级数-函数项级数

五．已知三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的二阶偏导数，设 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中光滑简单封闭曲面的全体为 $\displaystyle \Sigma$ ，对于 $\displaystyle S \in \Sigma$ ，用 $\displaystyle \mathbf{n}$ 表示 $S$ 的外法线单位方向向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \mathbf{n}$ 的方向导数． （1）证明：$f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0 \text { (即 } f \text { 为 } \mathbb{R}^{3} \text { 上的调和函数) } $$ 当且仅当 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S=0(\forall S \in \Sigma)$ ． （2）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的调和函数，$\displaystyle S \in \Sigma$ ，且 $S$ 围成的有界闭区域记作 $V$ ．证明： $$ f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{S}\left(f \frac{\cos (\mathbf{r}, \mathbf{n})}{|\mathbf{r}|^{2}}+\frac{1}{|\mathbf{r}|} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为 $V$ 内部的一个定点， $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right),(\mathbf{r}, \mathbf{n})$ 表示两向量的夹角，$\displaystyle |\mathbf{r}|$表示向量 $\displaystyle \mathbf{r}$ 的模长． （3）若函数 $f$ 和闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数 $g$ 在单位球 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=g\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) . $$ 证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{0}^{1} \sqrt{t}(t-1) g(t) \mathrm{d} t$ ．

六．判断下列四个命题的正误．正确的，请给出证明；错误的，需举出反例． （1）若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ ． （2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续． （3）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点关于 $x$ 和 $y$ 都不存在偏导数，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 沿 $x$ 轴的方向导数必不存在． （4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且只存在有限个不连续点，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积．

六、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{D}$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 中由光滑简单封闭曲线 $\displaystyle \mathbf{C}$ 所围成的闭区域，二元函数 $f$ 和 $g$ 在 $D$ 上具有连续的二阶偏导数，记作：$\displaystyle \Delta f=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}$ ． （1）证明： $$ \iint_{D}(g \Delta f) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{C} g \xrightarrow[\partial \vec{n}]{\partial f} \mathrm{~d} s-\iint_{D}[\operatorname{grad}(f) \cdot \operatorname{grad}(g)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \vec{n}$ 为曲线 $C$ 的外法单位向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \vec{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \vec{n}$ 方向的方向导数，向量 $$ \operatorname{grad}(f)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right), \operatorname{grad}(g)=\left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right) $$ （2）证明：若 $f$ 在曲线 $C$ 上满足 $\displaystyle f \equiv 0$ ，则 $$ \iint_{D}\left(|f|^{2}+|\Delta f|^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \geq 2 \iint_{D}|\operatorname{grad}(f)|^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y . $$

12． $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a,(a>0)$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_{n}}=1$ ．

10．设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上具有二阶连续偏导数，证明： $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) d \sigma=\oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} d s$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是 $\displaystyle u(x, y)$ 沿着 $\displaystyle \partial D$ 外法线方向 $n$ 的方向导数．

7．设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{(x+y) \sin (x y)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ．证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，不可微，且沿任意方向的方向导数都存在。

2．记 $$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $$ 求 $f(x)$ 的表达式与幂级数的收敛半径；

九．（10 分）设 $n$ 元函数 $\displaystyle f\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)$ 有连续的二阶偏导函数．记 $\displaystyle H=\left(\begin{array}{ccc}f_{11} & \cdots & f_{1 n} \\ \vdots & & \vdots \\ f_{n 1} & \cdots & f_{n n}\end{array}\right)$ 为 $f$ 的 Hessian 矩阵．若 $\displaystyle \vec{u}$ 为单位行向量，$\displaystyle \vec{u}^{\prime}$ 表示 $\displaystyle \vec{u}$ 的转置，判断 $\displaystyle \vec{u} H \vec{u}^{\prime}$ 与 $f$ 沿 $\displaystyle \vec{u}$ 的二阶方向导数的关系并加以证明．

十．（15 分）（1）计算 $$ \int_{\overrightarrow{A B C}}\left(x^{2}+10 x y+y^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(5 x^{2}+5 x y\right) \mathrm{d} y $$ 其中 $\displaystyle A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2)$ ． （2）设 $$ g(x, y, z)=\frac{1}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{1}{2}}} $$ 计算 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial g}{\partial \vec{n}} \mathrm{~d} S$ ，其中 $S$ 为以原点为中心的任一球面，$\displaystyle \vec{n}$ 为 $S$ 的单位外法向量，$\displaystyle \frac{\partial g}{\partial \vec{n}}$ 为 $g$ 沿 $\displaystyle \vec{n}$ 的方向导数． （3）设 $$ \vec{F}(x, y, z)=\frac{-y \vec{i}+x \vec{j}}{x^{2}+y^{2}} $$ 在除 $z$ 轴外均有定义。计算 $\displaystyle \int_{C} \vec{F} \cdot \mathrm{~d} \vec{r}$ ，其中 $\displaystyle \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}, C$ 为以 $z$ 轴上点为圆心的平行于 $\displaystyle x o y$ 平面的圆周，从 $z$ 轴上方无穷远处看 $C$ 为逆时针方向。

1．刑断下列命题是否正确，正确请给出证星，错识请给出反例。 （1）设而数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有定义，那么存在 $\displaystyle x_{0} \in(a, b)$ 与 $\displaystyle c>0$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在令域 $\displaystyle B\left(x_{0}, c\right)$ 上有界。 （2）数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 对任意 $\displaystyle p>0$ 都们 $\displaystyle \left|x_{n+p}-x_{n}\right| \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$ ，服么 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 Cauchy 列。 （3）如果 $\displaystyle \int_{0}^{1} f^{1}(x) \mathrm{d} x=0$ ，开么 $\displaystyle f(x)=0(0 \leqslant x \leqslant 1)$ 。 （4）如果 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mu_{1}}{\tan (1 / n)}=0$ ，那么级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 收放。 （5）对于二元的数 $\displaystyle f(x, y)$ ，它在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{b}\right)$ 存在任意方向的方向导数，肌么 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{b}\right)$ 可欲。

9．级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1^{n}+2^{n}+\cdots+10^{n}}{n(\ln n)^{2}} e^{n x}$ 的一致收敛区域为 $\_\_\_\_$ .

10．设 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 求（1）$\displaystyle f(x, y)$ 偏导数； （2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的方向导数； （3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处是否可微．

11．（1）叙述反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{\infty} f(x, y) g(x, y) \mathrm{d} x$ 关于 $y$ 在区间 $I$ 的 Abel 判别法． （2）讨论积分 $$ \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (2 x)}{x+y} e^{-x y} \mathrm{~d} x $$ 在 $\displaystyle y \in[0, b]$ 上是否一致收敛．

四．（12 分）设 $$ f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 证明：$\displaystyle f(x, y)$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处连续，沿任何方向的方向导数存在，但不可微．

7．计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\frac{n}{2}} \cos ^{n} x d x$ ．

七．（本题满分 15 分）设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ． 讨论下列问题： （1）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的连续性； （2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的方向导数； （3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 的可微性．

1．对数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任意两个子列 $\left\{a_{n_{k}}\right\}$ 与 $\left\{a_{m_{k}}\right\}$ 均有 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left(a_{n_{k}}-a_{m_{k}}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。

2．如果数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫。

1．若对任意的 $N$ ，总存在 $\varepsilon>0$ ，当 $n>N$ 时，有 $\left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ 成立，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a$ ．

9．（12 分）讨论函数 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}y \sin \frac{1}{x^{2}+y^{2}},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点的连续性，偏导数与方向导数的存在性．

9．已知 $$ f(x, y)= \begin{cases}x-y+\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases} $$ 求 $\displaystyle f(x, y)$ 偏导存在可微性连续性（？？？），$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点沿方向 $\displaystyle \mathbf{l}=(\cos \theta, \sin \theta)$ 的方向导数．

四、（15 分）将 $\displaystyle f(x)=\frac{\pi-x}{2}$ 任 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 内展成傅立叶级数。 ．万、（15分）设 $\displaystyle f=\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ ，求： $\displaystyle \operatorname{div}(\operatorname{grad} f)$ ．

1．（10 分）设 $f$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上的连续函数，且 $f$ 在原点沿任意方向的方向导数存在．问：$f$ 在原点是否一定可微？若可微，给出证明，若不可微，给出反例．

五．（1）已知 $\displaystyle f(x)=x+y+z, P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为单位球上一点，求 $f$ 在 $\displaystyle P_{0}$ 处沿外法方向的方向导数． （2）上述方向导数最大值在何处取到．

9．（15 分）设 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中一闭区域，$\displaystyle \Sigma$ 为其边界，且分段光滑，$\displaystyle u, v$ 有连续的二阶偏导数，证明： $$ \iiint_{\Omega} v \Delta u \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\iint_{\Sigma} v \frac{\partial u}{\partial n} \mathrm{~d} S-\iiint_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\displaystyle \Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}, \frac{\partial u}{\partial n}$ 为 $u$ 沿曲面 $\displaystyle \Sigma$ 外法线方向的方向导数，$\displaystyle \nabla u, \nabla v$ 为 $\displaystyle u, v$ 的梯度．

七、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，证明 （1）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处任意方向的方向导数都存在； （2）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微。

2．用等价无穷小替换计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cos 2 x \cos 3 x}{1-\cos x}$ 。

七、设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，证明 （1）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处任意方向的方向导数都存在； （2）．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处不可微．（15分）

2． $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

2、用闭区间套定理证明确界原理．

三．（ 15 分）设 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{\sin (x y)}{y}, & y \neq 0 \\ 0, & y=0\end{cases} $$ 判断 $f$ 在原点 $\displaystyle (0,0)$ 处是否连续，可微？方向导数是否存在？