函数与极限-连续函数性质

五．已知三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的二阶偏导数，设 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中光滑简单封闭曲面的全体为 $\displaystyle \Sigma$ ，对于 $\displaystyle S \in \Sigma$ ，用 $\displaystyle \mathbf{n}$ 表示 $S$ 的外法线单位方向向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \mathbf{n}$ 的方向导数． （1）证明：$f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0 \text { (即 } f \text { 为 } \mathbb{R}^{3} \text { 上的调和函数) } $$ 当且仅当 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S=0(\forall S \in \Sigma)$ ． （2）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的调和函数，$\displaystyle S \in \Sigma$ ，且 $S$ 围成的有界闭区域记作 $V$ ．证明： $$ f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{S}\left(f \frac{\cos (\mathbf{r}, \mathbf{n})}{|\mathbf{r}|^{2}}+\frac{1}{|\mathbf{r}|} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为 $V$ 内部的一个定点， $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right),(\mathbf{r}, \mathbf{n})$ 表示两向量的夹角，$\displaystyle |\mathbf{r}|$表示向量 $\displaystyle \mathbf{r}$ 的模长． （3）若函数 $f$ 和闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数 $g$ 在单位球 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=g\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) . $$ 证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{0}^{1} \sqrt{t}(t-1) g(t) \mathrm{d} t$ ．

八．若函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 都在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上二阶可导，并且它们在 $\displaystyle (a, b)$ 内有相等的最大值，$\displaystyle f(a)=g(a), f(b)=g(b)$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．

六．判断下列四个命题的正误．正确的，请给出证明；错误的，需举出反例． （1）若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ ． （2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续． （3）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点关于 $x$ 和 $y$ 都不存在偏导数，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 沿 $x$ 轴的方向导数必不存在． （4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且只存在有限个不连续点，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积．

三．（15 分）利用确界原理证明定义在闭区间上的连续函数必然是有界的．

3．设 $f(x)$ 在有限闭区间 $[a, b]$ 上处处可导，则 $f^{\prime}(x)$ 有界．

二、解答如下问题： （1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，设 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n} \in[a, b]$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ ，使得： $$ f(\xi)=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right) $$ （2）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ ，在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，存在数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 且单调，使得 $\displaystyle a \leq x_{n} \leq b, ~ g\left(x_{n}\right)=f\left(x_{n+1}\right)$ ，证明：存在一点 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle g\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。

1．证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。

9．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间上点态收敛到 $\displaystyle f(x), f_{n}(x), f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调，证明： $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛到 $\displaystyle f(x)$.

三．（本题满分 14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [1,2]$ 上具有二阶连续导数，且 $$ f(1)=f(2)=\int_{1}^{2} f(x) d x $$ 证明：存在 $\displaystyle \xi \in(1,2)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．

二．（本题满分 12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，若 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ ，证明：至少存在 $\displaystyle \xi \in[a, b]$ 使得 $\displaystyle f(\xi)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) f\left(x_{k}\right)$ ．

2、（20分）求积分： $\iint_{D} e^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $$ D: 1 \leq x^{2}+y^{2} \leq 3 $$

1、设函数 $g(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上二阶连续可微，且满足 $$ g(0)=g^{\prime}(0)=0, g^{\prime \prime}(0)=2 a $$ 设 $f(x)=\frac{g(x)}{x},(x \neq 0), f(0)=0$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．

7、 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(n x) d x$ ．

1．如果函数 $f(x)$ 在有限区间 $(a, b)$ 上连续且有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续．

1．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a_{2 n}\right|<\varepsilon$ ．

2．若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续，且有 $f(0)=f(2)$ ，则方程 $f(x)-f(x+1)=0$ 有解．

15．用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数有最大值与最小值．

15．利用聚点定理证明闭区间上连续函数的有界性定理。

2．求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{n^{2}+1}-1\right) \cdot \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$ ．

5、设 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，且 $\displaystyle f(x) \neq 0$ ． 证明：至少存在一个 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle \frac{f^{\prime}(\xi)}{f(\xi)}=\frac{1}{a-\xi}+\frac{1}{b-\xi}$ ．

9．解答如下问题： （1）叙述有限覆盖定理以及一致连续的定义． （2）利用有限覆盖定理证明连续函数在闭区间内一致连续．

八．（15 分）已知三次方程 $\displaystyle x^{3}-3 a^{2} x-6 a^{2}+3 a=0$ 只有一个正的实根，求 $a$ 的范围。九．（15 分）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而每个函数 $\displaystyle f_{n}(x)$在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续 $\displaystyle (n=1,2, \cdots), x_{n} \in[a, b](n=1,2, \cdots)$ 且数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $\displaystyle x_{0}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow f_{n}} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。

八．（15 分）设对每个正整数 $n$ ，函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，又对 $\displaystyle [a, b]$ 上每个 $x$ ，序列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是有界列，证明在 $\displaystyle [a, b]$ 中存在一个小区间使得函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$在该小区间上一致有界。

三．（15 分）用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明：有限闭区间上的连续函数必一致连续．

2、试问闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数类 $\displaystyle C[a, b]$ ，可导函数类 $\displaystyle D[a, b]$ ，可积函数类 $\displaystyle R[a, b]$ 之间有什么关系？请写出证明过程或举出反例．

7、已知 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，设 $$ F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text {, 证明: } F^{\prime}(x)=f(x) \text {. } $$

一、用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明闭区间上的连续函数可以达到最大值．

二．（20分）证明闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ 存在最大值和最小值．

3．用 $\displaystyle C[-1,1]$ 表示闭区间 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续函数的合集，对任意的 $\displaystyle f(x) \in[-1,1]$ ，记 $\displaystyle A(f(x))=\int_{-1}^{0} f(x) d x-\int_{0}^{1} f(x) d x$ ．求 $\displaystyle \sup \left\{A(f(x))\left|\max _{-1 \leqslant x \leqslant 1}\right| f(x) \mid \leqslant 1, f(x) \in C[-1,1]\right\}$ ．

7．设 $p>0$ ，广义积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 条件收玫，则实数 $p$ 满足的条件是 $\_\_\_\_$ ．

4．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 的收玫性是 A． B． C． D．

1、证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,1]$ 上不一致收敛。

五．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, A]$ 上连续，证明： $$ \left.\lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{\infty}[f(t+h)-f(t)] d t=f(x)-f a\right) \quad(a<x<A) . \quad(15 \text { 分 }) $$

2．给出一个求正数 $a$ 的算术平方根的迭代算法，并分析算法的收玫阶。

四、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,2]$ 上连续，在开区间 $\displaystyle (0,2)$ 上可导，且 $\displaystyle f(\mathbf{0})=f(\mathbf{2})=\mathbf{0}$ 。记 $\displaystyle M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}$ 。

五、（15 分）解答如下问题： （1）证明：若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 均在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则有 $$ \left[\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leq \int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b}[g(x)]^{2} \mathrm{~d} x $$ （2）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$ ．

八、（15 分）叙述 $R$ 上的聚点定理，用聚点定理证明闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续函数 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．

八．（15分）设 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 分别为闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 及 $\displaystyle [c, d]$ 上的连续函数，定义 $$ F(x, y)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t \cdot \int_{c}^{y} g(s) \mathrm{d} s, a \leq x \leq b, c \leq y \leq d . $$

七．（15 分）设 $f$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的凸函数，$\displaystyle \varphi$ 为闭区间 $E$ 上的连续函数，证明： $$ f\left(\frac{1}{\mu(E)} \int_{E} \varphi(x) \mathrm{d} x\right) \leq \frac{1}{\mu(E)} \int_{E} f \circ \varphi(x) \mathrm{d} x $$ 其中 $\displaystyle \mu(E)$ 为 $E$ 的长度．（可能有误）

3、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，证明： $$ \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x) f(x)\right| \mathrm{d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x $$

7、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0, \pi]$ 上连续可积，且 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=\pi$ ．求系数 $\displaystyle c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n}$ ，使得 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}\left[f(x)-\sum_{k=1}^{n} c_{k} \cos (k x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$ 最小，并求 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \sum_{k=1}^{n} c_{k} \cos (k x)=F(x) $$ 的表达式．