函数与极限-无穷小与无穷大

一、（15分）叙述数列的柯西收敛准则，并用柯西收敛准则证明数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛， 其中 $\displaystyle a_{n}=\frac{\cos ^{1} 1}{1^{1}}+\frac{\cos ^{2} 2}{2^{2}}+\frac{\cos ^{3} 3}{3^{3}}+\cdots+\frac{\cos ^{n} n}{n^{n}}$ ．

六．（15分）叙述 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)$ 存在且有限的柯西收敛准则并证明．

十四、（本题满分 10 分）回答下列问题： （1）利用柯西收敛准则证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 发散； （2）试证明级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n)!}{e^{n!}}$ 收玫。

15．设 $\alpha>0$ ． （1）证明：反常积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2} y^{2}\right) x^{\alpha}}$ 关于 $y$ 在 $(0,+\infty)$ 上内闭一致收敛． （2）证明：$I(y)=\int_{1}^{+\infty} \frac{\arctan (x y)}{x^{\alpha+1}} \mathrm{~d} x$ 是 $(0,+\infty)$ 上的可导函数，且满足方程 $$ I^{\prime}(y)-\alpha I(y)+\arctan y=0 $$