定积分-反常积分

七．设参数 $\displaystyle \alpha>0$ ，讨论广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{\sin x} \sin (2 x)}{x^{\alpha}} \mathrm{d} x$ 的收玫性（包括条件收敛和绝对收敛）．

七、（25分）解答如下问题． （1）证明：含参变量 $y$ 的广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x y} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。 （2）证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上，含参变量 $y$ 的广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x y} \sin x \mathrm{~d} x$不一致收敛，但是内闭一致收敛． （3）利用（1）、（2）中的结论计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ． （4）利用（3）中的结论证明： $$ \int_{0}^{+\infty}\left[\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x \cdot \sin (x+y)}{x(x+y)} \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{8} $$

三、（20 分）判断广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \frac{x \ln x}{x^{3}+1} \mathrm{~d} x$ 玫散性．

8．（ 20 分）判断下列反常积分的玫散性，若收玫，计算积分值；若发散，说明理由． （1） $\displaystyle \iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid x \geq 1, y \geq 1\}$ ． （2） $\displaystyle \iiint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{(x+y+z)^{2}}$ ，其中 $\displaystyle D=\{(x, y, z) \mid x>0, y>0, z>0, x+y+z<1\}$ ．

六、（15分）讨论广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1+x}{x^{p}} \sin \left(x^{3}\right) \mathrm{d} x$ 的敛散性． t、（15 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{n}}\left(n^{2}-n+1\right)$ 的和．

五，（10 分）考察 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{[(n+1)!]^{n-1}}{1!3!\cdots(2 n-1)!}$ 的敛散性。

十一、（15 分）研究 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)}$ 的敛散性．

3．设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 是 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上的黎曼可积函数，$\displaystyle p \in \mathbb{R}$ ，若 $\displaystyle |f(x, y, z)|$ 在原点附近有正下界，试求广义积分 $$ I=\iiint_{\Omega} \frac{f(x, y, z) \ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{p}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 收敛时 $p$ 的取值范围．

3．求积分 $\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．

1．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在，证明：$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．

六、解答如下问题． （1）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln ^{m}(1+x)}{1+x^{n}} d x(n \geq 0)$ 的玫散性． （2）求积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos a x-\cos b x}{x} d x$ ，其中 $\displaystyle 0<a<b$ ． （3）设 $\displaystyle F(z)=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq z^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, f(0)=1$ 且 $f$ 连续可导，求 $\displaystyle F^{\prime \prime}(0)$ ．

七．（15 分）（1）判断 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1 \cdot 3 \cdots(2 n-1)}{4 \cdot 6 \cdots(2 n+2)} $$ 的玫散性． （2）求 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 \cdot 4 \cdots(2 n)}{1 \cdot 3 \cdots(2 n-1)}\left(\frac{1}{2} x-3\right)^{n} $$ 的收玫域． （3）判断 $$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \int_{n}^{n+1} \frac{\ln (x+7)}{x} \mathrm{~d} x $$ 的敛散性（绝对收敛，条件收敛或发散）．

9．设 $\displaystyle I(k, a)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-k x} \frac{\sin a x}{x} \mathrm{~d} x$ ． （1）证明：对固定的 $\displaystyle k \in[0,+\infty)$ ，积分 $\displaystyle I(k, a)$ 关于 $a$ 在 $\displaystyle |a| \geq \delta(\delta>0)$ 上一致收敛．对固定的 $\displaystyle a \neq 0$ ，积分 $\displaystyle I(k, a)$ 关于 $k$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收玫． （2）计算积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 的值．

5、求反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ．

10．设 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 求（1）$\displaystyle f(x, y)$ 偏导数； （2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的方向导数； （3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处是否可微．

7．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的邻域内连续可导， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=2$ ，求证： $$ \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} f\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) \text { 的敛散性 } $$

11．（1）叙述反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{\infty} f(x, y) g(x, y) \mathrm{d} x$ 关于 $y$ 在区间 $I$ 的 Abel 判别法． （2）讨论积分 $$ \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (2 x)}{x+y} e^{-x y} \mathrm{~d} x $$ 在 $\displaystyle y \in[0, b]$ 上是否一致收敛．

3．若函数 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的连续函数，若 $f(x)$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的的 Fourier 级数展开式为 $f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$ ，则 $\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) d x=$ $\_\_\_\_$。

9．（15 分）设反常积分 $$ I=\iiint_{D} \frac{x^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq x\right\}$ ．证明反常积分 $I$ 收玫，并求出 $I$ 的值．

3．设广义积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．

九．（15分）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ ． （1）（9分）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且一致连续． （2）（6 分）证明：反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) d x$ 发散．

五．（15分）讨论反常积分的玫散性： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} d x, p \in \mathbb{R}$ ．

5．（20 分）讨论广义积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} x^{p-1} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的一致收敛性： （1）（ 10 分）$\displaystyle p \geq p_{0}>0$ ． （2）（ 10 分）$\displaystyle p>0$ ．

8．判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x \ln x}{x^{p}+1}(p>0)$ 的敛散性．

1．求使得不等式 $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+\alpha}>e$ 对所有正整数 $n$ 都成立的最小的数 $\alpha$ ．

7．方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} x y+y+y^{2} z=0 ; \\ x^{y}+y z-z^{2}+5=0 . \end{array} \quad(\text { 可能有误 })\right. $$ 在点 $P(1,-2,1)$ 附近能否唯一确定隐函数组？

六、（15分）计算广义积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\{x\}}{x^{3}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $\displaystyle \{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分．例如：$\displaystyle \{\pi\}=\pi-3$ ．

3、计算反常积分 $\displaystyle I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{e^{x}+3 e^{-x}+1} \mathrm{~d} x$ ．

四、（本题满分 15 分）证明无穷积分 $\displaystyle J=\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt[3]{x}} d x$ 条件收敛。

3．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{\int_{0}^{x} e^{\frac{t^{2}}{2}} d t-x}{x \ln (1+x) \arctan x}$ ．

5．讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，若收敛，判断绝对收敛或条件收敛。

2．设函数 $f(x)$ 有二阶连续导数，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(0)=6$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[1+\frac{f(x)}{x}\right]^{\frac{1}{x}}$.

五．（本题满分 15 分）判别级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{\alpha}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 的敛散性，其中 $\displaystyle \alpha \in(0,1)$ ，若收敛，指出为绝对收敛或条件收敛。

10．判别级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}} \quad(p>0) $$ 的敛散性。如果收敛，它是绝对收敛还是条件收敛？

3．（15 分）设广义积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫，且 $\displaystyle f(x)$ 单调，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ．

1．若对任意的 $N$ ，总存在 $\varepsilon>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ 成立，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．

2．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，$f(a)=f(+\infty)$ ，则存在 $\xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。

1．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是 $\forall \varepsilon>0, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a_{2 n}\right|<\varepsilon$ ．

2．判断极限 $$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x+y-1}-1} $$ 的存在性，若存在，给出证明过程，若不存在，说明理由．

7．（15 分）讨论下列广义积分的敛散性： （1）（ 7 分） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{x}{1-e^{x}} \mathrm{~d} x$ ． （2）（ 8 分） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1-x} \mathrm{~d} x$ ．

13．设 $\displaystyle f(x) \geq 0$ ，且无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛． （1）证明存在趋近于 $\displaystyle +\infty$ 的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[0,+\infty)$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ． （2）请问是否一定有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ？给出证明或反例．

8．设 $\displaystyle a>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{a}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right)$ 的敛散性．

1．设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^{2}-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程．

二．（15 分）解答如下问题： （1）判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left[\ln \left(\tan \frac{1}{n}\right)\right]^{3}}$ 的玫散性． （2）判断 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{1+x^{p}} \mathrm{~d} x(p \geq 0)$ 的敛散性．

1．设 $n$ 为正整数，$y=\frac{x^{n}}{2-x}$ ，求 $y^{(n)}$ ．

3．已知 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+t, \\ y=\ln (1+t),\end{array} \quad\right.$ 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 与 $\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．

1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sqrt{2} x)-e^{-x^{2}}+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$ ．

六、（10 分）证明无穷积分的阿贝尔判别法，即若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) g(x) \mathrm{d} x$ 收玫．

6．（13 分）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x^{2}}{x^{p}} d x$ 的收敛性和绝对收敛性．

4．判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\left(\ln ^{2} x\right) \sin x}{x+1} \mathrm{~d} x$ 是绝对收敛，条件收敛还是发散，并证明．

3．计算积分 $I=\iint_{D} \frac{3 x}{y^{2}+x y^{3}} d x d y$ ，其中 $D$ 为平面曲线 $x y=1, x y=3, y^{2}=x, y^{2}=3 x$ 所围成的有界闭区域。

5．设 $\left\{b_{n}\right\}$ 是正的严格递增数列，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=+\infty$ ，求证：$\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} \leq \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}$ ．这里假设右侧的上极限存在．

4．已知 $a_{n}=\sqrt[n]{2022^{n}+(-2023)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 和 $\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

5、设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，记 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t,(x \geq 0)$ ，证明： $F(x)$ 在 $x=0$ 处存在右导数，并求 $F_{+}^{\prime}(0)$ ．

5、讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{n}} d x$ 敛散性．

五．讨论参数 $p$ 对广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos \left(x-\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性影响，何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散？

五．（15 分）已知 $\displaystyle p \in \mathbb{R}$ ，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{p}}$ 的敛散性．

4．计算 $\iint_{S} \frac{a x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(a+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}(a>0), S$ 取半球面 $z=-\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 的上侧．

13．设 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ ，其中 $x>0$ ，求证： （1）函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上不一致收敛。 （2）和函数 $S(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上连续可导．

四、（20 分）判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x} \cos x}{x+2019} \mathrm{~d} x$ 是否收敛？若收敛，判断是条件收敛还是绝对收敛？

五、讨论反常积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{x(\ln x)^{k}}$ 的玫散性．

五、讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln (1+x)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．

8．（15 分）判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．

8．判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 的玫散性．

4、讨论如下积分的敛散性： （1） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin ^{2} x}{x^{p}\left(x^{p}+\sin x\right)} \mathrm{d} x,(p>0)$ ． （2） $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x,(p>0)$ ． （3） $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}+\sin x} \mathrm{~d} x,(p>0)$ ．

4．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}$ 的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

8．设函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，$\displaystyle f(0)>0$ 且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geq 0, x \in[0,+\infty)$ ，证明：若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x$收玫，则反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛．

六．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 都连续且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} g(x)=6$ ，若无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+x} f(x) d x$ 绝对收敛，则无穷积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) g(x) d x$ 绝对收敛。

8、证明：无穷积分 $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-a x^{2}} \mathrm{~d} x,(a>0)$ 收玫，并求其值．

七、证明：无穷积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} \cos \left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle p>1$ 时绝对收敛， 在 $\displaystyle 0<p \leq 1$ 时条件收敛。

7、（15 分）给定级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}$ ． （1）求和函数 $\displaystyle S(x)$ ． （2）证明：广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} S(x) d x$ 收敛，并写出它的值．

5．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{3}+k^{3}+k^{2}}$ ．

6．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}$ ．

四、判断下列级数的敛散性： （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{\pi}{3^{n}}$ ； （3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{n} \frac{(n!)^{2}}{2 n!}$ ．

8、（15 分）判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 敛散性．

9、（15 分）判断 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{p}} d x(0<p<2)$ 敛散性．

八、（本题满分 10 分）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{2}+\cos x} d x$ 的敛散性，若收敛，试说明绝对收敛还是条件收敛。。

1．Riemann 函数 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{q}, \text { 当 } x=\frac{p}{q}(q>0, q \text { 和 } p \text { 为互质整数 } ; x=0 \text { 时 } q=1), \\ 0, \text { 当 } x \text { 为无理数时 } \end{array}\right. $$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 中的哪些点连续，哪些点不连续

2．证明函数 $f(x)=\sqrt{x} \ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致连续．

2．设 $f(x)=\frac{1-x+x^{2}}{1+x+x^{2}}$ ，求 $f^{(2024)}(0)$ ．

2．用有限覆盖定理证明：闭区间 $[a, b]$ 上的连续函数 $f(x)$ 一定在 $[a, b]$ 上一致连续．

十一、已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续且无穷积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，证明：存在严格增大的 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a,+\infty)$ 满足 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty \text { 且 } \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0 \text {. } $$

十．已知设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减趋于零，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}$ 同玫散． 十一。设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+x}$ （1）．证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可导，且一致连续； （2）．证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 发散．

2、求曲面 $x^{2}+y^{2}=a z,(a>0), z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成立体区域的体积．

7．（13 分）判断积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} x^{3} \sin \left(x^{q}\right) \mathrm{d} x(q \neq 0)$ 的敛散性（包括绝对收敛，条件收敛和发散）。

十．（ 12 分）求含参量反常积分 $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x} \sin \beta x}{x} \mathrm{~d} x(\beta \in \mathbb{R}) $$ 十一。（15 分）证明：$n$ 元实二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}\left(a_{i j}=a_{j i}\right)$ 在单位球面 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}=1$ 上的限制的最大、最小值佮为对称阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的最大、最小特征根。

7．（15 分）设 $\displaystyle p>0$ ，讨论反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的收敛性与绝对收敛性．

2．设 $x_{1}>0$ ，对 $n \geq 1$ ，有 $x_{n+1}=\arctan x_{n}$ ，证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 是基本数列．

2．当 $p=1$ 时，求 $I_{p}$ 的敛散性．

九、（16 分） （1）证：广义积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 收敛。 （2）证：广义积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x} d x$ 发散。 （3）利用上述结论判断积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty}\left[\left(1-\frac{\sin x}{x}\right)^{-\frac{1}{3}}-1\right] d x$ 是否收敛？是否绝对收敛？并证明上述结论．

2．证明：$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上一致连续的充分必要条件为对任意 $(0,1)$ 中的柯西列 $\left\{x_{n}\right\},\left\{f\left(x_{n}\right)\right\}$ 也为柯西列．

5．讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{p}}(p \in \mathbb{R})$ 的敛散性．

7．叙述判定函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 关于 $x$ 在集合 $D$ 上一致收敛的 Cauchy 收敛原理．

14．设 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$ ． （1）证明：对任意的 $x \in(a, b)$ ，都有 $g(x) \neq 0$ ． （2）证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$ ．

七、（15 分）计算反常积分 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\sin x}{x} d x,(\alpha>0)$ 。并由此计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x$ 之值．

四．证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续可微，且无穷积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f^{\prime}(x) d x$ 均收玫，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(x)=0 .(15$ 分 $\displaystyle )$

五、讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \frac{a}{1+a^{n}}(a>0)$ 的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）（15 分）

3． $\int \frac{x e^{x}}{(1+x)^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

2、判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 的敛散性（绝对收敛还是条件收敛）。

八、（15 分）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-\alpha)^{n} n!}{n^{n}},(\alpha>0)$ 的敛散性．若收敛，请指出是条件收敛还是绝对收敛。

六、（10 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上单调递减，且 $$ f(x)>0, x \in[a,+\infty) . $$ 证明：反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 玫散性相同．

七、（15 分）证明：含参量 $x$ 的反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{y \cos (x y)}{1+y^{2}} d y$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 上一致收敛 $\displaystyle (\delta>0)$ ，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收敛．

三、（15 分）设 $\displaystyle U_{1}=2, \cdots, U_{n+1}=\frac{1}{2}\left(U_{n}+\frac{1}{U_{n}}\right), n=1,2,3, \cdots$ ． （1）证明：数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限． （2）判断级数 $\displaystyle \sum_{n-1}^{\infty}\left(\frac{u_{n}}{u_{n+1}}-1\right)$ 的敛散性并证明．

2．（15＇）讨论数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos n}{n^{p}}$ 的敛散性，其中 $p$ 是实常数。

三．用柯西准则判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}$ 的敛散性，其中 $\displaystyle \alpha \in \mathbb{R}$ 。

六．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上单调递减且 $\displaystyle f(x)>0$ ，证明反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 具有相同的收敛性．

四．（15 分）讨论反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{p-1}}{1+x} \mathrm{~d} x$ 的敛散性，其中 $p$ 为实数．