导数与微分-泰勒公式

四．（15 分）按提示的思路用两种不同方法证明： $$ \ln \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right) \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x $$ 其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且 $\displaystyle f(x)>0$ ． 思路 1：利用定积分的定义； 思路2：应用积分中值后再用 Taylor 公式； 思路 3：其它方法．

五、设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有二阶导数，$\displaystyle f^{\prime}(b)=-f^{\prime}(a)$ ． （1）分别用 $\displaystyle a, b$ 两点的泰勒公式表达 $\displaystyle f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ ． （2）若增加条件：$\displaystyle f^{\prime}(a) \neq 0$ ，证明：存在 $\displaystyle \xi \in[a, d$, 着，彼等 $$ \left|f^{\prime \prime}(\xi)\right|=\frac{4|f(b)-f(a)|}{(b-a)^{2}} $$

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-(1+2 x)^{\frac{1}{2}}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．

4、求由方程 $x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 所确定的隐函数 $y=f(x)$ 的极值点和极值．

九．（本题满分 15 分）考虑方程 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z+\sin z=0$ ． （1）证明该方程在 $\displaystyle (0,0,0)$ 点附近惟一确定了隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ； （2）将 $\displaystyle z(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点展开至二阶的带皮亚诺余项的泰勒级数。

六．（15分）解答如下问题： （1）求 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{x+3}{x-3}$ 的麦克劳林级数展开式，并讨论收玫区间． （2）求 $\displaystyle f(x)=x^{3}$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上的余弦级数．

1、在点 $(0,0)$ 的邻域内，将下列函数按带皮亚诺型余项展开成泰勒公式到二阶： $$ f(x, y)=\frac{\cos x}{\cos y} $$

7．（15 分）设函数 $\displaystyle f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 连续可微，且 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0) \neq 0$ ，考虑方程 $\displaystyle f(x)=\operatorname{tg}(x)$ （1）证明：存在 $\displaystyle \delta>0$ ，使得 $\displaystyle x(t)$ 是方程在 $\displaystyle t \in(-\delta, \delta)$ 上满足 $\displaystyle x(0)=0$ 的唯一解． （2）求 $\displaystyle x(t)$ 在 $\displaystyle t=0$ 处的一阶泰勒展开式．

4、（1）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 附近可以表示为： $$ f(x)=\sum_{k=0}^{n} a_{k}\left(x-x_{0}\right)^{k}+o\left(\left(x-x_{0}\right)^{n}\right) $$ 证明：$\displaystyle a_{k}=\frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}, k=0,1,2, \cdots, n$ ． （2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)$ 内有任意阶导数，且对 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}$ ，有 $\displaystyle \left|f^{(n)}(x)\right| \leq M$（常数），$\displaystyle \forall x \in\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right), R>0$ ．试证明：函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-R, x_{0}+R\right)$ 内可展开为无穷泰勒级数，即 $$ f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k} $$ 其中 $\displaystyle \forall x \in\left(x_{0}-R, x_{0}+R\right), R>0$ ．

8．（14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ 上无穷次可导（其中 $\displaystyle r \in(0,+\infty)$ ），且存在常数 $\displaystyle M>0$ ，使得 $$ \left|f^{(n)}(x)\right| \leq M \frac{n!}{r^{n}}, \forall x \in\left(x_{0}-r, x_{0}+r\right), \forall n=0,1,2, \cdots . $$ （1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的 Taylor 级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$上逐点收敛于 $\displaystyle f(x)$ ． （2）证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．

3．（15 分）求积分 $I(m, n)=\int_{0}^{1}(\ln t)^{m} t^{n} \mathrm{~d} t\left(m, n \in \mathbb{N}^{*}\right)$ ．

5．设 $f(x, y)=x^{y} \ln (x y)$ ，求 $f(x, y)$ 在 $(1,1)$ 处的二阶泰勒公式．

1．$\exists \delta>0, \forall P \in[0,1] \times[0,1]$ ，存在 $\lambda \in \Lambda$ ，使 $U(P, \delta) \subset U\left(P_{\lambda}, \delta_{\lambda}\right)$ ；

6．（ $\displaystyle \left.15^{\prime}\right)$ 求 $\displaystyle f(x, y)=x^{y}$ 在点 $\displaystyle (1,4)$ 处的带有余项 $\displaystyle o\left(\rho^{2}\right)$ 的泰勒公式，其中 $\displaystyle \rho=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-4)^{2}}$ ，并用它计算 $\displaystyle (1.08)^{3.96}$ 的近似值．

5．计算 $$ \iint_{D} \frac{9 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $D$ 为第一象限内四条曲线 $x y=1, x y=3, y^{2}=x$ 及 $y^{2}=3 x$ 围成的有界闭区域．