多元函数微分-隐函数

五．（20 分）已知含参量积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \sin x \mathrm{~d} x$ ． （1）对于 $\displaystyle \alpha \geq \alpha_{0}>0$ ，讨论 $I$ 的一致收敛性． （2）对于 $\displaystyle \alpha>0$ ，讨论 $I$ 的一致收敛性．

1．证明 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 沿任意方向的方向导数都存在；

6、求曲面 $z=x y^{3}$ 上一点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，使得曲面过 $P_{0}$ 的法线垂直于平面 $x+3 y-z=1$ ，并求曲面过 $P_{0}$ 的法线方程．

八．（本题满分 15 分）设含参量积分 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\arctan (\alpha x)}{x\left(1+x^{2}\right)} d x, \alpha \in(0,+\infty)$ ． （1）证明：$\displaystyle I(\alpha)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 可导； （2）求出 $\displaystyle I(\alpha)$ 的表达式．

1．设函数 $z=z(x, y)$ 满足方程 $F\left(x+\frac{z}{y}, y+\frac{z}{x}\right)=0$ ，求 $$ z-x \frac{\partial z}{\partial x}-y \frac{\partial z}{\partial y} . $$

1．设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^{2}-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程．

4．已知 $a_{n}=\sqrt[n]{2022^{n}+(-2023)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 和 $\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

十．（ 12 分）求含参量反常积分 $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-x} \sin \beta x}{x} \mathrm{~d} x(\beta \in \mathbb{R}) $$ 十一。（15 分）证明：$n$ 元实二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i j} x_{i} x_{j}\left(a_{i j}=a_{j i}\right)$ 在单位球面 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}=1$ 上的限制的最大、最小值佮为对称阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 的最大、最小特征根。

4．（10 分）求含参量积分 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{1}{2} x^{2}} \cos (a x) \mathrm{d} x$ ．

8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，证明：含参量积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} f(x) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle \alpha \in[0,+\infty)$ 上一致收敛的充要条件为 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

七、（15 分）证明：含参量 $x$ 的反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{y \cos (x y)}{1+y^{2}} d y$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 上一致收敛 $\displaystyle (\delta>0)$ ，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收敛．

六．（15 分）证明：含参量积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{y \sin x y}{1+y^{2}} \mathrm{~d} y$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上内闭一致收敛．