函数与极限-连续与间断

九．函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛于 $\displaystyle f(x)$ ． （1）假设每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 一致收玫，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续． （2）假设每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 一致收敛，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积． （3）假设每个 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，存在常数 $\displaystyle M>0$ ，对任意的 $x$ 和正整数 $n$ ，都有 $\displaystyle \left|f_{n}^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．

五．已知三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的二阶偏导数，设 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中光滑简单封闭曲面的全体为 $\displaystyle \Sigma$ ，对于 $\displaystyle S \in \Sigma$ ，用 $\displaystyle \mathbf{n}$ 表示 $S$ 的外法线单位方向向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \mathbf{n}$ 的方向导数． （1）证明：$f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0 \text { (即 } f \text { 为 } \mathbb{R}^{3} \text { 上的调和函数) } $$ 当且仅当 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S=0(\forall S \in \Sigma)$ ． （2）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的调和函数，$\displaystyle S \in \Sigma$ ，且 $S$ 围成的有界闭区域记作 $V$ ．证明： $$ f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{S}\left(f \frac{\cos (\mathbf{r}, \mathbf{n})}{|\mathbf{r}|^{2}}+\frac{1}{|\mathbf{r}|} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为 $V$ 内部的一个定点， $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right),(\mathbf{r}, \mathbf{n})$ 表示两向量的夹角，$\displaystyle |\mathbf{r}|$表示向量 $\displaystyle \mathbf{r}$ 的模长． （3）若函数 $f$ 和闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数 $g$ 在单位球 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=g\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) . $$ 证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{0}^{1} \sqrt{t}(t-1) g(t) \mathrm{d} t$ ．

八．若函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 都在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上二阶可导，并且它们在 $\displaystyle (a, b)$ 内有相等的最大值，$\displaystyle f(a)=g(a), f(b)=g(b)$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．

六．判断下列四个命题的正误．正确的，请给出证明；错误的，需举出反例． （1）若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ ． （2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续． （3）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点关于 $x$ 和 $y$ 都不存在偏导数，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 沿 $x$ 轴的方向导数必不存在． （4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且只存在有限个不连续点，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积．

八、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的实值黎曼可积函数，给定区间 $\displaystyle I \subset[-\pi, \pi], I$ 上的特征函数定义为：$\displaystyle \chi_{I}(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in I \\ 0, x \notin I\end{array}\right.$ ．如果 $\displaystyle I_{1}, I_{2}, \cdots, I_{N}$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 中两两不交的子空间，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{N}$ 均为常数，且 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{N} I_{k}=[-\pi, \pi]$ ，那么我们称有限线性组合 $$ a_{1} \chi_{I_{1}}+a_{2} \chi_{I_{2}}+\cdots+a_{N} \chi_{I_{N}} $$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数． （1）证明：对 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 和 $\displaystyle \psi(x)$ ，使得 $$ \varphi(x) \leq f(x) \leq \psi(x), x \in[-\pi, \pi] . $$ 并且 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|\varphi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon, \int_{-\pi}^{\pi}|\psi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon$. （2）利用（1）中的结论证明： $$ \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (p x) \mathrm{d} x=\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (p x) \mathrm{d} x=0 $$ （3）将 $\displaystyle f(x)$ 延拓为 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的周期函数，延拓之后的函数仍记为 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数的部分和 $\displaystyle S_{n}(x)$ 可以写成 $$ S_{n}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin \left(\frac{2 n+1}{2} t\right)}{2 \sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots $$ （4）在第（3）小题的条件下，再假设 $\displaystyle x_{0} \in(-\pi, \pi)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$上的唯一间断点，且存在极限 $\displaystyle A=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x), B=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$ ， $$ \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-A}{x-x_{0}}, \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-B}{x-x_{0}} $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}\left(x_{0}\right)=\frac{A+B}{2}$ ．

六、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{D}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中由光滑简单封闭曲线 $\displaystyle \mathbf{C}$ 所围成的闭区域，二元函数 $f$ 和 $g$ 在 $D$ 上具有连续的二阶偏导数，记作：$\displaystyle \Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$ ． （1）证明： $$ \iint_{D}(g \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{C} g \xrightarrow[\partial \vec{n}]{\partial f} \mathrm{~d} s-\iint_{D}[\operatorname{grad}(f) \cdot \operatorname{grad}(g)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \vec{n}$ 为曲线 $C$ 的外法单位向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \vec{n}$ 方向的方向导数，向量 $$ \operatorname{grad}(f)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right), \operatorname{grad}(g)=\left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right) $$ （2）证明：若 $f$ 在曲线 $C$ 上满足 $\displaystyle f \equiv 0$ ，则 $$ \iint_{D}\left(|f|^{2}+|\Delta f|^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geq 2 \iint_{D}|\operatorname{grad}(f)|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y . $$

四、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的一阶导函数，证明： （1）对 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，有 $\displaystyle |f(x)| \leq \int_{0}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ． （2）$\displaystyle \left|f\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leq \int_{0}^{1}|f(t)| \mathrm{d} t+\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t$ ．

七、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a)<f(b)$ ，证明：存在 $\displaystyle [c, d] \subseteq[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [c, d]$ 上最小值为 $\displaystyle f(a)$ ，最大值为 $\displaystyle f(b)$ ．八、（10 分）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是一个收敛的正项级数，令 $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}|\sin n x| $$ 已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上利普希兹连续，即存在常数 $\displaystyle \mathbf{L}>\mathbf{0}$ ，使得对任意实数 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y}$ ，都有 $$ |f(x)-f(y)| \leq L|x-y|, $$ 证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫。

2、（25 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处连续，在 $\displaystyle x_{0}$ 的去心邻域内二阶可导且二阶导函数有界，证明：$\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处左右导数都存在．

3、（25 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A, ~ g(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$上可积，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(n x) g(x) \mathrm{d} x=A \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x$ ．

5、（20 分）设定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，对任意满足 $\displaystyle a_{n}<0<b_{n}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=\lim _{n \rightarrow+\infty} b_{n}=0$ 的点列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{f\left(b_{n}\right)-f\left(a_{n}\right)}{b_{n}-a_{n}^{-} \text {都存在，证明：函数 } f(x) \text { 在 } x=0 \text { 处可微．}}$

3、设 $\displaystyle \Omega$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中的有界区域，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上连续，且满足：对任意包含于 $\displaystyle \Omega$ 的开集 $U$ ，象集 $\displaystyle f(U)=\{f(x) \mid x \in U\}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{1}$ 中的开集，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上的最大值必在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 的边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 上取得，即 $\displaystyle \max _{x \in \bar{\Omega}} f(x)=\max _{x \in \overline{\partial \Omega}} f(x)$ ．

4、令 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n \ln n)^{x}}$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上连续可微．

1．设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 是 $k$ 个正数，证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{k}^{n}}=\max \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right) $$ ．2．用一致连续的定义证明：若 $f, g$ 都在区间 $I$ 上一致连续，则 $f+g$ 在 $I$ 上也一致连续．

7、设 $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，其中 $z=f(x, y)$ 是由方程 $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z$所确定的隐函数，求 $u_{x}^{\prime}$ 及 $u_{x x}^{\prime \prime}$ ．

4．设函数 $f(x)$ 连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, g(x)=\int_{0}^{1} f(x t) \mathrm{d} t$ ，求 $g^{\prime}(x)$ ，并讨论 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处是否连续。

三．（15 分）利用确界原理证明定义在闭区间上的连续函数必然是有界的．

九．（10 分）设 $\displaystyle F(x), G(x)$ 连续可微，且 $\displaystyle F(0)=F(4), G(0)=G(4)$ ．区域 $D$ 由 $\displaystyle y=x, y=4 x, x y=1, x y=4$围成，其边界 $\displaystyle \partial D$ 取逆时针方向．计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{\partial D} \frac{F(x y)}{x} \mathrm{~d} x+\frac{G(x y)}{y} \mathrm{~d} y$ ．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且对任何 $\displaystyle x \in(0,1)$ ，有 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明：对任何正整数 $n$ ，有 $$ \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leq \frac{M}{n} $$ 其中 $M$ 是一个与 $x$ 无关的常数．

八．（15 分）设 $\displaystyle a, b$ 为正常数，函数 $\displaystyle f(u)$ 连续可微，$S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=8-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的表面，方向取外侧．计算第二型曲面积分 $$ I=\iint_{S} \frac{2}{b+y} f\left(\frac{a+x}{(b+y)^{2}}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{a+x} f\left(\frac{a+x}{(b+y)^{2}}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$

六．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有定义，对任意的 $\displaystyle b>0, f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=a$ ．若 $\displaystyle \varphi(t)$在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \varphi(t) \mathrm{d} t=1$ ．证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \int_{0}^{+\infty} \varphi(t x) f(x) \mathrm{d} x=a$ ．

七．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在单位圆 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 上有连续的偏导数，且 $\displaystyle f(0,1)=f(1,0)$ ，证明：在单位圆上至少有两点满足方程 $\displaystyle y \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)=x \frac{\partial}{\partial y} f(x, y)$ ．

八．（15 分）设 $\displaystyle \Omega$ 是不含原点的有界闭区域，其体积为 $V$ ，其边界 $S$ 为光滑的简单闭曲面，$\displaystyle n= (\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为 $S$ 上点 $\displaystyle P(x, y, z)$ 处的单位外法向量． $\displaystyle \mathbf{r}=(x, y, z),(\mathbf{n}, \mathbf{r})$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 与 $\displaystyle \mathbf{r}$ 的夹角， $\displaystyle f(t)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续可微函数，且满足 $\displaystyle t f^{\prime}(t)+2 f(t)-t=0$ ，计算积分 $$ \iint_{S} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \cos (n, r) \mathrm{d} S $$

六．（15 分）若 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，对任意正整数 $n$ ，令 $\displaystyle x_{i}=a+\frac{b-a}{n} i, i=1,2, \cdots, n$ ，记 $$ A_{n}=\frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(x_{i}\right)-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x, n=1,2, \cdots $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n A_{n}=\frac{b-a}{2}[f(b)-f(a)]$ ．

二．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可微， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$（ $A$ 为常数），证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=A$ ．

八、若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-g(x))=0 . $$ 证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内一致连续的充要条件是 $\displaystyle g(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内一致连续．

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且 $$ f^{2}(1)-f^{2}(0)=2026 $$ 证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) f(\xi)=2026 \xi$ ．

四．（15 分）设 $\displaystyle k(x, y) \in C([0,1] \times[0,1]), f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上可积，且 $$ h(x)=\int_{0}^{x} f(y) k(x, y) \mathrm{d} y $$ 证明：$\displaystyle h(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续．

6．已知函数 $f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_{0}^{1} x(f(x)+1) \mathrm{d} x$ ．

11．设 $F(\theta)=\int_{0}^{\pi} \ln (1-\theta \cos x) \mathrm{d} x, \theta \in(-1,1)$ ． （1）求 $F^{\prime}(\theta)$ ． （2）求 $F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 的值．

三，（10 分）在 $\displaystyle [a, b]$ 上仅有第一类间断点的函数必有界．

二，（15 分）证明：$\displaystyle x+x^{3}+x^{5}+\cdots+x^{2 n-1}=1$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且严格单调递增．

八，设 $\displaystyle f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{c}(x+y+z)^{p} \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 0\right) \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=0\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle p \in N^{+}$，证明 $\displaystyle p>0$ 时，$\displaystyle f(x, y, z)$ 在原点处连续．

十一，（10 分）求 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(\left(1-x^{2}\right) y\right)}{y} d y$ 间断点的类型．

4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上连续，且 $$ \int_{a}^{b} x^{k} f(x) d x=0 \quad(k=0,1, \cdots, n), $$ 证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内至少有 $\displaystyle n+1$ 个不同零点．（15 分）

6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上连续，令 $$ f_{1}(x)=f(x), f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t, x \in[a, b], n=1,2, \cdots $$ 证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．（15 分）

7．举一个二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 使之满足在某点对每一个自变量都连续，但在该点不连续，并给予证明．（10 分）

1．设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (0,1)$ 上的凸函数． 证明（1）对任意 $\displaystyle x, y \in(0,1), x<y$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(x, y)$ ，使得 $\displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq f_{-}^{\prime}(\xi)$ ； （2）$\displaystyle f(x)$ 的左导数为左连续的，即对任意 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ ，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f_{-}^{\prime}(x)=f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ．

10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明 （1）存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=1-\xi$ ； （2）存在两个互异的点 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}\left(\eta_{1}\right) f^{\prime}\left(\eta_{2}\right)=1$

2．设 $\displaystyle F(x, y)$ 在以 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为中心的矩形区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 . y=f(x)$ 为 $\displaystyle F(x, y)=0$ 所确定的隐函数．证明：当 $\displaystyle F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $\displaystyle F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 同号时，$\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处取得极大值 $\displaystyle y_{0}$ ．

三，（15 分）$\displaystyle f(x)$ 有连续导数，$\displaystyle f(1)=-\frac{1}{2}, z=f\left(e^{x} y^{2}\right)$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=z^{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x>0$ 的表达式．

二，（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 连续， $\displaystyle \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x=0, \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \sin x d x=0$ ．证明：$\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上至少有两个不同的零点．

10．设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上具有二阶连续偏导数，证明： $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) d \sigma=\oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} d s$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是 $\displaystyle u(x, y)$ 沿着 $\displaystyle \partial D$ 外法线方向 $n$ 的方向导数．

2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $R$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 单调，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $R$ 上连续．

3．设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续凸函数，证明： $$ f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} $$

4．设 $\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上严格单调递增且连续，$\displaystyle f(0)=0, x=f^{-1}(y)$ 为 $\displaystyle y=f(x)$的反函数，$\displaystyle a \in R^{+}$，证明：$\displaystyle a f(a)=\int_{0}^{a} f(x) d x+\int_{0}^{f(a)} f^{-1}(y) d y$ ．

7．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，不可微，且沿任意方向的方向导数都存在。

七、（15 分）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且每一项都连续，则 $$ \int_{a}^{b} \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x $$

八、（15 分）证明：曲面 $\displaystyle F\left(\frac{z}{y}, \frac{x}{z}, \frac{y}{x}\right)=0$ 的切平面过定点，其中 $F$ 具有连续偏导数．

2．设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上具有二阶连续偏导数，并且满足 $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 $$ 若 $\displaystyle u(x, 2 x)=x, u_{x}^{\prime}(x, 2 x)=x^{2}$ ，求 $\displaystyle u_{x x}^{\prime \prime}(x, 2 x), u_{x y}^{\prime \prime}(x, 2 x), u_{y y}^{\prime \prime}(x, 2 x)$ ．

4．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ，且 $\displaystyle 0<f(x)<x, x \in(0, a)$ ，任取 $\displaystyle x_{1} \in(0, a)$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 都收敛。

7．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有界的连续函数，若存在正常数 $a$ ，使得 $$ f(x)+a \int_{x-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t $$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的常值函数，证明：$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的常值函数．

4．求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+2}}{(n+1)(2 n+1)}$ 的收敛域及和函数．

六．（15 分）取 $\displaystyle u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, v=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$ 为新的自变量，变换方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ，其中所涉及的各阶导数均存在且连续．

四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数，证明：$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件是对任意不同实数 $\displaystyle a, b$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．

五、（16 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有连续导数，求积分 $$ I=\int_{L}^{1+y^{2} f(x y)} \frac{\mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right] \mathrm{d} y,}{y} $$ 其中 $L$ 是从点 $\displaystyle A\left(3, \frac{2}{3}\right)$ 到点 $\displaystyle B(1,2)$ 的直线段．

八、（16 分）设函数 $\displaystyle \varphi(x), \psi(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle \varphi(a)=\varphi(b)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle \varphi^{\prime}(\xi)+\varphi(\xi) \psi^{\prime}(\xi)=0$ 。

三、（16 分）函数 $\displaystyle f:[a, b] \rightarrow[a, b]$ 上连续，$\displaystyle |f(x)-f(y)| \unlhd x-y \mid, \forall x, y \in[a, b]$ ， $\displaystyle \forall x_{1} \in[a, b]$ ，定义 $\displaystyle x_{n+1}=\frac{1}{3}\left[2 x_{n}+f\left(x_{n}\right)\right]$ ，证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 上某点 $z$ ，且 $\displaystyle f(z)=z$.

九、（20 分）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (0,1)$ 上的数列，$\displaystyle a_{i} \neq a_{j}(i \neq j)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-a_{n}\right)}{2 n}$ 在 $\displaystyle (0,1)$上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1) \mid\left\{a_{n}\right\}, n=1,2 \cdots$ 上每个点都连续，在 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, n=1,2 \cdots$ 上每点处不连续．

五、（20 分）$\displaystyle z=z(x, y)$ 的连续偏导数，若 $\displaystyle \left(x z_{x}\right)^{2}+\left(y z_{y}\right)^{2}=z^{2} z_{x} z_{y}$ ，其中 $\displaystyle x=u e^{w}$ ， $\displaystyle y=v e^{w}, z=\omega e^{w}$ ，若 $\displaystyle 1+u w_{u}+v w_{v} \neq 0$ ，求 $\displaystyle w=w(u, v)$ 的方程．

八、 $\displaystyle (16$ 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 可微，$\displaystyle f(a)=0$ ，则 $\displaystyle \forall x \in(a, b), f(x)>0$对任意自然数 $\displaystyle m, n$ ，存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle \frac{n f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{m f^{\prime}(\eta)}{f(\eta)}$ ．

1．用＂$\varepsilon-\delta$＂语言叙述函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处连续的定义，并证明：$f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $(0,1)$ 上连续．

五．已知二元函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases} $$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、可微性以及其偏导数的连续性．

2． $\int_{0}^{\pi} \frac{|\cos x|}{\sin x+|\cos x|} d x$ ．

1．讨论 $\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{m} \arctan x}{1+x^{n}} \mathrm{~d} x(n>0)$ 的收敛性；

三．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，证明： （1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界； （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有最大值或最小值； （3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

二．（1）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数，证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) d x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) d x$ ； （2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{x}{4 \sin ^{2} x+\cos ^{2} x} d x$ ．

四．（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle (a, b)$ 内可导，$\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ．证明： 对任意 $\displaystyle k \in R$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle k f(\xi)=f^{\prime}(\xi)$ ； （2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](0<a<b)$ 上可导，$\displaystyle f(a) \neq f(b)$ ．证明：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ； （3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 可导，且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leq M, x \in[0,1]$ ．证明：对任何正整数 $n$ ，有 $\displaystyle \left|\int_{0}^{1} f(x) d x-\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\right| \leq \frac{M}{n}$.

六、解答如下问题． （1）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln ^{m}(1+x)}{1+x^{n}} d x(n \geq 0)$ 的玫散性． （2）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos a x-\cos b x}{x} d x$ ，其中 $\displaystyle 0<a<b$ ． （3）设 $\displaystyle F(z)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq z^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, f(0)=1$ 且 $f$ 连续可导，求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(0)$ ．

四、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，且 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ． （1）证明：存在互异的 $\displaystyle \eta_{1}, \eta_{2} \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle \frac{1}{f^{\prime}\left(\eta_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(\eta_{2}\right)}=2$ ； （2）$\displaystyle a, b$ 为任意正实数，证明：存在互异的 $\displaystyle \xi_{1}, \xi_{2} \in(0,1)$ ，满足 $\displaystyle \frac{a}{f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}=a+b$ ．

10．（5 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，非负且严格单调递增，由积分中值定理，对任意的正整数 $k$ ，存在 $\displaystyle x_{k} \in[a, b]$ ，使得 $$ f^{k}\left(x_{k}\right)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f^{k}(x) \mathrm{d} x $$ 证明： $\displaystyle \lim _{k \rightarrow \infty} x_{k}=b$ ．

4．（15 分）证明：若 $f$ 是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上只有有限个间断点的有界函数，则 $f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．

六．（15 分）函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 二阶偏导连续，试以 $\displaystyle u, v$ 作为新的自变量变换方程 $$ x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0 $$ 其中 $\displaystyle u=x y, v=\frac{x}{y}$ ．

三．（15 分）设 $\displaystyle f_{0}(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}, x \in[0,1]$ ．记 $$ f_{n+1}(x)=\int_{0}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t(n=0,1,2, \cdots) $$ 则在 $\displaystyle [0,1]$ 上 $\displaystyle \phi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 有定义且连续，并求出 $\displaystyle \phi(x)$ 的简单表达式．

1．证明 $$ 0<a_{n} \leqslant 2^{n-1}(n \geqslant 2) $$

四．（15 分）按提示的思路用两种不同方法证明： $$ \ln \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right) \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x $$ 其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且 $\displaystyle f(x)>0$ ． 思路 1：利用定积分的定义； 思路2：应用积分中值后再用 Taylor 公式； 思路 3：其它方法．

九．（10 分）设 $n$ 元函数 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$ 有连续的二阶偏导函数．记 $\displaystyle H=\left(\begin{array}{ccc}f_{11} & \cdots & f_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ f_{n 1} & \cdots & f_{n n}\end{array}\right)$ 为 $f$ 的 Hessian 矩阵．若 $\displaystyle \vec{u}$ 为单位行向量，$\displaystyle \vec{u}^{\prime}$ 表示 $\displaystyle \vec{u}$ 的转置，判断 $\displaystyle \vec{u} H \vec{u}^{\prime}$ 与 $f$ 沿 $\displaystyle \vec{u}$ 的二阶方向导数的关系并加以证明．

二．（15 分）用 $\displaystyle \varepsilon-\delta$ 定义证明二元函数 $$ f(x, y)=\frac{x}{y} $$ 在 $\displaystyle \{(x, y): x, y \in \mathbb{R}, y \neq 0\}$ 上连续．

五．（15 分）设 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 满足： （1）$\displaystyle \varphi_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续且非负， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ ； （2）$\displaystyle \forall \delta \in(0,1),\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,-\delta]$ 和 $\displaystyle [\delta, 1]$ 上都一致收敛于 0 ． 证明对 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数 $\displaystyle g(x)$ ，有 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} g(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=g(0) $$

六．（15 分）（1）设 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明 $$ \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leqslant \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x $$ （2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有连续的导函数，$\displaystyle f(a)=0$ ．记 $\displaystyle g(x)=\int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t, x \in[a, b]$ ．证明： （i） $$ \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) g^{\prime}(x) \mathrm{d} x ; $$ （ii） $$ \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leqslant \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x $$

七．（15 分）（1）证明 $$ \ln (1+x) \leqslant x, x \in(-1, \infty) $$ （2）求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}} $$ （3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某领域内有连续的一阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在．证明 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{2}}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) . $$

三．（15 分）若 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (a, b)$ 上的一致连续函数，$\displaystyle g(y)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续函数，证明： （1）复合函数 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界； （2）复合函数 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 是一致连续函数．

九．（15 分）（1）设 $\displaystyle \mu=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，若 $\displaystyle x=s^{2}-t^{2}, y=2 s t$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} \mu}{\partial s \partial t}$ ． （2）求二元函数 $$ f(x, y)=y^{3}-3 x^{2} y $$ 的极值点． （3）求 $$ f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4} $$ 在 $\displaystyle x y z=1$ 且 $\displaystyle x, y, z>0$ 条件下的极值．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二次连续可微，证明 $\displaystyle f(x)$ 为次数不超过二次多项式的充要条件是：对于任意的 $\displaystyle x, h$有等式 $$ f(x+h)-f(x)=h f^{\prime}\left(x+\frac{h}{2}\right) $$

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ，按提示三种方法证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使 $\displaystyle f(\xi)=0$ ，且 $\displaystyle f(x)>0(\xi<x \leqslant b)$ ． （1）确界定理； （2）区间套定理； （3）有限覆盖定理； （4）其他方法．

十．（15 分）（1）计算积分 $$ \int_{C}\left(\sin x-y \mathrm{e}^{x y}+y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-x \mathrm{e}^{x y}+\ln \left(1+y^{4}\right)\right) \mathrm{d} y $$ 其中 $C$ 为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向逆时针． （2）计算积分 $$ \iint_{S}\left(x^{3} \cos \alpha+y^{3} \cos \beta+z^{3} \cos \gamma\right) \mathrm{d} s $$ 其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z \geqslant 0), \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为此曲线的外法线的方向余弦． （3）设 $S$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中具有光滑定向边界 $\displaystyle \partial S$ 的光滑定向曲面，$S$ 与 $\displaystyle \partial S$ 的定向满足右手规则，假设 $\displaystyle f, g$ 在包含 $S$的区域中分别满足偏导数连续和二阶偏导数连续。证明 $$ \int_{\partial S} f \nabla g \overrightarrow{\mathrm{~d} s}=\iint_{S} \nabla f \times g \vec{n} \mathrm{~d} s $$ 其中 $\displaystyle \vec{n}$ 为 $S$ 的单位法向量．

四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明：存在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 使得 $$ \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow 0} \int_{a}^{c} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x, \forall c \in[a, b] $$

七．（15 分）（1）求 $$ f(x, y)=\frac{1}{y^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2 y^{2}}\left[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\right]} $$ 在 $\displaystyle D=\left\{f(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, y>0\right\}$ 上的最值； （2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 及其二阶偏导数在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上连续，$\displaystyle f(0,0)=0,\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right| \leqslant 2|x-y|,\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right| \leqslant 2|x-y|$ ，证明：$\displaystyle |f(5,4)| \leqslant 1$ ．

三．（ 15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，证明： （1）若 $\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，证存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ； （2）设 $\displaystyle 0 \leqslant f(x) \leqslant \frac{x}{1+x^{2}}$ ，证存在 $\displaystyle \xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}}$ ．

八．（15分）设 $$ f(x)= \begin{cases}x^{4}, & x \in Q \\ 0, & x \in \mathbb{R} \backslash Q\end{cases} $$ 证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 可导但在 $\displaystyle x \neq 0$ 不连续．

六．（15 分）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论 $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} e^{-t} \mathrm{~d} t $$ 在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续性．

3．应用区间套定理；

4．应用 Cauchy 收敛准则；

6．应用单调有界原理．

八．（15 分）设数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论 $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} e^{-t} \mathrm{~d} t $$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续性．

十．（15 分）（1）设函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数，$L$ 是 $\displaystyle y>0$ 内的分段光滑曲线，证明积分 $$ I=\int_{L} y^{-1}\left(1+y^{2} f(x y)\right) \mathrm{d} x+x y^{-2}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y $$ 与 $L$ 的路径无关，并计算 $L$ 从 $\displaystyle (1,1)$ 到 $\displaystyle (2,0.5)$ 时的上述积分． （2）计算 $$ I=\iint_{\Sigma} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 是由 $\displaystyle x o y$ 平面的曲线 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而成曲面的外侧． （3）计算 $$ I=\oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z $$ 其中 $L$ 是曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 ; \\ x-y+z=2 .\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看 $L$ 的方向是逆时针方向．

二．（15 分）给定函数 $$ f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \text { 为有理数 } ; \\ 0, & x \text { 为无理数. }\end{cases} $$ 求证 $f$ 在 $\displaystyle x=0$ 点可导但在 $\displaystyle x \neq 0$ 处不连续．

十．（15 分）（1）计算曲面积分 $$ I=\iint_{\Sigma}\left(x y^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为半球面 $\displaystyle Z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧． （2）设函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数，$L$ 是 $\displaystyle y>0$ 内分段光滑曲线，证明积分 $$ I=\int_{L} y^{-1}\left(1+y^{2} f(x y)\right) \mathrm{d} x+x y^{-2}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y $$ 与 $L$ 的路径无关．

5．如果点 $(x, y)$ 沿任意射线方向趋于 $(0,0), f(x, y)$ 的极限均存在且相等则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在即 $f(x, y)$的重极限存在．

五．（15 分）（1）证明 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{1}{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x $$ 这里 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续． （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1}+\frac{n}{n^{2}+2}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n}\right)$ ．

十．（15 分）（1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续且 $\displaystyle f(x)>0$ 则计算 $$ \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant n^{2}} \frac{a f(x)+b f(y)}{f(x)+f(y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ （2）若记 $\displaystyle u=f(x, y), \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=\phi(x)$ 且有 $\displaystyle (\phi(u)) \leqslant u^{2}$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点是否可微请说明理由．

四．（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle (a, b)$ 可导且 $\displaystyle \left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant L<1$ 且 $\displaystyle a \leqslant f(x) \leqslant b,(a \leqslant x \leqslant b)$ 则： （1）在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在唯一一点 $\displaystyle x^{*}$ 使得 $\displaystyle f\left(x^{*}\right)=x^{*}$ ． （2）对任意 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 构造 $\displaystyle x_{n}=f\left(x_{n-1}\right)$ 则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=x^{*}$ ．

二．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续且存在周期 $T$ ． （1）证明 $\displaystyle \{x \mid \forall T>0, f(x)=f(x+T)\}$ 为非空集； （2）证明 $\displaystyle f(x)$ 存在最小正周期 $T$ ； （3）若去掉＂连续＂这个条件，（2）的结论是否成立，成立请证明；不成立举反例．

1．$f(x)$ 在 $x=0$ 的任意邻域上无界，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷大．

3．设 $f(x)$ 在有限闭区间 $[a, b]$ 上处处可导，则 $f^{\prime}(x)$ 有界．

1．$\sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $(0, a]$ 上有界，证明：$f(x)$ 在 $(0, a]$ 上一致连续．

2． $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $(0, a]$ 上存在，证明：$f(x)$ 在 $(0, a]$ 上一致连续．

4．设无分积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收纹． （1）若 $\displaystyle f(x) \geqslant 0$ ，是否有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？说明理由； （2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连晱，是否有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？说明理由； （3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一改连续，是否有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？说明理由。

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且负训逆增，用三种方法证明： $$ \int_{a}^{b} x f(x) \mathrm{d} x \geqslant \frac{a+b}{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x $$

二、解答如下问题： （1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n} \in[a, b]$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得： $$ f(\xi)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) $$ （2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 且单调，使得 $\displaystyle a \leq x_{n} \leq b, ~ g\left(x_{n}\right)=f\left(x_{n+1}\right)$ ，证明：存在一点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。

1．函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，并且单调递增，若函数 $f(x)$ 有上界，则函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。

1．证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。

1．判断题．正确的给出证明，错误的给出反例． （1）设 $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ ，若数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）两个在 $\displaystyle x_{0}$ 附近无界的函数之积仍为无界函数。 （3）若 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续，$\displaystyle u=g(y)$ 在点 $\displaystyle y_{0}=f\left(x_{0}\right)$ 不连续，则复合函数 $\displaystyle u=g(f(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续． （4）一元函数的定积分，若 $\displaystyle |f(x)|$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 可积． （5）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个二次极限都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的二重极限也存在．

3．设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 ; \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ ． （1）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 连续． （2）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微． （3）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的偏导数连续．

6．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续且无极大值点，$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset(a, b)$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=\inf _{a<x<b} f(x)$ － （1）用肯定语言叙述 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n} \neq \bar{x}$ 的 $\displaystyle \varepsilon-N$ 定义． （2）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ，是否有 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ ？如果有，请加以证明，否则请举反例． （3）证明 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在．

七．设函数 $\displaystyle \zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}, x \in(1,+\infty)$ ． （1）证明：$\displaystyle \zeta(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上连续． （2）证明：$\displaystyle \zeta(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上可微． （3）$\displaystyle \zeta(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上是否一致连续？说明理由．

九．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln (1+x y)}{x}, & x \neq 0 ; \\ y, & x=0 .\end{array}\right.$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在其定义域上是连续的．

四．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，设 $\displaystyle \varepsilon_{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$ ，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \varepsilon_{n}$ ．

4．对于数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，总有 $a_{n}<b_{n}$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。

4、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，对 $\displaystyle \forall x, y \in R$ ，有 $\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)$ ． （1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上连续． （2）存在实数 $M$ ，使得 $\displaystyle |f(x)| \leq M|x|$ ．

7、令函数 $f$ 为定义在 $\displaystyle \mathbf{R}$ 上的连续函数，证明：对任意的 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{t}, \mathbf{u} \in \mathbf{R}^{+}$，有 $$ \int_{0}^{x} \mathrm{~d} v \int_{0}^{v} \mathrm{~d} u \int_{0}^{u} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2} \int_{0}^{x}(x-t)^{2} f(t) \mathrm{d} t $$

8．设 $L$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 被平面 $x+y+z=0$ 所截得的圆周，计算积分 $\int_{L} x^{2} \mathrm{~d} s=$ $\_\_\_\_$ ．

七．（15 分）令 $\displaystyle B_{R}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq R^{2}\right\}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中的半径为 $R$ 的闭球，$\displaystyle R>0$ ．设 $\displaystyle f(\mathbf{x})$ 是 $\displaystyle B_{2}$ 上的连续函数，满足条件：对任意的 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y} \in B_{2}$ ，成立 $\displaystyle \frac{f(\mathbf{x})+f(\mathbf{y})}{2} \geq f\left(\frac{\mathbf{x}+\mathbf{y}}{2}\right)$ ．证明： （1）对任意的 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y} \in B_{2}$ 和任意的 $\displaystyle \lambda \in(0,1)$ ，成立 $\displaystyle \lambda f(\mathbf{x})+(1-\lambda) f(\mathbf{y}) \geq f(\lambda \mathbf{x}+(1-\lambda) \mathbf{y})$ ． （2）存在一个常数 $\displaystyle C>0$ ，使得如下不等式成立： $$ |f(\mathbf{x})-f(\mathbf{y})| \leq C\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|, \forall \mathbf{x}, \mathbf{y} \in B_{1} . $$ 这里 $\displaystyle \|\mathbf{x}-\mathbf{y}\|$ 表示 $\displaystyle \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 和 $\displaystyle \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}\right)$ 之间的距离 $\displaystyle \sqrt{\left(x_{1}-y_{1}\right)^{2}+\left(x_{2}-y_{2}\right)^{2}}$ ．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在（ 0,1 ）上有定义，$\displaystyle f(x) \tan x$ 单调递增， $\displaystyle \tan (f(x))$ 单调递减，证明：$\displaystyle f(x)$ 在（ 0,1 ）上连续。

十三．设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的一个邻域内连续，证明：函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微的充要条件是 $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ ．

十二．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，证明： $$ f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} . $$

2．设函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+f(x) \arctan x)}{2^{x}-1}$ ．

3．求曲线积分 $$ \oint_{L} \frac{x^{2} y}{(x-a)^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} y $$ 其中 $L$ 是由圆 $(x-a)^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$ 与 $x$ 轴围成的第四象限区域的边界，方向为逆时针．

6．设函数 $f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) ; \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{cases}$ （1）计算 $f(x, y)$ 的偏导数． （2）讨论 $f(x, y)$ 在原点的连续性． （3）讨论 $f(x, y)$ 在原点的可微性．

7．解答如下问题： （1）若函数 $f(x)$ 满足以下条件：（i）函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 的邻域 $U\left(x_{0}\right)$ 连续；（ii）在 $U^{\circ}\left(x_{0}\right)$ 可导；（iii）极限 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)$ 存在．证明：$f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f^{\prime}(x)$ ． （2）若函数 $f(x)$ 只满足本题（1）中条件（i）和（ii），但不满足（iii），则 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 不可导，是否正确？请给出理由。

6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上非负且连续可导，证明： $$ \left|\int_{a}^{b} f^{3}(x) \mathrm{d} x-f(a)^{2} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right| \leq 2 \max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime}(x)\right|\left[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right]^{2} $$

7．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域内连续可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$ ，求证： $$ \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \text { 的敛散性 } $$

5．设 $C$ 是椭圆 $x^{2}+2 y^{2}=1$ ，取逆时针方向，则 $\oint_{C} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}=$ A． 0 B．$\pi$ C． $2 \pi$ D．$-\pi$

2．（15分）已知 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有最大值．

3．（15 分）判断 $\alpha$ 取何值时，函数列 $f_{n}(x)=\frac{x(\ln n)^{\alpha}}{n^{x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致收玫．

10．（15 分）设 $D$ 是平面区域，$\displaystyle u(x, y)$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，且在 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 具有直到二阶的连续偏导数。证明：$\displaystyle u(x, y)$ 在 $D$ 上满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 的充要条件为对于任意 $D$ 内的圆周 $L$ ，且 $L$ 所围圆 $O$ 含于 $D$ ，有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=0$ ，其中 $n$ 取圆周 $L$ 的外法向．

7．（ 15 分）设 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases} $$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性和可微性．又设 $\displaystyle x(t)=t, y(t)=t^{2}$ ，讨论复合函数 $\displaystyle f(x(t), y(t))$ 在 $\displaystyle t=0$的导数是否满足链式法则．

8．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为定义在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上的二元函数，在 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 具有直到二阶的连续偏导数，且 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极小值点．证明： $$ f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+2 f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \geq 0 $$

10．设区域 $\displaystyle \Omega$ 由分片光滑的封闭曲面 $\displaystyle \Sigma$ 围成，$\displaystyle u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上具有二阶连续偏导数，且在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0 $$ （1）证明： $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{n}$ 是曲面 $\displaystyle \Sigma$ 的单位外法向量． （2）设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \Omega$ 为一定点，证明： $$ u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{\Sigma}\left(u \frac{\cos (\widehat{r, n})}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}$ ．

4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续导数，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，证明： （1） $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leq \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$. （2） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(a \cos x+b \sin x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2 \pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．

5．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 上有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} f(\sqrt{\sqrt[n]{2}-1})$发散．

8．解答如下问题： （1）假设 $f$ 与 $g$ 都是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，证明： $$ \left|\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right|^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x . $$ （2）对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在常数 $\displaystyle C_{\varepsilon}>0$ ，使得对任意的 $\displaystyle f(x) \in C^{1}[a, b]$ ，有 $$ \sup _{x \in[a, b]}|f(x)|^{2} \leq C_{\varepsilon} \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x+\varepsilon \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x $$

八．（15 分）设函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上存在二阶连续的导数，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi(x)$ 存在，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x)$ 有界．试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi^{\prime}(x)=0$.

6．（20分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续． （1）（10 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界． （2）（10 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一定有最大值和最小值．

10．（15 分）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n\left(1+x^{n}\right)}$ 在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 具有连续导数．

11．（20分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，常数 $\displaystyle a, b>0$ ． （1）若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=[f(0)-k] \ln \frac{b}{a}$ ． （2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan \left(2 x^{2}\right)-\arctan \left(x^{2}\right)}{x} \mathrm{~d} x$ ．

6．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有二阶连续导数，证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使得 $$ \left|f(0)+f(1)-2 f\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leq \frac{1}{4}\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| $$

8．（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．且每个函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ．

1．已知类才！$b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{1}{k}-\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)\right], n=1,2,3, \cdots$ 。 （1）证明：$\left\{b_{n}\right\}$ 收敛； （2）设 $\gamma=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}$ ，探求数列 $\left\{b_{n}-\gamma\right\}$ 的等价无穷小。

3． $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{\int_{\cos x}^{1} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t}$ $\_\_\_\_$ ．

3．若 $p>1$ ，证明：数项级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin \left(2 \pi \sqrt{n^{2}+1}\right)}{(\ln n)^{p}}$ 收敛．

9．计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{j}{j^{2}+k^{2}}$ ．

3． $\int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} d x=$ $\_\_\_\_$ ．

4、 $u=\ln (x+y)$ ，求 $\left.d u\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．

7、 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(n x) d x$ ．

13、 $x \in[-\pi, \pi]$ ，判断级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos n x}{\ln n}$ 收敛性（绝对收敛、条件收敛、发散），证明其不可能为某个 $[-\pi, \pi]$ 上的黎曼函数的傅里叶级数．

4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且恒正，证明：对任意的正整数 $n$ ，存在 $\displaystyle \xi_{n} \in(0,1)$ ，使得 $$ \frac{1}{n} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{\xi_{n}} f(x) \mathrm{d} x+\int_{1-\xi_{n}}^{1} f(x) \mathrm{d} x $$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \xi_{n}=\frac{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x}{f(0)+f(1)}$ ．

8．设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 有连续的偏导数，且满足 $\displaystyle -y \frac{\partial f}{\partial x}+x \frac{\partial f}{\partial y}+b \frac{\partial f}{\partial z} \geq c$ ，其中 $\displaystyle b, c$ 为正实数，证明：当 $\displaystyle (x, y, z)$ 沿着 $\displaystyle x=b \cos t, y=b \sin t, z=b t, t \in[0,+\infty)$ 趋于无穷时，$\displaystyle f(x, y, z) \rightarrow+\infty$ ．

七、（15 分）设 $\displaystyle \delta \in[0,+\infty)$ ，当参数 $\displaystyle \delta$ 取不同值时，讨论函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{\sin \left(x^{1+\delta} y\right)}{x^{2}+y^{2}} & ,(x, y) \neq(0,0) \\ 0 & ,(x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 的连续性、可微性．

八、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且满足： $$ f(t)=t+\frac{1}{4 \pi} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} \frac{f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right)}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\displaystyle t \in[0,+\infty)$ ，求 $\displaystyle f(t)$ ．

四、 $\displaystyle \left(7+8=15\right.$ 分）已知 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n x)}{\sqrt{n^{3}+n}}$ ，证明： （1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续． （2）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{15}<\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x<\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

11、设函数 $\displaystyle P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的偏导数，且对于任意的光滑封闭曲面 $S$ ，均有 $$ \iint_{S} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0 $$ 证明：在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上，有 $\displaystyle P_{x}+Q_{y}+R_{z} \equiv 0$ ．

5．讨论 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 \quad,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在原点处的连续性和可微性。

7、已知 $\displaystyle f(\mathbf{x})$ 在 $\displaystyle [\mathbf{a}, \mathbf{b}]$ 上连续，在 $\displaystyle (\mathbf{a}, \mathbf{b})$ 上二阶可导，且 $$ f(b)=0, F(x)=(x-a)^{2} f(x) $$ 证明：存在 $\displaystyle \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle F^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．

七．（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上连续，且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 可积和绝对可积，若有 $$ f(x) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right), x \in[-\pi, \pi] . $$ 证明： $$ f^{\prime}(x) \sim \frac{c}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(n b_{n}+(-1)^{n} c\right) \cos n x-n a_{n} \sin n x\right], x \in[-\pi, \pi] . $$ 其中 $\displaystyle c=\frac{f(-\pi)+f(\pi)}{\pi}$ ，且 $\displaystyle c=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[(-1)^{n-1} n b_{n}\right]$ ．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，满足 $$ f^{\prime}(x)+f(x) \sin x=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, x \in[0,1] $$ 且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[0,1]$ ．

四．（12 分）设 $$ f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，沿任何方向的方向导数存在，但不可微．

2．求不定积分 $\int \sqrt{1-x^{2}} d x$ ．

5．求曲线 $x=t, y=-t^{2}, z=\frac{4}{3} t^{3}$ 上与平面 $x+2 y+z=1$ 平行的切线方程．

1. 求数列极限： $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2023}+2^{2023}+\cdots+n^{2023}}{n^{2024}}$ ．

5、计算曲面积分：$I=\iint_{\Sigma} e^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Sigma$ 为拋物面 $x=y^{2}+z^{2}$ 夹在平面 $x=1$ 与平面 $x=2$ 之间的部分，取外侧．

七．（本题满分 15 分）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ． 讨论下列问题： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性； （2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的方向导数； （3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性．

三．（本题满分 14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [1,2]$ 上具有二阶连续导数，且 $$ f(1)=f(2)=\int_{1}^{2} f(x) d x $$ 证明：存在 $\displaystyle \xi \in(1,2)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．

二．（本题满分 12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ ，证明：至少存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) f\left(x_{k}\right)$ ．

六．（本题满分 15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t, n \in N$ ，证明： （1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 0 ； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．

四．（本题满分 14 分）设 $D$ 是由两条直线 $\displaystyle y=x, y=2 x$ 和两条双曲线 $\displaystyle x y=1$ ， $\displaystyle x y=2$ 围成的区域。 $\displaystyle F(u)$ 连续可微 $\displaystyle F^{\prime}(u)=f(u)$ 。证明： $$ \int_{\partial D} \frac{F(x y)}{y} d y=\frac{\ln 2}{2} \int_{1}^{2} f(u) d u, $$ 其中 $\displaystyle \partial D$ 方向取逆时针方向．

三、（15 分）$\displaystyle F(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内二阶连续偏导数，

四、（15 分）判断二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, \quad x^{2}+y^{2} \neq 0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性与可微性．

二、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 1$ 上有连续二阶偏导数，且 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} $$ 证明： $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{\pi}{2 e}$ ．

八、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数 $$ f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime}(1)=1 $$ 证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x \geq 4$ ．

六、证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上连续，目有连续的导数。

2、（20分）求积分： $\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $$ D: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 3 $$

1．设函数列 $f_{n}(x)=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{x}}$ 在 $(1,+\infty)$ 内闭一致收敛，证明： $f_{n}(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛。

3．若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，证明： $$ \int_{0}^{\pi} x f(\sin x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} f(\sin x) \mathrm{d} x $$ 并求： $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin ^{2 n} x}{\sin ^{2 n} x+\cos ^{2 n} x} \mathrm{~d} x$ ．

1、设函数 $g(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上二阶连续可微，且满足 $$ g(0)=g^{\prime}(0)=0, g^{\prime \prime}(0)=2 a $$ 设 $f(x)=\frac{g(x)}{x},(x \neq 0), f(0)=0$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．

2、设 $u_{n}(x)=x^{n} \ln x, x \in(0,1]$ ，讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $(0,1]$ 上的玫散性和 一致收敛性，并计算 $\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x) \mathrm{d} x$ 。

3、设 $u(x, y, z)$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 上的连续函数，而且它在点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的某个邻域上有连续的二阶偏导数，记 $\Sigma$ 是以 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为球心，$R$ 为半径的球面．令 $T(R)=\frac{1}{4 \pi R^{2}} \iint_{\Sigma} u(x, y, z) \mathrm{d} S, R>0$ ．证明： （1） $\lim _{R \rightarrow 0^{+}} T(R)=u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ． （2）若 $\Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$ ，则 $$ \lim _{R \rightarrow 0^{+}} \frac{T(R)-u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}{R^{2}}=\frac{1}{6} \Delta u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) . $$ 其中 $\left.\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} \neq 0$ ．

3．已知定义在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 上二阶连续可微的函数 $\displaystyle f(x, y)$ 满足： $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2}+y^{2} $$ 计算： $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

5．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) \mathrm{d} x$ ．

6．已知 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2} \ln (1+n)}$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续性，以及在 $\displaystyle x=-1$ 和 $\displaystyle x=1$ 处的可导性．

8．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，且 $$ f(t)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq t^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right) f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+t^{4}, t>0 $$ 求 $\displaystyle f(t)$ ．

5、幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\_\_\_\_$ ．

7、 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(n x) d x$ ．

10、求 $\iint_{\Sigma} \frac{1}{x} d y d z+\frac{1}{y} d z d x+\frac{1}{z} d x d y, \Sigma$ 为椭球 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 外侧．

13、 $x \in[-\pi, \pi]$ ，判断级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos n x}{\ln n}$ 收敛性（绝对收敛、条件收敛、发散），证明其不可能为某个 $[-\pi, \pi]$ 上的黎曼函数的傅里叶级数．

4．$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-\frac{1}{x^{2}+y^{2}}} & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$, 判断 $\displaystyle f(x, y)$ 的连续性和可微性．

6．讨论函数 $$ f(x)= \begin{cases}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases} $$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的连续性、可微性及导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续性

2．（20 分）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上二阶连续，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ，当 $\displaystyle x \in(0,1)$ 时 $\displaystyle f(x) \neq 0$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| d x \geq 4$ ．

7．设函数 $\displaystyle f(x)$ 有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\iiint_{V} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z}{\pi t^{4}}$ ，其中 $V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}$ 围成的区域。

3．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续可微函数，且满足 $\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明： $$ \int_{0}^{1}\left|f(x)-f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \geq \frac{1}{e} $$

4．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有三阶连续导数，且 $\displaystyle f(x), f^{\prime \prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界，证明： $\displaystyle f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界．

5．（20 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是定义在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的非负连续函数，满足 $$ f(x) \leq \int_{0}^{x} f(s) g(s) \mathrm{d} s, \forall x \geq 0 $$ 证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[0,+\infty)$ ．

6．（20 分）记 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的点 $\displaystyle \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \mathbb{R}^{3}$ 中以原点为圆心，$\displaystyle r>0$ 为半径的开球记为 $\displaystyle B_{r}$ ，其边界为 $\displaystyle \partial B_{r}$ ．设 $\displaystyle f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ 具有连续的偏导数，且 $\displaystyle f(\mathbf{x})=0, \forall x \in \partial B_{r}$ ，证明： $$ \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \iiint_{B_{r} \backslash B_{\varepsilon}} \frac{x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{x})}{|x|^{3}} \mathrm{~d} V=-4 \pi f(\mathbf{0}) $$

8．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上连续，$\displaystyle a_{n}(n=0,1, \cdots), b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 为 $f$ 的 Fourier 系数．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{n}$ 均收敛。

10、（15分）设 $\displaystyle z=f(x-y, x+y)+g(x+k y), f(x, y)$ 具有连续二阶偏导数，$\displaystyle g(x)$具有连续二阶导数且 $\displaystyle g^{\prime \prime}(x)$ 不恒为 0 ，如果 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x}+2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} y}=4 f_{22}^{\prime}$ ，求常数 $k$ 的值。

11、（15分）找出 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \cos x}{x^{\alpha}} d x$ 的定义域，以及区间上的连续性．

5、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续可导，且 $\displaystyle f(0)=f(2)=1,\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 1$ ，证明： $$ \int_{0}^{2} f(x) d x>1 $$

七．（15 分）设 $\displaystyle F(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内有二阶连续的偏导数，且 $$ F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 $$ 证明：由方程 $\displaystyle F(x, y)=0$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处取极值．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可导，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ，证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在不同的 $\displaystyle \xi, \eta$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi) f^{\prime}(\eta)=1$ ．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \min _{x \in[a, b]} f(x)=3$ ，计算 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\int_{a}^{b} \frac{1}{(f(x))^{n}} \mathrm{~d} x\right]^{\frac{1}{n}} $$

十．（15 分）证明：$\displaystyle F(\lambda)=\int_{0}^{+\infty} \frac{1-e^{-\lambda t}}{t} \cos t \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导．

一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分） （1）。如果 $\displaystyle \forall p \in \mathbb{N}_{+}$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=0$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）。如果偏导数 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 和 $\displaystyle f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。 （3）．如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，则对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 是绝对收玫的。 （4）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在原函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积． （5）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (x, y)$ 上连续，$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续。 （6）。如果 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

二、求解下列各题（每小题9分，共36分） （1）．求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right]^{\frac{1}{x}} $$ （2）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续可导，计算积分 $$ \iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{z} f\left(\frac{y}{z}\right)+y^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{1}{y} f\left(\frac{y}{z}\right)+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为锥面 $\displaystyle y^{2}+z^{2}=x^{2}(x>0)$ 与球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 所围成立体的表面． （3）．将函数 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}$ 展成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 2^{2 n+1}}$ 的和． （4）．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上具有二阶偏导数，且满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)},(x, y) \in D $$ 求积分 $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分） （1）．如果 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}_{+}$，当 $\displaystyle n>N$ 时，有 $\displaystyle \left|a_{n}-a_{N}\right|<\varepsilon$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）．如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}_{+}$，均有 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续． （3）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点连续，且 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)-f\left(x_{0}\right)}{\frac{1}{n}} $$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的右导数存在． （4）．如果函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle \exists \xi \in[a, b]$ ，使得 $$ \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x $$ （5）．如果函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在且有界，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$连续． （6）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的非负连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。

三、证明下列各题（每小题 13 分，共 78 分） （1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内每一点的左右极限都存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界． （2）．设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \infty)$ 上连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0 $$ 证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续． （3）．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，且 $$ a_{k} \leqslant a_{n} \quad \forall n<k \leqslant 2 n $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ． （4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上三阶可导，且 $\displaystyle f(x), f^{\prime \prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上都有界，证明： $\displaystyle f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。 （5）．设 $\displaystyle \forall b>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\alpha$ ，令 $$ F(t)=t \int_{0}^{+\infty} e^{-t x} f(x) \mathrm{d} x $$ 证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} F(t)=\alpha$ ． （6）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ， $$ f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0 $$ 证明：（i）．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有且仅有两个零点， （ii）．存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t$ ．

1．对数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任意两个子列 $\left\{a_{n_{k}}\right\}$ 与 $\left\{a_{m_{k}}\right\}$ 均有 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left(a_{n_{k}}-a_{m_{k}}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。

2．如果 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 沿任意方向的方向导数都存在，偏导数 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 均存在．

1．如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上至多有有限个不连续点．

2．如果数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫。

1．若对任意的 $N$ ，总存在 $\varepsilon>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ 成立，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．

2．若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且存在原函数，则 $f(x)$ 在 $I$ 上连续．

3．若函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在，则 $f(x, y)$ 在该点处连续．

1．如果函数 $f(x)$ 在有限区间 $(a, b)$ 上连续且有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续．

2．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，$f(a)=f(+\infty)$ ，则存在 $\xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。

3．设 $f(x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 上不恒为 0 的连续函数，$D(x)$ 为 Dirichlet 函数，则 $f(x) D(x)$ 在 $[a, b]$ 上不可积．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A \in \mathbb{R}$ 的充要条件是：对任何正整数 $k, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时有 $$ \left|a_{n}-A\right|<\frac{k}{k^{2}+1} $$

2．若 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域商有定义，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．

1．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a_{2 n}\right|<\varepsilon$ ．

2．若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续，且有 $f(0)=f(2)$ ，则方程 $f(x)-f(x+1)=0$ 有解．

3．若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在原函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积．

2．判断极限 $$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x+y-1}-1} $$ 的存在性，若存在，给出证明过程，若不存在，说明理由．

四．设 D 是由 $\displaystyle y=x^{3}, y=-c^{3}, x=-c(c \neq 0)$ 围成的积分区域，且 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续函数，求二重积分 $\displaystyle \iint_{D} y(1+f(1+|\sin x|+\cos y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

2．计算 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt[x]{\sec \sqrt{2 x}}=$ $\_\_\_\_$ ．

3．计算 $\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}^{\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}} x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $|a| \neq 1$ ，计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arctan (a \tan x)}{\tan x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

8．（ 15 分）证明函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases} $$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在．但偏导数在点 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

9．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，证明不等式： $$ \left[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leq(b-a) \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x $$ 其中等号当且仅当 $\displaystyle f(x)$ 为常值函数时成立．

10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ ， 问：$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 是否一致连续？

15．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上非负连续，且 $\displaystyle f(x) \leq \int_{0}^{x} f(t) d t$ ，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ 。

9．设 $\displaystyle g: R \rightarrow R$ 二阶可导，且 $\displaystyle g(0)=1$ ，令 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}g^{\prime}(0), & x=0 \\ \frac{g(x)-\cos x}{x}, & x \neq 0^{\circ}\end{array}\right.$ 。 （1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续吗？ （2）求 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，并问 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 是否连续？

12．已知 $\displaystyle f_{x y}(x, y)$ 与 $\displaystyle f_{y x}(x, y)$ 均在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，证明 $\displaystyle f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=f_{y x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．

14．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=0$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上至少有两个零点．

15．用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数有最大值与最小值．

10．设 $\displaystyle I(y)=\int_{1}^{\infty} \frac{\cos x y}{x^{y}} \mathrm{~d} x$ ． （1）讨论 $\displaystyle I(y)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性． （2）讨论 $\displaystyle I(y)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的连续性．

14．设 $\displaystyle P(x, y)$ 和 $\displaystyle Q(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上具有连续的偏导数，且对任意 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2}$ ，以及任意 $\displaystyle r>0$ ，总有 $$ \int_{L} P \mathrm{~d} x+C C^{9} y=0 $$ 其中 $L$ 是以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为心，$\displaystyle r>0$ 为半径的上半圆周，方向是逆时针．证明：在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上， $\displaystyle P(x, y) \equiv 0, \frac{\partial Q}{\partial x} \equiv 0$.

15．利用聚点定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。

2．求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{n^{2}+1}-1\right) \cdot \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$ ．

10、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0 $$ 证明：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

13、设 $\displaystyle f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 为连续函数，$f$ 无不动点，记 $$ f_{n}(x)=\underbrace{f \circ f \circ f \circ \cdots \circ f(x)}_{n \uparrow} . $$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的 $n$ 次复合，数列 $\displaystyle \left[f_{n}(x)\right]$ 是否有界？

2、若 $\displaystyle f(x, y, z), \varphi(x, y, z)$ 均连续可微，且 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $$ f(x, y, z)-\int_{y}^{-\sqrt{x^{2}+y^{2}}} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t-\varphi(x, y, z)=0 $$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

5、设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，且 $\displaystyle f(x) \neq 0$ ． 证明：至少存在一个 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{1}{a-\xi}+\frac{1}{b-\xi}$ ．

九．（15 分）计算曲线积分 $$ \lim _{d(\Omega) \rightarrow 0} \frac{1}{S(\Omega)} \oint_{L}(\mathbf{F}, \mathbf{n}) \mathrm{d} s $$ 其中 $\displaystyle \Omega$ 是包含原点且由简单封闭的光滑曲线 $C$ 围成的区域，$\displaystyle d(\Omega)$ 为 $\displaystyle \Omega$ 的直径，$\displaystyle S(\Omega)$ 为 $\displaystyle \Omega$ 的面积， $\displaystyle \mathbf{F}=(P(x, y), Q(x, y))$ 为区域 $\displaystyle \Omega+C$ 上连续可微的向量函数， $\displaystyle \mathbf{n}$ 为曲线 $C$ 的单位外法向量．

四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ ． （1）讨论 $\displaystyle f(x)$ 的连续区间． （2）计算 $\displaystyle \int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ．

3．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性，偏导数的存在性，可微性．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 上有连续的导数，记 $\displaystyle F_{n}(x)=n f\left(x+\frac{1}{n}\right)-n f(x)$ ． （1）若 $I$ 为有界闭区间，$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 是否一致收敛？给出理由． （2）若 $I$ 为有界开区间，$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 是否一致收敛？给出理由．

6．设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，求曲线积分 $$ \int_{L} \frac{1+y^{2} f(x y)}{y} \mathrm{~d} x+\frac{x\left(y^{2} f(x y)-1\right)}{y^{2}} \mathrm{~d} y $$ 其中 $L$ 为 $\displaystyle \left(3, \frac{2}{3}\right)$ 指向 $\displaystyle (1,2)$ 的直线．

1、设函数 $f(x)$ 是非常值连续周期函数，则 $f(x)$ 一定有最小正周期．

1．求 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{x}$ ．

3、函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{g(x)-\cos x}{x}, x \neq 0 \\ a, x=0\end{array}, g(x)\right.$ 具有二阶连续导数，$g(0)=1$ ，确定 $a$ 的值，使下面命题成立． （1）$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续． （2）求 $f(x)$ ． （3）$f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续．

4、求不定积分 $\int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x$ ．

3．（10 分）求函数 $f(x)=\frac{4}{x^{2}-2 x-3}$ 在 $x=1$ 处的幂级数展开式．

三、讨论题（10 分） 设二元函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq(0,0) \\ 0, & x^{2}+y^{2}=(0,0)\end{cases} $$ 分别讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续、偏导数存在时，$\displaystyle \alpha$ 的取值范围．

五、证明题（10 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且满足 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ， $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=f(\xi)$ ．

1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sqrt{2} x)-e^{-x^{2}}+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$ ．

3、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 内有 $\displaystyle n,\left(n \in \mathbb{N}_{+}\right)$阶连续导数，且 $$ f^{(k)}\left(x_{0}\right)=0,(k=2,3,, \cdots, n-1), f^{(n)}\left(x_{0}\right) \neq 0, $$ 当 $\displaystyle 0<|h|<\delta$ 时，$\displaystyle f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=h f^{\prime}\left(x_{0}+\theta h\right),(0<\theta<1)$ ，证明： $$ \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n-1]{n}} $$

6、（20 分）设 $S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$ 外侧，$\displaystyle f, g, h$ 是连续可微函数，求曲面积分 $$ I=\oiint_{S}\left(f(y z)-\frac{x y^{2}}{2500}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(g(x z)-\frac{y z^{2}}{2500}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(h(x y)-\frac{z x^{2}}{2500}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$

8、（20 分）记单位球 $\displaystyle B=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ ，设 $u$ 在 $B$ 上具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ．证明：$\displaystyle u(0)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{\partial B} u(x, y, z) \mathrm{d} S$ ．

10、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内连续且可导，且极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 都存在，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ ．

4、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上二阶可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ f(a)+f(b)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi) . $$

十、（15分）求 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}\left(2+x^{3}\right)} \mathrm{d} x$ 的连续区间．

12．（13 分）设函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 存在连续的偏导数． （1）$\displaystyle Q(x, y)$ 满足什么条件时，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ 与路径无关； （2）若对任意 $t$ ，恒有 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y d x+Q(x, y) d y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ ，求 $\displaystyle Q(x, y)$ 的表达式。

9．（12 分）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点的连续性，偏导数与方向导数的存在性．

三．设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \left|\begin{array}{ccc} f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ f^{\prime}(\xi) & g^{\prime}(\xi) & h^{\prime}(\xi) \end{array}\right|=0 $$ 并由此推出柯西中值定理．

12．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle A \leq f(x) \leq B, g(u)$ 在 $\displaystyle [A, B]$ 上连续，证明：$\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积．

3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内二阶可导，证明：对任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得 $$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(\xi)(x-b) . $$

5．解答如下问题： （1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明 Cauchy－Schwarz 不等式： $$ \left(\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x $$ （2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有连续的导函数，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，证明： $$ \int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x $$

十．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 附近存在一阶连续的偏导数，且 $\displaystyle f_{y}(0,1) \neq 0, f(0,1)=0$ ．证明：$\displaystyle f\left(x, \int_{0}^{t} \sin u \mathrm{~d} u\right)=0$在点 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 附近唯一确定单值函数 $\displaystyle t=\varphi(x)$ ，并求 $\displaystyle \varphi^{\prime}(0)$ ．

四．设 $\displaystyle 0<a<b, f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导． （1）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(b)-f(a)=\xi f^{\prime}(\xi) \ln \frac{b}{a}$ ． （2）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{x}-1)=\ln x$ ．

7．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续． （1）$\displaystyle [f(x)-f(y)][g(x)-g(y)] \geq 0$ ，证明： $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \geq(b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ ． （2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{1-f(x)} \leq \frac{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1}[1-f(x)] \mathrm{d} x}$ ．

9．已知 $$ f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases} $$ 求 $\displaystyle f(x, y)$ 偏导存在可微性连续性（？？？），$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点沿方向 $\displaystyle \mathbf{l}=(\cos \theta, \sin \theta)$ 的方向导数．

2．（15 分）讨论函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x y}{x} & x \neq 0 \\ y & x=0\end{array}\right.$ 的连续性，并确定它的连续点集．

四、（20分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，试证至少存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $$ \int_{a}^{b} f(x) d x=f(\xi)(b-a) \text { 成立, 其中 } a<\xi<b \text {. } $$

2．（15 分）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x y}{x} & x \neq 0 \\ y & x=0\end{array}\right.$ 的连续性，并确定它的连续点集．

六、（15 分）证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 存在二阶导数，$\displaystyle F(z)$ 存在连续导数，则函数 $$ u(x, t)=\frac{1}{2}[f(x-a t)+f(x+a t)]+\frac{1}{2 a} \int_{x \rightarrow a t}^{x+a t} F(z) d z $$ 是弦振动方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ 的解。

八、（20分）设函数 $\displaystyle f(w)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty]$ 上连续，且满足如下方程求 $\displaystyle f(w)$ $$ f(w)=e^{4 \pi w^{2}}+\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 4 w^{2}} f\left(\frac{1}{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d x d y $$

九、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可导，但不是常数，且有 $\displaystyle f(a)=f(b)=0$ ，则在 $\displaystyle [a, b]$上至少存在一点 $\displaystyle \mathbf{\xi}$ ，使得 $$ \left|f^{\prime}(\xi)\right|>\frac{4}{(b-a)^{2}} \int_{a}^{b} f(x) d x $$

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k, 0<a<b$ ，证明： $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} d x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a} $$

四、（15分）设 $\displaystyle p_{1}(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的 $k$ 次多项式，$\displaystyle p_{2}(x)$ 为 $\displaystyle [b, c]$ 上的 $k$ 次多项式，$\displaystyle p_{1}(x)$ 和 $\displaystyle p_{2}(x)$ 在点 $\displaystyle x=b$ 处连续，且一阶到 $r$ 阶导数均连续．证明必存在 $\displaystyle k-r-1$ 次多项式 $\displaystyle q(x)$ ，使得成立 $\displaystyle p_{2}(x)=p_{1}(x)+(x-b)^{r+1} q(x)$ 。

九、（10 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件： 1）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x)(x \in[a, b])$ ， 2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle s(x)$ ． 证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ．

五、（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 有界。证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 致连续．六、计算下列积分（每小题 10 分，共 3 小题，共 30 分） （1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ； （2） $\displaystyle \int_{0}^{2}\left[e^{x}\right] d x$（注 1 。 $\displaystyle ]$ 表取整函数）； （3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ ．

四、（20 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但偏导数在 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

九、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ ． 证明：$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

二、（10 分）求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,2)$ 内可导：$\displaystyle f(x)= \begin{cases}x^{2}-1 & 0 \leq x \leq 1, \\ a x+b & 1 \leq x \leq 2 .\end{cases}$

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是连续函数，求证． $\displaystyle \int_{0}^{2 a} f(x) d x=\int_{0}^{a}[f(x)+f(2 a-x)] d x$ ．并利用此式计算 $\displaystyle \int_{0}^{2 a} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ ．

四、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但偏导数在 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

九、（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件： 1）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x) \quad(x \in[a, b])$ ， 2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle s(x)$ ． 证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ．

四、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但偏导数在 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

九、（10 分）若 $\displaystyle f(x, y)$ 在闭区域 D 上连续，且在 D 内任意子区域 $G$ 上有 $\displaystyle \iint_{G} f(x, y) d \sigma=0$ 。 则在 D 上有 $\displaystyle f(x, y) \equiv 0$ ．

二、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2} y}{\sqrt{x^{4}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论函数的连续性和可微性．

九、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内二次可微．则：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ f(a)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)-f(b)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi) . $$

八、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}(x-t) f(t) d t, x \in[a, b]$ ，试求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(x)$ ．

二、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{m} \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x=0\end{array}\right.$（ $m$ 为正整数），试问：（1）$m$ 等于何值时，$f$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续；（2）$m$ 等于何值时，$f$ 在 $\displaystyle x=0$ 可导；（3）$m$ 等于何值时，$\displaystyle f^{\prime}$ 在 $\displaystyle x=0$ 连续．

2．（15 分） $\int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) d x$ ，其中 $f(0)=1, f(2)=5, f^{\prime}(2)=5$ 。

二、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但在此点不可微。

3．计算 $\int_{L} x d y+y d x$ ，其中 $L:$ 沿抛物线 $y=2 x^{2}$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ ．

2．求二重积分 $\iint_{D} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid \pi^{2} \leq x^{2}+y^{2} \leq 4 \pi^{2}\right\}$ 。

4．计算直线 $4 x+3 y=16$ 与椭圆 $18 x^{2}+5 y^{2}=45$ 之间的最短距离．

3．计算积分 $I=\iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} d x d y$ ，其中 $D$ 为平面曲线 $x y=1, x y=3, y^{2}=x, y^{2}=3 x$ 所围成的有界闭区域。

3．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^{m}}-\frac{n}{1-x^{n}}\right)$ ．

2．利用变换 $u=x+e^{y}, v=x-e^{y}$ 求解微分方程 $e^{2 y} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+\frac{\partial z}{\partial y}=0$ ．

1．设 $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $\mathbb{R}^{n}$ 连续， $\lim _{|\mathbf{x}| \rightarrow+\infty} f(\mathbf{x})=0$ ，其中 $\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right),|\mathbf{x}|=\sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}}$ ，求证： $\lim _{k \rightarrow \infty} \int_{[0,1]^{n}} f(k \mathbf{x}) \mathrm{d} x_{1} \cdots \mathrm{~d} x_{n}=0$ ．

2．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有二阶导数，且 $f(0)=f(1)=0$ ，若 $\min _{x \in[0,1]} f(x)=-1$ ．证明：存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi) \geq 8$ ．

5．求证：方程 $x=\int_{0}^{y} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1-t^{4}}}$ 在 $x=0$ 的邻域内确定了连续可微函数 $y=y(x)$ ，满足 $$ y^{\prime}(x)=\sqrt{1-y^{4}(x)} $$

2．若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}=0$ ，则 $f^{\prime}(0)=0$ ．此结论是否成立？为什么？

7．$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续可微，$h(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}, & x \neq y ; \\ f^{\prime}(x), & x=y .\end{array}\right.$ 证明：$h(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上连续．

10．证明：含参量 $u$ 的反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \sqrt{u} e^{-u x^{2}} \mathrm{~d} x$ 在 $u \in(0,+\infty)$ 上不一致收敛．

3．$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续可微，求证： $$ \max _{x \in[a, b]} f(x) \leq \frac{1}{b-a}\left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|+\int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x $$

8、 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微，且 $f(a)=f(b)=0$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=2025 f(\xi)$ ．

10、证明：函数 $f(x)=x \sin x$ 在 $\mathbb{R}$ 上不一致连续．

2、求三重积分 $I=\iiint_{V} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \sin \left(z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $$ V=\left\{(x, y, z): \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 3\right\} $$

5、设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，记 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t,(x \geq 0)$ ，证明： $F(x)$ 在 $x=0$ 处存在右导数，并求 $F_{+}^{\prime}(0)$ ．

1．试构造仅在 $x=0$ 和 $x=2026$ 两点可微的函数 $f(x)$ ，而在其余个点皆不连续．

3．设 $f(x)$ 可微，且有 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x f(x)+f^{\prime}(x)}{x}=L \in \mathbb{R}$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=L$ ．

7．计算 $f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{\sqrt{1-t}}$ 的幂级数展开式．

2．设 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 由 $x^{2}+y^{2}=2 y$ 和 $y \geq 1$ 围出，计算二重积分 $\iint_{D} \frac{2 y-y^{2}-x^{2}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)+\lambda f(\xi)=0$ ．

7．证明 $\displaystyle f(x, y)=\sqrt{|x y|}$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，并求 $\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ，判断 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性．

8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续，当 $\displaystyle x \rightarrow 0^{+}$时，$\displaystyle f(x) \rightarrow+\infty$ ，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x f(x)=0$ ．

10．（15分）设 $\displaystyle u(x, y)$ 所有二阶偏导数都连续，且 $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0, u(x, 2 x)=x, u_{x}(x, 2 x)=x^{2} $$ 求 $\displaystyle u_{x x}(x, 2 x), \overparen{u}_{x y}(x, 2 x), u_{y y}(x, 2 x)$ ．

2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上周期为 $T$ 的连续函数．证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x$ ．

3．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续可微，且 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ 均收敛，证明： $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 $$

4．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点．

5．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上可导，已知函数 $\displaystyle e^{-x} f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有界，证明：函数 $\displaystyle e^{-x} f(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上也有界．

3．计算 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{2026}\right)} \mathrm{d} x$ ．

二．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}\frac{|x y|^{\alpha}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) ; \\ 0, & (x, y)=0 .\end{cases}$ （1）$\displaystyle \alpha$ 取何值时，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续？ （2）$\displaystyle \alpha$ 取何值时，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微？

1．（10 分）设 $f$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上的连续函数，且 $f$ 在原点沿任意方向的方向导数存在．问：$f$ 在原点是否一定可微？若可微，给出证明，若不可微，给出反例．

7．（15 分）设函数 $\displaystyle f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，考虑方程 $\displaystyle f(x)=\operatorname{tg}(x)$ （1）证明：存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle x(t)$ 是方程在 $\displaystyle t \in(-\delta, \delta)$ 上满足 $\displaystyle x(0)=0$ 的唯一解． （2）求 $\displaystyle x(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 处的一阶泰勒展开式．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{1}{x}}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．

5．设函数 $f(x), g(x)$ 在有界区间 $I$ 上一致连续．证明：$f(x) g(x)$ 在该区间也一致连续．

10．设函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle B=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1\right\}$ 上有二阶连续偏导数且 $\displaystyle \Delta f \equiv 0$ 证明 $\displaystyle \iiint_{B}\left(x f_{x}+y f_{y}+z f_{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．

11．设连续函数 $\displaystyle f:(a, b) \rightarrow(a, b)$ ，存在 $\displaystyle c \in(a, b)$ 成立 $\displaystyle |f(x)-c|<|x-c|, x \in(a, b) \backslash\{c\}$证明：对于任意的 $\displaystyle x_{1} \in(a, b)$ ，由递推关系 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$ 确定的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫。

3．计算积分 $\displaystyle \iint_{D} x[1+y f(|x y|)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $D$ 为 $\displaystyle y=x^{3}, x=-1, y=1$ 围成的封闭区域且函数 $\displaystyle f(u)$ 连续．

7．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，证明：可以作适当的线性变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=x+a y \\ v=x+b y\end{array}\right.$ 可以将方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+4 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}+3 \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0$ 化为 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}=0$.

七．假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上四次连续可微，设 $$ g(x)=\frac{f(0)}{2}(x-1)(x-2)-f(1) x(x-2)+\frac{f(2)}{2} x(x-1) . $$ （1）证明：任给 $\displaystyle x \in[0,2]$ ，都存在 $\displaystyle \xi \in(0,2)$ ，使得 $$ f(x)-g(x)=\frac{f^{\prime \prime \prime}(\xi)}{6} x(x-1)(x-2) . $$ （2）证明：存在 $\displaystyle \eta \in(0,2)$ ，使得 $\displaystyle \int_{0}^{2}[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x=-\frac{1}{90} f^{\prime \prime \prime \prime}(\eta)$ ． （3）定义 $$ \varepsilon_{n}=\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{3 n} \sum_{i=1}^{n}\left[f\left(\frac{2(i-1)}{n}\right)+4 f\left(\frac{2 i-1}{n}\right)+f\left(\frac{2 i}{n}\right)\right] . $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{4} \varepsilon_{n}=-\frac{1}{180}\left[f^{\prime \prime \prime}(2)-f^{\prime \prime \prime}(0)\right]$ ．

4． $\iint_{\mathrm{S}}(2 x+z) d y d z+z d x d y, S=\left\{(x, y, z) \mid z=x^{2}+y^{2}, z \in[0,1]\right.$ ，取上侧．

2．讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{e^{n x}}$ 在 $[0,+\infty)$ 的一致收敛性以及 $[a,+\infty)$ 的一致收敛性

2．证明 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x^{3} y\right)+y^{3}}{x^{2}+y^{3}} d x$ 一致收敛。

4．已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续可微，且 $f(a)=0$ ，则 $\int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| d x \leq \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x$ ． （压住原题，做过 $a=0, b=a$ 的题）

九．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 ; \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{cases}$ （1）求 $\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ ； （2）证明：$\displaystyle f_{x}(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处不连续； （3）证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, a](a>1)$ 上连续，证明： $\displaystyle \int_{\frac{1}{a}}^{a} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{a}}^{a}\left[f(x)+\frac{1}{x^{2}} f\left(\frac{1}{x}\right)\right] \mathrm{d} x$ ．

1．（15 分）判断对错并说明理由（正确的给出证明，错误的给出反例）． （1）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界． （2）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界． （3）若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续且有界，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在．

10．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上只有可去间断点，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界．

4．计算 $\iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(a+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(a>0), S$ 取半球面 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．

5．计算 $I=\oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $L$ 是椭圆 $2 x^{2}+3 y^{2}=1$ ，方向沿逆时针方向．

7．设 $f(x, y)=\sqrt[3]{x^{3}+y^{3}}$ ． （1）讨论 $f(x, y)$ 在原点处沿任何方向的导数是否均存在？ （2）讨论 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 是否存在？若存在，求出其值． （3）讨论 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处是否可微？

4．计算曲线积分 $$ \int_{L}\left[2\left(x^{2}-x\right) e^{2 x}-x y\right] \mathrm{d} x+\left[x^{2}-(y+2) e^{y}\right] \mathrm{d} y $$ 式中 $L$ 是从 $(0,0)$ 经曲线 $y=x^{2}-2 x$ 到点 $A(4,8)$ 的一段弧．

5．计算曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}(R>0)$ 的上侧．

11．设 $x \geq 0, n$ 为正整数，$f(x)=\int_{0}^{x}\left(t-t^{2}\right) \sin ^{2 n} t \mathrm{~d} t$ ，证明：$f(x) \leq \frac{1}{(2 n+2)(2 n+3)}$ ．

14．证明：若在区间 $I$ 上函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 一致收敛，且对每个正整数 $n, f_{n}(x)$ 都在区间 $I$ 上有界，则函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致有界。

5、已知 $n$ 为正整数，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{n+1}$ ． （1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上连续． （2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数． （3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=2 \ln 2$ ．

9、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，令 $\displaystyle F(t)=\int_{0}^{1} \frac{t}{x^{2}+t^{2}} f(x) \mathrm{d} x$ ．证明：$\displaystyle F(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 处连续充分必要条件是 $\displaystyle f(0)=0$ ．

九．（15 分）已知黎曼函数 $$ R(x)= \begin{cases}\frac{1}{q}, & x=\frac{p}{q}, \text { 其中 } p, q \text { 为正整数, 且 }(p, q)=1 ; \\ 0, & x \text { 为无理数 } ; \\ 1, & x=0,1 .(\text { 可能有误, 黎曼函数在端点处取值应为 } 0)\end{cases} $$ 讨论并说明 $\displaystyle R(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性与连续性．

二．（15 分）已知 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域连续，且 $\displaystyle F(t)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq t^{2}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{F^{\prime}(t)}{e^{3 t}-1}$ ．

八．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内有定义，且在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续．证明： $\displaystyle \varphi(0,0)=0$ 的充分必要条件是 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微．

四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域存在连续的一阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在，求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}} $$

五、 $\displaystyle \left(20\right.$ 分）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{cases}$求 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y), ~ f_{y}^{\prime}(x, y)$ ，并证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，但不可微。

二、已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，且 $\displaystyle 0 \leq a<b$ ． 证明：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$ ．

七、已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{(x+y) \sin x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论原点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性及可微性．

四、已知 $\displaystyle f(u, v)$ 存在二阶连续偏导数，且 $$ g(x, y)=x y-f(x+y, x-y), $$ 求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ ．

3．设函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{4}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否连续，偏导数是否存在，是否可微．

4．设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，请计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 在坐标变换 $$ \left\{\begin{array}{l} u=x^{2}-y^{2} \\ v=2 x y \end{array}\right. $$ 下的表达式．

2、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点。

3、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续 $\displaystyle (a b>0)$ ，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明： $$ \frac{1}{b-a}\left|\begin{array}{cc} a & b \\ f(a) & f(b) \end{array}\right|=\xi f^{\prime}(\xi)-f(\xi), ~ \text { 其中 } \exists \xi \in(a, b) . $$

7．已知 $\displaystyle f(x)$ 二阶连续可微，证明： $$ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{2}(b-a)[f(a)+f(b)]=\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{\prime \prime}(x)(x-a)(x-b) \mathrm{d} x $$

8．设函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，$\displaystyle f(0)>0$ 且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geq 0, x \in[0,+\infty)$ ，证明：若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x$收玫，则反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛．

8、设对任意向量 $\alpha, \beta$ ，都有 $\lim _{t \rightarrow 0}\left[f\left(x_{0}+t \alpha, y_{0}+t \beta\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right]=0$ ，问函数是否在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续？

一．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=c, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=d$ ，䧈， $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。

七．（15 分）证明：若级数花 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}, n \in N_{\text {，}}$ 则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\prime} c_{n}$ 也收敛。 八（15 分）荐姠数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \|_{n}(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ ，且对们总 $\displaystyle n \in N_{*}, u_{n}(x)$ 位区间 $I$ ：连续，证明和函数 $\displaystyle f(x)$ 在区问 $I$ 上连续。

六．（15分）利用有限覆盖定理证明下述结论：如果 $D$ 是平面 $\displaystyle R^{2}$ 上的有界闭区域且函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $D$ 连续，则函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在区域 $D$ 有界。

四．（15 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ， $\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ，证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=1$ 。 五。（15 分）已知 $\displaystyle p>0$ ，当 $p$ 与 $q$ 满足什么关系时，方程 $\displaystyle x^{3}=3 p x+q$ 恰有三个实根。

1．求证：$I(n)=\frac{2 n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}$ ；

1．证明函数级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 的和函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上连续。

六．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 都连续且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=6$ ，若无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+x} f(x) d x$ 绝对收敛，则无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) d x$ 绝对收敛。

四．（15 分）半径为 $a$ 的球内有一球内接直圆柱，问直圆柱的底半径与高为多大时使直圆柱的体积最大？ 五（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则积分上限函数 $\displaystyle \phi(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 可导且 $\displaystyle \phi^{\prime}(x)=f(x)$ 。

一．（15 分）用函数极限的定义证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow c} \frac{1}{x}=\frac{1}{c}(c \neq 0)$ 。 $\displaystyle \therefore\left(15\right.$ 分）计算数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$ 。 三（15 分）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a .+\infty)$ 上连续，且存在 $\displaystyle A, B \in R$ ，使 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=A$ ， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=B$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 上有界。

八．（15 分）已知三次方程 $\displaystyle x^{3}-3 a^{2} x-6 a^{2}+3 a=0$ 只有一个正的实根，求 $a$ 的范围。九．（15 分）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而每个函数 $\displaystyle f_{n}(x)$在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续 $\displaystyle (n=1,2, \cdots), x_{n} \in[a, b](n=1,2, \cdots)$ 且数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $\displaystyle x_{0}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow f_{n}} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。

六．（15 分）已知 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { 若 }(x, y) \neq(0,0) \\ 0, & \text { 若 }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ， （1）求出 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y)$ 及 $\displaystyle f_{y}^{\prime}(x, y)$ ； （2）证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点连续； （3）证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点不可微。

十．（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z$ ，其中函数 $\displaystyle f(t)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续在 0 点右导数存在，且 $\displaystyle f(0)=0, f_{+}^{\prime}(0)=1$ 。

七．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续且 $\displaystyle f(x) \geq g(x)$ ，同时 $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{a}^{b} g(x) d x$ ，证明对所有的 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle f(x)=g(x)$ 。

二．（15 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续 $\displaystyle \| f(a)<0, f(b)>0$ 。证明： （1）集合 $\displaystyle A=\{x \in[a, b] \mid f(x)<0\}$ 有 $\displaystyle \mid$ ：确界。 （2）如果 $\displaystyle \sup A=l$ ，则 $\displaystyle f(l)=0$

四．（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 满足如下条件： （1）在圳区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续， （2）在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 可导。 则在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 。

六．（15 分）用确界定理证明连续函数根的存在性定理．

四．证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且函数值集合也是 $\displaystyle [a, b]$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=x_{0}$ ．

三．函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b], t_{1}+t_{2}+\cdots+t_{n}=1, t_{i}>0,(i=1,2, \cdots, n)$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得 $$ f(\xi)=t_{1} f\left(x_{1}\right)+t_{2} f\left(x_{2}\right)+\cdots+t_{n} f\left(x_{n}\right) $$

2、试问闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数类 $\displaystyle C[a, b]$ ，可导函数类 $\displaystyle D[a, b]$ ，可积函数类 $\displaystyle R[a, b]$ 之间有什么关系？请写出证明过程或举出反例．

7、已知 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，设 $$ F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text {, 证明: } F^{\prime}(x)=f(x) \text {. } $$

一、用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明闭区间上的连续函数可以达到最大值．

五、已知函数 $\displaystyle f(x, u)$ 在区域 $$ D=\{(x, y): a \leq x<+\infty, \alpha \leq u \leq \beta\} $$ 中连续，且积分 $\displaystyle \varphi(u)=\int_{a}^{+\infty} f(x, u) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上一致收敛， 证明：$\displaystyle \varphi(u)$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上连续．

十、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 存在连续导函数，且 $$ d_{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k-1}{n}\right) . $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n d_{n}=\frac{f(1)-f(0)}{2}$ ．

4、（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty}[b x-f(x)]=0 \text {, 其中 } b \text { 是非零常数. } $$ 则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有连续三阶导数，且 $\displaystyle f(-1)=0, f(1)=1, f^{\prime}(0)=0$ ，证明：在 $\displaystyle (-1,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ ．

十、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[a, b] \times[c, d]$ 上有二阶连续偏导数 （1）通过计算验证： $\displaystyle \iint_{D} f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) d x d y=\iint_{D} f_{y x}^{\prime \prime}(x, y) d x d y$ ； （2）利用（1）证明：$\displaystyle f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=f_{y x}^{\prime \prime}(x, y),(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in \mathrm{D}$ 。

一、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{n} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}, n\right.$ 为正整数， （1）当 $n$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处连续； （2）当 $n$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处可导； （3）当 $n$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处连续．

五、（15 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上有连续的各阶导函数．

5、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续二阶导数且 $\displaystyle f(0) f(1) \geq 0$ ，证明： $$ \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leq 2 \int_{0}^{1}|f(x)| d x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| d x $$

6、（15 分）假设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可导，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ 且对任意 $\displaystyle x \in(0,1)$ ， $\displaystyle f(x) \neq 0$ ，证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| d x>4$ ．

8、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ，证明： $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} d x=(f(0)-k) \ln \frac{b}{a}(a, b>0) $$

7、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，定义 $\displaystyle \alpha$ —阶积分算子（ $\displaystyle \alpha>0$ ）： $\displaystyle I^{\alpha} f(x)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_{0}^{x}(x-s)^{\alpha-1} f(s) \mathrm{d} s$ ，其中 $\displaystyle \Gamma(\alpha)$ 为伽马函数。 利用积分换序原理证明：当 $\displaystyle \mathbf{\alpha}, \mathbf{\beta}>\mathbf{0}$ 时，有 $$ I^{\alpha}\left(I^{\beta} f(x)\right)=I^{\alpha+\beta} f(x)=I^{\beta}\left(I^{\alpha} f(x)\right) . $$

七．（25 分）讨论函数 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos x^{2}}{x^{\alpha}}$ 在 $\displaystyle \alpha \in(-1,1)$ 的连续性．

二．（20分）证明闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ 存在最大值和最小值．

13．设 $\displaystyle f\left(x_{n}, v_{n}\right)$ 存在，$\displaystyle f(x, v)$ 在 $\displaystyle \left(x, v_{n}\right)$ 连续，证明 $\displaystyle f(x . v)$ 在 $\displaystyle \left(x_{n}, v_{n}\right)$ 可微。

5．$\displaystyle y^{2}+f\left(x^{2}, z\right)=1$ 能确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，且 $\displaystyle f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.

7．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，$\displaystyle f(0)=f(1)$ ．证明：存在 $\displaystyle x_{0} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\frac{1}{2}\right)$

3、 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 偏导数存在且相等，则 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续．

二、（10 分）求 $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} d x d y$ ，区域 $\displaystyle D:|x| \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ． 1、 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续． 2、函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle [a, u]$ 可积 且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收玫，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫． 3、 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 偏导数存在且相等，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续．

七、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty+\infty)$ 上连续，在 $\displaystyle x=0$ 处可导，且满足 $$ f(x)=2025 x^{2024}+4 x^{3} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}+x \int_{0}^{1} f(x) d x $$ 求 $\displaystyle f(x)$ 表达式．

八、 $\displaystyle \left(10\right.$ 分 ）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 . & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 的连续性和可微性．

4．设 $\alpha>0$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}-\frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\right]$ ．

9．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 一阶连续可导，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在，证明： $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\tan x)-f(\sin x)}{x^{3} \ln (1+x)}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) $$

十、设函数 $\displaystyle f(u)$ 在区间 $\displaystyle [A, B]$ 上连续，$\displaystyle u=\varphi(t)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 上可积，当 $\displaystyle t \in(a, b)$ 时， $\displaystyle A \leqslant \varphi(t) \leqslant B$ ，证明：$\displaystyle f(\varphi(t))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可积．

10、（15 分）$f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n \int_{0}^{1} x^{n} f(x) d x=f(1)$ ．

2、（15 分）已知 $\displaystyle f(1)=f(0), f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，证明：$\displaystyle f(\xi)=f\left(\xi+\frac{1}{2}\right)$ ．

三、（本题满分 10 分）已知函数 $\displaystyle f(x)=\frac{e^{2 \sin x}-\cos x}{x}$ ，讨论 $\displaystyle f(x)$ 的间断点及其类型．

九、（本题满分 10 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,2)$ 上可导，且满足 $\displaystyle f(0)=f(2)$ ，证明：$\displaystyle \left(\int_{0}^{2} x f^{\prime}(x) d x\right)^{2} \leq \frac{2}{3} \int_{0}^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} d x$ ．

十、（本题满分 10 分）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{|x-y|^{\alpha}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，回答以下问题： （1）当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，试讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性； （2）当 $\displaystyle \alpha \geq 2$ 时，试讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上二阶可导，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ．证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{2 f^{\prime}(\xi)}{1-\xi}$.

3．讨论函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性和可微性．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶连续可导，$\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ．证明：存在一点 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{f(a)+f(b)}{2}(b-a)+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{6}(b-a)^{3} $$

3．讨论黎曼函数 $\displaystyle R(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{q}, x=\frac{p}{q}\left(\frac{p}{q} \text { 是既约真分数 }\right. \\ 0, x \text { 是 }(0,1) \text { 无理数或 } 0 \text { 或 } 1\end{array}\right.$ 的连续性。

2、（15 分）已知 $f$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 连续，且 $f$ 不恒为 0 ． （1）$\displaystyle A=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+f(x) \sin x}-1}{3^{x}-1}$ 是否能够应用洛必达法则计算． （2）计算 $A$ 的值．

3、（15 分）$\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \cos \frac{1}{x^{2}+y^{2}} & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 & x^{2}+y^{2} \neq 0\end{array}\right.$ ，试判断 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(x, y)$ 与 $\displaystyle f_{y}^{\prime}(x, y)$在点 $\displaystyle (0,0)$ 是否连续．

2．设 $a_{i} \geq 0(i=1, \cdots, p)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{1}^{n}+\cdots+a_{p}^{n}\right)^{\frac{1}{n}}=(\quad)$

5．已知函数 $F(x, y)$ 可微，则曲面 $F(x-a z, y-b z)=0$ 的切平面与定方向 $\vec{v}=(\quad)$ 平行．

6．设函数 $f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数，$z=f\left(x, \frac{x}{y}\right)$ ，则 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=(\quad)$

10．曲线积分 $\int_{L} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}=(\quad)$ ，其中 $L$ 为曲线 $x^{2}-2 x+y^{2}=3$ ，方向取正向．

六、（20 分）证明函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上连续，且有连续的导数．

四、（10 分）证明函数 $$ f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 \end{array}\right. $$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的邻域中连续，$\displaystyle f_{x}(x, y)$ 和 $\displaystyle f_{y}(x, y)$ 有界，但在点 $\displaystyle (0,0)$ 不可微．

3．设 $f(x)=\frac{1}{x^{2}-3 x+2}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

10．曲面积分 $\iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $S$ 是球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geq 0$ ．

4．描述区间套定理，并用区间套定理证明致密性定理．

3．已知 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+2 x^{2}\right)-x f(x)}{x^{2}}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．用 $\displaystyle C[-1,1]$ 表示闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续函数的合集，对任意的 $\displaystyle f(x) \in[-1,1]$ ，记 $\displaystyle A(f(x))=\int_{-1}^{0} f(x) d x-\int_{0}^{1} f(x) d x$ ．求 $\displaystyle \sup \left\{A(f(x))\left|\max _{-1 \leqslant x \leqslant 1}\right| f(x) \mid \leqslant 1, f(x) \in C[-1,1]\right\}$ ．

2．极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．设 $f(x)=\frac{x^{4}}{1-x^{2}}$ ，则 $f^{(2026)}(0)=$ $\_\_\_\_$。

6．设 $f(x)$ 二次可微，且 $\sup _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leq 2$ ，若 $f(0)=f(1)=2$ ，且曲线 $y=f(x)-x^{2}$ 与直线 $y=2-x$交于点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(0<x_{0}<1\right)$ ，则对任意的 $x \in(0,1), f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

10．计算曲面积分 $$ I=\iint_{S} \frac{2 x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(x+2)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} $$ 其中 $S: z=-\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ ，取上侧，则 $I=$ $\_\_\_\_$ ．

1．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有一阶连续导数，定义 $s_{n}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\frac{k}{n}\right)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}$ ．

八、已知 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln \left(e^{n}+x^{n}\right)}{n}(x>0)$ ， （1）求 $\displaystyle f(x)$ 的解析式； （2）判断 $\displaystyle f(x)$ 在其定义域内是否连续．

十一、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续且无穷积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：存在严格增大的 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty \text { 且 } \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0 \text {. } $$

七．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \Omega$ 上有定义，关于 $\displaystyle x, y$ 连续且关于 $y$ 单调递减，证明 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \Omega$ 上连续．

八．已知 $\displaystyle a, b>1, F(x)$ 定义在 $\displaystyle [0,1]$ ，且 $\displaystyle F(a x)=b F(x)$ ，证明 $\displaystyle F(x)$ 在 0 处右连续．

1．（13 分）已知 $\displaystyle a, b>0$ ，且 $\displaystyle c=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{4}{\ln (1+x)}-\frac{4}{x}\right)$ ，定义函数 $$ f(x)= \begin{cases}\frac{\sin (a x)}{x}, & x<0 \\ c, & x=0 \\ (1+b x)^{\frac{1}{x}}, & x>0\end{cases} $$ 若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内处处连续，求常数 $\displaystyle a, b$ 和 $c$ ．

11．（14 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上分段连续，即存在 $\displaystyle [a, b]$ 的一个有限分割 $\displaystyle a=x_{0}<x_{1}< x_{2}<\cdots<x_{n}=b$（其中 $n$ 为固定整数），使得 $\displaystyle f(x)$ 在每个区间 $\displaystyle \left(x_{i-1}, x_{i}\right)$ 上连续且分点 $\displaystyle x_{i}$ 处都存在左右极限．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．

2．（13 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ f(\xi)+f^{\prime}(\xi)=\frac{\mathrm{e}^{b} f(b)-\mathrm{e}^{a} f(a)}{\mathrm{e}^{b}-\mathrm{e}^{a}} $$

3．（13 分）证明函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}x y \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但是偏导数在点 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$可微。

6．（14 分）证明：黎曼 zeta 函数 $\displaystyle \zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上连续且无穷次可微。

10、（12分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle 0<a<b$ ，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=k$ ． 证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{f(a x)-f(b x)}{x} \mathrm{~d} x=[f(0)-k] \cdot \ln \left(\frac{b}{a}\right)$ ．

11、（13 分）设 $\displaystyle u=x+y, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, z=z(x, y)$ ．若取 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量，试着用新变量 $\displaystyle u, v$ 变换等式：$\displaystyle x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \approx\left(x^{2}+y^{2}\right) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ． 注：其中所有出现的二阶偏导数都连续．

5．设 $f(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且绝对可积．证明：$g(w)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos (w t) \mathrm{d} t$ 在 $w \in(-\infty,+\infty)$上有界且一致连续．

1．极限 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) \neq A$ 的语言是 A． B． C． D．

3．变上限积分 $\int_{0}^{x} t e^{t} d t=$ A． B． C． D．

4．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 的收玫性是 A． B． C． D．

2、求曲面 $x^{2}+y^{2}=a z,(a>0), z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成立体区域的体积．

2．（15 分）将 $f(x)=\ln x$ 按 $\frac{x-1}{x+1}$ 进行泰勒展开．

7．（15分）设 $f(x)$ 在 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 连续 $\left(x_{1} x_{2}>0\right)$ ，在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 可导，证明：存在 $\xi \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，使得 $$ \frac{1}{x_{2}-x_{1}}\left|\begin{array}{ll} x_{1} & f\left(x_{1}\right) \\ x_{2} & f\left(x_{2}\right) \end{array}\right|=\xi f^{\prime}(\xi)-f(\xi) . $$

8．（15分）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 有二阶导数，且满足 $$ f(x)+f^{\prime \prime}(x)=-x g(x) f^{\prime}(x), $$ 其中 $g(x) \geqslant 0$ ．证明：$|f(x)|$ 有界．

2．求 $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ ．（6 分）

10、 $\displaystyle z=f(2 x-y, y \sin x)$ 有连续二阶偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

3、 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle (a, b)$ 内可导，且 $\displaystyle f(a) \neq f(b)$ ，试证：$\displaystyle \exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\varphi)=\frac{a+b}{2 \eta} f^{\prime}(\eta)$.

4、 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 有连续导函数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，证不等式： $$ \int_{0}^{1} f^{2}(x) d x \leq 4 \int_{0}^{1}(1-x)^{2}\left(f^{\prime}(x)\right)^{2} d x \text { 成立. } $$

5、讨论二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{y^{3}+2 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0, \quad(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在原点连续性及可微性．

3、设 $x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n},(\forall n \geq 1)$ ，证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 收玫。

11．（14分）设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，且 $\displaystyle f\left(x_{0}, y_{0}\right)=0 . g(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续．证明：$\displaystyle f(x, y) g(x, y)$在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，且 $\displaystyle \mathrm{d}(f g)\left(x_{0}, y_{0}\right)=g\left(x_{0}, y_{0}\right) \mathrm{d} f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．

12．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [0,1]$ 上非负且严格单调增加的连续函数．证明：对任意的正整数 $n$ ，存在唯一的 $\displaystyle x_{n} \in[0,1]$ ，使得 $\displaystyle \left(f\left(x_{n}\right)\right)^{n}=\int_{0}^{1}(f(x))^{n} \mathrm{~d} x$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=1$ ．

9．（12 分）设 $\displaystyle f:[0,+\infty) \rightarrow[0,+\infty)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=a \in(0,+\infty)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x} f(x)$存在且为正．

1、证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,1]$ 上不一致收敛。

六、设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \cdot \sin \left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\right), & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0 & , x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 。 1、求 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}$ ． 2、 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} 、 \frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 是否连续，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 是否可微？

12、证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 有连续导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，且 $$ f_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right], $$ 则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset(a, b)$ 一致收玫于导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．

5、设 $\displaystyle u=f(r)$ 二阶连续可导，且 $\displaystyle r^{2}=x_{1}{ }^{2}+x_{2}{ }^{2}+\cdots+x_{n}{ }^{2}$ ，证明： （1）$\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}=\frac{\mathrm{d}^{2} u}{\mathrm{~d} r^{2}}+\frac{n-1}{r} \frac{\mathrm{~d} u}{\mathrm{~d} r},(r \neq 0)$ ． （2）求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{1}{ }^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{2}{ }^{2}}+\cdots+\frac{\partial^{2} u}{\partial x_{n}{ }^{2}}=0$ 的解。

12、证明： （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 收敛但非一致收敛。 （2）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续．

3、设 $\displaystyle f(x)$ 是定义在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的一个连续周期函数，周期为 $\displaystyle p>0$ ，证明： $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{p} \int_{0}^{p} f(t) \mathrm{d} t . $$

5、设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的邻域内连续． （1）$\displaystyle \varphi(x, y)$ 满足什么条件？偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0), f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在． （2）$\displaystyle \varphi(x, y)$ 满足什么条件？$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微。

9、如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足条件： （i）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle n=1,2,3, \cdots$ ． （ii）导函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle \varphi(x)$ ． （iii）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 至少在某个 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 收敛，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}\left(x_{0}\right)=y_{0}$ ． 那么 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于某个连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ ，并且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\varphi(x)$ ．

10．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ．证明：对任意的 $\displaystyle x \in(0,1)$ ，存在 $\displaystyle \xi(x) \in(0, x)$ ，使得 $\displaystyle \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=f(\xi(x)) x$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\xi(x)}{x}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ．

8．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，且存在正数 $\displaystyle \alpha$ ，使得 $\displaystyle f(x) \leq \alpha \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，证明：对任意的 $\displaystyle x \geq 0$ ，有 $\displaystyle f(x) \leq 0$.

9．（15 分）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一闭区域，$\displaystyle \Sigma$ 为其边界，且分段光滑，$\displaystyle u, v$ 有连续的二阶偏导数，证明： $$ \iiint_{\Omega} v \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为 $u$ 沿曲面 $\displaystyle \Sigma$ 外法线方向的方向导数，$\displaystyle \nabla u, \nabla v$ 为 $\displaystyle u, v$ 的梯度．

九．（10 分）设 $f$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上无界的连续函数．问： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否发散？给出证明或反例．

五．（15分）设 $\displaystyle u=f(x, y, z)$ 的所有二阶偏导数都连续，$\displaystyle v=f(x(s, t, r), y(s, t, r), z(s, t, r))$ ，其中 $$ \left\{\begin{array}{l} x(s, t, r)=\frac{1}{9}(a x+4 t+8 r) \\ y(s, t, r)=\frac{1}{9}(4 s+b t-4 r) \\ z(s, t, r)=\frac{1}{9}(8 s-4 t+c r) \end{array}\right. $$ 试讨论是否存在常数 $\displaystyle a, b, c$ ，使得当 $\displaystyle x=x(s, t, r), y=y(s, t, r), z=z(s, t, r)$ 时，总成立 $$ \left.\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right)\right|_{(x, y, z)}=\left.\left(v_{s s}+v_{t t}+v_{r r}\right)\right|_{s, t, r} . $$ 若存在，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值．

十一．（10 分）设 $u$ 是平面开区域 $D$ 上的二元函数，且所有的偏导数连续．证明：$u$ 是 $D$ 上的调和函数，即在 $D$ 上 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0 \Longleftrightarrow$ 对 $D$ 内任意圆周 $L$ ，有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n}=0$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 表示 $u$ 在 $L$ 上的外法向导数．

6、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微， $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，且有 $$ f^{\prime}(x)+f(x) \tan x=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t $$ 证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上恒为零．

7、函数 $\displaystyle f(x, y)$ 存在二阶连续偏导数，且 $\displaystyle f(0,0)=2024, f_{x x}^{\prime \prime}+f_{y y}^{\prime \prime}=2 x y$ ， 记 $\displaystyle L_{r}: x^{2}+y^{2}=r^{2},(r>0)$ ，求 $\displaystyle I(r)=\frac{1}{2 \pi r} \int_{L_{r}} f(x, y) \mathrm{d} s$ ．

2．（20 分）已知函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上可微，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1$ ． （1）证明：存在 $\displaystyle \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ ，使得 $\displaystyle f(\eta)=\eta$ ． （2）证明：存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)-\lambda[f(\xi)-\xi]=1$ ．

4．（15 分）解答如下问题： （1）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi} f(x)|\sin n x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x$ ． （2）设 $\displaystyle f(x)$ 连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_{a}^{b}|f(x)|^{n} \mathrm{~d} x\right)^{\frac{1}{n}}=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ．

9．（15 分）二元函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ 上具有二阶连续偏导数，且在边界 $\displaystyle \partial D$ 上 $\displaystyle u=0$ ．如果 $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}(x, y)+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}(x, y)=-\lambda u(x, y), \forall(x, y) \in D $$ （1）证明： $\displaystyle \iint_{D}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lambda \iint_{D} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ． （2）若存在函数 $\displaystyle f, g$ ，使得 $u$ 可以表示为 $\displaystyle u(x, y)=f(x) g(y)$ ，且在区域 $D$ 内部 $\displaystyle u>0$ ，求 $\displaystyle \lambda$ 的值．

2．对 $n \geq 1$ ，设 $S_{n}(x)=\frac{x}{1+n^{2} x^{2}}$ ，证明：函数列 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛．

3．当 $n \geq 1$ 时，$T_{n}(x)=\frac{\sqrt{x}}{1+n^{2} x^{2}}$ ，问：函数列 $\left\{T_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上是否一致收敛？请证明你的结论．

二、（12 分）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{a} \ln \left(1+x^{2}\right) & x>0 \\ 0 & x \leq 0\end{array}\right.$ ，试确定 $a$ 的范围，使 c 分别满足 （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)$ 存在； （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续； （3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处可导．

五、（15 分）设函数为 $\displaystyle f(x)$ 连续函数． （1）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$ ． （2）求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) d x$ 的值．

三．（10 分）证明：设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上只有第一类间断点，则 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,1]$ 上的有界函数．

九．（10 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin n x}{n \ln n}$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x\left(1-x^{2}\right), & x \in \mathbb{Q}, \\ x\left(1+x^{2}\right), & x \notin \mathbb{Q} .\end{array}\right.$ 请讨论 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续性与可导性（需说明理由）．

2．设 $z=z(x, y)$ 由 $f(z-x, z-y)=0$ 所确定，其中 $f(u, v)$ 具有连续的一阶偏导数，且 $\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v} \neq 0$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$ ．

4．求第二型曲面积分 $\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}$ ，其中 $S$ 为 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ ，方向向上．

7．设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，什么情况下方程 $\displaystyle f(x) y=g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上确定了唯一的连续解？

3．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续函数，若 $\displaystyle \lim _{|x| \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ，则存在 $\displaystyle x_{0} \in \mathbb{R}$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 可以取到 $\displaystyle \inf _{x \in \mathbb{R}} f(x)$ ．

4．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，$\displaystyle g(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，证明 $\displaystyle f(x, y) g(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微。

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ，且对任意的 $\displaystyle x \in(0,1), f(x) \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x>4$ ．

8．叙述二元函数 $z=z(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微的定义．

10．计算不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{\sin ^{7} x \cos x}}$ ．

九．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](b>a>0)$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 内可导．证明：存在 $\displaystyle \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{(b+a) f^{\prime}(\eta)}{2 \eta}$ 。（15 分）

五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, A]$ 上连续，证明： $$ \left.\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{\infty}[f(t+h)-f(t)] d t=f(x)-f a\right) \quad(a<x<A) . \quad(15 \text { 分 }) $$

八．（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle 0 \leq f^{\prime}(x) \leq f(x), f(0)=0$ ．试证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上 $\displaystyle f(x) \equiv 0$. （2）证明：不存在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的正值连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(x)+\sqrt{f(x)} \leq 0$ 。（20 分）

三．设函数 $f$ 连续，$\displaystyle f^{\prime}(0)$ 存在，且对任何 $\displaystyle x, y$ 都有 $\displaystyle f(x+y)=\frac{f(x)+f(y)}{1-4 f(x) f(y)}$ ，证明： （1）$f$ 可导；（2）若 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 。（15分）

五．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f^{n}(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内存在，试证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(b)+f(a)-2 f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{(b-a)^{2}}{4} f^{\prime \prime}(\xi) . \quad(15$ 分 $\displaystyle )$ （共 $\displaystyle \_\_\_\_$ 2页，第 $\displaystyle \_\_\_\_$页）

四．证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续可微，且无穷积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) d x$ 均收玫，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(x)=0 .(15$ 分 $\displaystyle )$

九、设二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在正方形区域 $\displaystyle [0,1] \times[0,1]$ 上连续，记 $\displaystyle I=[0,1]$ 。（15 分）． （1）．试比较 $\displaystyle \inf _{y \in I} \sup _{x \in I} f(x, y)$ 与 $\displaystyle \sup _{x \in I} \inf _{y \in I} f(x, y)$ 的大小并证明之； $$ \begin{aligned} & \frac{4 y^{2}-x^{2}-8 x y}{\left(x^{2}+x y^{2}\right)^{2}} \\ & =0 . \end{aligned} $$ （2）给出并证明使等式 $\displaystyle \inf _{y \in I} \sup _{x \in I} f(x, y)=\sup _{x \in I} \inf _{y \in I} f(x, y)$ 成立的充分条件；（你认为最好的）

十、（1），证明 $\displaystyle l(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{y}{2+y^{x}} d y$ 在 $\displaystyle (2,+\infty)$ 内连续； $$ \ln _{n \rightarrow b} a_{n}=a . $$ （2）利甲欧拉积分计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{2}}{1+x^{4}} d x$ ；其中 $\displaystyle \Gamma(s) \Gamma(1-s)=\frac{\pi}{\sin \pi s} ;(0<s<1)$ 。（15分）。 $$ m \times \frac{m}{n_{n}}-\frac{1}{n^{2}} $$

2． $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{n^{2}}\left(\tan \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ ．

1．设正项然数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\forall k>0$ ，正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散，

2．证明函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin \frac{1}{5^{n} x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上收敛，但不⋯致收敛。

七、（15分）设 $f$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期，且具有二阶连续可微的函数，$\displaystyle b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{\pi} f(x) \sin n x d x$ ， $\displaystyle b_{n}^{*}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{\prime \prime}(x) \sin n x d x$ 。若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{\prime \prime}$ 绝对收敛，证明：$\displaystyle \quad \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\left|b_{n}\right|} \leq \frac{1}{2}\left(2+\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}^{\prime \prime}\right|\right)$ ．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 上连续，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{2 \pi} f(x)|\sin n x| d x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} f(x) d x$ ．

十、（15分）求积分 $\displaystyle \iint_{S}[f(x, y, z)+x] d y d z+[f(x, y, z)+z] d x d y+[2 f(x, y, z)+y] d x d z$ ； 其中 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $S$ 上的连续函数，$S$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 在第 $\displaystyle I V$ 卦限部分之上侧．

七、（12 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x \in[-a, a], x \neq 0$ ，有 $\displaystyle |f(x)| \leq|x|$ ． $$ \text { 又 } f_{1}(x)=f(x), f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right), \cdots, f_{n+1}(x)=f\left(f_{n}(x)\right), \cdots $$ 证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛于 0 ．

八、（12 分）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-e^{x\left(x^{2}+y^{2}\right)}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性，可微性，偏导数的存在性以及偏导数的连续性．

六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内周期为 $\displaystyle T(>0)$ 的连续函数，证明： （1）任给 $\displaystyle a \in(-\infty,+\infty), \int_{a}^{a+T} f(x) d x=\int_{0}^{T} f(x) d x$ ； （2）$\displaystyle \quad \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) d t=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) d t$ ．

2．求 $$ \lim _{m \rightarrow \infty} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{m}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin \frac{k}{m n} $$

2．给出函数 $g:(-1,1) \rightarrow R, g$ 只在一点可导．

1．设函数 $h(x)$ 在 $R$ 上可导，且存在 $K \geq 0$ 使 $$ \left|h^{\prime}(x)\right| \leq K, \forall x \in R . $$ 则 $h(x)$ 在 $R$ 上一致连续。

二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上一个非常数的连续函数，$\displaystyle M, m$ 分别是其最大值和最小值．求证：存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，使得 $\displaystyle x \in[\alpha, \beta]$ 时，$\displaystyle m<f(x)<M$ ．

六、（15 分）设连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle g(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续．证明： $\displaystyle \left\{g\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(f(x))$.

4． $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{x} \sin x d x$ ；

2．用等价无穷小替换计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x}{1-\cos x}$ 。

2．设 $p$ 表示原点到椭球面 $S: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上任一点 $(x, y, z)$ 的切平面的距离，证明 $\oiint_{S} \frac{1}{p} d S=\frac{4 \pi}{3} a b c\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right)$.

2．给出一个求正数 $a$ 的算术平方根的迭代算法，并分析算法的收玫阶。

三、（15 分）（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可导，$\displaystyle f(a)=0$ ，且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可积．证明： $$ |f(x)| \leq \int_{a}^{x}\left|f^{\prime}(t)\right| d t ; x \in[a, b] $$ （2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内连续可导．试证： $$ |f(x)| \leq \int_{0}^{1}\left[|f(t)|+\left|f^{\prime}(t)\right|\right] d t, \quad x \in[0,1] $$ 四 、（15 分 ）设 $f$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上可导，$\displaystyle f(0)=1, f(-1)=f(1)=0$ ．证 明 ：对 任 给 $\displaystyle a \in(-1,1), \quad \exists \xi \in(-1,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=a$ ．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 0 点的某邻域内二阶连续可微，且 $\displaystyle f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 均不为 0 ．证明存在唯一组实数 $\displaystyle \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ ，使得 $$ \lambda_{1} f(h)+\lambda_{2} f(2 h)+\lambda_{3} f(4 h)-f(0)=o\left(h^{2}\right) $$

十、（15 分）设函数 $\displaystyle u=f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle { }^{3}$ 上对变量 $z$ 连续，对变量 $y$（关于 $z$ ）一致 连续，且 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 在口 $\displaystyle { }^{3}$ 上有界，证明：$\displaystyle u=f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle { }^{3}$ 上连续．

三、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle U\left(x_{0} ; \delta_{1}\right)$ 内二阶连续可微，记 $\displaystyle I(\delta)=\frac{1}{2 \delta} \int_{x_{0}-\delta}^{x_{0}+\delta} f(x) d x, 0<\delta<\delta_{1}$ （1）证明： $\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0^{+}} I(\delta)=f\left(x_{0}\right)$ ； （2）假设 $\displaystyle f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ．求 $\displaystyle I(\delta)-f\left(x_{0}\right)$ 当 $\displaystyle \delta \rightarrow 0^{+}$时的主要部分．（15 分）

六、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上二阶连续可微，且 $\displaystyle f(-\pi)=f(\pi), f^{\prime}(-\pi)=f^{\prime}(\pi)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的 Fourier 系数有如下估计： $\displaystyle \_\_\_\_$ 602科目名称： $\displaystyle \_\_\_\_$数学分析 $$ a_{n}=o\left(\frac{1}{n^{2}}\right) ; b_{n}=o\left(\frac{1}{n^{2}}\right) ;(n \rightarrow \infty)(10 \text { 分 }) $$

十、设 $f$ 是有界开区域 $\displaystyle D \subset R^{2}$ 上的一致连续函数，证明： （1）．可将 $f$ 连续延拓到 $D$ 的边界； （2）．$f$ 在 $D$ 上有界．（15分）

2． $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

2、若对任意的 $x \in(0,2)$ ，有 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \leq M$ ，证明 $$ f(x) \equiv 0, x \in[0,2] . $$

1、举例说明上述命题是假命题．

四、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (0,2)$ 上可导，且 $\displaystyle f(\mathbf{0})=f(\mathbf{2})=\mathbf{0}$ 。记 $\displaystyle M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}$ 。

七、（20 分）解答如下问题： （1）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，且 $$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-x y^{2}}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1 . $$ 试着问：点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的驻点？进一步讨论点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值点？若是，是极大值点还是极小值点？若不是，请说明理由． （2）设 $\displaystyle u(x, y, z)$ ，且令 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r \sin \varphi \cos \theta \\ y=r \sin \varphi \sin \theta \\ z=r \cos \varphi\end{array}\right.$ ，若 $$ x u_{x}+y u_{y}+z u_{z}=0 $$ 证明：$u$ 仅为 $\displaystyle \theta$ 与 $\displaystyle \varphi$ 的函数．

三、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处连续，且对任何的 $\displaystyle x, y \in \mathbb{R}$ ，有 $$ f(x+y)=f(x)+f(y) . $$ 证明：（1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续． （2）对 $\displaystyle \forall x \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle f(x)=f(1) \cdot x$ ．

五、（15 分）解答如下问题： （1）证明：若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 均在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则有 $$ \left[\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leq \int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b}[g(x)]^{2} \mathrm{~d} x $$ （2）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$ ．

三．（ 15 分）设 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{\sin (x y)}{y}, & y \neq 0 \\ 0, & y=0\end{cases} $$ 判断 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否连续，可微？方向导数是否存在？

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上恒正连续，$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫域．

2． $\lim _{R \rightarrow+\infty} \iiint_{1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}} \frac{d x d y d z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}}(p>0)$ 的玫散性．

八．1．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，证明 $\displaystyle g(x)=\frac{|f(x)|}{1+x^{2}}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有最大值．

四、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $$ f_{1}(x)=f(x), f_{n}(x)=\int_{x}^{1} f_{n-1}(t) d t, x \in[0,1], \quad n \geq 2 $$ 证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

4．（15＇）若 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上二阶连续可微，且满足以下条件： （i）$\displaystyle f(a)<0, f(b)>0$ ； （ii）$\displaystyle f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0, \forall x \in[a, b]$ ． （1）证明：方程 $\displaystyle f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内有唯一的根 $\displaystyle \xi$ ； （2）取 $\displaystyle x_{0}=b$ ， $$ x_{n+1}=x_{n}-\frac{f\left(x_{n}\right)}{f^{\prime}\left(x_{n}\right)} $$ 证明：$\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $\displaystyle \xi$ ，并计算 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n+1}-\xi}{\left(x_{n}-\xi\right)^{2}}$ ．

5．（15＇）设 $\displaystyle \varphi(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x^{\alpha}\left(2+x^{3}\right)} \mathrm{d} x$ ． （1）求 $\displaystyle \varphi(\alpha)$ 的定义域 （2）证明：$\displaystyle \varphi(\alpha)$ 在定义域内连续。

7．（15＇）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数，$L$ 是上半平面 $\displaystyle (y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $\displaystyle (a, b)$ ，终点为 $\displaystyle (c, d)$ ，记 $$ I=\int_{L} \frac{1}{y}\left[1+y^{2} f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right] \mathrm{d} y $$ （1）证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关； （2）当 $\displaystyle a b=c d$ 时，求 $I$ 的值．

八．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 分别为闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 及 $\displaystyle [c, d]$ 上的连续函数，定义 $$ F(x, y)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \cdot \int_{c}^{y} g(s) \mathrm{d} s, a \leq x \leq b, c \leq y \leq d . $$

2．若 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有界且连续，则 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续．

七．（15 分）记 $$ C[a, b]=\{f \mid f \text { 为有界区间 }[a, b] \text { 上的连续函数 }\} \text {. } $$ 对任意的 $\displaystyle f \in C[a, b]$ ，另 $\displaystyle T(f)=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ． （1）证明：对任意的 $\displaystyle f, g \in C[a, b]$ ，有 $\displaystyle T(f+g) \leq T(f)+T(g)$ ． （2）设 $\displaystyle C[a, b]$ 中的函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 满足：对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle N>0$ 使得 $\displaystyle m, n>N$ 时，有 $\displaystyle T\left(f_{m}-f_{n}\right)<\varepsilon$ ．证明：存在 $\displaystyle f \in C[a, b]$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} T\left(f-f_{n}\right)=0$ ．

四．（15 分）设函数 $f$ 在有界区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对任意的 $\displaystyle x \in[a, b]$ 有 $\displaystyle f(x)>0$ ．证明： $$ \ln \left(\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right) \geq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} \ln f(x) \mathrm{d} x $$

3．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上二阶连续可导且 $\displaystyle M_{0}=\sup \{|f(x)| x \in(0,+\infty)\}$ 以及 $$ M_{1}=\sup \left\{\left|f^{\prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\}, M_{2}=\sup \left\{\left|f^{\prime \prime}(x)\right| x \in(0,+\infty)\right\} $$ 均为有限数，证明：$\displaystyle M_{1} \leq 2 \sqrt{M_{0} M_{2}}$ ．

4．设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (0,1)$ 上各项互异的数列，试讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上的一致收玫性及极限函数的连续性．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续，且 $\displaystyle g(x)=f(x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 单调递减，证明：$\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

六、（10分）设 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且对 $\displaystyle \forall[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，有 $$ \left|\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x\right| \leq M|\beta-\alpha|^{1+\delta} $$ 其中 $\displaystyle M, \delta$ 为正常数，求证：$\displaystyle f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．

九．设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| g(x, y)$ ，其中 $\displaystyle g(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续．问： （1）在什么条件下，$\displaystyle f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 存在？ （2）在什么条件下，$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处可微？

十．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上有界且连续，若对任意的 $\displaystyle c \in \mathbb{R}$ ，函数 $\displaystyle f(x)-c$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上至多有有限个零点，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在．

七．（15 分）设 $f$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的凸函数，$\displaystyle \varphi$ 为闭区间 $E$ 上的连续函数，证明： $$ f\left(\frac{1}{\mu(E)} \int_{E} \varphi(x) \mathrm{d} x\right) \leq \frac{1}{\mu(E)} \int_{E} f \circ \varphi(x) \mathrm{d} x $$ 其中 $\displaystyle \mu(E)$ 为 $E$ 的长度．（可能有误）

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，证明以下条件等价： （1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续． （2）$\displaystyle f(x)$ 在端点 $a$ 和 $b$ 处极限存在． （3）$\displaystyle f(x)$ 可延拓成 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为二阶连续可微函数，且 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2} y^{2}$ ，求重积分 $$ \iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$

四．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(\sqrt[n]{x}) \mathrm{d} x$ ．

3、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，证明： $$ \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x) f(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x $$

7、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\pi$ ．求系数 $\displaystyle c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$ ，使得 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left[f(x)-\sum_{k=1}^{n} c_{k} \cos (k x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$ 最小，并求 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} c_{k} \cos (k x)=F(x) $$ 的表达式．

8、设函数 $\displaystyle f(x)$ 三次连续可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=0, f^{\prime \prime \prime}(0)=-1$ ．设 $\displaystyle f\left(a_{n}\right)=a_{n+1}$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n\left(a_{n}\right)^{2}$ ．

6．设 $\displaystyle P(x, y), Q(x, y)$ 存在连续的偏导数，且对任意以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2}$ 为圆心以 $\displaystyle r>0$ 为半径的上半圆周 $\displaystyle L: x=x_{0}+r \cos \theta, y=y_{0}+r \sin \theta, \theta \in[0, \pi]$ ，都有 $$ \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0 $$ 证明 $\displaystyle P(x, y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x, y) \equiv 0$ ．