函数与极限-极限计算

一．计算数列极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\ln (1+n)-\ln n}-n\right) $$

一、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）计算函数极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x \cdot\left[\frac{1}{e}-\left(\frac{x}{1+x}\right)^{x}\right]$ ．

一、（20 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}}{\ln (1+x)}-\frac{1}{x}\right)$ ．

1．（25分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\ln (1+x))-\ln (1+\sin x)}{\sin (\sin x)-\ln (1+\ln (1+x))}$ ．

1．（10分）判断极限 $$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x+y^{2}\right)+\tan \left(x^{2}+y\right)-x-y}{\arcsin \left(x^{2}+y^{2}\right)} $$ 是否存在，若存在求出极限，若不存在，说明理由．

1．计算 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sin \frac{3}{x} \ln \left(1+2^{x}\right)$

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\sin x}}{x}$ ．

1． $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} \cos \left(t^{3}\right) \mathrm{d} t=$ $\_\_\_\_$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

3．计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2^{2}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n^{2}}}\right)$ ．

3．设两个数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的定义如下： $$ a_{1}=3, b_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}+2 b_{n}, b_{n+1}=a_{n}+b_{n}, n=1,2, \cdots $$ 而数列 $c_{n}=\frac{a_{n}}{b_{n}}, n=1,2, \cdots$ ，计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow\left(\frac{\pi}{2}\right)^{-}}(\cos x)^{\frac{\pi}{2}-x}$ ．

4．设 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{1}=1, x_{n+1}=x_{n}+\frac{1}{2 x_{n}}(n=1,2, \cdots)$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}^{2}-n}{\ln n}$ ．

1．求极限： $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ．

2、求极限： $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[6]{x^{6}+x^{5}}-\sqrt[6]{x^{6}-x^{5}}\right)$ ．

3．求极限： $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\tan \left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ．

四、设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 是由方程 $\displaystyle y^{2}-x+\sin y=0,(x \geq 1)$ 所确定的隐函数，且 $\displaystyle y=y(x)$ 经过点 $\displaystyle \left(\pi^{2}, \pi\right)$ ，试讨论 $\displaystyle y(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 的零点个数．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{y(x)}{x}$ ．

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{e^{\frac{i}{n}}}{n+\frac{1}{i}}$ ．

2．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\sqrt{\cos (2 x)}}{(1-\cos \sqrt{x}) \ln (1+x)}$ ．

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(2026 \cos ^{2} n+\sin ^{2} n\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

2．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1^{x}+2^{x}+\cdots+2026^{x}}{2026}\right)^{\frac{1}{\sin x}}$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \sqrt{x}+\sin ^{2} x}{x}$ ．

8．求由方程 $z \sin y+x e^{z}=1$ 所确定的隐函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,0)$ 的全微分．

9．计算曲线积分 $\oint_{L} x e^{2 x y} \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 是以 $O(0,0), A(1,0), B(1,1)$ 为顶点的三角形．

10．求曲面积分 $$ \oiint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $S$ 为曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2$ 所围立体的表面，方向取外侧．

1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ ；

2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$ ；

3． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1} b_{2 n}+a_{3} b_{2 n-2}+\cdots+a_{2 n-3} b_{4}+a_{2 n-1} b_{2}}{n}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=b$ ．

4． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n} d x ;$

5． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty} \int_{x+f(x)}^{x+2 f(x)} f(t) d t$ ，其中 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x}) \in[0,+\infty), \lim _{\mathrm{x} \rightarrow+\infty} \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}$ ．

一，（18 分）求：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}{(1+2+\cdots+n)^{2}}$ ； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{x^{a}-a^{x}}{x-a}$ ；

二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}+\frac{1+(-1)^{n}}{2014}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \underline{\lim }_{n \rightarrow \infty}, \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}}$ ．

五，（10 分）考察函数 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2014}+x^{2} e^{n x}}{2014+e^{n x}}$ 的可微性．

一，（18 分）（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2}+3^{2}+\cdots+(2 n-1)^{2}}{n^{3}}$ ． （2）$\displaystyle \frac{d^{n}\left[e^{a x} \sin (b x+c)\right]}{d x^{n}}$ ．

二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=\cos ^{n} \frac{2 n \pi}{3}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \frac{\lim }{n \rightarrow \infty}, \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}}$ 。

一，（18 分）（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)$ （2）$\displaystyle \frac{d^{n}}{d x^{n}}(\arctan x)$

三，（10 分）判断数列 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 的玫散性，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \frac{1}{n}\right)$ ．

二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{n-1}{n+1} \cos \frac{2 n \pi}{3}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \varliminf_{n \rightarrow \infty}, \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}}$ ．

四，（10 分）若严格单调递增数列 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}=\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}=a$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}$ ．

一，（18 分）求（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2016}+2^{2016}+\cdots+n^{2016}}{n^{2017}}$ ；（2）$\displaystyle \frac{d^{n}\left(e^{x} \sin x\right)}{d x^{n}}$

二，（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=1+\frac{n}{n+1} \cos \frac{n \pi}{2}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, \frac{\lim }{n \rightarrow \infty}, \overline{\lim }$ ．

五，（10 分）设 $\displaystyle f(x)=\frac{4^{x}}{4^{x}+2}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)+f\left(\frac{2}{n}\right)+\cdots f\left(\frac{n-1}{n}\right)\right]$ ．

六，（10 分）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}\right]^{\frac{1}{x}}$ ．

四，（10 分）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足：$\displaystyle a_{1}=1, a_{2}=33 a_{n+2}=2 a_{n+1}+a_{n}$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

二、（12 分）设 $\displaystyle x_{n}=\frac{n}{n+1} \sin ^{2} \frac{n \pi}{4}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \operatorname{Sup}\left\{x_{n}\right\}, \underline{\lim }_{n \rightarrow \infty} x_{n}, \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}} x_{n}$ ．

六、（10 分）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a} \frac{(a+x)^{x}-a^{x}}{x^{2}}$ ．

（14）一、求：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt{1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}}}{1+2+\cdots+n}$ ； （2）$\displaystyle \frac{d^{2020}\left[e^{2019 x} \sin (2018 x+2017)\right]}{d x^{2020}}$ ．

（16）二、设 $\displaystyle x_{n}=\cos ^{n}\left(\frac{n \pi}{4}\right), n=1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \inf \left\{x_{n}\right\}, \sup \left\{x_{n}\right\}, ~ \varliminf_{n \rightarrow \infty} x_{n}, ~ \varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

（10）五、求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2020} \frac{2020^{x}-x^{2020}}{x-2020}$ ．

1．设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{4(1-\cos x)+2 e^{-n x} \cos x}{x^{2}+e^{-n x}}$ ，求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．（15 分）

五、（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n+\frac{1+i^{2}}{n}}$ ．

1．计算下列极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\cos x-\cos x \cos (2 x)-\sqrt[3]{\cos x}}{\ln (1-x)+\ln (1+x)} $$

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \sin \left(\frac{i}{n^{2}}\right) \ln \left(1+\frac{i}{n}\right)$ ． 2 ．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-\cot x\right)$ ．

二、计算下列极限（每小题10分，共20分） （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x \ln (1+x)}}$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)+\left(1+\frac{4}{n^{2}}\right)+\cdots+\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)}$ ．

一、求极限（10 分） （5 分）1、 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)\right]$ ． （5 分）2、 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}, a_{i}>1, i=1,2 \cdots n$ ．

3．求曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}=2 z$ 所围图形的体积．

5． $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$

一．（1）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 语言叙述 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \neq A$ 的定义； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+2 a}{x-a}\right)^{x}=8$ ，求 $a$ ； （3）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{n(n+1) \cdots(2 n-1)}$ ．

一、计算题． （1）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{n+i}{n}\right) \sin \frac{i}{n^{2}}$ ． （2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x-a}{x+a}\right)^{x}=\int_{a}^{+\infty} x e^{-2 x} d x$ ，求 $a$ 的值． （3）计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan ^{2024} x} d x$ ．

2．（20分）解答如下问题： （1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{x}-x^{\sin x}}{x^{2}}$ ． （2）求级数的和 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(n-1) 3^{n}}$ ．

二．（20分）解答如下问题： （1）求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{4}+1}-\left(x^{2}-1\right) e^{\frac{1}{x}}\right)$ ． （2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1) 2^{n}}$ 的收玫域与和函数．

1．证明 $n$ 为奇数时 $y_{n}<a ; n$ 为偶数时 $y_{n}>a$ ．

七．（15 分）（1）证明 $$ \ln (1+x) \leqslant x, x \in(-1, \infty) $$ （2）求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}} $$ （3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某领域内有连续的一阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在．证明 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{2}}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) . $$

一．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上严格递增， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=A, \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=A$ 则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ ．

一．（15 分）设 $\displaystyle x_{0}=1, x_{n+1}=1+\frac{1}{x_{n}}(n \geqslant 0)$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}$ ．

八．（15 分）（1）设 $\displaystyle k \sin y+\cos x=1$ ，其中 $\displaystyle (x, y)$ 满足 $\displaystyle \{(x, y)||x|<k-1, y \in(-\infty,+\infty)\}$ ，则方程在 $\displaystyle (0,0)$ 附近有存在唯一的 $\displaystyle y=y(x)$ ． （2）讨论 $\displaystyle y=y(x)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性． （3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ ．

4．非负数列 $\left\{u_{n}\right\}$ 满足 $u_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收敛。

2． $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $(0, a]$ 上存在，证明：$f(x)$ 在 $(0, a]$ 上一致连续．

9．计第 $$ \lim _{t \rightarrow 0+} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} C t^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x d y d z $$

4．对于数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，总有 $a_{n}<b_{n}$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。

5．已知二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的两个偏导数存在，则二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．

三．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域上二阶可微，且 $$ \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=e^{3} . $$ 求 $\displaystyle f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．

八．求极限 $\displaystyle \lim _{R \rightarrow+\infty} \iint_{|x| \leq R,|y| \leq R}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

四．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，设 $\displaystyle \varepsilon_{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \varepsilon_{n}$ ．

1、计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{(\tan x)^{2}}\right)$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}=$ $\_\_\_\_$ ．

一．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} 2^{\frac{i}{n}} \frac{1}{n+\frac{1}{i}}$ ．

二．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} e^{\frac{t^{2}}{2}} \cos t \mathrm{~d} t-x}{\left(e^{x}-1\right)^{2}(1-\cos x) \arctan x}$ ．

1．求下列极限： （1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{7^{n} n!}{(3 n)^{n}}$ ， （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\cdots+\frac{n}{3^{n}}\right)$

1．极限 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) \neq A$ 的语言是 A． B． C． D．

4． $\ln \left(1-x+x^{2}\right)$ 在 $x=0$ 处的幂级数展开式为 $\_\_\_\_$。

2．计算下列极限： （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+4 x}-2 \ln (x+1)-1}{e^{x}-\sin 3 x+2 x-1}$ ． （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{2+\cos \frac{k \pi}{n}}$ ．

1．求极限． （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ ； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t \mathrm{~d} t}{x \sin x}$ ； （3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

一．计算题．每题 10 分，共 30 分． （1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}$ ． （2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ ． （3）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\frac{1}{x}}$ ．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)$ ．

1． $\int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1-\cos 2 x} d x$ ．

2． $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} d x$ ．

1．（ 30 分）计算题． （1）（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\cos x-\frac{x^{2}}{2}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ． （2）（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} x\left[\frac{1}{x}\right]$ ． （3）（10 分）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2} x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．

1．（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \ln (2026 x) \ln \frac{\ln 2026 x}{\ln \frac{x}{2026}}$ ．

1．求极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+2026}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{2026}{2}}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n+\frac{2026}{n}}\right) . $$

2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{x^{2} \arctan 2 x}$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} \sin x-x(1+x)}{\ln ^{3}(1+x)}=$ $\_\_\_\_$。

2．已知 $f \in \mathbb{C}(0,1)$ ，则 $f$ 在 $(0,1)$ 上一致连续的充要条件为 $\_\_\_\_$ ．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

5．设 $u=e^{x}+\sin y+t, x=s t, y=s+t$ ，则 $\frac{\partial u}{\partial t}=$ $\_\_\_\_$ ．

3．求三重积分 $$ I=\iiint_{\Omega} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\Omega$ 是由雉面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与旋转抛物面 $z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的有界区域。

1．计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-(\cos x)^{\sin x}}{\sqrt{1+x^{3}}-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

1．求 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}-e\right]=$ $\_\_\_\_$ ． 2 ．已知 $z=x \ln \frac{x}{y}$ ，求 $\left.\mathrm{d}^{2} z\right|_{(1,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．

17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}>a_{n}>0$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫． （1）证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ． （2）证明：$\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收敛。

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{a}-\sqrt[2 n]{a})=$ $\_\_\_\_$。

8、 $f(t)=\iint_{\substack{0 \leq x \leq s \\ 0 \leq y \leq s}} e^{-\frac{x}{y^{2}}} d x d y, t>0$ ，求 $f^{\prime}(t)$ ．

1．设 $\displaystyle a_{1}>0, a_{n+1}=\ln \left(1+a_{n}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ ．

7．计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{\sin ^{2} n x}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

三、（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}\left[\left(\frac{3 x^{3}-7}{3 x^{3}-x}\right)^{\frac{1}{5}}-x \sin \left(\frac{1}{x}\right)\right]$ ．

一．（24分）求极限． （1）（8 分） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-x}{\sin ^{3} x}$ ． （2）（8 分） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k \sin \left(\frac{k}{n}\right)}{k n+1}$ ． （3）（8 分） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}}{2}\right)^{n}, a, b>0$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-(1+2 x)^{\frac{1}{2}}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{(n+1)(n+2) \cdots(n+n)}}{n}$ ．

6．求荎级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}$ 的收玫半径及和函数 $S(x)$ ．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{2}}\left(1 \cdot \sqrt{1+\frac{1^{2}}{n^{2}}}+2 \cdot \sqrt{1+\frac{2^{2}}{n^{2}}}+\cdots+n \cdot \sqrt{1+\frac{n^{2}}{n^{2}}}\right)$ ．

2． $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\left(\frac{a^{x}-1}{a-1}\right) x\right)^{\frac{1}{x}}(a>0, a \neq 1)$ ．

1． $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．

2、 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ．

1、（20分）求极限： $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sqrt{1+x^{2}}-x e^{x^{2}}}{\arcsin x-\sin x}$ ．

3、若 $F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的可微函数且 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}\right\}, ~ t>0$ ． （1）计算 $F^{\prime}(t)$ （2）若 $f^{\prime}(0)=0$ ，计算极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{5}}$ ．

1、设 $f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$ ． （1）求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[f\left(1-\frac{1}{n+1}\right)-f\left(1-\frac{1}{n}\right)\right]$ ． （2）证明：函数 $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上不一致连续．

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)$ ．

7．已知 $\displaystyle f(x)=x^{3}\left(e^{\frac{1}{x}}+e^{-\frac{1}{x}}-C\right)$ ，满足： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-a x-b)=0$ ．求 $\displaystyle a, b, C$ 并阐述其几何意义．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{a}-\sqrt[2 n]{a})=$ $\_\_\_\_$。

3． $\int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} d x=$ $\_\_\_\_$ ．

1． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \frac{1+x}{1-x}}{\arctan (1+x)-\arctan (1-x)}$

2． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\left(x-a_{1}\right)\left(x-a_{2}\right) \cdots\left(x-a_{n}\right)}-x$

1．计算极限： $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[m]{1+\alpha x} \sqrt[n]{1+\beta x}-1}{x} $$ 其中 $\displaystyle m>0$ 且 $\displaystyle n>0$

2．求极限： $$ \lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}} $$

1．（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot 1!+2 \cdot 2!+\cdots+n \cdot n!}{(n+1)!}$ ．

1、（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1} n}{n}\right)$ ．

2、（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

一．（15 分）判断极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)$ 是否存在？若存在，求出极限值．

二、求解下列各题（每小题9分，共36分） （1）．求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right]^{\frac{1}{x}} $$ （2）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续可导，计算积分 $$ \iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{z} f\left(\frac{y}{z}\right)+y^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{1}{y} f\left(\frac{y}{z}\right)+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为锥面 $\displaystyle y^{2}+z^{2}=x^{2}(x>0)$ 与球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 所围成立体的表面． （3）．将函数 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}$ 展成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 2^{2 n+1}}$ 的和． （4）．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上具有二阶偏导数，且满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)},(x, y) \in D $$ 求积分 $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

1．如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上至多有有限个不连续点．

3．若函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在，则 $f(x, y)$ 在该点处连续．

3．设 $f(x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 上不恒为 0 的连续函数，$D(x)$ 为 Dirichlet 函数，则 $f(x) D(x)$ 在 $[a, b]$ 上不可积．

3．若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 存在原函数．

3．若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在原函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积．

1．已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(a) \neq 0$ ．求极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f(a+1 / n)}{f(a)}\right)^{n} $$

一．计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{1-e^{-x}}-\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{\sin x}}$ ．

6．计算第二型曲面积分 $\iint_{\Sigma} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{y} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $\Sigma$ 为拋物面 $y=x^{2}+z^{2}$ 被平面 $y=1, y=2$ 所截部分，取外侧．

1．（15 分）求极限： （1）（ 7 分） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)^{n}$ ． （2）（ 8 分） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{\ln (1-x)}}$ ．

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+2^{-n}\right)^{n}$ 。

2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \int_{\sin x}^{1} \frac{\ln t}{t} d t$ 。

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+k}}$ ．

2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}+2 \cos \sqrt{x}-3}{x^{2}}$ ．

一、求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(\arctan n+\sin n)^{\frac{1}{n}}$ ．

1．设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^{2}-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程．

一．（15 分）解答如下问题： （1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^{2}-1}$ ． （2）设 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $\displaystyle y=f(x)$ 是由曲线 $\displaystyle x^{2}-x y+y^{2}=1$ 确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}$ ．

2．求极限： （1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2^{\frac{k}{n}}}{n+\frac{1}{k}}$ ． （2）（可能有误） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{\sin x}{e^{x}-1}\right)$ ．

1．计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{-}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

2、设 $\sum_{n=1}^{\infty} U_{n}$ 在区间 $I$ 上一致收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} U_{n}$ 在区间 $I$ 上绝对收敛．

3、设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上为无界函数，则广义函数 $\int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 一定发散．

1． $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{n+5}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}-\sqrt{n+2005}}$ ．

4． $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x-\sin x}{x^{2} \sin x}$ ．

2．设 $u=f\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)$ ，其中 $f$ 二阶可导，求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ ．

1．（10 分）设 $f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{1+n^{3} x^{3}}, n=1,2, \cdots$ ，试证明函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 内一致收敛．

4．（10 分）设在矩形区域 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上，$F(x, y)$ 关于 $x$ 连续，$F_{y}(x, y)$ 存在且有界．证明：$F(x, y)$ 在 $D$ 上连续．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n+1}\right)$ ．

3． $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt{1+x \arctan x}}{2 x^{2}}$ ．

1．计算定积分 $\int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．

4．已知 $u=f\left(x y, \frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 二阶可导，求 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ ．

3．判断级数或反常积分敛散性 （1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \frac{a}{1+a^{n}} \quad(a>0)$ ； （2） $\int_{0}^{\frac{1}{c}} \frac{1}{x^{p} \ln x} \mathrm{~d} x \quad(p>0)$ ．

1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sqrt{2} x)-e^{-x^{2}}+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$ ．

2、（15分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\lim _{n \rightarrow+\infty} \cos \left(\frac{3 x}{2}\right) \cos \left(\frac{3 x}{2^{2}}\right) \cdots \cdot \cos \left(\frac{3 x}{2^{n}}\right)\right)$ ．

1、计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt[n]{2024} \cdot\left(1-\cos \left(\frac{1}{n^{2}}\right)\right) \cdot n^{3}}{\sqrt{1+n^{2}}-n}$ ．

8、设数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足： $$ x_{n}=\sin \left(x_{n-1}\right), n=1,2, \cdots \text { 且 } 0<x_{0}<\frac{\pi}{2} . $$ 证明： （1）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫且极限为 0 ． （2）试着求极限： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{\frac{n}{3}} \cdot x_{n}=1$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{t^{2 n+1}}{2^{n}(2 n+1)!} \mathrm{d} t-\frac{x^{2}}{2}}{x\left(\sqrt[3]{1+x}+e^{x}\right)}=$ $\_\_\_\_$ ．

1．（12 分）（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\sin ^{2} x}{x^{3}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sec ^{2} \frac{i \pi}{4}$ ．

一．计算题． （1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 x}-e^{x}+x^{2}}{\arcsin x-\sin x}$ ． （2）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\tan ^{2023} x} \mathrm{~d} x$ ．

1．解答如下问题： （1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{4}}\left[6+x^{2}-\frac{5}{6} x^{4}-6 \sqrt[3]{2-\cos x}\right]$ ． （2）求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．

10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0$ ．求极限 $$ \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^{4}} \iiint_{V} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}$ ．

一．求下列极限和积分． （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}+e^{2 x}+e^{3 x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{x}(1-x)^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

1．计算题． （1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[\left(x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}-x\right) e^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^{6}+1}\right]$ ． （2）求积分 $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\tan ^{2} x}{1+e^{-x}} \mathrm{~d} x$ ．

4．解答如下问题： （1）未知． （2）$\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1}, a_{1}=1, a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)$ ，证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．

一、（20 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right)^{\frac{1}{x}}$ 。

一、（20分，每小题 10 分）求下列极限： （1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{2}{n}+\frac{3}{n^{2}}+\frac{4}{n^{3}}\right)^{n}$ ； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{x}-\cot x\right)$ ．

1）$\forall n, f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 连续且有 $f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x)(x \in[a, b])$ ，

一、求下列极限（每小题 10 分，共 2 小题，共 20 分） （1）设 $\displaystyle |x|<1$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}(1+x)\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{4}\right) \cdots\left(1+x^{2^{n}}\right)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{1}{\ln x}-\frac{1}{x-1}\right)$ ．

一、求下列极限（每小题 10 分，共 2 小题，共 20 分） （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}$ （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \ln \left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]$ ．

1）$\forall n, f_{n}(x)$ 在 $[a, b]$ 连续且有 $f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x) \quad(x \in[a, b])$ ，

一、求下列极限（每小题 10 分，共 20 分） （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{x+1}-1}{\sqrt{x+1}-1}$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．

一、求下列极限（每小题10分，共20分） （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt[3]{x+1}-1}$ ； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}}\right)$（ $\displaystyle m, n$ 为自然数）。

一、求下列极限（每小题 10 分，共 20 分） （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1-\cos x^{2}}}{1-\cos x}$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots \ldots \ldots+\frac{1}{n+n}\right)$ ．

1． $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}\right)$ 。

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{n}+\left(\frac{x^{2}}{3}\right)^{n}}$ ．

1．设 $L$ 为上半圆周 $x^{2}+y^{2}=1, y \geq 0$ 。求 $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s$ 。

2．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x) \ln \cos \sqrt{x}}{3^{x^{2}}-2^{-x^{2}}}$ ．

5．设 $\Sigma$ 是椭球面 $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}+z^{2}=1$ 的上半部分，点 $P(x, y, z) \in \Sigma, \Pi$ 是 $\Sigma$ 在 $P$ 点的切平面，$\rho(x, y, z)$ 是 $O(0,0,0)$ 到平面 $\Pi$ 的距离，求第一型曲面积分 $\iint_{\Sigma} \frac{z}{\rho(x, y, x)} \mathrm{d} S$ ．

8．求 $f(x)=(1-x) \sqrt{|x|}$ 在 $(-1,1)$ 的极值点与极值．

5．$x \rightarrow x_{0}$ 时，$\alpha=o(1)$ ．证明：$(1+\alpha)^{\frac{1}{\alpha}}-e=-\frac{e}{2} \alpha+o(\alpha), x \rightarrow x_{0}$ ．

1．已知 $y=f(x, t)$ ，其中 $t$ 是由 $F(x, y, t)=0$ 确定的关于 $x, y$ 的隐函数，$f$ 和 $F$ 有连续的一阶偏导数，求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．

5．设 $a_{n} \neq 0, n=1,2, \cdots, \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(1-\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\right)=p>1$ ，证明：$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛．

3、证明：在 $(0,0)$ 的邻域内方程 $x-\cos \left(x^{2} y\right)+e^{x+y^{2}}=0$ 决定连续可微函数 $x=x(y)$ ，并证明在 $y=0$ 处取得极大值．

4．设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是正数列，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{n}^{n}}=\sup \left\{a_{n}\right\}$ ．

5．证明 $\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上不一致连续．

2．设 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 为区域，$u(x, y), v(x, y)$ 在 $D$ 上连续可微，且在 $D$ 上满足 $$ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}, u^{2}(x, y)+v^{2}(x, y)=2026 $$ 证明：$u(x, y), v(x, y)$ 在 $D$ 上是常数．

4．设 $f(x)$ 是 $\mathbb{R}$ 上以 $2 \pi$ 为周期的连续函数，定义 $$ f_{n}(x)=\frac{1}{a_{n}} \int_{-\pi}^{\pi} f(t)\left(\cos \frac{t-x}{2}\right)^{2 n} \mathrm{~d} t, x \in \mathbb{R}, n=1,2,3, \cdots $$ 其中 $a_{n}=\int_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2 n}\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{d} x, n=1,2, \cdots$ ，证明：函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致收敛于 $f(x)$ ．

6．（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\sin ^{2} x\right)-6(\sqrt[3]{2-\cos x}-1)}{x^{4}}$ ．

1．判断下述命题是否正确并给出理由． （1）设数列 $\left\{b_{n}-a_{n}\right\}$ 无界，数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛，则数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 无界． （2）设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ，且 $a_{n}$ 是集合 $A$ 的上界，则 $a$ 是集合 $A$ 的上界．

5．计算曲线积分 $\int_{C} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $C$ 是 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 从 $(2,0)$ 到 $(-2,0)$ 的一段曲线，取逆时针方向．

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k}$ ．

2．设 $x_{0} \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，且 $x_{n}=\sin x_{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}, \lim _{n \rightarrow \infty} n x_{n}^{2}$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{1}{x}}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．

1．计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}}(\tan x)^{\frac{1}{\cos x-\sin x}}$ ．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{3}\left[\sin \left(\tan \frac{1}{n}\right)-\sin \frac{1}{n}\right]$ ．

2． $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{(3 n)!}}{n^{3}}$ ．

3． $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{\ln ((n+1)!)}{n+1}-\frac{\ln (n!)}{n}\right) \sum_{k=1}^{n} \sqrt[k]{k^{2}+\sin k}\right]$ ．

4． $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{\cos x}\right) \tan x^{2}}{\int_{x^{2}}^{x} \ln \left(1+t^{3}\right) d t}$ ．

5． $\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} \ln (1+x) \mathrm{d} x$ ．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}-1}$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-(1+2 x)^{\frac{1}{2}}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}$ ．

8．求方程 $2 x^{2}+2 y^{2}+z^{2}+8 z y-z+8=0$ 所确定的隐函数 $z=z(x, y)$ 的极值．

1、求极限． （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(\frac{\pi}{2} \cos x\right)}{\sin (\sin x)}$ ． （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域存在连续的一阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在，求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}} $$

一、（15分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\cos x}{x \sin x}$ ．

1．函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点的偏导数是否存在；

一、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(\cos x+x \sin x)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．

1．（20 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} t \cos t \mathrm{~d} t-1+\cos x}{\sqrt{1+x \tan x}-\sqrt{1+x \sin x}}$ ．

1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\sec ^{2} x-2 \tan x}{1+\cos 4 x}$ ．

1、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

6、已知 $\displaystyle f(x, y)=\frac{1}{x y}, r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, k>1$ ，且 $$ D_{1}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x}{k}<y<k x\right.\right\}, D_{2}=\{(x, y) \mid x>0, y>0\} $$ 当 $\displaystyle i=1,2$ 时，分别判断 $\displaystyle \lim _{\substack{r \rightarrow+\infty \\(x, y) \in D_{i}}} f(x, y)$ 是否存在？为什么？

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}+2}\right)^{\frac{1}{n}}\left(1-\frac{1}{3^{2}+3}\right)^{\frac{1}{n}} \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}+n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

1、求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} \cdot \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ ．

2、求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．

一．（15 分）用函数极限的定义证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c}(c \neq 0)$ 。 $\displaystyle \therefore\left(15\right.$ 分）计算数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ 。 三（15 分）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a .+\infty)$ 上连续，且存在 $\displaystyle A, B \in R$ ，使 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。

七．（15 分）荐函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内问微且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} f^{\prime}(x)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+x} \frac{f(x)}{x}=0$ 。

十．（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z$ ，其中函数 $\displaystyle f(t)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续在 0 点右导数存在，且 $\displaystyle f(0)=0, f_{+}^{\prime}(0)=1$ 。

4．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $a$ 可导且 $\displaystyle f(a) \neq 0$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow s}\left[\frac{f\left(a+\frac{1}{n}\right)}{f(a)}\right]^{\prime \prime}$ 。

一．求极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{a}} \sum_{k=1}^{n} k^{a-1}, a>1 $$

九．（15 分）计算 $$ I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}+k} $$

四、应用定积分求极限： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k} \sin \left(\frac{k}{n}\right)$ ．

1．应用柯西准则证明 $\displaystyle \left\{1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right\}$ 收敛并求极限．

一、利用定积分计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^{2}+1}+\frac{1}{n^{2}+2^{2}}+\ldots+\frac{1}{2 n^{2}}\right)$ 。

八、 $\displaystyle \left(15\right.$ 分）求 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{x^{2} y^{2}}$ ．

1、（ 30 分）求极限 （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x+x^{2}}+\sqrt{1+x-2 x^{2}}-2 \sqrt{1+x}}{e^{\cos x-1}-1}$ ． （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin [(2 n+1) x]}{n^{2}}$ ．

一．（20 分）计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} \frac{e^{-\frac{(x-1)^{2}}{2}}-\cos (x-1)}{(x-1)^{2} \sqrt{2 x-x^{2}}}$ ．

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right], 0<\alpha<1$ ．

2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{n}{x}}, \quad a_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$ ．

1、 $\forall \varepsilon>0$ ，若 $f(x)$ 在 $[a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 一致连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 一致连续．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^{2-n}$ ．

4、求 $\lim _{(x, y) \rightarrow(-\infty,+\infty)}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{x \sin y}$

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^{2}\right)^{3}-\cos ^{2} x}{\tan x^{2}}$ ．

7．求积分 $$ I=\oint_{C}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x-\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y $$ 其中 $C$ 是从点 $A(1,1)$ 到点 $B(2,5)$ 再到点 $C(3,2)$ 最后到点 $A(1,1)$ 的三角形边界．

8．设 $a, b, c$ 为正常数，$S$ 为单位球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧，计算第二类曲面积分 $$ I=\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} $$

9．用 $\varepsilon-N$ 语言证明极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{(2 n)!}}=0$ ．

1．（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{2 k-1}{n^{2}}$ ．

2．（10 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan (\tan x)-\sin (\sin x)}{\left(2026^{x}-1\right) \ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．

七、计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \frac{e^{-x y}-1}{y^{2}} d x}{\ln (1+x)}$ ．

1、（15 分）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(1-x^{2}\right)^{\frac{1}{\ln (1-x)}}$ ．

一、（本题满分 10 分）计算数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right)^{\sqrt{n}}$ ．

二、（本题满分 10 分）计算函数极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}-\ln \left(1+x^{2}\right)}{x^{4}}$ ．

7．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2024^{n} n^{x}}$ 。

4、（30 分）计算题． （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ． （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3} \arctan (1+n)\left(1-\cos \frac{1}{n^{2}}\right)}{\sqrt{1+n^{2}}-n}$ ． （3） $\displaystyle \int \frac{d x}{2+\sin ^{2} x}$ ．

1．已知函数 $f(x)$ 在原点的邻域内二阶可导，且 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 3 x}{x^{3}}+\frac{f(x)}{x^{2}}\right)=0$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=($

4．幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}} x^{2 n-2}$ 的和函数为（ ），收敛区间为（ ）

1．极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\sin \left(\frac{n+1}{2 n} \pi\right)+\sin \left(\frac{n+2}{2 n} \pi\right)+\cdots+\sin \pi\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

2．极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} t \sin t \mathrm{~d} t}{\sin x-\tan x}=$ $\_\_\_\_$ ．

5． $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x)^{2}\left(1+x^{2024}\right)} \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

1．计算广义积分 $\int_{0}^{+\infty} e^{-2 x}|\sin x| d x$ ．

4．设 $\displaystyle x_{n}=(1+\alpha)\left(1+\alpha^{2}\right)\left(1+\alpha^{4}\right) \cdots\left(1+\alpha^{2^{n}}\right),|\alpha|<1$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$

8． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\cos \frac{\pi}{4 n}+\cos \frac{3 \pi}{4 n}+\cdots+\cos \frac{(2 n-1) \pi}{4 n}}{\sqrt{n^{2}+n+1}}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

1．极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{2}} \ln \frac{\sin x}{x}=$ $\_\_\_\_$ ．

5．曲面 $x=\sqrt{2 y^{2}+3 z^{2}-4}$ 上垂直于直线 $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z}{3}$ 的切平面方程为 $\_\_\_\_$ ．

一．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[m]{x^{m}+x^{m-1}}-\sqrt[m]{x^{m}-x^{m-1}}\right)$ ，其中 $\displaystyle m>1$ ．

六．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．

7．（14 分）解答如下问题： （1）用定义证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sin n$ 不存在． （2）证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 极限存在，其中 $$ x_{n}=\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right) \cdots\left(1-\frac{1}{(n+1)^{2}}\right)=\prod_{k=1}^{n}\left(1-\frac{1}{(k+1)^{2}}\right), n=1,2, \cdots $$ 并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

2．$f(x)=x^{2} \sin x$ 在 $0 \leq x<+\infty$ 上是否一致连续？给出证明．

2．函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, x \geq 0 \\ x-2, x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处的连续情况是 A．不连续 B．左连续但不右连续 C．右连续但不左连续 D．左连续且右连续

1．（15 分）计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right)^{n}$ ．

6．（15 分）证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(n x \mathrm{e}^{-n x}-(n-1) x \mathrm{e}^{(n-1) x}\right)$ 在 $[0,1]$ 收敛但不一致收敛且在该区间连续．

1．证明： $\int_{0}^{\pi}\left(x-\frac{\pi}{2}\right) f\left(\frac{\pi}{2}-x\right) d x=0$ ．（4 分）

1、求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n^{2}+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n^{2}+2}+\cdots+\frac{\sin \pi}{n^{2}+n}$ ．

2、求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+\tan ^{2} x}-\sqrt{\cos x}}{x \sin x}$ ．

1、设 $x_{n}>0, \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=1$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_{i}}=$ $\_\_\_\_$ ．

6．已知 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}x y \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}+\left.\frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}\right|_{(0,0)}= $$ $\_\_\_\_$ ．

1．（16 分）求极限： （1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\ln (n+\pi)-\ln n}-\frac{n}{\pi}\right)$ ． （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x^{2}}(x-t)(1-\cos \sqrt{t}) \mathrm{d} t}{\int_{0}^{x} \tan ^{4} t \sec t \mathrm{~d} t}$ ．

二．（ 12 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^{2} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\right]$ ．

4．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．

1．（20分）求下列极限． （1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)^{\frac{1}{n}}$ ． （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(5+\sin x)^{x}-5^{x}}{\tan ^{2} x}$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-\arctan x}{x^{3}}$ ．

二．（15 分）设 $\displaystyle a_{1}=1$ ，且当 $\displaystyle n \geq 2$ 时，$\displaystyle a_{n}=\frac{1}{2}\left(a_{n-1}+\frac{5}{a_{n-1}}\right)$ ．证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收玫，并求极限．

9．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)<0<f(1)$ ，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) \mathbf{>} \mathbf{0}$ ． （1）证明：存在唯一的 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle f(\xi)=0$ ． （2）记 $\displaystyle x_{1}=1, x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=\xi$ ． （3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{x_{n+1}-\xi}{\left(x_{n}-\xi\right)^{2}}$ ．

1．（ 20 分）解答如下问题： （1）计算极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (n x)-n \sin x}{n^{3} x^{3}}$ ． （2）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}(1+x)^{\frac{1}{x}}, & x \neq 0, \\ e, & x=0 .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle f^{\prime}(0)$ ．

1．写出基本数列（Cauchy 数列）的定义．

1．当 $p=0$ 时，求 $I_{p}$ 的敛散性．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(3^{\frac{1}{n}}-3^{\frac{1}{n+1}}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

4、 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left[(1+x)^{2}-e\right]}{1-\cos x}=$ $\_\_\_\_$ ．

1．设 $x_{n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}, n \in \mathbb{Z}^{+}$，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

2．设 $f(x)$ 在区间 $(0,2)$ 上可导，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=0, f^{\prime \prime}(1)=2$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x f^{\prime}(x)}{x f^{\prime}(x)-f(x)}$ ．

3．设 $x_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{2}(n x)}{\sin x} \mathrm{~d} x, n \in \mathbb{Z}^{+}$，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{\ln n}$ ．

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\arctan \frac{2026}{n}-\arctan \frac{2026}{n+1}\right)$ ．

2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=x_{0}$ 处可导． （1）记 $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{0}+\frac{1}{n^{2}}\right)+f\left(x_{0}+\frac{2}{n^{2}}\right)+\cdots+f\left(x_{0}+\frac{n}{n^{2}}\right)-n f\left(x_{0}\right)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{1}{2} f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ． （2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^{2}}+\sin \frac{2}{n^{2}}+\cdots+\sin \frac{n}{n^{2}}\right)$ ． （3）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}}\right)\left(1+\frac{2}{n^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n^{2}}\right)$ ．

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{k \pi}{n}}{n+\frac{k}{n}}$ ．

17．设 $a_{n} \neq 0(n=1,2, \cdots)$ ，对级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 加括号得到 $$ \left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n_{1}}\right)+\left(a_{n_{1}+1}+a_{n_{1}+2}+\cdots+a_{n_{2}}\right)+\cdots+\left(a_{n_{k-1}+1}+a_{n_{k-1}+2}+\cdots+a_{n_{k}}\right)+\cdots . $$ 其中每个括号内的 $a_{n}$ 具有相同的符号，相邻括号内 $a_{n}$ 的符号不同．记 $n_{0}=0$ ，且 $$ b_{k}=\sum_{j=n_{k-1}+1}^{n_{k}} a_{j}(k=1,2, \cdots) . $$ （1）证明：$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 具有相同的玫散性． （2）证明：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n}$ 是收敛的，其中 $[x]$ 是取整函数，表示不超过 $x$ 的最大整数．

一．计算下列各题（30 分） （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ （2）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e-(1+x)^{\frac{1}{x}}}{x}$ （3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处可导，求 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h^{4}\right)-f\left(x_{0}\right)}{1-\cos \left(h^{2}\right)}$ ． （4） $\displaystyle \int\left(\ln \ln x+\frac{1}{\ln x}\right) d x$ ． （5）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{x}^{x+2010} \sin t^{2} d t$

1）对任意自然数 $n$ ，方程 $f_{n}(x)=1$ 在 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 内有且仅有一个解；

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x$ ，

一、（15 分）设 $\displaystyle a_{0}=1, a_{n}=\sin a_{n-1}(n=1,2, \cdots)$ ，求（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ；（2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n a_{n}^{2}}$ ．

三、（15分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导， （1）若 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f((1-\cos x) \ln (1+x))}{\left(e^{x}-1\right) \sin x^{2}}$ ， （2）若 $\displaystyle f(0)>0$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f\left(\frac{1}{n}\right)}{f(0)}\right)^{n}$ ．

二、（15分）设 $\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 为 $k$ 个正数． （1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{1}^{\frac{1}{n}}+a_{2}^{\frac{1}{n}}+\cdots+a_{k}^{\frac{1}{n}}}{k}\right)^{n}$ ． （2）令 $\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{k}^{x}}{k}\right)^{\frac{1}{x}}$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0+} f(x)$ 。

1．设 $$ a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}+n+k}, $$ 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ；

1．给出函数 $s(x)$ 的连续范围；

1．$f_{n}, n=1.2 \cdots$ ，和 $f$ 在 $(a, b)$ 上可导；

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}+\cdots+\sqrt[n]{n}}{n}$ ；

2． $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\sin x)^{\frac{1}{1+\ln x}}$ ；

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1-\frac{1}{n}}$ ：

1．设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足条件： $0<a_{1}<1, a_{n+1}=a_{n}\left(1-a_{n}\right), n \in N_{+}$，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ 。

1．设函数 $u=f(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，证明其梯度场是无旋场。

1．设 $f, g \in C[a, b]$ ，且 $f, g$ 在 $(a, b)$ 内可导，证明存在 $\xi \in(a, b)$ ，成立下列等式 $[f(b)-f(a)] g^{\prime}(\xi)=[g(b)-g(a)] f^{\prime}(\xi)$ 。

2．设 $\alpha>0$ ，证明 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-y x} x^{3} \cos x d x$ 在闭区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续。

一、（15分）计算下列极限 （1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right] \quad(0<\alpha<1)$ ； （2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \times \sqrt{\cos 2 x}}{x^{2}}$ ； （3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n+\frac{1}{2}}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n+\frac{1}{n}}{n^{2}+n^{2}}\right)$ ．

1．设 $x_{n}=\frac{1}{3^{\ln n}}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ ．

2． $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}}{e}\right]^{\frac{1}{x}}$ ．

3．设 $a_{n}=\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^{n}} d x$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ ．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

四、（15 分）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{n+1}=\frac{1}{2+x_{n}}(n=1,2,3, \cdots)$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ．

1、求极限： $\lim _{x \rightarrow 0}\left(e^{x}-\sin x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}$ ．

2、求不定积分： $\int x \cos ^{2} x \mathrm{~d} x$ ．

1、证明：存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi) \mid \geq M$ ．

1、叙述实数系完备性中的确定原理与闭区间套定理．

一、计算题。（每题 5 分，共 20 分） （1）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)$ ． （2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}\left[f(x)-f^{\prime}(x)\right]=2023$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ ． （3）求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x,(a>0)$ ． （4）交换积分顺序 $$ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y . $$

二、（15 分）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫于 $a$ 。 （1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+\cdots+n \cdot a_{n}}{n}=0$ ． （2）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n a_{1}+(n-1) a_{2}+(n-2) a_{3}+\cdots+1 \cdot a_{n}}{n}$ ．

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{(n+1)\left(1+\frac{1}{n}\right)}+\frac{1}{\left(n+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)}+\cdots+\frac{1}{\left(n+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{n}{n}\right)}\right]$ ．

3．$f(x, y)=x^{y}$ ，求 $f$ 所有一阶、二阶偏导数，并求在点 $(1,4)$ 处到二阶的泰勒公式．（任何余项皆可）

4．求定积分 $\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x d x$ ．

2、求不定积分 $\int \frac{\arctan x}{x^{2}\left(1+x^{2}\right)} d x$ ．

5、求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{4 n+1}$ 的和函数．

1．计算题 $\displaystyle \left(10^{\prime} \times 5=50^{\prime}\right)$ （1）求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\tan (\tan x)-\tan x] \cdot \tan x}{x^{4}} $$ （2）求极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\ln \left(2+\frac{1}{n}\right)}{n+1}+\frac{\ln \left(2+\frac{2}{n}\right)}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\ln \left(2+\frac{n}{n}\right)}{n+\frac{1}{n}}\right) . $$ （3）将 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 展开成关于 $x$ 的幂级数． （4）设隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle 3 x-x^{3}+2=y^{3}+3 y$ 确定，求 $\displaystyle y(x)$ 的极值． （5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x)=f(x+2 \pi)$ 且 $\displaystyle f(x)=|\sin x|,-\pi \leq x<\pi$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数展开式。

1．求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{2}{x^{2}}-\frac{2}{x^{3}} \ln \frac{2+x}{2-x}\right) $$

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a^{\frac{1}{n}}-1\right) \sum_{i=0}^{n-1} a^{\frac{i}{n}} \sin \left(a^{\frac{2 i+1}{2 n}}\right)$ ，其中 $a>1$ ．

2．若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有界且连续，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．

3． $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x$.

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^{2}-\sqrt{1+x^{2}}}{\left(\cos x-e^{x^{2}}\right) \sin x^{2}}$ ．

5．已知余元公式 $\Gamma(\alpha) \Gamma(1-\alpha)=\frac{\pi}{\sin \alpha \pi}(\alpha \in(0,1))$ ，计算 $$ \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{4}}} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}} \mathrm{~d} x $$

1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^{3}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2 \sqrt{x})$ ．

1．计算题 （1）计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\left(x^{3}-x^{2}+\frac{x}{2}\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^{6}+1}\right]$ ． （2）将 $\displaystyle f(x)=\sin x, x \in[0, \pi]$ 展开成余弦级数． （3）计算曲线 $\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$ （4）计算二重积分 $\displaystyle \iint \mathrm{e}^{\frac{y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $D$ 为 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域。 （5）计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，方向外侧。

1、设 $D=\{(x, y):|x| \leq R,|y| \leq R\}$ ，求极限 $$ I=\lim _{R \rightarrow+\infty} \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$

一．计算题． （1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} x^{-4}\left(\cos x-e^{-\frac{x^{2}}{2}}\right)$ ． （2）求由 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=x+y$ 所围成的立体图形的体积． （3）计算曲面积分 $$ \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $S$ 是由 $\displaystyle z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围立体的表面，取外侧为正向．

一．（15 分）解答题． （1）证明：$\displaystyle \left|e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right|<\frac{3}{n}, n \in \mathbb{N}^{+}$． （2）设非负数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{n+m} \leq a_{n}+a_{m}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{n}=\inf \left\{\frac{a_{n}}{n}\right\}$ ． （3）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(\int_{0}^{x} e^{t^{2}} \mathrm{~d} t\right)^{2}}{\int_{0}^{x} e^{2 t^{2}} \mathrm{~d} t}$ ．

四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(\sqrt[n]{x}) \mathrm{d} x$ ．

1、计算下列极限． （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ ． （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n^{4}}\left(1+2^{3}+\cdots+n^{3}\right)$ ．

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2}+k}$ ．