函数与极限-其他

六．判断下列四个命题的正误．正确的，请给出证明；错误的，需举出反例． （1）若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ ． （2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续． （3）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点关于 $x$ 和 $y$ 都不存在偏导数，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 沿 $x$ 轴的方向导数必不存在． （4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且只存在有限个不连续点，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积．

五、（15 分）判断下列命题的正误，正确的需给出证明，错误的需要举出反例． （1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x_{n}}{n}$ 也收玫． （2）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ． （3）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle g(x)$ 以 $x$ 轴为水平渐近线，则函数 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

2．若 $e^{x^{2}+y}-x^{2} y=0$ ，求 $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ ．

5．求椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$ 在第一象限的一条切线，使其被坐标面所截得的线段最短．

10、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在．证明： $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

4、函数 $u(x, y, z)=x y z$ 在点 $(5,1,2)$ 沿点 $(5,1,2)$ 到点 $(9,4,14)$ 的方向的方向导数为 $\_\_\_\_$。

八、若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在区间 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow \infty}(f(x)-g(x))=0 . $$ 证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内一致连续的充要条件是 $\displaystyle g(x)$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内一致连续．

四，（20 分）证明：（1）在 $\displaystyle [a, b]$ 上凸函数必有界． （2）［a，b］上凸函数必内必一致连续．

五，（15 分）考查函数 $\displaystyle f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $\displaystyle [0, \pi)$ 上的一致连续性．

五，（15 分）研究 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内的一致连续性．

七，（10 分）研究 $\displaystyle y=\left(1+x^{2}\right) \operatorname{sgn}(x)$ 的反函数的一致连续性．

七、（10 分）研究 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{2 n}}$ 的一致连续性．

（10）六、讨论函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上的一致连续性．

六，（15 分）若 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收敛。证明：$\displaystyle g(a)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} a x d x$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续．

二、（15 分）判断 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2} & , x \in(-\infty, 0) \cup(0,+\infty) \\ 1 & , x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (-\infty$, $\displaystyle +\infty)$ 上的一致连续性．

6．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致连续函数，$\displaystyle \left\{\lambda_{n}\right\}$ 是正数列，若对任意固定的 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ ，有 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x+\lambda_{n}\right)=0 $$ 证明：函数列 $\displaystyle \left\{f\left(x+\lambda_{n}\right)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上一致收玫于零．

九、（20 分）$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (0,1)$ 上的数列，$\displaystyle a_{i} \neq a_{j}(i \neq j)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-a_{n}\right)}{2 n}$ 在 $\displaystyle (0,1)$上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,1) \mid\left\{a_{n}\right\}, n=1,2 \cdots$ 上每个点都连续，在 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, n=1,2 \cdots$ 上每点处不连续．

2．计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} \mathrm{~d} x$ ．

2．求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{n} x^{n}$ 的收玫域及和函数．

4． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2}+i^{2}} \sin \frac{1}{n}$ ．

三．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，证明： （1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界； （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有最大值或最小值； （3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

二、证明 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上不一致连续．

7．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，证明：存在 $\displaystyle a, b>0$ 使得 $\displaystyle |f(x)| \leq a|x|+b$ ．

七．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)=\sqrt{x}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

3．计算 $$ \int_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\Gamma$ 为曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=\cos 2008 \pi t ; \\ y=\cos 2008 \pi t ; \\ z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1} .\end{array} \quad t \in[0,1]\right.$ ，从 $(1,1,0)$ 到 $(1,1,1)$ 的部分．

3．求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式．

三．（15 分）若 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (a, b)$ 上的一致连续函数，$\displaystyle g(y)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续函数，证明： （1）复合函数 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界； （2）复合函数 $\displaystyle g(f(x))$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 是一致连续函数．

二．（15 分）证明 $\displaystyle f(x)=\ln x$ 在 $\displaystyle \delta>0,[\delta,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上非一致连续．

二．（15 分）$\displaystyle f(x), g(x)$ 在有限区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，问 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续吗？若 $\displaystyle (a, b)$ 是无穷区间呢？证明你的结论．

5．应用确界存在定理；

1．$(-\infty, 0]$ 上有界连续函数是否一定一致连续．

三．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 内连续且有渐近线 $\displaystyle y=a x+b$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

2．讨论 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 处的可微性．

1．函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，并且单调递增，若函数 $f(x)$ 有上界，则函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。

四、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致连续且有界，证明：$\displaystyle f(g(x))$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续，若去掉＂$\displaystyle g(x)$ 有界＂，则 $\displaystyle f(g(x))$ 是否一致连续？正确请给出证明，错误请给出反例。

2．解答如下问题： （1）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界． （2）用两种方法证明函数 $\displaystyle y=\ln x$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致连续．

1．函数 $f(x)$ 在开区间 $(a, b)$ 与 $(b, c)$ 均一致连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b) \cup(b, c)$ 上一致连续．

七．设函数 $\displaystyle \zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}, x \in(1,+\infty)$ ． （1）证明：$\displaystyle \zeta(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上连续． （2）证明：$\displaystyle \zeta(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上可微． （3）$\displaystyle \zeta(x)$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上是否一致连续？说明理由．

三．（ 15 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \cos \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意固定的 $\displaystyle x \in[0,1]$ ，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(x+n)=0$ ，证明：函数列 $\displaystyle \{f(x+n) \mid n \geq 1\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 0.

九．若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上满足利普希茨条件，即存在某一个常数 $\displaystyle L>0$ ，使对于任意的 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$ ，有 $\displaystyle \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq L\left|x_{1}-x_{2}\right|$ ，证明：$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．

4．解答如下问题： （1）叙述 $\mathbb{R}^{2}$ 的聚点定理． （2）利用聚点定理证明二元函数 $f$ 在有界闭域 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 连续则一致连续．

1．（15 分）证明： $\operatorname{sgn}(x)=\left\{\begin{array}{c}-1, x<0 \\ 0, x=0 \\ 1, x>0\end{array}\right.$ 在 $[-1,1]$ 上黎曼可积，但在 $[-1,1]$ 上没有原函数．

1．（15 分）讨论 $\displaystyle f(x)=\sin \sqrt{x}$ 和 $\displaystyle g(x)=\sin \left(x^{2}\right)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致连续．

九．（15分）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ ． （1）（9分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且一致连续． （2）（6 分）证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 发散．

5．已知 $\left\{\begin{array}{l}x=e^{-t} ; \\ y=\int_{0}^{t} \ln \left(1+\tau^{2}\right) \mathrm{d} \tau \text { ．}\end{array}\right.$ 则 $\left.\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}\right|_{t=0}=$ $\_\_\_\_$。

6．已知 $b>a>0$ ，计算 $\int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时有渐近线 $\displaystyle y=b x+c$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

二．（10 分）证明：$\displaystyle f(x)=x \sin x$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上不一致连续．

2．讨论 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 的可微性．

3．证明：$f(x)=\cos \frac{1}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上非一致连续，但在 $(a,+\infty), a>0$ 上一致连续。

2．设函数 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(0)=6$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}$.

2、求定积分 $I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

3、若 $F(t)=\iiint_{\Omega} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上的可微函数且 $\Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}\right\}, ~ t>0$ ． （1）计算 $F^{\prime}(t)$ （2）若 $f^{\prime}(0)=0$ ，计算极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{F(t)}{t^{5}}$ ．

2．求 $a$ 的范围，使得 $\displaystyle f(x)=x^{a}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 一致连续．

11、 $K$ 为实数域，$F \subset K$ 为非空闭集，令 $d(x)=\inf \{|x-t|: t \in F\}$ ，证明 $d(x)$ 为连续函数．

3、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(\sqrt{n})=0$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在 $\displaystyle \Leftrightarrow f(x)$ 在 $\displaystyle [2,+\infty)$ 上一致连续．

三．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-3 \sqrt{x}]=7$ ．判断函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上是否一致连续，并说明你的理由．

一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分） （1）。如果 $\displaystyle \forall p \in \mathbb{N}_{+}$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=0$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）。如果偏导数 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 和 $\displaystyle f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。 （3）．如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，则对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 是绝对收玫的。 （4）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在原函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积． （5）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (x, y)$ 上连续，$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续。 （6）。如果 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

三、证明下列各题（每小题 $\displaystyle \mathbf{1 3}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{7 8}$ 分） （1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[0,1]$ ．证明： $$ \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{n+1}\right), \forall n \in \mathbb{N}_{+} $$ （2）．设有数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ： $$ a_{1}=1, a_{2}=4, a_{n+1}=\frac{a_{n-1}+a_{n}}{2}, n=2,3,4 \cdots $$ 证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （3）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(1)=1$ ，且当 $\displaystyle x \geqslant 1$ 时，有 $$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)} $$ 证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 有限且其极限小于 $\displaystyle 1+\frac{\pi}{4}$ ． （4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，数列 $\displaystyle \{f(x+n)\}$ 收敛于 0 ．证明： $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 $$ （5）．设有级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．如果对任何收敛于 0 的数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$绝对收敛。 （6）．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的函数列，且存在常数 $\displaystyle L \geqslant 0$ 满足： $$ \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant L|x-y|, x, y \in[a, b], n \in \mathbb{N}_{+} $$ 证明：（i）．若 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ， （ii）．若对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 都有界，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 存在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛的子列．

三、证明下列各题（每小题 13 分，共 78 分） （1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内每一点的左右极限都存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界． （2）．设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \infty)$ 上连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0 $$ 证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续． （3）．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，且 $$ a_{k} \leqslant a_{n} \quad \forall n<k \leqslant 2 n $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ． （4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上三阶可导，且 $\displaystyle f(x), f^{\prime \prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上都有界，证明： $\displaystyle f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。 （5）．设 $\displaystyle \forall b>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\alpha$ ，令 $$ F(t)=t \int_{0}^{+\infty} e^{-t x} f(x) \mathrm{d} x $$ 证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} F(t)=\alpha$ ． （6）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ， $$ f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0 $$ 证明：（i）．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有且仅有两个零点， （ii）．存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t$ ．

1．对数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任意两个子列 $\left\{a_{n_{k}}\right\}$ 与 $\left\{a_{m_{k}}\right\}$ 均有 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left(a_{n_{k}}-a_{m_{k}}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。

2．如果 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 沿任意方向的方向导数都存在，偏导数 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 均存在．

1．如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上至多有有限个不连续点．

2．如果数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫。

1．若对任意的 $N$ ，总存在 $\varepsilon>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ 成立，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．

2．若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且存在原函数，则 $f(x)$ 在 $I$ 上连续．

1．如果函数 $f(x)$ 在有限区间 $(a, b)$ 上连续且有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续．

2．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，$f(a)=f(+\infty)$ ，则存在 $\xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。

十．设 $\displaystyle \alpha>0$ ，若 $\displaystyle n x_{n}=1+o\left(n^{-\alpha}\right)$ ，则数列 $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}-\ln n$ 收敛． 十一。设一元函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且存在两个正数 $\displaystyle A<B$ 满足 $\displaystyle A<\left|f^{\prime}(x)\right|<B$ ，证明： $\displaystyle f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上一致连续，但 $\displaystyle f\left(x^{3}+y^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上不一致连续．

10．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ ， 问：$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 是否一致连续？

10．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调递增，且值域为 $\displaystyle [f(a), f(b)]$ ，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．

10、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0 $$ 证明：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-\lambda x]=0$ ，其中 $\displaystyle \lambda$ 为常数，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

9．解答如下问题： （1）叙述有限覆盖定理以及一致连续的定义． （2）利用有限覆盖定理证明连续函数在闭区间内一致连续．

2．求 $\iint_{D} e^{-\left(x^{2}+v^{2}\right)} d x d y=$ $\_\_\_\_$ ，$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$

3．$f(x)=\left(e^{x}-1\right)\left(e^{2 x}-2\right) \cdots\left(e^{n x}-n\right)$ ，则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

1、（15 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ 在 $\displaystyle (1,2)$ 上一致连续．

11、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0$ ．证明：函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

三、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty),(a>0)$ 上满足 Lipschitz 条件：即对任意的 $\displaystyle x, y \in[a,+\infty),(a>0)$ ，均成立不等式： －$\displaystyle |f(x)-f(y)| \leq k|x-y|$ ，其中 $k$ 为正的常数． 证明：$\displaystyle \frac{f(x)}{x}$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty),(a>0)$ 上一致连续．

二．对任意的正数 $a$ ，证明 $\displaystyle f(x)=\sin x^{2}$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上一致连续，但在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上非一致连续．

2．设 $\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x+1} \sin \frac{1}{x}, a>0$ 为常数，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0, a)$ 上不一致连续．

三．解答如下问题： （1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ 均存在且有限，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续。 （2）证明：$\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 与 $\displaystyle (-1,0)$ 上一致连续，但在 $\displaystyle 0<|x|<1$ 上不一致连续．

5．证明导数有界则一致连续，反之，一致连续导数是否有界？证明或给出反例．

6．解答如下问题： （1）判断 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{\alpha}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性． （2）证明：$\displaystyle f(x)=x e^{-x^{2}} \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

五、（20 分）证明：如果函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在有界开区域 D 内一致连续，那么它在 D 内有界．

九、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-\varphi(x)]=0$ ． 证明：$\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}(f(x)-g(x))=0$ ，证明 $\displaystyle g(x)$ 为 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续。

3．计算 $\int_{L} x d y+y d x$ ，其中 $L:$ 沿抛物线 $y=2 x^{2}$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ ．

3．已知 $f(x, y)=\frac{x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}$ 。计算其在原点的两个累次极限。

4．计算直线 $4 x+3 y=16$ 与椭圆 $18 x^{2}+5 y^{2}=45$ 之间的最短距离．

3．计算积分 $I=\iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} d x d y$ ，其中 $D$ 为平面曲线 $x y=1, x y=3, y^{2}=x, y^{2}=3 x$ 所围成的有界闭区域。

3．计算第二型曲线积分 $I=\int_{L}\left(x^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是抛物线的一段：$y=x^{2},-1 \leq x \leq 1$ ，方向由点 $(-1,1)$ 到点 $(1,1)$ ．

4．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $0 \leq f(x) \leq \frac{x}{1+x^{2}}, x \geq 0$ ，求证：存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $$ f^{\prime}(\xi)=\frac{1-\xi^{2}}{\left(1+\xi^{2}\right)^{2}} $$

2．$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上存在三阶连续导数，$f(0)=f(1)=f(2)=0$ ．证明：对任意的 $x \in(0,2)$ ，存在 $c \in(0,2)$ ，使得 $$ f(x)=\frac{1}{6} x(x-1)(x-2) f^{\prime \prime \prime}(c) $$

3．求证：黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 具有如下性质： （1）在 $x>1$ 上连续． （2）在 $x>1$ 上连续可微．

4、证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}(\sqrt[n]{n}-1)$ 条件收玫。

3．设 $a>0, b>0$ ，计算积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(a^{2}+x^{2}\right)}{b^{2}+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，且 $\displaystyle f(a+0), f(b-0)$ 存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续．

9．（15分）$K$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中的紧集，$\displaystyle f: K \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ 为连续映射，证明：$f$ 在 $K$ 上一致连续．

11．设 $$ f(x, y)= \begin{cases}x y \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 证明：$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，但偏导函数不连续．

三．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上反常可积，即 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)| \mathrm{d} x$ 收玫，定义函数 $\displaystyle \varphi(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos (x t) \mathrm{d} t$ ，证明： $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

2．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)=\sin \left(\frac{1}{x^{2}}\right)$ 在 $\displaystyle (0,1]$ 上非一致连续，在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{1}{x}}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．

六．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上有定义，且存在常数 $L$ ，使得对任意 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$ ，都有 $$ \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq L\left|x_{1}-x_{2}\right| $$ 试证存在 $\displaystyle X \in[1,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle \frac{f(x)}{x+\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$ 在 $\displaystyle [X,+\infty)$ 上一致连续．

七．（20 分）已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 和 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 都存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致连续．

2．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}[\ln \arctan (x+1)-\ln \arctan x]$ ．

7．问 $f(x, y)=\sin \frac{\pi}{1-x^{2}-y^{2}}$ 在 $D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上是否连续？又是否一致连续呢？

三．（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}}{e^{x}}+1$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上一致连续。

四．（15 分）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且存在 $\displaystyle b \in R$ ，使得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=b$ ，则向数 $\displaystyle f(x)$ 位 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续。

五．（15 分）证时：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ ！：一致连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[g(x)-f(x)]=0$ ，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续。

三．（15 分）用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明：有限闭区间上的连续函数必一致连续．

四．（15 分）设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续 $\displaystyle (n=1,2, \cdots)$ 且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致收玫于和函数 $\displaystyle S(x)$ ，证明： $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

1、证明：如果 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)+g(x)$在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上也是一致连续的；请问：它们的乘积 $\displaystyle f(x) g(x)$ 是否仍一致连续？如果是，请写出证明过程；如果不是，请举出反例．

4、（15 分）证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty}[b x-f(x)]=0 \text {, 其中 } b \text { 是非零常数. } $$ 则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

9．设一致连续的非负函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x<+\infty$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

二、设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是区间 1 上有界且一致连续的函数，证明：$\displaystyle f(x) g(x)$ 在 1 上一致连续。

二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)- g(x)]=0$ ，证明：$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

4、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续， $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

3、（20 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，其中 $a$ 为大于等于零的常数且极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-2 \sqrt{x}]$ 存在，那么 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上是否一致连续？如果是，请给出证明，如果不一定，请给出一正一反的例子．

三．（20分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

二、（10 分）求 $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} d x d y$ ，区域 $\displaystyle D:|x| \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ． 1、 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续． 2、函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle [a, u]$ 可积 且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收玫，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫． 3、 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 偏导数存在且相等，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续．

四、（本题满分 10 分）证明：函数 $\displaystyle f(x)=x \sin x^{2}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上非一致连续．

4．证明 $\displaystyle f(x)=\frac{1+\sin ^{2} x}{x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 内连续但不一致连续。

5．已知函数 $F(x, y)$ 可微，则曲面 $F(x-a z, y-b z)=0$ 的切平面与定方向 $\vec{v}=(\quad)$ 平行．

7．若 $x y z e^{x+y+z}=1$ ，则 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}=$ $\_\_\_\_$ .

3．证明 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (c, 1)(0<c<1)$ 上一致连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 上非一致连续．

7．设 $p>0$ ，广义积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x$ 条件收玫，则实数 $p$ 满足的条件是 $\_\_\_\_$ ．

十．已知设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减趋于零，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}$ 同玫散． 十一。设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ （1）．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且一致连续； （2）．证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散．

2、（12 分）已知 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x} \ln x, x>0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续。

3．$f$ 在 $[0,2]$ 上二阶连续可微，且 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$ ．若 $f$ 在 $(0,2)$ 内能取到最大值，证明： $$ \left|f^{\prime}(0)+f^{\prime}(2)\right| \leq 2 M $$

8．记区域 $D: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ，证明：$e^{x y}+\ln (1+x y) \geq 1+x y$ ，并说明取等条件．

2、求曲面 $x^{2}+y^{2}=a z,(a>0), z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成立体区域的体积．

2、设 $f(x)=x^{2} e^{x}$ ，则 $f^{(10)}(0)=$ $\_\_\_\_$

10．（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意固定的 $\displaystyle x \in[0,+\infty)$ ，当自然数 $\displaystyle n \rightarrow+\infty$ 时，有 $\displaystyle f(x+n) \rightarrow 0$ ．证明：函数列 $\displaystyle \{f(x+n)\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 0 ．

四、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上三阶可导，证明：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ f(b)=f(a)+\frac{b-a}{2}\left[f^{\prime}(a)+f^{\prime}(b)\right]-\frac{(b-a)^{3}}{12} f^{\prime \prime}(\xi) $$ 1、 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (-1,0)$ 和 $\displaystyle (0,1)$ 上一致连续． 2、 $\displaystyle f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $\displaystyle (-1,0) \cup(0,1)$ 上不一致连续．

6．（15 分）设 $\displaystyle \alpha$ 为实数，讨论 $\displaystyle f(x)=x^{\alpha}$ 在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上的一致连续性．

三．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 ; \\ 1, & x=0 .\end{array}\right.$ 证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上一致连续．

2、已知 $\displaystyle f(x)=\cos \left(x^{p}\right)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上一致连续，求 $p$ 的取值范围．

四、（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 连续，且存在常数 $c$ 使 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-c x]=0$ ，证明： $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

五．（15 分）证明：函数 $\displaystyle y=\ln x$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，其中 $\displaystyle a>0$ ，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致连续．

6．求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n(x-1)^{n}$ 的收玫域与和函数．

4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，对任意的 $\displaystyle h>0$ ，序列 $\displaystyle \{f(n h)\}$ 极限存在．证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在．

4．解答如下问题： （1）若 $\displaystyle 0<\eta<1$ ，证明：$\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x^{2}}$ 在 $\displaystyle (\eta, 1)$ 上一致连续． （2）证明 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致收敛．

2．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0) f(1)>1, f^{\prime \prime}(x)>0, \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ． （1）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上恰有两个零点． （2）证明至少存在一点 $c$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(c)=\int_{0}^{c} f(x) \mathrm{d} x$ ．

二．（1）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是有限开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上的一致连续函数，求证 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续． （2）试举例说明：（1）中开区间若无＂有限＂条件，则结论不成立．（20 分）

三．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0$ ，证明： $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．（15 分）

2．$(1,+\infty)$ ．

六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫，证明 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

四、（15 分）（1）证明 $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内不一致连续； （2） $\displaystyle \sin \frac{1}{x}$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 内一致连续； （3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内可导，且 $\displaystyle \sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内有界，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 内一致连续．

1．给出函数 $f:(-1,1) \rightarrow R, f$ 只在一点连续；

1. $$ \iint_{D} e^{v(x, y)} d x d y $$ 其中 $$ v(x, y)=\frac{x-y}{x+y} $$ D 是由 $x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域．

二、（15 分）设 $\displaystyle f \in C[a,+\infty)$ ，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，它以直线 $\displaystyle y=b x+c$ 为渐近线．证明：$f$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

十、设 $f$ 是有界开区域 $\displaystyle D \subset R^{2}$ 上的一致连续函数，证明： （1）．可将 $f$ 连续延拓到 $D$ 的边界； （2）．$f$ 在 $D$ 上有界．（15分）

5．设 $f(x) \in C(\mathbb{R})$ ，令 $F(t)=\int_{1}^{t} \mathrm{~d} y \int_{y}^{t} f(x) \mathrm{d} x$ ，求 $F^{\prime}(t)$ ．

3、设 $0<k<1, a>0$ ，求极限 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(a^{\frac{1}{n}}+a^{\frac{1}{n-1}} k+\cdots+a k^{n-1}+k^{n}\right) $$

六．（15 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有界区间 $I$ 上一致连续的充要条件是对任意 $I$ 中的柯西列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ，有 $\displaystyle \left\{f\left(a_{n}\right)\right\}$ 也是柯西列．

八、（15 分）叙述 $R$ 上的聚点定理，用聚点定理证明闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续函数 $\displaystyle f(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致连续．

2．求函数 $$ f(x)=\frac{\ln (1+x)}{1+x} $$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式．

1．$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续；

1．求 $f(x)$ 的傅里叶级数展开式；

2．设区域 $D$ 由抛物线 $y^{2}=p x, y^{2}=q x, x^{2}=a y, x^{2}=b y(0<p<q, 0<a<b)$ 所围成，计算积分 $$ \iint_{D} x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$

2．函数 $f(x)=x+\sin x^{2}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致连续．

三．（15分）设函数 $f$ 在有界区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续． （1）证明：函数 $f$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界； （2）试问上述结论对无界区间是否成立？并说明理由．

7．证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在有界区间上一致连续的充分必要条件是当 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是 $I$ 上的任意柯西数列时，$\displaystyle \left\{f\left(a_{n}\right)\right\}$ 也是柯西数列．

三．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow a^{+}} f^{\prime}(x)$ 与 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow b^{-}} f^{\prime}(x)$ 均存在．证明： （1）$\displaystyle f(a+0)$ 和 $\displaystyle f(b-0)$ 都存在． （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上有界，且一致连续．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上连续，证明以下条件等价： （1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致连续． （2）$\displaystyle f(x)$ 在端点 $a$ 和 $b$ 处极限存在． （3）$\displaystyle f(x)$ 可延拓成 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数．