级数-傅里叶级数

7．（ 15 分）设 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y+x^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases} $$ 讨论 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性和可微性．又设 $\displaystyle x(t)=t, y(t)=t^{2}$ ，讨论复合函数 $\displaystyle f(x(t), y(t))$ 在 $\displaystyle t=0$的导数是否满足链式法则．

2．若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{2 x}=0$ ，则 $f^{\prime}(0)=0$ ．此结论是否成立？为什么？

二、设二元函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ 是由方程 $\displaystyle x+y+z=e^{z}$ 确定的隐函数，求二阶混合偏导数 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$ ．

5．$\displaystyle y^{2}+f\left(x^{2}, z\right)=1$ 能确定隐函数 $\displaystyle z=z(x, y)$ ，且 $\displaystyle f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数，求 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.

2．对 $n \geq 1$ ，设 $S_{n}(x)=\frac{x}{1+n^{2} x^{2}}$ ，证明：函数列 $\left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛．