定积分-计算

1、设常数 $\displaystyle a>0$ ，计算积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos (\ln x)}{x^{a+1}} \mathrm{~d} x$ ．

9．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x t \cdot \arctan y t}{t^{2}} \mathrm{~d} t(x>0, y>0)$ ，计算 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}$ ．

4．求由拋物线 $y=x^{2}$ 与 $x+2 y-3=0$ 所围平面图形的面积．

8、把函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{4},-\pi \leq x<0 \\ \frac{\pi}{4}, 0 \leq x<\pi\end{array}\right.$ 展开成傅里叶级数，并由它导出 $$ \frac{\sqrt{3}}{6} \pi=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{13}-\frac{1}{17}+\cdots . $$

2．计算积分 $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos ^{2} x}{x(\pi-2 x)} \mathrm{d} x$ ．

3．求积分 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}} \frac{\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x$ ．

九．讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．

5、计算定积分： $\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{t}-\left[\frac{1}{t}\right]\right) \mathrm{d} t$ ，其中 $[\cdot]$ 为取整．

3、求定积分 $\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

4、设 $z=\int_{0}^{x^{2}+y^{2}} e^{t} \mathrm{~d} t$ ，求 $z_{x x}^{\prime \prime}+z_{y y}^{\prime \prime}$ ．

4．想不起来了．

3．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x-x^{3} \ln \left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)\right]$ ．

12．点 $M_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), M_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 的距离定义为 $$ \begin{gathered} d_{1}\left(M_{1}, M_{2}\right)=\sqrt{\left|x_{2}-x_{1}\right|^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \\ d_{2}\left(M_{1}, M_{2}\right)=\left|x_{2}-x_{1}\right|+\left|y_{2}-y_{1}\right| \end{gathered} $$ 证明：平面点列 $\left\{\left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ 按距离 $d_{1}$ 收玫到 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的充要条件是 $\left\{\left(x_{n}, y_{n}\right)\right\}$ 按距离 $d_{2}$ 收敛到 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ ．

十，（15 分）求 $\displaystyle \int \frac{d x}{\sin (x+2016) \sin (x+2017)}$ ．

十，（15 分）确定 $\displaystyle \int_{0}^{2 \pi} \frac{\sin x}{x} d x$ 的符号．

（10）八、求 $\displaystyle \int \frac{\sin x}{2 \sin x+\cos x} d x$ ．

（15）十一、求 $\displaystyle \int_{0}^{2} \frac{d y}{(\ln y)^{2 x}}$ 的定义域。

五，（15分）求 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}} d x$ ．

四，（15 分）求 $\displaystyle \int \frac{2 x \ln x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x$ ．

9．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{3}-x}{\ln x} d x$ ．

5．求积分 $\oiint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\Sigma$ 为椭球面 $x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=6$ 的内侧．

一、计算下列积分（每小题10分，共20分） （1） $\displaystyle \int \frac{1}{1+\tan x} \mathrm{~d} x$ ； （2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x(\arctan x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．

二、求积分（16 分） （8 分）1、 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{\left(1+x^{2}\right)\left(1+x^{3}\right)} d x$ ． （8 分）2、 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^{x}(1+\sin x)}{1+\cos x} d x$ ．

六、（16 分）$\displaystyle \sqrt{1+\frac{1}{e}} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x \leq \int_{0}^{1} e^{-x^{2}} d x \leq \sqrt{1+\frac{1}{e^{2}}} \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x$ ．

1．讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ^{2} n}{n^{p}}$ 的收敛性．

1．讨论反常积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p} \ln ^{q} x} \mathrm{~d} x$ 的收敛性．

六．（1）讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{m} \ln (1+x)}{1+x^{n}} d x,(n \geq 0)$ 收玫性． （2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin b x-\sin a x}{x} d x(b>a>0)$ ． （3）计算积分 $\displaystyle \iint_{S} x d y d z+y d z d x+z d x d y, S$ 是上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的外侧．

5．（15 分）计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos a x-\cos b x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle b>a>0$ ．

五．（ 15 分）利用 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a^{2} x^{2}}-e^{-b^{2} x^{2}}}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle b>a>0$ ．

五．（15 分）设 $\displaystyle \lambda>0,0<\alpha<\beta$ ，则存在 $\displaystyle |\theta|<1$ ，使成立 $$ \alpha \int_{\alpha}^{\beta} \frac{\mathrm{e}^{-\lambda x}}{x} \cos x \mathrm{~d} x=2 \theta . $$

2．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是：对任意的正整数 $p$ ，有 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+p}-a_{n}\right|=0 $$

4．曲线由参数方程 $x=t, y=t^{2}$ 给出，求该曲线在 $t=1$ 处的曲率 $\_\_\_\_$ ．

6．求函数 $\mu(x, y, z)=x y^{2}+z^{3}-x y z$ 在点 $(1,1,2)$ 处沿方向 $l=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ 的方向导数 $\_\_\_\_$ ．

11．设 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin 2 n x}{n}$ ，则 $S\left(\frac{\pi}{6}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

四．（15 分）计算积分 $\displaystyle I(b)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{~d} x}{b+\tan x}, b>0$ ．

2．计算积分： $$ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x} \ln \left(\frac{1+a \sin x}{1-a \sin x}\right) \mathrm{d} x $$

5．设 $\displaystyle a_{n} \geq 0, a_{n+1}-a_{n} \leq \int_{n}^{n+1} \frac{1}{t \ln ^{2} t-\sin ^{2} t} \mathrm{~d} t$ ，讨论 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是否收敛．

1．极限 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) \neq A$ 的语言是 A． B． C． D．

4．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 的收玫性是 A． B． C． D．

2．极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(n^{2}+1\right)^{\frac{1}{n}}-1\right] \sin \frac{n \pi}{2}=$ $\_\_\_\_$ ．

6．（15 分）计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin \theta} \ln \frac{1+t \sin \theta}{1-t \sin \theta} \mathrm{~d} \theta,|t|<1$ ．

11．计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \ln \left(1+\frac{1}{2} \cos x\right) \mathrm{d} x$ ．

二．计算题．每题 10 分，共 20 分． （1）设 $\displaystyle y=\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}$ ，求 $\displaystyle \mathrm{d}^{2} y$ ． （2）设 $\displaystyle I(y)=\int_{y}^{y^{2}} \frac{\cos x y}{x} \mathrm{~d} x$ ，求 $\displaystyle I^{\prime}(y)$ ．

2． $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{\frac{3}{2}}(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-2 \sqrt{x})$ ．

2． $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+x} d x$ ．

2．（20分）计算题． （1）（10 分）设 $\displaystyle y=\sqrt[3]{x-\tan x}$ ，求 $\displaystyle \mathrm{d} y$ 及 $\displaystyle \mathrm{d}^{2} y$ ． （2）（10 分）设 $\displaystyle F(y)=\int_{a}^{b} f(x)|y-x| \mathrm{d} x$ ，其中 $\displaystyle f(x)$ 可微，求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(y)$ ．

2．（10 分）设 $\displaystyle f(x)=\int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{x}} \frac{1}{1+\cot u^{2}} \mathrm{~d} u$ ，求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．

3．计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{\cos ^{2} x}{\left(a^{2} \sin ^{2} x+b^{2} \cos ^{2} x\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

7．计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan x}{x\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．

4．证明：实二次型 $f(x, y, z)=A x^{2}+B y^{2}+C z^{2}+2 D y z+2 E z x+2 F x y$ 在单位球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$上的最大值和最小值分别对应矩阵 $M=\left(\begin{array}{ccc}A & F & E \\ F & B & D \\ E & D & C\end{array}\right)$ 的最大特征值和最小特征值．

1．设函数 $f \in C^{2}[0,1], f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0) \neq 0$ 且 $0<f(x)<x, x \in(0,1)$ ．令 $$ a_{1} \in(0,1), a_{n+1}=f\left(a_{n}\right)(n=1,2, \cdots) $$ （1）证明：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ； （2）试问数列 $\left\{n a_{n}\right\}$ 是否一定收玫？若不一定收玫，请举出反例；若收玫，求其极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ ．

3．曲线积分 $\oint_{L}\left(2 x^{2}+y^{2}+z\right) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $L$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与 $x+y+z=0$ 的交线．

3．计算 $\oint_{L}(x y+y z+z x) \mathrm{d} s=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $L$ 为 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $x+y+z=0$ 的交线．

14．证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n+1) \cos (n-1)}{n^{p}}$ 在 $p>1$ 时收敛，在 $p \leq 1$ 时发散．

16．（x）表示 $x$ 的小数部分，已知 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n x)}{n^{2}}(x \in \mathbb{R})$ ． （1）求 $f(x)$ 所有间断点． （2）证明 $f(x)$ 在有界闭区间 $[a, b]$ 上黎曼可积．

8、 $f(t)=\iint_{\substack{0 \leq x \leq s \\ 0 \leq y \leq s}} e^{-\frac{x}{y^{2}}} d x d y, t>0$ ，求 $f^{\prime}(t)$ ．

9、曲面 $\left\{\begin{array}{l}x=0.5\left(e^{u}+e^{-u}\right) \cos v \\ y=0.5\left(e^{u}+e^{-u}\right) \sin v, \text { 求 }(u, v)=\left(0, \frac{\pi}{4}\right) \text { 点处的切平面和法线方程．} \\ z=0.5\left(e^{u}-e^{-u}\right)\end{array}\right.$

12、 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 黎曼可积，在 $x=0$ 处连续，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) d x=f(0)$ ．

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{(n+1)(n+2) \cdots(n+n)}}{n}$ ．

2．定积分 $\int_{0}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} d x(a>0)$

3、 $f(x)=\int_{0}^{x} e^{y^{2}-2 y} d y$ ，计算积分 $I=\int_{0}^{1}(x-1)^{2} f(x) d x$ ．

七、计算 $\displaystyle I(x)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t^{2}} \cos (2 x t) \mathrm{d} t$

1、设 $f(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上可导，导函数 $f^{\prime}(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上有界，证明：函数 $f(x)$ 在开区间 $(0,1)$ 上有界且一致连续．

3． $\int \sqrt{x} e^{\sqrt{x}} d x=$ $\_\_\_\_$ ．

8、 $f(t)=\iint_{\substack{0 \leq x \leq s \\ 0 \leq y \leq s}} e^{-\frac{x}{y^{2}}} d x d y, t>0$ ，求 $f^{\prime}(t)$ ．

6． $\displaystyle \int_{0}^{\pi} e^{x} \cos ^{2} x d x$

二．计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{x+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．

7．设 $0<x<2 \pi, a \neq 0$ ，则 $\frac{1}{2 a}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a \cos n x-n \sin n x}{n^{2}+a^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

8．（15 分）解答如下问题： （1）证明：对任意正整数 $n$ ，方程 $x^{3}+3 x+\frac{1}{n}=0$ 有且仅有一个实数解． （2）设 $x_{n}, n=1,2, \cdots$ 为（1）中方程的实根，证明：数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛．

4．（15 分）求下列积分： （1）（ 7 分） $\displaystyle \int x \arcsin x \mathrm{~d} x$ ． （2）（8 分） $\displaystyle \int_{e^{-1}}^{e}|\ln x| \mathrm{d} x$ ．

4．求 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{4}}} d x \cdot \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}} d x$ 。

6．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{-\infty} e^{-p x} \frac{\sin b x-\sin a x}{x} d x$ ，其中，$\displaystyle p>0, b>a>0$ 。

7．$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \cos x d x(n=0,1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 的和。

5．计算累次积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{y}^{1}\left(\frac{e^{x^{2}}}{x}-e^{y^{2}}\right) \mathrm{d} y$ ．

1．计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{-}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

4、设 $z=z(x, y)$ 由方程 $(x-z, y-z)=0$ 所确定，$F$ 具有连续的二阶导数，则 $z_{x x}+2 z_{x y}+z_{y y}=$ $\_\_\_\_$ ．

5、设 $y=y(x)$ 由方程 $x^{2} y-\cos x+e^{y}+1=0$ 确定，则 $\frac{d y}{d x}=$ $\_\_\_\_$ ．

5、求二重积分 $\iint_{D} \frac{}{1+x^{2}+y^{2}} d x d y$ ，区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2} y^{2} \leq 1, x \geq 0\right\}$ ．

3．求 $\int e^{-x}\left(\frac{1+x}{1+x^{2}}\right)^{2} d x$ ．

2． $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{a}-1) \quad(a>0)$ ．

4、（20 分）设 $\displaystyle n \in \mathbb{N}_{+}$，计算不定积分 $\displaystyle I=\int \frac{1}{\left(1+x^{n}\right)^{n} \sqrt{1+x^{n}}} \mathrm{~d} x$ ．

2、计算定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \cos ^{2} x \cdot e^{x} \mathrm{~d} x$ ．

3、计算积分 $\displaystyle \int_{C} \frac{y^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}} \mathrm{~d} x+\left(4 x+2 y \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)\right) \mathrm{d} y$ ， 其中曲线 $C$ 为从点 $\displaystyle A(1,0)$ 沿圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 依逆时针方向到 $\displaystyle B(-1,0)$ 的上半圆周．

9、计算： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x^{2}}-e^{-2 x^{2}}}{x} \mathrm{~d} x$ ．

2． $\int \frac{1}{1+\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

11．（12 分）计算累次积分 $\displaystyle I=\int_{-1}^{1} d x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} d y \int_{1}^{1+\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}} \frac{d z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ．

5．（12 分）计算曲线 $\displaystyle y=\int_{0}^{x} \sqrt{\sin t} d t$ 的全长．

六．判断 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \cos x}{x+100} \mathrm{~d} x$ 绝对收敛还是条件收敛．

1．解答如下问题： （1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^{4}}\left[6+x^{2}-\frac{5}{6} x^{4}-6 \sqrt[3]{2-\cos x}\right]$ ． （2）求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．

一．求下列极限和积分． （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^{x}+e^{2 x}+e^{3 x}}{3}\right)^{\frac{1}{x}}$ ． （2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{e^{x}(1-x)^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

七．讨论 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x \cos \frac{1}{x}}{x} \mathrm{~d} x$ 是绝对收敛，条件收敛还是发散？

六、（20 分）确定正数 $\displaystyle \eta$ ，使得曲面 $\displaystyle x y z=\eta$ 与曲面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 相切，并写出一个切平面方程．七、（20 分）计算： $\displaystyle \mathrm{I}=\int_{0}^{n \pi} x|\sin x| d x$ ，其中 $n$ 是正整数。

1）（10．分）求： $\int x \operatorname{arctgx} d x$ 。

1）（15分）幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫中径；

三、（30分，每小题10分）计算下列积分 （1） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} d x$（其中 $\displaystyle a>0$ ）。 （2）$\displaystyle I=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y$ ，其中 $D$ 是以 $\displaystyle y=x, y=x+a, y=a$ 和 $\displaystyle y=3 a(a>0)$ 为边的平行四边形． （3）$\displaystyle I=\iiint_{V} \ln \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) d x d y d z$ ，其中 $V$ 是椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ 。

六、计算 k 列积分（每小题 15 分，共 2 小题，共 30 分） （1） $\displaystyle \int_{0}^{1} x f^{\prime \prime}(2 x) d x$ ，共中 $\displaystyle f(0)=1, f(2)=5, f^{\prime}(2)=5$ ； （2） $\displaystyle \int_{0}^{1} x^{2} d x \int_{x}^{1} e^{-y^{2}} d y$ ．

六、计算下列积分（每小题 10 分，共 3 小题，共 30 分） （1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ； （2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} d x \quad(b>a>0)$ ； （3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ ．

六、计算下列积分（每小题 10 分，共 30 分） （1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ； （2） $\displaystyle \int_{0}^{2}\left[e^{x}\right] d x$（注［。］表取整函数）； （3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ ．

八、（ 15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x>0$ 可微，若 $\displaystyle f(x)$ 满足下列方程 $$ f(x)=1+\frac{1}{x} \int_{1}^{x} f(t) d t $$ 试求 $\displaystyle f(x)$ 。

六、计算下列积分（每小题 15 分，共 30 分） （1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ； （2）求 $\displaystyle \iint_{\mathrm{S}} \frac{d S}{z}$ ，其中 S 是球面 $\displaystyle \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle \mathrm{z}=\mathrm{h}(0<\mathrm{h}<a)$ 所截的顶部。

六、计算下列积分（每小题 15 分，共 30 分） （1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ； （2） $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} d x d y$ ，其中 $D$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$ 所围成。

六、计算下列积分（每小题 10 分，共 30 分） （1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ； （2） $\displaystyle \int_{0}^{4}\left[e^{x}\right] d x$（注［。］表取整函数）； （3）$\displaystyle I=\iint_{D} \sin x^{2} \cos y^{2} d x d y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

5、（1）数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\left|a_{n+p}-a_{n}\right| \leq \frac{p}{n}$ ，且对一切 $n, p \in \mathbb{N}_{+}$成立，问数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是否收敛？ （2）当 $\left|a_{n+p}-a_{n}\right| \leq \frac{p}{n^{2}}$ 时，上述结论又如何？

9、函数 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，以 $T>0$ 为周期， $\int_{0}^{T} f(x) \mathrm{d} x=0, ~ g(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调， $\lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=0$ ，证明：广义积分 $\int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收玫．

9．证明： $\sin x>\frac{2}{\pi} x, 0<x<\frac{\pi}{2}$ ．

6．求平面 $x+y+z=0$ 与椭球面 $x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=1$ 相交而成的椭圆面积．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{1}{x}}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．

2．计算积分 $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

9．设 $u_{n} \neq 0$ ，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n}{u_{n}}=1$ ．讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(=1)^{n+1}\left(\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{u_{n+1}}\right)$ 是否绝对收敛．

12．设 $f(x)$ 是 $[0,1]$ 上的正值连续函数，且 $f(x)$ 单调递减，证明： $$ \frac{\int_{0}^{1} x f^{2}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x} \leq \frac{\int_{0}^{1} f^{2}(x) \mathrm{d} x}{\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x} $$

十．（15 分）已知 $\displaystyle g(0)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ，求 $\displaystyle g(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos 2 \alpha x \mathrm{~d} x$ ．

6、判断 $\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的玫散性，其中 $1<p<2$ ．

九．（15 分）已知 $\displaystyle 0<a<b$ ，计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x} \sin x \mathrm{~d} x$ ．

十．计算 $$ \int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \sin \left(\ln \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x, b>a>0 $$

八．（15分）计算 $$ I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan a x-\arctan b x}{x} \mathrm{~d} x(a \geq b>0) $$

九、计算积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} x \int_{x}^{1-x} \sqrt{y^{2}-x^{2}} \mathrm{~d} y$ ．

六、计算积分 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x} \sin (a x)}{x} \mathrm{~d} x$ ．

9、（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln \left(1+y^{3}\right)}{y^{x}} \mathrm{~d} y$ 的定义域．

九、（15 分）计算 $\displaystyle \mathrm{J}=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{\mathrm{px}} \frac{\operatorname{sinbx}-\operatorname{sinax}}{\mathrm{x}} \mathrm{dx},(\mathrm{p}>0, \mathrm{~b}>\mathrm{a})$ ．

2、（15 分）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x e^{-x^{2}} & x \geq 0 \\ \frac{1}{1+e^{x}}, & x<0\end{array}\right.$ ，求 $\displaystyle I=\int_{1}^{4} f(x-2) d x$ ．

3．$\displaystyle F(x)=\int_{-1}^{x} \sqrt{|t|} \ln |t| d t$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(x)$ ．

4．求 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{d x}{1+\sin ^{2} x}$ ．

2． $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \sin x d x$ ．

5、 $f(x)=\int_{x}^{x^{2}} e^{-x y} d y$ ，求 $f(x)$ ．

3．（10 分）设 $\displaystyle \theta \in(-1,1)$ ，试求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln \left(\frac{1+\theta \cos x}{1-\theta \cos x}\right) \frac{1}{\cos x} \mathrm{~d} x$ ．

5．（10 分）设点 $\displaystyle A(0,0), B\left(\pi, \pi^{\frac{2}{3}}\right), \Gamma$ 是由 $A$ 沿 $\displaystyle y=x^{\frac{2}{3}}$ 到 $B$ 的曲线段，试求 $$ \int_{\Gamma} \frac{\cos y}{\sqrt{x^{2}+1}} \mathrm{~d} x-\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) \sin y \mathrm{~d} y $$

七、计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_{0}^{x} \frac{e^{-x y}-1}{y^{2}} d x}{\ln (1+x)}$ ．

6、（15 分）求 $\displaystyle \int \frac{y}{x^{2}+y^{2}} d x-\frac{x}{x^{2}+y^{2}} d y\left(c: x^{2}+y^{2}=a\right)$ ．

10．求积分 $$ I(a)=\int_{0}^{\pi} \ln (1+a \cos x) \mathrm{d} x,|a|<1 $$

9．求 $\displaystyle I=\int_{L}\left(y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} z$ ，其中 $L$ 是上半球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 R x(z \geq 0)$ 与圆柱面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2 r x(0<r<R)$ 所围成的曲线，方向为逆时针（球面较小部分在左面）．

6．计算 $\displaystyle I=\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{2024+\cos ^{2} x} d x$ 。

4、（30 分）计算题． （1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{\pi}{2}-\arctan x\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ． （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{3} \arctan (1+n)\left(1-\cos \frac{1}{n^{2}}\right)}{\sqrt{1+n^{2}}-n}$ ． （3） $\displaystyle \int \frac{d x}{2+\sin ^{2} x}$ ．

2．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上一致连续，并且 $\int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫。能否得到 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？若把条件＂一致连续＂改为＂连续且 $f(x) \geq 0$＂，能否得到 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？

3．求曲线积分 $$ I=\int_{L}\left(e^{x}+1\right) \cos y \mathrm{~d} x-\left[\left(e^{x}+x\right) \sin y-x\right] \mathrm{d} y $$ 其中 $L$ 为由点 $A(2,0)$ 沿着曲线 $y=\sqrt{4-x^{2}}$ 到点 $B(-2,0)$ 的有向曲线段．

5． $\displaystyle \sup _{0<s<1} \int_{0}^{1}|\ln | s-t| | d t=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

9．设曲线 $L: x^{2}+y^{2}=16$ ，取逆时针方向，则 $\oint_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}+x y+y^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．

三、求 $\displaystyle \int_{\overparen{A B}}\left(e^{x} \sin y-2 y\right) \mathrm{d} x+\left(e^{x} \cos y-2\right) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle A B$ 为由 $\displaystyle (a, 0)$ 到 $\displaystyle (0,0)$ 经过圆 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x$ 上半部分的路线．

六．求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} \frac{x^{n}}{1+\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．

4．已知 $f(x)$ 在 $[A, B]$ 上黎曼可积，证明： $\lim _{h \rightarrow 0} \int_{a}^{b}|f(x+h)-f(x)| \mathrm{d} x=0$ ，其中 $A<a<b<B$ ．

4．（15 分）计算三重积分 $\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leqslant 1} \mathrm{e}^{|z|} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．

4．求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{1}{1+a \cos x} d x, a \in(0,1)$ ．

8．$\left(\partial \mathbb{Q}^{2}\right)^{\circ}=$ $\_\_\_\_$ $Y_{1}$ ．

2．（12 分）计算 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\pi} \cos ^{n} x \mathrm{~d} x$ ．

4．（12 分）计算 $$ \int_{L}(x-y) \mathrm{d} x+z^{3} \mathrm{~d} z $$ 其中 $L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 与 $\displaystyle z=c(|c|<1)$ 的交线，从 $z$ 轴的正向往负向看去是逆时针方向．

1、求 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$ ．

4、（1）求不定积分 $\displaystyle \int \sin ^{4} x \mathrm{~d} x$ ．（2）求不定积分 $\displaystyle \int \frac{x-5}{x^{2}-3 x+4} \mathrm{~d} x$ ．

3、设 $\displaystyle I(x)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x y^{2}} \sin x \mathrm{~d} y,(x \geq 0)$ ，求 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} I(x) \mathrm{d} x$ ．

6．（20 分）解答如下问题： （1）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{1}(\ln x)^{2026} \mathrm{~d} x$ ． （2）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln (\sin x) \mathrm{d} x$ ．

1．写出基本数列（Cauchy 数列）的定义．

五．记 $\displaystyle I_{p}=\int_{2}^{+\infty} \frac{(\ln x)^{p} \sin x}{x} \mathrm{~d} x, p \in \mathbb{R}$ ．

2． $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x=$ $\_\_\_\_$ ．

1．已知二元函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{3}+x^{2} y+x y^{2}+2 y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases} $$ （1）判断 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的连续性． （2）判断 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的两个一阶偏导数是否存在？若存在请求其值． （3）判断 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的可微性，请详细说明理由．

2．设 $x_{0}$ 是连续函数 $f(x)$ 的极小值点，则存在 $\delta>0$ ，使得 $f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}\right]$ 上单调递减，在 $\left[x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ 上单调递增．

三．计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x}-e^{-e x}}{x} d x$ ．（10 分）

2）设 $x_{n} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$ 是方程 $f_{n}(x)=1$ 的解，证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\frac{\pi}{6}$ ．（20 分）

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x$ ，

二、（15 分）计算不定积分 $\displaystyle I=\int \frac{d x}{\sqrt[n]{(x-a)^{n+1}(x-b)^{n-1}}}, a \neq b$ 且 $n$ 为正整数．

八、（15分）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \frac{i-\cos x y}{x^{2}} d x$ ；

五、（15 分）计算不定积分 $\displaystyle \int \frac{d x}{x^{3} \sqrt{x^{2}-1}}$ ．

3．计算积分 $\int_{0}^{\pi} \frac{1-\sin 2 x}{1+\sin 2 x} d x$ ．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1-\frac{1}{n}}$ ：

3．设 $a_{n}=\frac{3}{2} \int_{0}^{\frac{n}{n+1}} x^{n-1} \sqrt{1+x^{n}} d x$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}$ ．

4． $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos \theta}{\cos \theta+\sin \theta} d \theta$ ．

1． $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

一、计算题。（每题 5 分，共 20 分） （1）求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \tan ^{n}\left(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n}\right)$ ． （2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty}\left[f(x)-f^{\prime}(x)\right]=2023$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ ． （3）求定积分 $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} \mathrm{~d} x,(a>0)$ ． （4）交换积分顺序 $$ \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \mathrm{~d} x \int_{\frac{1}{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y+\int_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \mathrm{~d} x \int_{x^{2}}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y . $$

2．求积分 $\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{4 \cos ^{2} x+3 \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．

2．结合（1），进一步说明可以从 $\left\{U\left(P_{\lambda}, \delta_{\lambda}\right)\right\}_{\lambda \in \Delta}$ 中选出有限个覆盖 $[0,1] \times[0,1]$ ．

3、求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln (1+x)^{1+x}}{x^{2}}-\frac{1}{x}\right)$ ．

七．（ 20 分）令 $$ g(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \cos (2 \alpha x) \mathrm{d} x $$

六．（15 分）讨论 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 的收玫性，其中 $\displaystyle \alpha$ 为实常数．

5．已知余元公式 $\Gamma(\alpha) \Gamma(1-\alpha)=\frac{\pi}{\sin \alpha \pi}(\alpha \in(0,1))$ ，计算 $$ \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{~d} x}{\sqrt{1-x^{4}}} \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{4}}} \mathrm{~d} x $$

1．当 $0<p<1$ 时，有 $x^{p}+y^{p} \geq(x+y)^{p}$ ； 2 ．当 $p \geq 1$ 时，有 $x^{p}+y^{p} \leq(x+y)^{p}$ ．

1．$\sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln ^{2} x$ 在 $(0,1]$ 上一致收敛；

2． $\int_{0}^{1} \frac{\ln ^{2} x}{1-x} \mathrm{~d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{3}}$ ．

2． $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{2}$ ．

4．计算积分 $\int_{\Gamma}\left(x^{\frac{4}{3}}+y^{\frac{4}{3}}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $\Gamma$ 为方程 $x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}(a>0)$ 所确定的曲线．

6．讨论 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x y} \mathrm{~d} y$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收玫性．

7．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos (a x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．