导数与微分-洛必达法则

五、（15 分）判断下列命题的正误，正确的需给出证明，错误的需要举出反例． （1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x_{n}}{n}$ 也收玫． （2）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ． （3）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle g(x)$ 以 $x$ 轴为水平渐近线，则函数 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

9、求空间一点 $P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 到平面 $A x+B y+C z+D=0$ 的最短距离． 10．计算三重积分 $I=\iiint_{\Omega} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, ~ \Omega$ 是由锥面 $z^{2}=\frac{h^{2}}{R^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 与平面 $z=h$ 所围成的闭区域，

三．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 内连续且有渐近线 $\displaystyle y=a x+b$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

2．求曲面积分 $\oiint_{\Sigma} y^{2} z d x d y+x z d y d z+x^{2} y d z d x$ ，其中 $\Sigma$ 为由 $x^{2}+y^{2}=1, z=x^{2}+y^{2}$ 与 $z=0$ 所围成的封闭曲面，方向取外侧．

2．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时有渐近线 $\displaystyle y=b x+c$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．

13．根据函数的性质（定义域，值域，单调性，凹凸性，渐近线，极值）等画出函数 $\displaystyle y=e^{x-x^{2}}$的图像．

15．根据函数的性质（定义域，值域，单调性，凹凸性，渐近线，极值）等画出函数 $$ y=x-\arctan x $$ 的图像

1．对数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任意两个子列 $\left\{a_{n_{k}}\right\}$ 与 $\left\{a_{m_{k}}\right\}$ 均有 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left(a_{n_{k}}-a_{m_{k}}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。

2．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2}[\ln \arctan (x+1)-\ln \arctan x]$ ．

2、（15 分）已知 $f$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 连续，且 $f$ 不恒为 0 ． （1）$\displaystyle A=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+f(x) \sin x}-1}{3^{x}-1}$ 是否能够应用洛必达法则计算． （2）计算 $A$ 的值．

5、（15 分）计算 $\displaystyle y=\frac{1+x^{2}}{1+x}$ 的渐近线．

二、（15 分）设 $\displaystyle f \in C[a,+\infty)$ ，且当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，它以直线 $\displaystyle y=b x+c$ 为渐近线．证明：$f$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续．