不定积分

四、（15 分）求常数 $k$ 的值，使得 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}-\sin x, x \in[0,+\infty) \\ \arctan x+k, x \in(-\infty, 0)\end{array}\right.$在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上存在原函数，并求 $\displaystyle \int f(x) \mathrm{d} x$ ．

4．判断是否正确 （1）若函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在原函数。 （2）若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个累次极限都存在且相等，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的重极限也存在

一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分） （1）。如果 $\displaystyle \forall p \in \mathbb{N}_{+}$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=0$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）。如果偏导数 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 和 $\displaystyle f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。 （3）．如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，则对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 是绝对收玫的。 （4）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在原函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积． （5）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (x, y)$ 上连续，$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续。 （6）。如果 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

1．对数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任意两个子列 $\left\{a_{n_{k}}\right\}$ 与 $\left\{a_{m_{k}}\right\}$ 均有 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left(a_{n_{k}}-a_{m_{k}}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。

1．若对任意的 $N$ ，总存在 $\varepsilon>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ 成立，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A \in \mathbb{R}$ 的充要条件是：对任何正整数 $k, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时有 $$ \left|a_{n}-A\right|<\frac{k}{k^{2}+1} $$

1．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a_{2 n}\right|<\varepsilon$ ．

2．求不定积分 $\int x e^{2 x} \mathrm{~d} x$ ．

8．讨论反常积分 $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos x \mathrm{~d} x$ 的玫散性，若收敛，计算 $I$ 的值．

1．函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 附近有定义，且在 $x=1$ 处可导，已知 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=2$ ．求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin ^{2} x+\cos x\right)}{e^{x^{2}}-1} $$

4．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 的收玫性是 A． B． C． D．

1、用定积分计算极限 $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n}\left(\arctan \frac{1}{n}+\arctan \frac{2}{n}+\cdots+\arctan \frac{n}{n}\right) . $$

1、设 $D=\{(x, y):|x| \leq R,|y| \leq R\}$ ，求极限 $$ I=\lim _{R \rightarrow+\infty} \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$