导数与微分-高阶导数

2、（25 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处连续，在 $\displaystyle x_{0}$ 的去心邻域内二阶可导且二阶导函数有界，证明：$\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处左右导数都存在．

1．证明：函数列 $f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．

1．$\sqrt{x} f^{\prime}(x)$ 在 $(0, a]$ 上有界，证明：$f(x)$ 在 $(0, a]$ 上一致连续．

五、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(b)=-f^{\prime}(a)$ ． （1）分别用 $\displaystyle a, b$ 两点的泰勒公式表达 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ ． （2）若增加条件：$\displaystyle f^{\prime}(a) \neq 0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, d$, 着，彼等 $$ \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right|=\frac{4|f(b)-f(a)|}{(b-a)^{2}} $$

3．设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界，则函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界。

4．对于数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，总有 $a_{n}<b_{n}$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。

四．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 处存在二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|f\left(\frac{1}{n}\right)\right|$ 收玫．

八、设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续的二阶导数 $$ f(0)=f(1)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime}(1)=1 $$ 证明： $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x \geq 4$ ．

10、（15分）设 $\displaystyle z=f(x-y, x+y)+g(x+k y), f(x, y)$ 具有连续二阶偏导数，$\displaystyle g(x)$具有连续二阶导数且 $\displaystyle g^{\prime \prime}(x)$ 不恒为 0 ，如果 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} x}+2 \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}+\frac{\partial^{2} z}{\partial^{2} y}=4 f_{22}^{\prime}$ ，求常数 $k$ 的值。

4、求不定积分 $\int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x$ ．

1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sqrt{2} x)-e^{-x^{2}}+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$ ．

六、（15 分）证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 存在二阶导数，$\displaystyle F(z)$ 存在连续导数，则函数 $$ u(x, t)=\frac{1}{2}[f(x-a t)+f(x+a t)]+\frac{1}{2 a} \int_{x \rightarrow a t}^{x+a t} F(z) d z $$ 是弦振动方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}$ 的解。

7．设 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均不为零，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是否收敛，为什么？

5、（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上具有连续二阶导数且 $\displaystyle f(0) f(1) \geq 0$ ，证明： $$ \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| d x \leq 2 \int_{0}^{1}|f(x)| d x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| d x $$

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，证明：$\displaystyle \exists \xi \in(a, b)$ 使得 $$ \int_{a}^{b} f(x) d x=(b-a) f\left(\frac{a-b)}{2}\right)+\frac{1}{24} f^{\prime \prime}(\xi)(b-a)^{3} $$

9．（15 分）设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 的二阶可导函数，且 $f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0, f(x) \geqslant 0$ ，证明： $$ \max _{x \in[a, b]} f(x) \leqslant \frac{2}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x . $$

二．设函数 $f$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right| \geq 4 \frac{|f(b)-f(a)|}{(b-a)^{2}} $$

四、（15 分）已知函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内有二阶导数，且 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ， $\displaystyle \left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq|f(x)|+\left|f^{\prime}(x)\right|$ ．证明存在 $\displaystyle 0<\delta<1$ ，使得在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 内 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ．