函数与极限-极限存在准则

15．已知 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$ ． （1）若 $A>0$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ． （2）若 $A=0$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．

八，（15 分）计算 $\displaystyle I=\int_{L}\left[e^{x} \sin y-3(x+y)\right] d x+\left(e^{x} \cos y-x\right) d y, L$ 为从 $\displaystyle O(2,0)$ 沿着曲线 $\displaystyle y=\sqrt{2 x-x^{2}}$ 到 $\displaystyle A(0,0)$ 的弧．

1．$f(x)$ 在 $x=0$ 的任意邻域上无界，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷大．

3．设 $\displaystyle a>0$ ，计算曲线积分 $$ I=\int_{L}\left(e^{x} \sin y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+e^{x} \cos y \mathrm{~d} y $$ $L$ 是从 $\displaystyle A(a, 0)$ 到 $\displaystyle O(0,0)$ 的上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x$ ．

三．（15分）设 $\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是严格单调增加的正无穷大量，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}-x_{n-1}}{y_{n}-y_{n-1}}=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=0$ ．

4．空间曲面 $x y+e^{z}-z=3$ 在点 $(2,1,0)$ 处的切平面方程为 $\_\_\_\_$ ．

2．（1）证明：不等式成立 $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$ ． （2）证明：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 极限存在，其中 $$ a_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n . $$

3．计算 $\int_{L} x d y+y d x$ ，其中 $L:$ 沿抛物线 $y=2 x^{2}$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ ．

5．证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在区间 $[a, b]$ 上一致收敛．

3．求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x+y-z=2 ; \\ z^{2}=x^{2}+y^{2}\end{array}\right.$ 上距离原点最近的点．

2、设 $\varphi(x)=\int_{\sin x}^{\cos x} e^{t^{2}+x t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\varphi^{\prime}(0)$ ．

1、若数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 无界，但不是无穷大，证明：存在两子列一个为无穷大，一个有界。

2、设 $f(x)=x^{2} e^{x}$ ，则 $f^{(10)}(0)=$ $\_\_\_\_$

2．已知 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是无界数列，但不是无穷大量．证明：$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 存在两个子列，一个是收敛数列，另一个是无穷大量．

13．计算曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} $$ 其中 $\Sigma$ 是曲面 $9-z=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}}(z \geq 0)$ ，方向取上侧．

九、（15 分）设 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}, \sigma_{n}=\frac{S_{0}+S_{1}+\cdots+S_{n-1}}{n}$ ． 证明：（1）．若 $\displaystyle \left\{\sigma_{n}\right\}$ 收敛；则 $\displaystyle \sigma_{n}=o(n)$ ，（当 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时）． （2）．若 $\displaystyle \left\{\sigma_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 在 $\displaystyle (-1,+1)$ 内绝对收敛，且 $$ f(x)=(1-x)^{2} \sum_{n=0}^{\infty}(n+1) \sigma_{n+1} x^{n}, x \in(-1,1) $$

1．设函数 $u=f(x, y, z)$ 具有二阶连续偏导数，证明其梯度场是无旋场。

八、（15 分）设平面薄板为区域 $D$ ，其中 $D$ 由坐标轴及曲线 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 围成，平面薄板的密度函数 $\displaystyle \rho(x, y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ ．求此平面薄板的质量．

二．解答如下问题： （1）设 $L$ 为常数，$\displaystyle \left\{y_{n}\right\}$ 是严格递增的正无穷大数列，且与数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 一起满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}=L$ ．证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}=L$ ． （2）设 $\displaystyle a_{1}=\sin a>0, a_{n+1}=\sin a_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n a_{n}^{2}}=\frac{1}{3}$ ．