函数与极限-极限概念

一、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）计算函数极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x \cdot\left[\frac{1}{e}-\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}\right]$ ．

5、（20 分）设定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，对任意满足 $\displaystyle a_{n}<0<b_{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} b_{n}=0$ 的点列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{f\left(b_{n}\right)-f\left(a_{n}\right)}{b_{n}-a_{n}^{-} \text {都存在，证明：函数 } f(x) \text { 在 } x=0 \text { 处可微．}}$

四、设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle y^{2}-x+\sin y=0,(x \geq 1)$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle y=y(x)$ 经过点 $\displaystyle \left(\pi^{2}, \pi\right)$ ，试讨论 $\displaystyle y(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 的零点个数．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{y(x)}{x}$ ．

4．求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+2}}{(n+1)(2 n+1)}$ 的收敛域及和函数．

二．设函数 $f$ 是 $\displaystyle U^{\circ}\left(x_{0} ; \delta^{\prime}\right)$ 上的有定义．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 存在的充要条件是对于含于 $\displaystyle U^{\circ}\left(x_{0} ; \delta^{\prime}\right)$ 且以 $\displaystyle x_{0}$ 为极限的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)$ 都存在且相等．

1．判断题．正确的给出证明，错误的给出反例． （1）设 $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ ，若数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）两个在 $\displaystyle x_{0}$ 附近无界的函数之积仍为无界函数。 （3）若 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续，$\displaystyle u=g(y)$ 在点 $\displaystyle y_{0}=f\left(x_{0}\right)$ 不连续，则复合函数 $\displaystyle u=g(f(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续． （4）一元函数的定积分，若 $\displaystyle |f(x)|$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 可积． （5）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个二次极限都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的二重极限也存在．

5．设函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的所有方向极限都存在且相等，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在．

二．解答如下问题： （1）证明：如果函数 $\displaystyle f(x)$ 满足：对任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle \delta_{x}>0$ 与 $\displaystyle M_{x}>0$ ，使得 $$ |f(t)|<M_{x}, \forall t \in\left(x-\delta_{x}, x+\delta_{x}\right) \cap[a, b] $$ 则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界． （2）如果（1）中 $\displaystyle [a, b]$ 换成 $\displaystyle (a, b)$ ，结论是否成立？成立给出证明，不成立给出反例． （3）如果函数 $\displaystyle f(x)$ 满足在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上任意一点都存在极限，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否有界？肯定给出证明，否定给出反例．

7．解答如下问题： （1）若函数 $f(x)$ 满足以下条件：（i）函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的邻域 $U\left(x_{0}\right)$ 连续；（ii）在 $U^{\circ}\left(x_{0}\right)$ 可导；（iii）极限 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)$ 存在．证明：$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)$ ． （2）若函数 $f(x)$ 只满足本题（1）中条件（i）和（ii），但不满足（iii），则 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 不可导，是否正确？请给出理由。

1．求函数极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t\right)^{x}$

三、证明下列各题（每小题 13 分，共 78 分） （1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内每一点的左右极限都存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界． （2）．设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \infty)$ 上连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0 $$ 证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续． （3）．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，且 $$ a_{k} \leqslant a_{n} \quad \forall n<k \leqslant 2 n $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ． （4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上三阶可导，且 $\displaystyle f(x), f^{\prime \prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上都有界，证明： $\displaystyle f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。 （5）．设 $\displaystyle \forall b>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\alpha$ ，令 $$ F(t)=t \int_{0}^{+\infty} e^{-t x} f(x) \mathrm{d} x $$ 证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} F(t)=\alpha$ ． （6）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ， $$ f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0 $$ 证明：（i）．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有且仅有两个零点， （ii）．存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t$ ．

1．已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(a) \neq 0$ ．求极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f(a+1 / n)}{f(a)}\right)^{n} $$

2．判断极限 $$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x+y-1}-1} $$ 的存在性，若存在，给出证明过程，若不存在，说明理由．

三、讨论题． 10 分． 对于二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，如果两个累次极限存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)$ ．问 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 是否一定存在？请说明理由．

10、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内连续且可导，且极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 都存在，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．

四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域存在连续的一阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在，求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}} $$

一．（15 分）用函数极限的定义证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c}(c \neq 0)$ 。 $\displaystyle \therefore\left(15\right.$ 分）计算数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ 。 三（15 分）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a .+\infty)$ 上连续，且存在 $\displaystyle A, B \in R$ ，使 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。

4．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $a$ 可导且 $\displaystyle f(a) \neq 0$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow s}\left[\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right]^{\prime \prime}$ 。

六、设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x \sin \frac{1}{y}+y \sin \frac{1}{x} & x y \neq 0 \\ 0 & x y=0\end{array}\right.$ ，讨论三种极限： （1） $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)$ ； （3） $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)$ 。

3、（20 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，其中 $a$ 为大于等于零的常数且极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-2 \sqrt{x}]$ 存在，那么 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上是否一致连续？如果是，请给出证明，如果不一定，请给出一正一反的例子．

二、（本题满分 10 分）计算函数极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}-\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{4}}$ ．

2．极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} t \sin t \mathrm{~d} t}{\sin x-\tan x}=$ $\_\_\_\_$ ．

2．函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, x \geq 0 \\ x-2, x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处的连续情况是 A．不连续 B．左连续但不右连续 C．右连续但不左连续 D．左连续且右连续

2．求函数极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{x}{\sin ^{3} x}\right)$ ．

13．计算曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} $$ 其中 $\Sigma$ 是曲面 $9-z=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}(z \geq 0)$ ，方向取上侧．

1．设 $f, g \in C[a, b]$ ，且 $f, g$ 在 $(a, b)$ 内可导，证明存在 $\xi \in(a, b)$ ，成立下列等式 $[f(b)-f(a)] g^{\prime}(\xi)=[g(b)-g(a)] f^{\prime}(\xi)$ 。

4．设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (0,1)$ 上各项互异的数列，试讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上的一致收玫性及极限函数的连续性．