多元函数微分-极值

二．计算第一类曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 是立体 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1$ 的边界．

二、（20分）设 $\displaystyle \mathbf{S}$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中的光滑封闭曲面，取外侧，考虑第二类曲面积分 $$ I=\oiint_{S}\left\{\begin{array}{l} \left(x^{3}+y^{2025}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(2 y^{3}+y+z^{2024}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x \\ +\left(3 z^{3}-4 z-1929 x\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \end{array}\right\} . $$ （1）试确定曲面 $\displaystyle \mathbf{S}$ 的方程，使得积分 $\displaystyle \mathbf{I}$ 的值最小，并求出这个最小值． （2）将第（1）中得到的曲面 $S$ 在第一卦限的部分记作 $\displaystyle S_{1}$ ，求 $\displaystyle S_{1}$ 的切平面，使得该切平面与三个坐标平面围成的几何体的体积最小．

10．（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{F}=\left(x-z, x^{3}-y z,-3 x y^{2}\right), S: z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}, \mathbf{n}$ 为 $S$ 上侧的单位法向量，计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \operatorname{rot} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \mathrm{~d} S$ ．

5．利用闭区间套定理证明：有界数列必有收敛子列．

8、求曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中 $$ S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, z \geq 0 $$

八．（15 分）设 $\displaystyle a, b$ 为正常数，函数 $\displaystyle f(u)$ 连续可微，$S$ 为曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=8-x^{2}-y^{2}$ 所围立体的表面，方向取外侧．计算第二型曲面积分 $$ I=\iint_{S} \frac{2}{b+y} f\left(\frac{a+x}{(b+y)^{2}}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\frac{1}{a+x} f\left(\frac{a+x}{(b+y)^{2}}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$

2．设 $a>0$ ，求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{a} \sqrt[4]{a} \sqrt[8]{a} \cdots \sqrt[2^{n}]{a}$ ．

十二、（15 分）计算 $\displaystyle \oiint_{\Sigma} x^{3} d y d z+y^{3} d z d x+z^{3} d x d y$ ，其中 $\displaystyle \sum$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外表面．

8．确定正数 $\displaystyle \lambda$ ，使得曲面 $\displaystyle x y z=\lambda$ 与椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在某一点相切（即在该点有公共切平面）．

十、（15 分）若 $S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的上半球面，取上侧，求曲面积分 $$ \iint_{S}\left(x^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y^{2}-y\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$

3．讨论级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left|\sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)\right|^{p}$ 的玫散性，其中 $p>0$ ．

七、（20 分）$\displaystyle \Omega$ 为曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面，求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Omega}(x+y-z) d y d z+(z y+\sin (x+z)) d z d x+\left(3 z+e^{x+v}\right) d x d y$ ．

8．（15 分）计算曲面积分 $$ I=\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}} $$ 其中 $S$ 为曲面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}=1$ ，取其外侧．

八．（15分）应用高斯公式计算三重积分 $$ \iiint_{V}(x y+y z+z x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $V$ 是由 $\displaystyle x \geq 0, y \geq 0,0 \leq z \leq 1$ 和 $\displaystyle x^{2}+y^{2} \leq 1$ 所确定的空间区域．

十．（15 分）（1）计算曲面积分 $$ I=\iint_{\Sigma}\left(x y^{2}-z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}-x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}-y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为半球面 $\displaystyle Z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 的上侧． （2）设函数 $\displaystyle f(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有连续导函数，$L$ 是 $\displaystyle y>0$ 内分段光滑曲线，证明积分 $$ I=\int_{L} y^{-1}\left(1+y^{2} f(x y)\right) \mathrm{d} x+x y^{-2}\left(y^{2} f(x y)-1\right) \mathrm{d} y $$ 与 $L$ 的路径无关．

十．（1）格林公式； （2）高斯公式； （3）斯托克斯公式． 同以前真题．

1．证明：方程 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的充分小邻域上确定唯一的连续函数 $y=y(x)$ ，使得 $y(0)=0$ ．

十、计算曲面积分 $$ \iint_{\Sigma}\left(x y^{2}+z^{3}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(y z^{2}+x^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(z x^{2}+a^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y, $$ 其中 $\displaystyle \sum$ 为上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}},(a>0)$ ，方向向上。

十．计算曲面积分 $$ I=\iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(2024 x^{2}+2025 y^{2}+2026 z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} $$ 其中 $S$ 是球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧．

3．设函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界，则函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内有界。

3．对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+2^{n}}{(n+1)!}$ ． （1）证明：在任意有限区间 $I$ 上一致收敛． （2）判断级数在任何一点的玫散性，若收敛，说明是条件收玫还是绝对收敛，并给出理由．

4．设 $\displaystyle f(x, y)=(x-y)^{2}$ ，计算曲面积分： $$ \iint_{\Sigma} x\left(z^{2}+e^{z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+y\left(z^{2}+e^{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+\left(z f(x, y)-2 e^{z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 是 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ，方向取上侧（或外侧）．

四．求曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} \frac{x^{2} y \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} z \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{2}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}} $$ 其中 $\displaystyle \Sigma: 4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=4, z \geq 0$ ．

4．计算曲面积分 $$ I=\iint_{S} 2 x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+2 z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $S$ 是雉面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(0 \leq z \leq h)$ 的外侧．

十．（15分）计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(y-x^{3}\right) d y d z+\left(y^{3}-z\right) d z d x+2 d x d y$ ．其中 $S$ 是锥面 $\displaystyle z^{2}=x^{2}+y^{2}(0 \leqslant z \leqslant 2)$ ，方向取下侧．

4．（15 分）计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma: x^{2}+2 y^{2}+3^{2}=1$ ，取外侧．

6．计算第二型曲面积分 $$ \iint_{S} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y . $$ 其中 $S$ 是 $\displaystyle x=5^{y}(0 \leq y \leq 1)$ 绕 $x$ 轴形成的曲面的外侧．

1．已知 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)$ 与 $\lim _{x \rightarrow+\infty}(f(x)-x)$ 的极限存在，证明： （1） $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)-f(0)}{x}=1$ ； （2）对 $\forall \lambda \in(0,1)$ ，存在 $\xi_{\lambda} \in \mathbb{R}$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_{\lambda}\right)=\lambda$ ．

2．已知 $f$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(0)=0,0 \leq f^{\prime}(x) \leq 1$ ，对 $\forall x \in[0,1]$ ，证明： $$ \int_{0}^{1} f^{3}(x) \mathrm{d} x \leq\left(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\right)^{2} $$

4．幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{2} x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ .

9．设 $\displaystyle \Omega$ 是 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 介于 $\displaystyle z=0$ 和 $\displaystyle z=2$ 之间的曲面，求曲面积分 $$ \iint_{\Sigma}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S $$ 其中（ $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ ）为 $\displaystyle \Sigma$ 的单位外法向量．

九．（10分）计算曲面积分 $$ \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $S$ 为球面 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}(R>0)$ 的外侧．

6．求 $f(x)=(x-1) e^{x}$ 的 Maclaurin 幂级数展开式．

4．计算二重积分 $\left.\int_{D} \int|x|+|y|\right) d x d y$ ，其中 $D:|x|+|y| \leq 2$ ．

六．计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d x+y\left(x y+\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\right) d y$ ，其中 $L$ 为曲线 $\displaystyle y=\sin x, 0 \leqslant x \leqslant \pi$ 按 $x$ 增大方向。 絮 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 可导，且 $\displaystyle f(a)=f(b)=0, f^{\prime}(a) \cdot f^{\prime}(b)>0$ ，证明：（1）存在 $\displaystyle \xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=0$ （2）方程 $\displaystyle f^{\prime}(x)+f(x)=0$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上存在两个实根。 入．设 立为锥面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 介于 $\displaystyle z=1, z=2$ 之间的外侧表面，求曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} x^{3} d y d z+y^{3} d x d z+z^{3} d x d y$ ．

1. 求数列极限： $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{2023}+2^{2023}+\cdots+n^{2023}}{n^{2024}}$ ．

十．（本题满分 15 分）设曲面 $\displaystyle \Sigma=\left\{(x, y, z): x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, z \geq 0\right\}$ 取上侧，求曲面积分 $$ I=\iint_{\Sigma}\left(y e^{z}+x^{3}\right) d y d z+\left(z e^{x}+y^{3}\right) d z d x+\left(y \cos (x y)+z^{3}\right) d x d y $$

七、（15 分）计算曲面积分 $$ I=\iint_{\Omega} \frac{x d y d z+(1+z)^{2} d x d y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}, $$ 其中 $\displaystyle \Omega$ 为下半球面 $\displaystyle z=-\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ ，方向取上侧．

4．计算含参积分：$I(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (a x)}{x\left(1+x^{2}\right)} \mathrm{d} x$ ．

12．求曲面 $\displaystyle x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}=21$ 的平行于平面 $\displaystyle x+4 y+6 z=0$ 的切平面。

9、（15 分）计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} y z d y d z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y d z d x+x y d x d y$ ，其实 $S$ 为曲面 $\displaystyle y=4-\left(x^{2}+z^{2}\right)(y>0)$ ，在 $\displaystyle x o z$ 平面右侧部分为外侧．

3．若函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处沿任意方向的方向导数均存在，则 $f(x, y)$ 在该点处连续．

1．已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f(a) \neq 0$ ．求极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{f(a+1 / n)}{f(a)}\right)^{n} $$

五．设立体区域 $\displaystyle \Omega$ 是由 $\displaystyle y o z$ 面曲线 $\displaystyle y^{2}+z^{4}-4 z^{2}=0, z \geq 0$ ，绕 $z$ 轴旋转一周所形成的曲面和 $\displaystyle x o y$平面所围成的，点 $\displaystyle (x, y, z) \in \Omega$ 处的密度为 $\displaystyle u(x, y, z)=z$ ，求重心坐标．

10．（16 分）判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误给出反例说明． （1）若 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的凸函数，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续． （2）若 $f(x)$ 是 $(a, b)$ 上的凸函数，且 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上可微，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 上连续．

10．（15 分）计算第一型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为几何体 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1$ 的边界曲面．

二、求曲面积分 $$ I=\iint_{\Sigma} \frac{(z+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y+1) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, $$ 其中 $\displaystyle \Sigma: \sqrt{9-x^{2}-y^{2}}$ ，取下侧．

1、在空间曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x^{2}+y^{2}=z^{2}\end{array}\right.$ 上找一点，使得该点处的切线平行于平面 $\displaystyle \mathbf{x}+\mathbf{2} \mathbf{y}=\mathbf{0}$.

11、求曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} z \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为曲面 $\displaystyle x^{2}+z^{2}=2 a z,(a>0)$ 被曲面 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 所截取的部分．

八．（15分）计算曲面积分 $$ I=\iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}, 0 \leq z \leq 1$ ，取曲面下侧．

8．求曲面积分 $$ \oiint_{\Omega} \frac{x}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\frac{y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\frac{z}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Omega$ 是区域 $\displaystyle |x| \leq 3,|y| \leq 5,|z| \leq 4$ 的表面，方向向外．

6、（20 分）设 $S$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=25$ 外侧，$\displaystyle f, g, h$ 是连续可微函数，求曲面积分 $$ I=\oiint_{S}\left(f(y z)-\frac{x y^{2}}{2500}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(g(x z)-\frac{y z^{2}}{2500}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(h(x y)-\frac{z x^{2}}{2500}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$

十一、（15 分）计算第一型曲面积分 $$ I=\iint_{\Sigma}\left(x^{2} \cos (\vec{n}, x)+y^{2} \cos (\vec{n}, y)+z^{2} \cos (\vec{n}, z)\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $\displaystyle \Sigma: x^{2}+y^{2}=z^{2},(0 \leq z \leq h)$ 取下侧，且 $\displaystyle \vec{n}$ 为 $\displaystyle \Sigma$ 的外法向量．

十．计算曲面积分 $$ \iint_{S}\left(\frac{x^{3}}{a^{2}}+y z\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{y^{3}}{b^{2}}+z^{2} x^{2}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{z^{3}}{c^{2}}+x^{3} y^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $S$ 为 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(x \geq 0)$ ，取后侧，$\displaystyle a, b, c>0$ ．

十二．求均匀曲线 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, x y z=0$ 的重心．

9．解答如下问题： （1）求曲面积分 $$ \iint_{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $S$ 为立体 $\displaystyle \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq z \leq 1$ 的边界曲面． （2）求曲线积分 $$ \oint_{L}(y+\sin x) \mathrm{d} x+\left(z-e^{y}\right) \mathrm{d} y+(x+1) \mathrm{d} z $$ 其中 $L$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}$ 与平面 $\displaystyle x+y+z=0$ 的交线，从 $x$ 轴正向看去，$L$ 沿逆时针方向．

十一．椭球面 $\displaystyle S: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z \geq 0),(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 是椭球面上的单位外法向量，求曲面积分 $$ \iint_{S} z\left(\frac{x}{a^{2}} \cos \alpha+\frac{y}{b^{2}} \cos \beta+\frac{z}{c^{2}} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S $$

12．求曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} y^{2} z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y+x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} z+x y^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z, x^{2}+y^{2}=1$ 与坐标平面围成立体的表面，取外侧．

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+x^{n}+\left(\frac{x^{2}}{3}\right)^{n}}$ ．

2．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ ．

5．证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2}+n}{n^{2}}$ 在区间 $[a, b]$ 上一致收敛．

4．设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{(x+y)^{n}}{x^{2}+y^{2}}, x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, x^{2}+y^{2}=0,\end{array}\right.$ 求使得 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 连续的最小正整数 $n$ ．

十．（15 分）求曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{1}{z} \mathrm{~d} S$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ 被平面 $\displaystyle z=h(0<h<a)$ 所截的顶部．

10．设 $a_{n}>0, b_{n}>0$ ，证明： （1）若存在 $\alpha>0$ ，使得 $\frac{b_{n}}{b_{n+1}} a_{n}-a_{n+1} \geq \alpha(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫． （2）若 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，且 $\frac{b_{n}}{b_{n+1}} a_{n}-a_{n+1} \leq 0(n=1,2, \cdots)$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 发散．

8、计算第二类曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z-y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(z^{3}+1\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\left(2 x^{2}+3 y^{2}+z^{2}\right)^{3}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$为 $\displaystyle z=\sqrt{1-2 x^{2}-3 y^{2}}$ 的上侧．

六．（15分）求第二型曲面积分 $$ \begin{gathered} \iint_{S}(y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \\ \left(\text { 另一个版本为 } \iint_{S} y z \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2}+z^{2}\right) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y\right) \end{gathered} $$ 其中 $\displaystyle S: 4-y=x^{2}+z^{2}(y \geq 0)$ 的右侧．

八．（15 分）求曲线 $\displaystyle \left(a_{1} x+b_{1} y+c_{1}\right)^{2}+\left(a_{2} x+b_{2} y+c_{2}\right)^{2}=1\left(a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \neq 0\right)$ 所围区域的而积。

十．（15 分）计算曲面积分 $$ \oiint_{S}\left(x^{3}-y z\right) d y d z-2 x^{2} y d z d x+z d x d y $$ 其中 $S$ 是平面 $\displaystyle x=a, y=a, z=a(a>0)$ 及三个坐标平面围成的立方体 $V$ 的表而而。

2．计算 $\displaystyle \oiint_{\Sigma} x\left(y^{2}+z^{2}\right) d y d z$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 为球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 且外侧为正侧。

5．求曲面 $\displaystyle \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1$ 在 $\displaystyle (1,1,1)$ 点的切平面与坐标轴的交点到原点的距离之和。

十．计算第二型曲面积分 $$ \iint_{S} x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $S$ 是立方体 $\displaystyle 0 \leq x \leq a, 0 \leq y \leq a, 0 \leq z \leq a$ 的表面，外法线为正方向．

9、求第二型曲面积分： $\displaystyle \iint_{S}\left(x z^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y+z^{4}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x +\left(3 x^{2}+4 y^{2}+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 为椭球面 $$ x^{2}+2 x y+2 y^{2}+z^{2}=1 \text {, 方向取外侧. } $$

6、（20 分）求第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{\Sigma} \frac{2 x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+(2+z)^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ ，其中 $\displaystyle \Sigma$ 是上半球面 $\displaystyle z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$ ，方向取下侧．

六．（25 分）计算单位时间内不可压缩流体（密度为 1 ）以速度 $\displaystyle \mathbf{v}=x^{2} \mathbf{i}+y^{2} \mathbf{j}+z^{2} \mathbf{k}$ 流过曲面 $\displaystyle \Sigma$ 的流量，其中 $\displaystyle \Sigma: x^{2}+y^{2}=z^{2}, 0 \leq z \leq 1$ ，指向下侧．

6．求曲面积分 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{e^{\sqrt{z}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d x d y, \quad S$ 是由曲面 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}$ 与 $\displaystyle z=1, z=2$ 所围立体表面的外侧．

二、（15 分）计算曲面积分 $$ I=\iint_{s^{+}}(x+y-z) d y d z+[2 y+\sin (z+x)] d z d x+\left(3 z+e^{x+y}\right) d x d y $$ $\displaystyle S^{+}$为曲面 $\displaystyle |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 外表面．

11．设函数 $f(x) \in C(0,+\infty)$ ，满足 $x=f(x) 5^{f(x)}$ ．证明： （1）$f(x)$ 单调递增． （2） $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ． （3） $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{\ln x}=\frac{1}{\ln 5}$ ．

6．（10 分）区域 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1,0 \leq z \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right\}, S=\partial \Omega$ ，正方向向外，求曲面积分 $$ \iint_{S} \cdots $$ （具体数据忘了，是经典的 Gauss 公式应用问题）

6、（15 分）计算第二型曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x d y d z+y d z d x+z d x d y$ ，其中 $S$ 为单位球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧．

9．函数 $f(x)=\pi-|x|(-\pi \leq x \leq \pi)$ 的 Fourier 级数为（ ）

五、（10 分）计算第二类曲面积分 $\displaystyle l=\iint_{S} x^{2} d y d z+y^{2} d z d x+z^{2} d x d y$ ，其中 S 为锥面 $\displaystyle z^{2}= \frac{h^{2}}{a^{2}}\left(x^{2}+y^{2}\right), 0 \leq z \leq h$, 方向取外侧．

4．不定积分 $\int|x| \mathrm{d} x=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$f^{\prime}(0)$ 存在，且 $$ f(x)=x^{3}+x^{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}-x \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x . $$ 则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．设函数 $I(\alpha)=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+\alpha x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x(\alpha \geq 0)$ ，求 $I(1)$ 的值．

1．设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $g^{\prime}(x) \neq 0$ ，证明：存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $$ \frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}=\frac{f(\xi)-f(a)}{g(b)-g(\xi)} $$

8、（12 分）计算曲面积分 $\displaystyle F(t)=\iint_{x+y+z=t} f(x, y, z) \mathrm{d} S$ ，其中 $$ f(x, y, z)=\left\{\begin{array}{l} 1-x^{2}-y^{2}-z^{2}, x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1 \\ 0, x^{2}+y^{2}+z^{2}>1 \end{array}\right. $$

2．函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, x \geq 0 \\ x-2, x<0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处的连续情况是 A．不连续 B．左连续但不右连续 C．右连续但不左连续 D．左连续且右连续

10．曲面 $\displaystyle \Sigma: z=x^{2}+y^{2}(z \leq 1)$ 取上侧为正．计算曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} x^{3} d y d z+y^{3} d z d y+(z-1) d x d y $$

9、I $\displaystyle =\oiint_{\Sigma} 2 x z d y d z+y z d z d x-z^{2} d x d y, ~ \Sigma$ 由 $\displaystyle z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, z=\sqrt{z-x^{2}-y^{2}}$ 围成立体，取外侧。

六．（12 分）求曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$ ． 1．$S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}, z \geq 0$ 的上侧； 2．$S$ 为 $\displaystyle (x-2)^{2}+2 y^{2}+4 z^{2}=1$ 的外侧．

8、计算 $\displaystyle \oiint_{S} \frac{1}{r^{2}} \cdot \cos \langle\overrightarrow{r, \vec{n}}\rangle \mathrm{d} S$ ，其中 $S$ 为一封闭光滑曲面，$\displaystyle \vec{n}$ 为 $S$ 上点 $\displaystyle (x, y, z)$ 处的外法线，$\displaystyle \vec{r}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}$ ，讨论下列两种情况： （1）曲面 $S$ 不包含原点． （2）曲面 $S$ 包含原点．

4．设 $S$ 是 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 介于 $z=0$ 与 $z=1$ 之间的部分，并取外侧为正向，计算第二型曲面积分 $$ \iint_{S}(x-2 y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-2 z+x) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(z-2 x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$

1．证明：函数列 $f_{n}(x)=\frac{\ln (n x)}{n x^{2}}$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致收敛．

9．计算曲面积分 $$ \iint_{S} x y z\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $S$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 在第一卦限的部分．

5．写出＂当 $x \rightarrow+\infty$ 时，函数 $f(x)$ 的极限为负无穷大＂的否定命题的分析表述．

九、（15 分）计算曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{S} 4 x z d y d z-2 y z d z d x+\left(1-z^{2 x}\right) d x d y$ 。其中 $S$ 为曲线 $\displaystyle z=e^{y}(0 \leq y \leq a)$ 绕 $z$ 轴旋转一周生成的旋转曲面，并取上侧。

九、（15 分）计算曲面积分 $$ I=\iint_{S}\left(x^{2} \cos \alpha+y^{2} \cos \beta+z^{2} \cos \gamma\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $S$ 为圆锥曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 上位于 $\displaystyle 0 \leq z \leq h$ 的一部分．其法向量恒与 $z$ 轴正向相交成锐角， $\displaystyle \cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ 为法向量的方向余弦．

五．（15 分）求曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}} $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle 1-\frac{z}{9}=\frac{(x-1)^{2}}{4}+\frac{(y-2)^{2}}{9}$ 在 $\displaystyle x O y$ 平面上方的部分，取上侧．

六、（15 分）设 $\displaystyle \Sigma: z=x^{2}+y^{2}(0 \leq z \leq 1)$ 方向取小：侧，求曲面积分 $$ I=\iint_{\Sigma}(x+y) d y d z+\left(y^{2}+z^{2}\right) d z d x+\left(z^{3}+x^{3}\right) d x d y $$

2．函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛；

1．计算题 （1）计算极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\left(x^{3}-x^{2}+\frac{x}{2}\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^{6}+1}\right]$ ． （2）将 $\displaystyle f(x)=\sin x, x \in[0, \pi]$ 展开成余弦级数． （3）计算曲线 $\displaystyle \oint_{L} \frac{(x+y) \mathrm{d} x-(x-y) \mathrm{d} y}{x^{2}+y^{2}}$ ，其中 $\displaystyle L: x^{2}+y^{2}=a^{2}(a>0)$ （4）计算二重积分 $\displaystyle \iint \mathrm{e}^{\frac{y}{x+y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 其中 $D$ 为 $\displaystyle x=0, y=0, x+y=1$ 所围区域。 （5）计算曲面积分 $\displaystyle \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle S: x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ，方向外侧。

1、设 $D=\{(x, y):|x| \leq R,|y| \leq R\}$ ，求极限 $$ I=\lim _{R \rightarrow+\infty} \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$

一．计算题． （1）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} x^{-4}\left(\cos x-e^{-\frac{x^{2}}{2}}\right)$ ． （2）求由 $\displaystyle z=x^{2}+y^{2}, z=x+y$ 所围成的立体图形的体积． （3）计算曲面积分 $$ \iint_{S} x z^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(x^{2} y-z^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(2 x y+y^{2} z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $S$ 是由 $\displaystyle z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}(a>0)$ 与 $\displaystyle z=0$ 所围立体的表面，取外侧为正向．

5、求曲面积分 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma}\left(y^{2}-x\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(z^{2}-y\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(x^{2}-z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle \Sigma=\left\{(x, y, z): z=1-x^{2}-y^{2}, z \geq 0\right\}$ ，方向取外侧．

5．求曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为上半椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1(z \geq 0)$ ，取上侧．