级数-数项级数

1．判断题．正确的给出证明，错误的给出反例． （1）设 $\displaystyle b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ ，若数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 收敛，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）两个在 $\displaystyle x_{0}$ 附近无界的函数之积仍为无界函数。 （3）若 $\displaystyle y=f(x)$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续，$\displaystyle u=g(y)$ 在点 $\displaystyle y_{0}=f\left(x_{0}\right)$ 不连续，则复合函数 $\displaystyle u=g(f(x))$ 在点 $\displaystyle x_{0}$ 不连续． （4）一元函数的定积分，若 $\displaystyle |f(x)|$ 可积，则 $\displaystyle f(x)$ 可积． （5）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个二次极限都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的二重极限也存在．

4．判断是否正确 （1）若函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上存在原函数。 （2）若 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的两个累次极限都存在且相等，则 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的重极限也存在

三、讨论题． 10 分． 对于二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，如果两个累次极限存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)$ ．问 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 是否一定存在？请说明理由．

七、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}$ ，试讨论二重极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 与累次极限 $\displaystyle \lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y) 、 \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)$ 是否存在．

1．设 $L$ 为上半圆周 $x^{2}+y^{2}=1, y \geq 0$ 。求 $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s$ 。