多元函数积分-二重积分

三．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(2 n-1)}$ 的和．

六．判断下列四个命题的正误．正确的，请给出证明；错误的，需举出反例． （1）若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=1$ ． （2）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上连续且有界，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续． （3）若二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 点关于 $x$ 和 $y$ 都不存在偏导数，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle (0,0)$ 沿 $x$ 轴的方向导数必不存在． （4）若函数 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且只存在有限个不连续点，则函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积．

七、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f(a)<f(b)$ ，证明：存在 $\displaystyle [c, d] \subseteq[a, b]$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [c, d]$ 上最小值为 $\displaystyle f(a)$ ，最大值为 $\displaystyle f(b)$ ．八、（10 分）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是一个收敛的正项级数，令 $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}|\sin n x| $$ 已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上利普希兹连续，即存在常数 $\displaystyle \mathbf{L}>\mathbf{0}$ ，使得对任意实数 $\displaystyle \mathbf{x}, \mathbf{y}$ ，都有 $$ |f(x)-f(y)| \leq L|x-y|, $$ 证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫。

五、（25 分）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\left(\frac{x-1}{x}\right)^{n}$ 的收玫域及和函数．六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调递增，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．设 $n$为正整数，$\displaystyle \xi_{k} \in\left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right], k=1,2, \cdots, n$ 。证明： $$ \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right)\right| \leq \frac{1}{n} $$

6、（20 分）设 $\displaystyle f(x)=\arctan (\sin x), x_{1}=\frac{1}{2}$ ，令 $$ x_{n+1}=f\left(x_{n}\right), n=1,2, \cdots $$ 讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}{ }^{2}$ 的玫散性．

5、求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{2^{n}}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} \sin ^{2}\left(\frac{n x}{2}\right)$ 的和函数．

11、计算 $J=\iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+x z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是曲面 $z=5-x^{2}-y^{2}$ 上 $z \geq 1$ 的部分，并取外侧．

五．（15 分）证明： （1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 x^{2}}{1+n^{3} x^{4}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛． （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{1+n^{4} x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上收敛，但非一致收敛．

五．求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} a^{n}}{n \ln \left(n^{2}+n\right)} x^{2 n-1}$ 的收玫域，其中 $\displaystyle a>0$ ．

六．对于级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln \left(1+n^{2} x\right)}{n} x^{-(n+1)}$ ．证明： （1）该级数在 $\displaystyle \left[1+\varepsilon_{0},+\infty\right)\left(\varepsilon_{0}>0\right)$ 上一致收敛． （2）该级数在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上不一致收敛．

七、证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，有 $$ \ln \sqrt{x}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2 n-1} $$ 并讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2 n-1}$ 关于 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 是否一致收敛。

六、若正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $$ \left|x_{n+1}-x_{n}\right| \leq a_{n}, \forall n \geq 1 . $$ 证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫。

13．设 $a>1$ ，证明不等式： $2 a^{\frac{1}{2}} \leq a^{x}+a^{1-x} \leq 1+a, x \in[0,1]$ ．

六，（10 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 的收敛域。

十一，（12 分）求 $\displaystyle \left(\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}\right)^{2}-\sum_{n=1}^{\infty}(n+1) q^{n} \cdot(|q|<1)$ ．

十一，（10 分）判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a^{\frac{1}{n}}+b^{\frac{1}{n}}}{2}-c^{\frac{1}{n}}\right)$ 的玫散性。 $\displaystyle (a>0, b>0, c>0)$

六，（10 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} \tan \frac{x}{2^{n}}$ ．

三、（10 分）若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \prod_{k=1}^{n} a_{k}=\left(\alpha^{n-1} a_{n}\right)^{n}, a_{1}=1, a_{n}>0, \alpha>1$ 为常数，求 $\displaystyle \sum_{i \neq j} a_{i} a_{j}$ ．

十二、（15 分）计算 $\displaystyle \oiint_{\Sigma} x^{3} d y d z+y^{3} d z d x+z^{3} d x d y$ ，其中 $\displaystyle \sum$ 为 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外表面．

（15）九、求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!}$ ．

6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上连续，令 $$ f_{1}(x)=f(x), f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t, x \in[a, b], n=1,2, \cdots $$ 证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．（15 分）

十，（15 分）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+x)^{n}}{n^{n+1}}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

1．讨论反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \sqrt{x}}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性，其中参数 $p>\frac{1}{2}$ ．

2．讨论函数列 $f_{n}(x)=\frac{n x}{n x+1}, n=1,2, \cdots, x \in[0,+\infty)$ 的一致收敛性及极限函数的连续性和可微性．

2．求积分 $\int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ ．

3．证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．

三、解答如下问题： （1）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是单调数列，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ． （2）已知 $\displaystyle A_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ 且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} A_{n}$ 存在，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}=0$ ．

五、解答如下问题． （1）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{p^{\ln n}}(p>0)$ 的玫散性； （2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n+1)!} x^{n}$ 的收敛域与和函数； （3）设 $f$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期且在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 二阶连续可导的函数，证明：$f$ 的傅里叶级数在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致收敛于 $f$ ．

2．求函数 $$ u=x-2 y+2 z $$ 在 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 下的最大与最小值．

2．计算 $$ \iint_{S}(x-y+z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(y-z+x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} z+(z-x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $S$ 为曲面 $|x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1$ 的外表面．

3．计算 $$ \int_{C}(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z $$ 其中 $C$ 为依参数 $t$ 增大的方向通过的曲线 $x=\sin ^{2010} t, y=(2 \sin t \cos t)^{1005}, z=\cos ^{2010} t, t \in[0,2 \pi]$ ．

八．（15 分）证明对 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 适当加括号以后，把每个括号内算一项，可使新级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} F_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, \pi-\delta]$ 上绝对且一致收敛，这里 $\displaystyle 0<\delta<\frac{\pi}{2}$ ．

五．（15 分）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty}$ 为单调上升趋于无穷的正数列，证 $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n+1}-a_{n}}{a_{n}^{x} a_{n+1}} $$ 并求 $\displaystyle f(x)$ 的定义域．

九．（15 分）设 $\displaystyle x_{n}$ 为方程 $\displaystyle x=\tan x$ 的正根，且 $\displaystyle x_{n}$ 单调递增，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x_{n}^{p}}$ 玫散性．

七．（15 分）用提示的三种方法证明 $\displaystyle 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}}$ 的极限趋于无穷． （1）反证法； （2）柯西收敛原理； （3）单调数列； （4）正项级数收敛判别； （5）其他方法．

六．（20分）谈论函数 $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4}+(-1)^{n} \cdot n}{x^{2}+n^{2}} $$ 的定义域与连续性（一致收玫判别法）．

2．应用致密性原理；

八．（15 分）设数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论 $$ f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n!} \int_{0}^{x} t^{n} e^{-t} \mathrm{~d} t $$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的连续性．

七．（15 分）判断 $$ \sum_{n=1}^{\infty} 2^{-n-(-1)^{n}} $$ 的玫散性．

六．（15 分）判断 $$ \sum \frac{2016^{n}}{2017^{n}-2015^{n}} $$ 的玫散性．

八．求 $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(x+\frac{1}{n}\right)^{n} $$ 的定义域和单调性．

六．求 $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{n+\frac{1}{n}}} $$ 的玫散性．

2．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的无穷多个子列都收玫于 $a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a$ ．

2．讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{1}{3^{n} x}$ 在 $x>0$ 上的一致收敛性．

6．刑断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{(-1)^{n}} / n^{f}-1\right)$ 的收攽性与绝对收筑性．其中 $\displaystyle p>0$ ．

7．设醑数列 $\displaystyle \left\{u_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逢续，且而数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在开区间 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收说，证明： （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(a)$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(b)$ 收敛； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在闭区问 $\displaystyle [a, b]$ 上一致改敦。

1．函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续，并且单调递增，若函数 $f(x)$ 有上界，则函数 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上一致连续。

7．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_{n}}$ 收玫．记 $$ A_{n}=\sum_{k=1}^{n} p_{k}, B_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{2}}{A_{k}^{2}}, C_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{p_{k}}, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{A_{k}} $$ 证明： （1）$\displaystyle B_{n}<\frac{5}{p_{1}}+2 S_{n}+C_{n}$ ． （2）$\displaystyle S_{n}<\sqrt{B_{n} C_{n}}$ ． （3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n}}$ 收敛。

4．设正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{\sqrt{n}}$ 收玫．

六．讨论级数 $\displaystyle \frac{1}{1^{p}}-\frac{1}{2^{q}}+\frac{1}{3^{p}}-\frac{1}{4^{q}}+\cdots$ 的绝对收敛与条件收敛性．

3、讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}}$ 的玫散性，其中 $\displaystyle p, q$ 为实数．

6、设 $\displaystyle u(x, y)=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} A_{m n} \sin (m \pi x) \sin (n \pi y),\left(m, n \in \mathbb{N}_{+}\right)$满足： $\displaystyle u_{x x}^{\prime \prime}+u_{y y}^{\prime \prime}=x,(x, y) \in[0,1] \times[0,1]$ ，求 $\displaystyle A_{m n}$ ．

2．设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\ln (x y)=x^{2}-y^{2}$ 隐式定义，求点 $(x, y)=(1,1)$ 处的导数 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}(1,1)=$ $\_\_\_\_$ ．

3．求定积分 $\int_{0}^{\pi} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{2}+\sin x}=$ $\_\_\_\_$。

12． $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

六．（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{a_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有定义，且存在不依赖于 $\displaystyle x, n$ 的常数 $K$ ，使得 $$ \left|a_{1}(x)\right| \leq K, \sum_{n=1}^{m}\left|a_{n}(x)-a_{n+1}(x)\right| \leq K, \forall m \geq 1 $$ 证明：如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收敛，$\displaystyle c_{n} \geq 0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} a_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛。

2．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可微，$f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1} f(x)=-1$ ．证明： $$ \min _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \leq 8, \max _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \geq 8 $$

3．变上限积分 $\int_{0}^{x} t e^{t} d t=$ A． B． C． D．

1．设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域有定义，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=1$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．

6．设 $\displaystyle u_{n}(x)(n=1,2,3, \cdots)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调，且函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 和 $\displaystyle x=b$ 处收玫． （1）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛． （2）证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{3} n}\right)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛，其中 $\displaystyle 0<a<2 \ln ^{3} 2$ ．

5．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x e^{-n x^{2}}$ （1）在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 一致收敛（其中 $\displaystyle \delta>0$ ）； （2）在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 非一致收敛。

10．（15 分）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n\left(1+x^{n}\right)}$ 在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 具有连续导数．

7．（ 15 分）设 $\displaystyle x_{0}=\sqrt{6}, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}(n \geq 0)$ ． （1）证明：数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收玫，并求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ ． （2）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \sqrt{3-x_{n}}$ 的玫散性，如果收敛，判断是绝对收玫还是条件收敛。

11．数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{0}=1, a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+2 a_{n-2}(n \geq 2)$ ． （1）证明：$\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{n-1} \leq a_{n} \leq 3^{n-1}$ ． （2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln a_{n}}$ 发散，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收敛。 （3）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ 存在，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径以及收玫区间内的和函数．

3．已知 $x+y+z=1$ 与空间坐标轴相交得到的三角形为 $L$ ，方向为沿 $x$ 轴正方向看去为逆时针方向．计算第一型曲线积分： $$ I=\oint_{L}\left(x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} z+\left(y^{2}-z^{2}\right) \mathrm{d} x+\left(z^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y $$

2．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $$ 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0 $$ 确定的二元函数，求 $z=z(x, y)$ 的极值点与极值．

5．求定积分 $\int_{0}^{1} \frac{x^{2}-x}{\ln x} \mathrm{~d} x$ ．

2．设 $u(x, y, z)=x y z$ ，则 $\mathrm{d}^{3} u=$ $\_\_\_\_$ ．

6．将 $f(x)=\pi-x, x \in(0, \pi)$ 展开成正弦级数 $\_\_\_\_$ ，并写出和函数 $\_\_\_\_$ ．

13．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}=\sin 1+\frac{\sin 2}{2!}+\frac{\sin 3}{3!}+\cdots+\frac{\sin n}{n!}$ ． （1）证明：$\left\{a_{n}\right\}$ 有界，但是 $\left\{a_{n}\right\}$ 不单调． （2）证明：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛．

7．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}: a_{1}=0, a_{2 m}=\frac{a_{2 m-1}}{2}, a_{2 m+1}=\frac{1}{2}+a_{2 m}$ ，求 $\left\{a_{n}\right\}$ 的上下极限．

8．求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $f(x)=\int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{x}} \frac{1}{1+\tan u^{2}} \mathrm{~d} u$ ．

12．$A$ 是由数码 0,1 组成的所有数列的集合，证明 $A$ 不可数．

17．已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}>a_{n}>0$ ，且 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫． （1）证明： $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ． （2）证明：$\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收敛。

5、幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}$ 的收敛半径 $\_\_\_\_$ ．

11、 $K$ 为实数域，$F \subset K$ 为非空闭集，令 $d(x)=\inf \{|x-t|: t \in F\}$ ，证明 $d(x)$ 为连续函数．

6．判断级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^{n}}{n^{p}}\right)$ 的玫散性，$\displaystyle p>0$ ．

6．讨论当 $p$ 取何值时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ 发散？条件收敛？绝对收敛？

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-(1+2 x)^{\frac{1}{2}}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．

6．求荎级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}$ 的收玫半径及和函数 $S(x)$ ．

5．讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，若收敛，判断绝对收敛或条件收敛。

4、求由方程 $x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 所确定的隐函数 $y=f(x)$ 的极值点和极值．

五．（本题满分 15 分）判别级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{\alpha}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 的敛散性，其中 $\displaystyle \alpha \in(0,1)$ ，若收敛，指出为绝对收敛或条件收敛。

三、求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{(2 n+1)!(2 n+1)}$ 的和．

1．讨论函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot n+x}{x^{2}+n^{2}}$ 的条件收敛域、绝对收敛域、一致收玫域。

2、 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{1}{x} \int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{\cos 2 t}{t^{2}} d t=$ $\_\_\_\_$。

8、 $f(t)=\iint_{\substack{0 \leq x \leq s \\ 0 \leq y \leq s}} e^{-\frac{x}{y^{2}}} d x d y, t>0$ ，求 $f^{\prime}(t)$ ．

15、 $f(x)$ 是 $C^{2}\left(\mathbb{R}^{2}\right)$ 上的连续可微函数，$\Omega$ 是光滑的简单闭区域，若 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0, $$ 则 $f$ 称为 $\Omega$ 上的调和函数． （1）证明： $\int_{\partial \Omega} \frac{\partial f}{\partial n} d s=\iint_{\Omega}\left(\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}\right) d \sigma$ ，其中 $n$ 是 $f$ 在 $\partial \Omega$ 上的单位外法向量． （2）荐 $f$ 是 $\Omega$ 上的调和函数，且二阶连续可微，证明： $$ f(x)=\frac{1}{2 \pi r} \int_{\partial B(x, r)} f(x) d s=\frac{1}{\pi r^{2}} \iint_{H(x, r)} f(x) d \sigma $$ 其中 $B(x, r)$ 是任意闭球，$x \in \partial \Omega$ ．

8．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上连续，$\displaystyle a_{n}(n=0,1, \cdots), b_{n}(n=1,2, \cdots)$ 为 $f$ 的 Fourier 系数．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{n}$ 均收敛。

6、（10 分）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \frac{a}{1+a^{n}}, a>0$ 的绝对收敛性和条件收敛性．

一．（15 分）判断极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \ln \left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)$ 是否存在？若存在，求出极限值．

六．（15 分）设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x$ ，计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+2}}{n}$ 的值，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{n}}$ 是否收敛？并说明理由．

一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分） （1）。如果 $\displaystyle \forall p \in \mathbb{N}_{+}$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=0$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）。如果偏导数 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 和 $\displaystyle f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。 （3）．如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，则对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 是绝对收玫的。 （4）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在原函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积． （5）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (x, y)$ 上连续，$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续。 （6）。如果 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

三、证明下列各题（每小题 $\displaystyle \mathbf{1 3}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{7 8}$ 分） （1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[0,1]$ ．证明： $$ \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{n+1}\right), \forall n \in \mathbb{N}_{+} $$ （2）．设有数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ： $$ a_{1}=1, a_{2}=4, a_{n+1}=\frac{a_{n-1}+a_{n}}{2}, n=2,3,4 \cdots $$ 证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （3）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(1)=1$ ，且当 $\displaystyle x \geqslant 1$ 时，有 $$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)} $$ 证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 有限且其极限小于 $\displaystyle 1+\frac{\pi}{4}$ ． （4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，数列 $\displaystyle \{f(x+n)\}$ 收敛于 0 ．证明： $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 $$ （5）．设有级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．如果对任何收敛于 0 的数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$绝对收敛。 （6）．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的函数列，且存在常数 $\displaystyle L \geqslant 0$ 满足： $$ \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant L|x-y|, x, y \in[a, b], n \in \mathbb{N}_{+} $$ 证明：（i）．若 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ， （ii）．若对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 都有界，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 存在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛的子列．

三、证明下列各题（每小题 13 分，共 78 分） （1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 内每一点的左右极限都存在，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上有界． （2）．设函数 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续，$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, \infty)$ 上连续，且 $$ \lim _{x \rightarrow+\infty}[f(x)-g(x)]=0 $$ 证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上一致连续． （3）．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，且 $$ a_{k} \leqslant a_{n} \quad \forall n<k \leqslant 2 n $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ． （4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上三阶可导，且 $\displaystyle f(x), f^{\prime \prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上都有界，证明： $\displaystyle f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上有界。 （5）．设 $\displaystyle \forall b>0$ ，函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, b]$ 上可积，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=\alpha$ ，令 $$ F(t)=t \int_{0}^{+\infty} e^{-t x} f(x) \mathrm{d} x $$ 证明： $\displaystyle \lim _{t \rightarrow 0^{+}} F(t)=\alpha$ ． （6）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上连续，在 $\displaystyle (0,1)$ 内二阶可导，且 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ， $$ f(0) f(1)>0, f^{\prime \prime}(x)>0 $$ 证明：（i）．$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 内有且仅有两个零点， （ii）．存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\int_{0}^{\xi} f(t) \mathrm{d} t$ ．

1．对数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的任意两个子列 $\left\{a_{n_{k}}\right\}$ 与 $\left\{a_{m_{k}}\right\}$ 均有 $\lim _{k \rightarrow \infty}\left(a_{n_{k}}-a_{m_{k}}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛。

2．如果 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 沿任意方向的方向导数都存在，偏导数 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 均存在．

1．如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上至多有有限个不连续点．

2．如果数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫。

2．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，$f(a)=f(+\infty)$ ，则存在 $\xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。

1． $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=A \in \mathbb{R}$ 的充要条件是：对任何正整数 $k, \exists N>0$ ，当 $n>N$ 时有 $$ \left|a_{n}-A\right|<\frac{k}{k^{2}+1} $$

3．若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 存在原函数．

2．若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续，且有 $f(0)=f(2)$ ，则方程 $f(x)-f(x+1)=0$ 有解．

三．计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+3)}{2^{n}}$ ．

1．计算 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．

11．（16 分）设 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上为正值连续函数，且 $$ I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{f(x)} \sin x \ln f(x) \mathrm{d} x=0, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{f(x)} \cos x \ln f(x) \mathrm{d} x=0 $$ 证明： （1）在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上至少存在 $x_{1}$ ，使得 $f\left(x_{1}\right)=1$ ． （2）在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上至少存在 $x_{2}, x_{3}$ ，使得 $f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{3}\right)$ ．

5．（15 分）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{p}}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}(0<x<2 \pi, p>0)$ 的玫散性．

6．（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}(a>0, b>0)$ 的收敛域．

7．$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \cos x d x(n=0,1,2, \cdots)$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 的和。

9．问函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(1-x) x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上是否一致收玫，并说明理由．

五、设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，满足： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda>1$ ，证明：此时交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收玫．

1．设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^{2}-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程．

2．求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{n^{2}+1}-1\right) \cdot \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$ ．

1．计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^{-}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)=$ $\_\_\_\_$ ．

2、函数列 $\left\{x_{n}\right\}>x_{n}=\sin x_{n-1}, n=1,2, \ldots, 0<x_{0}<\frac{\pi}{2}$ ，求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt{\frac{n}{3}} x_{n}$ ．

四、解答题（每题 10 分，共 40 分） 1 ．求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}}$ 的和；

7、讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{a+\frac{1}{n}}},(a>0)$ 的玫散性．

3、函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\ln \left(\cos \left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right)\right] x^{n}$ 收玫半径为 $\_\_\_\_$ ；

九、（15 分）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}, x \in(0,+\infty)$ ． （1）证明：该级数在 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 上收玫但不一致收玫． （2）求该级数的和函数．

八、（15 分）设周期 $\displaystyle 2 \pi$ 的函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\pi, \pi]$ 上由 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} \pi-x, 0<x \leq \pi \\ 0, x=0 \\ -\pi-x,-\pi<x<0 \end{array}\right. $$ 给出． （1）求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数． （2）证明（1）中的傅里叶级数在 $\displaystyle (-\pi, \pi]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，但不一致收敛．

1．（12 分）（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\sin ^{2} x}{x^{3}(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})}$ ； （2） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \sec ^{2} \frac{i \pi}{4}$ ．

7．（12 分）（1）对任意的 $\displaystyle x \in D, \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)$ ，并且 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leq a_{n}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $D$ 上一致收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ ． （2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{1+n x^{3}}$ ，证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛于 0 。

七、（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ 的收敛域，并求其和函数。

2）（15 分）数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+a_{n}}{2^{n}}$ 的利．

2）$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $[a, b]$ 上的连续函数 $s(x)$ ． 证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $s(x)$ ．

七、（15 分）计算积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{3}}$ 的值，并证明它也等于数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3 n+1}$ 的和．

2）$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $[a, b]$ 上的连续函数 $s(x)$ ． 证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛于 $s(x)$ ．

九、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的可积函数，且 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则成立 parseval 不等式： $$ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) d x=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) $$ 这里 $\displaystyle a_{n} 、 b_{n}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数．

2． $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}}+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^{2}+n}}\right)$ 。

3．已知 $f(x, y)=\frac{x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}$ 。计算其在原点的两个累次极限。

3．计算积分 $I=\iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x+y+3}} d x d y$ ，其中，$D:\{(x, y):|x|+|y| \leq 1\}$ ．

1．证明函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 的偏导数存在，但在此点不 可微。

2．（1）证明函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在区间 $(0,1)$ 上不一致连续． （2）计算 $I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．

3．证明如下等式： $\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n} \mathrm{~d} x=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \int_{0}^{1} x^{n-1} \mathrm{~d} x$ ．

6．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{p}}$ 的玫散性．

6．设函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积，且 $f(x) \geq \alpha>0$ ．证明： $\ln f(x)$ 也在 $[a, b]$ 上可积．

5．数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 是否收玫．

8．讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性．

3． $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{\ln ((n+1)!)}{n+1}-\frac{\ln (n!)}{n}\right) \sum_{k=1}^{n} \sqrt[k]{k^{2}+\sin k}\right]$ ．

三．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin n x \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上逐点收敛但不一致收敛．

四．求数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2 n-1)}\left(-\frac{1}{4}\right)^{n}$ 的和．

1．$f(x)$ 二阶可导，$x f^{\prime \prime}(x)+3 x\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}=1-e^{x}$ （1）当 $x=\tau(\tau \neq 0)$ 有极值，是极大值还是极示值，并说明理由． （2）当 $x=0$ 有极值，是极大值还是极小值．

8．（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n} x^{n}$ 的收敛域．

12．设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调减，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ．证明：若 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，则反常积分 $\int_{0}^{+\infty} f^{\prime}(x) \sin ^{2} x \mathrm{~d} x$ 收敛。

15．解答如下问题： （1）计算积分 $A=\int_{0}^{1} \int_{0}^{1}\left|x y-\frac{1}{4}\right| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ． （2）设 $z=f(x, y)$ 在区域 $D:[0,1] \times[0,1]$ 上连续，且满足条件 $$ \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 \text { 和 } \iint_{D} x y f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=1 \text {. } $$

5．计算曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}(R>0)$ 的上侧．

2、已知数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle x_{1}=2, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{1}{x_{n}}\right), n=1,2, \cdots$ ． （1）证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在并求其值． （2）证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n+1}}-1\right)$ 收敛。

五．（15 分）求 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{k}}{2 n+1}+\frac{1}{k(k+1)}\right)$ ．

三、（20 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}$ 的和．

四、求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{4^{n+1}}$ ．

7．求下列级数的和 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{2^{n}\left(n^{2}-1\right)}$ ．

5、判断级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n \cos (n \pi)}{\sqrt{n^{3}-2 n+1}}$ 是否收敛，并指出是条件收敛还是绝对收敛。

4．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}$ 的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

3、求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+2)(n+1)}{n!} x^{n}$ 的和，并给出收玫域．

七．（15 分）证明：若级数花 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}, n \in N_{\text {，}}$ 则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\prime} c_{n}$ 也收敛。 八（15 分）荐姠数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \|_{n}(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ ，且对们总 $\displaystyle n \in N_{*}, u_{n}(x)$ 位区间 $I$ ：连续，证明和函数 $\displaystyle f(x)$ 在区问 $I$ 上连续。

2．求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} I(n)$ 的和。 + ．（ 15 分，其中第一题 10 分，第二题 5 分）

1．证明函数级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 的和函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上连续。

二．（15分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \frac{x^{n-1}}{n(n+1)}$ 的收敛域及和姠数。

六．（20分）讨论函数 $\displaystyle \xi(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 的定义域以及它在定义域内的可微性。

七．证明：函数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 和 $\displaystyle x=b$ 连续，对任意 $\displaystyle n \in \mathbb{N}_{+}, u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 单调，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．

九．（15 分）计算 $$ I=\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+k^{2}+k} $$

4．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ 的收敛域与和函数．

六、（15 分）假设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某领域内有二阶可导函数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ，证明： （1）$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。

4、（20 分）判别函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{\sqrt[4]{n}}$ 在 $\displaystyle (0, \pi)$ 上的玫散性，若收敛指出是绝对收敛，还是条件收敛。

2、函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a, u]$ 可积 且 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收玫，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫．

3、 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^{n}}$ ．

三、（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}(a>0, b>0)$ 的收敛域．

十二、（本题满分 10 分）计算 $\displaystyle I=\iint_{\Sigma} \frac{d S}{z}$ ，其中 $\displaystyle \sum$ 由曲面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 被 $\displaystyle z=a(0<a<1)$ 所截．

1．设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0<b_{n}<b_{n+1}(n=1,2, \ldots)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=+\infty$ 。证明： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1} b_{1}+\cdots a_{n} b_{n}}{b_{n}}=0 $$

7．计算 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2024^{n} n^{x}}$ 。

8．写出 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \arctan s d s$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式，并确定收敛域。

7．若广义积分 $\int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{1-p} \ln x d x$ 收玫，则实数 p 的最大取值范围是（）

8． $\int_{-3}^{2} \min \left(2, x^{2}\right) d x=(\quad)$

1．计算广义积分 $\int_{0}^{+\infty} e^{-2 x}|\sin x| d x$ ．

9．级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} n+x \sin n x}{n^{2}+x^{2}}$ 的收敛域为 $\displaystyle =$ $\displaystyle \_\_\_\_$ ．

3．设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且有相同的单调性，证明： $$ (b-a) \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x \geq \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x $$

一、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ 的逐项求导后的级数的收敛域，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ 的和．

8．（14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ 上无穷次可导（其中 $\displaystyle r \in(0,+\infty)$ ），且存在常数 $\displaystyle M>0$ ，使得 $$ \left|f^{(n)}(x)\right| \leq M \frac{n!}{r^{n}}, \forall x \in\left(x_{0}-r, x_{0}+r\right), \forall n=0,1,2, \cdots . $$ （1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的 Taylor 级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$上逐点收敛于 $\displaystyle f(x)$ ． （2）证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．

1．求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(5+x)^{x}-5^{x}}{x^{2}}$ ．

1．极限 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x) \neq A$ 的语言是 A． B． C． D．

4．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 的收玫性是 A． B． C． D．

7．（15分）设 $f(x)$ 在 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 连续 $\left(x_{1} x_{2}>0\right)$ ，在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 可导，证明：存在 $\xi \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，使得 $$ \frac{1}{x_{2}-x_{1}}\left|\begin{array}{ll} x_{1} & f\left(x_{1}\right) \\ x_{2} & f\left(x_{2}\right) \end{array}\right|=\xi f^{\prime}(\xi)-f(\xi) . $$

7．$\displaystyle f(x)=\frac{4 x-3}{2 x^{2}-3 x-2}$ 展开成 $\displaystyle (x-1)$ 的幂级数，并求其收敛域。

5、函数 $f(x, y)=x^{3}-x^{2}-x y+y^{2}$ 的极值点为 $\_\_\_\_$

6．（13 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+3}}{(n+1)(n+3)}$ 的收敛域与和函数．

2．若 $f^{\prime}(a)<c<f^{\prime}(b)$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=c$ ．

2、 $\frac{\partial f}{\partial x} 、 \frac{\partial f}{\partial y}$ 在 $(0,0)$ 是否连续，$f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 是否可微？

10、计算级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot(2 n-1)}$ ．

11、设每个函数 $\displaystyle u_{n}(x),(n=1,2, \ldots)$ 在点 $\displaystyle x=c$ 处连续，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(c)$发散，证明：对任意 $\displaystyle \delta>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (c, c+\delta)$ 内不一致收敛。

10、设 $\displaystyle a>0$ ，求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{(1+a)^{n}}$ 的和．

8、判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{[\sqrt{n}]}}{n}$ 的玫散性。

5．（15 分）解答如下问题： （1）判断函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n x e^{-n x^{2}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的一致收敛性． （2）判断函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln \left(1+n^{2} x^{2}\right)}{n^{2}}$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 上的一致收玫性．

1．写出基本数列（Cauchy 数列）的定义．

1．当 $p=0$ 时，求 $I_{p}$ 的敛散性．

3、 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^{2}} x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ．

7、已知 $x^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x(-\pi \leq x \leq \pi)$ ，则傅立叶级数 $a_{2}=$ $\_\_\_\_$ ．

八、（12 分）试证：无穷级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{1+n^{3} x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上收敛，但不一致收敛．

六、（12 分）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{p^{\ln n}},(p>0)$ 的玫散性．

5．求由方程 $x^{2}+2 x y+2 y^{2}=1$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 的所有极值，并判断是极大值还是极小值．

3．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积，则存在可导函数 $F(x)$ ，使得 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in[a, b]$ ．

12．设 $\alpha>0$ ，且 $f(x, y)$ 是 $\mathbb{R}^{2}$ 上的可微函数．证明：对任意 $t>0$ 及 $(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\}$ ，成立 $f(t x, t y)=t^{\alpha} f(x, y)$ 的充要条件是对任意的 $(x, y) \in \mathbb{R}^{2}$ ，成立 $$ x \frac{\partial f}{\partial x}(x, y)+y \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)=\alpha f(x, y) . $$

15．设 $\alpha>0$ ． （1）证明：反常积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2} y^{2}\right) x^{\alpha}}$ 关于 $y$ 在 $(0,+\infty)$ 上内闭一致收敛． （2）证明：$I(y)=\int_{1}^{+\infty} \frac{\arctan (x y)}{x^{\alpha+1}} \mathrm{~d} x$ 是 $(0,+\infty)$ 上的可导函数，且满足方程 $$ I^{\prime}(y)-\alpha I(y)+\arctan y=0 $$

四．设数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，则 $\displaystyle \left.\quad q>r^{n}=m \sqrt[n]{n}\right)^{n} \neq 0$ 。 （1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0 \quad$ of $\displaystyle \quad \forall \quad \forall 0 \quad 7^{\circ} \quad h^{m} \quad r \sqrt{n}=n^{-b} \quad$ 当 （2）当数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ （3）当 $\displaystyle a_{n}>0(n=1,2, \cdots)$ 时， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0 \sim$ ar  对上述结论中正确的给予证明，错误的给出反例。（15 分）

六、证明下列各题。（15分） 1．设正项然数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \forall k>0$ ，正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散， 2．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin \frac{1}{5^{n} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上收敛，但不⋯致收敛。

七、（15分）设 $f$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期，且具有二阶连续可微的函数，$\displaystyle b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{\pi}^{\pi} f(x) \sin n x d x$ ， $\displaystyle b_{n}^{*}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{\prime \prime}(x) \sin n x d x$ 。若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{\prime \prime}$ 绝对收敛，证明：$\displaystyle \quad \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{\left|b_{n}\right|} \leq \frac{1}{2}\left(2+\sum_{n=1}^{\infty}\left|b_{n}^{\prime \prime}\right|\right)$ ．

1．设 $$ a_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}+n+k}, $$ 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ；

1．给出函数 $s(x)$ 的连续范围；

3．设函数 $f$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right]=a$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 。

七、（15 分）（1）叙述函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $I$ 上不一致收玫的柯西准则。 （2）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x e^{-n x^{2}}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 及 $\displaystyle [a,+\infty)$ ， $\displaystyle (a>0)$ 上的一致收玫性．

五、讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \frac{a}{1+a^{n}}(a>0)$ 的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛）（15 分）

十、（15 分）已知正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 发散，讨论以下级数的玫散性并给出理由． $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{1+x_{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{1+n x_{n}}, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{1+n^{2} x_{n}} $$

2、判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 的敛散性（绝对收敛还是条件收敛）。

八、（15 分）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-\alpha)^{n} n!}{n^{n}},(\alpha>0)$ 的敛散性．若收敛，请指出是条件收敛还是绝对收敛。

三．判断 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 的一阶可导性．

四、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $$ f_{1}(x)=f(x), f_{n}(x)=\int_{x}^{1} f_{n-1}(t) d t, x \in[0,1], \quad n \geq 2 $$ 证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

2．（15＇）讨论数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos n}{n^{p}}$ 的敛散性，其中 $p$ 是实常数。

2．求极限 $$ \lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^{4}} \iiint_{x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq t^{2}} f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z $$ 其中 $f(x)$ 有连续的导函数，且 $f(0)=0$ ．

2．求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{4}}$ ．

1．当 $0<p<1$ 时，有 $x^{p}+y^{p} \geq(x+y)^{p}$ ； 2 ．当 $p \geq 1$ 时，有 $x^{p}+y^{p} \leq(x+y)^{p}$ ．

六．（15 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{e^{n x}}$ 的收玫域．

4．设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (0,1)$ 上各项互异的数列，试讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上的一致收玫性及极限函数的连续性．

8．设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(b_{n+1}-b_{n}\right)$ 绝对收敛。 （1）叙述阿贝尔变换，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 的部分和； （2）证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛； （3）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫。

四、（15 分）考察级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\sin n}{n}$ 的玫散性．

六．判断 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{n^{p}(\ln n)^{q}(\ln \ln n)^{r}}$ 的玫散性．

9、若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调且收敛于 0 ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos (n x)$ 在 $\displaystyle [a, 2 \pi-a] (0<a<\pi)$ 上一致收敛。