导数与微分-求导法则

五．已知三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的二阶偏导数，设 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中光滑简单封闭曲面的全体为 $\displaystyle \Sigma$ ，对于 $\displaystyle S \in \Sigma$ ，用 $\displaystyle \mathbf{n}$ 表示 $S$ 的外法线单位方向向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \mathbf{n}$ 的方向导数． （1）证明：$f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0 \text { (即 } f \text { 为 } \mathbb{R}^{3} \text { 上的调和函数) } $$ 当且仅当 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S=0(\forall S \in \Sigma)$ ． （2）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的调和函数，$\displaystyle S \in \Sigma$ ，且 $S$ 围成的有界闭区域记作 $V$ ．证明： $$ f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{S}\left(f \frac{\cos (\mathbf{r}, \mathbf{n})}{|\mathbf{r}|^{2}}+\frac{1}{|\mathbf{r}|} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为 $V$ 内部的一个定点， $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right),(\mathbf{r}, \mathbf{n})$ 表示两向量的夹角，$\displaystyle |\mathbf{r}|$表示向量 $\displaystyle \mathbf{r}$ 的模长． （3）若函数 $f$ 和闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数 $g$ 在单位球 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=g\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) . $$ 证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{0}^{1} \sqrt{t}(t-1) g(t) \mathrm{d} t$ ．

六．判断下列四个命题的正误．正确的，请给出证明；错误的，需举出反例． （1）若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ ． （2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续． （3）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点关于 $x$ 和 $y$ 都不存在偏导数，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 沿 $x$ 轴的方向导数必不存在． （4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且只存在有限个不连续点，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积．

六、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{D}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中由光滑简单封闭曲线 $\displaystyle \mathbf{C}$ 所围成的闭区域，二元函数 $f$ 和 $g$ 在 $D$ 上具有连续的二阶偏导数，记作：$\displaystyle \Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$ ． （1）证明： $$ \iint_{D}(g \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{C} g \xrightarrow[\partial \vec{n}]{\partial f} \mathrm{~d} s-\iint_{D}[\operatorname{grad}(f) \cdot \operatorname{grad}(g)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \vec{n}$ 为曲线 $C$ 的外法单位向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \vec{n}$ 方向的方向导数，向量 $$ \operatorname{grad}(f)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right), \operatorname{grad}(g)=\left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right) $$ （2）证明：若 $f$ 在曲线 $C$ 上满足 $\displaystyle f \equiv 0$ ，则 $$ \iint_{D}\left(|f|^{2}+|\Delta f|^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geq 2 \iint_{D}|\operatorname{grad}(f)|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y . $$

2、（25 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处连续，在 $\displaystyle x_{0}$ 的去心邻域内二阶可导且二阶导函数有界，证明：$\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处左右导数都存在．

1．设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 是 $k$ 个正数，证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{k}^{n}}=\max \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right) $$ ．2．用一致连续的定义证明：若 $f, g$ 都在区间 $I$ 上一致连续，则 $f+g$ 在 $I$ 上也一致连续．

7、设 $u=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，其中 $z=f(x, y)$ 是由方程 $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3 x y z$所确定的隐函数，求 $u_{x}^{\prime}$ 及 $u_{x x}^{\prime \prime}$ ．

12． $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a,(a>0)$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1$ ．

2．已知函数 $u(x, y)$ 满足 $$ 2 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+3 \frac{\partial u}{\partial x}+3 \frac{\partial u}{\partial y}-2 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 $$ 求 $a, b$ 的值，使得在变换 $u(x, y)=v(x, y) e^{a x+b y}$ 下，上述等式可化为函数 $v(x, y)$ 的不含一阶偏导数的等式．

七．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在单位圆 $\displaystyle \left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}=1\right\}$ 上有连续的偏导数，且 $\displaystyle f(0,1)=f(1,0)$ ，证明：在单位圆上至少有两点满足方程 $\displaystyle y \frac{\partial}{\partial x} f(x, y)=x \frac{\partial}{\partial y} f(x, y)$ ．

6．已知函数 $f(x)=\int_{1}^{x^{2}} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\int_{0}^{1} x(f(x)+1) \mathrm{d} x$ ．

11．设 $F(\theta)=\int_{0}^{\pi} \ln (1-\theta \cos x) \mathrm{d} x, \theta \in(-1,1)$ ． （1）求 $F^{\prime}(\theta)$ ． （2）求 $F\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 的值．

六，（15 分）求函数 $\displaystyle x^{x^{a}}+x^{a^{x}}+a^{x^{x}}$ 的导函数．

六，（10 分）求函数 $\displaystyle f(x)=e^{x}+e^{e^{x}}+e^{e^{e^{x}}}$ 的导数

八，（10 分）求 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}e^{\frac{1}{x}}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处的各阶导数．

1．设 $\displaystyle f(x)$ 为定义在 $\displaystyle (0,1)$ 上的凸函数． 证明（1）对任意 $\displaystyle x, y \in(0,1), x<y$ ，存在 $\displaystyle \xi \in(x, y)$ ，使得 $\displaystyle \frac{f(y)-f(x)}{y-x} \leq f_{-}^{\prime}(\xi)$ ； （2）$\displaystyle f(x)$ 的左导数为左连续的，即对任意 $\displaystyle x_{0} \in(0,1)$ ，有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f_{-}^{\prime}(x)=f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ．

2．设 $\displaystyle F(x, y)$ 在以 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为中心的矩形区域 $D$ 内具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 . y=f(x)$ 为 $\displaystyle F(x, y)=0$ 所确定的隐函数．证明：当 $\displaystyle F_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $\displaystyle F_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 同号时，$\displaystyle y=f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 处取得极大值 $\displaystyle y_{0}$ ．

三，（15 分）$\displaystyle f(x)$ 有连续导数，$\displaystyle f(1)=-\frac{1}{2}, z=f\left(e^{x} y^{2}\right)$ ．若 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=z^{2}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x>0$ 的表达式．

10．设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上具有二阶连续偏导数，证明： $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) d \sigma=\oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} d s$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是 $\displaystyle u(x, y)$ 沿着 $\displaystyle \partial D$ 外法线方向 $n$ 的方向导数．

7．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，不可微，且沿任意方向的方向导数都存在。

八、（15 分）证明：曲面 $\displaystyle F\left(\frac{z}{y}, \frac{x}{z}, \frac{y}{x}\right)=0$ 的切平面过定点，其中 $F$ 具有连续偏导数．

2．设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上具有二阶连续偏导数，并且满足 $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 $$ 若 $\displaystyle u(x, 2 x)=x, u_{x}^{\prime}(x, 2 x)=x^{2}$ ，求 $\displaystyle u_{x x}^{\prime \prime}(x, 2 x), u_{x y}^{\prime \prime}(x, 2 x), u_{y y}^{\prime \prime}(x, 2 x)$ ．

4．设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0, a]$ 上有二阶连续导数，$\displaystyle f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ ，且 $\displaystyle 0<f(x)<x, x \in(0, a)$ ，任取 $\displaystyle x_{1} \in(0, a)$ ，令 $\displaystyle x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 和 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 都收敛。

六．（15 分）取 $\displaystyle u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}, v=\frac{y}{x^{2}+y^{2}}$ 为新的自变量，变换方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ，其中所涉及的各阶导数均存在且连续．

四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上具有二阶连续导数，证明：$\displaystyle f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ 的充要条件是对任意不同实数 $\displaystyle a, b$ ，有 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．

五、（16 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有连续导数，求积分 $$ I=\int_{L}^{1+y^{2} f(x y)} \frac{\mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right] \mathrm{d} y,}{y} $$ 其中 $L$ 是从点 $\displaystyle A\left(3, \frac{2}{3}\right)$ 到点 $\displaystyle B(1,2)$ 的直线段．

五、（20 分）$\displaystyle z=z(x, y)$ 的连续偏导数，若 $\displaystyle \left(x z_{x}\right)^{2}+\left(y z_{y}\right)^{2}=z^{2} z_{x} z_{y}$ ，其中 $\displaystyle x=u e^{w}$ ， $\displaystyle y=v e^{w}, z=\omega e^{w}$ ，若 $\displaystyle 1+u w_{u}+v w_{v} \neq 0$ ，求 $\displaystyle w=w(u, v)$ 的方程．

1．证明：函数列 $f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．

五．已知二元函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases} $$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性、可微性以及其偏导数的连续性．

九．（10 分）设 $n$ 元函数 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$ 有连续的二阶偏导函数．记 $\displaystyle H=\left(\begin{array}{ccc}f_{11} & \cdots & f_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ f_{n 1} & \cdots & f_{n n}\end{array}\right)$ 为 $f$ 的 Hessian 矩阵．若 $\displaystyle \vec{u}$ 为单位行向量，$\displaystyle \vec{u}^{\prime}$ 表示 $\displaystyle \vec{u}$ 的转置，判断 $\displaystyle \vec{u} H \vec{u}^{\prime}$ 与 $f$ 沿 $\displaystyle \vec{u}$ 的二阶方向导数的关系并加以证明．

十．（15 分）（1）计算 $$ \int_{\overrightarrow{A B C}}\left(x^{2}+10 x y+y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(5 x^{2}+5 x y\right) \mathrm{d} y $$ 其中 $\displaystyle A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2)$ ． （2）设 $$ g(x, y, z)=\frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} $$ 计算 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial g}{\partial \vec{n}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $S$ 为以原点为中心的任一球面，$\displaystyle \vec{n}$ 为 $S$ 的单位外法向量，$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial \vec{n}}$ 为 $g$ 沿 $\displaystyle \vec{n}$ 的方向导数． （3）设 $$ \vec{F}(x, y, z)=\frac{-y \vec{i}+x \vec{j}}{x^{2}+y^{2}} $$ 在除 $z$ 轴外均有定义。计算 $\displaystyle \int_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{~d} \vec{r}$ ，其中 $\displaystyle \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}, C$ 为以 $z$ 轴上点为圆心的平行于 $\displaystyle x o y$ 平面的圆周，从 $z$ 轴上方无穷远处看 $C$ 为逆时针方向。

七．（15 分）（1）证明 $$ \ln (1+x) \leqslant x, x \in(-1, \infty) $$ （2）求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}} $$ （3）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某领域内有连续的一阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在．证明 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{2}}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) . $$

九．（15 分）（1）设 $\displaystyle \mu=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，若 $\displaystyle x=s^{2}-t^{2}, y=2 s t$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} \mu}{\partial s \partial t}$ ． （2）求二元函数 $$ f(x, y)=y^{3}-3 x^{2} y $$ 的极值点． （3）求 $$ f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4} $$ 在 $\displaystyle x y z=1$ 且 $\displaystyle x, y, z>0$ 条件下的极值．

十．（15 分）（1）计算积分 $$ \int_{C}\left(\sin x-y \mathrm{e}^{x y}+y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-x \mathrm{e}^{x y}+\ln \left(1+y^{4}\right)\right) \mathrm{d} y $$ 其中 $C$ 为曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向逆时针． （2）计算积分 $$ \iint_{S}\left(x^{3} \cos \alpha+y^{3} \cos \beta+z^{3} \cos \gamma\right) \mathrm{d} s $$ 其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(z \geqslant 0), \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为此曲线的外法线的方向余弦． （3）设 $S$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中具有光滑定向边界 $\displaystyle \partial S$ 的光滑定向曲面，$S$ 与 $\displaystyle \partial S$ 的定向满足右手规则，假设 $\displaystyle f, g$ 在包含 $S$的区域中分别满足偏导数连续和二阶偏导数连续。证明 $$ \int_{\partial S} f \nabla g \overrightarrow{\mathrm{~d} s}=\iint_{S} \nabla f \times g \vec{n} \mathrm{~d} s $$ 其中 $\displaystyle \vec{n}$ 为 $S$ 的单位法向量．

七．（15 分）（1）求 $$ f(x, y)=\frac{1}{y^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2 y^{2}}\left[(x-1)^{2}+(y-1)^{2}\right]} $$ 在 $\displaystyle D=\left\{f(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, y>0\right\}$ 上的最值； （2）设 $\displaystyle f(x, y)$ 及其二阶偏导数在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上连续，$\displaystyle f(0,0)=0,\left|\frac{\partial f}{\partial x}\right| \leqslant 2|x-y|,\left|\frac{\partial f}{\partial y}\right| \leqslant 2|x-y|$ ，证明：$\displaystyle |f(5,4)| \leqslant 1$ ．

4．应用 Cauchy 收敛准则；

3．若 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 且 $f(x) \geqslant 0$ 则 $f(x) \equiv 0, x \in[a, b]$ ．

1．$f(x)$ 在 $x=0$ 的任意邻域上无界，则当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 为无穷大．

1．$\sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $(0, a]$ 上有界，证明：$f(x)$ 在 $(0, a]$ 上一致连续．

1．刑断下列命题是否正确，正确请给出证星，错识请给出反例。 （1）设而数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，那么存在 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ 与 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在令域 $\displaystyle B\left(x_{0}, c\right)$ 上有界。 （2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 对任意 $\displaystyle p>0$ 都们 $\displaystyle \left|x_{n+p}-x_{n}\right| \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，服么 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 Cauchy 列。 （3）如果 $\displaystyle \int_{0}^{1} f^{1}(x) \mathrm{d} x=0$ ，开么 $\displaystyle f(x)=0(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 。 （4）如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mu_{1}}{\tan (1 / n)}=0$ ，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收放。 （5）对于二元的数 $\displaystyle f(x, y)$ ，它在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{b}\right)$ 存在任意方向的方向导数，肌么 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{b}\right)$ 可欲。

五、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(b)=-f^{\prime}(a)$ ． （1）分别用 $\displaystyle a, b$ 两点的泰勒公式表达 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ ． （2）若增加条件：$\displaystyle f^{\prime}(a) \neq 0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, d$, 着，彼等 $$ \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right|=\frac{4|f(b)-f(a)|}{(b-a)^{2}} $$

1．函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，并且单调递增，若函数 $f(x)$ 有上界，则函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。

3．设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界，则函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界。

3．设函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 ; \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0 .\end{array}\right.$ ． （1）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 连续． （2）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微． （3）求 $\displaystyle \alpha$ 的范围，使函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的偏导数连续．

2．函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，且在某点 $c \in(a, b)$ 处 $f^{\prime}(c)>0$ ，则存在邻域 $(c-\delta, c+\delta)$ 使得 $f(x)$ 在该邻域单调递增．

3．设函数 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导且 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=F(b)-F(a)$ ．

5．已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{p}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 处连续，求 $p$ 的取值范围 $\_\_\_\_$ ．

9．级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1^{n}+2^{n}+\cdots+10^{n}}{n(\ln n)^{2}} e^{n x}$ 的一致收敛区域为 $\_\_\_\_$ .

十．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ ，证明： $$ f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty) $$ 十一。设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 上有 $\displaystyle n+1$ 阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0, f^{(n+1)}(0) \neq 0$ ，由微分中值定理，对 $\displaystyle |x|<\delta$ ，存在 $\displaystyle \theta \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(x)-f(0)=f^{\prime}(\theta x) x$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$ ．

十二．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶连续导数且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0$ ，证明： $$ f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq \frac{f(a)+f(b)}{2} . $$

四．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处存在二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|$ 收玫．

6．设函数 $f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) ; \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{cases}$ （1）计算 $f(x, y)$ 的偏导数． （2）讨论 $f(x, y)$ 在原点的连续性． （3）讨论 $f(x, y)$ 在原点的可微性．

10．设 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 求（1）$\displaystyle f(x, y)$ 偏导数； （2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的方向导数； （3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处是否可微．

11．（1）叙述反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{\infty} f(x, y) g(x, y) \mathrm{d} x$ 关于 $y$ 在区间 $I$ 的 Abel 判别法． （2）讨论积分 $$ \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (2 x)}{x+y} e^{-x y} \mathrm{~d} x $$ 在 $\displaystyle y \in[0, b]$ 上是否一致收敛．

10．（15 分）设 $D$ 是平面区域，$\displaystyle u(x, y)$ 为定义在 $D$ 上的二元函数，且在 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 具有直到二阶的连续偏导数。证明：$\displaystyle u(x, y)$ 在 $D$ 上满足 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0$ 的充要条件为对于任意 $D$ 内的圆周 $L$ ，且 $L$ 所围圆 $O$ 含于 $D$ ，有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} s=0$ ，其中 $n$ 取圆周 $L$ 的外法向．

7．（ 15 分）设 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases} $$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性和可微性．又设 $\displaystyle x(t)=t, y(t)=t^{2}$ ，讨论复合函数 $\displaystyle f(x(t), y(t))$ 在 $\displaystyle t=0$的导数是否满足链式法则．

8．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为定义在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$ 上的二元函数，在 $D$ 内对 $x$ 和 $y$ 具有直到二阶的连续偏导数，且 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$ 是 $\displaystyle f(x, y)$ 的极小值点．证明： $$ f_{x x}\left(x_{0}, y_{0}\right)+2 f_{x y}\left(x_{0}, y_{0}\right)+f_{y y}\left(x_{0}, y_{0}\right) \geq 0 $$

10．设区域 $\displaystyle \Omega$ 由分片光滑的封闭曲面 $\displaystyle \Sigma$ 围成，$\displaystyle u(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上具有二阶连续偏导数，且在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0 $$ （1）证明： $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S=0$ ，其中 $\displaystyle \mathbf{n}$ 是曲面 $\displaystyle \Sigma$ 的单位外法向量． （2）设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in \Omega$ 为一定点，证明： $$ u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{\Sigma}\left(u \frac{\cos (\widehat{r, n})}{r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial n}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right), r=\sqrt{\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}}$ ．

4．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上具有连续导数，且 $\displaystyle f(a)=0$ ，证明： （1） $\displaystyle \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \leq \frac{(b-a)^{2}}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$. （2） $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} f(a \cos x+b \sin x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2 \pi} f\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}} \sin x\right) \mathrm{d} x$ ．

5．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 上有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(x) \neq 0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} f(\sqrt{\sqrt[n]{2}-1})$发散．

八．（15 分）设函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上存在二阶连续的导数，若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi(x)$ 存在，且 $\displaystyle \varphi^{\prime \prime}(x)$ 有界．试证： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \varphi^{\prime}(x)=0$.

7．（20 分）设 $\displaystyle S_{n}(x)=n^{\alpha} x e^{-n x}$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 是参数，求 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围，使得函数列 $\displaystyle \left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上： （1）（ 6 分）一致收敛。 （2）（6 分）积分运算与极限运算可以交换，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} S_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x) \mathrm{d} x$ ． （3）（8 分）求导运算与极限运算可以交换，即对一切 $\displaystyle x \in[0,1]$ ，成立 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x} S_{n}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)$ ．

10．（15 分）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n\left(1+x^{n}\right)}$ 在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 具有连续导数．

6．（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有二阶连续导数，证明：在 $\displaystyle (0,1)$ 内存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使得 $$ \left|f(0)+f(1)-2 f\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leq \frac{1}{4}\left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| $$

8．设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 有连续的偏导数，且满足 $\displaystyle -y \frac{\partial f}{\partial x}+x \frac{\partial f}{\partial y}+b \frac{\partial f}{\partial z} \geq c$ ，其中 $\displaystyle b, c$ 为正实数，证明：当 $\displaystyle (x, y, z)$ 沿着 $\displaystyle x=b \cos t, y=b \sin t, z=b t, t \in[0,+\infty)$ 趋于无穷时，$\displaystyle f(x, y, z) \rightarrow+\infty$ ．

11、设函数 $\displaystyle P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的偏导数，且对于任意的光滑封闭曲面 $S$ ，均有 $$ \iint_{S} P \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+Q \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+R \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=0 $$ 证明：在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上，有 $\displaystyle P_{x}+Q_{y}+R_{z} \equiv 0$ ．

四．（12 分）设 $$ f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，沿任何方向的方向导数存在，但不可微．

7．计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{n}{2}} \cos ^{n} x d x$ ．

1. 求数列极限： $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2023}+2^{2023}+\cdots+n^{2023}}{n^{2024}}$ ．

七．（本题满分 15 分）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ． 讨论下列问题： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性； （2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的方向导数； （3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性．

三．（本题满分 14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [1,2]$ 上具有二阶连续导数，且 $$ f(1)=f(2)=\int_{1}^{2} f(x) d x $$ 证明：存在 $\displaystyle \xi \in(1,2)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．

三、（15 分）$\displaystyle F(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内二阶连续偏导数，

二、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 1$ 上有连续二阶偏导数，且 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=\mathrm{e}^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} $$ 证明： $\displaystyle \iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{\pi}{2 e}$ ．

八、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数 $$ f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime}(1)=1 $$ 证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x \geq 4$ ．

六、证明：$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{3}}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上连续，目有连续的导数。

3、设 $u(x, y, z)$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 上的连续函数，而且它在点 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 的某个邻域上有连续的二阶偏导数，记 $\Sigma$ 是以 $M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为球心，$R$ 为半径的球面．令 $T(R)=\frac{1}{4 \pi R^{2}} \iint_{\Sigma} u(x, y, z) \mathrm{d} S, R>0$ ．证明： （1） $\lim _{R \rightarrow 0^{+}} T(R)=u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ． （2）若 $\Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}$ ，则 $$ \lim _{R \rightarrow 0^{+}} \frac{T(R)-u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}{R^{2}}=\frac{1}{6} \Delta u\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) . $$ 其中 $\left.\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\right)\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)} \neq 0$ ．

5、幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\_\_\_\_$ ．

7．设函数 $\displaystyle f(x)$ 有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{\iiint_{V} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z}{\pi t^{4}}$ ，其中 $V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}$ 围成的区域。

4．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有三阶连续导数，且 $\displaystyle f(x), f^{\prime \prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界，证明： $\displaystyle f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界．

6．（20 分）记 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的点 $\displaystyle \mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right), \mathbb{R}^{3}$ 中以原点为圆心，$\displaystyle r>0$ 为半径的开球记为 $\displaystyle B_{r}$ ，其边界为 $\displaystyle \partial B_{r}$ ．设 $\displaystyle f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}$ 具有连续的偏导数，且 $\displaystyle f(\mathbf{x})=0, \forall x \in \partial B_{r}$ ，证明： $$ \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \iiint_{B_{r} \backslash B_{\varepsilon}} \frac{x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}(\mathbf{x})}{|x|^{3}} \mathrm{~d} V=-4 \pi f(\mathbf{0}) $$

10、（15分）设 $\displaystyle z=f(x-y, x+y)+g(x+k y), f(x, y)$ 具有连续二阶偏导数，$\displaystyle g(x)$具有连续二阶导数且 $\displaystyle g^{\prime \prime}(x)$ 不恒为 0 ，如果 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x}+2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} y}=4 f_{22}^{\prime}$ ，求常数 $k$ 的值。

七．（15 分）设 $\displaystyle F(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内有二阶连续的偏导数，且 $$ F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 $$ 证明：由方程 $\displaystyle F(x, y)=0$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处取极值．

一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分） （1）。如果 $\displaystyle \forall p \in \mathbb{N}_{+}$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=0$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）。如果偏导数 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 和 $\displaystyle f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。 （3）．如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，则对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 是绝对收玫的。 （4）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在原函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积． （5）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (x, y)$ 上连续，$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续。 （6）。如果 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

二、求解下列各题（每小题9分，共36分） （1）．求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right]^{\frac{1}{x}} $$ （2）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续可导，计算积分 $$ \iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{z} f\left(\frac{y}{z}\right)+y^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{1}{y} f\left(\frac{y}{z}\right)+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为锥面 $\displaystyle y^{2}+z^{2}=x^{2}(x>0)$ 与球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 所围成立体的表面． （3）．将函数 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}$ 展成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 2^{2 n+1}}$ 的和． （4）．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上具有二阶偏导数，且满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)},(x, y) \in D $$ 求积分 $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分） （1）．如果 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}_{+}$，当 $\displaystyle n>N$ 时，有 $\displaystyle \left|a_{n}-a_{N}\right|<\varepsilon$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）．如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}_{+}$，均有 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续． （3）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点连续，且 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)-f\left(x_{0}\right)}{\frac{1}{n}} $$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的右导数存在． （4）．如果函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle \exists \xi \in[a, b]$ ，使得 $$ \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x $$ （5）．如果函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在且有界，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$连续． （6）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的非负连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。

1．对数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任意两个子列 $\left\{a_{n_{k}}\right\}$ 与 $\left\{a_{m_{k}}\right\}$ 均有 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left(a_{n_{k}}-a_{m_{k}}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。

1．如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上至多有有限个不连续点．

2．如果数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫。

1．若对任意的 $N$ ，总存在 $\varepsilon>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ 成立，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．

3．若函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在，则 $f(x, y)$ 在该点处连续．

2．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，$f(a)=f(+\infty)$ ，则存在 $\xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。

3．设 $f(x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 上不恒为 0 的连续函数，$D(x)$ 为 Dirichlet 函数，则 $f(x) D(x)$ 在 $[a, b]$ 上不可积．

4．设 $|a| \neq 1$ ，计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\arctan (a \tan x)}{\tan x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

8．（ 15 分）证明函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases} $$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在．但偏导数在点 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

14．设 $\displaystyle P(x, y)$ 和 $\displaystyle Q(x, y)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上具有连续的偏导数，且对任意 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2}$ ，以及任意 $\displaystyle r>0$ ，总有 $$ \int_{L} P \mathrm{~d} x+C C^{9} y=0 $$ 其中 $L$ 是以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 为心，$\displaystyle r>0$ 为半径的上半圆周，方向是逆时针．证明：在 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上， $\displaystyle P(x, y) \equiv 0, \frac{\partial Q}{\partial x} \equiv 0$.

1．设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^{2}-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程．

4、求函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x \ln 2}-\frac{1}{2^{x}-1}, x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, x=0\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle x=0$ 的导数．

3．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{4}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{array}\right.$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性，偏导数的存在性，可微性．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 上有连续的导数，记 $\displaystyle F_{n}(x)=n f\left(x+\frac{1}{n}\right)-n f(x)$ ． （1）若 $I$ 为有界闭区间，$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 是否一致收敛？给出理由． （2）若 $I$ 为有界开区间，$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 是否一致收敛？给出理由．

1．求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln n}{\ln \left(1^{106}+2^{2026}+\cdots+n^{2026}\right)}=$ $\_\_\_\_$ ．

1．求 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{1}{e}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right]^{x}$ ．

4、求不定积分 $\int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x$ ．

三、讨论题（10 分） 设二元函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\alpha} \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq(0,0) \\ 0, & x^{2}+y^{2}=(0,0)\end{cases} $$ 分别讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续、偏导数存在时，$\displaystyle \alpha$ 的取值范围．

1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sqrt{2} x)-e^{-x^{2}}+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$ ．

3、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 内有 $\displaystyle n,\left(n \in \mathbb{N}_{+}\right)$阶连续导数，且 $$ f^{(k)}\left(x_{0}\right)=0,(k=2,3,, \cdots, n-1), f^{(n)}\left(x_{0}\right) \neq 0, $$ 当 $\displaystyle 0<|h|<\delta$ 时，$\displaystyle f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)=h f^{\prime}\left(x_{0}+\theta h\right),(0<\theta<1)$ ，证明： $$ \lim _{h \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n-1]{n}} $$

8、（20 分）记单位球 $\displaystyle B=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ ，设 $u$ 在 $B$ 上具有二阶连续偏导数，且 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$ ．证明：$\displaystyle u(0)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{\partial B} u(x, y, z) \mathrm{d} S$ ．

5、已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ．讨论函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0)$ 与 $\displaystyle f_{y}^{\prime}(0,0)$ 及 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性．

12．（13 分）设函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 存在连续的偏导数． （1）$\displaystyle Q(x, y)$ 满足什么条件时，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ 与路径无关； （2）若对任意 $t$ ，恒有 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y d x+Q(x, y) d y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ ，求 $\displaystyle Q(x, y)$ 的表达式。

9．（12 分）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点的连续性，偏导数与方向导数的存在性．

8．给定方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x u^{2}+v=y^{3} \\ 2 y u-x v^{3}=4 x \end{array}\right. $$ 判断其在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, u_{0}, v_{0}\right)=(0,1,0,1)$ 附近能否确定 $\displaystyle u, v$ 为 $\displaystyle x, y$ 的函数，若能，求出偏导数 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial^{2} v}{\partial y^{2}}$在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)=(0,1)$ 的值．

十．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 附近存在一阶连续的偏导数，且 $\displaystyle f_{y}(0,1) \neq 0, f(0,1)=0$ ．证明：$\displaystyle f\left(x, \int_{0}^{t} \sin u \mathrm{~d} u\right)=0$在点 $\displaystyle \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 附近唯一确定单值函数 $\displaystyle t=\varphi(x)$ ，并求 $\displaystyle \varphi^{\prime}(0)$ ．

5．证明导数有界则一致连续，反之，一致连续导数是否有界？证明或给出反例．

8．证明 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\left|x-\frac{1}{n}\right|}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle x_{k}=\frac{1}{k}(k=1,2, \cdots)$ 点不可微，求导函数．

9．已知 $$ f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases} $$ 求 $\displaystyle f(x, y)$ 偏导存在可微性连续性（？？？），$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点沿方向 $\displaystyle \mathbf{l}=(\cos \theta, \sin \theta)$ 的方向导数．

2．（15 分）讨论函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x y}{x} & x \neq 0 \\ y & x=0\end{array}\right.$ 的连续性，并确定它的连续点集．

六、（15 分）证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 存在二阶导数，$\displaystyle F(z)$ 存在连续导数，则函数 $$ u(x, t)=\frac{1}{2}[f(x-a t)+f(x+a t)]+\frac{1}{2 a} \int_{x \rightarrow a t}^{x+a t} F(z) d z $$ 是弦振动方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ 的解。

六、（15 分）已知 $\displaystyle u=\arccos \sqrt{\frac{x}{y}}$ ，求二阶偏导数 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial y \partial x}$ ，并给出二者相等的条件。

四、（15分）设 $\displaystyle p_{1}(x)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的 $k$ 次多项式，$\displaystyle p_{2}(x)$ 为 $\displaystyle [b, c]$ 上的 $k$ 次多项式，$\displaystyle p_{1}(x)$ 和 $\displaystyle p_{2}(x)$ 在点 $\displaystyle x=b$ 处连续，且一阶到 $r$ 阶导数均连续．证明必存在 $\displaystyle k-r-1$ 次多项式 $\displaystyle q(x)$ ，使得成立 $\displaystyle p_{2}(x)=p_{1}(x)+(x-b)^{r+1} q(x)$ 。

二、（15 分）。求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处可导：$\displaystyle f(x)= \begin{cases}a x+b, & x \geq 0, \\ x^{2}+1, & x<0 .\end{cases}$

四、（20 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但偏导数在 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

二、（10 分）求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处可导：$\displaystyle f(x)= \begin{cases}a x+b, & x \geq 0, \\ x^{2}+1, & x<0 .\end{cases}$

四、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但偏导数在 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

二、（10 分）。求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处可导：$\displaystyle f(x)= \begin{cases}a x+b, & x \geq 0, \\ x^{2}+1, & x<0 .\end{cases}$

四、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但偏导数在 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 可微．

二、（15 分）求 $\displaystyle a, b$ 使下列函数在 $\displaystyle x=0$ 处可导：$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x+b, & x \geq 0, \\ x^{2}+1, & x<0 .\end{array}\right.$

三、（15 分）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (a, b)$ 内非负、具有三阶导数，且方程 $\displaystyle f(x)=0$ 有两个相异实根，则存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ 使得 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=0$ ．

二、（15 分）证明函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但在此点不可微。

3．计算 $\int_{L} x d y+y d x$ ，其中 $L:$ 沿抛物线 $y=2 x^{2}$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,2)$ ．

3．计算积分 $I=\iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} d x d y$ ，其中 $D$ 为平面曲线 $x y=1, x y=3, y^{2}=x, y^{2}=3 x$ 所围成的有界闭区域。

3．计算第二型曲线积分 $I=\int_{L}\left(x^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}-2 x y\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $L$ 是抛物线的一段：$y=x^{2},-1 \leq x \leq 1$ ，方向由点 $(-1,1)$ 到点 $(1,1)$ ．

7．设 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均不为零，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是否收敛，为什么？

2．若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}=0$ ，则 $f^{\prime}(0)=0$ ．此结论是否成立？为什么？

7．$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续可微，$h(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{f(x)-f(y)}{x-y}, & x \neq y ; \\ f^{\prime}(x), & x=y .\end{array}\right.$ 证明：$h(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上连续．

2．设 $C$ 是 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 与 $x=y$ 的交线，方向由 $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 到 $\left(-\frac{a}{\sqrt{2}},-\frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ ．计算 $$ \left(z^{3}+3 x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}+3 y^{2} z\right) \mathrm{d} y+\left(y^{3}+3 z^{2} x\right) \mathrm{d} z $$

1、设 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上一致连续且有界，证明：$f_{n}(x)=\frac{n \int_{0}^{1} f(x+t) e^{-n t} \mathrm{~d} t}{1-e^{-n}}$一致收敛于 $f(x)$ ．

10．（15分）设 $\displaystyle u(x, y)$ 所有二阶偏导数都连续，且 $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0, u(x, 2 x)=x, u_{x}(x, 2 x)=x^{2} $$ 求 $\displaystyle u_{x x}(x, 2 x), \overparen{u}_{x y}(x, 2 x), u_{y y}(x, 2 x)$ ．

4．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点．

1．（10 分）设 $f$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上的连续函数，且 $f$ 在原点沿任意方向的方向导数存在．问：$f$ 在原点是否一定可微？若可微，给出证明，若不可微，给出反例．

5．设函数 $f(x), g(x)$ 在有界区间 $I$ 上一致连续．证明：$f(x) g(x)$ 在该区间也一致连续．

10．设函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle B=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1\right\}$ 上有二阶连续偏导数且 $\displaystyle \Delta f \equiv 0$ 证明 $\displaystyle \iiint_{B}\left(x f_{x}+y f_{y}+z f_{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ．

7．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，证明：可以作适当的线性变换 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=x+a y \\ v=x+b y\end{array}\right.$ 可以将方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+4 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}+3 \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0$ 化为 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial u \partial v}=0$.

4．已知 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续可微，且 $f(a)=0$ ，则 $\int_{a}^{b}\left|f(x) f^{\prime}(x)\right| d x \leq \frac{b-a}{2} \int_{a}^{b}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} d x$ ． （压住原题，做过 $a=0, b=a$ 的题）

3．（15 分）已知 $$ f(x)= \begin{cases}(x-1)^{3} \cos \frac{1}{x}, & x<1 \\ a, & x=1 \\ e^{b(x-1)}+c, & x>1\end{cases} $$ 问：$\displaystyle a, b, c$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=1$ 处可导，并计算 $\displaystyle f^{\prime}(1)$ ．

13．设 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{\sqrt{n^{3}+n}}$ ． （1）证明：$f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （2）证明：$F\left(\frac{\pi}{2}\right)<\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，其中 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．

四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域存在连续的一阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)$ 存在，求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}} $$

三、已知函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{\sqrt{|x y|}}{x^{2}+y^{2}} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right), & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 讨论： 1．函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点的偏导数是否存在； 2．函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点是否可微．

四、已知 $\displaystyle f(u, v)$ 存在二阶连续偏导数，且 $$ g(x, y)=x y-f(x+y, x-y), $$ 求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}$ ．

3．设函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{3}}{x^{2}+y^{4}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否连续，偏导数是否存在，是否可微．

4．设 $\displaystyle z=z(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，请计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}$ 在坐标变换 $$ \left\{\begin{array}{l} u=x^{2}-y^{2} \\ v=2 x y \end{array}\right. $$ 下的表达式．

2、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 内处处有导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，证明：$\displaystyle (a, b)$ 中的点或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的连续点，或者为 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 的第二类间断点。

8．已知函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{m} y^{m}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{n}} \arcsin \left(x^{2}+y^{2}\right),(x, y) \neq(0,0) \\ 0 \quad,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，其中 $\displaystyle m>0, n>0$ ，判断 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的偏导数是否存在？是否可微？

十．（15 分）求极限 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) d x d y d z$ ，其中函数 $\displaystyle f(t)$ 在区间 $\displaystyle [0,1]$ 上连续在 0 点右导数存在，且 $\displaystyle f(0)=0, f_{+}^{\prime}(0)=1$ 。

六．（15 分）利用偏导数求函数 $\displaystyle z=x y+\frac{4}{x}+\frac{2}{y}$ 的极值．

4、（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 附近可以表示为： $$ f(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right) $$ 证明：$\displaystyle a_{k}=\frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}, k=0,1,2, \cdots, n$ ． （2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)$ 内有任意阶导数，且对 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}$ ，有 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leq M$（常数），$\displaystyle \forall x \in\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right), R>0$ ．试证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)$ 内可展开为无穷泰勒级数，即 $$ f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k} $$ 其中 $\displaystyle \forall x \in\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right), R>0$ ．

二、设二元函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x+y+z=e^{z}$ 确定的隐函数，求二阶混合偏导数 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有连续三阶导数，且 $\displaystyle f(-1)=0, f(1)=1, f^{\prime}(0)=0$ ，证明：在 $\displaystyle (-1,1)$ 内至少存在一点 $\displaystyle \xi$ ，使 $\displaystyle f^{\prime \prime \prime}(\xi)=3$ ．

十、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=[a, b] \times[c, d]$ 上有二阶连续偏导数 （1）通过计算验证： $\displaystyle \iint_{D} f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) d x d y=\iint_{D} f_{y x}^{\prime \prime}(x, y) d x d y$ ； （2）利用（1）证明：$\displaystyle f_{x y}^{\prime \prime}(x, y)=f_{y x}^{\prime \prime}(x, y),(\mathrm{x}, \mathrm{y}) \in \mathrm{D}$ 。

一、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{n} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}, n\right.$ 为正整数， （1）当 $n$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处连续； （2）当 $n$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处可导； （3）当 $n$ 为何值时，$\displaystyle f(x)$ 的导数 $\displaystyle f^{\prime}(\mathrm{x})$ 在 $\displaystyle \mathrm{x}=0$ 处连续．

5、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续二阶导数且 $\displaystyle f(0) f(1) \geq 0$ ，证明： $$ \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leq 2 \int_{0}^{1}|f(x)| d x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| d x $$

5．$\displaystyle y^{2}+f\left(x^{2}, z\right)=1$ 能确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，且 $\displaystyle f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.

3、 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 偏导数存在且相等，则 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续．

二、（10 分）求 $\displaystyle \iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} d x d y$ ，区域 $\displaystyle D:|x| \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ． 1、 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a+\varepsilon, b-\varepsilon]$ 一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 一致连续． 2、函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限区间 $\displaystyle [a, u]$ 可积 且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收玫，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫． 3、 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 偏导数存在且相等，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，证明：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $$ \int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f\left(\frac{a-b)}{2}\right)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime}(\xi)(b-a)^{3} $$

4．设 $\alpha>0$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[(x+1)^{\alpha}-x^{\alpha}-\frac{x+1}{x+e^{\sin x}}\right]$ ．

3、（15 分）设 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) \in R^{3}$ ，求 $\displaystyle f(x, y, z)=\left[\left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}+\left(z-z_{0}\right)^{2}\right]^{-\frac{1}{2}}$ 的偏导数．

5．讨论 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 的可导性。

10．曲线积分 $\int_{L} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}=(\quad)$ ，其中 $L$ 为曲线 $x^{2}-2 x+y^{2}=3$ ，方向取正向．

六、（20 分）证明函数 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{2}+1}$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上连续，且有连续的导数．

2．极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

6．设 $f(x)$ 二次可微，且 $\sup _{x \in[0,1]} f^{\prime \prime}(x) \leq 2$ ，若 $f(0)=f(1)=2$ ，且曲线 $y=f(x)-x^{2}$ 与直线 $y=2-x$交于点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)\left(0<x_{0}<1\right)$ ，则对任意的 $x \in(0,1), f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

一、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ 的逐项求导后的级数的收敛域，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ 的和．

五．（1）已知 $\displaystyle f(x)=x+y+z, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为单位球上一点，求 $f$ 在 $\displaystyle P_{0}$ 处沿外法方向的方向导数． （2）上述方向导数最大值在何处取到．

3．（13 分）证明函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}x y \cos \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 连续且偏导数存在，但是偏导数在点 $\displaystyle (0,0)$ 不连续，而 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$可微。

11、（13 分）设 $\displaystyle u=x+y, v=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}, z=z(x, y)$ ．若取 $\displaystyle u, v$ 为新的自变量，试着用新变量 $\displaystyle u, v$ 变换等式：$\displaystyle x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} \approx\left(x^{2}+y^{2}\right) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ ． 注：其中所有出现的二阶偏导数都连续．

4、（14 分）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)= \begin{cases}g(x, y) \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) .\end{cases}$ 证明：（1）若 $\displaystyle g(0,0)=0, g(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 可微，且 $\displaystyle \mathrm{d} g(0,0)=0$ ，则 $\displaystyle f(x, y)$在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，且 $\displaystyle d \mathbf{f}(0,0)=0$ ． （2）若 $\displaystyle g(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处有偏导数，且 $\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \mathbf{d} \mathbf{f}(\mathbf{0}, \mathbf{0})=\mathbf{0}$ ．

9．（15 分）设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 的二阶可导函数，且 $f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, f(x) \geqslant 0$ ，证明： $$ \max _{x \in[a, b]} f(x) \leqslant \frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x . $$

10、 $\displaystyle z=f(2 x-y, y \sin x)$ 有连续二阶偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

12、证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 有连续导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，且 $$ f_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right], $$ 则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset(a, b)$ 一致收玫于导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．

5、设 $\displaystyle f(x, y)=|x-y| \varphi(x, y)$ ，其中 $\displaystyle \varphi(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的邻域内连续． （1）$\displaystyle \varphi(x, y)$ 满足什么条件？偏导数 $\displaystyle f_{x}^{\prime}(0,0), f_{y}^{\prime}(0,0)$ 存在． （2）$\displaystyle \varphi(x, y)$ 满足什么条件？$\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处可微。

9．（15 分）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一闭区域，$\displaystyle \Sigma$ 为其边界，且分段光滑，$\displaystyle u, v$ 有连续的二阶偏导数，证明： $$ \iiint_{\Omega} v \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为 $u$ 沿曲面 $\displaystyle \Sigma$ 外法线方向的方向导数，$\displaystyle \nabla u, \nabla v$ 为 $\displaystyle u, v$ 的梯度．

五．（15分）设 $\displaystyle u=f(x, y, z)$ 的所有二阶偏导数都连续，$\displaystyle v=f(x(s, t, r), y(s, t, r), z(s, t, r))$ ，其中 $$ \left\{\begin{array}{l} x(s, t, r)=\frac{1}{9}(a x+4 t+8 r) \\ y(s, t, r)=\frac{1}{9}(4 s+b t-4 r) \\ z(s, t, r)=\frac{1}{9}(8 s-4 t+c r) \end{array}\right. $$ 试讨论是否存在常数 $\displaystyle a, b, c$ ，使得当 $\displaystyle x=x(s, t, r), y=y(s, t, r), z=z(s, t, r)$ 时，总成立 $$ \left.\left(u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}\right)\right|_{(x, y, z)}=\left.\left(v_{s s}+v_{t t}+v_{r r}\right)\right|_{s, t, r} . $$ 若存在，求 $\displaystyle a, b, c$ 的值．

十一．（10 分）设 $u$ 是平面开区域 $D$ 上的二元函数，且所有的偏导数连续．证明：$u$ 是 $D$ 上的调和函数，即在 $D$ 上 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0 \Longleftrightarrow$ 对 $D$ 内任意圆周 $L$ ，有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n}=0$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 表示 $u$ 在 $L$ 上的外法向导数．

7、函数 $\displaystyle f(x, y)$ 存在二阶连续偏导数，且 $\displaystyle f(0,0)=2024, f_{x x}^{\prime \prime}+f_{y y}^{\prime \prime}=2 x y$ ， 记 $\displaystyle L_{r}: x^{2}+y^{2}=r^{2},(r>0)$ ，求 $\displaystyle I(r)=\frac{1}{2 \pi r} \int_{L_{r}} f(x, y) \mathrm{d} s$ ．

9．（15 分）二元函数 $\displaystyle u(x, y)$ 在区域 $\displaystyle D=[0,1] \times[0,1]$ 上具有二阶连续偏导数，且在边界 $\displaystyle \partial D$ 上 $\displaystyle u=0$ ．如果 $$ \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}(x, y)+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}(x, y)=-\lambda u(x, y), \forall(x, y) \in D $$ （1）证明： $\displaystyle \iint_{D}\left[\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\lambda \iint_{D} u^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ． （2）若存在函数 $\displaystyle f, g$ ，使得 $u$ 可以表示为 $\displaystyle u(x, y)=f(x) g(y)$ ，且在区域 $D$ 内部 $\displaystyle u>0$ ，求 $\displaystyle \lambda$ 的值．

2．对 $n \geq 1$ ，设 $S_{n}(x)=\frac{x}{1+n^{2} x^{2}}$ ，证明：函数列 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛．

二．设函数 $f$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq 4 \frac{|f(b)-f(a)|}{(b-a)^{2}} $$

2．设 $z=z(x, y)$ 由 $f(z-x, z-y)=0$ 所确定，其中 $f(u, v)$ 具有连续的一阶偏导数，且 $\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v} \neq 0$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$ ．

4．求第二型曲面积分 $\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}$ ，其中 $S$ 为 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ ，方向向上．

2． $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{n^{2}}\left(\tan \frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$ ．

四、（15 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ， $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq|f(x)|+\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．证明存在 $\displaystyle 0<\delta<1$ ，使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．

八、（12 分）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-e^{x\left(x^{2}+y^{2}\right)}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 处的连续性，可微性，偏导数的存在性以及偏导数的连续性．

2．设函数 $h(x)=x^{2}$ ，则 $h(x)$ 在 $R$ 上不一致连续．

2．给出函数 $s(x)$ 的可导范围．

2. $$ \int_{A B}(\sin y+y) d x+x \cos y d y $$ 其中 $A B$ 为由 $(0,0)$ 到 $(3,0)$ 经曲线 $y=x(3-x)$ 上半部的路线．

七、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，证明 （1）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处任意方向的方向导数都存在； （2）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微。

2．用等价无穷小替换计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x}{1-\cos x}$ 。

2．设 $p$ 表示原点到椭球面 $S: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 上任一点 $(x, y, z)$ 的切平面的距离，证明 $\oiint_{S} \frac{1}{p} d S=\frac{4 \pi}{3} a b c\left(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\right)$.

2．给出一个求正数 $a$ 的算术平方根的迭代算法，并分析算法的收玫阶。

七、设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，证明 （1）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处任意方向的方向导数都存在； （2）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微．（15分）

2． $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

2、若对任意的 $x \in(0,2)$ ，有 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \leq M$ ，证明 $$ f(x) \equiv 0, x \in[0,2] . $$

1、举例说明上述命题是假命题．

2、用闭区间套定理证明确界原理．

五、（15 分）解答如下问题： （1）证明：若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 均在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则有 $$ \left[\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right]^{2} \leq \int_{a}^{b}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \int_{a}^{b}[g(x)]^{2} \mathrm{~d} x $$ （2）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上有连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \int_{0}^{1}[f(x)]^{2} \mathrm{~d} x \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x$ ．

三．（ 15 分）设 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{\sin (x y)}{y}, & y \neq 0 \\ 0, & y=0\end{cases} $$ 判断 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否连续，可微？方向导数是否存在？

1．$f(x)=|x|^{p}(p>0)$ ，计算 $f(x)$ 的导数，若存在不可导点，说明原因．

1．$\exists \delta>0, \forall P \in[0,1] \times[0,1]$ ，存在 $\lambda \in \Lambda$ ，使 $U(P, \delta) \subset U\left(P_{\lambda}, \delta_{\lambda}\right)$ ；

7．（15＇）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数，$L$ 是上半平面 $\displaystyle (y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $\displaystyle (a, b)$ ，终点为 $\displaystyle (c, d)$ ，记 $$ I=\int_{L} \frac{1}{y}\left[1+y^{2} f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right] \mathrm{d} y $$ （1）证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关； （2）当 $\displaystyle a b=c d$ 时，求 $I$ 的值．

1、设 $D=\{(x, y):|x| \leq R,|y| \leq R\}$ ，求极限 $$ I=\lim _{R \rightarrow+\infty} \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$

6．设 $\displaystyle P(x, y), Q(x, y)$ 存在连续的偏导数，且对任意以 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2}$ 为圆心以 $\displaystyle r>0$ 为半径的上半圆周 $\displaystyle L: x=x_{0}+r \cos \theta, y=y_{0}+r \sin \theta, \theta \in[0, \pi]$ ，都有 $$ \int_{L} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0 $$ 证明 $\displaystyle P(x, y)=\frac{\partial Q}{\partial x}(x, y) \equiv 0$ ．