导数与微分-中值定理

四．（15 分）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上二阶可微，且 $\displaystyle M_{k}=\sup \left|f^{(k)}(x)\right|<+\infty(k=0,1,2)$ ，则 $\displaystyle M_{1}^{2} \leqslant 2 M_{0} M_{2}$ ．

十．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上满足 $\displaystyle f(x)=f\left(x^{2}\right)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=f(1)$ ，证明： $$ f(x) \equiv f(1), x \in(0,+\infty) $$ 十一。设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\delta, \delta)$ 上有 $\displaystyle n+1$ 阶导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)=\cdots=f^{(n)}(0)=0, f^{(n+1)}(0) \neq 0$ ，由微分中值定理，对 $\displaystyle |x|<\delta$ ，存在 $\displaystyle \theta \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f(x)-f(0)=f^{\prime}(\theta x) x$ ，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \theta=\frac{1}{\sqrt[n]{n+1}}$ ．

三．设 $\displaystyle f(x), g(x), h(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，证明存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \left|\begin{array}{ccc} f(a) & g(a) & h(a) \\ f(b) & g(b) & h(b) \\ f^{\prime}(\xi) & g^{\prime}(\xi) & h^{\prime}(\xi) \end{array}\right|=0 $$ 并由此推出柯西中值定理．

2）$s(x)$ 在每一个小区间 $\left[x_{i-1}, x_{i}\right]$ 上为一次多项式。 证明：$\frac{h^{2}}{6} s^{\prime \prime}\left(x_{i-1}\right)+\frac{2 h^{2}}{3} s^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)+\frac{h^{2}}{6} s^{\prime \prime}\left(x_{i+1}\right)=s\left(x_{i-1}\right)-2 s\left(x_{i}\right)+s\left(x_{i+1}\right), \quad i=1, \ldots, n-1$ ．

七、（15 分）利用 Lagrange 乘数法，求解 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}$ 在 $\displaystyle x+y=1$ 条件下的极值。八、（15 分）若 $L$ 是平面 $\displaystyle x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 上的闭曲线，它所包围区域的面积为 $A$ ，求： $$ \mathfrak{N}\left|\begin{array}{ccc} d x & d y & d z \\ \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ x & y & z \end{array}\right|, ~(\text { 其中 } L \text { 依正向进行 }) . $$