函数与极限-函数概念

一．计算数列极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\ln (1+n)-\ln n}-n\right) $$

3．设两个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的定义如下： $$ a_{1}=3, b_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}+2 b_{n}, b_{n+1}=a_{n}+b_{n}, n=1,2, \cdots $$ 而数列 $c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}$ ．

三，（10 分）求数列 $\displaystyle 1, \frac{1}{2}, 1+\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 1+\frac{1}{3}, \frac{1}{2}+\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, 1+\frac{1}{4}, \frac{1}{2}+\frac{1}{4}, \frac{1}{3}+\frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \cdots$ 的聚点．

三，（10 分）数列 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{2}{6}, \frac{3}{6}, \frac{4}{6}, \frac{5}{6}, \cdots$ 的导集．

（10）三、求 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{1}{6}, \frac{3}{6}, \frac{5}{6}, \frac{1}{7}, \frac{2}{7}, \frac{3}{7}, \frac{4}{7}, \frac{5}{7}, \frac{6}{7}, \cdots$ ．的聚点．

4．求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+2}}{(n+1)(2 n+1)}$ 的收敛域及和函数．

三、（15 分）若 $\displaystyle 0<x_{1}<2$ 且 $\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\left(2-x_{n}\right)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求其极限．

二．设函数 $f$ 是 $\displaystyle U^{\circ}\left(x_{0} ; \delta^{\prime}\right)$ 上的有定义．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在的充要条件是对于含于 $\displaystyle U^{\circ}\left(x_{0} ; \delta^{\prime}\right)$ 且以 $\displaystyle x_{0}$ 为极限的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 都存在且相等．

1．求数列极限：（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}$ ，（2） $\lim _{n \rightarrow \infty}(2 n!)^{\frac{1}{n^{2}}}$ ．

1．设 $\displaystyle x_{1}=\frac{1}{5}, x_{n}>0, n=1,2, \cdots$ ，且成立等式 $\displaystyle x_{n+1}^{2}-5 x_{n}-6=0$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求其极限．

4．曲面 $z-e^{z}-x y+3=0$ 在点 $(2,1,0)$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．

15．证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛，但对任意的 $x$ 不绝对一致收敛．

8、已知 $\displaystyle a_{1}=7, a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}},(n=1,2, \cdots)$ ．证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的极限存在，并求其值．

1. 求数列极限： $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2023}+2^{2023}+\cdots+n^{2023}}{n^{2024}}$ ．

2．计算第一类曲面积分： $\iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中曲面 $\sum$ 是左半球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, y \leq 0$ ．

3．设 $$ a_{n}=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}_{n \text { 个根号 }} . $$ 讨论数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的极限是否存在。若存在，请求出极限；若不存在，请说明理由

2．判断极限 $$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x+y-1}-1} $$ 的存在性，若存在，给出证明过程，若不存在，说明理由．

8、设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足： $$ x_{n}=\sin \left(x_{n-1}\right), n=1,2, \cdots \text { 且 } 0<x_{0}<\frac{\pi}{2} . $$ 证明： （1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫且极限为 0 ． （2）试着求极限： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n}{3}} \cdot x_{n}=1$ ．

二、（20 分）已知 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=1+\frac{x_{n}}{x_{n}+1}, n=1,2, \cdots$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 存在极限，并求此极限。

3．计算 $f(x, y)=5 x^{2}+5 y^{2}-8 x y$ 在条件 $x^{2}+y^{2}-x y=75$ 下的最小值．

3、求 $I=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}-e^{-3 x}}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．

二．（10 分）设 $\displaystyle x_{1}=10, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，试证数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 极限存在，并求此极限．

2．（15 分）数列 $$ a_{1}=2, a_{2}=2+\frac{1}{2}, a_{3}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}, a_{4}=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}, \cdots $$ 问数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是否收敛？说明理由．

二．（15 分）求数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{3}} \sqrt{n^{2}-k^{2}}$ 。 三（15分）证明奇数次多项式 $$ P(x)=a_{0} x^{2 n+1}+a_{1} x^{2 n}+\cdots+a_{2 n+1} $$ 至少存在一个实根，其中 $\displaystyle a_{0}, a_{1}, \cdots, a_{2 n+1}$ 都是常数，且 $\displaystyle a_{0} \neq 0$ 。

一．（15 分）用函数极限的定义证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c}(c \neq 0)$ 。 $\displaystyle \therefore\left(15\right.$ 分）计算数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ 。 三（15 分）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a .+\infty)$ 上连续，且存在 $\displaystyle A, B \in R$ ，使 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。

一．（15 分）用数列极限定义证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A$（ $A$ 为实数或 $\displaystyle A=+\infty$ ），则 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}=A $$

1、（15 分）设 $\displaystyle p>1$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2^{p}}+\cdots+\frac{1}{n^{p}}\right\}$ 收敛，且其极限 $a$ 满足： $\displaystyle 1+\frac{1}{2^{p-1}(p-1)} \leq a \leq \frac{p}{p-1}$ ．

2．讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x^{2024}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．

一、（本题满分 10 分）计算数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right)^{\sqrt{n}}$ ．

7．（14 分）解答如下问题： （1）用定义证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin n$ 不存在． （2）证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 极限存在，其中 $$ x_{n}=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)=\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right), n=1,2, \cdots $$ 并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

1．求数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(|\cos 1|+|\cos 2|+\cdots+|\cos n|)^{\frac{1}{n}}$ 。

3．若 $\displaystyle x_{0}=1, x_{1}=\frac{1}{x_{0}{ }^{3}+4}, x_{2}=\frac{1}{x_{1}{ }^{3}+4}, \cdots, x_{n+1}=\frac{1}{x_{n}{ }^{3}+4}, \cdots$ ，证明： （1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛； （2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 的极限值 $a$ 是方程 $\displaystyle x^{4}+4 x-1=0$ 的唯一正根．

1．设 $\lambda>1$ 及 $\left\{a_{n}\right\}$ 是实数列，如果对所有 $n, p \in \mathbb{N}^{+}$都有 $\left|a_{n+p}-a_{n}\right|<\frac{p}{n^{\lambda}}$ ，那么 $\left\{a_{n}\right\}$ 是基本数列（Cauchy 列）．

八、设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 的极限为 $a$ ，证明 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 上有定义，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1-}(1-x) f(x)=a$ ．（10 分）对 $\displaystyle \frac{a_{n}}{a} \frac{\left.a_{n}\right)^{n}}{a_{n}}=$. $$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\widetilde{\left(x^{2}+4 y^{2}\right)^{2}} $$

1．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足条件： $0<a_{1}<1, a_{n+1}=a_{n}\left(1-a_{n}\right), n \in N_{+}$，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 。

四、（15 分）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\frac{1}{2+x_{n}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

三、（15 分）设 $\displaystyle U_{1}=2, \cdots, U_{n+1}=\frac{1}{2}\left(U_{n}+\frac{1}{U_{n}}\right), n=1,2,3, \cdots$ ． （1）证明：数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限． （2）判断级数 $\displaystyle \sum_{n-1}^{\infty}\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)$ 的敛散性并证明．

4．设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (0,1)$ 上各项互异的数列，试讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上的一致收玫性及极限函数的连续性．

4、求全微分 $(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z$ 的原函数 $u(x, y, z)$ ．

3．设 $f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}$ ，求 $f^{(n)}(0)$ ．