定积分-概念性质

八、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的实值黎曼可积函数，给定区间 $\displaystyle I \subset[-\pi, \pi], I$ 上的特征函数定义为：$\displaystyle \chi_{I}(x)=\left\{\begin{array}{l}1, x \in I \\ 0, x \notin I\end{array}\right.$ ．如果 $\displaystyle I_{1}, I_{2}, \cdots, I_{N}$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 中两两不交的子空间，$\displaystyle a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{N}$ 均为常数，且 $\displaystyle \bigcup_{k=1}^{N} I_{k}=[-\pi, \pi]$ ，那么我们称有限线性组合 $$ a_{1} \chi_{I_{1}}+a_{2} \chi_{I_{2}}+\cdots+a_{N} \chi_{I_{N}} $$ 为闭区间 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数． （1）证明：对 $\displaystyle \forall \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的阶梯函数 $\displaystyle \varphi(x)$ 和 $\displaystyle \psi(x)$ ，使得 $$ \varphi(x) \leq f(x) \leq \psi(x), x \in[-\pi, \pi] . $$ 并且 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}|\varphi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon, \int_{-\pi}^{\pi}|\psi(x)-f(x)| \mathrm{d} x<\varepsilon$. （2）利用（1）中的结论证明： $$ \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (p x) \mathrm{d} x=\lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (p x) \mathrm{d} x=0 $$ （3）将 $\displaystyle f(x)$ 延拓为 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的周期函数，延拓之后的函数仍记为 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数的部分和 $\displaystyle S_{n}(x)$ 可以写成 $$ S_{n}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x+t) \frac{\sin \left(\frac{2 n+1}{2} t\right)}{2 \sin \frac{t}{2}} \mathrm{~d} t, n=1,2, \cdots $$ （4）在第（3）小题的条件下，再假设 $\displaystyle x_{0} \in(-\pi, \pi)$ 是 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$上的唯一间断点，且存在极限 $\displaystyle A=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x), B=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)$ ， $$ \lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} \frac{f(x)-A}{x-x_{0}}, \lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} \frac{f(x)-B}{x-x_{0}} $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}\left(x_{0}\right)=\frac{A+B}{2}$ ．

3．设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 是 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上的黎曼可积函数，$\displaystyle p \in \mathbb{R}$ ，若 $\displaystyle |f(x, y, z)|$ 在原点附近有正下界，试求广义积分 $$ I=\iiint_{\Omega} \frac{f(x, y, z) \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 收敛时 $p$ 的取值范围．

4．（15 分）证明：若 $f$ 是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上只有有限个间断点的有界函数，则 $f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．

四．（15 分）证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，则 $\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos p x \mathrm{~d} x=0$ ．

四．（15 分）按提示的思路用两种不同方法证明： $$ \ln \left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right) \geqslant \int_{0}^{1} \ln f(x) \mathrm{d} x $$ 其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续且 $\displaystyle f(x)>0$ ． 思路 1：利用定积分的定义； 思路2：应用积分中值后再用 Taylor 公式； 思路 3：其它方法．

1．证明：$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。

5．（15 分）设对于任意的正整数 $\displaystyle n, f_{n}(x)$ 均为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的黎曼可积函数，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于函数 $\displaystyle f(x)$ ．证明：$\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的黎曼可积函数．

9．计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{j}{j^{2}+k^{2}}$ ．

4、 $u=\ln (x+y)$ ，求 $\left.d u\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．

十．（10 分）设函数列 $\displaystyle f_{n}(x) \geq 0(n=1,2, \cdots)$ 与函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且黎曼可积，对任意的 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，当 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [c, b]$ 上一致收敛于 0 ，且 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1, \lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x)=A $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} g(x) f_{n}(x) \mathrm{d} x=A$ ． 十一。（10 分）设积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且存在 $\displaystyle A>0$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [A,+\infty)$ 上非负，存在 $\displaystyle 0<p<1$ 使得当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle x^{p} f(x)$ 单调递减趋于零，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ． 十二。（10 分）设 $\displaystyle \left.f_{n}(x)\right\}(n=1,2, \cdots)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且对任意给定的 $\displaystyle x \in[a, b],\left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调递增。证明：如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。

1．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a_{2 n}\right|<\varepsilon$ ．

1．解答如下问题： （1）利用定义证明：$\displaystyle (\cos x)^{\prime}=-\sin x$ ． （2）利用定积分定义证明： $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{3} \mathrm{~d} x=\frac{1}{4}$ ．

3．已知 $f(x, y)=\frac{x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}$ 。计算其在原点的两个累次极限。

五．（15 分）证明： （1）对任意的 $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ ，有 $\displaystyle |\cos x|=\frac{2}{\pi}+\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4 n^{2}-1} \cos (2 n x)$ ． （2） $\displaystyle \lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} f(x)|\cos \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上黎曼可积．

5、叙述定积分与三重积分的定义及其几何意义或物理意义。它们的定义有什么共同点？并利用定义证明三重积分的线性性质。

3．用 $C[-1,1]$ 表示闭区间 $[-1,1]$ 上连续函数的合集，对任意的 $f(x) \in[-1,1]$ ，记 $A(f(x))=\int_{-1}^{0} f(x) d x-\int_{0}^{1} f(x) d x$ ．求 $\sup \left\{A(f(x))\left|\max _{-1 \leqslant x \leqslant 1}\right| f(x) \mid \leqslant 1, f(x) \in C[-1,1]\right\}$ ．

11．（14 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上分段连续，即存在 $\displaystyle [a, b]$ 的一个有限分割 $\displaystyle a=x_{0}<x_{1}< x_{2}<\cdots<x_{n}=b$（其中 $n$ 为固定整数），使得 $\displaystyle f(x)$ 在每个区间 $\displaystyle \left(x_{i-1}, x_{i}\right)$ 上连续且分点 $\displaystyle x_{i}$ 处都存在左右极限．证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积．

9．（14 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明： $$ \lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) \cos (\lambda x) \mathrm{d} x=0 $$

7．解答如下问题： （1）求 $|\sin x|$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上的傅里叶级数，该级数是否一致收敛？ （2）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积，证明： $\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x)|\sin \lambda x| \mathrm{d} x=\frac{2}{\pi} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．

1．求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(5+x)^{x}-5^{x}}{x^{2}}$ ．

4．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 的收玫性是 A． B． C． D．

十．（10 分）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积的函数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $f$ ．证明： （1）$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积． （2）$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle F(x)$ ，其中 $\displaystyle F_{n}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．

5、设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积，证明：$\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积。

11．求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{4 n^{2}-1}$ 的收敛域及和函数．