导数与微分-微分

2、设 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ ，其中 $\displaystyle y=f(x)$ 是由方程 $$ x^{2}-x y+y^{2}=1 $$ 确定的隐函数，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} z}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．

15、根据有限覆盖定理证明：实数轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点．

15．证明：反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{5} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ 收敛．

2．若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}=0$ ，则 $f^{\prime}(0)=0$ ．此结论是否成立？为什么？

4．设 $y=f(x)$ 是 $e^{x}+x y=e$ 在 $(0,1)$ 点附近确定的隐函数，求 $f^{\prime \prime}(0)$ ．

3．已知方程 $\displaystyle \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{y}{x}$ 确定了隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ ，求 $\displaystyle \frac{d y}{d x}$ 。

二、设二元函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x+y+z=e^{z}$ 确定的隐函数，求二阶混合偏导数 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

5．$\displaystyle y^{2}+f\left(x^{2}, z\right)=1$ 能确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，且 $\displaystyle f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.

2．对 $n \geq 1$ ，设 $S_{n}(x)=\frac{x}{1+n^{2} x^{2}}$ ，证明：函数列 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛．

七．（15 分）已知点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 满足方程 $\displaystyle e^{-x y}+2 z-e^{z}=0$ ，添加一个充分条件，使得 $\displaystyle P_{0}$ 附近确定一个隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，并问这个隐函数有没有极大（小）值？