哈尔滨工业大学 2009年 第十题
十．（15 分） 1 ．求 $\displaystyle f(x)$ 使曲线积分
$$
\int_{\overparen{A B}}(\sin x-f(x)) \frac{y}{x} \mathrm{~d} x-x^{2} \mathrm{~d} y
$$
与路径无关，这里 $\displaystyle \widehat{A B}$ 不通过 $y$ 轴．
2．计算
$$
\iint_{\Sigma} \frac{x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}+3}}
$$
其中 $\displaystyle \Sigma$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 外侧的 $\displaystyle z \geqslant 0$ 部分．
3．计算
$$
\int_{\Gamma} y z \mathrm{~d} x+z x \mathrm{~d} y+x y \mathrm{~d} z
$$
其中 $\displaystyle \Gamma$ 为曲线 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\cos 2008 \pi t ; \\ y=\cos 2008 \pi t ; \\ z=t^{20090101} \mathrm{e}^{t^{2}-1} .\end{array} \quad t \in[0,1]\right.$ ，从 $\displaystyle (1,1,0)$ 到 $\displaystyle (1,1,1)$ 的部分．
哈尔滨工程大学 2025年 第10题
10、设 $\displaystyle B(0,1)=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 以及光滑单位向量场 $\displaystyle \vec{u}=(u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z))$ 满足 $\displaystyle u_{x}^{\prime}+v_{y}^{\prime}+w_{z}^{\prime}=0$ ，若还有
$$
(\vec{u} \cdot \vec{n})(x, y, z)=0,(\forall(x, y, z) \in \partial B(0,1))
$$
证明 $\displaystyle \iiint_{B(0,1)}[(\vec{u} \cdot \nabla) \vec{u}] \cdot \vec{u} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=0$ ，其中 $\displaystyle \vec{u} \cdot \nabla=u \frac{\partial}{\partial x}+v \frac{\partial}{\partial y}+w \frac{\partial}{\partial z}$ ．
南京航空航天大学 2022年 第12题
12．（13 分）设函数 $\displaystyle Q(x, y)$ 存在连续的偏导数．
（1）$\displaystyle Q(x, y)$ 满足什么条件时，曲线积分 $\displaystyle \int_{L} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ 与路径无关；
（2）若对任意 $t$ ，恒有 $\displaystyle \int_{(0,0)}^{(t, 1)} 2 x y d x+Q(x, y) d y=\int_{(0,0)}^{(1, t)} 2 x y d x+Q(x, y) d y$ ，求 $\displaystyle Q(x, y)$ 的表达式。