导数与微分-函数性态

八．若函数 $\displaystyle f(x)$ 和 $\displaystyle g(x)$ 都在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，在 $\displaystyle (a, b)$ 上二阶可导，并且它们在 $\displaystyle (a, b)$ 内有相等的最大值，$\displaystyle f(a)=g(a), f(b)=g(b)$ ，求证：存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=g^{\prime \prime}(\xi)$ ．

二、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{S}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的光滑封闭曲面，取外侧，考虑第二类曲面积分 $$ I=\oiint_{S}\left\{\begin{array}{l} \left(x^{3}+y^{2025}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y^{3}+y+z^{2024}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x \\ +\left(3 z^{3}-4 z-1929 x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \end{array}\right\} . $$ （1）试确定曲面 $\displaystyle \mathbf{S}$ 的方程，使得积分 $\displaystyle \mathbf{I}$ 的值最小，并求出这个最小值． （2）将第（1）中得到的曲面 $S$ 在第一卦限的部分记作 $\displaystyle S_{1}$ ，求 $\displaystyle S_{1}$ 的切平面，使得该切平面与三个坐标平面围成的几何体的体积最小．

七、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a)<f(b)$ ，证明：存在 $\displaystyle [c, d] \subseteq[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [c, d]$ 上最小值为 $\displaystyle f(a)$ ，最大值为 $\displaystyle f(b)$ ．八、（10 分）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是一个收敛的正项级数，令 $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}|\sin n x| $$ 已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上利普希兹连续，即存在常数 $\displaystyle \mathbf{L}>\mathbf{0}$ ，使得对任意实数 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y}$ ，都有 $$ |f(x)-f(y)| \leq L|x-y|, $$ 证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫。

3、设 $\displaystyle \Omega$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 中的有界区域，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上连续，且满足：对任意包含于 $\displaystyle \Omega$ 的开集 $U$ ，象集 $\displaystyle f(U)=\{f(x) \mid x \in U\}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{1}$ 中的开集，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 上的最大值必在 $\displaystyle \bar{\Omega}$ 的边界 $\displaystyle \partial \Omega$ 上取得，即 $\displaystyle \max _{x \in \bar{\Omega}} f(x)=\max _{x \in \overline{\partial \Omega}} f(x)$ ．

8．将 $f(x)=\arcsin (\sin x)$ 展成傅里叶级数．

4、求 $\displaystyle y^{2}=2 p x$ 上一点，使得此点处的法线被抛物线截取的线段最短．

2．设 $a=\sum_{i=1}^{n} a_{i}, a_{i}>0$ ，求 $S=\sum_{i=1}^{n} a_{i}^{2}$ 的最小值．

三、（15 分）求 $\displaystyle x+2 y=1$ 和 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距原点最近的点．

六．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-6 x+8 y$ 在区域 $\displaystyle D: x^{2}+y^{2} \leq 25$ 上的最大值与最小值．

七，（12 分）考查函数 $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$ 的单调区间．

九，（12 分）求椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的切线与坐标轴所围三角形面积的最小值．

八，（12 分）求函数 $\displaystyle f(x)=\left(1+x+\frac{x^{2}}{2}+\cdots+\frac{x^{n}}{n!}\right) e^{-x}$ 的极值．

九，（18 分）轮船行驶一昼夜的成本由固定成本 a 和可变成本构成，可变成本与速度的立方成正比，试求轮船的经济速度。

八，（10 分）求函数 $\displaystyle f(x)=|x|\left(2+\cos \frac{1}{x}\right)$ 的值域．

九、（15 分）求一边在 $x$ 轴上，另外两点在 $\displaystyle y=\frac{x}{1+x^{2}}$ 上的矩形绕 $x$ 轴旋转所得几何体体积的最大值．十、（15 分）研究 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x}-\left[\frac{1}{x}\right] & x \neq 0, \\ 0 & x=0,\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的可积性．

（10）七、求椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 上过点 $\displaystyle (0, b)$ 的最大弦长．

七，（15 分）$D$ 为 $\displaystyle y=\sqrt{x} a^{-\frac{x}{2 a}}(a>1,0 \leq x<+\infty)$ 下方，$x$ 轴上方围成的无界区域。 （1）求 $D$ 绕着 $x$ 轴旋转一周所成的旋转体的体积 $\displaystyle V(a)$ （2）$a$ 为何值时，$\displaystyle V(a)$ 最小，求最小值

三．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，证明： （1）函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有界； （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上有最大值或最小值； （3）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

6．（15 分）设 $n$ 为正整数，$\displaystyle x, y>0$ ，用条件极值方法证明 $\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geq\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$

九．（15 分） 1 ．讨论函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的可微性． 2．求函数 $$ u=x-2 y+2 z $$ 在 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大与最小值．

九．（15 分）（1）设 $\displaystyle \mu=f(x, y)$ 有二阶连续偏导数，若 $\displaystyle x=s^{2}-t^{2}, y=2 s t$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} \mu}{\partial s \partial t}$ ． （2）求二元函数 $$ f(x, y)=y^{3}-3 x^{2} y $$ 的极值点． （3）求 $$ f(x, y, z)=x^{4}+y^{4}+z^{4} $$ 在 $\displaystyle x y z=1$ 且 $\displaystyle x, y, z>0$ 条件下的极值．

八．（15 分）求函数 $\displaystyle x+2 y+3 z$ 在 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大值与最小值．

4．应用 Cauchy 收敛准则；

七．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内处处存在有意义，证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内可取到最大值与最小值．

九．求 $\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}+12 x y+y^{2}$ 在闭区域 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leqslant 25$ 内的最大值与最小值．

4．对于数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ ，总有 $a_{n}<b_{n}$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。

8、求 $\displaystyle f(x, y)=\left(x^{2}+2 y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ 上的最大值和最小值．

三．求函数 $\displaystyle f(x, y)=\left(y+\frac{x}{3}\right) e^{x+y}$ 的极值．

2．求曲面积分 $\oiint_{\Sigma} y^{2} z d x d y+x z d y d z+x^{2} y d z d x$ ，其中 $\Sigma$ 为由 $x^{2}+y^{2}=1, z=x^{2}+y^{2}$ 与 $z=0$ 所围成的封闭曲面，方向取外侧．

3．设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，求 $f_{x y}(0,0), f_{y x}(0,0)$ ．

6．（20分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续． （1）（10 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界． （2）（10 分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一定有最大值和最小值．

3．已知 $f \in \mathbb{C}[0,1]$ ，且 $f(1)=0$ ，证明：函数列 $\left\{x^{n} f(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．

2． $\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{x^{-2}}$ $\_\_\_\_$ ．

6．$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \in[-\pi, 0) ; \\ 0, & x \in[0, \pi) .\end{array}\right.$ 的 Fourier 级数的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

17．已知函数 $f(x) \in C^{2}[0,1]$ ，且满足 $f(0) f(1) \geq 0$ ．证明： $$ \int_{0}^{1}\left|f^{\prime}(x)\right| \mathrm{d} x \leq 2 \int_{0}^{1}|f(x)| \mathrm{d} x+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \mathrm{d} x $$

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-(1+2 x)^{\frac{1}{2}}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．

2．计算不定积分 $\int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} d x$ ．

6．求 $f(x, y)=2 x^{2}+3 x y+2 y^{2}$ 在约束条件 $x^{2}+y^{2} \leqslant 1$ 下的最值。

1. 求数列极限： $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2023}+2^{2023}+\cdots+n^{2023}}{n^{2024}}$ ．

5、求曲面 $x+2 y-1=0$ 与 $x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距离原点最近点的坐标．

四、已知参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{t^{3}}{1+t^{3}}, \\ y=\frac{t^{3}-2 t^{2}}{1+t^{2}} .\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle y=y(x)$ 的极值．

13．根据函数的性质（定义域，值域，单调性，凹凸性，渐近线，极值）等画出函数 $\displaystyle y=e^{x-x^{2}}$的图像．

15．根据函数的性质（定义域，值域，单调性，凹凸性，渐近线，极值）等画出函数 $$ y=x-\arctan x $$ 的图像

4．（20 分）求二元函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-4(3 x-4 y)$ 在 $D$ 上最值，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 25\right\}$.

8、（15分）抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 被截面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离．

七．（15 分）设 $\displaystyle F(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内有二阶连续的偏导数，且 $$ F\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)=0, F_{x x}^{\prime \prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) F_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right) \neq 0 $$ 证明：由方程 $\displaystyle F(x, y)=0$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 某邻域内确定的隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 处取极值．

八．（15 分）求平面 $\displaystyle x+2 y=1$ 与曲面 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上距离原点最近的点的坐标．

2．若 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域商有定义，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}$ 存在，则 $f^{\prime}(0)$ 存在．

12．求原点到球物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4 z$ 与椭圆柱面 $\displaystyle x^{2}+x y+y^{2}=4$ 上的交线上的最近、最远距离。

15．用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数有最大值与最小值．

4．求 $\displaystyle f(x, y, z)=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}(x, y, z>0)$ 的极值．

三、求 $\displaystyle 2 x-y=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上的点到原点的最近距离．

六、设在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上，函数上 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 单调递增，证明：$\displaystyle F(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上单调递增．

13．$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可导，下凸，且无极值点，证明：$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调．

7、求 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3 x y z$ 在条件 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 下的最值．

2．求 $\iint_{D} e^{-\left(x^{2}+v^{2}\right)} d x d y=$ $\_\_\_\_$ ，$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$

1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sqrt{2} x)-e^{-x^{2}}+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$ ．

4、 $x+y+z+1=0$ 到椭球 $18 x^{2}+9 y^{2}+3 z^{2}=1$ 最近距离 $d=$ $\_\_\_\_$ ．

10．（13 分）设函数 $\displaystyle f(x, y)=e^{-x}\left(a x+b-y^{2}\right), a>0, b>0$ ，问 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时， $\displaystyle f(-1,0)$ 为其极值，并判断是极大值还是极小值．

八．点 $\displaystyle P\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 上的点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}>0\right)$ ，求球面在点 $P$ 的切平面与三个坐标平面围成的四面体体积的最小值．

2）$s(x)$ 在每一个小区间 $\left[x_{i-1}, x_{i}\right]$ 上为一次多项式。 证明：$\frac{h^{2}}{6} s^{\prime \prime}\left(x_{i-1}\right)+\frac{2 h^{2}}{3} s^{\prime \prime}\left(x_{i}\right)+\frac{h^{2}}{6} s^{\prime \prime}\left(x_{i+1}\right)=s\left(x_{i-1}\right)-2 s\left(x_{i}\right)+s\left(x_{i+1}\right), \quad i=1, \ldots, n-1$ ．

七、（15 分）利用 Lagrange 乘数法，求解 $\displaystyle f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}$ 在 $\displaystyle x+y=1$ 条件下的极值。八、（15 分）若 $L$ 是平面 $\displaystyle x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma-5=0$ 上的闭曲线，它所包围区域的面积为 $A$ ，求： $$ \mathfrak{N}\left|\begin{array}{ccc} d x & d y & d z \\ \cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\ x & y & z \end{array}\right|, ~(\text { 其中 } L \text { 依正向进行 }) . $$

五、（15 分）旋转抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一椭园，求原点到这椭园的最长与最短距离。

五、（15 分）旋转抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一椭园，求原点到这椭园的最长与最短距离。

9．求证下列函数在 $\mathbb{R}$ 上连续可导． $$ f(x)= \begin{cases}e^{\frac{1}{x}}, & x<0 \\ x^{2}, & x \geq 0\end{cases} $$

4．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，求证：$\left(\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} \leq \frac{1}{12} \int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x$ ．

9．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{\cot x}{x}\right)$ ．

七．（10 分）设 $\displaystyle f(x) \in C[0,1]$ ，对任意的 $\displaystyle 0 \leq a<b \leq 1, f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上至少有两个不同的最大值点，证明：$\displaystyle f(x)$为常值函数．

2．计算定积分 $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos ^{2} x+\sin x \cos x} \mathrm{~d} x$ ．

6．求函数 $\displaystyle f(x, y)=x^{2}+y^{2}-2 x-4 y$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 9\right\}$ 上的最值．

二．当 $\displaystyle x, y, z$ 都大于 0 时，求 $\displaystyle u=\ln x+2 \ln y+3 \ln z$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$ 上的最大值．

2．求函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n+1} \cos \pi x-2-x^{2}}{1+x^{2 n}}$ 的间断点．（类似题讲过，只是数字不一样）

14．证明 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-p x} \cos x y \mathrm{~d} x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致收敛，其中 $p>0$ ．

六、（15 分）求 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-2 x+4 y-6 z-11=0$ 所确定的隐函数的极值．

2．函数 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 点是否可微．

八、已知曲线 $\displaystyle \Gamma:\left\{\begin{array}{l}z=x^{2}+y^{2}, \\ x+y+z=1\end{array}\right.$ ．求 $\displaystyle \Gamma$ 上点到 $\displaystyle (0,0,0)$ 点的最大值和最小值。

7．（20 分）求 $\displaystyle u=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}(a, b, c>0)$ 在条件 $\displaystyle x+y+z=1$ 下的最小值．

5．求 $\displaystyle f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}-8 x-2 y+9$ 在区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 2 x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 上的最大值和最小值．

2．求 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{4}+y^{4}\right)$ 在条件 $\displaystyle x+y=a(x, y \geq 0)$ 下的最小值，并在此基础上证明不等式： $$ \frac{x^{4}+y^{4}}{2} \geq\left(\frac{x+y}{2}\right)^{4} $$

七．（15 分）求函数 $\displaystyle u=\left(2 a x-x^{2}\right)\left(2 b y-y^{2}\right),(a b \neq 0)$ 的极值。

五．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+6 x-1$ 在区问 $\displaystyle [-2,2]$ 上的最小值与最大值。 ∴（15 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数。

五．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+6 x-1$ 在 $\displaystyle [-2,2]$ ．上的最大值与最小值。

八．（15 分）设 $n$ 个正数 $\displaystyle x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 之和为 $a$ ，求函数 $\displaystyle \left(x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ 的最大值。

四．（15 分）设 $V$ 是由椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的切平间 上 三二个坐标百所围成的四泊体的体积，求 $V$ 的最小值。

三．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+3 x+1}{x-1}$ 的极值点与拐点。

五．（15 分）已知下列不等式恒成立 $$ \sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}<A n^{\frac{3}{2}} $$ 其中 $A$ 为常数，且 $\displaystyle 0<A<1$ ，求 $A$ 的最小值．

八．（15 分）已知 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=5$ ，求 $\displaystyle f(x)=\ln x+\ln y+3 \ln z$ 的最大值．

五．求函数 $\displaystyle f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+12 x-1$ 在区间 $\displaystyle [-2,3]$ 上的最大值与最小值． 六。证明：如果 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，则存在 $\displaystyle c \in[a, b]$ ，使得 $\displaystyle \int_{a}^{c} f(t) \mathrm{d} t=\int_{c}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．

八．求函数 $$ f(x, y, z)=\ln x+2 \ln y+3 \ln z $$ 在球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6$ 上的最大值．

六．（15 分）利用偏导数求函数 $\displaystyle z=x y+\frac{4}{x}+\frac{2}{y}$ 的极值．

一、用致密性定理（有界数列必有收敛子列）证明闭区间上的连续函数可以达到最大值．

8、（15 分）求函数 $\displaystyle f(x, y, z)=x-2 y+2 z$ 在条件 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的约束条件下的最大值和最小值．

七、求曲面 $\displaystyle z=x y-1$ 上与原点最近的点的坐标。

七、（15 分）已知函数 $\displaystyle z=f(x, y)$ 的全微分 $\displaystyle d z=2 x d x-2 y d y$ ，并且 $\displaystyle f(1,1)=2$ ，求 $\displaystyle f(x, y)$ 在椭圆域内 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, x^{2}+\frac{y^{2}}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上的最大值和最小值．

3、（15 分） （1）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上可导 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geq C>0$（ $c$ 为常数）证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ． （2）$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有最小值．

9、（15 分）$\displaystyle f(x, y)=x^{3}+2 x^{2}-2 x y+y^{2}$ 的极值，是极大值或极小值？为什么？

二．（20分）证明闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle f(x)$ 存在最大值和最小值．

5、（15 分）求 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1$ 上与 $\displaystyle (0,1)$ 距离的最大值和最小值．

6．讨论函数 $\displaystyle f(x)=\left(1+e^{y}\right) \cos x-y e^{y}$ 的极值点．

七、利用 $\displaystyle x^{2} y^{3} z$ 在 $\displaystyle x+y+z=k(x, y, z>0, k>0)$ 下的极值证明：$\displaystyle x^{2} y^{3} z \leq \frac{(x+y+z)^{6}}{432}$ ．

五．（1）已知 $\displaystyle f(x)=x+y+z, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为单位球上一点，求 $f$ 在 $\displaystyle P_{0}$ 处沿外法方向的方向导数． （2）上述方向导数最大值在何处取到．

5．设 $f(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且绝对可积．证明：$g(w)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cos (w t) \mathrm{d} t$ 在 $w \in(-\infty,+\infty)$上有界且一致连续．

4．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 的收玫性是 A． B． C． D．

1．证明：$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上可导．（7 分）

5．$\displaystyle F(x)=\int_{0}^{x} e^{-t} \cos t d t$ ，求 $\displaystyle F(x)$ 在 $\displaystyle [0,2 \pi]$ 的最大值和最小值．

10、设 $C$ 为心脏线 $\rho=1+\cos \theta$ ，取正方向，则曲线积分 $$ I=\oint_{C}\left(x+y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(y+x^{2}\right) \mathrm{d} y= $$ $\_\_\_\_$。

3、设 $x_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n},(\forall n \geq 1)$ ，证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 收玫。

十．（ 12 分）求含参量反常积分 $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x} \sin \beta x}{x} \mathrm{~d} x(\beta \in \mathbb{R}) $$ 十一。（15 分）证明：$n$ 元实二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}\left(a_{i j}=a_{j i}\right)$ 在单位球面 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}=1$ 上的限制的最大、最小值佮为对称阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的最大、最小特征根。

1、 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x}$ 在 $(-1,0)$ 和 $(0,1)$ 上一致连续．

6、求最大的负数 $A$ 和最小的正数 $B$ ，使得不等式 $$ \frac{A}{x y} \leq \ln (x+y) \leq \frac{B}{x^{2}+y^{2}} $$ 对任意的 $\displaystyle x>0, y>0$ 恒成立．

2、假设 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $I$ 上二阶可导，若 $\displaystyle f(x)$ 为区间 $I$ 上的严格下凸函数，其中 $\displaystyle x_{0} \in I$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的极值点，证明：$\displaystyle x_{0}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 上的唯一极小值点．

6、求过点 $\displaystyle (2,1,3)$ 的平面，使得其与 $x$ 轴，$y$ 轴，$z$ 轴围成的区域的体积为最小值．

3．（10 分）试求 $\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}-x^{2}+y^{2}=0$ 所确定的隐函数 $\displaystyle y=f(x)$ 的极值．

8．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y, z)=2\left(x^{3}+y^{3}+z^{3}\right)-5\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$ ，其中 $\displaystyle x, y, z \geq 0$ ，求 $f$ 在条件 $\displaystyle x+y+z=3$ 下的最值．

3．证明：数列 $a_{n}=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}-2 \sqrt{n}$ 收敛．

2．$(1,+\infty)$ ．

九、（12 分）求函数 $\displaystyle f(x, y, z)=\ln x+\ln y+3 \ln z$ 的最大值，其中 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 r^{2}$ $\displaystyle (x, y, z$ 均 $\displaystyle >0, r>0)$ ，并利用所得结果证明不等式 $$ a b c^{3} \leq 27\left(\frac{a+b+c}{5}\right)^{5} \cdot(a, b, c \text { 均 }>0) $$

二、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上一个非常数的连续函数，$\displaystyle M, m$ 分别是其最大值和最小值．求证：存在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，使得 $\displaystyle x \in[\alpha, \beta]$ 时，$\displaystyle m<f(x)<M$ ．

3．设 $u(x)=\sin x, v(x)=e^{x}$ ，求 $d^{2}(u v)$ ；

5．设 $0<a_{1}<1, a_{n+1}=a_{n}\left(1-a_{n}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

七、（20 分）解答如下问题： （1）已知二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 的某邻域内连续，且 $$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-x y^{2}}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1 . $$ 试着问：点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的驻点？进一步讨论点 $\displaystyle (0,0)$ 是否为二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的极值点？若是，是极大值点还是极小值点？若不是，请说明理由． （2）设 $\displaystyle u(x, y, z)$ ，且令 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=r \sin \varphi \cos \theta \\ y=r \sin \varphi \sin \theta \\ z=r \cos \varphi\end{array}\right.$ ，若 $$ x u_{x}+y u_{y}+z u_{z}=0 $$ 证明：$u$ 仅为 $\displaystyle \theta$ 与 $\displaystyle \varphi$ 的函数．

2． $\lim _{R \rightarrow+\infty} \iiint_{1 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}} \frac{d x d y d z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}}(p>0)$ 的玫散性．

八．1．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，证明 $\displaystyle g(x)=\frac{|f(x)|}{1+x^{2}}$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上有最大值．

1．计算题 $\displaystyle \left(10^{\prime} \times 5=50^{\prime}\right)$ （1）求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\tan (\tan x)-\tan x] \cdot \tan x}{x^{4}} $$ （2）求极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\ln \left(2+\frac{1}{n}\right)}{n+1}+\frac{\ln \left(2+\frac{2}{n}\right)}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\ln \left(2+\frac{n}{n}\right)}{n+\frac{1}{n}}\right) . $$ （3）将 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 展开成关于 $x$ 的幂级数． （4）设隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle 3 x-x^{3}+2=y^{3}+3 y$ 确定，求 $\displaystyle y(x)$ 的极值． （5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x)=f(x+2 \pi)$ 且 $\displaystyle f(x)=|\sin x|,-\pi \leq x<\pi$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数展开式。

4．设 $y=f(x)$ 是 $e^{x}+x y=e$ 在 $(0,1)$ 点附近确定的隐函数，求 $f^{\prime \prime}(0)$ ．

5．求 $z=\frac{1}{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)$ 被柱面 $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=2 x y$ 所截下的面积．