级数-其他

6．（15 分）设 $n$ 为正整数，$\displaystyle x, y>0$ ，用条件极值方法证明 $\displaystyle \frac{x^{n}+y^{n}}{2} \geq\left(\frac{x+y}{2}\right)^{n}$

8、（15分）抛物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z$ 被截面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一个椭圆，求这个椭圆到原点的最长与最短距离．

12．求原点到球物面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4 z$ 与椭圆柱面 $\displaystyle x^{2}+x y+y^{2}=4$ 上的交线上的最近、最远距离。

三、求 $\displaystyle 2 x-y=1$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的交线上的点到原点的最近距离．

4、 $x+y+z+1=0$ 到椭球 $18 x^{2}+9 y^{2}+3 z^{2}=1$ 最近距离 $d=$ $\_\_\_\_$ ．

五、（15 分）旋转抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一椭园，求原点到这椭园的最长与最短距离。

五、（15 分）旋转抛物面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 截成一椭园，求原点到这椭园的最长与最短距离。