值． （2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 均为对角矩阵。

三．设整系数多项式 $\displaystyle f(x)$ 的次数是 $\displaystyle n=2 m$ 或 $\displaystyle n=2 m+1\left(m \in \mathbb{N}^{+}\right)$，证明：如果有 $\displaystyle k(\geq 2 m+1)$ 个不同的整数 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ ，使得每个 $\displaystyle f\left(a_{i}\right)$ 取值为 1 或 -1 ，那么 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

九．设随机变量 $X$ 的分布律为 $\displaystyle P\{X=k\}=\frac{1}{2^{k}}, k=1,2, \cdots$ ，令 $\displaystyle Y=\sin \left(\frac{\pi}{2} X\right)$ ． （1）求 $Y$ 的分部律． （2）设随机变量序列 $\displaystyle \left\{Y_{n}, n=1,2, \cdots\right\}$ 独立同分布，且与 $Y$ 有相同的分布函数． $\displaystyle (2-1)$ 对于任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，利用切比雪夫不等式证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\left|\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} Y_{k}-\frac{2}{5}\right|>\varepsilon\right)=0 $$ $\displaystyle (2-2)$ 设常数 $\displaystyle a>0$ ，满足 $\displaystyle \Phi\left(\sqrt{\frac{75}{38}}\right)=a$ ，其中 $\displaystyle \Phi$ 为标准正态分布的分布函数，求 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\left|\sum_{k=1}^{n} Y_{k}-\frac{2 n}{5}\right|>1\right) $$

五．设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的正交变换，设子空间 $$ V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha, \alpha \in V\}, V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-\sigma(\alpha), \alpha \in V\} . $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

四．设 $\displaystyle A, B$ 分别是数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n, n \times s$ 矩阵，$\displaystyle V=\left\{B \gamma \mid \gamma \in P^{s}, A B \gamma=0\right\}$ 是 $n$ 维向量空间 $\displaystyle P^{n}$ 的子空间，证明：维 $\displaystyle (V)=$ 秩 $\displaystyle (B)-$ 秩 $\displaystyle (A B)$ ．

4．线性空间 $V$ 是由 3 阶实矩阵关于矩阵加法和数乘运算构成的实线性空间，记 $$ V_{1}=\left\{A \in V \mid A^{T}=-A\right\}, V_{2}=\left\{\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3} \mid a_{i j}=0, \forall i<j\right\} $$ 则 $\operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=a x_{1}^{2}-a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$时，$f$ 在 $\mathbb{R}$ 上的规范形为 $y_{1}^{2}-y_{2}^{2}$ ．

6．多项式 $x^{3}-1$ 与 $x^{5}-1$ 的最大公因式为 1 ．

7．若向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 线性无关，则 $\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}-\alpha_{3}, \alpha_{1}+2 \alpha_{3}$ 也线性无关．

8．若 $U, V$ 时 $\mathbb{F}^{n}$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} U+\operatorname{dim} V=n$ ，则 $\mathbb{F}^{n}=U \oplus V$ ．

2．$\displaystyle A^{2}=-I_{n}$ ，证明 $A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}i I_{r} & 0 \\ 0 & -i I_{n-r}\end{array}\right), r=\operatorname{rank}\left(i I_{n}+A\right)$

3．$\displaystyle A, B$ 为实对称矩阵，$A$ 正定。证明（1）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle A=P P^{T}, B=P \operatorname{diag}\left\{\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}\right\} P^{T}$ （2）证明：$\displaystyle A+B$ 正定的充要条件是 $\displaystyle A^{-1} B$ 的特征值大于 -1

判断题 （1）$U$ 是酉矩阵，$\displaystyle U^{*}$ 是 $U$ 的共轭转置，则 $U$ 的所有特征值的模长为 1 （2）$\displaystyle A, B$ 为二阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 有相同的迹和行列式，则 $\displaystyle A, B$ 一定相似 （3）$\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle n \times k$ 阶复矩阵，$\displaystyle C=A B$ ，则 $\displaystyle \operatorname{rank}(C) \leq \min \{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$ （4）$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶复方阵，则存在 $\displaystyle A B-B A=I_{n}$ （5）$\displaystyle U_{1}, U_{2}, U_{3}$ 是 $V$ 的子空间 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(U_{1}+U_{2}+U_{3}\right)=\operatorname{dim}\left(U_{1}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{2}\right)+\operatorname{dim}\left(U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{3}\right)-\operatorname{dim}\left(U_{2} \cap U_{3}\right)+2 \operatorname{dim}\left(U_{1} \cap U_{2} \cap U_{3}\right)$证明题

4．$\displaystyle W_{i}$ 是 $V$ 的任意 $k$ 个真子空间，$V$ 是 $C$ 上的线性空间，$\displaystyle t_{i}$ 是 $V$ 中任意 $k$ 个向量，$\displaystyle t_{i}+W_{i}=\left\{t_{i}+w_{i} \mid w_{i} \in W_{i}\right\}$证明 （1）$\displaystyle V \neq \cup_{i=1}^{k} W_{i}$ （2）$\displaystyle V \neq \cup_{i=1}^{k}\left(t_{i}+W_{i}\right)$

七．$\displaystyle \alpha, \beta$ 是欧氏空间中的两个不同的向量，且 $\displaystyle |\alpha|=|\beta|=1$ ，证明：$\displaystyle (\alpha, \beta) \neq 1$ ．

三．设矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2026 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ． （1）求 $B$ 的 Jordan 标准型，并证明 $B$ 的最小多项式为 $\displaystyle f(\lambda)=\lambda^{3}$ ． （2）证明：不存在矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{2}=B$ ．

二．设 $\displaystyle f(x)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，$\displaystyle f(-1), f(0), f(1)$ 不能被 3 整除，证明：$\displaystyle f(x)$ 无有理根．

五．非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1 \end{array}\right. $$ 有三个线性无关的解，记系数矩阵为 $A$ ． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=2$ ． （2）求 $\displaystyle a, b$ 的值与方程组的通解．

六．设 $\displaystyle \tau$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是其 $n$ 个不同的特征值，证明：$\displaystyle \alpha, \tau(\alpha), \cdots, \tau^{n-1}(\alpha)$线性无关的充要条件是 $\displaystyle \alpha=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}$ ，其中 $\displaystyle \alpha_{i}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的属于特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 的特征向量．

3．已知 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 为4维列向量组，且满足 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{4}$ 线性无关，$\alpha_{3}=\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{4}$ ， $\beta=\alpha_{1}+\alpha_{3}+3 \alpha_{4}$ ，则非齐次线性方程组 $A X=\beta$ 的通解为 $\_\_\_\_$

4．设 $\alpha, \beta$ 为3维列向量，且 $\alpha \beta^{T}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6}\end{array}\right)$ ，则 $\beta^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

6．设 $n$ 阶矩阵 $A=-E_{11}-2 E_{22}-3 E_{33}-\cdots-n E_{n n}$ ，则与 $A$ 可交换的矩阵所组成的线性空间的维数为 $\_\_\_\_$

7．若二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+\lambda x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}+2 x_{1} x_{3}$ 是正定的，则 $\lambda$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$

8．定义线性变换 $\sigma\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}+3 x_{2}+x_{3}, x_{2}+x_{3}, x_{1}-x_{3}\right)$ ，则 $\sigma$ 的秩为 $\_\_\_\_$

9．设 $A$ 是一个秩为 3 的四阶矩阵，$A$ 的对角元的代数余子式分别为 $1,-2,3,-4$ ，则 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}$ 的特征值为 $\_\_\_\_$

1．（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n$ ，证明：$A$ 可写成 $\displaystyle n-r$ 个秩为 $\displaystyle n-1$ 的 $n$ 阶矩阵的乘积．

2．（15 分）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶实矩阵，且 $A$ 是可逆对称矩阵，$\displaystyle B^{\mathrm{T}}=C$ ． （1）（10 分）证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} X P$ 为分块对角矩阵． （2）（10 分）给出 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ 正定的充分必要条件．

5．（15 分）设 $\displaystyle \mathbb{C}[x]_{n^{2}}$ 是复数域上所有次数小于 $\displaystyle n^{2}$ 的多项式以及零多项式构成的集合，对于通常的多项式加法和数乘，判断 $\displaystyle \mathbb{C}[x]_{n^{2}}$ 能否构成实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间并简要证明你的结论。如果 $\displaystyle \mathbb{C}[x]_{n^{2}}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，求出它的维数和一组基。

7．（15 分）设矩阵 $A$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵，证明：矩阵 $A$ 能唯一地分解为 $\displaystyle A=Q U$ ，其中 $Q$ 是正交矩阵，$\displaystyle U=\left(u_{i j}\right)_{n \times n}$ 是上三角矩阵且对角元 $\displaystyle u_{i i}(1 \leq i \leq n)$ 均为大于 0 的实数．

8．（20 分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{m}$ 是数域 $P$ 上的 $m$ 个不同的数，$\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{m}$ 是数域 $P$ 上的任意 $m$ 个数，对于任一多项式 $\displaystyle p(x)$ ，我们记 $\displaystyle \partial(p(x))$ 为其次数．证明：存在唯一的多项式 $\displaystyle g(x) \in P[x]$ ，使得 $\displaystyle \partial(g(x))<m$ ，且对任意的 $\displaystyle 1 \leq i \leq m$ ，我们有 $\displaystyle g(x)=q_{i}(x)\left(x-a_{i}\right)+b_{i}$ ，其中 $\displaystyle q_{i}(x) \in P[x]$ ．

9．（20 分）设实数域上的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=O$ ，记 $$ B=A A^{\mathrm{T}}+A^{\mathrm{T}} A, C=A+A^{\mathrm{T}} $$ 令 $\displaystyle \operatorname{Ker}(B), \operatorname{Ker}(C), \operatorname{Im}(A)$ 和 $\displaystyle \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right)$ 为如下定义的实向量空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的子空间： $$ \begin{aligned} & \operatorname{Ker}(B)=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid B X=0\right\}, \operatorname{Ker}(C)=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid C X=0\right\}, \\ & \operatorname{Im}(A)=\left\{A X \mid X \in \mathbb{R}^{n}\right\}, \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right)=\left\{A^{\mathrm{T}} X \mid X \in \mathbb{R}^{n}\right\} . \end{aligned} $$ 证明： （1） $\displaystyle \operatorname{Ker}(B)=\operatorname{Ker}(C)$ ． （2） $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=\operatorname{Im}(A) \oplus \operatorname{Im}\left(A^{\mathrm{T}}\right) \oplus \operatorname{Ker}(B)$ ．

8．设 $A$ 为非零实方阵，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，若 $A^{\mathrm{T}}=A^{*}$ ，则 $A$ 可逆．

9．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵，且 $A-2 B=3 A B$ ，则 $A B=B A$ ．

10．设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶实矩阵，且满足 （1） $0 \leq a_{i j} \leq 1, i, j=1,2, \cdots, n$ ． （2）$a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=1, i=1,2, \cdots, n$ ． 则对于每一个特征值 $\lambda$ ，都有 $|\lambda| \leq 1$ ．

11．计算下列 $n$ 阶行列式 $$ D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc} x & 2025 & 2025 & \cdots & 2025 \\ \frac{1}{225} & x & 3 & \cdots & 3 \\ \frac{1}{225} & 3 & x & \cdots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{1}{225} & 3 & 3 & \cdots & x \end{array}\right| . $$

13．设二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}+5 x_{2}^{2}-8 x_{2} x_{3}+5 x_{3}^{2} $$ 利用正交变换将二次型化为标准形．

1．已知齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} (a+b) x_{1}+a x_{2}+\cdots+a x_{n}=0 \\ a x_{1}+(a+b) x_{2}+\cdots+a x_{n}=0 \\ \quad \cdots \cdots \\ a x_{1}+a x_{2}+\cdots+(a+b) x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 其中 $a \neq 0, n \geq 2$ ．试讨论 $a$ 和 $b$ 满足什么条件时： （1）方程组仅有零解。 （2）方程组有非零解，并求出其通解．

5．设数域 $P$ 上 $n$ 阶方阵 $A, B, C, D$ 关于乘法两两可交换。且满足 $A C+B D=E$（ $E$ 为单位矩阵），设 $$ V=\left\{X \in P^{n} \mid A B X=0\right\}, V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}, V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\} . $$ 证明：$V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

6．设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值．证明： （1）$\lambda$ 的实部为 0 ． （2）存在正交矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A^{2} P$ 是对角矩阵。

7．设 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a \end{array}\right) $$ 是 3 阶实矩阵，证明：当 $a>2$ 时，对于任意一个 3 阶的正定矩阵 $B$ ，都有 $\operatorname{tr}(A B)>0$（其中 $\operatorname{tr}(A B)$为矩阵 $A B$ 的迹）。

8．设 $A$ 是 $n$ 阶实方阵，满足 $A^{3}=E$（ $E$ 为单位矩阵），证明： $$ \operatorname{rank}(A-E)+\operatorname{rank}\left(A^{2}+A+E\right)=n . $$

2．证明：次数大于 0 且首项系数为 1 的多项式 $\displaystyle f(x)$ 是不可约多项式的充分必要条件是对任意多项式 $\displaystyle g(x)$ ，满足 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或者存在一个正整数 $m$ 使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．

6．设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ ，记 $\displaystyle C(A)=\left\{B \in \mathbb{C}^{n \times n} \mid A B=B A\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle C(A)$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}^{n \times n}$ 的子空间． （2）若 $A$ 为单位矩阵，求 $\displaystyle C(A)$ ． （3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基和维数． （4）若将（3）中 $\displaystyle C(A)$ 看作 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的线性空间，求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基和维数．

8．设 $V$ 为有限维欧氏空间，线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}: V \rightarrow V$ 满足 $\displaystyle (\mathscr{A} \alpha, \beta)=(\alpha, \mathscr{A} \beta), \forall \alpha, \beta \in V$ ．证明： （1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 在标准正交基下的矩阵为对称矩阵。 （2）存在 $V$ 的一组基使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在该基下的矩阵是对角矩阵。 （3）$\displaystyle (\mathscr{A}(V))^{\perp}=\mathscr{A}^{-1}(0)$ ，且 $\displaystyle V=\mathscr{A}(V) \oplus \mathscr{A}^{-1}(0)$ 。

七、（本题满分20分）已知 $\displaystyle \sigma$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，求证 （1）$\displaystyle \sigma$ 的特征值只有 0 和 1 ； （2）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，其中其中 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, ~ V_{2}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}$ 。fl：线性空间与线性变换

三、（本题15分）证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{\mathrm{T}} & 1\end{array}\right|=|A|\left(1-\alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha\right)$ ，其中 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维列向量。fl：行列式

九、（本题15分）设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维欧氏空间上的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ 也是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。

二、（本题 15 分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n, \eta_{0}$ 为非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个特解，且 $\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{n-r}$为齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 的一个基础解系．证明：$\displaystyle \eta_{0}, \eta_{0}+\eta_{1}, \eta_{0}+\eta_{2}, \cdots . \eta_{0}+\eta_{n-r}$ 是方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解．ff：线性方程组

五、（本题20分）设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，求证： （1）$A$ 的特征值全大于 0 ； （2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P=E, P^{\mathrm{T}} B P$ 为对角矩阵。 fl ：矩阵

八、（本题 20 分）设实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & b \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2\end{array}\right)$ ，且 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ． （1）求的 $\displaystyle a, b$ 值； （2）证明：存在正交矩阵 $T$ ，使二次型 $\displaystyle f(x)=x^{\mathrm{T}} A x$ 化为标准形，并写出正交矩阵 $T$ 。

六、（本题满分 20 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}4 & & & \\ 1 & 4 & & \\ & 1 & 4 & \\ & & 1 & 4\end{array}\right), W=\left\{B \mid A B=B A, B \in P^{4 \times 4}\right\}$ ，求证： （1）$W$ 为 $\displaystyle P^{4 \times 4}$ 的子空间； （2）求 $W$ 的维数与一组基．fl：线性空间与线性变换

四、（本题15分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$H$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$\displaystyle r(H)=n$ ，求证：$\displaystyle r(A H)=r(A)$ ．

七．（15 分）（可能有误）线性变换的矩阵 $A$ 对应的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{i}$ ． （1）证明：存在非零特征向量 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle A \alpha=\lambda_{1} \alpha$ ； （2）证明：存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{-1} A C$ 为对角阵．

三．（15 分）已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta(\beta \neq 0)$ 有解，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有 $k$ 个线性无关解 $\displaystyle (k<n)$ ，证明：$\displaystyle A X=\beta$ 有 $\displaystyle k+1$ 个线性无关解，不存在 $\displaystyle k+2$ 个线性无关解．

八．（20分）设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换．证明： （1）若存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+1}$ ，则对任意正整数 $l$ ，有 $\displaystyle \operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{k+l}$ ； （2）证明：存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Ker} \mathscr{A}^{m} \oplus \operatorname{Im} \mathscr{A}^{m}$ ．

六．（15 分）设 $A$ 是 3 阶正交矩阵，且 $\displaystyle |A|=-1$ ． （1）证明：-1 是 $A$ 的特征值； （2）证明：存在正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=P^{T} A P=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ 或 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right)$ ．

四．（15 分）$A$ 为 $\displaystyle 3 \times 4$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle 4 \times 3$ 矩阵． （1）证明：$\displaystyle \left|\lambda I_{4}-B A\right|=\lambda\left|\lambda I_{3}-A B\right|$ ； （2）若 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)=6, A B$ 每行元素之和均为 $\displaystyle 1, B A-2 I$ 不可逆，求 $\displaystyle |B A+2 I|$ ．

1．设 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 是 $n$ 维复线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}, \lambda$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的复特征值，此时 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的相应特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid \mathscr{A} \alpha=\lambda \alpha\} \neq 0$ ． （1）证明 $\displaystyle V_{\lambda}$ 是一个 $\displaystyle \mathscr{B}$－子空间； （2）将 $\displaystyle \mathscr{B}$ 限制到 $\displaystyle V_{\lambda}$ 得到的线性变换记为 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ ，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 可对角化，证明 $\displaystyle \left.B\right|_{V_{\lambda}}$ 也可对角化。 （3）若 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 都可以对角化，证明：存在 $V$ 的基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 在该基下的矩阵都为对角阵。

2．设 $\displaystyle A, C$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & C\end{array}\right)$ 是正定矩阵。 （1）证明：$\displaystyle C-B^{T} A^{-1} B$ 正定； （2）证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & C\end{array}\right| \leq|A| \cdot|C|$ ．

3．设数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=B A=O$ ，且秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=n-1$ 。设非零向量 $\displaystyle \alpha, \beta$ 分别是 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle A^{T} X=0$ 的非零解。 （1）证明：存在数 $\displaystyle k \in F$ ，使得 $\displaystyle B=k \alpha \beta^{T}$ ； （2）证明：存在多项式 $\displaystyle q(x) \in F[x]$ ，使得 $\displaystyle B=q(A)$ ．

4．设 $V$ 是 $\displaystyle n(n>1)$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的单位向量． （1）$V$ 上的正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 称为关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射，如果 $\displaystyle \mathscr{B}$ 满足： （i）若 $\displaystyle (\alpha, \beta)=0$ ，则 $\displaystyle \mathscr{B} \beta=\beta$ ； （ii） $\displaystyle \mathscr{B} \alpha=-\alpha$ ． 证明：如果正交变换 $\displaystyle \mathscr{B}$ 是关于 $\displaystyle \alpha$ 的镜面反射，则 $\displaystyle \mathscr{B} \gamma=\gamma-2(\alpha, \gamma) \alpha, \forall \gamma \in V$ 。 （2）设 $\displaystyle \beta$ 也是 $V$ 中的单位向量，证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 使得 $\displaystyle \operatorname{dim} \operatorname{Ker}\left(\mathscr{A}-1_{V}\right)=n-1$ 且 $\displaystyle \mathscr{A} \alpha=\beta$ ，其中 $\displaystyle 1_{V}$ 表示 $V$ 上的恒等变换。

2．设 4 阶正交矩阵 $A$ 无实特征值，证明：存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $$ Q^{T} A Q=\left(\begin{array}{cccc} \cos \theta_{1} & \sin \theta_{1} & & \\ -\sin \theta_{1} & \cos \theta_{1} & & \\ & & \cos \theta_{2} & -\sin \theta_{2} \\ & & \sin \theta_{2} & \cos \theta_{2} \end{array}\right), \theta_{i} \neq k \alpha(i=1,2) $$

3．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \operatorname{End}_{F}(V)$ 上的线性变换，$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的最小多项式。 （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 可对角化的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 可分解为互素一次因式的乘积． （2）若 $\displaystyle A^{5}=I, A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，当 $\displaystyle F=\mathbb{Q}$ 或 $\displaystyle F=\mathbb{C}$ 时，$A$ 是否可以对角化？请说明理由．

4．设矩阵 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right) P^{-1}$ ，且 $\displaystyle C(A)=\left\{X \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \mid A X=X A\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle C(A)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{3 \times 3}$ 的子空间； （2）求 $\displaystyle C(A)$ 的维数和基．

5．若矩阵 $\displaystyle A^{T}=A, B^{T}=-B, A B=B A$ 且 $A$ 可逆，$\displaystyle C=A^{-1} B$ ． （1）证明：$C$ 为反对称矩阵； （2）设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，记线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足 $$ \mathscr{A}: \alpha \rightarrow C \alpha, \forall \alpha \in V $$ 证明： $\displaystyle \mathscr{A}(\alpha) \perp \alpha, \forall \alpha \in V$ ． （3）证明：$\displaystyle C^{2}$ 非负定．

6．已知 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，且 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B} \in \operatorname{End}_{F}(V)$ ．证明： $$ \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{A} \mathscr{B}) \leq \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{A})+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \mathscr{B}) $$ 并证明 $\displaystyle R(A B) \geq R(A)+R(B)-n, \forall A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ．

11．设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}$ ．证明：存在 $V$ 的子空间 $W$ ，使得 $\displaystyle W=V_{1} \oplus W=V_{2} \oplus W$ ．

12．证明多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-10 x^{2}+1$ 在有理数域上不可约．

13．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$n$ 维列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ 为 $A$ 的对应特征值 $\displaystyle \lambda$ 的特征向量，证明：线性方程组 $\displaystyle (A-\lambda I) X=\alpha$ 无解．

14．设 $\displaystyle A \in \mathbb{C}^{2 \times 2}, f(X, Y)=X^{T} A Y$ 是复数域上 2 维列向量空间 $\displaystyle \mathbb{C}^{2}$ 上的对称双线性函数．证明：存在非零列向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{C}^{2}$ ，使得 $\displaystyle f(\alpha, \alpha)=0$ 。

15．设 $\displaystyle B, C$ 为 $n$ 阶复矩阵。 （1）如果矩阵方程 $\displaystyle A X=X C$ 有非零解，证明：$\displaystyle B, C$ 有公共的特征值． （2）如果 $\displaystyle B, C$ 有公共的特征值，证明：$\displaystyle B X=X C$ 有非零解．

三．证明题．前 4 题每题 10 分，最后一题 20 分，共 60 分．

3、线性空间 $V$ 的维数为 30 ，线性空间 $\mathcal{A V}, \mathcal{B V}, \mathcal{C V}$ 的维数分别为 $24, \mathcal{A B C V}$ 的最小维数是 $\_\_\_\_$。

4、矩阵 $A$ 的零化多项式为 $A^{4}+5 I=4 A^{2}$ 且 $\operatorname{det}(A)=8, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$A^{*}-3 I$的最小多项式 $f(\lambda)=$ $\_\_\_\_$。

5、特征多项式 $\lambda^{3}(\lambda-1)^{4}$ 的复矩阵按相似分类，可分为 $\_\_\_\_$类．

6、12 维线性空间 $V$ ，子空间 $U, W$ 的维数分别为 $3,4, \operatorname{dim}\left(U^{\perp} \cap W^{\perp}\right)$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

2．平面曲 线 $4 x^{2}-4 x y+y^{2}+6 x-8 y+3=0$ 平行于直线 $x+2 y+1=0$ 的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．

5．平面二次曲线 $13 x^{2}-6 \sqrt{3} x y+7 y^{2}-256=0$ 的类型为 $\_\_\_\_$ ．

八．（10 分）证明：直线 $\displaystyle l_{1}: \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-5}{3}$ 与直线 $\displaystyle l_{2}: \frac{x}{5}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 异面，并求过它们的公垂线段中点且与公垂线段垂直的平面的方程．

六．（15 分）（学硕）设 $A$ 为 $m$ 阶复方阵，$B$ 为 $n$ 阶复方阵。若 $A$ 与 $B$ 没有公共的特征值，证明：关于 $X$ 的矩阵方程 $\displaystyle A X=X B$ 只有零解． （20 分）（专硕）设 $\displaystyle A, B$ 和 $C$ 是三个 $n$ 阶复矩阵，$A$ 和 $B$ 是幂零矩阵，$C$ 是可逆矩阵．若它们满足 $\displaystyle A B=B A$ 和 $\displaystyle A C=C A$ ．证明：1．$\displaystyle A+B$ 是幂零矩阵；2．$\displaystyle A+C$ 是可逆矩阵．

四．（15 分）（学硕）设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一个向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中 $n$ 个非零向量．令 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 表示 $n$ 维行向量空间，记 $\displaystyle W=\left\{\left(k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i}=0\right\}$ ．假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的极大线性无关组包含 $r$ 个向量，证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的 $\displaystyle n-r$ 维子空间． （15 分）（专硕）证明：有限维欧氏空间任意一组正交的非零向量都线性无关。

1．（7 分）设 $f(x)$ 是实系数多项式，且 $a+b \mathrm{i}$ 是 $f(x)$ 的一个虚根，其中 $a, b$ 是实数，证明 $a-b \mathrm{i}$ 也是 $f(x)$ 的一个虚根．

3．（8 分）设 $B$ 是一个 3 阶矩阵且满足 $A B=B A$ ，证明：$B$ 也可对角化．

2．（5 分）设曲线 $a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 b_{1} x+2 b_{2} y+c=0$ 为双曲线，则它的实轴和虚轴长度的平方和可以用二次曲线的不变量表达为 $\_\_\_\_$ ．

一．（12 分）设 $\displaystyle P=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，考虑增广矩阵 $\displaystyle B=(A, P)$ ，其中 $A$ 是 3 阶方阵．若 $B$ 经过若干次初等行变换化为 $$ \left(\begin{array}{ccc:ccc} 1 & 0 & 0 & 2 & -3 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) . $$ 证明：$A$ 可逆，并求 $\displaystyle A^{-1}$ ．

三．（15 分）设 $M$ 是秩为 $r$ 的 $m$ 阶方阵，$V$ 是全体 $\displaystyle m \times n$ 矩阵构成的线性空间，定义 $V$ 上的变换 $\displaystyle \varphi$ 为 $$ \varphi(N)=M N, N \in V $$ 证明：$\displaystyle \varphi$ 是线性变换，并求 $\displaystyle \varphi$ 的像空间的维数．

二．（12 分）证明：$n$ 维向量空间 $\displaystyle \mathbb{F}^{n}$ 的任意一个不等于 $\displaystyle \mathbb{F}^{n}$ 的子空间都是若干个 $\displaystyle n-1$ 维子空间的交．

五．（15 分）设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，若存在 $\displaystyle n \times m$ 矩阵 $G$ ，满足 $\displaystyle A G A=A$ ，则称 $G$ 为 $A$ 的一个广义逆．若 $A$为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，且满足 $\displaystyle A=P\left(\begin{array}{cc}I_{r} & O \\ O & O\end{array}\right) Q$ ，其中 $\displaystyle P, Q$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶可逆矩阵。证明：$A$ 的全部广义逆可表示为 $$ G=Q^{-1}\left(\begin{array}{cc} I_{r} & C \\ D & F \end{array}\right) P^{-1} $$ 其中 $\displaystyle C, D, F$ 分别是任意的 $\displaystyle r \times(m-r),(n-r) \times r,(n-r) \times(m-r)$ 矩阵．

六．（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), f_{3}(x), f_{4}(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，若多项式 $$ f_{1}\left(x^{2025}\right)+x f_{2}\left(x^{2025}\right)+x^{2} f_{3}\left(x^{2025}\right)+x^{3} f_{4}\left(x^{2025}\right) $$ 可以被 $\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}$ 整除，证明：$\displaystyle f_{i}(1)=0(i=1,2,3,4)$ ．

四．（16 分）设 $A$ 是如下的实对称矩阵： $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 2 \end{array}\right) $$ 证明：$A$ 为半正定矩阵，并求半正定矩阵 $B$ ，满足 $\displaystyle B^{2}=A$ ．

1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．

10．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的一个 $n$ 维线性空间，在 $V$ 上定义一个二元实值函数，记为 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ ，且满足：对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma \in V, k \in \mathbb{R}$ ，有 （i）$\displaystyle [k \alpha, \beta]=k[\alpha, \beta]$ ． （ii）$\displaystyle [\alpha+\beta, \gamma]=[\alpha, \gamma]+[\beta, \gamma]$ ． （iii）$\displaystyle [\alpha, \beta]=-[\beta, \alpha]$ ． （iv）如果 $\displaystyle [\alpha, \beta]=0$ 对任意的 $\displaystyle \beta \in V$ 成立，则有 $\displaystyle \alpha=0$ ． 此时我们称 $V$ 关于该二元函数构成一个实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $S$ 空间。证明：对于一个 $n$ 为 $S$ 空间 $V$ ，以下结论成立： （1）$\displaystyle n \neq 1$ ． （2）对于 $V$ 中的任意非零向量 $\displaystyle \alpha$ ，存在 $\displaystyle \beta \in V$ ，使得 $\displaystyle [\alpha, \beta]=1$ ． （3）设 $K$ 为 $V$ 中的由（2）中的 $\displaystyle \alpha, \beta$ 生成的子空间，记 $$ K^{\perp}=\{\gamma \in V \mid[\gamma, \delta]=0, \forall \delta \in K\} . $$ 证明：$\displaystyle K^{\perp}$ 也是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=K \oplus K^{\perp}$ ． （4）证明：$n$ 为偶数（记 $\displaystyle n=2 k$ ），且存在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{k}, \varepsilon_{-1}, \varepsilon_{-2}, \cdots, \varepsilon_{-k}$ ，使得 $$ \left[\varepsilon_{i}, \varepsilon_{-i}\right]=1, \forall 1 \leq i \leq k ;\left[\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right]=0, \forall i, j \in\{ \pm 1, \pm 2, \cdots, \pm k\} \text {, 并且 } i+j \neq 0 \text {. } $$

2．设 $\displaystyle A, B, C$ 及 $D$ 均为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 级矩阵且 $D$ 可逆，令 $$ M=\left(\begin{array}{cc} O & A D \\ C & B \end{array}\right) $$ 用 $\displaystyle r(A)$ 表示矩阵 $A$ 之秩，证明：$\displaystyle r(M) \geq r(A)+r(C)$ ．

4．设 $A$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 级矩阵，$\displaystyle \beta$ 是 $n$ 维非零向量，假设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一组基础解系，$\displaystyle \alpha$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的一个解。证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}, \alpha$ 是线性无关的．

5．设 $A$ 是 $n$ 级半正定矩阵，$D$ 是 $n$ 级实矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 表示 $A$ 的伴随矩阵． （1）证明：若 $A$ 正定，则 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 半正定． （2）当 $A$ 非正定时，请问 $\displaystyle D^{\prime} A^{*} D$ 是半正定吗？说明理由．

6．设 $\displaystyle f(x), P(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，且 $\displaystyle P(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的不可约多项式，设 $\displaystyle P(x)$ 有一个复数根 $\displaystyle \alpha$ ，如果 $\displaystyle \alpha$ 也是 $\displaystyle f(x)$ 的复根，证明：在 $\displaystyle \mathbb{Q}[x]$ 中，$\displaystyle P(x) \mid f(x)$ ．

7．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的矩阵可以对角化，证明：对 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的任意不变子空间 $\displaystyle W, \mathscr{A}$ 限制在 $W$ 上的变换 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 的矩阵也可以对角化。

8．设 $f$ 是复数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，这里 $\displaystyle n \geq 2$ ，它在一组基下的矩阵 $A$ 为对角线元素为 1的若尔当块 $$ \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $f$ 的特征多项式，特征值及相应的特征子空间的维数．请回答 $A$ 可以对角化吗？说明理由． （2）证明：矩阵 $A$ 与 $\displaystyle A^{2}$ 相似．

9．设 $\displaystyle V, W$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的两个线性空间，其维数分别为 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n, \operatorname{dim} W=m, \sigma$ 是 $V$ 到 $W$ 的一个满射，且满足线性性，即 $$ \sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta), \sigma(k \alpha)=k \sigma(\alpha), \forall \alpha, \beta \in V, k \in \mathbb{P} . $$ 记 $\displaystyle U=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}$ ，证明：$U$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} U=n-m$ ．

3．如果把复 $n$ 级对称矩阵按合同分类，即两个复 $n$ 级对称矩阵属于同一类当且仅当它们合同，则共有 $\_\_\_\_$类。

1．计算 $n$ 阶行列式 $\left|\begin{array}{ccccc}0 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 0 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 2 & 0 & \cdots & n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 2 & 3 & \cdots & 0\end{array}\right|$（本题14分）

1）求 $B$ 的行列式因子、不变因子和初等因子；

1．设 6 阶方阵 $A$ 的行列式为 0 ，伴随矩阵 $A^{*}$ 中的元素 $A_{21}=\frac{3}{4}$ ，则 $r(A)=$ $\_\_\_\_$ ．

4．（数据可能不对）已知 $\mathrm{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 2 \\ 5 & 4 & 3\end{array}\right]$ ，且 $B=(A-E)^{-1}(A+E)$ ，求 $(B+E)^{-1}$

1．已知 $D_{n-1}=\left|\begin{array}{cccc}a_{1}^{n}-a_{1} & a_{1}^{n-1}-a_{1} & \ldots & a_{1}^{2}-a_{1} \\ a_{2}^{n}-a_{2} & a_{2}^{n-1}-a_{2} & \ldots & a_{2}^{2}-a_{2} \\ \vdots & \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n-1}^{n}-a_{n-1} & a_{n-1}^{n-1}-a_{n-1} & \ldots & a_{n-1}^{2}-a_{n-1}\end{array}\right|$ ，求 $D_{n}$

4．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关，求 $L\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{2}+\alpha_{3}, \ldots, \alpha_{s-1}+\alpha_{s}, \alpha_{s}+\alpha_{1}\right)$的基和维数

1．$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+14 x^{3}+16 x^{2}+9 x+2$ ，则 $f(x)$ 的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．

3、矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，求 $E-A$ 的逆．

1、（16 分）$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2025 & 2025 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & a & 4\end{array}\right)$ 有一个二重特征值． （8分）（1）求 $a$ 的值． （8分）（2）判断 $A$ 是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵 $C$ ，使得 $C^{-1} A C=D, D$ 为对角矩阵．

4、（16 分）非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{4}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}+3 x_{3}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=3\end{array}\right.$ ，有 3 个线性无关的解． （5 分）（1）记 $A$ 为方程组的系数矩阵，证明：$r(A)=2$ ． （5 分）（2）求 $a, b$ 的值． （6 分）（3）求方程组的解．

1、（10 分）线性变换 $\varphi$ 是线性空间 $U$ 上的正交变换，$\varepsilon$ 是恒等变换，证明： $$ (\varphi+\varepsilon)^{-1}(0)=[(\varphi+\varepsilon) V]^{\perp} $$

1．设向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}(m \geq 2)$ 中 $\alpha_{m} \neq 0$ ，证明：对任意 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{m-1}$ ，向量组 $$ \beta_{1}=\alpha_{1}+k_{1} \alpha_{m}, \beta_{2}=\alpha_{2}+k_{2} \alpha_{m}, \cdots, \beta_{m-1}=\alpha_{m-1}+k_{m-1} \alpha_{m} $$ 线性无关的充要条件是 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 线性无关．

1．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ 是一组线性无关的向量，$\beta_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i j} \alpha_{j}(i=1,2, \cdots, t)$ ，证明：$\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{t}$ 线性无关的充要条件是 $\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 t} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 t} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{t 1} & a_{t 2} & \cdots & a_{t t}\end{array}\right| \neq 0$ ．

5．求下列方程组的一个基础解系． $$ \left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}+5 x_{5}=0 \\ 6 x_{1}+4 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}+7 x_{5}=0 \\ 9 x_{1}+6 x_{2}+5 x_{3}+7 x_{4}+9 x_{5}=0 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{4}+8 x_{5}=0 \end{array}\right. $$

7．求 $n$ 阶方阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ a & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ a^{2} & a & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a^{n-1} & a^{n-2} & a^{n-3} & \cdots & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵。

2．求解微分方程 $y^{\prime \prime}-y=x e^{x} \cos x$ ．

4．解方程 $y=\frac{3}{2}\left(y^{\prime}\right)^{2}-2 y^{\prime} x+x^{2}$ ．

3．（10分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\alpha$ 为 $n$ 维实的列向量，证明：$A^{-1}$ 与 $A+\alpha \alpha^{T}$ 均为正定矩阵，其中 $A^{-1}$ 为 $A$ 的逆矩阵，$\alpha^{T}$ 为 $\alpha$ 的转置。

5．（15分）设 $A, B$ 为 3 阶复方阵，且都只有一个特征值 $\lambda_{0}$ ．证明：$A$ 与 $B$ 相似的充要条件是 $$ \operatorname{dim}\left(V_{\lambda_{0}}(A)\right)=\operatorname{dim}\left(V_{\lambda_{0}}(B)\right) $$

6．（20 分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$W_{1}, W_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} W_{1}=s<\operatorname{dim} W_{2}=t$ ．证明： （1）存在 $\beta \in W_{2}, \beta \neq 0$ ，而 $\left(\beta, W_{1}\right)=0$ ，且 $\operatorname{dim}\left(W_{1}^{\perp} \cap W_{2}\right) \geq t-s$ ． （2） $\operatorname{dim}\left(W_{1}+W_{2}^{\perp}\right) \leq n-t+s$ ．

3．（10 分）试证若 $y=\varphi(x)$ 是方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=p(x) \sin y$ 的满足初试条件 $\varphi(0)=0$ 的解，则 $\varphi(x) \equiv 0$ ，其中 $p(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续．

5．（10 分）是否存在 $\mathbb{R}$ 上连续函数 $p, q$ ，使得微分方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=0, x \in \mathbb{R}$ 有两个解 $\phi(x)=\sin x, \psi(x)=x e^{x}, x \in \mathbb{R} ?$

1．（15 分）设齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-2,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0\end{array}\right.$ ． 证明：$\displaystyle X_{0}=\left(x_{1_{o}}, x_{2_{o}}, \cdots, X_{n_{o}}\right)^{T}$ 为该方程组的解，其中 $$ \begin{aligned} & x_{1_{o}}=\left|\begin{array}{cccc} a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n} \end{array}\right| \\ & x_{2_{o}}=-\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n} \end{array}\right| \\ & , \cdots, x_{n_{o}}=(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1} \end{array}\right| \end{aligned} $$ 且若 $\displaystyle \mathbf{X}_{0} \neq 0$ ，则方程组的任一解可以表示为 $\displaystyle k \mathbf{X}_{0}$ ，其中 $k$ 为常数．

2、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶可逆反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 维列向量，又设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & b \\ b^{T} & 0\end{array}\right)$ ． 证明： （1）$n$ 为偶数． （2）矩阵 $B$ 的秩 $\displaystyle r(B)=n$ ．

2、（10 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在整个平面上连续有界，对 $y$ 有连续偏导数，证明：方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=f(x, y)$ 的每个解 $\displaystyle y=\varphi(x)$ 在 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty)$ 上有定义．

3、（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n} \times \mathbf{m}$ 实矩阵。证明：如果 $\displaystyle r(B)=m$ ，则 $m$ 阶实方阵 $\displaystyle B^{T} A B$ 为正定矩阵。

4、（15 分）证明：（1）若 $\displaystyle |A|=1$ ，则 $A$ 为正交矩阵 $\displaystyle \Leftrightarrow A$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式． （2）若 $\displaystyle |\mathbf{A}|=-1$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为正交矩阵 $\displaystyle \Leftrightarrow \mathbf{A}$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式乘以 $\displaystyle (-1)$ ．

5、（15 分）设 $\displaystyle A, B, C, D$ 为具有相同特征多项式的三阶复方阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ 中必有两个矩阵相似．

5、（20 分）对于方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} X}{\mathrm{~d} t}=A(t) X$ ，其中 $\displaystyle A(t)$ 的每个元素 $\displaystyle a_{i j}(t)$ 都是以 $T$ 为周期的周期函数，且 $\displaystyle X(t)$ 为方程的基解矩阵。证明：$\displaystyle X(t+T)$ 也是方程组的解，且存在可逆矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle X(t+T)=B X(t)$ ．

6、（20 分）设 $W$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的非零子空间，$\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma(W)$ 与 $\displaystyle \sigma^{-1}(W)$ 分别表示 $W$ 中全体的像与原像构成的子空间，证明： （1） $\displaystyle \operatorname{dim}(\sigma(W))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma \cap W)=\operatorname{dim}(W)$ ． （2）若 $\displaystyle W \subseteq \operatorname{Im} \sigma$ ，则 $$ \operatorname{dim}(W) \leq \operatorname{dim}\left(\sigma^{-1}(W)\right) \leq \operatorname{dim}(W)+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma) . $$ ## 2025 年山东大学常微分方程考研真题

2．已知 $n$ 阶矩阵 $A$ （1）证明：若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则 $A$ 可以表示成 $\displaystyle \left(\begin{array}{c}a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n}\end{array}\right)\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ 的形式。 （2）证明：若 $\displaystyle r(A)=1$ ，则存在常数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{2}=k A$ 。 （3）若 $\displaystyle n=2, A^{m}=O(m>2)$ ，证明：$\displaystyle A^{2}=O$ 。

3．已知对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A_{11}$ 是方阵，证明以下条件是充要的： （1）$A$ 正定 （2）$\displaystyle A_{11}, A_{22}-A_{12}^{T} A_{11}^{-1} A_{12}$ 都正定 （3）$\displaystyle A_{22}, A_{11}-A_{12} A_{22}^{-1} A_{21}$ 都正定

3．已知 $\displaystyle y^{\prime}+y=f(x), f(x)$ 连续且 $\displaystyle |f(x)| \leq M$ ，证明：$\displaystyle y=y(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 存在有界解，并求出该解。

4．已知 $\displaystyle y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=f(x)$ 的有界解为 $\displaystyle \psi(x)$ ，证明：若 $f$ 是周期为 $T$ 的连续函数，则 $\displaystyle \psi(x)$ 是周期为 $T$ 的连 续函数。

5．设 $V$ 是欧式空间，向量 $\displaystyle a \in V$ ，向量 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n} \in V$ ，满足：$\displaystyle \left(a, a_{i}\right)>0 ;\left(a_{i}, a_{j}\right) \leq 0(i \neq j)$ ，证明： $\displaystyle a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}$ 线性无关。

6．设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中一组基，满足：$\displaystyle \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{3}, \cdots, \sigma\left(\alpha_{n-1}\right)= \alpha_{n}, \sigma\left(\alpha_{n}\right)=0$ （1）求 $\displaystyle \sigma$ 在这组基下的表示矩阵 （2）证明：$\displaystyle \sigma^{n}=O, \sigma^{n-1} \neq O$ 常微分方程部分

2、 $f(\lambda)$ 是首项系数为 1 的整系数多项式，若 $f(2+\sqrt{3})=0$ ，则 $f(5)=$ $\_\_\_\_$。

3、线性空间 $V$ 的维数为 30 ，线性空间 $\mathcal{A V}, \mathcal{B V}, \mathcal{C V}$ 的维数分别为 $24, \mathcal{A B C V}$ 的最小维数是 $\_\_\_\_$。

4、矩阵 $A$ 的零化多项式为 $A^{4}+5 I=4 A^{2}$ 且 $\operatorname{det}(A)=8, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，$A^{*}-3 I$的最小多项式 $f(\lambda)=$ $\_\_\_\_$。

6、12 维线性空间 $V$ ，子空间 $U, W$ 的维数分别为 $3,4, \operatorname{dim}\left(U^{\perp} \cap W^{\perp}\right)$ 的最小值是 $\_\_\_\_$。

7、在三维欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中，定义内积 $(\alpha, \beta)=x_{1} y_{1}+x_{2} y_{2}+x_{3} y_{3}, \alpha=\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$ ． $u, v, w \in \mathbb{R}^{3}$ ，其长度分别为 $1,2,4$ ，它们两两之间夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ． （1）直接写出 $u, v, w$ 的格拉姆矩阵 $G=\left(\begin{array}{lll}(u, u) & (u, v) & (u, w) \\ (v, u) & (v, v) & (v, w) \\ (w, u) & (w, v) & (w, w)\end{array}\right)$ ． （2） $\operatorname{det}\left(I+u^{T} u+v^{T} v+w^{T} w\right)$ 的值．

8、若 $\beta=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 7\end{array}\right)$ 可由 $\alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -2 \\ 4 c\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}2 \\ c \\ 10\end{array}\right), \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 0\end{array}\right)$ 的两种不同系数的线性表出． （1）$c$ 的值． （2）$\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}=6 \\ c x_{1}+2 x_{2}-x_{3}=5 \\ 3 x_{1}+5 x_{2}+(12-c) x_{3}=7\end{array}\right.$ 的通解．

9、令 $\mathscr{A}$ 是 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$V$ 中任意向量可由 $\alpha, \mathscr{A} \alpha, \mathscr{A}^{2} \alpha$ 线性表出，且 $2 \alpha-5 \mathscr{N} \alpha+4 \mathscr{N}^{2} \alpha-\mathscr{N}^{3} \alpha=0$ ． （1）求 $\mathscr{A}$ 的全部特征值与特征向量． （2）是否存在 $V$ 中的一组基， $\mathscr{A}$ 在此基下为对角阵，若存在，求出此基，若不存在，请说明理由．

10、设二次型 $f(x)=2 x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+2 x_{1} x_{3}$ ． （1）求 $f(x)$ 的矩阵的特征值与特征向量． （2）求正交线性替换 $X=C Y$ 使 $f(x)$ 为标准型． （3）求 $f(x)$ 在条件 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=4$ 下的最大值．

11、12维线性空间 $V$ ，且 $A B=B A . \operatorname{dim} V_{A}=5, \operatorname{dim} V_{B}=4, \operatorname{dim} V_{A+B}=6$ ． （1）证明 $A B X=0$ 所生成的线性空间的维数最小值是 3 ． （2）$R(A B) \leq R(A)+R(B)-R(A+B)$ ．

3．求正交变换 $X=Q Y$ 化 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为标准型．

1．证明 $U, W$ 为 $V$ 上的子空间．

六、已知 $V$ 是数域 $P$ 上由对称矩阵的加法和数乘构成的线性空间，且 $\displaystyle U=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}, W=\{\lambda E \mid \lambda \in P\}$ 1．证明 $\displaystyle U, W$ 为 $V$ 上的子空间． 2．求 $U$ 和 $W$ 的基和维数． 3．证明：$\displaystyle V=U \oplus W$ ．

6．假设 $\displaystyle A_{m \times n}$ 为行满秩实矩阵，$\displaystyle m<n$ ，令 $\displaystyle B=A^{T} A$ 。 （1）证明：使得 $\displaystyle x^{T} B x=0$ 的所有 $x$ 构成 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的一个线性子空间 $W$ ； （2）求 $W$ 的维数

7．已知 $\displaystyle R^{n \times n}$ 是全体 $n$ 阶矩阵组成的线性空间，$\displaystyle f_{A}$ 是 $\displaystyle R^{n \times n}$ 上的线性变换，定义为 $\displaystyle f_{A}=A X+X A$ ， $\displaystyle X \in R^{n \times n}$ ，其中 $A$ 为实对称矩阵 （1）求 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 的维数和一组基 （2）证明：$\displaystyle f_{A}$ 为 $\displaystyle \mathrm{R}^{n \times n}$ 上的线性变换 （3）问：取什么基时 $\displaystyle f_{A}$ 的矩阵可以化为对角形？请求出这组基和对角形形式

8．设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2011 & 11 \\ 0 & 0 & 11 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ．证明： $\displaystyle \mathrm{X}^{2}=A$ 无解，这里 $X$ 为三阶未知复方阵

2．设 $A$ 是 3 阶方阵，$P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 。若 $P=\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right)$ ， $Q=\left(X_{2}, X_{1}, X_{3}\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $P^{-1}$ 表示 $P$ 的逆。

5．设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是数域 $F$ 上的多项式，且在 $F$ 上互素．若有复数 $c$ ，使得 $f(c)=0$ ，则 $g(c)$ $\_\_\_\_$ （选填＂必等于＂＂未必等于＂＂必不等于＂） 0 。

7．设矩阵 $A$ 的特征多项式为 $\lambda^{4}(\lambda-1)^{2}$ ，且 $r(A)=4, r\left(A^{2}\right)=2, r(A-E)=4$ ，则 $A$ 的 Jordan 标准形是 $\_\_\_\_$。

8．设 $V_{1}$ 和 $V_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的子空间，且 $V_{1}$ 的维数小于 $V_{2}$ 的维数，则 $V_{2}$ 中 $\_\_\_\_$ （选填＂必有＂＂未必有＂＂必没有＂）一非零向量正交于 $V_{1}$ 中的所有向量。

3．已知 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为 $n$ 维实列向量，且当 $\displaystyle i \neq j$ 时，有 $\displaystyle X_{i}^{\prime} A X_{j}=0$ ，证明： $\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关。

4．设 $P$ 为数域，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1, A$ 为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，证明：$\displaystyle f(A) g(A)=O$的充要条件是 $\displaystyle r(f(A))+r(g(A))=n$ ．

5．设 $n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 的秩均为 1 ，且 $A$ 与 $B$ 的迹相同，证明：$A$ 相似于 $B$ ．

6．设 $\displaystyle W_{1}, W_{2}, W_{3}$ 均为有限维线性空间 $V$ 的子空间，且 $$ W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{3}, W_{1} \cap W_{2}=W_{2} \cap W_{3}, W_{1} \subseteq W_{2} . $$ 证明 $\displaystyle W_{1}=W_{2}$ ．

7．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，且 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \varphi \oplus W$ ，证明： $$ V=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \varphi . $$

七．设 $\displaystyle U, V$ 为数域 $F$ 上的有限维线性空间，$\displaystyle \varphi: V \rightarrow U, \psi: U \rightarrow V$ ，且 $\displaystyle \psi \varphi=\operatorname{id}_{V}$ ，证明：$\displaystyle U=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{Ker} \psi$ ．

三．设 $n$ 维实列向量 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)^{T}(i=1,2, \cdots, r ; r \leq n)$ ，且 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，$\displaystyle \beta$ 为齐次线性方程组 $$ \left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{r 1} & a_{r 2} & \cdots & a_{r n} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) $$ 的非零解，证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta$ 线性无关．

五．设 $\displaystyle f(x)=x^{4}+6 x^{3}+4 x+2 \in \mathbb{Q}[x], c$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的一个复根．记 $$ \mathbb{Q}[c]=\left\{a_{0}+a_{1} c+a_{2} c^{2}+a_{3} c^{3} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} \in \mathbb{Q}\right\} $$ 证明： （1）$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上不可约； （2）对任．意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，有 $\displaystyle g(c) \in \mathbb{Q}[c]$ ； （3）对任意的 $\displaystyle g(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，若 $\displaystyle f(x) \nmid g(x)$ ，则仔在 $\displaystyle h(x) \in \mathbb{Q}[x]$ ，使得 $\displaystyle g(c) h(c)=1$ ． ∴。设 $Q$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$x$ 为 $n$ 维实列向量，证明： $\displaystyle 0 \leq x^{T}\left(Q+x x^{T}\right)^{-1} x<1$ ．

四．设 $A$ 是 $n$ 阶方阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(E-A)=n$ 的充分必要条件是 $\displaystyle A^{2}=A$ ．

10．$f=a x_{1}^{2}+a x_{2}^{2}+(a-1) x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ ，则 $a=?$ 时，$f$ 的规范型是 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}$ ． 二。已知 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right), A x=\beta$ 有无穷多解。 （1）$a=? \quad$（2）求 $A x=\beta$ 的通解。

三．若 $A$ 是可逆实矩阵，证明：存在正交阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q A$ 为上三角阵且对角元全为正数．

五．$\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}), 0<\operatorname{rank} A<n, \operatorname{rank} A=\operatorname{rank} A^{2}$ ，证明：存在可逆矩阵 $P$ 及可逆矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=P \operatorname{diag}(B, O) P^{-1}$ ．

八．$V$ 是复数域上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \exists f \in \mathbb{C}[\mathbf{x}]$ s．t．$\displaystyle \varphi f(\varphi)=\sigma$ ，其中 $\displaystyle \sigma$ 可对角化，并且 $\displaystyle \varphi$ 与 $\displaystyle \sigma$ 有相同的特征多项式。

六．$A$ 是 $n$ 阶实正定矩阵，且非对角元均小于 0 ，证明：$\displaystyle A^{-1}$ 的所有元素都大于 0 ．

四．$\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}), f(x) \in \mathbb{C}[\mathbf{x}], g(x)$ 是 $A$ 的最小多项式，$\displaystyle (f, g)=d(x)$ ，证明： $\displaystyle (1) \operatorname{rank}(f(A))=\operatorname{rank}(d(A)) ; \quad(2) f(A)$ 可逆 $\displaystyle \Leftrightarrow(f, g)=1$.

2．$A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \eta\right)$ ， $2 \alpha_{1}+\alpha_{2}=0, m \alpha_{1}+n \alpha_{2}+k \alpha_{3}=0$ $\_\_\_\_$ $m, n, k$ ？），则 $\operatorname{rank} A^{\star}=$ $\_\_\_\_$ ．［题目不全，张祖锦没法做哦．］

5．设 $A=$ $\_\_\_\_$ ，则它的特征值 2 的几何重数为 $\_\_\_\_$ ．［题目不全，张祖锦没法做哦．］

6．矩阵 $A=$ ？的正惯性指数为 $\_\_\_\_$ ．［题目不全，张祖锦没法做哦．］

三．设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是整系数多项式，证明：若 $\displaystyle a c+b c$ 为奇数，则 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

八．用 $\displaystyle \mathbb{R}$ 表示实数域，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 到 $\displaystyle \mathbb{R}$ 的映射 $f$  $$ f(X)=\left|x_{1}\right|+\cdots+\left|x_{r}\right|-\left|x_{r+1}\right|-\cdots-\mid $$ 其中 $\displaystyle r \geq s \geq 0$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的一个 $\displaystyle n-r$ 维子空间 $W$ ，使得 $\displaystyle f(X)=0, \forall X \in W$ ． （2）若 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的两个 $\displaystyle n-r$ 维子空间，  $$ f(X)=0, \forall X \in W_{1} \cup W_{2}, $$ 则一定有 $\displaystyle \operatorname{dim}\left(W_{1} \cap W_{2}\right) \geq n-(r+s)$ ．

六．设 $A$ 是可逆矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$和正定矩阵 $S$ ，使得 $\displaystyle A=Q S$ 。

四．1．设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，秩为 $r$ ，试证：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \varphi$ 在该基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{rank} B=r$ ．［张祖锦注：题目回忆有误，反例见参考解答！我们给出并证明了正确表述方式！］

七．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的不可逆且非幂零的线性变换．证明：存在 $\displaystyle \sigma$ —子空间 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ ，满足 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，且 $\displaystyle \sigma \mid V_{1}$ 为可逆变换，$\displaystyle \sigma \mid V_{2}$ 为幂零变换．

八．（10 分）证明：对任意的正整数 $\displaystyle m, n$ ，必存在 2025 阶方阵 $X$ ，使得 $$ X^{m}+X^{n}=\left(\begin{array}{cccccc} 2 & & & & & \\ 2 & 2 & & & & \\ 3 & 2 & 2 & & & \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & & \\ 2024 & \ddots & 3 & 2 & 2 & \\ 2025 & 2024 & \cdots & 3 & 2 & 2 \end{array}\right) . $$

六．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ 是数域 $F$ 上的不可约多项式，$\displaystyle \varphi$ 是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $V$ 中非零向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 满足 $$ \varphi\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1}(1 \leq i \leq n-1), \varphi\left(\alpha_{n}\right)=-a_{n} \alpha_{1}-a_{n-1} \alpha_{2}-\cdots-a_{1} \alpha_{n} $$ 证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关．

四．（15 分）设 $A$ 为实矩阵满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明： （1）$A$ 可对角化． （2）存在实对称矩阵 $B$ 和正定矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ．

3．已知 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=B A$ ，证明：$\displaystyle r(A)+r(B) \geq r(A+B)+r(A B)$ ．

4．设 $\displaystyle A=E-\xi \xi^{T}$ ，其中 $\displaystyle \xi$ 为 $n$ 维实列向量． （1）证明：$\displaystyle A^{2}=A$ 等价于 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 。 （2）当 $\displaystyle \xi^{T} \xi=1$ 时，求 $\displaystyle r(A)$ ．

6．解答如下问题： （1）设 $A$ 为上三角矩阵也为正交矩阵．证明：$A$ 为对角矩阵，且对角线元素为 $\displaystyle \pm 1$ ． （2）设 $B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，证明：存在正交矩阵 $Q$ 和主对角线元素大于零的上三角矩阵 $R$ ，使得 $\displaystyle B=Q R$ ，并且这种分解是唯一的．

7．设数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一组基为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，令 $\displaystyle \beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ ，已知 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle \beta$ 生成的子空间，$\displaystyle V_{2}=\left\{k_{1} \alpha_{1}+k_{2} \alpha_{2}+\cdots+k_{n} \alpha_{n} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in P, i=1,2, \cdots, n\right\}$ ． （1）求 $\displaystyle V_{2}$ 的一组基和维数． （2）证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

8．给定 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 中的矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义 $\displaystyle \mathbb{R}^{2 \times 2}$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}(X)=X B-B X, X \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，另外取子空间 $\displaystyle W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2 \times 2} \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0\right\}$ ． （1）求 $W$ 的一组基． （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间． （3）记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $W$ 上的限制 $\displaystyle \mathscr{A} \mid W$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ ，求 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 的特征值和特征向量． （4）求 $W$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}$ 在此基下的矩阵为对角矩阵。

10、已知 $\displaystyle \langle f(x), g(x)\rangle=\sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) g\left(\frac{k}{n}\right), f(x) \in R_{n+1}[x]$ ． （1）试证明 $\displaystyle \langle f(x), g(x)\rangle$ 构成欧氏空间的内积． （2）试求与 $x$ 正交的所有一次多项式，在上述内积下．

11、已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变化，试证 $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{A} \Leftrightarrow V=\mathscr{N} \otimes \operatorname{ker} \mathscr{A}$ 。

2、已知 $\displaystyle A+B=A B$ ． （1）证明 $\displaystyle A+E$ 可逆．并求 $\displaystyle (A+E)^{-1}$ ． （2）证明 $\displaystyle A B=B A$ ． （3）$\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}2 & & \\ & 1 & 2 \\ & -3 & 1\end{array}\right]$ ，求 $B$ ．

5、已知矩阵的迹为 $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ ，其中 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ． （1）证明 $\displaystyle \operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B), \operatorname{tr}(k A)=\operatorname{tr}(A), \operatorname{tr}(A B)=\operatorname{tr}(B A)$ ，其中 $\displaystyle B=\left(b_{i j}\right)_{n \times n}$ ． （2）空间 $\displaystyle U=\left\{B \in P^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(B)=0\right\}$ ，试确定 $U$ 的维数，并求 $U$ 的一组基．

7、已知 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，设 $\displaystyle M \in P^{n \times n}$ ，令 $\displaystyle A=f(M), B=g(M)$ 且设 $\displaystyle w, w_{1}, w_{2}$ 分别为 $\displaystyle A B x=0, A x=0, B x=0$ 的解空间，试证明 $\displaystyle w=w_{1} \otimes w_{2}$ ．

8、设 $V$ 是 $C$ 上的 2 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 是 $V$ 的一组基，线性变换中将 $C$ 降维到 $R$ ， $V$ 可视为 $R$ 上的线性空间记为 $\displaystyle V_{R}$ ，记 $\displaystyle \mathscr{N}_{R}$ 为 $\displaystyle \propto \mid V_{R}$ 上的线性变换． （1）设 $\displaystyle \alpha_{3}=i \alpha_{1}, \partial_{4}=i \alpha_{2}, i^{2}=-1$ ，试证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 是 $R$ 的一组基． （2）若设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 下的矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]$ ，且 $\displaystyle a_{i j}=O_{i j}+i V_{i j},(i, j=1,2)$ ，试求 $\displaystyle \mathscr{A}_{R}$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 下的矩阵。

9、（1）$\displaystyle A, B$ 是 3 阶复矩阵，$\displaystyle A, B$ 的特征多项式相同，最小多项式相同，试证 A与 B 相似。 （2）试举例（1）对 4 阶复矩阵不成立。

三．（14 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶可逆方阵，$\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 为 $P$ 上的 $n$ 维列向量． （1）试用分块矩阵理论证明：$\displaystyle \left|A-\alpha \beta^{\mathrm{T}}\right|=|A|\left(1-\beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha\right)$ ． （2）当 $\displaystyle \beta^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha=k \neq 1$ 时，求 $\displaystyle A-\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ 的逆矩阵。

九．（14 分）设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换． （1）证明：如果 $n$ 是奇数，则 $\displaystyle \mathscr{A}$ 有 1 维不变子空间． （2）证明：如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 没有1维不变子空间，那么 $\displaystyle \mathscr{A}$ 必有2维不变子空间。

二．（15 分）已知线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=c \end{array}\right. $$ 有 3 个线性无关的解． （1）证明该线性方程组系数矩阵的秩为 2 ． （2）求参数 $\displaystyle a, b, c$ 的值以及该线性方程组的通解．

五．（15 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上所有 3 阶对称矩阵关于通常矩阵加法与矩阵数乘构成的线性空间，考察 $V$ 的子空间 $$ U=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}, W=\{k E \mid k \in P\} . $$ 其中 $E$ 为 3 阶单位矩阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹，证明：$\displaystyle V=U \oplus W$ ．

八．（12 分）设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{O}$ ．证明：存在 $V$ 的一组基，使得 $\displaystyle \mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}O & O \\ E_{r} & O\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle r=\operatorname{dim} \mathscr{A}(V)$ ．

六．（14 分）设 $A$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 2 阶方阵，记 $\displaystyle W_{A}=\left\{Y \in \mathbb{C}^{2 \times 2} \mid A Y=Y A\right\}$ 。 （1）证明：$\displaystyle W_{A}$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}^{2 \times 2}$ 的子空间． （2）讨论 $\displaystyle W_{A}$ 的维数所有可能的值．

十一．（12 分）设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，证明：$A$ 是正定矩阵的充分必要条件是存在 $n$ 阶正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=B^{2}$ ．

四．（12 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 次首一多项式，$\displaystyle n \geq 1$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 有 $n$个根 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，重根按重数计算，$\displaystyle c \in P$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的根．证明： $$ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}-c}=-\frac{f^{\prime}(c)}{f(c)} $$ 其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 表示 $\displaystyle f(x)$ 的导数，即 $\displaystyle f^{\prime}(x)=n x^{n-1}+(n-1) a_{n-1} x^{n-2}+\cdots+a_{1}$ ．

2．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in M_{m \times n}(\mathbb{R}), B=\left(b_{1}, \cdots, b_{m}\right)^{T} \in M_{m \times 1}(\mathbb{R})$ ．证明：线性方程组 $\displaystyle A^{T} A X=A^{T} B$ 一定有解．

3．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 的特征值互不相同。定义 $$ C(A)=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid A B=B A\right\} $$ （1）．验证：$\displaystyle C(A)$ 是复线性空间 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的线性子空间； （2）．证明：对于任意 $\displaystyle B, C \in C(A)$ ，有 $\displaystyle B C=C B$ ．

6．（20 分）设 $V$ 是实数域上的 $n$ 维欧式空间，$\displaystyle e_{1}, \cdots, e_{n}$ 是一组基，满足内积 $\displaystyle \left(e_{i}, e_{j}\right) \leqslant 0(i \neq j)$ 。 （1）．证明：存在一个非零向量 $\displaystyle v \in V$ ，满足 $\displaystyle \left(e_{i}, v\right) \geqslant 0, \forall i$ ． （2）．假设 $\displaystyle v=a_{1} e_{1}+\cdots+a_{n} e_{n} \in V$ 是任何满足（1）的向量，证明：$\displaystyle a_{i} \geqslant 0, i=1,2, \cdots, n$ ． （3）．设 $\displaystyle u=b_{1} e_{1}+\cdots+b_{n} e_{n} \in V$ 是另一个满足（1）的向量，并定义 $\displaystyle w=c_{1} e_{1}+\cdots+c_{n} e_{n} \in V$ ，其中 $$ c_{i}=\min \left\{a_{i}, b_{i}\right\}, i=1,2, \cdots, n, $$ 证明：向量 $w$ 也满足（1）。

7．（25 分）设 $n$ 阶矩阵 $$ A_{n}=\left(\begin{array}{cccccc} -2 & 1 & & & & \\ 1 & -2 & 1 & & & \\ & 1 & -2 & 1 & & \\ & & 1 & \ddots & \ddots & \\ & & & \ddots & \ddots & 1 \\ & & & & 1 & -2 \end{array}\right) $$ 其特征多项式记为 $\displaystyle f_{n}(\lambda)$ 。 （1）．证明：$\displaystyle f_{n}(\lambda)=(\lambda+2) f_{n-1}(\lambda)-f_{n-2}(\lambda)$ ． （2）．求 $\displaystyle f_{1}(\lambda), f_{2}(\lambda), f_{3}(\lambda)$ ，并求相应的特征值及特征向量． （3）．试写出 $\displaystyle A_{3}$ 的若尔当典范型．

8．（15 分）设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 是一个幂零矩阵（即，存在正整数 $m$ ，使得 $\displaystyle A^{m}=0$ ），定义矩阵 $\displaystyle \exp (A)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^{k}}{k!}$ 。证明： $\displaystyle \exp (A)$ 是可逆矩阵，且 $\displaystyle \exp (A)^{-1}=\exp (-A)$ ．

9．（15 分）设 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{n}$ 都是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶非零矩阵， $$ A_{i}^{2}=A_{i}(i=1,2, \cdots, n), A_{i} A_{j}=0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n) . $$ （1）．证明：$\displaystyle A_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 都可以对角化； （2）．求数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A_{1} P, P^{-1} A_{2} P, \cdots, P^{-1} A_{n} P$ 为对角矩阵。

4．（25 分）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\left|\begin{array}{ccccccc}x & -1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ -1 & x & -1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & x & -1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & x & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & x & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & x\end{array}\right|$ ， （1）证明：$\displaystyle f_{1}(x)=x, f_{2}(x)=x^{2}-1, f_{n}(x)=x f_{n-1}(x)-f_{n-2}(x),(n>2)$ ， （2）求 $\displaystyle f_{n}(2)$ 的值， （3）证明：$\displaystyle f_{n}(x)=0$ 的根是绝对值不超过 2 的实数．

5．（15 分）证明：复数域上的方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0 \\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}=0 \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ x_{1}^{n}+x_{2}^{n}+\cdots+x_{n}^{n}=0\end{array}\right.$ 只有零解。

6．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为复数域的 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}(B)$ ，证明：$A$ 与 $B$ 相似。

7．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in R^{2 \times 2}$ ，且 $$ A^{2}=B^{2}=E, A B+B A=0 $$ 证明：存在可逆矩阵 $P$ 使得 $$ P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) $$

8．（20分）域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上全体 $n$ 阶矩阵组成一个 $\displaystyle n^{2}$ 维线性空间 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C}), A \in M_{n}(\mathbb{C}), A$ 可对角化，特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{n}$（不一定不相等），设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 的变换， $\displaystyle \mathscr{A}(B)=A B-B A$ ， （1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 为域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的线性变换， （2）．求 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的所有 $\displaystyle n^{2}$ 个特征值．

1．（15 分）设 $M$ 是二阶矩阵，求证： $$ M\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) M^{T}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) \Leftrightarrow|M|=1 $$

4．（15 分）设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的向量．已知整数 $m$ 满足 $\displaystyle \varphi^{m}(\alpha) \neq 0$ ，但 $\displaystyle \varphi^{m+1}(\alpha)=0$ ．求证 $\displaystyle \alpha, \varphi(\alpha), \cdots, \varphi^{m}(\alpha)$ 线性无关．

6．（20 分）设 $V$ 是全体 $n$ 阶实系数矩阵构成的线性空间，定义运算 $$ (A, B)=\operatorname{Tr}\left(A^{T} B\right), \quad A, B \in V . $$ （1）证明：（，）是内积，$V$ 是 $\displaystyle n^{2}$ 维欧式空间． （2）设 $\displaystyle T \in V$ 是给定矩阵，定义映射 $$ \phi(A)=T A, \quad A \in V $$ 证明：$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的线性映射． （3）求 $\displaystyle \phi$ 的伴随算子。

7．（15 分）证明：下列二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=n \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}\right)^{2} $$ 是半正定型．

8．（20 分）已知实矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} a_{1} & b_{1} & & & \\ c_{1} & a_{2} & b_{2} & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & b_{n-1} \\ & & & c_{n-1} & a_{n} \end{array}\right) $$ 满足 $\displaystyle b_{i} c_{i}>0,(i=1,2, \cdots, n-1)$ ．求证：$A$ 有 $n$ 个两两不同的实特征值． （提示：先考虑 $\displaystyle b_{i}=c_{i}(i=1,2, \cdots, n-1)$ 的特殊情况；对一般情形，试找出一个实对角可逆矩阵 $D$ 使得 $\displaystyle D^{-1} A D$ 符合该特殊情形。）

4．（20分）设 $\displaystyle \mathbb{K}$ 是数域， （1）证明：一元多项式 $\displaystyle x^{2}+x^{3}$ 不能写成另一多项式的平方； （2）证明：二元多项式 $\displaystyle y^{2}-x^{2}-x^{3}$ 是二元多项式环 $\displaystyle K[x, y]$ 中的不可约多项式，也就是说它不能写成两个非常数多项式的乘积。

5．（13 分）设 $\displaystyle A, B$ 是同阶方阵，若 $A$ 可逆，证明 $\displaystyle A B$ 与 $\displaystyle B A$ 相似。问当 $A$ 不可逆时，结论是否成立？

6．（10 分）给定 $\displaystyle m+n$ 阶分块方阵 $$ A=\left(\begin{array}{cc} 0_{m} & B_{m \times n} \\ C_{n \times m} & 0_{n} \end{array}\right), $$ 证明：若 $\displaystyle \lambda$ 为 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle -\lambda$ 也为 $A$ 的特征值．

7．（20 分）（1）求证： 3 阶复矩阵 $A$ 与 $B$ 相似的充要条件是它们有相同的特征多项式和极小多项式； （2）举例说明 4 阶复矩阵即使有相同的特征多项式和极小多项式也不一定相似。

8．（15 分）设 $\displaystyle f: U \rightarrow V, g: V \rightarrow W$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上有限维的线性映射，证明： $$ \operatorname{dim}(\operatorname{Ker} f)+\operatorname{dim}(\operatorname{Im} f \cap \operatorname{Ker} g)=\operatorname{dim}(\operatorname{Ker}(g f)) $$

9．（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的非零多项式，$A$ 是 $\displaystyle n(n \geqslant 2)$ 阶方阵。 （1）证明：若 $\displaystyle g(A)$ 可逆，则 $$ f(A) g(A)^{*}=g(A)^{*} f(A) $$ 其中 $\displaystyle g(A)^{*}$ 为 $\displaystyle g(A)$ 的伴随矩阵。 （2）$\displaystyle g(A)$ 不可逆时，结论是否成立？

3．（10 分）已知实二次型 $Q$ 满足 $\displaystyle Q(\alpha)=0 \Leftrightarrow \alpha=0$ ．求证：$Q$ 或者正定或者负定．

6．（15 分）设 $f$ 与 $g$ 是从有限维线性空间 $U$ 到有限维线性空间 $W$ 的两个线性映射．若 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)= \operatorname{Im}(g)$ ，这里 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 是 $f$ 的像，证明：存在 $U$ 上的可逆线性变换 $h$ ，使得 $\displaystyle g=f \circ h$ ．

7．（25分）设 $\displaystyle \mathbb{K}$ 是一个数域，$\displaystyle m, n$ 为自然数，$\displaystyle M_{m, n}(\mathbb{K}), M_{m}(\mathbb{K})$ 分别是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上 $\displaystyle m \times n$ 阶与 $m$ 阶矩阵生成的空间，$A$ 是秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵。定义 $$ f: M_{m}(\mathbb{K}) \longrightarrow M_{m, n}(\mathbb{K}), \quad f(X)=X A $$ （1）．证明：$f$ 是一个线性映射； （2）．设 $\displaystyle m=n=2, A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right)$ ，分别求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的一组基与 $f$ 的像 $\displaystyle \operatorname{Im}(f)$ 的一组基； （3）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的秩； （4）．对于任意的 $\displaystyle m, n, r$ ，求 $f$ 的核 $\displaystyle \operatorname{ker}(f)$ 的维数．

8．（20 分）设 $\displaystyle M_{k, n}$ 是所有 $\displaystyle k \times n$ 阶复矩阵的集合，$\displaystyle N_{k}^{-}$是所有 $k$ 阶下三角幂么方阵的集合，$\displaystyle N_{k}^{+}$是所有 $n$ 阶上三角幂么方阵的集合。这里的幂么矩阵是指对角线上全为 1 的上三角或下三角。在 $\displaystyle M_{k, n}$ 中定义如下关系 $$ A \sim B \Leftrightarrow \exists P \in N_{k}^{-}, Q \in N_{k}^{+} \text {, s.t. } A=P B Q \text {. } $$ （1）．求证 $\displaystyle \sim$ 是 $\displaystyle M_{k, n}$ 上的等价关系。 （2）．设 $\displaystyle r=\min \{k, n\}$ ，求证 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 是上述等价关系的不变量，也就是说，两个满足该等价关系的矩阵具有相同的 $\displaystyle \Delta_{1}, \cdots, \Delta_{r}$ 值，这里 $\displaystyle \Delta_{i}(i=1, \cdots, r)$ 是矩阵的第 $i$ 个顺序主子式。

9．（20 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 个两两不同的数，$V$ 是 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上线性空间，$\displaystyle \varphi$ 是 $V$ 上的线性变换，且它在基 $\displaystyle \xi_{1}, \cdots, \xi_{n}$ 下的矩阵为对角矩阵 $\displaystyle A=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ ． （1）．设 $W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间，$\displaystyle x_{1} \xi_{1}+\cdots+x_{n} \xi_{n} \in W$ ，其中 $\displaystyle x_{1}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{K}$ ，证明：若某个 $\displaystyle x_{i}$ 不为 0 ，则 $\displaystyle \xi_{i} \in W$ ． （2）．求 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间个数．

1．（20 分）$\displaystyle m \times n$ 实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 以 $\displaystyle a_{11}$ 为圆心逆时针旋转 $\displaystyle 90^{\circ}$ 得到矩阵 $B$ 。 （1）．求 $B$ 的行数和列数． （2）． $\displaystyle \operatorname{rank}(A)$ 与 $\displaystyle \operatorname{rank}(B)$ 的关系，并解释原因。 （3）．设 $\displaystyle m=n,|A|$ 与 $\displaystyle |B|$ 的关系？并证明．

4．（15 分）已知 2019 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=2019 A$ ，证明：$\displaystyle E+A+\cdots+A^{2019}$ 为正定矩阵。

5．（20 分）已知 $\displaystyle \mathscr{A}: V \rightarrow V$ 是有限维复线性空间 $V$ 上的线性变换。设 $\displaystyle v \in V$ ，存在 $\displaystyle f(\lambda) \in \mathbb{C}[\lambda]$使得 $\displaystyle f(\mathscr{A})(v)=0$ ，则称 $\displaystyle f(\lambda)$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的零化多项式。 （1）．证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的非零零化多项式存在。 （2）． $\displaystyle \mathscr{A}$ 对 $v$ 的次数最低的首项系数为 1 的零化多项式称为极小多项式，记为 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 。证明：零化多项式均能被 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)$ 整除。 （3）．记 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的极小多项式为 $\displaystyle m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ ，证明：存在 $\displaystyle v \in V$ 使得 $\displaystyle m_{\mathscr{A}, v}(\lambda)=m_{\mathscr{A}}(\lambda)$ 。

6．（15 分）证明：任意复二阶矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $$ \left[[A, B]^{2}, C\right]=0 $$ 其中 $\displaystyle [X, Y]=X Y-Y X$ ．

8．（20 分）$\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})$ 为 2 阶可逆复矩阵集合，$V$ 是迹为 0 的 2 阶复矩阵构成的复线性空间。若 $V$的一个线性子空间 $W$ 满足：$\displaystyle \forall P \in G L_{2}(\mathbb{C})$ 与 $\displaystyle \forall A \in W$ ，总有 $\displaystyle P^{-1} A P$ 落在 $W$ 中，称 $W$ 为 $\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})$－不变子空间。求证：$V$ 的 $\displaystyle G L_{2}(\mathbb{C})-$ 不变子空间只有零空间和 $V$ 。

2．（15 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ ，是线性空间 $V$ 中的 $\displaystyle 2 n$ 个向量．已知对任意的 $\displaystyle 1 \leqslant k \leqslant n$ 以及 $\displaystyle 1 \leqslant i_{1}<\cdots<i_{k} \leqslant n, \alpha_{i_{1}}, \alpha_{i_{2}}, \ldots, \alpha_{i_{k}}$ 线性相关当且仅当 $\displaystyle \beta_{i_{1}}, \beta_{i_{2}}, \ldots, \beta_{i_{k}}$ 线性相关。求证向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 的秩与向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}$ 的秩相同。

5．（15 分）已知矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 满足 $$ A+A^{2}+\frac{1}{2!} A^{3}+\frac{1}{3!} A^{4}+\cdots+\frac{1}{2019!} A^{2020}=0 $$ 求证：$A$ 可对角化．

7．（15 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 是二阶复方阵，且 $\displaystyle A, B, C$ 在 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 中线性无关。求证：存在复数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, x_{3}$使得 $\displaystyle x_{1} A+x_{2} B+x_{3} C$ 是可逆矩阵。

8．（20 分）（1）．设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ．求证：若存在可逆矩阵 $\displaystyle B \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，使得 $\displaystyle A=B^{-1} \bar{B}$ ，则 $\displaystyle A^{-1}=\bar{A}$ 。 （2）．设可逆矩阵 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ 满足 $\displaystyle A^{-1}=\bar{A}$ ．求证：存在可逆矩阵 $\displaystyle B \in\{a \bar{A}+b E \mid a, b \in \mathbb{C}\}$ 使得 $\displaystyle A=B^{-1} \bar{B}$ 。（ $\displaystyle \bar{A}$ 为 $A$ 的共轭矩阵，$E$ 是指单位矩阵。）

9．（10 分）设 $n$ 为奇数，$\displaystyle A, B \in M_{n}(\mathbb{C})$ 且 $\displaystyle A^{2}=0$ ，求证：$\displaystyle A B-B A$ 不可逆．

3．（15 分）设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A(t)=\left(a_{i j}(t)\right)_{n \times n}$ 中元素（ $\displaystyle a_{i j}(t)$ 为实变量 $t$ 的可微函数。记 $\displaystyle A^{\prime}(t)= \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} a_{i j}(t)\right)_{n \times n}$ ．证明：若对 $\displaystyle \forall t \in \mathbb{R},|A(t)|>0$ ，则 $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}} \ln |A(t)|=\operatorname{tr}\left(A^{-1}(t) A^{\prime}(t)\right) $$

4．（15 分）证明：若 $n$ 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=B A$ ，且 $B$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $A$ 可对角化．

6．（20 分）令 $\displaystyle f(x, y)=a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 b_{1} x+2 b_{2} y+c$ ， $$ A_{f}=\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{array}\right), \quad B_{f}=\left(\begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & b_{1} \\ a_{12} & a_{22} & b_{2} \\ b_{1} & b_{2} & c \end{array}\right) . $$ 证明：函数 $f$ 在坐标变换 $\displaystyle \binom{x^{\prime}}{y^{\prime}}=Q\binom{x}{y}+\binom{d_{1}}{d_{2}}$ 下对应的 $\displaystyle \operatorname{Tr}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(A_{f}\right), \operatorname{det}\left(B_{f}\right)$ 保持不变，其中 $Q$ 是二阶正交矩阵。

7．（20 分）设实矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right), a, b, c, d>0$ 。证明：一定存在 $A$ 的特征向量 $\displaystyle (x, y)^{\top} \in \mathbb{R}^{2}$ 满足 $\displaystyle x, y>0$ ．

8．（15 分）证明：若 6 阶复矩阵 $\displaystyle A, B$ 是幂零矩阵，且有相同的秩和最小多项式，则 $\displaystyle A, B$ 相似。

9．（20 分）设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实对称正定矩阵。证明： （1）存在唯一 $n$ 阶实矩阵 $C$ 满足 $\displaystyle B C+C B=A$ ； （2）对（1）中实矩阵 $C$ ，有 $\displaystyle B C=C B$ 当且仅当 $\displaystyle A B=B A$ ．

4．（15 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是有限维欧式空间 $V$ 上的正交变换，且满足 $\displaystyle \sigma^{m}=I$ ，其中 $m$ 为大于 1 的整数，$I$是恒等变换。记 $\displaystyle V^{\sigma}=\{\theta \in V: \sigma(v)=v\}$ ，而 $\displaystyle V^{\sigma}$ 的正交补记为 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 。 （a）．求证 $\displaystyle V^{\sigma \perp}$ 是 $\displaystyle \sigma$－不变子空间． （b）．对于 $\displaystyle v \in V$ ，定义 $\displaystyle \bar{v}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(v)$ 。求证： $\displaystyle \bar{v} \in V^{\sigma}$ ． （c）。证明：若将 $\displaystyle v \in V$ 展开成 $\displaystyle v=v_{1}+v_{2}$ ，其中 $\displaystyle v_{1} \in V^{\sigma}, v_{2} \in V^{\sigma \perp}$ ，则 $\displaystyle v_{1}=\bar{v}$ 。

5．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是次数大于 0 的整系数多项式，若 $\displaystyle 2-\sqrt{3}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的根，证明： $\displaystyle 2+\sqrt{3}$ 也是 $\displaystyle f(x)$ 的根．

6．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{K}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换． （a）．证明：存在正整数 $\displaystyle k \leq n$ ，使得 $$ \operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{Im}\left(\mathscr{A}^{n}\right) \quad \text { 且 } \quad \operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k}\right)=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{k+1}\right)=\cdots=\operatorname{ker}\left(\mathscr{A}^{n}\right) . $$ （b）．考虑如下数值指标： （i） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的秩 $r$ ； （ii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块个数 $m$ ； （iii） $\displaystyle \mathscr{A}$ 的特征值为 0 的 Jordan 块的最大阶数 $n$ ； （iv）（a）中出现最小的 $k$ 。 讨论这些数值之间的关系，并证明你的结论。

7．（15 分）设 $V$ 是实内积空间，$\displaystyle \langle\cdot, \cdot\rangle$ 是 $V$ 上的内积，$\displaystyle \phi$ 是 $V$ 上的可逆线性变换，且满足 $$ <\phi(\phi(x)), y>=<x, \phi(y)>, \quad \forall x, y \in V . $$ 证明：$\displaystyle \phi$ 是正交变换．

9．（20 分）（a）．设 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{R})$ 是半正定对称矩阵，$\displaystyle x \in \mathbb{R}^{n}$ ．证明：$\displaystyle x^{\top} A x=0$ 等价于 $\displaystyle A x=0$ ． （b）．设 $A$ 是 $n$ 阶半正定对称矩阵，将其写成分块矩阵的形式 $$ A=\left(\begin{array}{ll} A_{1} & A_{2} \\ A_{2}^{\top} & A_{4} \end{array}\right), $$ 其中 $\displaystyle A_{1}$ 是 $r$ 阶方阵。证明：对 $\displaystyle x \in \mathbb{R}^{r}$ ，若 $\displaystyle A_{1} x=0$ ，则 $\displaystyle A_{2}^{\top} x=0$ ． （c）．设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ 。证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $$ P^{-1} A\left(P^{-1}\right)^{\top}=\left(\begin{array}{cc} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right), \quad P^{\top} B P=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\} $$

1．考虑由所有二阶复系数方阵构成的集合 $$ M_{2}(\mathbb{C})=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right) \right\rvert\, a, b, c, d \in \mathbb{C}\right\} . $$ 已知 $\displaystyle M_{2}(\mathbb{C})$ 是以 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 为基的复线性空间，这里 $\displaystyle E_{i j}$ 是指除第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 外其余元素均为 0 的二阶方阵。设 $$ B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right)=E_{11}+E_{12}+E_{21}+E_{22} $$ （1）证明：如下映射为线性映射． $$ \begin{aligned} \varphi_{B}: M_{2}(\mathbb{C}) & \rightarrow M_{2}(\mathbb{C}) \\ X & \mapsto \varphi_{B}(X)=B X \end{aligned} $$ （2）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 在上述基下的表示矩阵； （3）分别求核空间 $\displaystyle \operatorname{Ker} \varphi_{B}$ 和像空间 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi_{B}$ 的维数与基； （4）求 $\displaystyle \varphi_{B}$ 的若尔当典范形．

2．已知 $\displaystyle \mathscr{A}: U \rightarrow U$ 是西空间 $U$ 上的线性变换，且满足 $\displaystyle (v, \mathscr{A}(v)) \in \mathbb{R}, \forall v \in U$ 。证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 Hermite 变换，即 $\displaystyle (\mathscr{A}(v), w)=(v, \mathscr{A}(w)), \forall v, w \in U$ 。

3．已知 $\displaystyle D: \mathbb{R}[x] \rightarrow \mathbb{R}[x]$ 是实系数多项式空间上的映射，满足 （i）$\displaystyle D(f g)=D(f) g+f D(g), \forall f, g \in \mathbb{R}[x]$ ； （ii）$\displaystyle D(x)=1$ ． （1）证明：$\displaystyle D(f)=f^{\prime}$ 是 $f$ 的形式导数； （2）求 $D$ 限制在 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{n}$ 上的所有不变子空间，其中 $\displaystyle \mathbb{R}[x]_{n}$ 是次数不超过 $n$ 的实多项式空间．

4．证明：对任何可逆复矩阵 $\displaystyle A \in G L_{n}(\mathbb{C})$ 以及任意正整数 $k$ ，矩阵方程 $\displaystyle X^{k}=A$ 一定有解．

5．设 $U$ 和 $V$ 是数域 $K$ 上的有限维线性空间，如果 $K$ 上的任意线性空间 $T$ 和双线性映射 $\displaystyle \sigma$ ： $\displaystyle U \times V \rightarrow T$ 满足：对 $K$ 上的任意线性空间 $W$ 以及任意双线性映射 $\displaystyle \theta: U \times V \rightarrow W$ ，都存在唯一的线性映射 $\displaystyle \varphi: T \rightarrow W$ ，使得 $\displaystyle \theta=\varphi \sigma$ ，则称 $T$ 是 $U$ 和 $V$ 的张量积．证明：张量积 $T$ 在同构意义下是唯一的。

5、考虑欧氏空间 $\mathbb{R}^{3}$ 中向量 $\alpha=(1,1,1), \beta=(1,0,1), \gamma=(0,1,1)$ ，设 $t, s$ 是使得 $|\mathbf{\alpha}-\mathbf{t} \mathbf{\beta}-s \mathbf{\gamma}|$ 达到最小的实数，那么向量 $\mathbf{\alpha}-\mathbf{t} \mathbf{\beta}, \mathbf{\alpha}-s \mathbf{\gamma}$ 的夹角余弦值为 $\_\_\_\_$。

6、设 $\mathbf{A}=\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\lambda}) \mathbf{J}_{n}(\mathbf{\mu})-\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\mu})-\mathbf{J}_{n}(\mathbf{\lambda}),(\mathbf{\lambda}, \mathbf{\mu} \in \mathbb{C})$ ，则矩阵函数 $\mathbf{e}^{\mathbf{A}}$的行列式为 $\_\_\_\_$

7、已知线性映射 $\varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}$ 满足 $\varphi(x, y, z, w)=(10 x-3 z+4 w, 2 x +3 y+2 w, 5 y+z+2 w,-2 x+2 y+z)$ ，则核空间 $\operatorname{Ker}(\varphi)$ 的维数是

5．设线性空间 $V$ 和它的三个线性子空间 $V_{1}, V_{1}, V_{3}$ 满足 $\operatorname{dim} V=9, \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}=\operatorname{dim} V_{3}=4$ ， $V=V_{1}+V_{2}+V_{3},\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3}=\{0\}$ ．则 $\operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

6．$\left|\begin{array}{cccccccc}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 9 & 16 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 8 & 27 & 64 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 6 & 8 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 18 & 32 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 16 & 54 & 128 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

7．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$U, W$ 分别是 $V$ 的 $m$ 维和 $r$ 维线性子空间，设 $T$ 是所有满足 $f(V) \subset W$ 的 $V$ 的线性变换所构成的线性空间，则 $\operatorname{dim} T=$ $\_\_\_\_$ ．（用 $n, m, r$ 表示）

10．（15 分）设复矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ． （1）（ 7 分）求矩阵 $A$ 的若尔当标准型矩阵． （2）（8 分）证明：不存在矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ．

11．（15 分）设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的一个线性变换，证明：如果 $\displaystyle \mathscr{A}$ 满足下列条件中的任意两个，则它必满足剩余的另一个条件。 （1） $\displaystyle \mathscr{A}$ 是正交变换． （2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 是对称变换． （3） $\displaystyle \mathscr{A}^{2}=\mathscr{E}, \mathscr{E}$ 为 $V$ 上的恒等变换．

2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上的 $m$ 次多项式 $\displaystyle (m \geq 0), n$ 是大于 $m$ 的正整数．证明： （1）（3 分）$\displaystyle x^{n}-2$ 在 $\displaystyle \mathbb{Q}[x]$ 中不可约． （2）（ 7 分）$\displaystyle \sqrt[n]{2}$ 不是 $\displaystyle f(x)$ 的实根．

4．（10 分）$n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是正定阵，$\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 是任意 $n$ 个非零实数，证明：矩阵 $\displaystyle B=\left(a_{i j} b_{i} b_{j}\right)$ 也是正定阵。

5．（10 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}=(2,1,0,0), \alpha_{2}=(4,1,4,0), \alpha_{3}=(1,0,2,0), \alpha_{4}$ 是一个非零的 4 维向量，证明：若向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 可由向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 线性表示，则向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}, \beta_{4}$ 线性相关．

6．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶整数矩阵（即 $\displaystyle A, B$ 的元素都是整数），且 $\displaystyle A B=E-A$ ，其中 $E$ 为 $n$ 阶单位阵。 （1）（7 分）求证：$\displaystyle |A|= \pm 1$ ． （2）（8 分）设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & -2\end{array}\right)$ ，求 $A$ ．

7．（15 分）已知如下非齐次线性方程组有三个线性无关的解． $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3}-x_{4}=0 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3}-3 x_{4}=1 \\ a x_{1}+x_{2}+5 x_{3}+b x_{4}=3 \end{array}\right. $$ （1）（8 分）记系数矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle r(A)=2$ ． （2）（ 7 分）求 $\displaystyle a, b$ 的值，并求方程组的通解．

8．（20 分）设 $V$ 是定义在实数域上的所有函数所组成的线性空间，$\displaystyle V_{1}$ 是偶函数构成的集合，$\displaystyle V_{2}$ 是奇函数构成的集合．证明： （1）（10 分）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 均是 $V$ 的子空间． （2）（10 分）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

9．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，且 $\displaystyle A^{2}=B^{2}=E, A B+B A=O$ ． （1）（10 分）证明：矩阵 $A$ 的特征值一个为 1 ，另一个为 -1 ． （2）（10 分）证明：存在可逆矩阵 $\displaystyle P \in \mathbb{R}^{2 \times 2}$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right), P^{-1} B P=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ．

1．证明 $\displaystyle x^{n}-1$ 无重根。

2．求证 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccccc}2 & -1 & & & & \\ -1 & 2 & -1 & & & \\ & -1 & 2 & -1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & -1 & 2 & -1 \\ & & & & -1 & 2\end{array}\right)$ 的特征值全大于零。

3．证明：存在 $\displaystyle n \times n$ 实矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}+2 A+3 E=0$ 当且仅当 $n$ 为偶数。

4．设 $\displaystyle A, B$ 为正定矩阵，证明 $\displaystyle f(\lambda)=|\lambda A-B|$ 的根均大于 0 。

6．$V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$W$ 为其子空间，$\displaystyle \eta_{0} \in V$ ，存在 $\displaystyle \eta \in W$ ，使得 $\displaystyle \left|\eta-\eta_{0}\right|=\min _{\xi \in \mathbb{V}}\left|\xi-\eta_{0}\right|_{0}$ （1）证明：$\displaystyle \eta \in W$ ，使得 $\displaystyle \left|\eta-\eta_{0}\right|=\min _{\xi \in W}\left|\xi-\eta_{0}\right|$ 当且仅当 $\displaystyle \eta-\eta_{0} \perp W$ ： （2）$\displaystyle \eta_{0}$ 为单位向量，则 $\displaystyle \eta_{0}$ 与 $W$ 的距离为 1 当且仅当 $\displaystyle \eta_{0} \perp W$ 。

10．已知 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶半正定矩阵，证明存在可逆实矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{\prime} A C, C^{\prime} B C$ 同时为对角矩阵．

2．已知 $\displaystyle V=\mathbb{C}^{2 \times 2}$ ，定义 $V$ 上的变换 $T$ 满足 $\displaystyle T(A)=A+A^{\prime}, A \in V$ ． （1）证明 $T$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）写出 $T$ 在基 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （3）求 $T$ 的特征值并写出特征子空间的一组基； （4）$T$ 是否可以对角化？ （5）计算 $T$ 中心化子空间的维数，即所有满足 $\displaystyle T X=X T$ 的线性变换 $X$ 所生成的线性空间的维数．

4．已知 $V$ 是数域 $P$ 上的线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle h(x), f(x), g(x) \in P[x]$ 满足 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle W=\operatorname{Ker} h(\mathscr{A}), W_{1}=\operatorname{Ker} f(\mathscr{A}), W_{2}=\operatorname{Ker} g(\mathscr{A})$ ． （1）证明 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 均为 $W$ 的子空间； （2）证明 $\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

5．已知两个 $n$ 阶实对称矩阵 $\displaystyle A, B$ 相似，证明它们在实数域上合同．

6．已知 $A$ 是 $\displaystyle s \times n$ 列满秩矩阵，$B$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，证明 $\displaystyle r(A B)=r(B)$ ．

7．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是复数域上线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $V$ 中的一个非零向量，$\displaystyle W \subseteq V$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，若存在多项式 $\displaystyle p(x) \in \mathbb{C}[x]$ ，使得 $\displaystyle p(\mathscr{A}) \alpha \in W$ ，则称 $\displaystyle p(x)$ 为 $\displaystyle \alpha$ 到 $W$ 的导向多项式，所有导向多项式中次数最低且首项系数为 1 的多项式称为极小 $\displaystyle \alpha$ 型多项式，记为 $\displaystyle m(x)$ 。 （1）证明：对任意的导向多项式 $\displaystyle p(x)$ ，均有 $\displaystyle m(x) \mid p(x)$ ； （2）证明：极小 $\displaystyle \alpha$ 型多项式存在且唯一； （3）（可能有误）若 $W$ 为 $V$ 的真子空间，则存在 $\displaystyle \alpha \notin W$ 及多项式 $\displaystyle q(x) \in \mathbb{C}[x]$ 使得 $\displaystyle q(\mathscr{A}) \alpha-c \alpha \in W$ ，其中 $\displaystyle c \in \mathbb{C}$ 为常数．

8．已知 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{s}$ 为 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 分别为对应的特征向量，若 $W$ 是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s} \in W$ ，证明 $\displaystyle \operatorname{dim} W \geq s$ ．

9．已知 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle f, g$ 为 $V$ 上的两个变换，若 $f$ 为正交变换，且对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $$ (f(\alpha), \beta)=(\alpha, g(\beta)) $$ 证明 $g$ 也是 $V$ 上的正交变换．

1．已知非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=b$ 解的集合为 $S$ ，其中 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r$ ．证明：$S$ 中存在 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的向量，任意 $\displaystyle n-r+2$ 个向量线性相关．

10．设 $f$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的对称变换，即 $\displaystyle (f(\alpha), \beta)=(\alpha, f(\beta))$ 对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ 成立．证明：$f$ 的特征值全为实数，且 $\displaystyle \min _{0 \neq \alpha \in V} \frac{(\alpha, f(\alpha))}{(\alpha, \alpha)}=\lambda_{1}$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{1}$ 为 $f$ 的最小特征值．

2．已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right) \text { (数值可能有误) } $$ 证明：存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q A$ 为上三角矩阵，且主对角线元素全为正数．

3．设 $\displaystyle A, B$ 都是二阶实对称矩陏，且 $\displaystyle A, B$ 的行列式都为负数．证明：存在可逆实矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C=B$ ．

4．已知 $A$ 是元素均为有理数的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle \sqrt{3}$ 为 $A$ 的一个特征值． （1）证明：$\displaystyle -\sqrt{3}$ 也为 $A$ 的一个特征值； （2）证明：$\displaystyle n=3$ 时，存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵．

9．设 $f$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的幂等变换，$\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid f(\alpha)=0\}, V_{2}=\{f(\beta) \mid \beta \in V\}$ ，且 $f$ 在某组基下的矩阵为 $A$ ．证明： （1）$\displaystyle V=V_{1}+V_{2}$ ； （2）$\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 为直和； （3）$\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．

10．（10分）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 为正定矩阵，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ，证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．

6．（10 分）设非零矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, a_{i j}$ 不全为零，$\displaystyle A_{i j}$ 表示其代数余子式，且满足 $\displaystyle a_{i j}+A_{i j}=0(i, j=1,2, \cdots)$ ．证明：$A$ 可逆．

7．（15分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为欧氏空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}$ 为 $V$ 中的一个正交向量组，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{n}$ 为 $V$ 中的另一个正交向量组，已知对于任意的 $\displaystyle i= 1,2, \cdots, n, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{i}$ 能由 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{i}$ 线性表出，也能由 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{i}$ 线性表出．证明：存在数 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}$ ，使得 $$ \beta_{1}=k_{1} \gamma_{1}, \beta_{2}=k_{2} \gamma_{2}, \cdots, \beta_{n}=k_{n} \gamma_{n} $$

8．（10 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 为多项式，$A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明： $$ r\binom{f(A)}{g(A)}=r(f(A), g(A)) $$

9．（10 分）设 $V$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的 $n$ 维线性空间，其中 $n$ 为正整数，$I$ 为 $V$ 上的恒等变换，即 $\displaystyle I(\alpha)=\alpha, \alpha \in V$ ，且 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{B}$ 为 $V$ 上的线性变换，若 $\displaystyle V_{1}$ 为 $\displaystyle I-\mathscr{A} \mathscr{B}$ 的值域， $\displaystyle V_{2}$ 为 $\displaystyle I-\mathscr{B} \mathscr{A}$ 的值域，证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=\operatorname{dim} V_{2}$ 。

5．$n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle (A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$ ． （1）证明：$\displaystyle |A+B|^{2}=|A||B|$ ． （2）$\displaystyle A, B$ 是实矩阵，证明：$\displaystyle |A|=|B|$ ． （3）$\displaystyle A, B$ 是复矩阵，$\displaystyle |A|=|B|$ 是否成立？

6．$n$ 阶方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A_{11} \neq 0, b$ 是 $n$ 维非零向量，证明：$\displaystyle A X=0$ 有无穷解的充要条件是 $\displaystyle A^{*} X=b$ 有解．

7．$A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵． （1）存在矩阵 $B$ 满足 $\displaystyle A B A=A, B A B=B$ ． （2）若 $B$ 满足 $\displaystyle A B A=A$ 且 $\displaystyle B A B=B, K(A)=\left\{A X=0 \mid X \in P^{n}\right\}, R(B)=\left\{B Y \mid Y \in P^{m}\right\}$ ，证明： $$ P^{n}=K(A) \oplus R(B) $$

8．$\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶方阵。 （1） $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 是否等于 $\displaystyle \operatorname{tr}(B A)$ ？ （2）$\displaystyle A, B, A-B$ 正定，证明： $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}-B^{2}\right)>0$ ．

七．（12 分）证明：实反对称矩阵的特征值为 0 或纯虚数．

九．（20 分）在数域 $P$ 上的线性空间 $\displaystyle P[x]_{3}=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \mid a_{0}, a_{1}, a_{2} \in P\right\}$ 上定义 $$ f_{t}: P[x]_{3} \rightarrow P, p(x) \mapsto p(t) $$ 其中 $\displaystyle t=0,-1,1$ ． （1）证明：$\displaystyle f_{0}, f_{-1}, f_{1}$ 是对偶空间 $\displaystyle L\left(P[x]_{3}, P\right)$ 的一组基； （2）求 $\displaystyle P[x]_{3}$ 的一组基 $\displaystyle p_{1}(x), p_{2}(x), p_{3}(x)$ ，使得 $\displaystyle f_{0}, f_{-1}, f_{1}$ 是它的对偶基．

五．（12 分）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=E$ ，证明：$\displaystyle r(E-A)+r(E+A)=n$ ．

八．（12 分）设 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵 $A$ 的秩为 $r$ ，证明：存在 $\displaystyle m \times r$ 的列满秩矩阵 $F$ 和 $\displaystyle r \times n$ 的行满秩矩阵 $G$ ，使得 $\displaystyle A=F G$ ．

六．（12 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明：$\displaystyle \{g(A) \mid g(x) \in P[x]\}$ 是 $\displaystyle P^{n \times n}$ 的维数不超过 $n$ 的线性子空间。

七．（15 分）设 $\displaystyle V=P[x]_{n}$ 为次数小于 $n$ 多项式与零多项式生成的线性空间，在 $V$ 上定义一个二元函数 $$ \varphi(f(x), g(x))=\int_{-1}^{1} f(x) g(x) \mathrm{d} x, f(x), g(x) \in V $$ （1）（6 分）若 $\displaystyle n=4$ ，求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle 1, x, x^{2}, x^{3}$ 下的度量矩阵。 （2）（ 9 分）证明：$\displaystyle \varphi$ 为非退化的．

九．（15 分）设 $A$ 为一个秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明：存在一个秩为 $r$ 的 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $B$ 与一个秩为 $r$ 的 $\displaystyle n \times r$ 矩阵 $C$ ，满足 $\displaystyle A=C B$ ，且 $\displaystyle B C=E_{r}$（ $\displaystyle E_{r}$ 为 $r$ 阶单位矩阵）．

七．设 $V$ 为 $n$ 维线性空间，证明：$V$ 的任一非平凡子空间都是若干个 $\displaystyle n-1$ 维子空间的交．

三．已知平面上三条不同直线的方程分别为 $$ \begin{aligned} & l_{1}: a x+b y+c=0 \\ & l_{2}: b x+c y+a=0 \\ & l_{3}: c x+a y+b=0 \end{aligned} $$ 试证三条直线相交于一点的充分必要条件是 $\displaystyle a+b+c=0$ ．

八．设 $\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，它在 9 个整数点处取值均为 8 ，证明：$\displaystyle f(x)$ 无整数根．

六．设 $\displaystyle A, B$ 是同阶正交阵，$\displaystyle |A|=-|B|$ ，证明：$\displaystyle A+B$ 是奇异矩阵．

五．设 $A$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，证明：$A$ 可以化成一个正定矩阵与一个正交矩阵的乘积．

八．$A$ 是 $n$ 阶矩阵， $\displaystyle 1,-1$ 不是 $A$ 的特征值． （1）求证：$\displaystyle A^{2}-E$ 是可逆矩阵． （2）证明：存在次数小于等于 $\displaystyle n-1$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，满足 $\displaystyle f(A)=\left(A^{2}-E\right)^{-1}$ ．

六．设 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$ ．记 $\displaystyle X=\{A \mid A J=J A\}$ ． （1）证明 $X$ 为线性空间． （2）证明 $\displaystyle E, J, J^{2}$ 为 $X$ 的一组基，并求其对偶基．

四．$n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ，证明：$\displaystyle r(A)+r(A-E)=n$ ．

10．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶半正定实对称矩阵，且满足 $\displaystyle n-1 \leq R(A) \leq n$ ．证明存在实可逆矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle C^{T} A C, C^{T} B C$ 均为对角矩阵（20分）

5．设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 。 （1）证明：$\displaystyle |A|=|A|^{n-1}$ ； （2）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0\end{array}\right), B$ 满足 $\displaystyle \left[\left(\frac{1}{2} A\right)^{-}\right]^{-1} B A^{-1}=2 A B+12 E$ ，求 $B$ 。

6．设 $W$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle W_{0}=W \cap \mathcal{A}^{-1}(0)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{dim} W=\operatorname{dim} \mathcal{A} W+\operatorname{dim} W_{0}$ ．

9．设 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的每个元素的绝对值为 2 。证明：当 $\displaystyle n \geq 3$ 时，$\displaystyle |A| \leq \frac{1}{3} 2^{n+1} n!$ ． （15 分）

10、设 $A$ 为实对称矩阵，证明：存在正定矩阵 $\displaystyle P, Q$ ，使 $$ P A Q=\left(\begin{array}{llll} \lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n} \end{array}\right) $$ 其中 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}>0$ ．

2、设 $\displaystyle A, B$ 为2阶实方阵，满足 $\displaystyle (A+B)^{4}=(A+2 B)^{4}=(A+3 B)^{4}$ ，证明： $$ A B+B A=0 . $$

3、设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle r(A)$ 是矩阵 $A$ 的秩，证明：$\displaystyle r(A)=n$ 当且仅当存在一个实阵 $B$ ，使 $\displaystyle A^{\top} B+B^{\top} A$ 是正定矩阵．

6、设 $A$ 为数域 $k$ 中的矩阵，其中以 $A$ 为根的多项式，次数最小，首项系数为 1的多项式为最小多项式，设 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \ldots \ldots A_{n}$ 为 $k$ 中的矩阵，它们的最小多项式两两 互素，有 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \ldots, f_{n}(x)$ 为多项式，证明：存在一个多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使 $$ f\left(A_{i}\right)=f_{i}\left(A_{i}\right), \quad i=1, \ldots, n . $$

7、设实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}A_{1} & \beta \\ \beta^{\top} & \alpha\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \beta$ 为 $\displaystyle n-1$ 阶列向量． （1）证明：$\displaystyle \alpha-\beta^{\top} A_{1} \beta>0$ ． （2）若 $A$ 的非对角线元素都不大于零，即 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ ，当 $\displaystyle i \neq j$ 时，$\displaystyle a_{i j} \leq 0$ ，证明： $\displaystyle A^{-1}$ 的元素都非负．

8、设数域 $\displaystyle K, M=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，定义在 $K$ 中的线性变换 $\displaystyle \sigma: \sigma(x)=M X-X M$ ， $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{2}+x_{3}=0, x_{i} \in K, i=1,2,3,4\right\} . $$ 是数域 $k$ 的子空间． （1）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间． （2）$\displaystyle \sigma \mid W$ 是线性变换在 $W$ 的上的限制．

9、设 $A$ 为 $n$ 阶复矩阵，与 $\displaystyle I_{n}+J(0, n)$ 相似，$\displaystyle I_{n}$ 为单位 $n$ 矩阵，$\displaystyle J(0, n)$ 为对角线元素为 0 的 Jordan 阵，即 $$ J(0, n)=\left(\begin{array}{llll} 0 & & & \\ 1 & 0 & & \\ & 1 & & 0 \\ & & 1 & 0 \end{array}\right) . $$ 证明：存在复问量 $\displaystyle \alpha \in C^{n}$ ，使 $\displaystyle \alpha, A \alpha, A^{2} \alpha, \ldots, A^{n-1} \alpha$ 线性无关．

11．（15 分）$\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccccc}1 & a & a & \cdots & a \\ -b & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ -b & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -b & 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{cccc}1+a_{1} b_{1} & a_{2} b_{1} & \cdots & a_{1} b_{n} \\ a_{2} b_{1} & 1+a_{2} b_{2} & \cdots & a_{2} b_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n} b_{1} & a_{2} b_{n} & \cdots & 1+a_{n} b_{n}\end{array}\right], \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right)^{T}, \beta= \left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right)^{T}$. （1）证明 $\displaystyle |A|=1+\beta \alpha^{T}$ （2）$B$ 可逆当且仅当 $\displaystyle \beta \alpha^{T} \neq-1$ （3）$B$ 可逆，求 $B$ 的逆矩阵。

12．（15 分） （1）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，且 $\displaystyle (m, n)=d$ ，证明 $\displaystyle \left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 是欧氏空间 $V$ 到自身的一个映射，证明：如果 $\displaystyle \sigma$ 保持内积不变，即任意的 $\displaystyle \xi, \eta \in V$ ，有 $\displaystyle \langle\sigma(\xi), \sigma(\eta)\rangle= \langle\xi, \eta\rangle$ ，则 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的线性变换，从而也是正交变换． （3）设 $A$ 是一个实对称矩阵，如果以 $A$ 为矩阵的实二次型是正定的，$A$ 是正定的．证明：若 $A$ 是正定的，则 $A$ 可逆且可逆矩阵也是正定的．

9．（15 分）设 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$ 是一个 $n$ 阶方阵，称 $A$ 的对角线元素之和为 $A$ 的迹，记为 $\displaystyle \operatorname{tr} A$ ．即 $\displaystyle \operatorname{tr} A=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$ 。令 $\displaystyle W_{1}=\left\{A \in M_{n}(\mathbb{F}) \mid \operatorname{tr} A=0\right\}$ ，其中 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 是数域 $\displaystyle \mathbb{F}$ 上全体 $n$ 阶方阵构成的向量空间． （1）证明：$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 的子空间． （2）求 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})$ 的一个子空间 $\displaystyle W_{2}$ ，使得 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{F})=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

七．（15分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A$ 的每一行每一列恰好有一个元素等于 1 ，其余元素均为 0 ，证明：存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=E$ ．

二．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的多项式，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约当且仅当对任意有理数 $\displaystyle a, b$ ，其中 $\displaystyle a \neq 0$ ，多项式 $\displaystyle g(x)=f(a x+b)$ 在有理数域上不可约．

八．（15 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ．证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 的特征值为 1 或 0 ． （2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ．

十．（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，秩 $\displaystyle (A+B)=n$ ．证明：$\displaystyle A^{\prime} A+B^{\prime} B$ 为正定矩阵．

1．已知 $\displaystyle f(x)=1+x+x^{2}+\cdots+x^{n-1}$ ，证明：$\displaystyle f(x) \mid\left[f(x)+x^{n}\right]^{2}-x^{n}$ ．

10．设 $A$ 为 $n$ 阶非零实矩阵，$\displaystyle n \geq 3$ ，且 $\displaystyle A^{T}=A^{*}$ ，证明：（1）$\displaystyle |A|>0$ ；（2）$A$ 为正交矩阵。

3．设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)(i=1,2, \cdots, s)$ ，且方程组满足 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \vdots \\ a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 的解满足 $\displaystyle b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=0$ 的解，记 $\displaystyle \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ ，证明：$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出．

4．已知 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是 $n$ 级正定矩阵，证明： （1）$\displaystyle a_{i i}>0(i=1,2, \cdots, n)$ （2） $\displaystyle 2\left|a_{i j}\right|<a_{i i}+a_{j j},(i \neq j)$ ． （3）$A$ 的所有元素中绝对值最大的元素一定在主对角线上．

5．若 $A$ 是 $n$ 阶方阵，证明：（1）$\displaystyle A^{n}=0$ 当且仅当 $A$ 的特征值全为 0 ；（2）若 $\displaystyle A^{n}=0$ ，则 $\displaystyle |A+E|=1$ ．

6．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}, n \geq 2$ 的矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，证明：$\displaystyle \left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ．

10、（15分）设 $\displaystyle f(x)=a_{m} x^{m}+a_{m-1} x^{m-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 以 $n$ 阶矩阵 $A$ 为根，$\displaystyle a_{m}>\sum_{i=1}^{m-1}\left|a_{i}\right|$ ．证明：矩阵方程 $\displaystyle 2 X+A X=X A^{2}$ 只有零解．

2、（15分）已知 $n$ 为奇数，证明：$\displaystyle (x+y)(y+z)(z+x)$ 整除 $$ (x+y+z)^{n}-x^{n}-y^{n}-z^{n} . $$

4、（15 分）已知 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶幂零矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶矩阵，且 $\displaystyle \mathbf{A} \mathbf{B}+\mathbf{B} \mathbf{A}=\mathbf{B}$ ．求证： $\displaystyle \mathbf{B}=\mathbf{O}$ ．

6．（15分）设 $V$ 是实数域上连续函数构成的实线性空间，证明： $$ 1, \cos x, \cos (2 x), \cdots, \cos (n x) . $$ 线性无关。

8．（15分）已知 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 都是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶矩阵，且满足 $$ A B=B A=O, r(A)=r\left(A^{2}\right) . $$ 证明：$\displaystyle r(A+B)=r(A)+r(B)$ ．

9、（15 分）已知 $\displaystyle J=J_{n}\left(\lambda_{0}\right)$ 是特征值 $\displaystyle \lambda_{0}$ 的 $n$ 阶若尔当块，证明：和 $J$ 可乘法交换的 $n$ 阶矩阵必定可以表示为 $J$ 的次数不超过 $\displaystyle n-1$ 的多项式。

2．求矩阵 $A$ 的全部特征值；

3．若 $x^{2}-1$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，求 $r(A+E)+r(A-E)$ ，其中 $E$ 是单位矩阵， $r(A)$ 表示矩阵 $A$ 的秩．（15 分）

1．证明方程组的系数矩阵 $A$ 的秩为 2 ；

2．求 $a, b$ 的值；

3．求线性方程组的解．（15 分） 三。设 3 维实向量空间 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\sigma$ 使得 $\sigma\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b x_{1}+x_{3} \\ -2 x_{1}+x_{2}+a x_{3} \\ x_{1}\end{array}\right)$ ．

七．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=A+B$ ．证明： （1）$\displaystyle A B=B A$ ； （2）$\displaystyle \lambda=1$ 不是 $A$ 的特征值； （3）若 $A$ 相似于对角阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同时为对角阵．

八．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle U, W$ 是 $V$ 的两个子空间，并且 $\displaystyle V=U \oplus W$ ．任给 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2} \in V$ ，其中 $\displaystyle \alpha_{1} \in U, \alpha_{2} \in W$ ，令 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha_{1}$ ．记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}, \operatorname{Im} \sigma=\{\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ．证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ； （2） $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=W, \operatorname{Im} \sigma=U$ ； （3）$\displaystyle \sigma$ 可对角化．

六．解答如下问题： （1）判别多项式 $\displaystyle x^{6}-5 x+6$ 在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上有无重因式； （2）设 $n$ 阶矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{4}=E$ ，证明：在复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上 $A$ 一定可对角化； （3）设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且满足 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & O \\ O & B\end{array}\right)$ 在数域 $P$ 上可对角化．证明：在数域 $P$ 上，$\displaystyle A, B$ 均可对角化．

4．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的单位列向量且相互正交，实二次型 $\displaystyle f(X)=2\left(\alpha^{T} X\right)^{2}+\left(\beta^{T} X\right)^{2}$ 的矩阵为 $A$ ，其中 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{T}$ ．证明： （1）存在正交矩阵 $U$ ，使得 $\displaystyle U^{T} A U$ 为对角形 $\displaystyle \operatorname{diag}\{2,1,0\}$ ． （2）是否存在唯一的半正定矩阵 $S$ 使得 $\displaystyle A=S^{2}$ ？请说明理由．

5．设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=4 B+3 A-10 E$ ．证明： （1）$\displaystyle \lambda=4$ 不是 $A$ 的特征值，且 $\displaystyle A B=B A$ ． （2）若 $A$ 相似于对角矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 均为对角矩阵．

6．设 $\displaystyle A, B, C, D$ 都是 $n$ 阶矩阵且 $\displaystyle A B=B A$ ．证明： （1）若 $\displaystyle r(A)=n$ ，则 $\displaystyle r\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)=n+r(D A-C B)$ ． （2）$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right|=|D A-C B|$ ．

7．设复方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，记 $\displaystyle \bar{A}=\left(\bar{a}_{i j}\right)_{n \times n}\left(\bar{a}_{i j}\right.$ 为 $\displaystyle a_{i j}$ 的共轭复数）．如果复方阵 $A$ 满足 $\displaystyle (\bar{A})^{T}=A$ ，称 $A$为 Hermite 矩阵．证明： （1）若复方阵 $A$ 为 Hermite 矩阵，则 $A$ 的特征值均为实数． （2）若复方阵 $A$ 满足 $\displaystyle A(\bar{A})^{T}=A^{2}$ ，则 $A$ 为 Hermite 矩阵。

8．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的线性变换，多项式 $\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle h(x)=f(x) g(x)$ ， $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，记 $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=\{\alpha \mid \alpha \in V, \sigma(\alpha)=0\}$ ．证明： （1） $\displaystyle \operatorname{Ker} h(\sigma)=\operatorname{Ker} f(\sigma) \oplus \operatorname{Ker} g(\sigma)$ ． （2） $\displaystyle \operatorname{dimKer} \sigma+\operatorname{dimKer} \sigma^{3} \leq 2 \operatorname{dimKer} \sigma^{2}$ ．

5．解答如下问题： （1）$n$ 阶矩阵 $A$ 正定，证明：$\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left|\begin{array}{cc}A & X \\ X^{\mathrm{T}} & 0\end{array}\right|$ 负定． （2）$\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $n$ 维列向量，证明：$\displaystyle \left|A+\alpha^{\mathrm{T}} \beta\right|=|A|+\alpha^{\mathrm{T}} A^{*} \beta$ ．

6．解答如下问题： （1）已知 $\displaystyle \bar{A}^{\mathrm{T}} A=E$ ，证明：$A$ 特征值模长为 1 ． （2）已知 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶实对称矩阵，其中 $\displaystyle n \geq 2$ ，且 $A$ 正定，$\displaystyle A B$ 的特征值全为 1 ．证明：存在次数小于 $n$ 的多项式 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle B=f(A)$ ．

7．已知线性变换 $\displaystyle \mathscr{T}(X)=A X B$ ，其中 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，$A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{i}, B$ 的特征值为 $\displaystyle \mu_{j}$ ．证明： （1）$\displaystyle \lambda_{i} \mu_{j}$ 为 $\displaystyle \mathscr{T}$ 的特征值． （2）存在正整数 $k$ 使得 $\displaystyle \mathscr{T}^{k}=\mathscr{O}$ 等价于存在正整数 $s$ 使得 $\displaystyle A^{s}=O$ 或 $\displaystyle B^{s}=O$ ．

8．已知 $\displaystyle A B-B A=a A$ ．证明： （1）若 $\displaystyle a \neq 0$ ，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 同时为上三角矩阵． （2）若 $\displaystyle a=0$ ，则 $\displaystyle r(A+B)+r(A B) \leq r(A)+r(B)$ ．

2．$\left|\begin{array}{lllll}1 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ 3 & 2 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ 3 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & 3 \\ \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} & \mathrm{~L} \\ 3 & 3 & 3 & \mathrm{~L} & n\end{array}\right|\left(\begin{array}{ll}n^{3} & 2\end{array}\right)$（注：对角线上元素分别为 $1,2, \mathrm{~L} n$, 其余元素为 3）

九、（20 分）设 $n$ 阶实矩阵 $A$ 的特征值全为实数，且 $A$ 的一阶主子式之和、二阶主子式之和全为 0 ，证明 $\displaystyle A^{n}=O$ 。

二、（15 分）设 $b$ 是非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个解，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}$ 是对应齐次线性方程组的一个基础解系，证明：（1）$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \mathrm{~L}, a_{n-r}, b$ 线性无关；（2）$\displaystyle a_{1}+b, a_{2}+b, \mathrm{~L}, a_{n-r}+b, b$ 线性无关。

五、（15 分）设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |A|<0$ 。证明：存在实 $n$ 维向量 $x$ 使得 $\displaystyle x^{\prime} A x<0$ 。

四、（20分）证明：$\displaystyle \left(A^{*}\right)^{*}=|A|^{n-2} A$ ，其中 $A$ 是 $\displaystyle n^{\prime} n$ 矩阵（ $\displaystyle n>2$ ）。

九（20 分）、设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle f, g$ 是 $V$ 上的线性变换，且 $f$ 有 $n$ 个互异的特征根，证明 $\displaystyle \mathrm{fg}=\mathrm{gf}$ 当且仅当 g 是 $\displaystyle \mathrm{f}^{0}=\mathrm{I}, \mathrm{f}, \mathrm{f}^{2}, \cdots, \mathrm{f}^{\mathrm{n}-1}$ 的线性组合

五（15 分）、设 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=X^{\prime} A X$ 是一实二次型，若有实 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 使得 $\displaystyle \mathrm{X}_{1}^{\prime} \mathrm{AX}_{1}>0, \mathrm{X}_{2}^{\prime} \mathrm{AX}_{2}<0$ 。证明存在非零实 n 维向量 $\displaystyle \mathrm{X}_{3}$ 使得 $\displaystyle \mathrm{X}_{3}^{\prime} \mathrm{AX}_{3}=0$ 。

八（15 分）、设 $B$ 为一 $\displaystyle r \times r$ 矩阵，$C$ 为一 $\displaystyle r \times n$ 矩阵，且秩（ $C$ ）$\displaystyle =r$ ，证明：1）若 $\displaystyle B C=0$ ，则 $\displaystyle \mathrm{B}=0$ ；2）若 $\displaystyle \mathrm{BC}=\mathrm{C}$ ，则 $\displaystyle \mathrm{B}=\mathrm{E}$

四（15 分）、设向量 $\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出，证明：表示法唯一的充分必要条件是 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{\mathrm{s}}$ 线性无关。

五、 设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}b & c & a \\ c & a & b \\ a & b & c\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll}c & a & b \\ a & b & c \\ b & c & a\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{lll}a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b\end{array}\right)$ ，证明： （1）$\displaystyle A, B, C$ 彼此相似； （2）若 $\displaystyle B C=C B$ ，则 $A$ 至少有两个特征根为 0 。（25 分）

八、设 $\displaystyle A=\left(a_{i, j}\right)_{n \times n}$ ，满足 $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i, j}=0, \forall i=1,2, \cdots, n$ ，证明 $\displaystyle A_{n 1}=A_{n 2}=\cdots=A_{n n}, A_{n j}$ 为 $\displaystyle a_{n j}$ 的代数余子式。（20分）

六、证明 $\displaystyle x^{2}+x+1$ 整除 $\displaystyle x^{3 m}+x^{3 n+1}+x^{3 p+2}$ ，其中 $\displaystyle m, n, p$ 均为正整数（ 15 分）

四、设实矩阵 $\displaystyle A \in C^{m \times n}$ ，证明秩 $\displaystyle \left(A^{\prime} A\right)=$ 秩 $\displaystyle (A), A^{\prime}$ 为矩阵 $A$ 的转置。（15 分）

5．（15 分）证明：如果方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\ \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n} \end{array}\right. $$ 对任何 $\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 都有解，则 $\displaystyle \left|\left(a_{i j}\right)_{n n}\right| \neq 0$ 。

8．（15 分）设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |\mathrm{A}|<0$ 。证明存在实 n 维向量 X 使得 $\displaystyle \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{AX}<0$ 。

六、 证明对 $n$ 阶正定矩阵 $A$ ，存在可逆矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=B^{\prime} B$（20 分）

一、（ 20 分）设 $\displaystyle A, B$ 分别是 $\displaystyle n \times m$ 利 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$\displaystyle I_{k}$ 是 $k$ 阶单位矩阵。 （1）证明：$\displaystyle \left|I_{n}-A B\right|=\left|I_{m}-B A\right|$ ； （2）计算行列式：$\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}a_{1} b_{1} & 1+a_{1} b_{2} & \cdots & 1+a_{1} b_{n} \\ 1+a_{2} b_{1} & a_{2} b_{2} & \cdots & 1+a_{2} b_{n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 1+a_{n} b_{1} & 1+a_{n} b_{2} & \cdots & a_{n} b_{n}\end{array}\right|$ 。

七、（20分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明： （1）$\displaystyle \sigma^{-1}(0)=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ； （2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ； （3）如果 $\displaystyle \tau$ 是 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma^{-1}(0), \sigma(V)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，则有 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．

二、（15分）设 $n$ 为正整数，$\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{n}(x)$ 都是多项式，并且 $$ x^{n}+x^{n-1}+\cdots+x+1 \mid f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x^{n-1} f_{n}\left(x^{n+1}\right) $$ 证明：$\displaystyle (x-1)^{n} \mid f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{n}(x)$ ．

五、（15 分）已则 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 3 个四维欧氏空间 $\displaystyle \mathbf{R}^{4}$ 中线性无关的向量，$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2} \in \mathbf{R}^{4}$ 且与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$均正交，证明：$\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$ 线性相关．

八、（20 分）设 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的最小多项式与特征多项式相同，求证 $\displaystyle \exists \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \alpha, \mathbf{A} \alpha, \mathbf{A}^{2} \alpha, \cdots, \mathbf{A}^{n-1} \alpha$ 是 $V$ 的一个基．

六、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 是两个 $n$ 阶方阵，且满足矩阵方程：$\displaystyle A X=X B$ ，若 $\displaystyle A, B$ 没有相同的特征值，证明该方程只有零解．

四、（20分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换 $$ \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) \text {, 其中 } B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) $$ 与线性子空间 $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathbf{K}\right\} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。

七、（20分）设 $\displaystyle A, B$ 分别为数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n$ 与 $\displaystyle n \times s$ 矩阵，又设 $$ W=\left\{B \alpha \mid A B \alpha=0, \alpha \in P^{s \times 1}\right\} \subset P^{n \times 1} $$ 证明： $$ \operatorname{dim}(W)=\operatorname{rank}(B)-\operatorname{rank}(A B) $$

二、（15 分）设 $\displaystyle m, n \in \mathbf{N}^{+},(m, n)$ 表示 $\displaystyle m, n$ 的最大公因数，证明 $$ \left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{(m, n)}-1 $$

八、（20 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 均为实 $n$ 阶正定矩阵，$\displaystyle P(x)=A x^{2}+B x+C, f(x)=\operatorname{det} P(x)$ 表示 $\displaystyle P(x)$ 的行列式，$\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的根，证明：$\displaystyle \lambda$ 的实部是负数，即 $\displaystyle \operatorname{Re}(\lambda)<0$ 。

六、（20 分）已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且两两可互相交换，并有 $\displaystyle A C+B D=E$ ，这里 $E$ 是单位变换，证明 $$ \operatorname{ker}(A B)=\operatorname{ker} A \oplus \operatorname{ker} B $$

四、（20分）设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的达，证明 $$ A^{n}=0 \text { 当且仅当 } \operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, k=1,2, \cdots, n \text {. } $$

二、（15 分）设 $\displaystyle n \in N, f\left(x^{n}\right)$ 为实系数多项式，$\displaystyle \xi$ 为 $n$ 次本原单位根，且 $\displaystyle (x-\xi) \mid f\left(x^{n}\right)$ ，求证： $\displaystyle \left(x^{n}-1\right) \mid f\left(x^{n}\right)$.

五、（25 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ （1）求 $A$ 的特征多项式，并确定其是否有重根； （2）求一个正交矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{T}$ 为对角阵； （3）设 $V$ 为所有与 $A$ 可交换的实矩阵的全体，求证：$V$ 是实数域上的向量空间，并求 $V$ 的维数．

八、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{t}$ 为 $\displaystyle R^{n}$ 中 $t$ 个线性无关的向量，证明：存在含 $n$ 个未知量的齐次线性方程组，使 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{t}$ 是它的基础解系．

六、（20 分）设 $A$ 为 $n$ 级方阵，且满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．求证：$A$ 相似于对角阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}E_{r} & \\ & O\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle E_{r}$ 为 $r$阶单位矩阵。

四、（20分）设 $\displaystyle \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间，$\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 为 $\displaystyle \tau$ 的两两不同的特征根，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{m}$ 分别为属于特征根 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{m}$ 的特征向量，若 $\displaystyle \alpha=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{m} \in W$ ，求证：$\displaystyle \alpha_{i} \in W(i=1,2, \ldots, m)$ ．

五、（本题 20 分）已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换 $$ \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}) $$ 其中 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ ，线性子空间 $$ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \Psi$ 看成 $W$ 上的线性变换，求 $W$ 在（1）的基下的矩阵。

八、（本题 20 分）设 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，证明：对任何正整数 $m$ ，总存在 $n$ 阶实方阵 $X$ 满足方程 $$ X^{2 m+1}+X^{m}+I=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{array}\right] $$

六、（本题15分）设 $\displaystyle k, n \in N^{+}, f(x)=(x+1)^{k+n}+2 x(x+1)^{k+n-1}+\cdots+(2 x)^{k}(x+1)^{n}$ ，证明：$\displaystyle x^{k+1} \mid(x-1) f(x)+(x+1)^{k+n+1}$ ．

2、不变子空间

4、正交变换

5、子空间的正交补

八、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，求证：属于 $A$ 的不同特征值的特征向量一定正交。

六、（15分）设 $A$ 为复系数 $n$ 阶方阵，求证：$A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & 0 \\ 0 & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 为可逆矩阵，$C$ 为幂零矩阵。

九、（15 分）证明：实二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}(\lambda i j+i+j) x_{i} x_{j}(n>1)$ 的秩和符号差与 $\displaystyle \lambda$ 无关。

五、（15 分）设向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性无关，而 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta, \gamma$ 线性相关，证明：或者 $\displaystyle \beta$ 与 $\displaystyle \gamma$ 中至少有一个可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}$ 线性表示，或者向量组 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \beta\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r}, \gamma\right\}$ 等价。

八、（20 分）（1）证明：在一个欧氏空间里，对于任意向量 $\displaystyle \xi, \eta$ ，有不等式： $\displaystyle (\xi, \eta)^{2} \leq(\xi, \xi)(\eta, \eta)$ ，当且仅当 $\displaystyle \xi$ 与 $\displaystyle \eta$ 线性相关时，此不等式才取等号；（2）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是欧氏空间两个线性无关的向量，且满足以下条件：$\displaystyle \frac{2(\alpha, \beta)}{(\alpha, \alpha)}$ 和 $\displaystyle \frac{2(\alpha, \beta)}{(\beta, \beta)}$ 都是 $\displaystyle \leq 0$ 的整数．证明：$\displaystyle \alpha$ 与 $\displaystyle \beta$ 的夹角只可能是 $\displaystyle \frac{\pi}{2}, \frac{2}{3} \pi, \frac{3}{4} \pi$ 或 $\displaystyle \frac{5}{6} \pi$ ．

六、（20 分）证明：$\displaystyle \left\{x^{3}, x^{3}+x, x^{2}+1, x+1\right\}$ 是 $\displaystyle F_{3}[x]$（数域 $F$ 上一切次数 $\displaystyle \leq 3$ 的多项式及零）的一个基．求多项式 $\displaystyle x^{2}+2 x+3$ 关于这个基 $\displaystyle \left\{x^{3}, x^{3}+x, x^{2}+1, x+1\right\}$ 的坐标．

四、（20分）设行列式 $$ \left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right|=0 $$ 令 $\displaystyle A_{i j}$ 是元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，证明：矩阵 $$ \left(\begin{array}{cccc} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n 1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n 2} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ A_{1 n} & A_{2 n} & \cdots & A_{n n} \end{array}\right) $$ 的秩 $\displaystyle \leq 1$ ．

二、（15 分）证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cccccc}\cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 2 \cos \alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \cos \alpha & \cdots & 0 & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \cos \alpha\end{array}\right|=\cos n \alpha$ 。

十、（ 15 分）设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 是线性变换 $A$ 的两个不同特征值，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 是分别属于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}$ 的特征向量，（1） 证明：$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ 线性无关；（2）证明：$\displaystyle \varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$ 不是 $A$ 的特征向量．

四、（15 分）设 $\displaystyle t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{r}$ 是互不相同的数，$\displaystyle r \leq n, a_{i}=\left(1, t_{i}, \cdots, t_{i}^{n-1}\right), i=1,2, \cdots, r$ ，证明：向量组 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{r}$ 是线性无关的．

一、（15 分） 设 $\displaystyle m, n, p$ 为非负整数，$\displaystyle f(x)=x^{3 m}-x^{3 n+1}+x^{3 p+2}, g(x)=x^{2}-x+1$ ，且满足 $\displaystyle g(x) \mid f(x)$ ，证明 $\displaystyle m, n, p$ 具有相同的奇偶性．

七、（15 分） 已知线性空间 $\displaystyle M_{2}(\mathrm{~K})$ 的线性变换及线性子空间 $W$ 如下： $$ \begin{gathered} \Psi(X)=B^{T} X-X^{T} B, \quad \forall X \in M_{2}(\mathrm{~K}), \quad \text { 其中 } B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right), \\ W=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll} x_{11} & x_{12} \\ x_{21} & x_{22} \end{array}\right) \right\rvert\, x_{11}+x_{22}=0, x_{i j} \in \mathrm{~K}\right\}, \end{gathered} $$ （1）求 $W$ 的一个基； （2）证明 $W$ 是 $\displaystyle \Psi$ 的不变子空间。

九、（20分） 已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，且两两可互相交换，并有 $\displaystyle A C+B D=E$ ，这里 $E$ 是单位变换，证明： $\displaystyle \operatorname{ker}(A B)=\operatorname{ker} A \oplus \operatorname{ker} B$ ．

八、（20分） 设 $A$ 是 $n$ 阶复方阵， $\displaystyle \operatorname{tr}(A)$ 表示 $A$ 的迹，证明：$\displaystyle A^{n}=0$ 当且仅当 $$ \operatorname{tr}\left(A^{k}\right)=0, \quad k=1,2, \cdots, n . $$

七、（20分） 设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |A|<0$ ，证明：必存在 $n$ 维向量 $\displaystyle x=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T} \neq 0$使得 $\displaystyle f(x)=x^{T} A x<0$ ．

九、（20分） 设 $A$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle A^{2}=I$（单位变换），令 $$ V_{1}=\{x \mid x \in V, A x=x\}, \quad V_{2}=\{x \mid x \in V, A x=-x\}, $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

八、（20分） 已知 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是欧氏空间 $V$ 的一组标准正交基，设 $$ \alpha_{1}=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad \alpha_{2}=\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}, \quad W=\operatorname{span}\left\{\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\} $$ （1）证明 $\displaystyle \left\{\frac{\alpha_{1}-\alpha_{2}}{2}, \frac{\alpha_{1}+\alpha_{2}}{2 \sqrt{2}}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{\frac{\varepsilon_{1}+\varepsilon_{3}}{\sqrt{2}}\right\}$ 分别是 $W$ 和 $\displaystyle W^{\perp}$ 的标准正交基； （2）求 $\displaystyle \alpha=\varepsilon_{2}+2 \varepsilon_{3}$ 在 $W$ 中的内射影 $\displaystyle \beta$ ，即求 $\displaystyle \beta \in W$ ，使 $\displaystyle \alpha=\beta+\gamma, \gamma \in W^{\perp}$ ．

六、（15 分） 设 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的 3 个互不相同的特征值，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 分别是 $A$ 属于 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$的特征向量，证明：$\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3}$ 不是 $A$ 的特征向量．

一、（15 分） 已知多项式 $\displaystyle f_{1}(x)=2 f(x)+g(x), g_{1}(x)=5 f(x)+3 g(x)$ ，证明： $$ (f(x), \quad g(x))=\left(f_{1}(x), \quad g_{1}(x)\right) . $$

七、（20分） 设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 的一个线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，记 $$ W=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\} $$ （1）证明 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)=W$ ； （2）证明 $\displaystyle V=W \oplus \sigma(V)$ ．

三、（15 分） 已知实数域上的 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right]$, 满足 $\displaystyle \left|a_{i i}\right|>\sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ， 证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ ．

九、（20分） 设 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个互异实数，证明：存在 $n$ 阶实方阵 $X$ 满足矩阵方程： $$ X^{2021}+2 X^{2020}+5 I=\left[\begin{array}{cccc} a_{1} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{1} & a_{2} & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n} \end{array}\right] $$

八、（20分） 设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \neq 0$ 是 $V$ 中一个固定向量。 （1）证明 $\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0, x \in V\}$ 是 $V$ 的子空间； （2）证明 $\displaystyle V_{1}$ 的维数等于 $\displaystyle n-1$ ．

四、（15分） 设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\sum_{i=1}^{s}\left(a_{i 1} x_{1}+a_{i 2} x_{2}+\cdots+a_{i n} x_{n}\right)^{2}$ ，证明 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的秩等于下列矩阵 $A$ 的秩 $$ A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n} \end{array}\right] . $$

五、（15 分） 设 $V$ 是数域 F 上一个 n 维向量空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ 是其一组基，$\displaystyle W_{1}$ 是 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ 生成的子空间，$\displaystyle W_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in \mathrm{~F}, i=1,2, \ldots, n\right\}$ 。 证明：（1）$\displaystyle W_{2}$ 是 $V$ 的子空间；（2）$\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ 。

八、（15 分） 证明：次数大于零的多项式 $\displaystyle f(x)$ 是某一个不可约多项式方幂的充分必要条件是对任意的多项式 $\displaystyle g(x)$ 有 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ 或存在某一个正整数 $m$ 使得 $\displaystyle f(x) \mid g^{m}(x)$ ．

七、（15 分） 设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是线性空间 $V$ 的一组基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个线性变换，且 $$ \sigma\left(\alpha_{1}\right)=\alpha_{1}, \sigma\left(\alpha_{2}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}, \sigma\left(\alpha_{3}\right)=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\alpha_{3} . $$ （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是可逆线性变换； （2）求 $\displaystyle 2 \sigma-\sigma^{-1}$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵。

八、（15 分） 设 $R$ 是实数域，集合 $$ V=\left\{\left.\left[\begin{array}{ccc} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{array}\right] \right\rvert\, a, b, c \in R\right\} . $$ （1）证明：$V$ 是 $\displaystyle R^{3 \times 3}$ 的一个线性子空间； （2）对任意 $\displaystyle A=\left[\begin{array}{ccc}a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & a_{1} & a_{2} \\ 0 & 0 & a_{1}\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{ccc}b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ 0 & b_{1} & b_{2} \\ 0 & 0 & b_{1}\end{array}\right] \in V$ ，定义二元函数 $$ (A, B)=a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+a_{3} b_{3}, $$ 则 $V$ 是一个欧式空间．

十、（15 分） 已知矩阵空间 $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 的子空间 $$ W=\left\{\left.X=\left[\begin{array}{ll} x_{1} & x_{2} \\ x_{3} & x_{4} \end{array}\right] \right\rvert\, x_{3}-x_{4}=0, x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R\right\} . $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的内积为 $$ (A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}\left(\forall A=\left(\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ll} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{array}\right) \in R^{2 \times 2}\right), $$ $\displaystyle R^{2 \times 2}$ 中的线性变换为 $\displaystyle \sigma(X)=X B\left(\forall X \in R^{2 \times 2}, B=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)\right)$ ． （1）证明：求子空间 $W$ 的一组标准正交基； （2）证明：$W$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间； （3）将 $\displaystyle \sigma$ 看作是 $W$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $W$ 上的对称变换； （4）求 $W$ 的一组标准正交基，使 $\displaystyle \sigma$ 在该组基下的矩阵为对角矩阵。

三、（15 分） 证明方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}-x_{2}=a_{1}, \\ x_{2}-x_{3}=a_{2}, \\ x_{3}-x_{4}=a_{3}, \\ x_{4}-x_{5}=a_{4}, \\ x_{5}-x_{1}=a_{5}, \end{array}\right. $$ 有解的充要条件是 $\displaystyle a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=0$ 。在有解的条件下，求出它的一般解．

六、（15 分） 已知集合 $$ W=\left\{\left(0, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right) \mid x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n} \in R\right\}, $$ （1）证明：$W$ 是 $R$ 上 $n$ 维向量空间 $\displaystyle R^{n}$ 的一个线性子空间； （2）求 $W$ 的一组基和维数．

一、（15 分） 假设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 不全为 0 ，证明：$\displaystyle (f(x), g(x))^{n}=\left(f(x)^{n}, g(x)^{n}\right)$ ．

九、（15 分） （1）已知 $$ \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right), \quad \alpha_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), $$ 是 $\displaystyle R^{3}$ 的一组基，将 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 转换为正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ ；若线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), $$ 求 $\displaystyle \sigma$ 在正交基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 下的矩阵； （2）设 $V$ 是有限维欧式空间，内积记为 $\displaystyle (\alpha, \beta)$ ，设 $\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个正交变换，记 $$ V_{1}=\{\alpha \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}, $$ $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $V$ 的子空间，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

八、（15 分） 设 $V$ 是全体实 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵所构成的实线性空间，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in V$ ，定义 $V$ 的变换 $$ \sigma x=A x, \quad \forall x \in V, $$ （1）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 是线性的； （2）证明：变换 $\displaystyle \sigma$ 可逆 ⇔ 矩阵 $A$ 可逆； （3）当 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -2 & -4\end{array}\right)$ 时，求 $\displaystyle \sigma$ 的核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 和 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma V$ 及它们的一组基．

十、（15 分） 设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=r$ ，证明： （1）存在可逆矩阵 $B$ 和幂等矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ； （2）存在列满秩（列向量组线性无关）的矩阵 $E$ 和行满秩（行向量组线性无关）的矩阵 $F$ ，使得 $\displaystyle A=E F$ ．

四、（15 分） 设 $A$ 为 $n$ 阶非零实方阵，$\displaystyle A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，$\displaystyle A^{\mathrm{T}}$ 是 $A$ 的转置矩阵，当 $\displaystyle A^{\mathrm{T}}=A^{*}$ 时， 证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ ．

2．用正交线性替换化二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}-x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{3}$ 为标准形，写出所作正交线性替换以及标准形。

3．当 $a, b$ 为何值时，下面方程有唯一解，无穷多解，无解？ $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}+a x_{2}+x_{3}=3 \\ x_{1}+x_{2}+b x_{3}=2 \\ x_{1}+x_{2}+2 b x_{3}=3 \end{array}\right. $$

2．设 $p$ 是素数，$a$ 是整数，$p^{2} \mid(a+1)$ ，证明：多项式 $f(x)=a x^{p}+p x+1$ 没有有理根．

3．设 $A$ 是一个 $n$ 阶实对称矩阵，$\lambda_{n}$ 是 $A$ 最大的特征值，证明：$\lambda_{n}=\max _{0 \neq X \in \mathbb{R}^{n}} \frac{X^{T} A X}{X^{T} X}, \mathbb{R}^{n}$ 为实 $n$ 维列向量的集合．

5．设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是数域 $P$ 上的 $(n-m) \times n$ 矩阵。令 $V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}$ ， $V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\}$ ．已知矩阵 $C=\binom{A}{B}$ 可逆，证明：$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

6．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $V$ 的 $\mathscr{A}-$ 子空间，已知 $\mathscr{A}$ 有 $k$ 个互异的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{k}$ ，相应的特征向量分别是 $\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{k}$ ，证明：若 $\xi_{1}+\xi_{2}+\cdots+\xi_{k} \in W$ ，则 $\operatorname{dim} W \geq k$ ．

7．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的线性变换，若 $\mathscr{A}$ 不改变向量的距离，即 $|\mathscr{A} \alpha-\mathscr{A} \beta|=|\alpha-\beta|$ 对任意的 $\alpha, \beta \in V$ 成立。证明： $\mathscr{A}$ 是正交变换．

8．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 12 & 2022 \\ 0 & 0 & 25 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，证明：矩阵方程 $X^{2}=A$ 无解，其中 $X \in \mathbb{C}^{3 \times 3}$ ．

1．已知 $A=\left(a_{i j}\right)$ 为一个 $n$ 阶实矩阵，对角元 $a_{i i}=a>0(i=1,2, \cdots, n)$ ，且对任意的 $1 \leq i \leq n$ ，有 $\sum_{j=1}^{n}\left(\left|a_{i j}\right|+\left|a_{j i}\right|\right)<4 a$ ．设二次型 $f=X^{T} A X$ ，其中 $X$ 为实 $n$ 维列向量． （1）求二次型 $f$ 的矩阵 $B=\left(b_{i j}\right)$ ； （2）证明：$b_{i i}>\sum_{j \neq i}\left|b_{i j}\right|, i=1,2, \cdots, n$ ； （3）证明：$f$ 是正定二次型．

2．已知矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n} \end{array}\right), \quad F=\left(\begin{array}{cccccc} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -a_{n} \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 & -a_{2} \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & -a_{1} \end{array}\right) $$ （1）若 $A F=F A$ ，证明：$A=a_{11} E+a_{21} F+a_{31} F^{2}+\cdots+a_{n 1} F^{n-1}$ ； （2）求子空间 $C(F)=\left\{B \in \mathbb{C}^{n \times n} \mid B F=F B\right\}$ 的维数．

2．设 $V$ 是 3 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为 $V$ 的一组基，并且这组基的度量矩阵为 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 4 \end{array}\right) $$ 求 $V$ 的一组标准正交基（用 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 表示）．

3．矩阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda-3)^{2}$ ，若不计若尔当块的排列顺序，求 $A$ 的所有可能的若尔当标准形．

2．设 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为矩阵 $A_{n \times n}$ 的 $n$ 个列向量，$\beta=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$ ，并且 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 线性相关．证明：线性方程组 $A X=\beta$ 有无穷多解．

3．设 $f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 为整系数多项式，并且 $(a+b) c$ 为奇数．证明：$f(x)$ 在有理数域上不可约．

5．已知实矩阵 $A$ 满足 $A^{2}=A$ ．证明：存在实对称矩阵 $B$ 及正定矩阵 $C$ ，使得 $A=B C$ ．

6．设 $f(x), g(x)$ 为数域 $P$ 上的多项式，并且满足 $(f(x), g(x))=1$ ．设 $V, V_{1}, V_{2}$ 分别是 $f(A) g(A) X=0$ ， $f(A) X=0, g(A) X=0$ 的解空间．证明：$V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

7．设 $\mathscr{A}$ 为有限维线性空间 $V$ 上的线性变换，并且 $\mathscr{A}$ 为可逆线性变换，$W$ 是 $V$ 的子空间．证明：若 $W$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，则 $W$ 也是 $\mathscr{A}^{-1}$ 的不变子空间。

8．设 $\mathscr{A}, \mathscr{B}$ 分别是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的两个线性变换， $\mathscr{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值。证明： $\mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}$的充要条件是存在多项式 $f(x)$ ，使得 $\mathscr{B}=f(\mathscr{A})$ ．

1．已知 $X, Y$ 为三维列向量，$A=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实对称矩阵． （1）（10 分）对任意的实数 $a$ ，证明：$\left|\begin{array}{cc}a & X^{T} \\ Y & A\end{array}\right|=a|A|-X^{T} A^{*} Y$ ． （2）（10 分）已知 $A$ 的所有特征值的和为 $1, A$ 的所有特征值的积为 -12 ，并且 $(1,0,-2)^{T}$ 为 $\left(A^{*}-4 E\right) X=0$ 的解．对于下列四元二次型，用正交替换化为标准形． $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left|\begin{array}{cccc} x_{1}^{2} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ -x_{2} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ -x_{3} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ -x_{4} & a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right| $$

2．对于 $n$ 阶实矩阵 $A$ 及任意的 $n$ 维列向量 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ ，且 $X_{n} \neq 0$ ，满足 $$ A X_{1}=X_{2}, A X_{2}=X_{3}, \cdots, A X_{n-1}=X_{n}, A X_{n}=0 $$ 证明： （1）（8 分）$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 线性无关． （2）（ 8 分）求 $A$ 的所有特征值及特征向量． （3）（ 4 分）$A$ 是否可以对角化？为什么？

2．非齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} k x_{1}+x_{2}+x_{3}=k \\ x_{1}+k x_{2}+x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+k x_{3}=k \end{array}\right. $$ 何时有唯一解，有无穷多解，无解？并在有无穷多解时求通解．

3．设 $f(x, y, z)=x^{2}+t y^{2}+z^{2}+2 x y-2 t x z-2 y z$ 的正负惯性指数都为 1 ，求 $t$ 的值．

2．向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 的秩为 $r$ ，任取 $t$ 个向量 $\alpha_{i_{1}}, \alpha_{i_{2}}, \cdots, \alpha_{i_{t}}$ ，证明它的秩大于等式 $r-s+t$ ．

3．设 $A$ 是实反称矩阵，证明：$E+A$ 可逆，且 $Q=(E-A)(E+A)^{-1}$ 为 $|Q|=1$ 的正交矩阵．

5．设 $A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，证明：$A B$ 与 $B A$ 有相同的特征多项式．

6．设 $\mathscr{A}$ 为欧氏空间 $V$ 上的正交变换，$W \subseteq V$ 是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间，证明：$W^{\perp}$ 也是 $\mathscr{A}$ 的不变子空间．

7．设 $A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，且 $A B=B A$ ，证明：$A B$ 也正定．

8．设 $A$ 是实矩阵，其特征值均为实数，证明：存在正交矩阵 $T$ ，使得 $T^{-1} A T$ 为上三角矩阵。

1．已知 $n$ 阶矩阵 $A, B$ 满足 $A B=A-B$ ．证明： （1）$E+A$ 可逆 （2）$A B=B A$ ． （3）$A, B$ 秩相同． （4）若 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & -1\end{array}\right)$ ，求 $B$ ．

2．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间． （1）若 $V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，证明：在 $V$ 上存在唯一的幂等变换 $\mathscr{A}\left(\mathscr{A}^{2}=\mathscr{A}\right)$ ，使得 $$ V_{1}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}, V_{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A} . $$ （2）设 $$ \begin{gathered} V_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in P^{n} \mid x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0\right\}, \\ V_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in P^{n} \mid x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}\right\} . \end{gathered} $$ 证明：$P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ，并求 $P^{n}$ 上的幂等变换 $\mathscr{A}$ ，使得 $V_{1}=\operatorname{Ker} \mathscr{A}, V_{2}=\operatorname{Im} \mathscr{A}$ ．

2．用正交线性替换化二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=-3 x_{2}^{2}-3 x_{3}^{2}-4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+8 x_{2} x_{3} $$ 为标准形．

3．若矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 1 & & & \\ & 2 & 2 & & \\ & & 3 & \ddots & \\ & & & \ddots & n-1 \\ & & & & n \end{array}\right) $$ 的若尔当标准形 $J$ ．

2．证明 $f(x)=3 x^{4}+6 x^{3}-3 x+8$ 在有理数域上不可约．

3．设 $a<0, X$ 为 $n-1$ 维实列向量，$B$ 是 $n-1$ 阶正定矩阵，证明：$A=\left(\begin{array}{cc}a & X^{\mathrm{T}} \\ X & B\end{array}\right)$ 的正惯性指数为 $n-1$ ．

5．设 $\mathscr{A}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明： $$ \operatorname{Im} \mathscr{A}^{n}=\operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+1}=\operatorname{Im} \mathscr{A}^{n+2}=\cdots $$

6．设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $A^{2}=A$ ，证明：$A$ 的秩等于迹．

7．设 $\mathscr{A}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\mathscr{A}$ 存在 $n$ 个不同的特征值，证明： $\mathscr{A}$ 有且仅有 $2^{n}$ 个不变子空间。

8．设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，证明：存在多项式 $f(x)$ ，使得 $f(A)=A^{-1}, f(B)=B^{-1}$ ．

1．设 $A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ ，其中 $a_{i j}=\min \{i, j\}, 1 \leq i, j \leq n$ ． （1）计算 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式． （2）证明：$A$ 正定．

2．设 $V$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 维线性空间， $\operatorname{Hom}(V)$ 表示 $V$ 上所有线性变换构成的线性空间．任取 $\mathscr{A} \in \operatorname{Hom}(V)$ ． （1）令 $C(\mathscr{A})=\{\mathscr{B} \in \operatorname{Hom}(V) \mid \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}\}$ ，证明：$C(\mathscr{A})$ 是 $\operatorname{Hom}(V)$ 的子空间． （2）设 $\mathscr{A}$ 在 $P$ 中有 $n$ 个不同的特征值，求 $C(\mathscr{A})$ 的维数和一组基． （3）写出 $\operatorname{Hom}(V)$ 上的一个线性变换 $\sigma$ ，使得 $\operatorname{Ker} \sigma=C(\mathscr{A})$ ．

11、若 $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1} \geq \frac{\eta}{2}$ ，证明：存在 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 使得 $\displaystyle V=V_{1} \oplus W_{1}=V_{1} \oplus W_{2}$ ，且 $\displaystyle W_{1} \cap W_{2}=\{0\}$ ．

13、 $A$ 有不同特征值，$\displaystyle A B=B A$ ，证明：存在 $f$ 使 $\displaystyle B=f(A)$ ．

14、若 $A$ 半正定，$B$ 正定，证明：$\displaystyle |A+B| \geqslant|B|$ ，等号成立 $\displaystyle \Leftrightarrow A=0$ ．

2．当方程组有解时，求出所有解．

1．令 $W$ 是 $M_{n}(\mathbb{R})$ 中的第一行元素全为 0 的矩阵构成的集合，求证：$W$ 是 $M_{n}(\mathbb{R})$ 的子空间．

1．求证：$f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 的秩等于 2 当且仅当 $a, b, c$ 不全相等．

1．求 $|A|$ ．

1．证明：$V$ 是 $\sigma$ 下构成的一个 $\mathbb{R}$ 上的内积空间．

2．设 $V_{1}$ 是由全体对称矩阵构成的子空间，$V_{2}$ 是由全体反对称矩阵构成的子空间，证明：$V_{1}$ 是 $V_{2}$ 的正交补空间．

2．求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=J$ ．

四．（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 阶方阵，满足 $\displaystyle A B=B A$ ，且 $\displaystyle A B$ 满足多项式 $\displaystyle f(x)=x^{2025}+x+1$ ，求证：$\displaystyle I+A B$可逆．

9．设 $A=\left(\begin{array}{ccc}2026 & 2 & -2 \\ 2 & 2029 & -4 \\ -2 & -4 & 2029\end{array}\right)$ ，记 $M=\left\{B \in M_{3}(\mathbb{R}) \mid A B=B A\right\}$（即所有与 $A$ 可交换的 3 阶实矩阵构成的集合），求 $\operatorname{dim} M=$ $\_\_\_\_$ ．

1．设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1+a & 1 & \cdots & 1 \\ 2 & 2+a & \cdots & 2 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & n & \cdots & n+a \end{array}\right) . $$ 求 $\operatorname{det} A$ ，判断 $a$ 为何值时，$A X=0$ 有非零解，并求该非零解．

3．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right)$ ． （1）求上三角矩阵 $B$ 与正交矩阵 $Q$ ，使得 $A=B Q$ ． （2）判断 $B, Q$ 是否唯一？若不唯一则有几对？并论证理由．

1．称 $\displaystyle f \in \mathbb{R}\left[x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right]$ 为反对称多项式，如果对 $\displaystyle [1,2, \cdots, n]$ 的任意置换 $\displaystyle \sigma$ ，均有 $$ f\left(x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, \cdots, x_{\sigma(n)}\right)=\varepsilon_{\sigma} f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) $$ 其中 $\displaystyle \varepsilon_{\sigma}$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的符号。令 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 为反对称多项式．证明： （1）对任意的 $\displaystyle i \neq j$ ，有 $\displaystyle \left(x_{i}-x_{j}\right) \mid f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ ． （2）$\displaystyle \Delta=\prod_{1 \leq i<j \leq n}\left(x_{i}-x_{j}\right)$ 为反对称多项式． （3）存在对称多项式 $g$ ，使得 $\displaystyle f=g \Delta$ ．

2．已知 $\displaystyle A, B, C, D$ 均为 $n$ 阶方阵，证明： （1）$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=|A+B||A-B|$ ． （2）$\displaystyle \left|\begin{array}{llll}A & B & C & D \\ B & A & D & C \\ C & D & A & B \\ D & C & B & A\end{array}\right|=|A+B+C+D\|A+B-C-D\| A-B+C-D \| A-B-C+D|$ ．

3．设 $\displaystyle \mathbb{Q}[A]=\{f(A) \mid f(x) \in \mathbb{Q}[x]\}$ ，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & \sqrt{2} \\ 1 & 0\end{array}\right)$ ，证明： $\displaystyle \mathbb{Q}[A]$ 中的非零矩阵均为可逆矩阵．

4．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 是 $n$ 个向量，若 $V$ 中任一向量均可由 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 线性表出，证明：$\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 是 $V$ 的一组基．

6．设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V^{*}$ 是 $V$ 的对偶空间，若 $\displaystyle W \subset V^{*}$ 是 $r$ 维子空间，证明： $$ W^{\perp}=\{v \in V \mid l(v)=0, \forall l \in W\} \subset V $$ 是 $\displaystyle n-r$ 维线性子空间．

7．设 $\displaystyle T: V \rightarrow V$ 是实数域 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性算子，且 $\displaystyle T^{3}=T$ ，其中 $\displaystyle n>1$ ． （1）证明：存在 $V$ 的一组基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，使得 $T$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。 （2）如果存在一个 $n$ 阶实方阵 $A$ ，使得 $T$ 在 $V$ 的任意一组基下的矩阵均为 $A$ ，证明：$A$ 为 $\displaystyle E_{n},-E_{n}$ 或零矩阵。

8．设 $n$ 阶复矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，其中 $\displaystyle n>1$ ． （1）设 $B$ 为一个 $n$ 阶复方阵，且 $B$ 与 $A$ 有完全相同的特征多项式．证明：存在两个复方阵 $\displaystyle P, Q$ ，使得 $\displaystyle A=P Q$ 且 $\displaystyle B=Q P$ ． （2）$C$ 为 $n$ 阶复方阵，且 $\displaystyle A C=C A, C^{n}=O$ ，求矩阵 $C$ ．

9．设 $\displaystyle T: V \rightarrow V$ 是欧氏空间上的一个正规算子． （1）证明：$T$ 的伴随算子的核空间与 $T$ 的核空间相等． （2）若 $\displaystyle T^{2}=T$ ，则 $T$ 必为对称算子．

九、设 $A$ 为 $n$ 维欧氏空间上的线性变换，$W$ 为 $A$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$也是 $A$ 的不变子空间．

二、设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=|A+B||A-B|$ ．

八、设 $\displaystyle P^{n \times n}$ 为数域 $P$ 上全体 $n$ 阶方阵组成的线性空间，$\displaystyle A, B$ 为两个 $n$ 阶方阵，定义 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的变换 $\displaystyle \varphi(X)=A X B, X \in P^{n \times n}$ ，求证： （1）$A$ 为 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的线性变换； （2）$\displaystyle \varphi$ 是可逆变换当且仅当 $\displaystyle A, B$ 都是可逆矩阵．

六、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle W_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}, W_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid(A-E) x=0\right\}$ ，证明：$\displaystyle A^{2}=A$当且仅当 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ，其中 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 为 $n$ 维实向量空间．

四、设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A+B$ ，证明： （1）$\displaystyle A-E_{n}$ 可逆； （2）$\displaystyle A B=B A$ ．

6．设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的全体 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵组成的线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的变换，且 $$ \varphi(x)=\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right) x, x \in V $$ 完成下列问题： （1）证明 $\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle \varphi$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵； （3）求 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi$ 的一组基和维数； （4）求 $\displaystyle \operatorname{ker} \varphi$ 的一组基和维数．

7．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{ker} \phi$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi^{2}$.

一．设 $\displaystyle f(x)$ 是复数域上的一个多项式， $\displaystyle \operatorname{deg} f(x)>0$ ，且 $\displaystyle f\left(x^{2}\right) \mid f\left(x^{4}\right)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的任意非零根都落在复平面的单位圆上．

三．设 $\displaystyle u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$ 和 $\displaystyle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 是内积空间 $V$ 的两组规范正交基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个等距变换，并且 $\displaystyle \left[\sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)\right]=\left[v_{1}, v_{2}\right]$ ，即 $\displaystyle \sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)$ 生成的子空间与 $\displaystyle v_{1}, v_{2}$ 生成的子空间相等．证明： $$ \left[\sigma\left(u_{3}\right), \sigma\left(u_{4}\right), \cdots, \sigma\left(u_{n}\right)\right]=\left[v_{3}, v_{4}, \cdots, v_{n}\right] $$

二．设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明： （1）$A$ 可以对角化． （2） $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=$ 秩 $\displaystyle (A)$ ．

五．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$\displaystyle A+I$ 与 $\displaystyle A-I$ 合同当且仅当 $\displaystyle A^{2}-I$ 正定．

八．在空间直角坐标系下，设双曲拋物面 $S$ 的一般方程为 $\displaystyle x^{2}-4 y^{2}=2 z$ ． （1）证明：对 $S$ 中任意一点，有两条直母线经过它． （2）求 $S$ 中所有垂直相交的直母线的交点构成的图形的方程．

四．设 $n$ 阶上三角矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ & 1 & 2 & \cdots & n-1 \\ & & 1 & \cdots & n-2 \\ & & & \ddots & \vdots \\ & & & & 1 \end{array}\right) . $$ （1）求 $A$ 的极小多项式和 Jordan 标准形． （2）证明：$\displaystyle K=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid(A-I) B=O\right\}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的子空间，并求 $\displaystyle \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} K$ ．

1．（20 分）设 $\displaystyle f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}$ 是一个整系数多项式，而 $\displaystyle \frac{r}{s}$ 是它的一个有理根，其中 $\displaystyle r, s$ 互素，证明：$\displaystyle s\left|a_{n}, r\right| a_{0}$ ．

3．（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right), i=1,2, \cdots, s ; \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)$ ，证明：方程组 $$ \left\{\begin{array}{c} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \cdots \\ a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 的解全是方程 $\displaystyle b_{1} x_{1}+b_{2} x_{2}+\cdots+b_{n} x_{n}=0$ 的解的充分必要条件是 $\displaystyle \beta$ 可被 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 线性表出．

4．（20 分）设 $\displaystyle A, B \in P^{n \times n}$ ，证明：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ ，其中 $\displaystyle n \geq 2, A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵．

5．（20 分）设 $\displaystyle A, C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正定矩阵，实矩阵 $B$ 是矩阵方程 $\displaystyle A X+X A=C$ 的唯一解，证明：$B$ 是正定矩阵。

6．（20 分）设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B, C, D$ 两两可交换，且满足 $\displaystyle A C+B D=I$ ，方程组 $$ A B X=0, A X=0, B X=0 $$ 的解空问分别为 $\displaystyle W, W_{1}, W_{2}$ ，证明：$\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

7．（20 分）已知 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, \cdots, V_{s}$ 是线性空问 $V$ 的一些子空问，证明下列命题等价： （1）$\displaystyle W=\sum_{i=1}^{s} V_{i}$ 是直和； （2）零向量的分解式唯一； （3）$\displaystyle V_{i} \cap \sum_{j \neq i} V_{j}=\{0\}(i=1,2, \cdots, s)$.

8．（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是欧氏空间 $V$ 上的对称变换． （1）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可同时对角化，则 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换； （2）证明：若 $\displaystyle \sigma$ 与 $\displaystyle \tau$ 可交换，则 $\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

1．（15 分）设 $\displaystyle f_{k}(x)(k=1,2, \cdots, n)$ 是数域 $P$ 上的多项式，证明： $$ \left(x^{n}+\cdots+x+1\right) \mid\left[x^{n-1} f_{1}\left(x^{n+1}\right)+x^{n-2} f_{2}\left(x^{n+1}\right)+\cdots+x f_{n-1}\left(x^{n+1}\right)+f_{n}\left(x^{n+1}\right)\right] $$ 的充要条件是 $\displaystyle (x-1) \mid f_{k}(x), k=1,2, \cdots, n$ ．

4．（15 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，已知 $$ a_{i i}>0(i=1,2, \cdots, n), a_{i j}<0(i \neq j ; i, j=1,2, \cdots, n) $$ 且 $\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i j}=0(i=1,2, \cdots, n)$ ，证明：秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．

7．（20分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 级实矩阵，并设 $\displaystyle \lambda$ 为 $\displaystyle B A$ 的非零特征值，以 $\displaystyle V_{\lambda}^{B A}$ 表示 $\displaystyle B A$ 关于 $\displaystyle \lambda$ 的特征子空间．证明： （1）$\displaystyle \lambda$ 也是 $\displaystyle A B$ 的特征值； （2） $\displaystyle \operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{A B}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{\lambda}^{B A}\right)$ ．

9．（10 分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1}$ 的维数小于 $\displaystyle V_{2}$ 的维数，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ 中的一切向量．

七．（20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 和 $\displaystyle \tau$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的两个线性变换，$\displaystyle \sigma$ 在数域 $P$ 上有 $n$ 个互不相同的特征值，证明：$\displaystyle \sigma$ 的特征向量都是 $\displaystyle \tau$ 的特征向量的充要必要条件是 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．

九．（15 分）设 $A$ 与 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 是正定矩阵的充要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．

二．（15 分）证明复数域上的多项式 $$ f(x)=x^{n}+n x^{n-1}+(n(n-1)) x^{n-2}+\cdots+(n(n-1)(n-2) \cdots 4 \cdot 3) x^{2}+(n!) x+n! $$ 没有重根．

五．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵，证明：$n$ 元实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}\right)^{2}+\cdots+\left(a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}\right)^{2} $$ 是正定二次型的充要必要条件是 $A$ 的秩等于 $n$ ．

六．（15 分）设 $\displaystyle A=\binom{A_{1}}{A_{2}}$ 是数域 $P$ 上的 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 阶可逆分块矩阵，记 $$ W_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A_{1} X=0\right\}, W_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid A_{2} X=0\right\} $$ 证明：$\displaystyle P^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

四．（15 分）设 $A$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵，证明：存在 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P A P^{-1}$ 的后 $\displaystyle n-r$ 行全为零．

一．（15 分）证明：对于任意的非负整数 $n$ ，复数域上的多项式 $\displaystyle x^{2}+x+1, x^{n+2}+(x+1)^{2 n+1}$ 都有 $$ x^{2}+x+1 \mid x^{n+2}+(x+1)^{2 n+1} $$

七．（15 分）$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，若 $\displaystyle V_{1} \cup V_{2}$ 也是 $V$ 的子空间．证明： （1）$\displaystyle V_{1} \cup V_{2}=V_{1}+V_{2}$ ． （2）$\displaystyle V_{1} \subset V_{2}$ 或者 $\displaystyle V_{2} \subset V_{1}$ ．

九．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 是 $n$ 级正交方阵，若 $\displaystyle |A| \neq|B|$ ，证明：$\displaystyle A+B$ 是不可逆矩阵．

五．（20 分）$\displaystyle A, B$ 均是 $\displaystyle 4 \times 4$ 级实矩阵，齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的基础解系中包含 3 个解向量，$\displaystyle B X=0$的一个基础解系中包含 2 个解向量。证明： （1）$\displaystyle A B X=0$ 至少有 3 个线性无关的解向量． （2） $\displaystyle 4 A+5 B$ 一定有实特征向量

八．（20 分）设 $V$ 是复数域上的一个 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $V$ 上的两个线性变换，且 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．证明： （1）若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征值，则特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda_{0}}$ 是 $\displaystyle \tau$ 的一个不变子空间． （2）$\displaystyle \sigma, \tau$ 至少有一个公共的特征向量．

六．（15 分）设 $\displaystyle A, B, C$ 是 $n$ 级方阵，且 $A$ 和 $B$ 都可逆，证明：矩阵 $$ M=\left(\begin{array}{cc} A & A \\ C-B & C \end{array}\right) $$ 可逆，并求矩阵 $M$ 的逆．

四．（15 分）设 $A$ 是秩为 $m$ 的 $\displaystyle m \times n$ 级矩阵，$B$ 是秩为 $\displaystyle n-m$ 的 $\displaystyle n \times(n-m)$ 级矩阵，而且 $\displaystyle A B=O$ ．若 $n$维向量 $\displaystyle \eta$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解．证明：存在唯一的 $\displaystyle n-m$ 维列向量 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle \eta=B \xi$ ．

10．（20分）设 $n$ 级实矩阵 $A$ 与 $B$ 都可对角化，即存在可逆矩阵 $S$ 与 $T$ ，使得 $\displaystyle S^{-1} A S$ 与 $\displaystyle T^{-1} B T$ 都是对角矩阵。证明：当 $\displaystyle A B=B A$ 时，存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $A$ 与 $B$ 可同时对角化，即 $\displaystyle C^{-1} A C$ 与 $\displaystyle C^{-1} B C$ 都是对角阵。

3．（10分）在齐次线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\ \quad \cdots \cdots \\ a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0 \end{array}\right. $$ 中，证明 $$ \begin{gathered} x_{1}=\left|\begin{array}{cccc} a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n} \end{array}\right|, x_{2}=-\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n} \end{array}\right|, \\ \cdots, x_{n}=(-1)^{n-1}\left|\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1} \end{array}\right| \end{gathered} $$ 是方程组的解，且若这个解不为零，则方程组的任意解可由它乘以某数得到．

4．（10 分）设 $\displaystyle A \in M_{m \times n}(P)$ ，证明：$A$ 的秩等于 $r$ 的充要条件是存在秩为 $r$ 的 $\displaystyle m \times r$ 矩阵 $M$ 和 $\displaystyle r \times n$ 矩阵 $N$ ，使得 $\displaystyle A=M N$ ．

5．（10 分）若 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是正定阵，证明： $$ 0<|A| \leq a_{11} a_{22} \cdots a_{n n} $$ 其中 $\displaystyle a_{i i}$ 为 $A$ 的主对角线上的元素，$\displaystyle i=1,2, \cdots, n$ ．

6．（20 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 级幂等矩阵，即 $\displaystyle A^{2}=A$ ．齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W_{1}$ ， $\displaystyle (A-E) X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W_{2}$ ，证明：$\displaystyle P^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

8．（20 分）设 $A$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 级可逆阵，证明：存在实数域上的 $n$ 级正定阵 $P$ 和 $n$ 级正交阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle A=P Q$ ，并且这一分解式是惟一的．

七．（15 分）设 $V$ 是数域上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle \sigma(V)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的值域，$\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \sigma$ 的核．证明： （1）维 $\displaystyle \left(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)\right) \geq \frac{n}{2}$ ． （2）维 $\displaystyle \left(\sigma(V)+\sigma^{-1}(0)\right)=\frac{n}{2}$ 当且仅当 $\displaystyle \sigma(V)=\sigma^{-1}(0)$ ．

三．（15 分）设 $A$ 是数域上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle n \geq 2, A^{*}$ 是 $A$ 的伴随矩阵，且存在 $n$ 维非零向量 $\displaystyle \alpha$ ，满足 $\displaystyle A \alpha=0$ ．证明：非齐次线性方程组 $\displaystyle A^{*} X=\alpha$ 有解当且仅当秩 $\displaystyle (A)=n-1$ ．

九．（20 分）设 $\displaystyle A, B$ 为数域上的 $n$ 阶方阵，且 $A$ 的 $n$ 个特征值两两不同．证明：$A$ 的特征向量都是 $B$ 的特征向量当且仅当 $\displaystyle A B=B A$ ．

二．（10 分）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle n \geq 1$ ，证明：$V$ 中存在一个由无穷多个向量构成的向量组，使得该向量组中任意 $n$ 个向量都是 $V$ 的一组基．

五．（ 15 分）设 $$ A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) $$ 证明：$\displaystyle A^{n}=A^{n-2}+A^{2}-E$ ，其中 $\displaystyle n \geq 3, E$ 为单位矩阵，并求出 $\displaystyle A^{1000}$ ．

八．（15 分）设 $A$ 为实对称矩阵，$S$ 为实反称矩阵，$\displaystyle A S=S A, A$ 可逆，证明：$\displaystyle A-S$ 可逆，且 $$ (A+S)(A-S)^{-1} $$ 为正交矩阵。

六．（15分）设 $V$ 为有限维线性空间，$\displaystyle V_{1}$ 为 $V$ 的非零子空间．证明：如果有且仅有一个子空间 $\displaystyle V_{2}$ ，使得 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，则必有 $\displaystyle V_{1}=V$ ．

十．（20分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}, \alpha_{5}$ 为五维欧几里得空间 $V$ 的一组标准正交基， $$ W=\left\{x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+x_{3} \alpha_{3}+x_{4} \alpha_{4} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} $$ 证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，求出 $W$ 的维数与一组基，并求出 $W$ 的正交补．

3．已知 $$ \beta_{1}=\alpha_{2}+\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{s}, \beta_{2}=\alpha_{1}+\alpha_{3}+\cdots+\alpha_{s}, \cdots, \beta_{s}=\alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{s-1} . $$ 证明向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{s}$ 的秩相同．

8．设 $\displaystyle \eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个单位向量，定义变换 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \sigma(\alpha)=\alpha-2(\alpha, \eta) \eta$ ． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是正交变换． （2）设 $\displaystyle \sigma$ 在 $V$ 的任意一组标准正交基下的矩阵为 $A$ ，证明：$\displaystyle |A|=-1$ ．

2．已知 $n$（自然数 $n \geq 1$ ）阶方阵 $J$ 的所有元素都是 $-1, A=\left(a_{i j}\right)$ 中除了 $\left(a_{m}\right.$ 外，所有元素 $a_{i j}=0$ 。如果 $J$ 和 $A$ 相似，则 $a_{m}=$ $\_\_\_\_$

3．一个 $n$ 阶行列式 $D$ 的元素由 $a_{i j}=\max (i, j)$ 给定，则 $D=$ $\_\_\_\_$

4．设 $\alpha$ 为3 维列向量，$\alpha^{T}$ 是 $\alpha$ 的转置，如果 $\alpha \alpha^{T}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ -2 & 4 & -2 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right)$ ，则 $\alpha^{T} \alpha=$ $\_\_\_\_$

5．设 $R$ 为实数域，集合 $T=\left\{\left.\left(\begin{array}{ccc}u & v & u \\ v & x+y & x \\ u & x & u\end{array}\right) \right\rvert\, u, v, x, y \in R\right\}$ 关于矩阵的加法和数乘构成 $R$－线性空间，则 $T$ 的一组基为 $\_\_\_\_$ ，维数为 $\_\_\_\_$ －．选择题（将正确答案的选项填入括考中，本题共 25 分，每小题 5 分）

2．已知三阶矩阵 $A$ 的特征值是 $x^{3}=1$ 的三个不同根，则 $|A+E|=$ $\_\_\_\_$

5．设 $D_{n}=\left|a_{i j}\right|$ 是 $n$ 阶行列式，其中 $a_{i i}=2, a_{i, i+1}=a_{i+1, i}=-1, i=1,2, \cdots, n-1$ ，则 $D_{n}=$ $\_\_\_\_$ （写出具体表达式）

1．设 $A, P$ 均为3阶矩阵，且 $P^{T} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，若 $P=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ， $Q=\left(\alpha_{1}, \alpha_{1}+\alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，则 $Q^{T} A Q=($ （A）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （B）$\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （C）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ （D）$\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$

2．秩为 $r$ 的 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{2}=2 A$ ，则行列式 $|A+E|=$（ （A）$(-1)^{r} 3^{r}$ （B） $3^{r}$ （C）$(-1)^{r} 2^{r}$ （D） $2^{r}$

2．若实对称矩阵 $A$ 与矩阵 $B=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 合同，且 $X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ ，则 $X^{T} A X$ 的规范形为 3．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & t & 1 \\ 1 & t & 0 & 1\end{array}\right)$ ，齐次线性方程组 $A X=0$ 解空间的维数为 2 ，则 $t=$ 4．设 $A$ 与 $B$ 均为 $n$ 阶矩阵，$A^{*}, B^{*}$ 分别为它们的伴随矩阵，$|A|=2,|B|=-4$ ，则 $\left|A^{*} B^{-1}-A^{-1} B^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$

1．设 $A$ 为 $m \times n$ 型矩阵，B为 $n \times m$ 型矩阵，其中 $m<n$ ，若 $A B=E_{m}$ ，则（ （A）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=m$ ； （B）秩 $(A)=m$ ，秩 $(B)=n$ ； （C）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=m$ ； （D）秩 $(A)=n$ ，秩 $(B)=n$ ．

2．若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的各行元素之和均为零，且 $R(A)=n-1$ ，则齐次线性方程组 $A x=0$的一个基础解系是 $\_\_\_\_$ （2） $\_\_\_\_$

4．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1\end{array}\right)$ 的特征值为 $\lambda_{4}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \lambda_{4}$ ，则 $\lambda_{1} \lambda_{2} \lambda_{3} \lambda_{4}=$ $\_\_\_\_$ （4） $\_\_\_\_$

5．已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}-x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=1+\lambda \\ -2 x_{1}+x_{2}+2 x_{3}=1 \\ x_{1}+x_{2}+\lambda x_{3}=\lambda\end{array}\right.$ 无解，则 $\lambda=$ $\_\_\_\_$ （5） $\_\_\_\_$

5．设 $A$ 与 $B$ 分别是 $3 \times 2$ 与 $2 \times 3$ 矩阵，且满足 $A B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $R(A)=$ $\_\_\_\_$

七．（共25分）设 $\displaystyle G=\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle A, B, C, D$ 都是 $n$ 阶矩阵。 （1）若 $A$ 可逆，证明 $G$ 的行列式 $\displaystyle |G|=|A|\left|D-C A^{-1} B\right|$ ； （2）设 $E$ 是 $n$ 级单位矩阵。令 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}0 & E \\ -E & 0\end{array}\right)$ ，若矩阵 $G$ 满足 $\displaystyle G M G^{Y}=M$ ，证明 $G$ 的行列式等于 1 。

二．（20 分）设 $V$ 为实数域上的全体 $n$ 阶方阵在通常的运算下松成的线性空间。 $\displaystyle \sigma$为 $V$ 上的线性变换，且对任意的 $\displaystyle A \in V, \sigma(A)=A^{T}$ 。 （1）求 $\displaystyle \sigma$ 的特征值；（2）对于每一个特征值，求其特咙字空间； （3）证明 $V$ 恰为 $\displaystyle \sigma$ 的所有特征子空间的直和。

五．（共20 分）$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & -1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 3 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 4 & -1 & 3 \\ 3 & -1 & -5 & 1 & -6\end{array}\right)$ ， （1）求 $\displaystyle 5 \times 5$ 的秩为 2 的矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B=0$ ； （2）已知 $C$ 是满足 $\displaystyle A C=0$ 的 $\displaystyle 5 \times 5$ 矩阵，证明 $\displaystyle r(C) \leq 2$ 。

六．（共 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的一个线性变换。证明： （1）存在正整数 $k$ ，使得对所有 $\displaystyle l>k$ 有 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(\sigma^{l}\right)=\operatorname{ker}\left(\sigma^{k}\right)$ ； （2）$\displaystyle \sigma$ 的秩与 $\displaystyle \sigma^{2}$ 的秩相等的充分必要条件是 $\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \operatorname{ker}(\sigma)$ 。

四．（共 30 分）若䀇陏（满龪 $\displaystyle C^{2}=C$ ，称 $C$ 为幂等矩阵。证明 （1）$n$ 阶知阵（是委等矩阵的充要条件为 $\displaystyle r(C)+r(C-E)=n$ 。 （2）若 $A$ 足 $n$ 阶褁等矩阵，满足（a）$\displaystyle A=A_{1}+A_{2}$ ； （b）$\displaystyle r(A)=r\left(A_{1}\right)+r\left(A_{2}\right)$ ，则 $\displaystyle A_{t}(i=1.2)$ 都是幂等矩阵。

2．（25 分）已知 3 阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 1 & 2 \\ k & -1 & k \\ 4 & 1 & 3\end{array}\right)$ ，且存在可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵。 （1）求 $k$ 的值． （2）求矩阵 $P$ ，使 $P^{-1} A P$ 为对角阵。 （3）求 $A^{m}(m \geq 2)$ ．

1．（20分）矩阵 $A$ 不可逆，$A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，证明使 $k E+A^{*}$ 不可逆的复数 $k$ 至多只有两个．

2．（20分）$A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\prime} & c\end{array}\right)$ 正定，$B$ 为 $n \times 1$ 阶矩阵，$c$ 为常数。证明： $$ \left|\begin{array}{cc} A & B \\ B^{\prime} & c \end{array}\right| \leq c|A| $$ 等号成立时当且仅当 $B=O$ ．

3．（20分）设 $\eta$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的一个单位向量，定义 $\mathscr{A}(\alpha)=\alpha-2(\eta, \alpha) \eta$ 为镜面反射。 （1）证明 $\mathscr{A}$ 是一个正交变换，求 $\mathscr{A}$ 的一组标准正交基，并并求 $\mathscr{A}$ 在该基下的矩阵。 （2）如果 $n$ 维欧氏空间中，正交变换 $\mathscr{A}$ 以 1 作为特征值，且属于特征值 1 的特征子空间 $V_{1}$ 的维数为 $n-1$ ，则 $\mathscr{A}$ 一定为镜面反射。

4．（20分）在线性空间 $V$ 中，有线性变换 $\sigma, \tau, \nu$ ．且 $\nu \tau-\tau \nu=\sigma$ ．证明： （1）$\nu \tau^{k}-\tau^{k} \nu=k \tau^{k-1} \sigma$ ． （2）存在正整数 $m$ ，使得 $\sigma^{m}=0$ ．

2．$\tau$ 为 $V$ 上的一个对称变换．

1．求 $\beta$ 的值．

2．求一个正交线性替换 $X=T Y$ ，将 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)$ 化为标准形，并求此标准形．

1．设矩阵 $A=A_{m \times n}, B=B_{n \times m}(m \leq n)$ ，证明：$\left|\lambda E_{n}-B A\right|=\lambda^{n-m}\left|\lambda E_{m}-A B\right|$ ．

2．若 $A$ 是数域 $P$ 上 $r \times n$ 矩阵，$B$ 是 $P$ 上 $(n-r) \times n$ 矩阵，且分块矩阵 $\binom{A}{B}$ 是非奇异矩阵，则 $n$ 维线性空间 $P^{n}=\left\{X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{\prime} \mid x_{i} \in P\right\}$ 是齐次线性方程组 $A X=0$ 的解子空间 $V_{1}$ 与 $B X=0$ 的解子空间 $V_{2}$ 的直和，即 $P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

1．若 $A$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上 $n \times n$ 对称矩阵，且 $|A|<0$ ，则必存在 $n$ 维实列向量，使得 $X^{\prime} A X<0$ ．

2．若方阵 $A=\left(\begin{array}{cc}B & D \\ D^{\prime} & C\end{array}\right)$ 为实对称阵，则 $A$ 是正定的充分必要条件为 $B$ 是正定且 $C-D^{\prime} B^{-1} D$ 也是正定的．

2．若 $A$ 为非零矩阵，则线性方程组 $A^{\prime} A X=A^{\prime} b$ 必有解，这里 $b=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}\right)^{\prime}$ 为任意列向量．

一．把复数域上的矩阵 $$ J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)=\left(\begin{array}{cccccc} a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0} \end{array}\right) $$ 称为 $n$ 阶循环矩阵． （1）证明 $\displaystyle V=\left\{J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right) \mid a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1} \in \mathbb{C}\right\}$ 是线性空间，并求其维数和一组基； （2）求 $\displaystyle J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)$ 的特征值及行列式 $\displaystyle \left|J\left(a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n-1}\right)\right|$ ．

七．已知 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，且 $\displaystyle \sigma^{m}=\mathrm{id}_{V}$ ，其中 $\displaystyle m>1$ 为正整数， $\displaystyle \mathrm{id}_{V}$ 为 $V$ 上的恒等变换． （1）证明 $\displaystyle V_{\sigma}=\{u \in V \mid \sigma(u)=u\}$ 为 $V$ 的子空间，并称其为 $V$ 的不动子空间； （2）对任意的 $\displaystyle u \in V$ ，其在 $\displaystyle V_{\sigma}$ 上的正交投影为 $\displaystyle \bar{u}=\frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}(u)$ ； （3）证明 $\displaystyle V_{\sigma}$ 的维数等于 $\displaystyle \frac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} \sigma^{i}$ 的迹． ## （第三、四、六题回忆数据可能不准，11月份之前会根据官方修订真题）

三．设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反称矩阵．证明： （1）$\displaystyle A-B^{2}$ 是正定矩阵； （2）$\displaystyle T=(E-B)(E+B)^{-1}$ 为正交矩阵； （3）-1 不是 $T$ 的特征值．

二．设 $\displaystyle A, B$ 为复数域上的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A=\alpha^{T} \beta, A=A B-B A$ ，其中 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $n$ 维非零列向量． （1）证明 $\displaystyle A^{2}=O$ ； （2）证明 $A$ 与 $\displaystyle E_{12}$ 相似，其中 $\displaystyle E_{12}$ 表示第一行第二列元素为 1 ，其余元素为 0 的 $n$ 阶方阵．

五．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的不可逆且非零的线性变换，$A$ 为 $\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵．证明： （1）存在 $\displaystyle m>1$ ，使得 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma^{m} \oplus \operatorname{Ker} \sigma^{m}$ ； （2）$A$ 相似于 $\displaystyle \left(\begin{array}{ll}B & O \\ O & C\end{array}\right)$ ，其中 $B$ 为可逆矩阵，$C$ 为幂零矩阵．

六．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶正定矩阵．证明： （1）$\displaystyle A^{2}+B$ 也为正定矩阵； （2）$\displaystyle \left|2022 E_{n}-B^{2}\right| \geq 2022^{n}$ ，当且仅当 $\displaystyle B=O$ 时等号成立．

2．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵．$\displaystyle A_{k}$ 是 $A$ 去掉第 $k$ 行剩下的 $\displaystyle n-1$ 行所组成的矩阵．$\displaystyle A_{i j}$表示 $A$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式． （1）若 $\displaystyle |A| \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A_{k} X=0$ 的一个基础解系． （2）若 $\displaystyle |A|=0$ ，且元素 $\displaystyle a_{k l}$ 的代数余子式 $\displaystyle A_{k l} \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \left(A_{k 1}, A_{k 2}, \cdots, A_{k n}\right)^{T}$ 是齐次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 的一个基础解系．

4．（20分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基．用 $\displaystyle V_{1}$ 表示 $\displaystyle \alpha_{1}+\alpha_{2}+\cdots+\alpha_{n}$生成的子空间，令 $\displaystyle V_{2}=\left\{\sum_{i=1}^{n} k_{i} \alpha_{i} \mid \sum_{i=1}^{n} k_{i}=0, k_{i} \in F\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ； （2）设 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵 $A$ 是置换矩阵（即 $A$ 每行每列只有一个元素为 1 ，其余元素为 0 ），证明：$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 都是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。

5．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 是 $V$ 的一组标准正交基．End $\displaystyle (V)$ 表示 $V$ 上全体线性变换构成的线性空间。定义 $\displaystyle \langle\sigma, \tau\rangle=\sum_{i=1}^{n}\left(\sigma\left(\varepsilon_{i}\right), \tau\left(\varepsilon_{i}\right)\right)$ ，其中 $\displaystyle \sigma, \tau \in \operatorname{End}(V), ~(, ~)$ 为 $V$ 上的内积． （1）证明 〈 ，〉为 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 上的内积； （2）求 $\displaystyle \operatorname{End}(V)$ 的一组标准正交基．

6．（20 分）考虑实对称矩阵 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{T} & 1\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right)^{T}$ ． （1）若 $A$ 可逆，证明：$\displaystyle |B|=|A|\left(1-\alpha^{T} A^{-1} \alpha\right)=\left|A-\alpha \alpha^{T}\right|$ ； （2）证明：矩阵 $\displaystyle A-\alpha \alpha^{T}$ 正定当且仅当矩阵 $A$ 正定，且 $\displaystyle \alpha^{T} A^{-1} \alpha<1$ ．

7．（30 分）设 $V$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间．$\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$ 都是 $V$ 上的非零线性变换． $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma$ 表示线性变换 $\displaystyle \sigma$ 的秩。 （1）证明：存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \sigma_{i}(\alpha) \neq 0, i=1,2, \cdots, s$ ； （2）令 $\displaystyle \sigma=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\cdots+\sigma_{s}$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 是幂等变换且 $\displaystyle \operatorname{rank} \sigma=\sum_{i=1}^{s} \operatorname{rank} \sigma_{i}$ 的充要条件为 $\displaystyle \sigma_{1}, \sigma_{2}, \cdots, \sigma_{s}$都是幂等变换，且 $\displaystyle \sigma_{i} \sigma_{j}=0(i \neq j)$ ．

2、求 $\mathbf{A}$ 的所有特征值．

1、求 $x, y$ 的值．

2、求可逆矩阵 $\mathbf{P}$ ，使得 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A P}$ 为对角矩阵．

3、求 $A^{n}$ ，其中 $n$ 是正整数．

3、证明：$n$ 维欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中，向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关的充要条件是： $$ \left|\begin{array}{ccc} \left(\alpha_{1}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{1}, \alpha_{n}\right) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \left(\alpha_{n}, \alpha_{1}\right) & \cdots & \left(\alpha_{n}, \alpha_{n}\right) \end{array}\right| \neq 0 $$

4、 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的 $n$ 个特征值为 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，且 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明： $$ \lambda_{k}=\min _{\operatorname{dim} S=n-k+1} \max _{X \in S, X \neq 0} \frac{(A X, X)}{(X, X)},(k=1,2,3, \cdots, n) $$ 其中 $S$ 为向量空间，$\displaystyle X=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ ，内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 为 (X, X)=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}$ ，其中 $$ Y=\left(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}\right)^{T} $$

5、解答如下问题： （1） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 是 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 实矩阵，则 $\displaystyle \mathbf{B}^{T} \mathbf{A} \mathbf{B}$ 是正定矩阵的充要条件是 $\displaystyle r(B)=n$ ． （2） $\displaystyle \mathbf{A}$ 是秩为 $r$ 的 $n$ 阶实对称矩阵，证明： $\displaystyle \mathbf{A}$ 为半正定矩阵的充分必要条件是存在 $r$ 行 $n$ 列的行满秩矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A=B^{T} B$ ．

6、设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A B=A+2025 B$ ，证明： （1）$\displaystyle r(A)+r(B) \leq r(A B)+n$ ． （2）$\displaystyle r(A)+r(B) \geq r(A+B)+r(A B)$ ．

7、设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的线性变换，若对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，都有 $$ (\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta)), $$ 则称 $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭，证明： （1） $\displaystyle \mathbf{\sigma}$ 是 $\displaystyle \mathbf{\tau}$ 的共轭的充分必要条件是两者在同一组标准正交基下的矩阵互为转置． （2）若 $\displaystyle \sigma$ 是 $\displaystyle \tau$ 的共轭，则 $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma=(\operatorname{Ker} \tau)^{\perp}$ ．

2．设 4 阶方阵 $A$ 的秩是 $\displaystyle 3, \eta_{1}, \eta_{2}, \eta_{3}$ 是方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的三个不同的解，且满足 $$ \eta_{1}+\eta_{2}+\eta_{3}=(3,3,0,3)^{\mathrm{T}}, 2 \eta_{2}+3 \eta_{3}=(6,2,3,0)^{\mathrm{T}} . $$ （1）证明：$\displaystyle \beta \neq 0$ ，即 $\displaystyle \beta$ 不是零向量． （2）求方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 的通解．

3．设 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵 $\displaystyle (n \geq 2)$ ，满足 $\displaystyle A^{2}=A, B, C$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶矩阵． （1）证明：$\displaystyle r(A)+r\left(A-E_{n}\right)=n$ ． （2）若 $\displaystyle E_{n}+C^{\mathrm{T}} B$ 可逆，则 $\displaystyle E_{m}+B C^{\mathrm{T}}$ 可逆，并求 $\displaystyle E_{m}+B C^{\mathrm{T}}$ 的逆．

4．解答如下问题： （1）设 $\displaystyle A, B$ 是 $\displaystyle n \times n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 是正定矩阵，证明：存在 $\displaystyle n \times n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P, P^{\mathrm{T}} B P$ 同时为对角矩阵。 （2）设二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}+\left(x_{3}-x_{1}\right)^{2}$ ，写出该二次型的矩阵，并用正交线性替换把该二次型化为标准型，判断该二次型是否正定．

7．设 $V$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上全体 $\displaystyle n \times n(n \geq 2)$ 阶实对称矩阵构成的线性空间，对任意 $\displaystyle A, B \in V$ ，定义 $\displaystyle (A, B)=\operatorname{tr}(A B)$ ，其中 $\displaystyle \operatorname{tr}(A B)$ 表示 $\displaystyle A B$ 的迹． （1）证明：$V$ 是欧氏空间． （2）$\displaystyle W=\{A \in V \mid \operatorname{tr}(A)=0\}$ ．证明：$W$ 是 $V$ 的子空间，并求 $W$ 的维数． （3）求 $W$ 的正交补空间 $\displaystyle W^{\perp}$ 的维数．

七、设 $\displaystyle A, B, C, D$ 为数域 $P$ 上的四个 3 阶矩阵，它们具有相同的特征多项式，证明 $\displaystyle A, B, C, D$ 中至少有两个矩阵相似。

三、（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}, \beta$ 是一个 n 维列向量组，且它的秩与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$的秩相同，证明：$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性表出，且表示法唯一的充分必要条件为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关。

九、（20 分）设二次型 $\displaystyle \mathrm{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+\mathrm{t} x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2 （1）求 t 的值； （2）用正交线性替换将此二次型化为标准形，并写出所用的正交线性替换。十、证明以下结论： （1）设 A 为 n 阶实矩阵，证明 A 为反对称矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \mathrm{A} A^{T}=-A^{2}$ ； （2）设 $A$ 为正定阵，则存在正定矩阵使得 $\displaystyle A=B^{2}$ 。

五、设 $\displaystyle \mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，记 $\displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{A})$ 为所有与 A 可交换的实矩阵全体， （1）证明 $\displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{A})$ 是线性空间 $\displaystyle R^{3 \times 3}$ 的一个子空间； （2）求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基与维数。

八、（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是有限维线性空间 V 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：$\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$当且仅当 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma(\mathrm{V})$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间。

一、（ 15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，若 $\displaystyle f(0)$ 与 $\displaystyle f(1)$ 都是奇数，求证：$\displaystyle f(x)$ 无整数根。

五、（15 分）设 $\displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为数域 P 上的 n 阶方阵，且秩（ A ）＝秩（ BA ），证明对任意的 $\displaystyle \mathrm{l} \geq 1$ ，有秩 $\displaystyle \left(\mathrm{A}^{l}\right)=$ 秩 $\displaystyle \left(\mathrm{BA}^{l}\right)$ ．

六、（15分）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个线性变换，满足 $\displaystyle \alpha+\beta=\varepsilon, \alpha \beta =\beta d=0$ ，这里 $\displaystyle \varepsilon, 0$ 分别为单位变换和零变换。证明： （1） $\displaystyle \mathrm{V}=\alpha \mathrm{V} \oplus \beta \mathrm{V}$ ， （2）$\displaystyle \alpha V=\beta^{-1}(0)$ ． 这里 $\displaystyle \alpha V, \beta V$ 分别表示 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值域，$\displaystyle \beta^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \beta$ 的核。

十、（15 分）设 A 是 n 阶实对称矩阵， E 是 n 阶单位阵，证明： （1）如果 A 正定，则 A 的特征值全大于零。 （2）如果 A 是正定且正交的矩阵，证明 $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{E}$ ．

四、（15 分）证明 $\displaystyle \operatorname{mxn}$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$ 的充要条件是 $A$ 有分解式 $\displaystyle A=\alpha_{1} \beta_{1}{ }^{T}+\alpha_{2} \beta_{2}{ }^{T}+ \ldots+\mathrm{a}_{r} \beta_{r}{ }^{T}$ ，其中 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{r}$ 分别是线性无关的 m 维和 n 维列向量。

1、（15 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $P$ 上的两个一元多项式，且 $$ (f(x)-g(x), f(x)+g(x))=1 $$ 证明：$\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ．

10、（15 分）设 $\displaystyle V=K^{r \times n},(V,(\cdot, \cdot))$ 是一个欧氏空间，其中内积的定义为：对任意的 $\displaystyle A, B \in V,(A, B)=\operatorname{tr}\left(A B^{T}\right)$ 又设 $\displaystyle U=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}, W=\left\{B \in V \mid B^{T}=-B\right\}$ ，证明： $\displaystyle U \perp W$ 且 $\displaystyle V=U \oplus W$ 。

3．（15 分）设 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，证明：如果 $\displaystyle A^{2}-A=2 E$ ，那么秩 $\displaystyle (A+E)+$ 秩 $\displaystyle (A-2 E)=n$.

4．（15分）设 $A$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，其中 $\displaystyle n<m$ ，若 $\displaystyle A B=E$ ，其中 $E$为 $n$ 阶单位矩阵，证明：秩 $\displaystyle (B)=n$ ．

5．（15 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，设齐次线性方程组 $\displaystyle f(A) g(A) X=0, f(A) X=0, g(A) X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W, V_{1}, V_{2}$ ，证明：$\displaystyle W=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

7．（15 分）设 $A$ 是实数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，若对任意非零的 $n$ 维实向量 $X$ ，恒有 $\displaystyle X^{\top} A X>0$ ，证明：$\displaystyle |A|>0$ ．

9、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值全为实数．

5．设 $A$ 为 3 阶正交矩阵，且 $a_{22}=-1$ ，则 $A X=(0,1,0)^{T}$ 的解为 $\_\_\_\_$。

6．$A$ 是 $m \times n$ 矩阵，证明：存在 $n \times m$ 矩阵 $B$ ，使得 $A B A=A$ 且 $B A B=B$ ．

7．设 $A=\left(\begin{array}{llllll}1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2\end{array}\right)$ ，求 $A$ 的不变因子组和初等因子组．

8．设 $$ F[x]_{n}=\left\{a_{n} x^{n}+\cdots+a_{1} x+a_{0} \mid a_{n}, \cdots, a_{1}, a_{0} \in F\right\} $$ 求线性变换 $\mathscr{D}: F[x]_{n} \rightarrow F[x]_{n}, \mathscr{D}(f(x))=f^{\prime}(x)$ 的特征多项式和所有特征值．

9．设 $\alpha$ 为 $n$ 维实单位列向量，$E$ 为 $n$ 阶单位矩阵，求 $E-\alpha \alpha^{T}$ 的秩并说明理由．

10．$A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & -2\end{array}\right)$ ，求 $A^{2025}$ ．

15．设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，证明：$\lambda$ 实部为 0 ．

5．（5 分）设 $f(x)=\prod_{j=1}^{2026}\left(x^{2}+j\right)^{j^{2}+j+1}, d(x)$ 是 $f(x)$ 与 $f^{\prime}(x)$ 的首一最大公因式，则 $f(x)$ 除以 $d(x)$的商为 $\_\_\_\_$ ．

6．（5 分）计算 $n$ 阶行列式 $$ \left|\begin{array}{cccc} 1-a_{1}^{2} & -a_{1} a_{2} & \cdots & -a_{1} a_{n} \\ -a_{2} a_{1} & 1-a_{2}^{2} & \cdots & -a_{2} a_{n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ -a_{n} a_{1} & -a_{n} a_{2} & \cdots & 1-a_{n}^{2} \end{array}\right| . $$

7．（5分）设 $n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ ，求 $A$ 的极小多项式．

8．（5 分）设 $n$ 阶方阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccccc} 1 & -1 & 1 & \cdots & (-1)^{n} \\ & 1 & -1 & \ddots & \vdots \\ & & 1 & \ddots & 1 \\ & & & \ddots & -1 \\ & & & & 1 \end{array}\right) $$ 求 $A$ 的 Jordan 标准型．

9．（5 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶正定矩阵，试问：$A B$ 是否必为正定矩阵？若是，请说明理由；若否，请给出反例．

10．（5 分）设 $A, B$ 是 $n$ 阶实方阵，且存在 $n$ 阶复可逆矩阵 $P$ 使得 $B=P^{-1} A P$ ，试问：是否存在 $n$ 阶实可逆矩阵 $Q$ 使得 $B=Q^{-1} A Q$ ？若是，请说明理由；若否，请给出反例．

2．利用正交变换将二次型化成标准型，并写出所用的正交变换．

1．$\sigma$ 的核 $\operatorname{ker}(\sigma)=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ；

3．$V=\operatorname{ker}(\sigma) \oplus \operatorname{Im}(\sigma)$ ．

四．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，$A$ 可逆，且满足 $\displaystyle 2 A^{-1} B=B-4 E$ ．证明：$\displaystyle A-2 E$ 可逆，并求其逆矩阵。 五。设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X=a x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 b x_{1} x_{3}$ ，其中，$\displaystyle b>0$ ，且 $A$的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ． 1．求参数 $\displaystyle a, b$ 的值； 2．利用正交变换将二次型化成标准型，并写出所用的正交变换．

一、（20 分）设 $\displaystyle M_{11}, M_{12}, M_{13}, M_{14}$ 是 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & -2 & 4 & 7 \\ 1 & x^{2}+1 & 4 & 4 \\ 3 & -3 & 7 & 9\end{array}\right|$ 的 4 个余子式。 （10 分）（1）设 $\displaystyle f(x)=M_{1}+M_{12}+2 M_{13}-3 M_{14}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ． （5 分）（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上是不可约的． （5 分）（3）求 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时，满足 $\displaystyle f(x)$ 整除 $\displaystyle x^{3}+a x^{2}+b x$ ．

五、（15 分） （1）给出二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 3 x_{i}^{2}+\sum_{\leq i<j \leq n} 2 x_{i} x_{j}$ 的矩阵， （2）证明 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 3 x_{i}^{2}+\sum_{\leq i<j \leq n} 2 x_{i} x_{j}$ 为正定．

六、（30分）设 $V$ 是数域 $P$ 上所有 $\displaystyle 2 \times 3$ 矩阵组成的线性空间． （1）给出 $V$ 的一组基，并证明． （2）给出 $V$ 的两个子空间 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ ，使 $V$ 是它们直和并证明． （3）给出 $V$ 的两个子空间 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ ，使 $V$ 是它们的和，但不是直和并证明．

四、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $P$ 上所有 $n$ 阶矩阵到数域 $P$ 上的线性函数，即对任意 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 和数 $k$ 都有 $$ f(A+B)=f(A)+f(B), f(k A)=k f(A) $$ 再设 $\displaystyle f(A B)=f(B A)$ ，证明： （1）$\displaystyle f(0)=0$ ． （2）若 $\displaystyle i \neq j$ ，则 $\displaystyle f\left(E_{\mathrm{ij}}\right)=0$ ． （3）若 $\displaystyle i \neq j$ ，则 $\displaystyle f\left(E_{i i}\right)=f\left(E_{i j}\right)$ ． （4）存在常数 $C$ ，使 $\displaystyle f(A)=C \cdot \operatorname{tr}(A)$ ．

2、（10 分）求 $D_{n}$ ，其中 $n \geq 4$ ．

1、（5分）求 $A$ ．

3、（20分）设 $\displaystyle A, B, C, D$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle C D^{T}=D C^{T}$ ，证明： $$ \left|\begin{array}{ll} A & B \\ C & D \end{array}\right|=\left|A D^{T}-B C^{T}\right| . $$

4、（20分）对于二阶矩阵 $\displaystyle A, B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, A \neq O$ ，若 $$ \left|A+B_{i}\right|=|A|+\left|B_{i}\right|, i=1,2,3,4 . $$ 证明：矩阵 $\displaystyle B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ 线性相关．

5、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实矩阵，证明：如果存在一个复可逆矩阵 $\displaystyle \mathbf{P}$ ，使得 $$ P^{-1} A P=B, $$ 那么一定存在一个实可逆矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q=B$ ．

6、（20 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，且 $\displaystyle r(A)=r(B)$ ，证明：$\displaystyle A^{2} B=A$ 的充要条件是 $\displaystyle B^{2} A=B$ ．

7、（20 分）设 $A$ 为实方阵，$\displaystyle A+A^{T}$ 为正定矩阵，但 $\displaystyle A \neq A^{T}$ ，证明： $$ \left|A+A^{T}\right|<|2 A| . $$

8、（20分）设 $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ 是欧氏空间 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中三个非零向量，已知它们两两正交， 记矩阵 $\displaystyle A=\alpha \beta^{T}+\beta \gamma^{T}+\gamma \alpha^{T}$ ． （1）证明：$\displaystyle r(A)=3$ ． （2）$A$ 是否可以相似对角化？请证明你的结论。

3．$\displaystyle C \in M_{m \times n}(\mathbb{C}), r(C)=r$ ，且 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 至少有 $r$ 个公共的特征值（计重数）．

4．有限维线性空间 $V$ 有2026个子空间 $\displaystyle W_{1}, W_{2}, \cdots, W_{2026}$ ，其中 $$ \operatorname{dim} W_{i}=2026(i=1,2, \cdots, 2026), \operatorname{dim}\left(W_{i} \cap W_{j}\right)=2025(i \neq j) . $$ 证明下列条件之一成立： （a）存在 $W$ 为 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} W=2025, W \subset W_{i}(i=1,2, \cdots, 2026)$ ． （b）存在 $U$ 为 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} U=2027, W_{i} \subset U(i=1,2, \cdots, 2026)$ ．

5．设 $\displaystyle A \in M_{n \times n}(\mathbb{C})$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{C} \backslash\{0\}$ 且 $\displaystyle |\lambda|<\delta$ 时，$\displaystyle \lambda E+A$ 可逆． （2） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow 0} A(\lambda E+A)^{-1}$ 存在的充分必要条件是 $\displaystyle r(A)=r\left(A^{2}\right)$ ．

6．（可能有误）设 $A$ 为三阶可逆实对称矩阵，证明下面两个命题等价： （a） $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ． （b）对任意三阶实反对称矩阵 $S$ ，存在三阶实反对称矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle A B+B A=S$ ．

8．（可能有误）$\displaystyle A, B$ 为 2026 阶反对称矩阵，证明： （1）$\displaystyle r(A)$ 为偶数． （2）$\displaystyle A B$ 的特征多项式至少有一个二重根．

1、（15 分）用艾森斯坦判别法证明：$\displaystyle \sqrt[2026]{2026}$ 为无理数．

10、（15 分）$\displaystyle \varepsilon_{1} \cdots \varepsilon_{n}$ 为 $V$ 的一组基 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ，证明：$\displaystyle \sigma$ 可逆当且仅当 $$ \sigma\left(\varepsilon_{1}\right), \cdots, \sigma\left(\varepsilon_{n}\right) $$ 线性无关．

4、（15 分）$A$ 为 $n$ 阶实方阵，证明：$\displaystyle r\left(A^{\top} A\right)=r(A)$ ，若 $A$ 为 $n$ 阶复方阵，是否仍成立．

8、（15 分）$A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle (n-m) \times n$ 矩阵，$\displaystyle W_{1}$ 为 $\displaystyle A X=0$ 的解立间，$\displaystyle W_{\text {、 }}$ 内 $\displaystyle B X=0$ 的解空间，证明：$\displaystyle \binom{A}{B} X=0$ 仅有 0 解当且仅当 $\displaystyle R^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

9、（15 分）$V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha$ 为非 0 固定向量． （1）证明：$\displaystyle V_{1}=\{x \mid(x, \alpha)=0\}$ 为 $V$ 的子空间。 （2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V_{1}=n-1$ ．

1．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $P$ 上的多项式，证明：$\displaystyle f(x) \mid g(x) \Leftrightarrow \forall h(x) \in P[x]$ ，有 $\displaystyle (f(x)$ ， $\displaystyle h(x)) \mid(g(x), h(x))$ 。

3．证明：$\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle A^{T} A X=0$ 的解空间相同。

4．设 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵，$C$ 为 $n$ 阶方阵，$D$ 为 $\displaystyle m \times n$ 阶方阵。证明：矩阵 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{ll}A & D \\ B & C\end{array}\right)$ 可逆的充分必要条件是，$\displaystyle A, B, C$ 均可逆，并在可逆时用 ，$\displaystyle A, B, C$ 及其逆矩阵表示 $\displaystyle M^{-1}$ 。

5．设 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X$ 是一个实二次型，若有实 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{1}, X_{2}$ 使得 $\displaystyle X_{1}^{T} A X_{1}> 0, X_{2}^{T} A X_{2}<0$ ，证明：存在实 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{0} \neq 0$ ，使得 $\displaystyle X_{0}^{T} A X_{0}=0$ 。

7．设，$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶正交矩阵，且满足 $\displaystyle |A B|=-1$ ，证明：$\displaystyle |A+B|=0$ 。

8．设 $A$ 为欧式空间 $V$ 上的对称变换。证明：$\displaystyle (A V)^{\perp}=\operatorname{ker} A$ 。

9．设 $A$ 是数域 $P$ 上的一个 $n$ 阶可逆方阵，$A$ 的前 $r$ 个行向量组成的矩阵为 $\displaystyle A_{1}$ ，后 $\displaystyle n -r$ 个行向量组成的矩阵为 $\displaystyle A_{2}, n$ 元线性方程组 $\displaystyle A_{1} x=0$ 与 $\displaystyle A_{2} x=0$ 的解空间分别为，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ ，证明：$\displaystyle P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ 。

2．若 $A$ 和 $B$ 都是 $n$ 阶正交矩阵，则 $A+B, A B, A^{-1}$ 中哪些必是正交矩阵，为什么？

10．设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是两两互异的整数，证明：$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}\left(x-a_{i}\right)-1$ 在有理数域上不可约．

11．设 $A$ 是正定的正交矩阵，证明：$\displaystyle A=E$ ．

12．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，$\displaystyle u \in V$ ，且 $\displaystyle u, \mathscr{A}^{\prime} u, \mathscr{A}^{2} u, \cdots, \mathscr{A}^{n-1} u$ 构成 $V$的一组基，记 $\displaystyle L(V)$ 是 $V$ 上所有线性变换的集合． （1）记 $\displaystyle C(\mathscr{A})=\{\mathscr{B} \in L(V) \mid \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}\}$ ，证明：$\displaystyle C(\mathscr{A})$ 为线性空间． （2）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} C(\mathscr{A})=n$ ． （3）证明：若 $\displaystyle \mathscr{B} \in C(\mathscr{A})$ ，则存在 $\displaystyle f(x) \in P[x]$ ，使得 $\displaystyle \mathscr{B}=f(\mathscr{A})$ ．

13．设 $\displaystyle A_{i j}(i, j=1,2, \cdots, n)$ 是 $\displaystyle n^{2}$ 个非零矩阵，满足 $$ A_{i k} A_{l j}= \begin{cases}A_{i j}, & k=l \\ O, & k \neq l\end{cases} $$ 证明：存在公共的可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A_{i j} P$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列元素为 1 。其余元素为 目的矩阵。

9．已知 $\displaystyle S=\left\{X Y-Y X \mid X, Y \in \mathbb{F}^{n \times n}\right\}$ ． （1）证明：$\displaystyle S=\left\{X \in \mathbb{F}^{n \times n} \mid \operatorname{tr}(X)=0\right\}$ ． （2）求 $\displaystyle \operatorname{dim} S$ ．

2．若多项式 $f(x)$ 与 $g(x)$ 互素，那么 $f\left(x^{2}\right)$ 与 $g\left(x^{2}\right)$ 是否互素？为什么？

3．若 3 阶非零方阵的所有二阶余子式均等于 0 ，那么其秩是多少？为什么？

4．正交矩阵的复特征值一定是 -1 或 1 吗？为什么？

5．若 $f^{\prime}(x)$ 有 2 重根 $a$ ，那么 $a$ 是多项式 $f(x)$ 的 3 重根吗？为什么？

11．设 $n \geq 2, \mathscr{T}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，且向量 $v$ 满足 $\mathscr{T}^{n-1} v \neq 0, \mathscr{T}^{n} v=0$ ． （1）证明：向量组 $v, \mathscr{T} v, \cdots, \mathscr{T}^{n-1} v$ 线性无关． （2）证明： $\mathscr{T}$ 不可以对角化．

一．设 $\displaystyle f_{i}(x) \in \mathbb{P}[x], i=1,2, \cdots, n$ ，求证 $\displaystyle \sum_{i=0}^{n} x^{i} \mid \sum_{k=1}^{n} x^{n-k} f_{k}\left(x^{n+1}\right)$ 的充要条件为 $\displaystyle x-1 \mid f_{i}(x), i= 1,2, \cdots, n$.

七．在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中，$\displaystyle \gamma$ 是非零向量，定义 $V$ 中线性变换 $$ W_{0}=\{x \mid(x, \gamma)=0, x \in V\} . \quad A x=x-\frac{2(x, \gamma)}{(\gamma, \gamma)} \gamma, \forall x \in V . $$ （1）证明 $\displaystyle W_{0}$ 是 $A$ 的不变子空间，并求 $\displaystyle W_{0}$ 的维数． （2）若 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，证明：$\displaystyle \gamma \in W$ 或 $\displaystyle W \subset W_{0}$ ．

二．若 $n$ 是奇数，证明行列式 $\displaystyle D \neq 0$ ． $$ D=\left|\begin{array}{cccccc} 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\ 2^{2} & 3^{2} & 4^{2} & \cdots & n^{2} & (n+1)^{2} \\ 3^{3} & 4^{3} & 5^{3} & \cdots & (n+1)^{3} & (n+1)^{3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ (n-1)^{n-1} & n^{n-1} & (n+1)^{n-1} & \cdots & (n+1)^{n-1} & (n+1)^{n+1} \\ n^{n} & (n+1)^{n} & (n+1)^{n} & \cdots & (n+1)^{n} & (n+1)^{n} \end{array}\right| . $$

八．$\displaystyle A, B$ 均为正交矩阵，$\displaystyle |A|=-1,|B|=1$ ． （1）证明 -1 为 $A$ 的特征值； （2）证明：$\displaystyle |A+B|=0$ ．

六．$\displaystyle f(x) \in \mathbb{P}[x], x_{1}, x_{2} \in \mathbb{P}$ 是二次多项式 $\displaystyle f(x)$ 的两个不同根，对数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的线性空间 $V$ 上的非数乘线性变换 $A$ 有 $\displaystyle f(A)=0$ 。 （1）证明：$\displaystyle x_{1}, x_{2}$ 是 $A$ 的特征值； （2）证明：$\displaystyle V=V_{x_{1}} \oplus V_{x_{2}}$ ．

四．$A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实可逆矩阵，二次型 $\displaystyle f(X)$ 的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & B^{T} \\ B & 0\end{array}\right)$ ． （1）证明：$\displaystyle B^{T} A^{-1} B$ 是正定矩阵； （2）求 $f$ 的正负惯性指数。 五。 $V$ 是有限维实线性空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换存在复数 $\displaystyle a+b i(b \neq 0)$ 对 $A$ 的特征多项式 $\displaystyle f(x)$有 $\displaystyle f(a+b i)=0$ ，证明：$V$ 上存在二维了空间 $W$ ，使得 $\displaystyle A(W) \subset W$ ．

1．（20 分）设 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：$\displaystyle f^{2}(x)+g^{2}(x)$ 的重根必是 $\displaystyle \left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[g^{\prime}(x)\right]^{2}$的根．

1．（20 分）设 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，证明：$\displaystyle f^{2}(x)+g^{2}(x)$ 的重根必是 $\displaystyle \left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[g^{\prime}(x)\right]^{2}$ 的根．

3．（20 分）若 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$\displaystyle \beta$ 为 $n$ 维列向量．考虑下列两个线性方程组 $$ \text { (a) } A X=\beta \text {; (b) }\binom{A^{\prime}}{\beta^{\prime}} X=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \text {. } $$ （1）当（a）有解时，（b）有解吗？证明你的结论． （2）当（a）无解时，（b）有解吗？证明你的结论．

3．（20 分）已知 $A$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，$\displaystyle \beta$ 为 $n$ 维列向量．考虑下列两个线性方程组 $$ \text { (1) } A X=\beta ; \quad \text { (2) }\binom{A^{\prime}}{\beta^{\prime}} X=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \text {. } $$ （1）当（1）有解时，（2）有解吗？证明你的结论． （2）当（1）无解时，（2）有解吗？证明你的结论．

4．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 均为方阵．若 $\displaystyle r(C)=r$ ，证明： $\displaystyle A, B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因式．

4．（20 分）设矩阵 $\displaystyle A, B, C$ 满足 $\displaystyle A C=C B$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 均为方阵．另外，若 $\displaystyle r(C)=r$ ，证明：$\displaystyle A, B$ 的特征多项式有 $r$ 次公因式．

7．（20 分）设 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}, \mathscr{A}_{2}, \cdots, \mathscr{A}_{m}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的 $m$ 个线性变换，且满足： （1） $\displaystyle \mathscr{A}_{i}^{2}=\mathscr{A}_{i}, i=1,2, \cdots, m$ ． （2） $\displaystyle \mathscr{A}_{i} \mathscr{A}_{j}=\mathscr{O}, \forall i \neq j$ ． （3） $\displaystyle \mathscr{A}_{1}^{-1}(0) \cap \mathscr{A}_{2}^{-1}(0) \cap \cdots \cap \mathscr{A}_{m}^{-1}(0)=\{0\}$ ． 证明：$\displaystyle V=\mathscr{A}_{1}(V) \oplus \mathscr{A}_{2}(V) \oplus \cdots \oplus \mathscr{A}_{m}(V)$ ．

7．（20分）设 $\displaystyle \mathscr{A}_{1}, \mathscr{A}_{2}, \cdots, \mathscr{A}_{m}$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的 $m$ 个线性变换，且满足： （1） $\displaystyle \mathscr{A}_{i}^{2}=\mathscr{A}_{i}, i=1,2, \cdots, m$ ． （2） $\displaystyle \mathscr{A}_{i} \mathscr{A}_{j}=\mathscr{O}, \forall i \neq j$ ． （3） $\displaystyle \mathscr{A}_{1}^{-1}(0) \cap \mathscr{A}_{2}^{-1}(0) \cap \cdots \cap \mathscr{A}_{m}^{-1}(0)=\{0\}$ ． 证明：$\displaystyle V=\mathscr{A}_{1}(V) \oplus \mathscr{A}_{2}(V) \oplus \cdots \oplus \mathscr{A}_{m}(V)$ ．

8．（15 分）定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的内积 $\displaystyle ($,$\displaystyle ) 满足$ $$ (A C, B)=(A, C B), \forall A, B, C \in \mathbb{R}^{n \times n} $$ 证明：存在常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle (A, B)=c \operatorname{tr}(A B)$ ．

8．（15 分）定义在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n \times n}$ 上的内积（，）满足 $\displaystyle \forall A, B, C \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，成立 $\displaystyle (A C, B)=(A, C B)$ ．证明：存在常数 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle (A, B)=c \operatorname{tr}(A B)$ ．

1、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是非零整系数多项式，证明： （1）对任意整数 $a$ ，存在整系数多项式 $\displaystyle q(x)$ 和整数 $r$ ，使得 $$ f(x)=(x-a) q(x)+r $$ （2）如果有两两不同的整数 $\displaystyle a, b, c$ ，使得 $\displaystyle |f(a)|=|f(b)|=|f(c)|=1$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 没有整数根．

2、（20 分）设有 $n$ 阶实方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ ，且 $$ \begin{aligned} & a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0,(i=1,2, \cdots, n), \\ & a_{1 j}+a_{2 j}+\cdots+a_{n j}=0,(j=1,2, \cdots, n), \end{aligned} $$ 证明： $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶实方阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的所有元素的代数余子式都相等

4、（20分）设 $N$ 是 $n$ 阶幂零矩阵，即存在自然数 $k$ ，使得 $\displaystyle N^{k}=O$ 。 （1）证明：$\displaystyle N+E$ 可逆，其中 $E$ 是 $n$ 阶单位矩阵。 （2）若 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，且 $\displaystyle A N=N A$ ，证明：$\displaystyle A+N$ 可逆．

5、（20 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是实数域 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的 $n$ 阶方阵， $\displaystyle \mathbf{\alpha} \in \mathbb{R}^{n}$ 是 $n$ 维列向量．若 $\displaystyle \mathbf{A}$ 正定，证明：$\displaystyle A-\alpha \alpha^{T}$ 正定时当且仅当 $\displaystyle \alpha^{T} A^{-1} \alpha<1$ 。

7、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）设 $\displaystyle J=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1 & & & \\ & \lambda & 1 & & \\ & & \lambda & \ddots & \\ & & & \ddots & 1 \\ & & & & \lambda\end{array}\right)$ ，若 $J$ 是数域 $P$ 上的 $n$ 阶若尔当矩阵， 且 $\displaystyle V=\left\{A \in P^{n \times n} \mid A J=J A\right\}$ ，证明： （1）$V$ 是线性空间． （2） $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ．

8、（20分）设 $V$ 是 $n$ 维线性空间，$\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的两个子空间，且 $$ \operatorname{dim} V_{1}+\operatorname{dim} V_{2}=n . $$ 证明：存在 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \because$ ，使得 $\displaystyle \because V=V_{1}, r^{-1}(0)=V_{2}$ 。

3．（20分）设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(E_{m}-A A^{\mathrm{T}}\right)-\operatorname{rank}\left(E_{n}-A^{\mathrm{T}} A\right)=m-n$ ．

5．（20 分）设 $\displaystyle L_{i}=c_{i 1} x_{1}+c_{i 2} x_{2}+\cdots+c_{i n} x_{n}, i=1,2, \cdots, p+q, c_{i j} \in \mathbb{R}$ ，证明：实二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=L_{1}^{2}+\cdots+L_{p}^{2}-L_{p+1}^{2}-\cdots-L_{p+q}^{2} $$ 的正惯性指数 $\displaystyle \leq p$ ，负惯性指数 $\displaystyle \leq q$ ．

6．（20分）设 $\displaystyle W_{1}, W_{2}$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的线性子空间，且 $\displaystyle \operatorname{dim} W_{1}<\operatorname{dim} W_{2}$ ，证明：$\displaystyle W_{2}$ 中必有一个非零向量正交于 $\displaystyle W_{1}$ 中的所有向量．

8．（20分）设 $V$ 为 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，且 $V$ 上线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示为 $$ A=\left(\begin{array}{cccccc} \lambda & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & \lambda \end{array}\right) $$ 证明： （1）$V$ 是仅有的包含 $\displaystyle \alpha_{1}$ 的 $\displaystyle \sigma$ 不变子空间． （2）$\displaystyle \sigma$ 的任意不变子空间必包含 $\displaystyle \alpha_{n}$ ．（应该指明非零不变子空间） （3）每个子空间 $\displaystyle V_{i}=L\left(\alpha_{n-i+1}, \cdots, \alpha_{n}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 为 $\displaystyle \sigma$ 的不变子空间，且 $\displaystyle \alpha \in V_{i}$ 当且仅当 $\displaystyle (\sigma-\lambda \varepsilon)^{i} \alpha=0$ ，其中 $\displaystyle \varepsilon$ 为恒等变换．

七、（15 分） 设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维欧式空间 $V$ 上的正交变换，记 $$ V_{1}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, \quad V_{2}=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\} $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

三、（10 分） 已知 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，$\displaystyle A^{T}$ 为 $A$ 的转置，$\displaystyle \beta$ 为 $n$ 维实列向量． （1）（5 分）证明：齐次线性方程组 $\displaystyle A^{T} A X=0$ 与 $\displaystyle A X=0$ 同解； （2）（5 分）证明：方程组 $\displaystyle A^{T} A X=A^{T} \beta$ 必然有解．

二、（10分） 设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{s}(x), g_{1}(x), g_{2}(x), \cdots, g_{t}(x)$ 均为多项式，证明：$\displaystyle f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{s}(x)$ 与 $\displaystyle g_{1}(x) g_{2}(x) \cdots g_{t}(x)$ 互素的充要条件是对任意 $\displaystyle 1 \leq i \leq s, 1 \leq j \leq t$ 都有 $\displaystyle f_{i}(x)$ 与 $\displaystyle g_{j}(x)$ 互素．

五、（15 分） 设 $A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实反称矩阵，证明：$\displaystyle A-B^{2}$ 可逆．

八、（20分） 已知 $A$ 是 $\displaystyle n(n \geq 3)$ 阶矩阵，$\displaystyle A^{*}$ 为 $A$ 的伴随矩阵，且 $\displaystyle A^{*}=A^{2}-2 A-E,|A|=-2$ ． （1）（5 分）证明：$A$ 可相似对角化； （2）（12 分）求 $\displaystyle n=3,4,5,6$ 时，$A$ 的相似对角形； （3）（3分）求 $A$ 的迹（用 $n$ 表示）。

六、（15 分） 设 $\displaystyle A, B, C, D$ 是数域 $P$ 上两两可交换的 $n$ 阶方阵，且 $\displaystyle A C+B D=E$ ，记 $$ V=\left\{X \in P^{n} \mid A B X=0\right\}, \quad V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}, \quad V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\} . $$ 证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

四、（15 分） 设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B$ ，且 $\displaystyle E-A-B$ 可逆，证明：$\displaystyle A, B$ 的秩相同．

2．设 $S_{1}, S_{2}$ 分别为齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{l}x-z-2 w=0 ; \\ y+2 z+w=0 .\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}3 x+6 y+z=0 ; \\ 6 x+13 y-w=0 .\end{array}\right.$ 的解空间． （1）求两个齐次线性方程组的通解． （2）求 $S_{1}+S_{2}$ 与 $S_{1} \cap S_{2}$ 的基与维数．

8．设 $A$ 是复数域上的 $n \times n$ 矩阵。证明： （1）$A$ 与 $A^{T}$ 有相同的特征值． （2）$A$ 与 $A^{T}$ 的特征子空间的维数相同． （3）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P A=A^{T} P$ ．

9．设 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵，线性方程组 $A X=\beta$ 有解．证明： （1）$A X=\beta$ 线性无关解向量的个数至多为 $n-r(A)+1$ ． （2）设 $A$ 的特征多项式中非零根的个数为 $k$ ，则 $k \leq r(A)$ ．（特征值重根按重数计算）

10．设 $A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵，$B$ 为可逆矩阵．满足 $r(E-A B)+r(E+B A)=n$ ．设 $S_{1}, S_{2}$分别为 $(E-A B) X=0$ 与 $(E+A B) X=0$ 的解空间．证明： （1）$r(E+B A)=r(E+A B)$ ． （2）$S_{1} \oplus S_{2}=P^{n}$ ． （3）$A$ 是可逆矩阵．

2．（15 分）设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+\lambda x_{2}+\mu x_{3}+1=0 \\ 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0 \\ 3 x_{3}+(2+\lambda) x_{2}+(4+\mu) x_{3}+4 x_{4}=1\end{array}\right.$ ，其中 $(1,-1,1,-1)^{\prime}$ 为方程组的解。 （1）求该方程组的通解． （2）求符合 $x_{2}=x_{3}$ 的所有解。 3 ．（15 分）（1）求 $x^{4}+x^{2}+1=0$ 的所有复根． （2）设 $\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ 是次数不超过3的首一互异多项式，且 $\left(x^{4}+x^{2}+1\right) \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x^{4} f_{2}\left(x^{3}\right)$ ，求 $\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$ 。

5．（15 分）设 $U=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ 为欧式空间，其中 $\alpha_{1}=(1,1,2,1)^{\prime}, \alpha_{2}=(1,0,0,-2)^{\prime}$ ，定义 $U$上的内积为 $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)=\alpha_{1}{ }^{\prime} \alpha_{2}$ ．求 $\operatorname{dim} U^{\perp}$ 和 $U^{\perp}$ 的一个标准正交基．

8．（15 分）设 $A=\left[\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right],|A|=1$ 。证明： （1）当 $|a+d|>2$ 时，则 $A$ 与 $\left[\begin{array}{cc}\lambda & 0 \\ 0 & \frac{1}{\lambda}\end{array}\right]$ 相似 $(\lambda \neq \pm 1,0$ 且 $\lambda \in \mathbb{R})$ ． （2）当 $|a+d|=2$ 时，则 $A= \pm\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 或相似于 $\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & -1\end{array}\right]$ ． （3）当 $|a+d|<2$ 时，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta\end{array}\right)$ ，并求 $P$ ．

9．（15分）设 $\alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一个基，线性变换 $\mathscr{A}$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2} \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $$ \left[\begin{array}{cccc} a & 1 & & \\ & a & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & a \end{array}\right] $$ （1）设 $\alpha_{n}$ 为 $\mathscr{A}$ —子空间 $W$ 的一个向量，证明：$W=V$ ． （2）证明：$\alpha_{1}$ 属于所有非零的 $\mathscr{A}-$ 子空间． （3）证明：$V$ 不能表示为两个非平凡的不变子空间的直和．

10．（15分）设 $A, B$ 都为 $n$ 阶方阵。 （1）证明：$A B, B A$ 有相同的特征值． （2）证明：不存在矩阵 $A, B$ ，使得 $A^{2}=A B+B^{2}$ ．

1．设 $f(x)=x^{n}+2025 x+3$ ，其中 $n$ 是大于 1 的整数．证明：$f(x)$ 的全部复根互不相同．

1．求 $a$ 的值，使得线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x_{1}-5 x_{2}+2 x_{3}-3 x_{4}=11 \\ -3 x_{1}+x_{2}-4 x_{3}+2 x_{4}=-5 \\ -x_{1}-9 x_{2}-4 x_{4}=17 \\ 5 x_{1}+3 x_{2}+6 x_{3}-x_{4}=a \end{array}\right. $$ 有解，并在有解的情况下求出其在数域 $\mathbb{F}$ 上的通解．

2．设 $n, m$ 是正整数且 $n>m$ ，设 $b_{0}, b_{1}, \cdots, b_{m}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 中的数，且 $b_{m} \neq 0$ ．证明：对任意的 $a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{n} \in \mathbb{F}$ ，关于 $x_{0}, x_{1}, \cdots, x_{n-m}, y_{0}, y_{1}, \cdots, y_{m-1}$ 的方程组 $$ \begin{cases}y_{i}+\sum_{j+k=i} b_{j} x_{k}=a_{i}, & i=0,1, \cdots, m-1 \\ \sum_{j+k=i} b_{j} x_{k}=a_{i}, & i=m, m+1, \cdots, n\end{cases} $$ 有唯一解。

3．设 $A$ 是 6 阶实对称矩阵，$f(x)=\left|x E_{6}-A\right|$ ，其中 $E_{6}$ 是 6 阶单位阵。设 $(x-a)^{4} \mid f(x)$ ，且 $(x-a)^{5} \nmid f(x)$ ，求齐次线性方程组 $\left(A-a E_{6}\right) X=0$ 的基础解系所包含解向量的个数．

1．设 $$ R=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{2} \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1} \end{array}\right) . $$ 其中 $a_{i}$ 是数域 $\mathbb{F}$ 中的数，且 $a_{n} \neq 0, n>1$ ．设 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $R$ 的伴随矩阵的全部特征值（重根按重数计），求 $R$ 的特征多项式和 $\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\cdots+\lambda_{n}^{2}$ ．

2．设 $A, B, C$ 是 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶矩阵，$A$ 可逆，$A B=B A, C(A+B)=-B A^{-1}$ ．证明：$r(C)=r(B)$ ，且 -1 不是 $C A$ 的特征值．

2．设 $\mathscr{T}$ 是欧氏空间 $V$ 上的正交变换，其特征多项式为 $f(x)=x^{4}-x^{3}+x-1$ ，求 $\mathscr{T}$ 的极小多项式．

3．设 $V$ 是欧氏空间，$V_{1}, V_{2}$ 是 $V$ 的子空间，且 $\operatorname{dim} V_{1}>\operatorname{dim} V_{2}$ ．证明：存在 $V$ 的满足如下条件的子空间 $V_{3}: V_{3} \subset V_{1}, V_{3} \perp V_{2}, \operatorname{dim} V_{3} \geq \operatorname{dim} V_{1}-\operatorname{dim} V_{2}$ ．

3．设 $\mathscr{A}$ 是线性空间 $V$ 上的线性变换，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 为 $V$ 的一组基，且 $$ \begin{gathered} \mathscr{A}\left(\varepsilon_{1}\right)=8 \varepsilon_{1}-10 \varepsilon_{3}+2 \varepsilon_{4}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{2}\right)=-3 \varepsilon_{1}+3 \varepsilon_{2}+6 \varepsilon_{3} \\ \mathscr{A}\left(\varepsilon_{3}\right)=3 \varepsilon_{1}-3 \varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \mathscr{A}\left(\varepsilon_{4}\right)=-2 \varepsilon_{1}+2 \varepsilon_{2}+4 \varepsilon_{3}+2 \varepsilon_{4} \end{gathered} $$ 求 $\mathscr{A}$ 的全部特征子空间。

2．设 $\mathbb{F}$ 上的 $n$ 阶方阵 $A$ 不相似于 $(1,1)$ —元为 0 的方阵，$n>1$ ，证明：存在 $0 \neq a \in \mathbb{F}$ ，使得 $A=a E_{n}$ ，其中 $E_{n}$ 是 $n$ 阶单位阵。

七．（15 分）设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 线性无关，且 $$ \xi_{i}=a_{1 i} \beta_{1}+a_{2 i} \beta_{2}+\cdots+a_{m i} \beta_{m}(i=1,2, \cdots, s) . $$ 证明：向量组 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{s}$ 的秩 $\displaystyle =$ 矩阵 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)_{m \times v}$ 的秩。 人．（ 15 分）证明：若 $\displaystyle \lambda_{0}$ 是正交矩阵 $A$ 的特征值，则 $\displaystyle \lambda_{0}^{-1}$ 也是 $A$ 的特征值。

九．（ 15 分）设 $n$ 阶方阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A-B$ 。证明： （1）$\displaystyle \lambda=1$ 不是 $B$ 的特征值： （2）若 $B$ 相似于对角矩阵，则有可逆矩降 $T$ ，使得 $\displaystyle T^{-1} A T$ 与 $\displaystyle T^{-1} B T$ 均为对角矩阵．

六．（15 分）设 $\displaystyle \Phi$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个线性变换，证明：$\displaystyle \Phi$ 的秩 $\displaystyle +\Phi$ 的零度 $\displaystyle =n$ 。

四．（ 15 分）设矩阵 $$ A=\left(\begin{array}{ccc} a & -2 & 0 \\ b & 1 & -2 \\ c & -2 & 0 \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{array}\right) . $$ （1）若 $A$ 有特征值 $\displaystyle 4,1,-2$ ，求 $\displaystyle a, b, c$ ； （2）设 $\displaystyle \alpha=(1, k, 1)^{T}$ 是 $\displaystyle B^{-1}$ 的一个特征向量，求 $k$ ． 五。（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A$ 正定，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值都是实数。

七、设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$T$ 是 $V$ 的一个正交变换，构造子空间： $$ \begin{aligned} & V_{1}=\left\{\alpha_{0} \mid T \alpha_{0}=\alpha_{0}, \forall \alpha_{0} \in V\right\} \\ & V_{2}=\{\beta \mid \beta=\alpha-T \alpha, \forall \alpha \in V\} . \end{aligned} $$ 证明：$\displaystyle V_{1}=V_{2}{ }^{\perp}$ ，其中 $\displaystyle V_{2}{ }^{\perp}$ 表示 $\displaystyle V_{2}$ 的正交补。

九、设 $B$ 是 $\displaystyle m \times n$ 的实矩阵，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ ，证明：线性方程组 $\displaystyle B X=0$ 只有零解充要条件是 $\displaystyle B^{T} B$ 正定．

七．$\displaystyle V_{1}=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right), V_{2}=L\left(\beta_{1}, \beta_{2}\right)$ 。（具体数据忘了） （1）求 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 的维数和一组基． （2）求 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的维数和一组基。 （3）证明：．．．．

九．已知矩阵 $B$ 为正定矩阵，$\displaystyle A-B$ 为半正定矩阵，证明： （1）$\displaystyle |A-\lambda B|=0$ 的根均大于等于 1 ． （2）$\displaystyle |A| \geq|B|$ ．

八．设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维欧氏线性空间 $V$ 上的线性变换，且满足 $\displaystyle (\sigma(\alpha), \beta)=(\alpha, \tau(\beta))$ 对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ．证明： （1） $\displaystyle \operatorname{Ker} \sigma=(\operatorname{Im} \tau)^{\perp}$ ． （2）$\displaystyle V=\operatorname{Ker} \sigma \oplus \operatorname{Im} \tau$ ．

六．设 $\displaystyle f(x)=\left(x-k_{1}\right)\left(x-k_{2}\right) \cdots\left(x-k_{n}\right)+1$ ，其中 $\displaystyle k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{n}(n>2)$ 是互异的整数．证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上可约的充要条件是 $\displaystyle f(x)$ 是某个整系数多项式的完全平方．

1．（20分）设 $A$ 为 $n$ 阶实方阵，且满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ，定义子空间 $$ W_{1}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=0\right\}, W_{2}=\left\{X \in \mathbb{R}^{n} \mid A X=X\right\} . $$ 证明： $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

2．（20分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，$\displaystyle (\cdot, \cdot)$ 表示内积。设向量组 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$由基向量组线性表示为 $$ \left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right) C . $$ 其中 $\displaystyle C \in \mathbb{R}^{n \times m}$ ，定义 $\displaystyle \Delta=\left(b_{i j}\right)_{m \times m}$ ，其中 $\displaystyle b_{i j}=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)$ ．证明： $$ \operatorname{rank}\left\{\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right\}=\operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(\Delta) . $$

3．（25 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p}+p x+1$ ，其中 $p$ 为奇素数． （1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域 $\displaystyle \mathbb{Q}$ 上是不可约多项式． （2）证明：存在矩阵 $\displaystyle A \in \mathbb{Q}^{n \times n}$ ，使得 $\displaystyle f(A)=O$ 的充要条件是 $\displaystyle p \mid n$ ．

4．（ 20 分）解答如下问题： （1）证明：实反对称矩阵的特征值只能是 0 或纯虚数． （2）设 $\displaystyle S=\left(\begin{array}{cc}O & E_{k} \\ -E_{k} & O\end{array}\right)$ ，子空间 $\displaystyle W=\left\{A \in \mathbb{R}^{2 k \times 2 k} \mid A S+S A^{\mathrm{T}}=O\right\}$ ，求 $W$ 的维数及一组基．

5．（20分）设线性变换 $\displaystyle \sigma$ 在基 $\displaystyle e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}$ 下的矩阵为 $$ J_{n}(\mu)=\left(\begin{array}{cccc} \mu & & & \\ 1 & \mu & & \\ & \ddots & \ddots & \\ & & 1 & \mu \end{array}\right) $$ （1）证明：对于任意非零的 $\displaystyle \sigma$－不变子空间 $W$ ，必有 $\displaystyle e_{n} \in W$ ． （2）求所有的 $\displaystyle \sigma$－子空间．

6．（20 分）解答如下问题： （1）设 $\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 满足 $\displaystyle A^{2}=E_{n}$ ，证明：一定存在可逆矩阵 $C$ ，使得 $$ C^{-1} A C=\left(\begin{array}{cc} E_{s} & O \\ O & -E_{n-s} \end{array}\right) $$ （2）$n$ 为奇数，如果存在矩阵 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{k} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ ，使得对于任意实数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ ，均有 $$ \left(x_{1} A_{1}+x_{2} A_{2}+\cdots+x_{k} A_{k}\right)^{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{k}^{2}\right) E_{n} $$ 成立，证明：$\displaystyle k=1$ ．

7．（ 25 分）解答如下问题： （1）设 $M$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle \lambda_{M}$ 是 $M$ 的最大特征值，证明：对于任意非零向量 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $$ \alpha^{\mathrm{T}} M \alpha \leq \lambda_{M} \alpha^{\mathrm{T}} \alpha $$ （2）若 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{\mathrm{T}} & D\end{array}\right)$ 半正定，其中 $\displaystyle A, D$ 为方阵，记 $\displaystyle \lambda_{M}, \lambda_{A}, \lambda_{D}$ 分别为矩阵 $\displaystyle M, A, D$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{M} \leq \lambda_{A}+\lambda_{D}$ ．

三．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为不同的 $n$ 维实列向量，若 $\displaystyle \|\alpha\|=\|\beta\|$ ，证明：存在 $n$ 阶方阵 $\displaystyle H=I_{n}-2 u u^{\prime}$ ，使得 $\displaystyle H \alpha=\beta$ ，其中 $u$ 为某个单位向量．

九．设 $A$ 为 $n$ 阶正定对称矩阵，$n$ 维实列向量组 $\displaystyle \alpha, \beta$ 满足 $\displaystyle \alpha^{\prime} \beta>0$ ，求证： $$ H=A-\frac{A \beta \beta^{\prime} A}{\beta^{\prime} A \beta}+\frac{\alpha \alpha^{\prime}}{\alpha^{\prime} \beta} $$ 是正定矩阵．

二．设 $\displaystyle n(n>2)$ 阶行列式 $D$ 所有元素为 1 或 -1 ，求证：$D$ 的绝对值 $\displaystyle |D| \leq(n-1)!(n-1)$ ．

八．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}$ 为 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的两组向量．证明：若 $$ \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)=\left(\beta_{i}, \beta_{j}\right), i, j=1,2, \cdots, m $$ 则由向量组生成的子空间 $\displaystyle L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{m}\right)$ 与 $\displaystyle L\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{m}\right)$ 同构．

六．设 $M$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $F$ 上的多项式，$\displaystyle A=f(M), B=g(M), W, W_{1}, W_{2}$ 分别为方程组 $\displaystyle A B X=0, A X=0, B X=0$ 的解空间．若 $\displaystyle f(x), g(x)$ 互素，求证：$\displaystyle W=W_{1} \oplus W_{2}$ ．

3、设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ ，对矩阵 $A$ 的最小多项式 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

1、计算 $D=\left|\begin{array}{cccccc}1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & 0 & 0 & 0 & x_{3} \\ a_{1} & b_{1} & 1 & 1 & 1 & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & c_{3} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & 0 & 0 & 0 & x_{3}^{2}\end{array}\right|$ ．

三、证明题（每小题 20 分，共 40 分）

七、（10 分）设 $V$ 是 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间， $\displaystyle \mathcal{A}$ 是 $V$ 上的一个线性变换．证明：存在 $\displaystyle \alpha \in V$ ，使得 $\displaystyle \left\{\alpha, \mathcal{A}(\alpha), \cdots, \mathcal{A}^{n-1}(\alpha)\right\}$ 成为 $V$ 的一组基当且仅当对于 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的任一特征值 $\displaystyle \lambda$ 的几何重数为 1 ．

二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上无零点的实值连续函数，且满足 $\displaystyle f(2024)+f(2025)=2026$ ． 证明：对任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in \mathbb{R}$ ，矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}1+f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) & \ldots & f\left(x_{n}\right) \\ f\left(x_{1}\right) & 1+f\left(x_{2}\right) & \ldots & f\left(x_{n}\right) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) & \ldots & 1+f\left(x_{n}\right)\end{array}\right)$是可逆矩阵．

五、（10 分）设 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上所有 $n$ 阶方阵组成的线性空间，$\displaystyle T: M_{n}(\mathbb{C}) \rightarrow \mathbb{C}$是线性映射，满足：$\displaystyle T(A B)=T(B A),\left(\forall A, B \in M_{n}(\mathbb{C})\right)$ ．证明：对任意 $\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C})$ ，总存在 $\displaystyle \lambda \in \mathbb{C}$ ，使得 $\displaystyle T(A)=\lambda \operatorname{tr}(A)$ ．

四、（15 分）证明：设 $A$ 是 $n$ 级正定矩阵，则对 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中任一非零列向量 $\displaystyle \alpha$ ，有 $\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{T} & 0\end{array}\right|<0$ ．

2．设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+2 t x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}$ ，当 $t$ 满足 $\_\_\_\_$时，$f$ 是正定的，当 $t$ 满足 $\_\_\_\_$时，$f$ 的负惯性指数是 1 ．

1．设 $f(x), g(x) \in \mathbb{R}[x]$ 是实数域中互素的多项式，证明：$[f(x)]^{2}+[g(x)]^{2}$ 的重根为 $\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[g^{\prime}(x)\right]^{2}$的根．

3．已知矩阵 $C$ 的极小多项式为 $(\lambda-a)^{2}(\lambda-b)^{3}(\lambda-c)^{4}$ ，而 $a, b, c$ 是互异的实数．假设 $$ A=C^{4}+C^{3}+C^{2}+C+E, B=C^{4}+2 C^{2}+3 E $$ 证明：$|A+B| \geq|A|+|B|$ ．

6．假如 $A, B, C$ 是实数域上 $n$ 维线性空间上的线性变换，满足 $(A-B) C=C(A-B)$ ，且 $C$ 是幂零的，如果 $B C-C B=10(A-B)$ ，证明：$A$ 和 $B$ 有相同的迹．

8．设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，满足 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ．证明： （1）$\displaystyle V=\operatorname{Im} \sigma \oplus \operatorname{Ker} \sigma$ ． （2） $\displaystyle \operatorname{Im} \sigma, \operatorname{Ker} \sigma$ 均为 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间当且仅当 $\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$ ．

9．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵，证明：$\displaystyle |A+B|>|A|+|B|$ ．

2．判断题．正确的请简要证明，错误的请举出反例． （1）已知 $\displaystyle V=W_{1} \oplus W_{2}$ ，则对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，有 $\displaystyle \alpha \in W_{1}$ 或 $\displaystyle \alpha \in W_{2}$ ． （2）多项式 $\displaystyle p(x)$ 在数域 $K$ 上不可约，则 $\displaystyle p\left(x^{2}\right)$ 在数域 $K$ 上也不可约． （3）$n$ 为偶数，则存在 $\displaystyle A, B \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ ，满足对任意的 $\displaystyle 0 \neq \alpha \in \mathbb{R}^{n}$ ，都有 $\displaystyle A \alpha, B \alpha$ 线性无关．

4．记 $\displaystyle N(A)=\{\lambda \in \mathbb{C} \mid \lambda A$ 和 $A$ 相似 $\displaystyle \}$ ． （1）$\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle N(A)$ ． （2）$A$ 不是幂零矩阵，证明：$\displaystyle N(A)$ 为有限集．

5．已知 $V$ 为有限维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 为 $V$ 上的线性变换． （1）证明： $\displaystyle \operatorname{dim} V=\operatorname{dim} \operatorname{Ker} \mathscr{A}+\operatorname{dim} \operatorname{Im} \mathscr{A}$ ． （2）证明： $\displaystyle \mathscr{A}$ 可逆的充要条件是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为单射． （3）举例说明 $V$ 为无限维线性空间时，（2）不成立．

6．设 $A$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 阶矩阵，证明 $\displaystyle r(A)=r$ 的充要条件是：存在两个线性无关的向量组 $$ \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{r} \in K^{n}, \beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{r} \in K^{n} . $$ 使得 $$ A=\alpha_{1} \beta_{1}^{T}+\alpha_{2} \beta_{2}^{T}+\cdots+\alpha_{r} \beta_{r}^{T} $$

7．设 $A$ 为复数域上的 $n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle A^{2}$ 在复数域上可相似对角化，证明：$A$ 在复数域上可相似对角化．

8．设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 为 3 阶实正定对称矩阵，且 $\displaystyle a_{i j} \in\{-1,0,1\}$ ，求矩阵 $A$ ，并证明你的结论．

1．设非零多项式 $\displaystyle f(x), g(x) \in K[x], k$ 为正整数，满足 $$ (k+1) \operatorname{deg}(g(x))>\operatorname{deg}(f(x)) \geq k \operatorname{deg}(g(x)) $$ 证明：存在 $\displaystyle p_{0}(x), p_{1}(x), \cdots, p_{k}(x) \in K[x]$ ，满足 $\displaystyle \operatorname{deg}\left(p_{i}(x)\right)<\operatorname{deg}(g(x))$ 或 $\displaystyle p_{i}(x)=0$ ，使得 $$ f(x)=p_{0}(x)+p_{1}(x) g(x)+\cdots+p_{k}(x) g^{k}(x) $$

4．对于 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ ，存在 $\displaystyle Y \in \mathbb{R}^{n}$ 使得 $\displaystyle Y^{T} A Y>0$ ．证明：对任意的 $\displaystyle X \in \mathbb{R}^{n}$ ，有 $$ \left(X^{T} A Y\right)^{2} \geq\left(X^{T} A X\right)\left(Y^{T} A Y\right) $$ 的充要条件是 $\displaystyle X^{T} A X$ 的正惯性指数等于 1 ．

6．设 $A$ 是 $n$ 阶实矩阵，且 $\displaystyle \operatorname{det}(A)=0$ ，证明：$\displaystyle r(A)=n-1$ 当且仅当存在列向量 $\displaystyle X, Y \in \mathbb{R}^{n}$ ，使得 $$ \operatorname{det}\left(A+X Y^{T}\right) \neq 0 $$

7．设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $K$ 上的 $n$ 阶方阵．若存在数域 $K$ 上的 $n$ 阶可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为上三角矩阵，则称 $A$ 在数域 $K$ 上可相似上三角化．证明： （1）数域 $K$ 上的矩阵 $A$ 可相似上三角化的充要条件是 $A$ 的所有复特征值都在数域 $K$ 中． （2）若数域 $K$ 上的矩阵 $\displaystyle A, B$ 均可相似上三角化，且 $\displaystyle A B=B A$ ，则 $\displaystyle A, B$ 可同时相似上三角化，即存在可逆矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{-1} A Q, Q^{-1} B Q$ 同时为上三角矩阵。 （3）若 $\displaystyle A B=B A$ ，其中 $B$ 还是幂零矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(A+B)$ ．

8．实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 满足 $\displaystyle a_{i i}>0, a_{i j}=-a_{j i}(i \neq j)$ ，证明： $\displaystyle \operatorname{det}(A)>0$ ．

9．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为数域 $F$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，令 $$ V_{1}=\left\{\alpha \in V \mid \text { 存在正整数 } r \text {, 使得 } \mathscr{A}^{r}(\alpha)=0\right\}, V_{2}=\bigcap_{i=1}^{\infty} \mathscr{A}^{i}(V) \text {. } $$ 证明： （1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 $\displaystyle \mathscr{A}$ 的不变子空间。 （2） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{1}$ 上是幂零变换． （3） $\displaystyle \mathscr{A}$ 限制在 $\displaystyle V_{2}$ 上是可逆变换． （4）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

10．$A$ 在 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上可相似对角化，$\displaystyle \varphi(X)=A X A$ 为 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 上线性变换。证明：$\displaystyle \varphi$ 在 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 上存在一组基使其表示阵为对角阵。

5．设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上向量，证明：$\displaystyle E_{n}+\alpha \beta^{T}$ 可逆当且仅当 $\displaystyle 1+\alpha^{T} \beta \neq 0$ 并求 $\displaystyle \left(E_{n}+\alpha \beta^{T}\right)$ 的逆．

6．$\displaystyle P \in M_{m \times n}(\mathbb{C}), A \in M_{n \times s}(\mathbb{C}), Q \in M_{s \times t}(\mathbb{C})$ ，证明： $$ \operatorname{rank}(P A Q) \geq \operatorname{rank}(P A)+\operatorname{rank}(A Q)-\operatorname{rank}(A) $$

7．$\displaystyle A, B$ 分别为 $\displaystyle m \times l, n \times l$ 阵，证明：$A$ 的行向量组由 $B$ 的行向量线性表出当且仅当 $\displaystyle B X=0$ 的解均为 $\displaystyle A X=0$的解．

8．$A$ 为实对称阵，$\displaystyle p \in \mathbb{N}_{+}$，证明：$A$ 的正惯性指数大于等于 $p$ 当且仅当在 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上有一个 $p$ 维子空间 $W$ ，使得 $$ \forall x \in W, x \neq 0, x^{T} A x>0 $$

9．设 $\displaystyle \alpha_{1}, \ldots, \alpha_{m}$ 与 $\displaystyle \beta_{1}, \ldots, \beta_{m}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上两向量组，定义 $\displaystyle (x, y)=x_{1} y_{1}+\cdots+x_{n} y_{n}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上内积，且 $\displaystyle \left(\alpha_{i}, \alpha_{j}\right)= \left(\beta_{i}, \beta_{j}\right)(\forall i, j=1, \ldots, m)$ 。证明：存在正交变换 $\displaystyle \mathscr{A}, \mathscr{A}\left(\alpha_{i}\right)=\beta_{i}(i=1,2, \ldots, m)$ ．

3．设三阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$ ，三维列向量 $\alpha=(t, 1,1)^{\mathrm{T}}$ ，已知 $A \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $n$ 维向量 $\alpha=(t, 0, \cdots, 0, t)^{\mathrm{T}}, t \neq 0, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，矩阵 $A=E-\alpha \alpha^{\mathrm{T}}, B=E+\frac{1}{t} \alpha \alpha^{\mathrm{T}}$ ，其中 $A$ 的逆矩阵为 $B$ ，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

5．设 $A$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 阶方阵，特征多项式为 $|\lambda E-A|=(\lambda-a)^{n-1}(\lambda-b), a, b$ 是两不等的复数．若 $A$ 的任意三个特征向量都是线性相关的，则 $A$ 的若尔当标准形为 $\_\_\_\_$ ．

6．设 $A$ 的伴随矩阵为 $$ A^{*}=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8 \end{array}\right) $$ 且 $A B A^{-1}=B A^{-1}+3 E$ ，其中 $E$ 为 4 阶单位阵，求矩阵 $B$ ．

7．已知方程组 $$ (\mathrm{I}):\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=1, \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}=2, \\ 4 x_{1}+5 x_{2}-5 x_{3}=-1 . \end{array}\right. $$ 与方程组 $$ \text { (II) : }\left\{\begin{array}{l} a x_{1}+b x_{2}-x_{3}=0 \\ 2 x_{1}-x_{2}+a x_{3}=3 \end{array}\right. $$ 同解，求 $a, b$ 的值以及方程组的通解．

七、（本题满分 14 分）已知 $\displaystyle A, B$ 都为 $n$ 级正定矩阵，证明：（1）$A$ 中绝对值最大的元素在主对角线上； （2）$\displaystyle |A+B|>|A|+|B|$ ．

九、（本题满分 15 分）设复数 $\displaystyle c \neq 0$ 为某个非零有理系数多项式的根，记 $\displaystyle M=\{f(x) \mid f(x)$ 为有理系数多项式，$\displaystyle f(c)=0\}$ ． （1）证明：$M$ 中存在唯一的首项系数为 1 的有理数域上的不可约多项式 $\displaystyle p(x)$ ，使得对任意的 $\displaystyle f(x) \in M$ 都有 $\displaystyle p(x) \mid f(x)$ 成立； （2）证明：存在有理数域上的多项式 $\displaystyle g(x)$ ，使得 $\displaystyle g(c)=\frac{1}{c}$ ； （3）令 $\displaystyle c=\sqrt{3}+i$ ，求（1）中的 $\displaystyle p(x)$ ．

五、（本题满分 20 分）设 $V$ 是由数域 $F$ 上 $x$ 的次数小于 $n$ 的全体多项式，再添上零多项式构成的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 A ，使 $\displaystyle \mathrm{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ，其中 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的导数。（1）求 A 的核 $\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(0)$ 与值域 $\displaystyle \mathrm{A} V$ ；（2）证明：线性空间 $V$ 是 $\displaystyle \mathrm{A}^{-1}(0)$ 与 $\displaystyle \mathrm{A} V$ 的直和．

八、（本题满分 10 分）设 $\displaystyle A, B$ 为复数域上的 $n$ 级矩阵，且 $A$ 和 $B$ 无公共特征根，证明：关于 $X$ 的矩阵方程 $\displaystyle A X=X B$ 只有零解．

十、（本题满分 15 分）设 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级循环矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \\ a_{n-1} & a_{0} & a_{1} & \cdots & a_{n-3} & a_{n-2} \\ a_{n-2} & a_{n-1} & a_{0} & \cdots & a_{n-4} & a_{n-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{0} & a_{1} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n-1} & a_{0}\end{array}\right)$ ． （1）试把 $A$ 表示为一个 $n$ 级可逆矩阵 $T$ 的多项式； （2）证明：所有的 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级循环矩阵在复数域上可以同时对角化． 科目名称 $\displaystyle \_\_\_\_$高等代数 （共 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2页，第 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2

四、（本题满分 15 分）设 $n$ 级行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|a_{i j}\right| \neq 0, A_{i j}$ 为 $\displaystyle D_{n}$ 中元素 $\displaystyle a_{i j}$ 的代数余子式，证明：当 $\displaystyle r<n$ 时，线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0, \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0, \\ \cdots \cdots \cdots \\ a_{r 1} x_{1}+a_{r 2} x_{2}+\cdots+a_{r n} x_{n}=0 .\end{array}\right.$ 有一个基础解系为：（ $\displaystyle \left.A_{j 1}, A_{j 2}, \cdots, A_{j n}\right)$ ， $\displaystyle j=r+1, r+2, \cdots, n$.

三、（10 分）设 $n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足：对任意的 $\displaystyle 1 \leq i, j \leq n$ 且 $\displaystyle i \neq j$ ，不等式 $\displaystyle \left|a_{i i} a_{i j}\right|>\left(\sum_{k \neq i}\left|a_{i k}\right|\right)\left(\sum_{t \neq j}\left|a_{j k}\right|\right)$ 成立。证明：$\displaystyle |A| \neq 0$ 。

九、（15分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 5 & 2\end{array}\right)$ ，求 $\displaystyle A^{520}+3 A^{70}-7 E$ ．（其中 $E$ 为单位矩阵） ＋、（10分）证明：任一 $n$ 级方阵和它的转置矩阵相似。 $\displaystyle \_\_\_\_$

二、（15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x), f_{2}(x)$ 是数域 $P$ 上的两个多项式，满足 $\displaystyle \left(x^{2}+x+1\right) \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x f_{2}\left(x^{3}\right)$ 。证明： $\displaystyle (x-1) \mid\left(f_{1}(x), f_{2}(x)\right)$.

五、（15 分）设 $A$ 是一个 $n$ 级矩阵，证明： （1）$A$ 是反对称矩阵当且仅当对任一个 $n$ 维向量 $X$ ，有 $\displaystyle X^{\prime} A X=0$ ；（ $\displaystyle X^{\prime}$ 表示 $X$ 的转置） （2）如果 $A$ 是对称矩阵，且对任一个 $n$ 维向量 $\displaystyle X_{\text {有 } X^{\prime} A X=0 \text { ，那么 } A=0 \text { ．}}$

六、（15分）设 $\displaystyle V_{1}$ 与 $\displaystyle V_{2}$ 分别是齐次方程组 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=0$ 与 $\displaystyle x_{1}=x_{2}^{\prime}=\cdots=x_{n}$ 的解空间，证明： $$ P^{n}=V_{1} \oplus V_{2} $$

四、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 级实对称半正定矩阵，$B$ 为 $n$ 级正定矩阵。证明：$\displaystyle |A+B| \geq|B|$ ．

1、（本题满分 15 分）设对任意非负整数 $n$ ，令 $\displaystyle f_{n}(x)=x^{n+2}-(x+1)^{2 n+1}$ 。设多项式 $$ g(x)=f_{1}(x) f_{2}(x) \cdots f_{2012}(x) \text {, 证明: }\left(x^{2}+x+1, g(x)\right)=1 \text {. } $$

4、（本题满分 20 分）设 $n$ 级实方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ，证明：$A$ 的秩等于 $\displaystyle a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{n n}$ ．

6、（本题满分 20 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}3 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ ，令 $\displaystyle V=\{B \mid A B=B A, B$ 为实方阵 $\displaystyle \}$ 。（1）证明 $V$ 足实数域上的线性空间；（2）求 $V$ 的一组基．

7、（本题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，证明： $\displaystyle \sigma(V)$ 的一组基的原像及 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来就是 $V$ 的一组基．

8、（本题满分 10 分）设 $n$ 级实方阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 满足条件：（1）$\displaystyle a_{i i}>0, i=1,2, \cdots, \dot{n}$ ；（2） $\displaystyle a_{i j}<0, \quad 1 \leq i \neq j \leq n ; \quad$（3）$\displaystyle \sum_{j=1}^{n} a_{i j}=0, \quad i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$A$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．

9、（本题满分 10 分）证明：在 $n$ 维欧氏空间中，至多有 $\displaystyle n+1$ 个向量使得其中任意两个向量之间的夹角均大于 $\displaystyle 90^{\circ}$ 。

七、（15 分）设 $A$ 是 $n$ 级实对称矩阵并且饸好有 $r$ 个不同的特征值 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{r}$ 。证明存在矩阵 $\displaystyle A_{1}, A_{2}, \cdots, A_{r}$ 满足条件：（1）$\displaystyle A_{1}+A_{2}+\cdots+A_{r}=E_{r}$ ；（2）$\displaystyle A_{i}^{2}=A_{i}, i=1,2, \cdots, r$ ；（3）$\displaystyle A_{i} A_{j}=0$ ， $\displaystyle i \neq j:(4) \quad A=\lambda_{1} A_{1}+\lambda_{2} A_{2}+\cdots+\lambda_{r} A_{r}$.

二、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 为有理数域上的非零多项式，如果 $\displaystyle f(\sqrt{3})=0$ ，证明：在有理数域上 $\displaystyle x^{3}-2$ 整除 $\displaystyle f(x)$.

五、（15分）设矩阵 $A$ 是实对称矩阵。证明：当实数 $\displaystyle \lambda$ 充分大之后，$\displaystyle \lambda E+A$ 是正定矩阵。

八、（ 20 分）设 $A$ 是 $n$ 级实矩阵满足 $\displaystyle A^{2}=2 A+3 E_{n}$ 。证明：（1）$A$ 相似于一个对角矩阵；（2）$\displaystyle A+2 E_{n}$是可逆矩阵．

四、（15 分）设矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right)$ 满足条件：（1）$\displaystyle a_{i i}>0, i=1,2, \cdots, n$ ；（2）$\displaystyle a_{i j}<0$ ， $\displaystyle i \neq j$ ；（3）$\displaystyle \dot{a}_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0, i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$A$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．

4．（本题满分 15 分）设 $\displaystyle \lambda$ 为 $n$ 级实矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 的一个实特征值．证明：存在正整数 $\displaystyle k(1 \leq k \leq n)$ 使得 $\displaystyle \left|\lambda-a_{k k}\right| \leq \sum_{j \neq k}\left|a_{k j}\right|$ ． 战、本题满分 20 分）设 $n$ 级矩阵 $A$ 利 $B$ 可交换．证明：秩 $\displaystyle (A)+$ 秩 $\displaystyle (B) \geq$ 秩 $\displaystyle (A B)+$ 秩 $\displaystyle (A+B)$ ．

6．（本题满分 20 分）证明：$n$ 维 $\displaystyle (n>2)$ 实线性空间 $V$ 的一个线性变抰 $\displaystyle \sigma$ 必有一维或 2 维不变子空间．

7、（本题满分20分）设 $V$ 为有限维欧氏空间，$s$ 个单位向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}$ 组成 $V$ 中的一个正交向量组，使得对任意的 $\displaystyle \alpha \in V$ ，都有 $\displaystyle \sum_{i=1}^{s}\left(\alpha, \alpha_{i}\right)^{2}=|\alpha|^{2}$ ．证明：$\displaystyle V=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{s}\right)$ ．

8、（本题满分 20 分）设 $A$ 为 $n$ 级可逆实矩阵。证明：存在 $n$ 级正交矩阵 $P$ 利 $Q$ ，使得 $\displaystyle P^{\prime} A Q=\left(\begin{array}{llll}\lambda_{1} & & & \\ & \lambda_{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda_{n}\end{array}\right)$ ，其中 $\displaystyle \lambda_{i}>0$ ，且 $\displaystyle \lambda_{i}^{2}$ 为 $\displaystyle A^{\prime} A$ 的特征值 $\displaystyle (i=1,2, \cdots, n)$ ．

2．（本小题满分 15 分）设行列式 $\displaystyle D=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1 n} \\ a_{21} & \left(\begin{array}{ccc}a_{22} & \ldots & a_{2 n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n 1} & & \vdots \\ a_{n 2} & \cdots & a_{n n}\end{array}\right) n \geq 3 \text { ，令 } A_{i j} \text { 表示元素 } a_{i j} \text { 的代数余子式，}\end{array}\right. 1 \leq i, j \leq n$ ，证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1, n-1} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2, n-1} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n-1,1} & A_{n-1,2} & \cdots & A_{n-1, n-1}\end{array}\right|=a_{n n} D^{n-2} \cdot \angle ~$ 工 $\displaystyle a n^{n} A i j$.

3．（本小题满分 15 分）已知多项式 $\displaystyle f(x)=x^{3}+2 x^{2}-2, g(x)=x^{2}+x-1, \alpha, \beta, \gamma$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的根，求一个整系数多项式 $\displaystyle h(x)$ ，使其以 $\displaystyle g(\alpha), g(\beta), g(\gamma)$ 为根。 （4．）（本小题满分 20 分）设 $A$ 为反对称实知阵，$\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个非零特征值，$\displaystyle \alpha+\mathrm{i} \beta$ 为 $A$ 的属丁 $\displaystyle \lambda$ 的复特征向量，其中 $\displaystyle \alpha$ 利 $\displaystyle \beta$ 均为实向量，证明：（1）$\displaystyle \lambda$ 为纯虚数；（2）$\displaystyle \alpha$ 和 $\displaystyle \beta$ 的长度相等且坐相止交．

5．（本小题满分 20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 和 $\displaystyle \tau$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个线性变换，满足 $\displaystyle \sigma+\tau=\varepsilon$（恒等变换），且 $\displaystyle \sigma \tau=0$ ，证明：$\displaystyle V=\sigma(V) \oplus \tau(V)$ ． $$ v=\sigma(v)+ $$

7．（本小题满分 25 分）设 $A$ 是一个 $n$ 阶方阵， $\displaystyle \operatorname{Tr}(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{i i}$ 称为矩阵 $A$ 的迹。（1）若 $\displaystyle f(x)=\left(x^{2}-2 x+2\right)^{2}(x-1)$ 是 6 阶方阵 $A$ 的最小爫项式，且 $\displaystyle \operatorname{Tr}(A)=6$ ，求 $A$ 的若小当标准形；（2）若 $\displaystyle B, C$ 均为对称半止定实矩阵，并且 $\displaystyle T r(B C)=0$ ，证明：对任意的止整数 $\displaystyle m,(B+C)^{m}=B^{m}+C^{m}$ ．

8．（本小题满分 25 分）设 $A$ 是复数域上的 $n$ 阶方阵，$\displaystyle A^{n}=0$ ，且 $\displaystyle A^{n-1} \neq 0$ ，（1）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，其对应的特征子空间 $\displaystyle V_{\lambda}=\{\alpha \mid A \alpha=\lambda \alpha, \alpha$ 是复向量 $\displaystyle \}$ ，证明：$\displaystyle V_{\lambda}$ 的维数是 1 ；（2）是否存在一个复知阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A$ ？请说明理由． $$ \begin{aligned} & A x=\lambda x \\ & \frac{A^{n} x}{A^{n+1} x}=\lambda^{n} x=0 \\ & f(\partial)=f(\beta)=f(\gamma)=0 \\ & g(\gamma)= \\ & {[x-g(\gamma)][x-g(\beta)=\text { in }} \\ & \hline x-g) x=0 \end{aligned} $$ ## $\displaystyle \pm 1 \pm 2$ （－2）$\displaystyle -8+8-$ $$ \partial^{2} \cdot(\partial+2)-2=0 $$ 102. $$ \begin{aligned} & \gamma^{3}+2 \gamma^{2}-2=0 \\ & \gamma^{2}+\gamma-1= \end{aligned} $$

一、（15 分）证明高斯（Gauss）引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

七、（25分）设 $A$ 为正定矩阵，1）证明对任意的正整数 $m$ ，存在正定矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=B^{m} ; 2$ ）在 $A$ 的特征值两两不同的情形下证明：满足 $\displaystyle A=B^{m}$ 的正定矩阵 $B$ 是唯一确定的．

三、（15分）设矩阵 $\displaystyle A, C$ 分别为 $n$ 级和 $m$ 级可逆矩阵，$\displaystyle B, D$ 分别为 $\displaystyle n \times m$ 和 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明： $$ |C| \cdot\left|A-B C^{-1} D\right|=|A| \cdot\left|C-D A^{-1} B\right| . $$

二、（15 分）证明数域 $P$ 上的线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 有解的充要条件是 $\displaystyle \left\{\begin{array}{c}A^{\prime} y=0, \\ b^{\prime} y=1\end{array}\right.$ 无解，其中 $\displaystyle A \in P^{m \times n}, b \in P^{m}, A^{\prime}$ 和 $\displaystyle b^{\prime}$ 分别表示 $A$ 和 $b$ 的转置，$\displaystyle x \in P^{n}$ 和 $\displaystyle y \in P^{m}$ 是未知量．

八、（25分）设 $A$ 为 $n$ 级实对称矩阵，记它的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leq \lambda_{2} \leq \cdots \leq \lambda_{n}$ 。设 $A$ 的属于 $\displaystyle \lambda_{1}$ 的一个特征向量为 $\displaystyle u_{1}$ ．证明： $\displaystyle \min _{\substack{x \neq 0 \\ x \perp u_{1}}} \frac{x^{\prime} A x}{x^{\prime} x}=\lambda_{2}$ ．

六、（20 分）设 $V$ 为一个有限维线性空间， $\displaystyle \mathscr{A}$ 是 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle V=\mathscr{A} V \oplus \mathscr{A}^{-1}(0)$ 当且仅当 $$ \mathscr{A}^{2} V=\mathscr{A} V $$

四、（15 分）设数域 $P$ 上的 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 次多项式 $\displaystyle f(x)$ 没有单因式，证明： $$ f^{\prime \prime}(x) \mid f(x) \text { 当且仅当 } f(x)=c(x-a)^{n} \text {, } $$ 其中 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)$ 表示二阶导数，$\displaystyle a, c$ 是数域 $P$ 中的常数．

2．（15 分）设 $A$ 是一个 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，秩 $\displaystyle (A)=r$ ，在 $A$ 中任取 $s$ 个列向量作为列向量构成的矩阵为 $B$ 。 证明：秩 $\displaystyle (B) \geq r+s-m$ ．

5．（20分）设 $\displaystyle f(x)=x^{3 m}-x^{3 n+1}+x^{3 p+2}, g(x)=x^{2}-x+1$ ．其中 $\displaystyle m, n, p$ 为非负整数， 证明：$\displaystyle \quad g(x) \mid f(x) \Leftrightarrow m, n, p$ 具有相同的奇偶性．

6．（20 分）设线性空间 $V$ 的线性变换 $A$ 与 $B$ ，满足条件 $\displaystyle A^{2}=A, B^{2}=B, A B=B A=0$ ． 证明：$\displaystyle (A+B) V=A V \oplus B V$ ．

7．（20 分）设有限维线性空间 $V$ 的维数 $\displaystyle \operatorname{dim} V=n$ ．证明：$V$ 的任意真子空间均可表为若干个 $\displaystyle n-1$ 维子空间的交．

8．（20 分）设 $n$ 元实二次型 $\displaystyle f(X)=X^{\prime} A X$ 的秩为 $n$ ，正负惯性指数分别为 $\displaystyle p, q$ ，且 $\displaystyle p \geq q>0$ ． 证明：存在 $\displaystyle R^{n}$ 的 $q$ 维子空间 $W$ ，使 $\displaystyle \forall X_{0} \in W$ 都有 $\displaystyle f\left(X_{0}\right)=0$ ．

1．（15 分）叙述并且证明克拉默（Cramer）法则．

10．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 级方阵，证明：$\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ 。注记：$\displaystyle T^{*}$ 表示方阵 $T$ 的伴随矩阵。

5．（15 分）设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \alpha \in V$ 是一个给定的非零向量，定义 $V$ 中的变换 $\displaystyle \sigma(v)=v-\frac{2(v, \alpha)}{(\alpha, \alpha)} \alpha$ ，称为由 $\displaystyle \alpha$ 确定的镜面反射． （1）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的对称变换；（2）证明：$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 中的正交变换，并且 $\displaystyle \sigma^{2}=\varepsilon$（恒等变换）；（3）确定 $\displaystyle \sigma$ 在一个标准正交基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵表示，其中 $\displaystyle \alpha_{1}=\frac{\alpha}{|\alpha|}$ ．

6．（15 分）设 $n$ 为大于 1 的正整数，对每个正整数 $\displaystyle i, i=1,2, \cdots, n$ ，定义 $n$ 维实向量 $$ \alpha_{i}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right) $$ 满足条件：$\displaystyle a_{i i}>0 ; a_{i j}<0$ ，如果 $\displaystyle j \neq i$ ；并且 $\displaystyle a_{i 1}+a_{i 2}+\cdots+a_{i n}=0$ ．证明：向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 的秩为 $\displaystyle n-1$ ．

7．（10 分）设 $p$ 为奇素数，多项式 $\displaystyle f(x)=(p-1) x^{p-2}+(p-2) x^{p-3}+\cdots+2 x+1$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数 域上不可约．

8．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 均为数域 $P$ 上的 $n$ 级方阵，满足 $\displaystyle A B-B A$ 的秩为 1 ，证明：$\displaystyle (A B-B A)^{2}=0$ ．

9．（10分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 是 $n$ 个不同的正实数，证明：下列 $n$ 级方阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{a_{1}+a_{1}} & \frac{1}{a_{1}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{1}+a_{n}} \\ \frac{1}{a_{2}+a_{1}} & \frac{1}{a_{2}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{2}+a_{n}} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \frac{1}{a_{n}+a_{1}} & \frac{1}{a_{n}+a_{2}} & \cdots & \frac{1}{a_{n}+a_{n}}\end{array}\right)$ 是正定矩阵。

4．（20 分）设 $Q$ 为有理数域，$\displaystyle \alpha_{1}=(-1,1,3), \alpha_{2}=(0,1,1), \alpha_{3}=(2,0,3), Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 满足： $$ A \alpha_{1}=(-2,1,3), \quad A \alpha_{2}=(0,-1,0), \quad A \alpha_{3}=(-1,-1,0) $$ （i）证明 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 是 $\displaystyle Q^{3}$ 的一组基；并求线性变换 $A$ 在基 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵 $T$ ； （ii）求 $\displaystyle Q^{3}$ 中线性变换 $A$ 的全部特征值与特征向量．

5．（20 分）设 $\displaystyle X_{0}$ 是数域 $P$ 上线性方程组的一个解，$\displaystyle X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{s}$ 是它的导出组的一个基础解系，令 $\displaystyle Y_{0}=X_{0}, Y_{1}=X_{1}+X_{0}, Y_{2}=X_{2}+X_{0}, \cdots, Y_{s}=X_{s}+X_{0}$ ，证明：该线性方程组的全部解可由下列公式给出：$\displaystyle X=k_{0} Y_{0}+k_{1} Y_{1}+\cdots+k_{s} Y_{s}$ ，其中 $\displaystyle k_{0}, k_{1}, \cdots, k_{s}$ 为数域 $P$ 中的数，$\displaystyle k_{0}+k_{1}+\cdots+k_{s}=1$ ．

6．（20分）设 $\displaystyle f_{1}, f_{2}, \cdots, f_{p}, g_{1}, g_{2}, \cdots, g_{q}$ 均为 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的实系数的一次齐次式， 证明：二次型 $$ f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=f_{1}^{2}+f_{2}^{2}+\cdots+f_{p}^{2}-g_{1}^{2}-g_{2}^{2}-\cdots-g_{q}^{2} $$ 的正惯性指数 $\displaystyle \leq p$ ．

7．（20 分）多项式 $\displaystyle f(x)=x^{4}-x^{3}-4 x^{2}+4 x+1, g(x)=x^{2}-x-1$ ， （i）求多项式 $\displaystyle u_{1}(x), v_{1}(x)$ 使得 $\displaystyle u_{1}(x) f(x)+v_{1}(x) g(x)=(f(x), g(x))$ ； （ii）证明不存在次数相同的多项式 $\displaystyle u_{2}(x), v_{2}(x)$ 使得 $$ u_{2}(x) f(x)+v_{2}(x) g(x)=(f(x), g(x)) ; $$ （iii）证明存在无穷多组多项式 $\displaystyle u_{3}(x), v_{3}(x), u_{3}(x)$ 的次数为 2019，使得 $$ u_{3}(x) f(x)+v_{3}(x) g(x)=(f(x), g(x)) $$

8．（20 分）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，证明 （i）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基，$\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V,\left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，那么 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ； （ii）如果 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组向量，满足：对于 $\displaystyle \gamma_{1}, \gamma_{2} \in V$ ，只要 $\displaystyle \left(\gamma_{1}, \alpha_{i}\right)=\left(\gamma_{2}, \alpha_{i}\right), i=1,2, \cdots, n$ ，就有 $\displaystyle \gamma_{1}=\gamma_{2}$ ，那么 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 的一组基．

2．（15 分）证明高斯引理：两个本原多项式的乘积还是本原多项式．

5．（15 分）设矩阵 $\displaystyle A, B$ 分别是数域 $P$ 上的 $\displaystyle m \times n$ 和 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，证明：线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 与 $\displaystyle B x=0$ 同解的充分必要条件是存在矩阵 $\displaystyle T_{1}, T_{2}$ 使得 $\displaystyle A=T_{1} B, B=T_{2} A$ ．

6．（20分）设矩阵 $\displaystyle A, D$ 分别为 $n$ 阶和 $m$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle B, C$ 分别为 $\displaystyle n \times m$ 和 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 矩阵． 证明：（1）$\displaystyle \left\ \begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right\ =\ A\ \cdot\left\ D-C A^{-1} B\right\$ ； （2）秩 $\displaystyle \left(A-B D^{-1} C\right)-$ 秩 $\displaystyle \left(D-C A^{-1} B\right)=n-m$ ．

7．（15 分）已知 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle M_{n}=\left(\frac{1-a_{i}^{n} a_{j}^{n}}{1-a_{i} a_{j}}\right)$ ，证明：当 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ 互不相同时， $\displaystyle M_{n}$ 为正定矩阵。

8．（20 分）设 A 为实线性空间 $\displaystyle \mathrm{R}^{3}$ 上的线性变换， E 为恒等变换， A 的特征多项式为 $\displaystyle \lambda^{3}-1$ ，令 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \mid(\mathrm{A}-\mathrm{E}) \alpha=0\}, V_{2}=\left\{\alpha \mid\left(\mathrm{A}^{2}+\mathrm{A}+\mathrm{E}\right) \alpha=0\right\}$ 。 证明：（1）$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 都是 A 的不变子空间；（2） $\displaystyle \mathbf{R}^{3}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

9．（15 分）设 $\displaystyle A, B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵．证明：存在正交矩阵 $U$ 使得 $\displaystyle U^{-1} A U$和 $\displaystyle U^{-1} B U$ 同时为对角矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．

2．（20 分）设 $n$ 是大于 1 的整数，$\displaystyle g(x)=\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}$ ，证明：$\displaystyle g(x)$ 在有理数域 Q 上不可约当且仅当 $\displaystyle \mathbf{n}$ 是素数．

3．（15 分）证明：如果 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 矩阵（ $\displaystyle n \geq 2$ ），那么 $$ \text { 秩 }\left(A^{*}\right)=\left\{\begin{array}{l} n, \text { 当秩 }(A)=n, \\ \mathbf{1}, \text { 当秩 }(A)=n-\mathbf{1}, \\ \mathbf{0}, \text { 当秩 }(A)<n-\mathbf{1} . \end{array}\right. $$

4．（每小题 10 分，共 20 分）线性方程组 $$ \left\{\begin{aligned} & a_{11} x_{1}+ a_{12} x_{2}+\cdots+ \\ & a_{21} x_{1}+ a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ & a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-1,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0 \end{aligned}\right. $$ 的系数矩阵为 $\displaystyle \mathbf{A}$ 。设 $\displaystyle \mathbf{M}_{\mathbf{i}}$ 是矩阵 $\displaystyle \mathbf{A}$ 中划去第 $\displaystyle \mathbf{i}$ 列剩下的 $\displaystyle (\mathbf{n}-\mathbf{1}) \times(\mathbf{n}-\mathbf{1})$ 矩阵的行列式。证明： （1）$\displaystyle \left(M_{1},-M_{2}, \cdots,(-1)^{n-1} M_{n}\right)$ 是方程组的一个解； （2）如果 $\displaystyle \mathbf{A}$ 的秩为 $\displaystyle \mathbf{n}-\mathbf{1}$ ，那么方程组的解全是 $\displaystyle \left(\mathbf{M}_{\mathbf{1}},-\mathbf{M}_{\mathbf{2}}, \cdots,(-\mathbf{1})^{\mathbf{n}-\mathbf{1}} \mathbf{M}_{\mathbf{n}}\right)$ 的倍数．

5．（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{M}=\left(\begin{array}{ll}\mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{B}^{\prime} & \mathbf{D}\end{array}\right)$ 是 $\displaystyle \mathbf{n}$ 级正定矩阵，其中 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle \mathbf{r}$ 级矩阵 $\displaystyle (\mathbf{r}<\mathbf{n})$ ．证明： $\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{D}, \mathbf{D}-\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{-\mathbf{1}} \mathbf{B}$ 都是正定矩阵。

6．（每小题 10 分，共 30 分）设 $\displaystyle \mathbf{F}$ 为一数域， $\displaystyle \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ 表示 $\displaystyle \mathbf{F}$ 上所有迹为 0 的 3 阶矩阵组成的集合。 （1）证明：$\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 是 $\displaystyle M_{3}(F)$ 的一个子空间； （2）求 $\displaystyle M_{3}^{0}(F)$ 的一组基和维数； （3）证明： $\displaystyle \mathbf{M}_{3}(\mathbf{F})=<\mathbf{E}_{3}>\oplus \mathbf{M}_{3}^{0}(\mathbf{F})$ ，其中 $\displaystyle <\mathbf{E}_{3}>$ 表示 3 阶单位矩阵 $\displaystyle \mathbf{E}_{3}$ 生成的子空间。

8．（每小题 10 分，共 20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，它的 $n$ 个特征值排序成 $\displaystyle \lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \cdots \geq \lambda_{n}$ ，证明： （1）对于 $\displaystyle \mathbf{R}^{n}(\mathbf{R}$ 为实数域）中任一非零列向量 $\displaystyle \alpha$ ，都有 $$ \lambda_{n} \leq \frac{\alpha A \alpha}{|\alpha|^{2}} \leq \lambda_{1} $$ （2）$\displaystyle \lambda_{n} \leq a_{i i} \leq \lambda_{1}, i=1,2, \cdots, n$ ．

3．（15分）设 A 是数域 P 上的 $\displaystyle \mathbf{m} \times \mathbf{n}$ 矩阵，证明：秩 $\displaystyle (\mathrm{A})=\mathrm{r}$ 的充分必要条件是存在秩为 r 的列满秩矩阵 M 和秩为 r 的行满矩阵 N ，使得 $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{MN}$ ．

4．（10分）设 M 为半正定矩阵，且可以分块成 $\displaystyle M=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B^{T} & D\end{array}\right)$ ，其中 A 为方阵，设 $\displaystyle \lambda_{\text {max }}(M), \lambda_{\text {max }}(A), \lambda_{\text {max }}(D)$ 分别是 $\displaystyle \mathrm{M}, \mathrm{A}, \mathrm{D}$ 的最大特征值，证明：$\displaystyle \lambda_{\text {max }}(M) \leq \lambda_{\text {max }}(A)+\lambda_{\text {max }}(D)$ ．

6．（15分）设 P 是数域，$\displaystyle m<n, A \in P^{m \times n}, B \in P^{(n-m) \times n} V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 分别是齐次线性方程组 $\displaystyle \mathrm{AX}=0$ 与 $\displaystyle \mathrm{BX}=0$ 的解空间，证明：$\displaystyle P^{n}=V_{1} \oplus V_{2}$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \binom{A}{B} X=0$ 只有零解．

7．（ 20 分）设 A 是 n 阶实对称正定矩阵， B 是 n 阶实反称矩阵，求证： （1） B 的特征值为 0 或纯虚数； （2）$\displaystyle |\mathrm{A}+\mathrm{B}|>0$ ．

8．（20 分）设 $\displaystyle f(x)=\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)+1$ ，其中 $\displaystyle a_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ 是两两不相等的整数． （1）证明：当 n 为奇数时，$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约； （2）当 $\displaystyle \mathrm{n}=4$ 时，$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上还是否一定不可约？请说明理由．

9．（15分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ 为 n 维欧氏空间 V 的子空间，且 维 $\displaystyle \left(V_{1}\right)<$ 维 $\displaystyle \left(V_{2}\right)$ ，证明：$\displaystyle V_{2}$ 中必有非零向量正交于 $\displaystyle V_{1}$ ．

1．（20分）设 $\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，$a$ 是一个整数，若 $$ f(a)=f(a+1)=f(a+2)=1 $$ 证明：对任意的整数 $\displaystyle c, f(c) \neq-1$ ．

2．（20分）叙述并证明高斯引理．

5．（20 分）设 $\displaystyle A, B$ 均是正定矩阵，证明： （1）方程 $\displaystyle |\lambda A-B|=0$ 的根均大于 0 ； （2）方程 $\displaystyle |\lambda A-B|=0$ 的所有根等于 1 当且仅当 $\displaystyle A=B$ ．

6．（20分）设 $\displaystyle V_{1}, V_{2}, V_{3}$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 的子空间，且 $\displaystyle V_{1} \subseteq V_{3}$ ．证明： $$ V_{1}+\left(V_{2} \cap V_{3}\right)=\left(V_{1}+V_{2}\right) \cap V_{3} $$

7．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是实系数多项式，证明：$\displaystyle W=\{f(x) \mid f(1)=0, \partial(f(x)) \leq n$ 或 $\displaystyle f(x)=0\}$ 是实数域上的一个线性空间，并求出它的一组基．

8．（10 分）证明：不存在 $n$ 阶正交矩阵 $\displaystyle A, B$ ，使得 $\displaystyle A^{2}=A B+B^{2}$ ．

1．设 $\displaystyle f(x)$ 是一个整系数多项式，$\displaystyle \frac{p}{q}$ 是 $\displaystyle f(x)$ 的有理根且 $\displaystyle (p, q)=1$ ，证明：存在任意整数 $m$ ，使得 $\displaystyle p m-q \mid f(m)$ 。

4．设非齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \text { 有三个线性无关的解．} \\ a x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+b x_{4}=1\end{array}\right.$ （1）证明：该方程组的系数矩阵 $A$ 的秩 $\displaystyle r(A)=2$ ； （2）求 $\displaystyle a, b$ 的值并求方程组的通解．

5．若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle A+E$ 可逆，且有 $\displaystyle f(A)=(E-A)(E+A)^{-1}$ ，证明： （1）$\displaystyle (E+f(A))(E+A)=2 E$ ； （2）$\displaystyle f(f(A))=A$ ．

6．设 $A$ 为实对称矩阵，$E$ 为单位矩阵，求证：存在一个极小数 $\displaystyle \varepsilon$ ，使得 $\displaystyle E+\varepsilon A$ 为正定阵．

7．若 $\displaystyle W, W_{1}, W_{2}$ 是线性空间 $V$ 的子空间，$\displaystyle W_{1} \subseteq W, V=W_{1} \oplus W_{2}$ ，证明： $$ \operatorname{dim} W=\operatorname{dim} W_{1}+\operatorname{dim}\left(W_{2} \cap W\right) $$

8．设 $V$ 是全体次数不超过 $n$ 的实系数多项式，再添上零多项式组成的实数域上的线性空间，定义 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \mathcal{A}$ ，任给 $\displaystyle f(x) \in V$ ，有 $\displaystyle \mathcal{A}(f(x))=x f^{\prime}(x)-f(x)$ ． （1）求 $\displaystyle \mathcal{A}$ 的核 $\displaystyle \mathcal{A}^{-1}(0)$ 和值域 $\displaystyle \mathcal{A} V$ ； （2）证明：$\displaystyle V=\mathcal{A}^{-1}(0) \oplus \mathcal{A} V$ ．

七．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$A$ 的 $n$ 个特征值满足 $\displaystyle \lambda_{1}<\lambda_{2}<\cdots<\lambda_{n}$ ，设 $\displaystyle \alpha_{i}$ 为 $A$ 的对应特征值 $\displaystyle \lambda_{i}$ 的特征向量． （1）构造正交阵 $S$ ，使得 $\displaystyle S^{\prime} A S=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}\right\}$ ． （2）证明：$\displaystyle \lambda_{1}=\min _{X \in \mathbb{R}^{n}, X^{\prime} X=1} X^{\prime} A X$ ．

三．（可能有误）$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶方阵，证明：$\displaystyle \left(\begin{array}{cc}A & 2 B \\ -4 B & B\end{array}\right)$ 的特征多项式为 $$ f(\lambda)=|\lambda E-(A+2 B)||\lambda E-(A-2 B)| . $$

五．设 $\displaystyle A, B, C, D \in P^{n \times n}$ 两两可交换，且 $\displaystyle A C+B D=E$ ，设 $\displaystyle A B X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V, A X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V_{1}, B X=0$ 的解空间为 $\displaystyle V_{2}$ ，证明：$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

六．设 $\displaystyle \sigma$ 是 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明：$\displaystyle \sigma(V)$ 的一组基的原象及 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 的一组基合起来为 $V$ 的一组基，由此即证 $\displaystyle \sigma$ 的零度 $\displaystyle +\sigma$ 的秩 $\displaystyle =n$ ．

七．（20 分）设 $P$ 是数域，$\displaystyle V_{1}$ 是 $P$ 上 $n$ 阶上三角矩阵的全体，$\displaystyle V_{2}$ 是 $P$ 上 $n$ 阶反对称矩阵的全体． （1）证明：$\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 关于矩阵的加法和数乘构成 $\displaystyle P^{n \times n}$ 的子空间，并分别求 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ 的一组基和维数； （2）证明：$\displaystyle P^{n \times n}=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

三．（19 分）（1）设 $\displaystyle \sigma$ 是线性空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \alpha$ 是 $\displaystyle \sigma$ 的一个特征向量，则由 $\displaystyle \alpha$ 生成的子空间 $\displaystyle L(\alpha)$ 是 $\displaystyle \alpha$ 的不变子空间。 （2）证明：实数域 $R$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的任何线性变换 $\displaystyle \sigma$ 必有一维或二维不变子空间。

二．（19 分）设 $p$ 是素数，多项式 $\displaystyle f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约．

五．（20 分）设偶数阶的实对称矩阵 $A$ 满足 $\displaystyle A^{3}+7 A^{2}+14 A+8 E=0$ ，证明：$A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 为负定矩阵．

六．（20 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换 $\displaystyle (n>1)$ 且 $\displaystyle \sigma$ 满足 $\displaystyle \sigma^{n-1} \neq 0$ ， $\displaystyle \sigma^{n}=0$ ．证明： （1）$\displaystyle \sigma$ 在某组基下的矩阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccccc}0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0\end{array}\right)$ ； （2）证明：$\displaystyle \sigma$ 在任意一组基下的矩阵都不可能是对角形．

四．（20 分）（1）设 $A$ 为 $\displaystyle m \times r$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle r \times s$ 矩阵且 $B$ 的秩为 $r$ ．证明：若 $\displaystyle A B=0$ ，则 $\displaystyle A=0$ ． （2）若 $\displaystyle A, B$ 分别为 $\displaystyle 3 \times 2$ 矩阵和 $\displaystyle 2 \times 3$ 的实矩阵且 $\displaystyle A B=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right)$ ．证明：$\displaystyle B A=4 E$ ．

二、（19 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是一个整系数多项式，如果 $\displaystyle (a+b) c$ 是奇数，证明：$\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的不可约多项式．

五、（20分）$A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵。 （1）（10 分）证明：$\displaystyle r(A)=r\left(A^{\top} A\right)$ （2）（10 分）存在半正定矩阵 $B$ ，使得 $\displaystyle B^{2}=A^{\top} A$ ．

六、（20 分）$\displaystyle P_{1}$ 和 $\displaystyle P_{2}$ 都是数域，证明：$\displaystyle p_{1} \cup p_{2}$ 也是数城当且仅当 $\displaystyle p_{1} \cup p_{2}=p_{1}$ 或

四、（20分）证明：实数域上的每个可逆上三角矩阵均可以表示为一个主对角线上元素为 1 的上三角矩阵与一个可逆的对角矩阵的乘积，并且这种表示方式是唯一的。

2．矩阵 $\displaystyle A, B$ 可相乘，$\displaystyle A B$ 列向量均为 $A$ 列向量的线性组合，证明 $\displaystyle r(A B) \leq r(A)$ 。

3．$\displaystyle f, g$ 不全为 0 且互素，证明 $\displaystyle f+g$ 与 $\displaystyle f g$ 互素。

6．矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 4\end{array}\right), M_{2}(R)$ 表示所有的 $\displaystyle 2 \times 2$ 实矩阵集。定义映射 $$ L_{A}: M_{2}(R) \rightarrow M_{2}(R), \quad \forall M \in M_{2}(R), \quad L_{A}(M)=A M $$ （1）证明：$\displaystyle L_{A}$ 是实向量空间 $\displaystyle M_{2}(R)$ 上的线性变换； （2）求 $\displaystyle L_{A}$ 的核空间 $\displaystyle \operatorname{ker}\left(L_{A}\right)$ 的组基。

7．称一复方阵 $N$ 为正规矩阵，如果 $\displaystyle \bar{N}^{T} N=N \bar{N}^{T}$（转置共轭）。 证明：（1）若一上三角阵为正规矩阵，则其为对角矩阵；（2）若分块矩链 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}N_{1} & N_{2} \\ 0 & N_{3}\end{array}\right)$为正规矩阵，则 $\displaystyle N_{2}$ 为零矩阵。

2．（20分）设 $$ A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n+1} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n+1}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & \cdots & a_{n+1}^{n-1} \end{array}\right)_{n \times(n+1)} $$ 其中 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n+1}$ 是两两不同的实数． （1）求 $A$ 的秩 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)$ ； （2）若线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 有非零解 $\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n+1}\right)^{\prime} \neq(0,0, \cdots, 0)^{\prime}$ ．证明：对任意的 $\displaystyle i, 1 \leqslant i \leqslant n+1$ ，都有 $\displaystyle x_{i} \neq 0$ ．

4．（15 分）对向量组 $\displaystyle \Omega: \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ ，其中 $\displaystyle n \geqslant 2$ ．证明：向量组 $\displaystyle \Omega$ 线性相关且其中任意 $\displaystyle n-1$ 个向量线性无关当且仅当 $\displaystyle \Omega$ 中任意向量 $\displaystyle \alpha_{i}$ 可以写成其余向量的唯一线性组合。

6．（20分） （1）至少列举 3 条实对称矩阵正定的等价条件； （2）设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 的特征值为 $\displaystyle \lambda_{1} \leqslant \lambda_{2} \leqslant \cdots \leqslant \lambda_{n}$ ，说明当 $a$ 取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是正定矩阵；当 $a$取何值时，$\displaystyle a E_{n}-A$ 是负定矩阵．并证明你的结论．

1．（20分）设 $A$ 为一个方阵，若它的每行元素之和均为零，每列元素之和也为零。证明：$A$ 的各个位置的元素的代数余子式均相等．举例说明：若 $A$ 的各个位置的元索的代数余子式均相等，$A$ 的各行元索之和不一定为零。

3．（20分）设 $Q$ 为一个 $n$ 阶实方阵，$\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 是 $n$ 个正实数， $\displaystyle \operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)$ 表示主对角线元素为 $\displaystyle \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}$ 的对角阵。证明：$\displaystyle Q \cdot \operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right)=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{n}\right) \cdot Q$ 当且仅当 $$ Q \cdot \operatorname{diag}\left(\sqrt{\lambda_{1}}, \cdots, \sqrt{\lambda_{n}}\right)=\operatorname{diag}\left(\sqrt{\lambda_{1}}, \cdots, \sqrt{\lambda_{n}}\right) \cdot Q . $$

4．（15 分）设 $\displaystyle m, n$ 为正整数，证明：多项式 $\displaystyle \lambda^{m}-1$ 与 $\displaystyle \lambda^{n}-1$ 互索当且仅当 $m$ 与 $n$ 互索．

6．（30 分）设 $F$ 是一个数域，$\displaystyle V, W$ 分别为一个 $n$ 维和 $m$ 维的 $F$－向量空间． （1）对任意的尺码为 $\displaystyle m \times n$ 的 $F$ —矩阵 $A$ ，证明：总存在从 $V$ 到 $W$ 的一个线性映射 $\displaystyle \theta$ 和 $V$ 的一组有序基及 $W$的一组有序基，使得在该有序基之下 $\displaystyle \theta$ 的矩阵为 $A$ ． （2）设 $A$ 及 $\displaystyle \theta$ 如（1）中所示，证明：$\displaystyle \theta$ 的象空间 $\displaystyle \operatorname{Im}(\theta)$ 的维数等于矩阵 $A$ 的秩．

8．（20分）证明：欧氏空间的一个线性变换为正交变换当且仅当这个线性变换在任何一组标准正交基之下的矩阵为正交矩阵。

2．解答如下问题： （1）已知 $A$ 为 $n$ 阶矩阵，证明： $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ 当且仅当存在非零向量 $$ \alpha=\left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right), \beta=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \cdots, \beta_{n}\right) . $$ 使得 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ． （2）对上述矩阵 $\displaystyle A=\alpha^{\prime} \beta$ ，计算行列式 $\displaystyle \operatorname{det}\left(E_{n}+A\right)$ ．

5．设 $\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶复方阵，且有 $\displaystyle A B=B A$ ． （1）设 $\displaystyle \lambda_{1}$ 是 $A$ 的特征值，$\displaystyle V_{\lambda_{1}}$ 是对应的特征子空间，证明：对任意的 $\displaystyle X \in V_{\lambda_{1}}$ ，有 $\displaystyle B X \in V_{\lambda_{1}}$ ； （2）证明：$\displaystyle A, B$ 有公共的特征向量； （3）若 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 都为对角矩阵．

6．设 $V$ 是实数域上所有 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵构成的线性空间，$\displaystyle A, B \in V$ 是两个给定的 2 阶实矩阵，定义 $V$ 上的映射 $f$ 为 $\displaystyle f(X)=A X+X B, X \in V$ ． （1）证明：$f$ 为 $V$ 上的线性变换； （2）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}* & * \\ * & *\end{array}\right)$（具体数值未知），求 $\displaystyle \operatorname{Im} f$ 及 $\displaystyle \operatorname{Ker} f$ 以及它们的维数．

8．设 $V$ 为 $n$ 维欧氏空间，$\displaystyle \langle *, *\rangle$ 是 $V$ 上的内积，已知 $V$ 上的线性变换 $\displaystyle \varphi$ 满足：对任意的 $\displaystyle \alpha, \beta \in V$ ，有 $$ \langle\varphi(\alpha), \beta\rangle=-\langle\alpha, \varphi(\beta)\rangle . $$ （1）若 $\displaystyle \varphi$ 为同构映射，证明 $n$ 为偶数； （2）若 $\displaystyle \lambda$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个特征值，则 $\displaystyle \lambda$ 是零或者纯虚数．

2．设 $f(x)=(x-1)^{2}(x+1)(x-2), g(x)=(x+1)^{2}(x-2)^{2}$ ，则 $f(x), g(x)$ 的首一最大公因式为 $\_\_\_\_$ ．

8．（20 分）设 $A, B$ 是两个尺码相同的矩阵，若通过初等变换能把 $A$ 变为 $B$ ，则称 $A$ 与 $B$ 等价．设 $A$的列向量构成的向量组生成的子空间为 $U, B$ 的列向量构成的向量组生成的子空间为 $V$ 。 （1）（10 分）当 $U=V$ 时，证明：$A$ 与 $B$ 等价； （2）（10 分）请举例说明：当矩阵 $A$ 与 $B$ 等价时，不一定有 $U=V$ ．

9．（20 分）已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 5 & -5\end{array}\right)$ ． （1）（10 分）求一个秩为 1 的 3 阶方阵 $C$ ，使得 $A C$ 为零矩阵； （2）（10 分）证明：不存在秩为 2 的 3 阶方阵 $C$ ，使得 $A C$ 为零矩阵。

10．（15分）设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$A$ 是负定的当且仅当 $A$ 的所有奇数阶顺序主子式为负，且 $A$ 的所有偶数阶顺序主子式为正。

11．（20分）设 $\mathbb{R}^{4}$ 是由所有 4 维实行向量构成的线性空间，定义 $\mathbb{R}^{4}$ 上的线性变换如下： $$ \rho: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4},\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \mapsto\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}-2 x_{3}, x_{3}-3 x_{4}, x_{1}+6 x_{4}\right) . $$ （1）（10 分）求 $\rho$ 在 $\mathbb{R}^{4}$ 的基底 $\varepsilon_{1}=(1,0,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0,0), \varepsilon_{3}=(0,0,1,0), \varepsilon_{4}=(0,0,0,1)$ 下的矩阵； （2）（10 分）判断 $\rho$ 是否为同构映射，并说明理由．

2．三阶矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right)$ 的逆矩阵为 $\_\_\_\_$ ．

3．设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，那么 $A^{2022}=$ $\_\_\_\_$ ．

4．实对称矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ 的正惯性指数是 $\_\_\_\_$ ．

11．设 $\mathbb{R}$ 为实数域，$A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$ ，在三维列向量空间 $\mathbb{R}^{3}$ 上定义双线性型 $$ f_{A}(X, Y)=X^{T} A Y, \forall X, Y \in \mathbb{R}^{3} . $$ 这里 $X^{T}$ 表示 $X$ 的转置． （1）证明（ $\left.\mathbb{R}^{3}, f_{A}(),\right)$ 是一个欧氏空间； （2）求上述欧氏空间的一组标准正交基．

1．填空题 （1）若 $\displaystyle A, B$ 均为 3 阶矩阵，且 $\displaystyle A B=O$ 且 $\displaystyle \operatorname{rank}(A)=1$ ，则 $B$ 的秩最大为 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （2）已知矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}2 & * & * \\ 0 & 4 & * \\ 0 & 0 & 6\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle \operatorname{tr}\left(A^{2}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （3）若 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 2 & 3\end{array}\right)$ ，则 $\displaystyle A^{2023}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （4）设 $\displaystyle \left(g(\lambda), f(\lambda)=1\right.$ ，且 $\displaystyle f, g$ 均为首一多项式，则 $\displaystyle \left(\begin{array}{cc}g(\lambda) & 0 \\ 0 & f(\lambda)\end{array}\right)=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （5）求 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right)$ 的 Jordan 标准型 $\displaystyle \_\_\_\_$ ． （6）子空间 $\displaystyle \left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\right\}$ 的维数 $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

6．设 $\displaystyle \mathscr{A}$ 为不可逆线性变换，证明：存在线性变换 $\displaystyle \mathscr{B} \neq 0$ 满足 $\displaystyle \mathscr{A} \mathscr{B}=\mathscr{B} \mathscr{A}=0$ ．

7．若 $\displaystyle Q \in M_{n}(\mathbb{C}), Q \overline{Q^{\prime}}=E_{n \times n}$ ，证明：$Q$ 特征值模长为 1 ．举例说明 $\displaystyle \exists P \in M_{2}(\mathbb{C})$ 的特征值模长为 1 ，但 $\displaystyle P \bar{P}^{\prime} \neq E_{2 \times 2}$ ．

2．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^{2}=A, \operatorname{rank}(A)=r$ ，则 $\operatorname{det}\left(A+2 E_{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．实二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1} x_{2}+x_{3}^{2}-x_{3} x_{4}-x_{4}^{2}$ 的正惯性指数为 $\_\_\_\_$ ．

11．设 $A$ 是三阶实对称矩阵， 1 是 $A$ 的一个特征值， $\operatorname{tr}(A)=5$ ． （1）若存在无穷个多个三阶正交阵 $R$ 使得 $R^{-1} A R$ 为对角阵，求该对角阵并说明理由． （2）若只有有限个三阶正交阵 $R$ 使得 $R^{-1} A R$ 为对角阵，求该类正交阵 $R$ 的个数．

12．设 $A=\alpha \beta^{\mathrm{T}}$ ，其中 $\alpha, \beta$ 都是复数域上的 $n$ 维非零列向量． （1）求 $A$ 的极小多项式和特征多项式． （2）求 $A$ 的若尔当标准形．

13．设 $A, B$ 都是复数域上的 $n$ 阶方阵，证明： $\operatorname{rank}(A B) \geq \operatorname{rank}(A)+\operatorname{rank}(B)-n$ ．

3．设 $|A|=\left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 1 & -7 \\ 2 & 7 & 2 & 4 \\ 1 & 1 & 0 & -2 \\ 17 & 16 & 19 & 11\end{array}\right|$ ，求 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=$ $\_\_\_\_$ ．

4．已知 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 3\end{array}\right)$ ，求原矩阵 $A=$ $\_\_\_\_$ ．

5．在三次多项式空间 $P[x]_{3}$ 中，求多项式 $1+x+x^{2}+x^{3}$ 在基 $\left\{2,1+x,-x+2 x^{2}, x+x^{3}\right\}$ 下的坐标 $\_\_\_\_$。

6．二次型 $2 x_{1}^{2}+2 x_{2}^{2}+2 x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}-2 x_{1} x_{3}-2 x_{2} x_{3}$ 的规范型为 $\_\_\_\_$ ．

7．矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}13 & 16 & 16 \\ -5 & -7 & -6 \\ -6 & -8 & -7\end{array}\right)$ 的若尔当标准型为 $\_\_\_\_$。

8．设 $M=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 1 & -1\end{array}\right)$ ，线性变换 $\mathscr{A}$ 满足 $\mathscr{A} x=M x$ ，求 $\mathscr{A}$ 的特征值及重数 $\_\_\_\_$ ．