多元函数微分-偏导与全微分

7、（15 分）求重积分 $\displaystyle I=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(e^{y}+e^{-y}\right) \cos x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

3．求证 $y=x^{a}$ 在 $[1,+\infty)$ 上一致连续，其中 $0<a<1$ ．

6、求三重积分 $\displaystyle I=\iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 是直线 $\displaystyle z=y, x=0$ 绕 $z$ 轴旋转所得曲面与 $\displaystyle z=1$ 围成的区域。

2、函数 $f(x)=\frac{3 x^{3}+4}{x^{2}-2 x}$ 的渐近线为 $\_\_\_\_$ ．

17、设 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos (2 x y) \mathrm{d} x$ ，求 $I(y)$ 。

七．（15 分）计算三重积分 $\displaystyle I=\iiint_{r<10}[r] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}},[r]$ 表示不超过 $r$ 的最大整数．

九．（10分）计算二重积分 $$ \iint_{D}(x \sin \alpha-y \cos \alpha)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 这里 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1\right., a>0, b>0\right\}, \alpha$ 为常数．

五、（15 分）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leq x \leq 1 \\ 0, \text { 其它 }\end{array}, D\right.$ 为 xoy 面，求二重积分 $$ I=\iint_{D} f(y) f(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$

四、（15分）设 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，求 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ．

3．计算重积分 $\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由椭圆 $9 x^{2}+y^{2}=1$ 所围成．

十二，（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{s}(x-y-z) d y d z+(y-z-x) d x d z+(z-x-y) d x d y$ ，其中， S为 $\displaystyle |x-y-z|+|y-z-x|+|z-x-y|=1$ 的表面并取外侧．

十二，（15 分 ）若 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle (x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=1$ 的 外 表 面，计 算 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$.

十二，（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{d y d z}{x}+\frac{d z d x}{y}+\frac{d x d y}{z}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的外表面．

十二，（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle |x|+|y|+|z|=1$ 的表面．

十二，（15 分）求 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S-\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d S$ ，其中：$S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的表面，$\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle |x|+|y|+|z|=1$ 的表面

9．利用二重积分证．明：概率积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} d x=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ．（15 分）

九，（15 分）计算 $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}\right) d V, \Omega$ 为 $\displaystyle y o z$ 平面上曲线 $\displaystyle y^{2}=2 z$ 绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面与 $\displaystyle z=2, z=8$ 所围成的区域．

四、（15 分）计算积分 $\displaystyle I=\iint_{D} \frac{2 x}{y^{2}+x y^{3}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $\displaystyle x y=1, x y=3, y^{2}=x, y^{2}=3 x^{2}$ 所围成的有界闭区域。

六．（1）讨论 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{x^{m} \ln (1+x)}{1+x^{n}} d x,(n \geq 0)$ 收玫性． （2）计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x} \frac{\sin b x-\sin a x}{x} d x(b>a>0)$ ． （3）计算积分 $\displaystyle \iint_{S} x d y d z+y d z d x+z d x d y, S$ 是上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 的外侧．

八．（15分）应用高斯公式计算三重积分 $$ \iiint_{V}(x y+y z+z x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $V$ 是由 $\displaystyle x \geq 0, y \geq 0,0 \leq z \leq 1$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 1$ 所确定的空间区域．

十．（15 分）1．设 $C$ 单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为逆时针方向，计算积分： $$ \int_{C}\left(\sqrt{1+x^{2}}-y \mathrm{e}^{x y}+3 y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-x \mathrm{e}^{x y}+\ln \left(1+y^{4}\right)\right) \mathrm{d} y $$ 2．计算 $$ \iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面． 3．计算 $$ \int_{C}(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z $$ 其中 $C$ 为依参数 $t$ 增大的方向通过的曲线 $\displaystyle x=\sin ^{2010} t, y=(2 \sin t \cos t)^{1005}, z=\cos ^{2010} t, t \in[0,2 \pi]$ ．

十．（15分）（1）求 $$ \iint_{Z} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+4 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $Z$ 为 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而得； （2）求 $$ \oint(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z $$ $\displaystyle L=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 ; \\ x-y+z=2 .\end{array}\right.$ 逆时针方向为正．

九．（20分）（1）求 $$ \iint_{Z} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle Z: z=\mathrm{e}^{y}$ 绕 $z$ 轴旋转而得． （2）求 $$ \int_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z $$ 其中 $L$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $x$ 轴正向看去，方向为逆时针．

10．在不同的 $S$ 下计算． $$ \iint_{S} \frac{x d y d z+y d z d x+z d x d y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3 / 2}} . $$ （1）$S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}(c>0)$ ； （2）$S$ 为任意不包含原点的闭曲面； （3）$S$ 为任㴔包含原点的闭曲面．

9．计第 $$ \lim _{t \rightarrow 0+} \frac{1}{t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} C t^{2}} \sin \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d x d y d z $$

10．计算： （1）$\displaystyle \oint_{C} \frac{y}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $C$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，取逆时针方向． （2） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是圆雉 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(0 \leq z \leq 2)$的外侧。 （3）$\displaystyle \oint_{C} y^{3} \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} y+x^{3} \mathrm{~d} z$ ，其中 $C$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向看为逆时针方向。

5．已知二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的两个偏导数存在，则二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．

9、计算二重积分 $\displaystyle I=\iint_{x^{2}-x y+y^{2} \leq 2}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

10．如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{p \ln n}{2 n}\right)^{n}$ 是收玫的，则 $p$ 的取值范围是 $\_\_\_\_$ ．

七．求 $\displaystyle I=\iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}+2\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a x, a>0$ ．

五．已知平面区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2 y\right\}$ ，计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}(x+y)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

三．（15 分）设 $\displaystyle \Omega$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3$ 和拋物面 $\displaystyle 2 z=x^{2}+y^{2}$ 所围成的区域，计算重积分 $$ \iiint_{\Omega}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$

六．（10分）计算重积分 $\displaystyle \iint_{D} x y^{2} d x d y$ ，其中 $D$ 为抛物线 $\displaystyle y^{2}=2 p x$ 和直线 $\displaystyle x=\frac{p}{2}(p>0)$ 所围的区域．

3．（15 分）计算重积分 $\displaystyle \iiint_{V} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle V=\left\{(x, y, z) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1\right.\right\}$ ．

6．$\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{\cdots}}}}=$ $\_\_\_\_$ （用具体实数表示）．

4．设 $\Gamma$ 是以 $(1,0)$ 为中心，$r$ 为半径的圆周 $(r \neq 1)$ ，取逆时针方向为正向．求第二型曲线积分 $$ I=\oint_{\Gamma} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+y^{2}} $$

4．函数 $z=x y$ 在点 $\_\_\_\_$处的法线与平面 $x+3 y+z+9=0$ 垂直．

2、 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x} \int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{\cos 2 t}{t^{2}} d t=$ $\_\_\_\_$。

14、证明 Dini 定理：$K$ 是一个非空紧集，函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $K$ 上连续，函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调递减收敛于 0 ，证明函数列 $f_{n}(x)$ 在 $K$ 上一致收敛于 $f(x)=0$ ．

4、计算二重积分 $\displaystyle \mathbf{I}=\iint_{D}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $$ D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq x+y\right\} $$

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{(n+1)(n+2) \cdots(n+n)}}{n}$ ．

7．计算 $=$ 重积分 $\iint_{D} \frac{1+x^{2021} y^{2022}}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1, y \geqslant 0\right\}$ （ 10 分）设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足条件：$x_{n}>0, x_{n}+\frac{1}{4 x_{n+1}}<1\left(n \in \mathbb{Z}^{+}\right)$， 证明：$\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求其极限值。

6、求二重积分 $I=\iint_{D} \frac{d x d y}{\sqrt{2 a-x}}(a>0), D$ 是 $(x-a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$ 与坐标轴相切的较短弧与坐标轴围成区域。

4、 $u=\ln (x+y)$ ，求 $\left.d u\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$ ．

6． $\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos x-\cos 2 x}{x^{2}} d x=$ $\_\_\_\_$。

14．求 $\displaystyle \iint_{L} y(x-z) d y d z+x^{2} d x d z+x(z-y) d x d y$ ，且 $\displaystyle L: 0 \leq y \leq a, 0 \leq z \leq a, 0 \leq x \leq a$所围成的曲线．

5．$\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d V$ ，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$

7．计算： $$ \iint_{D} \frac{d x d y}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}}, \quad D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} $$

7．（20 分）设 $V$ 是由球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=2 a z$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a z$ 所围立体 $\displaystyle (a>0)$ ，计算 $\displaystyle \iiint_{V} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ．

3．若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 存在原函数．

四．设 D 是由 $\displaystyle y=x^{3}, y=-c^{3}, x=-c(c \neq 0)$ 围成的积分区域，且 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上的连续函数，求二重积分 $\displaystyle \iint_{D} y(1+f(1+|\sin x|+\cos y)) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

3．$\displaystyle I=\iiint_{\Omega} x^{2} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x d y d z, ~ \Omega: z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 和 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 围成的有界区域。

7．计算三重积分 $$ I=\iiint_{V} y \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=1, y=-\sqrt{x^{2}+z^{2}}$ 及 $\displaystyle y=1$ 所围成的区域．

1．设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^{2}-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程．

8、求 $\displaystyle \iiint_{\Omega}|x y| z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 是由 $$ x+z=1, x-z=1, x+y=1, x-y=1, z=0 $$ 围成的区域。

七．（15分）计算三重积分 $$ \iiint_{V} z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq a^{2}, x^{2}+y^{2} \leq a x, a>0$ ．

1．计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{-}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

2．求 $\iint_{D} e^{-\left(x^{2}+v^{2}\right)} d x d y=$ $\_\_\_\_$ ，$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$

3、正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ ，证明：当 $\lim _{n+\infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1} b_{n}}-\frac{1}{b_{n+1}}>0$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．

2．（20 分）判断下列级数及反常积分的玫散性． （a）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{1}{n^{q}}, q \geqslant 0$ ． （b） $\int_{3}^{+\infty} \frac{\ln x}{(x-\sqrt{x}+2)^{q}} d x, q>0$ ．

4． $\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sqrt{2} x)-e^{-x^{2}}+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$ ．

十一．求重积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega} \sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为 $\displaystyle \left\{(x, y, z) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1\right.\right\}, a, b, c>0$ ．

十二．求重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{4}}{x^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}=1, \sqrt{x}+\sqrt{y}=2$ 与 $\displaystyle y=x$ 及 $x$ 轴所围区域．

三、（20 分）计算 $\displaystyle \mathrm{J}=\iint_{S} x d y d z+y d z d x+z d x d y$ ，其中曲面 S ：由球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x$ 相交所得球面部分，球面外侧为正向。

三、（30分，每小题10分）计算下列积分 （1） $\displaystyle \int_{0}^{a} x^{2} \sqrt{\frac{a-x}{a+x}} d x$（其中 $\displaystyle a>0$ ）。 （2）$\displaystyle I=\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y$ ，其中 $D$ 是以 $\displaystyle y=x, y=x+a, y=a$ 和 $\displaystyle y=3 a(a>0)$ 为边的平行四边形． （3）$\displaystyle I=\iiint_{V} \ln \left(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\right) d x d y d z$ ，其中 $V$ 是椭球体 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ 。

八、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为圆锥曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=0, z=2$所截部分的外侧。

八、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为圆锥曲面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=0, z=2$所截部分的外侧．

六、计算下列积分（每小题 10 分，共 3 小题，共 30 分） （1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ； （2） $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} d x \quad(b>a>0)$ ； （3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ ．

六、计算下列积分（每小题 10 分，共 30 分） （1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ； （2） $\displaystyle \int_{0}^{2}\left[e^{x}\right] d x$（注［。］表取整函数）； （3） $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leq 1$ ．

六、计算下列积分（每小题 15 分，共 30 分） （1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ； （2）求 $\displaystyle \iint_{\mathrm{S}} \frac{d S}{z}$ ，其中 S 是球面 $\displaystyle \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle \mathrm{z}=\mathrm{h}(0<\mathrm{h}<a)$ 所截的顶部。

六、计算下列积分（每小题 15 分，共 30 分） （1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ； （2） $\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{1-x^{2}-y^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}\right)^{\frac{1}{2}} d x d y$ ，其中 $D$ 由 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$ 所围成。

六、计算下列积分（每小题 10 分，共 30 分） （1） $\displaystyle \int \frac{\sin x \cos ^{3} x}{1+\sin ^{2} x} d x$ ； （2） $\displaystyle \int_{0}^{4}\left[e^{x}\right] d x$（注［。］表取整函数）； （3）$\displaystyle I=\iint_{D} \sin x^{2} \cos y^{2} d x d y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ．

八、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{S} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$ ，其中 $S$ 为球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ ，并取外侧为正。

1．设 $L$ 为上半圆周 $x^{2}+y^{2}=1, y \geq 0$ 。求 $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) d s$ 。

2．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ ．

3．设 $a_{n} \geq 0(n=1,2,3$,$) ，证明：级数 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right)\left(1+a_{n}\right)}$ 收玫。

2．证明无穷积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛。

6、当 $x \in(0, \pi)$ 时，证明： $4(1-\cos x)<x(x+\sin x)$ ．

6．计算极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow \infty \\ y \rightarrow \infty}} \frac{2 x-3 y}{x^{2}-2 x y+3 y^{2}}$ ．

11．（15 分）计算积分 $\displaystyle I=\iiint_{V} \frac{\mathrm{~d} V}{\rho^{2}}, \rho$ 为点 $\displaystyle (x, y, z)$ 到 $x$ 轴的距离，$V$ 表示一个棱台，它的顶点坐标为 $$ A(0,0,1), B(0,1,1), C(1,1,1), D(0,0,2), E(0,2,2), F(2,2,2) . $$

12．（15 分）求 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, \Sigma$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}, R>0$ ，方向取上侧．

10、计算 $\displaystyle \iint_{D}|\sin (x-y)| d x d y, D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq y \leq 2 \pi\}$ ．

12、计算 $\displaystyle \iint_{S}(x-y) d x d y+x(y-z) d y d z, S$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 和 $\displaystyle z=0, z=3$ 围成立体的外侧。

7．设 $$ f(x)= \begin{cases}p, & x=\frac{p}{q}\left(p \in \mathbb{N}^{+}, q \in \mathbb{Z} \backslash\{0\}, p, q \text { 互素 }\right), \\ 1, & x=0, \\ 0, & x \text { 是无理数. }\end{cases} $$ 证明：$f(x)$ 在任意区间上无界．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x^{\frac{1}{x}}-1\right)^{\frac{1}{\ln x}}$ ．

6．设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，且 $f(x) \geq \alpha>0$ ．证明： $\ln f(x)$ 也在 $[a, b]$ 上可积．

7．计算 $\iiint_{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $D$ 是两个球 $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq R^{2}, x^{2}+y^{2}+(z-R)^{2} \leq R^{2}$ 的公共部分。

1．$f(x)$ 二阶可导， $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ （1）求 $x_{n} \in(n, n+1)$ ，证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)=0$ ． （2）存在 $\xi$ ，有 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．（类似题讲过）

5．证明曲面 $F\left(\frac{z}{y}, \frac{x}{z}, \frac{y}{x}\right)=0$ 的所有切平面恒过一定点，其中 $F$ 有连续的偏导数．

4．求重积分 $\iint_{D} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y, D$ 为 $y=x, y=\frac{x}{2}, x=2$ 所围成的区域．

6．（15 分）计算 $$ \iint_{\Sigma} \frac{(x+y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+2 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}} $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 的外侧．

10．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，当 $x$ 个 $+\infty$ 时，$y=2 x$ 是 $f(x)$ 的渐近线．证明：$f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续．

6、计算三重积分 $\displaystyle I=\iiint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega$ 为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 围成的区域．

八、（20 分）计算 $\displaystyle \iint_{D} \max \{x, y\} \mathrm{e}^{-x^{2}-y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $$ D=\{(x, y) \mid x \geq 0, y \geq 0\} $$

八、求二重积分 $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+x y\right)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $$ D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2 x\right\} $$

六、计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} \frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{4 a^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right)}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是 $\displaystyle y=-x$ 与 $\displaystyle x=\sqrt{a^{2}-(y+a)^{2}}$ 所围成的区域。

5．（20 分）计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} r^{2} \sin \theta \sqrt{1-r^{2} \cos 2 \theta} \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{0 \leq r \leq \sec \theta, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\right\}$ ．

6．计算二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D}|x-y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq a x\right\}, a>0$ ．

7、计算二重积分 $\displaystyle I=\iint_{x^{2}+y^{2} \leq \frac{3}{16}} \min \left\{\sqrt{\frac{3}{16}-x^{2}-y^{2}}, 2\left(x^{2}+y^{2}\right)\right\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

5．已知二元函数 $$ f(x, y)= \begin{cases}e^{-(x+y)}, & x y>0 \\ 1, & x y \leq 0\end{cases} $$ 积分区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y)|0 \leq|x|+|y| \leq 1\}\right.$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

4、已知 $D=\{(x, y): 0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 2 \pi\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D}(\sqrt{x}+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

九．（15 分）计算下列二质积分 $\displaystyle \iint_{j}|\cos (x+y)| d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $\displaystyle x+y=\pi \leq j$ 两坐标轴所围成的三向形区域。

2．证明函数级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 在 $(1,+\infty)$ 上非一致收敛。

九．（15 分）设 $\displaystyle F(t)=\iiint_{V} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $\displaystyle V: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}, f$ 是问微姠数，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ 。

1．计算 $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{5}{2}} d x d y d z$ ，其中 $V$ 是空间域 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 2 z$ 。

七．（15 分）计算 $$ I=\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ ．

5、叙述定积分与三重积分的定义及其几何意义或物理意义。它们的定义有什么共同点？并利用定义证明三重积分的线性性质。

10、（15 分）记作 $\displaystyle F(t)=\iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}, t>0} f\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ． 若 $f$ 可微，求 $\displaystyle F^{\prime}(t)$ ．

10．计算 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma} \frac{2 \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z}{x \cos ^{2} x}+\frac{\mathrm{d} z \mathrm{~d} x}{\cos ^{2} y}-\frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{z \cos ^{2} z}, \Sigma: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ，取外侧．

8．利用三重积分计算椭球体 $\displaystyle \Omega:(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2} \leq 1$ 的体积．

10、（15 分）求 $\displaystyle \iint_{S} x y z d x d y, S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 在 $\displaystyle x \geq 0, y \geq 0$ 部分并取球外侧．

7、（15 分）求 $\displaystyle \iint_{S} x y z d x d y, S$ 为 $\displaystyle x \geq 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ．

十三、（本题满分 10 分）计算 $\displaystyle I=\iiint_{V}(x+z) d x d y d z$ ，其中 $V$ 是由 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1$ 与 $\displaystyle z \geq 0$所围成。

十二、（本题满分 10 分）计算 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma} \frac{d S}{z}$ ，其中 $\displaystyle \sum$ 由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 被 $\displaystyle z=a(0<a<1)$ 所截．

10．其中 $L$ 为椭圆 $\displaystyle (A x+B y)^{2}+(C x+D y)^{2}=1$ ，取正方向且 $\displaystyle A D-B C \neq 0$ 。计算 $$ I=\iint_{S}(x+y-z) d y d z+[2 y+\sin (z+x)] d z d x+\left(3 z+e^{x+y}\right) d x d y $$ 其中 $S$ 为封闭曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面。

8、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d y$ 其中 $D$ 由 $\displaystyle x^{2}-y^{2}=1, x^{2}-y^{2}=9, x y=1, x y=3$ 所围成．

6．幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{2} x^{n}$ 的和函数为 $\_\_\_\_$ ．

3．设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ．记 $F(x)=\int_{a}^{b} f(t)|x-t| \mathrm{d} t$ ，证明 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上有唯一的极小值点．

1．设 $f(x)$ 在任意的 $[0, b](b>0)$ 上黎曼可积，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\alpha$ ，证明： $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} t \int_{0}^{+\infty} e^{-t x} f(x) d x=\alpha$ ．

2．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有界，在 $[a, b]$ 上只有 $\left\{x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 为不连续点，且 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．

6．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x,-1 \leqslant x \leqslant 2 ; \\ 0, \text { 其他．}\end{array}\right.$ 则 $\displaystyle \iint_{\mathbb{R}^{2}} f(x) f\left(x^{2}-y\right) d x d y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

四．计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的上半部分．

6．判断 $\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{\alpha}}\right)(\alpha>0)$ 的绝对收敛性，条件收敛性，发散性．

5．（15 分）（1）叙述定义： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ ． （2）叙述定义： $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x) \neq A$ ．

2．$f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 在 $(0,0)$ 是否连续？（8分）

8．计算三重积分 $\displaystyle \iiint_{V}\left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y d z$ ，其中 $V$ 是由曲面 $\displaystyle z=2\left(x^{2}+y^{2}\right), z=4$ 所周成 区域。

6、设 $\Omega \subset \mathbb{R}^{2}$ 为非空的连通开集，$f: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 为连续函数，若 $$ f(x)=\frac{1}{\pi r^{2}} \int_{B_{r}(x)} f(y) \mathrm{d} y, \forall \overline{B_{r}(x)} \subset \Omega $$ 这里 $B_{r}(x) \underline{\underline{\Delta}}\left\{y \in \mathbb{R}^{2}:\|y-x\|<r, r>0\right\}$ ，证明：若 $f$ 在 $\Omega$ 上有最大值，则 $f$ 在 $\Omega$ 上为常值函数．

5．（12 分）计算 $$ \iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} $$ 其中 $\displaystyle \Sigma: 1-\frac{z}{3}=\frac{(x-2)^{2}}{25}+\frac{(y-1)^{2}}{16}(z \geq 0)$ ，方向取上侧．

四．（12 分）求二重积分 $$ \iint_{D} \sin x \cdot \sin y \cdot \max \{x, y\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq \pi\}$ ．

十、计算三重积分 $\displaystyle I=\iiint_{V} x \cdot e^{y+z} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $V$ 是由曲面 $\displaystyle y=x^{2}$ 和平面 $\displaystyle y=x, x+y+z=2$ 及 $\displaystyle z=0$ 围成的区域．

7、若积分区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y): x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}$ ，求二重积分 $$ I=\iint_{D}|x-y+2| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$

8、求 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma}(x-y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}-x^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是雉面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=z^{2},(a, b>0)$ 在 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=1$ 之间的部分，方向取下侧．

四．（15 分）计算三重积分 $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}| | x|+|y|+|z| \leq 1\}\right.$ ．

4、设平面 $\displaystyle x+y+z=1$ 在球 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1$ 内部的平面部分为 $S$ ，计算 $\displaystyle \iint_{S}\left(1-x^{2}-y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} S$ ．

八．设 $\displaystyle \Sigma$ 是单位球面 $\displaystyle \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\}$ ，记 $\displaystyle I_{p}=\iint_{\Sigma}(x+y+z)^{p} \mathrm{~d} S, p$ 是正整数，求 $\displaystyle I_{1}, I_{2}$ ．九．解答如下问题：

8、设 $V$ 是由 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 所围成的闭区域，则 $\iint\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z=$ $\_\_\_\_$ ．

七、（11 分）计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D}(x+y) d x d y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=x+y$ 所围成的区域。

9．计算 $$ I=\iint_{\Sigma} 4 x z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-2 y z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(1-z^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 是由 $\displaystyle z=e^{y}(0 \leq y \leq a)$ 绕 $z$ 轴旋转一周生成的曲面，取下侧．

六．计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} x y d x d y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=x+y$ 所围成的区域。（15 分）

八、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{S}(x+y-z) d y d z+(2 y+\cos (z-x)) d z d x+\left(3 z+e^{x-y}\right) d x d y$ 。其中 S 为曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的表面并取外侧．

四、计算积分．（15 分） $$ \iint_{S}(x+1) z^{2} d y d z+\left(x^{2} y-2\right) d z d x+\left(x y+y^{2} z\right) d x d y $$ 其中 $S$ 为球面 $\displaystyle z^{2}+x^{2}+y^{2}=3^{2}$ 的上半部并选取外侧。

十一、（12 分）计算积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x-1}{r^{3}} d y d z+\frac{y-2}{r^{3}} d z d x+\frac{z-3}{r^{3}} d x d y$ 。其中 $S$ 为长方体 $\displaystyle V=\{(x, y, z) \mid x \in[-2,2], y \in[-3,3], z \in[-4,4]\}$ 的表面的外侧， $\displaystyle r=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z-3)^{2}}$ ．

五、计算积分．（20 分） 1. $$ \iint_{D} e^{v(x, y)} d x d y $$ 其中 $$ v(x, y)=\frac{x-y}{x+y} $$ D 是由 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域． 2. $$ \int_{A B}(\sin y+y) d x+x \cos y d y $$ 其中 $\displaystyle A B$ 为由 $\displaystyle (0,0)$ 到 $\displaystyle (3,0)$ 经曲线 $\displaystyle y=x(3-x)$ 上半部的路线．

八、（15 分）求 $$ \iint_{S}\left(y^{2}-x\right) d y d z+\left(z^{2}-y\right) d z d x+\left(x^{2}-z\right) d x d y $$ 其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle z=2-x^{2}-y^{2}(1 \leq z \leq 2)$ 的上侧．

九、（15 分）计算 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{x d y d z+y d z d x+z d x d y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，$\displaystyle \Sigma$ 为曲面： $\displaystyle 1-\frac{z}{5}=\frac{(x-2)^{2}}{16}+\frac{(y-1)^{2}}{9}$ ， $\displaystyle z \geq 0$ ，方向取上侧．

3．求重积分 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y, & y \leq e^{x}, \\ x, & y>e^{x} .\end{array} \quad D:[0,1] \times[0, e]\right.$ ．

4．求定积分 $\int_{0}^{\pi} e^{x} \sin x d x$ ．

2．给定 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in(a, b) \times(c, d)$ ，求 $z=F(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}, F\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$ 处的切平面方程．

1．函数 $f(x)=x+(\sin x)^{2}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上一致连续；

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi}\left(\frac{1}{2 \sin \frac{x}{2}}-\frac{1}{x}\right) \sin \left(n+\frac{1}{2}\right) x \mathrm{~d} x=0$ ；

3．计算积分 $\iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D:\{(x, y) \mid 0 \leq x+y \leq \pi, 0 \leq x-y \leq \pi\}$ ．

5．计算积分 $\iint_{S} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $S$ 为方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(a>0, b>0, c>0)$ 所确定的曲面的上半部分（即 $z \geq 0$ 部分）的上侧．

1．计算题 （1）计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\left(x^{3}-x^{2}+\frac{x}{2}\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^{6}+1}\right]$ ． （2）将 $\displaystyle f(x)=\sin x, x \in[0, \pi]$ 展开成余弦级数． （3）计算曲线 $\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$ （4）计算二重积分 $\displaystyle \iint \mathrm{e}^{\frac{y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $D$ 为 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域。 （5）计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，方向外侧。

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ 为二阶连续可微函数，且 $\displaystyle \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=x^{2} y^{2}$ ，求重积分 $$ \iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial x}+\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$

4、求二重积分 $\displaystyle I=\iint_{D}(x+y) \sin (x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $$ D=\{(x, y): 0 \leq x+y \leq \pi, 0 \leq x-y \leq \pi\} $$