多元函数微分-方向导数与梯度

四．计算第二类曲线积分 $$ \int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z $$ 其中 $L$ 是平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正方向往下看去，$L$ 是顺时针方向．

四、（25分）计算曲线积分 $$ I=\int_{L}\left(x^{3} y+e^{y}\right) \mathrm{d} x+\left(x y^{3}+5 x^{3} y^{2}+x e^{y}\right) \mathrm{d} y $$ 其中 $L$ 为逆时针方向椭圆 $\displaystyle 4 x^{2}+9 y^{2}=36$ ．

2、设 $L$ 为闭区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y): 0 \leq x \leq 1, x^{3} \leq y \leq \sqrt[3]{x}\right\}$ 的边界，取逆时针方向，计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L}\left(x^{3} y+e^{y}+\ln \left(e^{x}+e^{y}\right)\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-2 y+x y^{3}+x e^{y}\right) \mathrm{d} y$ ．

9．求曲面积分 $I=\iint_{x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}} \frac{d S}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+(z-h)^{2}}}$ ，其中 $h \neq R$

1．设 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}$ 是 $k$ 个正数，证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_{1}^{n}+a_{2}^{n}+\cdots+a_{k}^{n}}=\max \left(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{k}\right) $$ ．2．用一致连续的定义证明：若 $f, g$ 都在区间 $I$ 上一致连续，则 $f+g$ 在 $I$ 上也一致连续．

4、求 $\displaystyle y^{2}=2 p x$ 上一点，使得此点处的法线被抛物线截取的线段最短．

5、求曲线积分 $\displaystyle \int_{L} x y \mathrm{~d} s$ ，其中 $L$ 为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 在第 1 象限的部分．

13、证明：$f(x)=x^{2}$ 在 $[a, b]$ 上一致连续，在 $(-\infty,+\infty)$ 上不一致连续．

九．（10 分）设 $\displaystyle F(x), G(x)$ 连续可微，且 $\displaystyle F(0)=F(4), G(0)=G(4)$ ．区域 $D$ 由 $\displaystyle y=x, y=4 x, x y=1, x y=4$围成，其边界 $\displaystyle \partial D$ 取逆时针方向．计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{\partial D} \frac{F(x y)}{x} \mathrm{~d} x+\frac{G(x y)}{y} \mathrm{~d} y$ ．

八．设 $\displaystyle f(x)$ 是可导函数，对任意围绕原点一周的定向闭曲线 $L$ ，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{f(x)+4 y^{2}}$ 的值恒为常数 $A$ ，且 $\displaystyle f(1)=2$ ，求 $A$ 的值与 $\displaystyle f(x)$ ．

4、计算第一型曲线积分： $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 为螺旋线 $x=a \cos t, y=a \sin t, z=b t$ 上相应于 $t$ 从 0 到 $2 \pi$ 的一段弧．

三、计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} e^{x}(1-\cos y) \mathrm{d} x+e^{x}(\sin y-y) \mathrm{d} y$ ，其中 $\displaystyle L: y=\sin x$ 在 $\displaystyle x \in[0, \pi]$ 的一段，方向由 $\displaystyle (\pi, 0)$ 指向 $\displaystyle (0,0)$ ．

二．（15 分）计算曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{16 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle \Gamma$ 为圆周 $\displaystyle (x-2)^{2}+y^{2}=9$ ，取逆时针方向．

15．已知 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$ ． （1）若 $A>0$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ． （2）若 $A=0$ ，证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=0$ ．

（15）十二、求 $\displaystyle \oint_{x^{2}+y^{2}=1} x y^{2} d y-y x^{2} d x$ ．

10．设 $D$ 为单连通闭区域，计算 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为 $D$ 内任一按段光滑封闭曲线．（15 分）

7．设 $\displaystyle u=2 x+y, v=x-y, L$ 为平面曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=2022$ ，取逆时针方向，求 $\displaystyle \oint_{L} \frac{u d v-v d u}{u^{2}+v^{2}}$ ．

8．确定正数 $\displaystyle \lambda$ ，使得曲面 $\displaystyle x y z=\lambda$ 与椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在某一点相切（即在该点有公共切平面）．

十．（15 分） 1 ．求 $\displaystyle f(x)$ 使曲线积分 $$ \int_{\overparen{A B}}(\sin x-f(x)) \frac{y}{x} \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} y $$ 与路径无关，这里 $\displaystyle \widehat{A B}$ 不通过 $y$ 轴． 2．计算 $$ \iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}} $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧的 $\displaystyle z \geqslant 0$ 部分． 3．计算 $$ \int_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z $$ 其中 $\displaystyle \Gamma$ 为曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos 2008 \pi t ; \\ y=\cos 2008 \pi t ; \\ z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1} .\end{array} \quad t \in[0,1]\right.$ ，从 $\displaystyle (1,1,0)$ 到 $\displaystyle (1,1,1)$ 的部分．

十．（15分）（1）求 $$ \iint_{Z} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+4 x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $Z$ 为 $\displaystyle x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而得； （2）求 $$ \oint(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z $$ $\displaystyle L=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=1 ; \\ x-y+z=2 .\end{array}\right.$ 逆时针方向为正．

4．$\left\{u_{n}\right\}$ 是非负数列且 $u_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$ ，则 $\sum u_{n}$ 一定收玫．

十．（1）格林公式； （2）高斯公式； （3）斯托克斯公式． 同以前真题．

九、解答如下问题： （1）设 $\displaystyle u=u(x, y)$ 由方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}u=f(x, y, z, t) \\ y+\sin z-2 t=0 \\ 2 z+\cos t=0\end{array}\right.$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}$. （2）设 $\displaystyle \Gamma$ 是 $\displaystyle \mathbb{R}^{2}$ 上没有自交点的曲线，方向取逆时针，求曲线积分 $$ \oint_{\Gamma} \frac{3 x \mathrm{~d} y-3 y \mathrm{~d} x}{3 x^{2}+5 y^{2}} . $$ （3）设 $\displaystyle \Sigma=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}=z^{2}, 0 \leq z \leq 2\right\}$ ，方向朝外，求 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ． （4）设 $\displaystyle \Sigma: x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0,4 x+2 y+\sqrt{5} z=1$ ，方向朝上．求力 $\displaystyle \vec{F}=\left(-z^{2},-x^{2},-y^{2}\right)$ 绕 $\displaystyle \partial \Sigma$ 一周所做的功，$\displaystyle \partial \Sigma$ 表示 $\displaystyle \Sigma$ 的边界，与 $\displaystyle \Sigma$ 协调定向，方向为逆时针．

10．计算： （1）$\displaystyle \oint_{C} \frac{y}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x-\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，其中 $C$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，取逆时针方向． （2） $\displaystyle \iint_{S}(y-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z-x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是圆雉 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(0 \leq z \leq 2)$的外侧。 （3）$\displaystyle \oint_{C} y^{3} \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} y+x^{3} \mathrm{~d} z$ ，其中 $C$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向看为逆时针方向。

六．计算第二型曲线积分 $$ I=\int_{L} x y \mathrm{~d} x+(x-y) \mathrm{d} y+x^{2} \mathrm{~d} z . $$ 其中 $L$ 为螺旋线：$\displaystyle x=a \cos t, y=a \sin t, z=b t$ ，从 $\displaystyle t=0$ 到 $\displaystyle t=\pi, a, b$ 为常数．

1．若函数 $f(x)$ 为区间 $[a, b]$ 上只有有限个间断点的有界函数，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积．

1．函数 $f(x)=(x-1) x^{\frac{2}{3}}$ 的极大值是 $\_\_\_\_$ ．

8．计算曲线积分 $$ \oint_{L}\left(\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}+2 y\right) \mathrm{d} x+\left(\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+3 y\right) \mathrm{d} y . $$ 其中曲线 $L$ 的方程为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ ，方向为逆时针方向．

3．设 $\displaystyle a>0$ ，计算曲线积分 $$ I=\int_{L}\left(e^{x} \sin y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+e^{x} \cos y \mathrm{~d} y $$ $L$ 是从 $\displaystyle A(a, 0)$ 到 $\displaystyle O(0,0)$ 的上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x$ ．

4．（10 分）已知曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \frac{1}{\varphi(x)+y^{2}}(x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x)=A$（常数），其中 $\displaystyle \varphi(x)$ 是可导函数且 $\displaystyle \varphi(1)=1 . L$ 是绕原点 $\displaystyle (0,0)$ 一周的任意正向闭曲线，试求 $\displaystyle \varphi(x)$ 及 $A$ ．

5．计算曲线积分 $$ \oint_{L}(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z . $$ 其中 $L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 与 $\displaystyle x-y+z=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看是顺时针方向．

4．已知 $\Sigma: x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=1$ 为椭球面，方向为椭球面外侧，计算第二型曲面积分 $$ I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} $$

1．已知 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-x)$ 的极限存在，证明： （1） $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x}=1$ ； （2）对 $\forall \lambda \in(0,1)$ ，存在 $\xi_{\lambda} \in \mathbb{R}$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_{\lambda}\right)=\lambda$ ．

1．设函数 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 上可导，且存在 $c \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(c)=0$ ．证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)-f(\xi)+f(a)=0$ ．

2．设函数 $f \in C^{1}[0,+\infty), f(0)>0$ 且 $f^{\prime}(x) \geq 0, x \in[0,+\infty)$ ．证明：若反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x$收玫，则反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛．

11．计算积分 $I(y)=\int_{0}^{+\infty} e^{-x^{2}} \cos 2 x y \mathrm{~d} x$ ，其中 $y \in \mathbb{R}$ ．

12．计算二重积分 $\iint_{D}\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D: x^{2}+y^{2}=4$ 与 $(x+1)^{2}+y^{2}=1$ 所围成的区域．

16．已知 $\lambda>0, \beta \in(0,1),\left\{a_{n}\right\}$ 为正数列，且满足 $$ \liminf _{n \rightarrow \infty} n^{\beta}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda $$ 证明：对任意的 $k>0$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{k} a_{n}=0$ ．

11．求第二类曲面积分 $\iint_{S} \frac{x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $S$ 为圆柱面 $x^{2}+y^{2}=1(-1 \leq z \leq 1)$ ，方向为外侧。

15、 $f(x)$ 是 $C^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ 上的连续可微函数，$\Omega$ 是光滑的简单闭区域，若 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0, $$ 则 $f$ 称为 $\Omega$ 上的调和函数． （1）证明： $\int_{\partial \Omega} \frac{\partial f}{\partial n} d s=\iint_{\Omega}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right) d \sigma$ ，其中 $n$ 是 $f$ 在 $\partial \Omega$ 上的单位外法向量． （2）荐 $f$ 是 $\Omega$ 上的调和函数，且二阶连续可微，证明： $$ f(x)=\frac{1}{2 \pi r} \int_{\partial B(x, r)} f(x) d s=\frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{H(x, r)} f(x) d \sigma $$ 其中 $B(x, r)$ 是任意闭球，$x \in \partial \Omega$ ．

10．计算曲线积分 $$ \oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z $$ 其中 $L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 与 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=4$ 的交线，从 $z$ 轴正向看为逆时针方向．（可能有误）

九、（15 分）求曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $L$ 从 $\displaystyle (1,0)$ 沿着上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 到 $\displaystyle (-1,0)$ ．

八．（12 分）设 $C$ 是单位圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ ，方向为逆时针，求积分 $$ \oint_{C} \frac{(x-y) \mathrm{d} x+(x+4 y) \mathrm{d} y}{x^{2}+4 y^{2}} . $$

六．计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x+y\left(x y+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right) d y$ ，其中 $L$ 为曲线 $\displaystyle y=\sin x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$ 按 $x$ 增大方向。 絮 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ ，证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ （2）方程 $\displaystyle f^{\prime}(x)+f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上存在两个实根。 入．设 立为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $\displaystyle z=1, z=2$ 之间的外侧表面，求曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{3} d y d z+y^{3} d x d z+z^{3} d x d y$ ．

5、计算曲面积分：$I=\iint_{\Sigma} e^{\sqrt{x}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Sigma$ 为拋物面 $x=y^{2}+z^{2}$ 夹在平面 $x=1$ 与平面 $x=2$ 之间的部分，取外侧．

12．求曲面 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=21$ 的平行于平面 $\displaystyle x+4 y+6 z=0$ 的切平面。

8．试计算： $$ \oint_{C} \frac{x d y-y d x}{x^{2}+y^{2}} $$ 其中 $C$ 是任意封闭曲线

8．求曲线积分 $\displaystyle \oint_{C} y \ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right) d x+x \ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right) d y$ ，其中 $C$ 是被积函数定义域内从 $\displaystyle (2,0)$ 到 $\displaystyle (0,2)$ 的逐段光滑曲线．

五．设立体区域 $\displaystyle \Omega$ 是由 $\displaystyle y o z$ 面曲线 $\displaystyle y^{2}+z^{4}-4 z^{2}=0, z \geq 0$ ，绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面和 $\displaystyle x o y$平面所围成的，点 $\displaystyle (x, y, z) \in \Omega$ 处的密度为 $\displaystyle u(x, y, z)=z$ ，求重心坐标．

5．$\displaystyle I=\oint_{L} x y z d x+\frac{1}{2} x^{2} d y+z d z, L$ 是曲面 $\displaystyle S: 2-z=x^{2}+y^{2}, z \geq 1$ 边界，方向与 $S$ 上侧成右手定则。

6．计算曲线积分 $$ I=\oint_{L} \frac{x}{x^{2}+y^{2}-2} \mathrm{~d} x+\frac{y}{x^{2}+y^{2}-2} \mathrm{~d} y . $$ 其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=4$ ，取逆时针方向．

1．设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^{2}-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程．

1、在空间曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x^{2}+y^{2}=z^{2}\end{array}\right.$ 上找一点，使得该点处的切线平行于平面 $\displaystyle \mathbf{x}+\mathbf{2} \mathbf{y}=\mathbf{0}$.

6、求 $\displaystyle \oint_{L} \frac{-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y}{x^{2}+4 y^{2}}$ ，其中 $L$ 是 $\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=r^{2},(r \neq 1)$ ，取正向．

九．（15 分）计算曲线积分 $$ \lim _{d(\Omega) \rightarrow 0} \frac{1}{S(\Omega)} \oint_{L}(\mathbf{F}, \mathbf{n}) \mathrm{d} s $$ 其中 $\displaystyle \Omega$ 是包含原点且由简单封闭的光滑曲线 $C$ 围成的区域，$\displaystyle d(\Omega)$ 为 $\displaystyle \Omega$ 的直径，$\displaystyle S(\Omega)$ 为 $\displaystyle \Omega$ 的面积， $\displaystyle \mathbf{F}=(P(x, y), Q(x, y))$ 为区域 $\displaystyle \Omega+C$ 上连续可微的向量函数， $\displaystyle \mathbf{n}$ 为曲线 $C$ 的单位外法向量．

6．设 $\displaystyle f(x)$ 为连续函数，求曲线积分 $$ \int_{L} \frac{1+y^{2} f(x y)}{y} \mathrm{~d} x+\frac{x\left(y^{2} f(x y)-1\right)}{y^{2}} \mathrm{~d} y $$ 其中 $L$ 为 $\displaystyle \left(3, \frac{2}{3}\right)$ 指向 $\displaystyle (1,2)$ 的直线．

2．求 $\iint_{D} e^{-\left(x^{2}+v^{2}\right)} d x d y=$ $\_\_\_\_$ ，$D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2}<1\right\}$

4、函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有二阶可得， $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=c \neq 0$ ，证明：存在不相等的两个实数 $\xi_{1}, \xi_{2}, \frac{1}{f^{\prime}\left(\xi_{1}\right)}+\frac{1}{f^{\prime}\left(\xi_{2}\right)}=\frac{2}{c}$ ．

1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sqrt{2} x)-e^{-x^{2}}+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$ ．

12．（13 分）设函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 存在连续的偏导数． （1）$\displaystyle Q(x, y)$ 满足什么条件时，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ 与路径无关； （2）若对任意 $t$ ，恒有 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y d x+Q(x, y) d y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ ，求 $\displaystyle Q(x, y)$ 的表达式。

十二．求均匀曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x y z=0$ 的重心．

9．解答如下问题： （1）求曲面积分 $$ \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $S$ 为立体 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1$ 的边界曲面． （2）求曲线积分 $$ \oint_{L}(y+\sin x) \mathrm{d} x+\left(z-e^{y}\right) \mathrm{d} y+(x+1) \mathrm{d} z $$ 其中 $L$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $x$ 轴正向看去，$L$ 沿逆时针方向．

七、（15 分）计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{x-y}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{x+y}{x^{2}+y^{2}} d y$ ，其中 $L$ 为沿椭圆 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的逆时针方向。

四、（15 分）求曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, x+y+z=0$ 在点（1，－2，1）处的切线方程和法平面方程．

四、（15 分）求曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0,2 x-3 y+5 z-4=0$ 在点（ $\displaystyle 1,1,1$ ）处的切线方程和法平面方程．

四、（15 分）求曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-3 x=0,2 x-3 y+5 z-4=0$ 在点（1，1，1）处的切线方程和法平面方程．

3．计算积分 $I=\iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x+y+3}} d x d y$ ，其中，$D:\{(x, y):|x|+|y| \leq 1\}$ ．

1．设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上二阶可导，$f(-1)=f(0)=0, f(1)=1, f^{\prime}(0)=0$ ，证明：存在 $\xi \in(-1,1)$ 使 $f^{\prime \prime}(\xi)=1$ ．

2、设 $\varphi(x)=\int_{\sin x}^{\cos x} e^{t^{2}+x t} \mathrm{~d} t$ ，求 $\varphi^{\prime}(0)$ ．

2．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sqrt{e^{x}-1}-e \sqrt[x]{x}}{\sqrt[x]{x}}$ ．

11．设 $\displaystyle \Omega$ 是单连通区域，$L$ 为其边界，在 $\displaystyle \Omega$ 内部或外部取一定点，设其为原点， $\displaystyle \mathbf{r}$ 为 $L$ 上的点到原点的向量， $\displaystyle \mathbf{n}$ 为该点的单位切向量，求 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\cos (\mathbf{n}, \mathbf{r})}{|\mathbf{r}|} \mathrm{d} s$ ．

8．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，证明：$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上一致连续的充要条件是 $f(x)$ 将 $[a, b]$ 上的任意 Cauchy 数列映射为 Cauchy 数列．

4．计算曲线积分 $$ I=\int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z $$ 其中 $\displaystyle L:\left\{\begin{array}{l}x+y+z=2 \\ x^{2}+y^{2}=1\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向看为逆时针．

8．计算第二型曲线积分 $\int_{L} \frac{y \mathrm{~d} x+(1-x) \mathrm{d} y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 为圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ ，方向取顺时针．

3．已知 $a_{n}>0, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$ ，证明： （1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散． （2）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}{ }^{\alpha+1}}(\alpha>0)$ 收敛．（压中原题）

六．（15 分）计算 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 是以 $\displaystyle (1,0)$ 为圆心，以 $R$ 为半径的圆周 $\displaystyle (R \neq 1)$ ．

11．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上阶可导，且 $f^{\prime \prime}(x) \geq 0$ ．证明： $\int_{0}^{1} f\left(x^{6}\right) \mathrm{d} x \geq f\left(\frac{1}{7}\right)$ ．

9．设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，记 $F(x)=\int_{0}^{x} x f(t) \mathrm{d} t$ ． （1）求 $F^{\prime}(x)$ ． （2）证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=-\xi f(\xi)$ ． （3）证明：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $x_{0}$ ，使得 $2 f\left(x_{0}\right)+x_{0} f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ．

7、求第一型曲线积分 $\displaystyle \int_{L}\left(x^{2}+2 y^{2}+3 z\right) \mathrm{d} s$ ，其中 $L$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2},(R>0)$ 和 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线．

5、求曲线积分 $\oint_{C} \frac{-(x+y) \mathrm{d} x+(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $C$ 是以 $A(1,-1), B(1,1), C(-1$ ， 1），$D(-1,-1)$ 为顶点的正方形，方向取为逆时针方向．

八．（15 分）求曲线 $\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2}=1\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \neq 0\right)$ 所围区域的而积。

十．（15 分）计算 $\displaystyle \oint_{c} x y^{2} d y-x^{2} y d x$ ，其中 $C$ 是圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq a^{2}$ ，取正向。

5．求曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ 在 $\displaystyle (1,1,1)$ 点的切平面与坐标轴的交点到原点的距离之和。

三、计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $L$ 是 $\displaystyle \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$从 $\displaystyle (2,0)$ 逆时针到 $\displaystyle (-2,0)$ 的一段曲线．

八、计算曲线积分 $$ I=\oint_{C}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z $$ 其中 $C$ 为圆周：$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1 \\ x+y+z=1\end{array}\right.$ ，从原点看去取顺时针方向．

六．（25 分）计算单位时间内不可压缩流体（密度为 1 ）以速度 $\displaystyle \mathbf{v}=x^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}$ 流过曲面 $\displaystyle \Sigma$ 的流量，其中 $\displaystyle \Sigma: x^{2}+y^{2}=z^{2}, 0 \leq z \leq 1$ ，指向下侧．

10．设 $$ \begin{gathered} x_{1}=1, x_{2}=\sqrt{\frac{1}{2}+1}, x_{3}=\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{2}+1}}, x_{4}=\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{2}+1}}} \\ \cdots, x_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{n+1}+x_{n}}, \cdots \end{gathered} $$ 证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求出极限值．

9．计算 $$ I=\oint_{L} \frac{x d y-2024 y d x}{\left[(A x+B y)^{2}+(C x+D y)^{2}\right]^{2024}} $$

3．设函数 $f(x)$ 连续，$g(x)=\int_{0}^{x} y f(x-y) d y$ ，则 $g^{\prime \prime}(x)=(\quad)$

9．函数 $f(x)=\pi-|x|(-\pi \leq x \leq \pi)$ 的 Fourier 级数为（ ）

9．设 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则二重积分 $\iint_{D}[x+y] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 3\}$.

7．设 $\displaystyle L:|x|+|y|=1$ ，取逆时针方向，求 $\displaystyle \oint_{L} \frac{-y-x^{2}}{x^{2}+y^{2}+2|x y|} d x+\frac{x+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+2|x y|} d y=$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．设函数 $I(\alpha)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+\alpha x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x(\alpha \geq 0)$ ，求 $I(1)$ 的值．

1．设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $g^{\prime}(x) \neq 0$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)} $$

4．设 $f(x)$ 定义在 $[-1,1]$ 上，且 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在，证明：$\sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛当且仅当 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ．

5．（14 分）计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $L$ 是曲线 $$ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, a>0, b>0, c>0 \text { 常数 } $$ 从点 $\displaystyle (a, 0,0)$ 到 $\displaystyle (0,0, c)$ ．

9．曲线 $L$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$ 取逆时针方向，求 $\displaystyle \oint_{L}\left(x y^{2}+y^{3}\right) d x-\left(x^{2} y-x\right) d y$ ．

7、计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L} \frac{y d x-(x-1) d y}{(x-1)^{2}+y^{2}}$ ，其中 （1）$L$ 为圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}-2 y=0$ 的正向． （2）$L$ 为圆周 $\displaystyle 4 x^{2}+y^{2}-2 x=0$ 的正向．

3． $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2^{x^{2}}+1}{2^{x}+1}\right)^{\frac{1}{x}}=$ $\_\_\_\_$ ．

五．（12 分）求曲线积分 $$ \int_{L} \frac{\left(1+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)(x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y)}{x^{2}+y^{2}} $$ 其中 $L$ 为不过坐标原点从 $\displaystyle A(1,0)$ 到 $\displaystyle B(0,2)$ 的分段光滑曲线．

六．计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{\Gamma}|\sqrt{3} y-x| \mathrm{d} x-5 z \mathrm{~d} z$ ，其中 $$ \Gamma:\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+z^{2}=8 \\ x^{2}+y^{2}=2 z \end{array}\right. $$ 从 $z$ 轴正向往坐标原点看去取逆时针方向．

八、（15 分）计算曲线积分 $\displaystyle I=\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) d x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) d y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) d z$ ．其中 $L$ 为平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去，$L$ 为逆时针方向。

九、计算曲线积分 $\displaystyle I=\int_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) d x+\left(2 z^{2}-x^{2}\right) d y+\left(3 x^{2}-y^{2}\right) d z$ ，其中 $L$ 是平面 $\displaystyle x+y+z=2$ 与柱面 $\displaystyle |x|+|y|=1$ 的交线，从 $z$ 轴正向看去，$L$ 为逆时针方向。（15分）

四．（15 分）求曲线积分 $\displaystyle \oint_{L} \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{4 x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L:(x-1)^{2}+y^{2}=4$ ，取逆时针方向．

2．$f(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上连续且有界，$g(x, y)=\frac{|f(x, y)|}{1+x^{2}+y^{2}}$ 在 $\mathbb{R}^{2}$ 上是否有最大值？（有的话请证明，没有的话请举出反例并说明原因）

7．（15＇）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内具有一阶连续导数，$L$ 是上半平面 $\displaystyle (y>0)$ 内的有向分段光滑曲线，其起点为 $\displaystyle (a, b)$ ，终点为 $\displaystyle (c, d)$ ，记 $$ I=\int_{L} \frac{1}{y}\left[1+y^{2} f(x y)\right] \mathrm{d} x+\frac{x}{y^{2}}\left[y^{2} f(x y)-1\right] \mathrm{d} y $$ （1）证明曲线积分 $I$ 与路径 $L$ 无关； （2）当 $\displaystyle a b=c d$ 时，求 $I$ 的值．

1．用全微分的定义证明：对任意 $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in(a, b) \times(c, d), F(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微；

九．（15 分）计算曲线积分 $$ I=\oint_{L}\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y+\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z $$ 其中 $L$ 是 $\displaystyle [0, a] \times[0, a] \times[0, a]$ 的表面与平面 $\displaystyle x+y+z=\frac{3}{2} a$ 的交线，从上往下看取逆时针方向．十．（15 分）证明：光滑曲线 $\displaystyle y=f(x)(f(x)>0)$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转曲面面积为 $$ S=2 \pi \int_{a}^{b} f(x) \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} \mathrm{~d} x $$