多元函数积分-三重积分

九．函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛于 $\displaystyle f(x)$ ． （1）假设每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 一致收玫，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续． （2）假设每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积，并且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 一致收敛，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积． （3）假设每个 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 都在 $\displaystyle [a, b]$ 上可微，存在常数 $\displaystyle M>0$ ，对任意的 $x$ 和正整数 $n$ ，都有 $\displaystyle \left|f_{n}^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．

七、（25分）解答如下问题． （1）证明：含参变量 $y$ 的广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x y} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。 （2）证明：在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上，含参变量 $y$ 的广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-x y} \sin x \mathrm{~d} x$不一致收敛，但是内闭一致收敛． （3）利用（1）、（2）中的结论计算 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ ． （4）利用（3）中的结论证明： $$ \int_{0}^{+\infty}\left[\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x \cdot \sin (x+y)}{x(x+y)} \mathrm{d} y\right] \mathrm{d} x=\frac{\pi^{2}}{8} $$

五、（15 分）判断下列命题的正误，正确的需给出证明，错误的需要举出反例． （1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x_{n}}{n}$ 也收玫． （2）若连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}_{n=1}^{+\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ． （3）若函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 都在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle g(x)$ 以 $x$ 轴为水平渐近线，则函数 $\displaystyle f(x) g(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续．

五、（25 分）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\left(\frac{x-1}{x}\right)^{n}$ 的收玫域及和函数．六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调递增，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．设 $n$为正整数，$\displaystyle \xi_{k} \in\left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right], k=1,2, \cdots, n$ 。证明： $$ \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right)\right| \leq \frac{1}{n} $$

5、求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{2^{n}}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} \sin ^{2}\left(\frac{n x}{2}\right)$ 的和函数．

12、证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y} \mathrm{~d} y$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty),(\delta>0)$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上不一致收敛。

4．讨论积分 $\int_{1}^{+\infty} e^{-\alpha x} \frac{\cos x}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 在 $0 \leq \alpha<+\infty$（ $p>0$ 是常数）的一致收敛性．

五．（15 分）证明： （1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 x^{2}}{1+n^{3} x^{4}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛． （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{1+n^{4} x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上收敛，但非一致收敛．

七．讨论 $\displaystyle I(a)=\int_{0}^{+\infty} \frac{a}{1+x^{2} a^{2}} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle \left[a_{0},+\infty\right)$ 和 $\displaystyle (0,+\infty)$ 的一致收敛性，其中 $\displaystyle a_{0}>0$ ．

六．对于级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln \left(1+n^{2} x\right)}{n} x^{-(n+1)}$ ．证明： （1）该级数在 $\displaystyle \left[1+\varepsilon_{0},+\infty\right)\left(\varepsilon_{0}>0\right)$ 上一致收敛． （2）该级数在 $\displaystyle (1,+\infty)$ 上不一致收敛．

七、证明：当 $\displaystyle x>0$ 时，有 $$ \ln \sqrt{x}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2 n-1} $$ 并讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2 n-1}$ 关于 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 是否一致收敛。

5．计算定积分 $\int_{-1}^{1} \frac{t^{2027}-t^{2025}+t+1}{\cos ^{2} t} \mathrm{~d} t$ ．

十一，（10 分）在 $\displaystyle [a, b]$ 上研究 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 绝对并一致收敛与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|u_{n}(x)\right|$ 一致收敛的关 系。

6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b](a<b)$ 上连续，令 $$ f_{1}(x)=f(x), f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t, x \in[a, b], n=1,2, \cdots $$ 证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．（15 分）

十，（15 分）证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(n+x)^{n}}{n^{n+1}}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

七、（15 分）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，且每一项都连续，则 $$ \int_{a}^{b} \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x $$

6．设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致连续函数，$\displaystyle \left\{\lambda_{n}\right\}$ 是正数列，若对任意固定的 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ ，有 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x+\lambda_{n}\right)=0 $$ 证明：函数列 $\displaystyle \left\{f\left(x+\lambda_{n}\right)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b](a>0)$ 上一致收玫于零．

4．求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n+2}}{(n+1)(2 n+1)}$ 的收敛域及和函数．

2．讨论 $f(x)=\sin x^{\alpha}(\alpha>0)$ 在 $(0,1)$ 上的一致连续性．

2．求积分 $\int_{0}^{1} \frac{x^{b}-x^{a}}{\ln x} \mathrm{~d} x(b>a>0)$ ．

3．证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f_{n}(x)$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛．

七．已知函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=(1-x) x^{n}$ ．

3． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=n^{2}}^{(n+1)^{2}} \frac{1}{\sqrt{i}}$ ．

七、设 $\displaystyle f(x) \in C(-\infty,+\infty)$ ，定义函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{n} f\left(x+\frac{k}{n}\right), n=1,2, \cdots$ ，证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x+t) d t$ ．

五、解答如下问题． （1）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{p^{\ln n}}(p>0)$ 的玫散性； （2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n+1)!} x^{n}$ 的收敛域与和函数； （3）设 $f$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期且在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 二阶连续可导的函数，证明：$f$ 的傅里叶级数在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致收敛于 $f$ ．

1. $$ \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n} $$ 收玫。

2．证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_{n}$ 存在并求极限值．

五．（15 分）设 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 满足： （1）$\displaystyle \varphi_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上连续且非负， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=1$ ； （2）$\displaystyle \forall \delta \in(0,1),\left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-1,-\delta]$ 和 $\displaystyle [\delta, 1]$ 上都一致收敛于 0 ． 证明对 $\displaystyle [-1,1]$ 上的连续函数 $\displaystyle g(x)$ ，有 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-1}^{1} g(x) \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x=g(0) $$

八．（15 分）证明对 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n}$ 适当加括号以后，把每个括号内算一项，可使新级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} F_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [\delta, \pi-\delta]$ 上绝对且一致收敛，这里 $\displaystyle 0<\delta<\frac{\pi}{2}$ ．

四．（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明：存在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ 使得 $$ \int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow 0} \int_{a}^{c} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x, \forall c \in[a, b] $$

2．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的无穷多个子列都收玫于 $a$ ，则 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n}=a$ ．

八、对参数 $\displaystyle a \in(-\infty,+\infty)$ ，讨论 $\displaystyle f_{n}(x)=n^{a} x e^{-n x}$ 在 $\displaystyle [0,1]$上的收敛性和一致收敛性．

2．数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛的充要条件是：对任意的正整数 $p$ ，有 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left|a_{n+p}-a_{n}\right|=0 $$

8．证明： （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \ln x$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛．（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{n} \frac{\ln x}{1+|\ln (-\ln x)|}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

9．设 $\displaystyle I(k, a)=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-k x} \frac{\sin a x}{x} \mathrm{~d} x$ ． （1）证明：对固定的 $\displaystyle k \in[0,+\infty)$ ，积分 $\displaystyle I(k, a)$ 关于 $a$ 在 $\displaystyle |a| \geq \delta(\delta>0)$ 上一致收敛．对固定的 $\displaystyle a \neq 0$ ，积分 $\displaystyle I(k, a)$ 关于 $k$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收玫． （2）计算积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 的值．

12． $\int_{0}^{1} \frac{1}{x} \ln \frac{1+x}{1-x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$。

五．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意固定的 $\displaystyle x \in[0,1]$ ，有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f(x+n)=0$ ，证明：函数列 $\displaystyle \{f(x+n) \mid n \geq 1\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 0.

六．（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{a_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有定义，且存在不依赖于 $\displaystyle x, n$ 的常数 $K$ ，使得 $$ \left|a_{1}(x)\right| \leq K, \sum_{n=1}^{m}\left|a_{n}(x)-a_{n+1}(x)\right| \leq K, \forall m \geq 1 $$ 证明：如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 收敛，$\displaystyle c_{n} \geq 0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} a_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛。

2．设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可微，$f(0)=f(1)=0, \min _{0 \leq x \leq 1} f(x)=-1$ ．证明： $$ \min _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \leq 8, \max _{0 \leq x \leq 1} f^{\prime \prime}(x) \geq 8 $$

10．设 $$ f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x y^{2}}{x^{2}+y^{4}} & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{cases} $$ 求（1）$\displaystyle f(x, y)$ 偏导数； （2）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处的方向导数； （3）$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle (0,0)$ 处是否可微．

9．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间上点态收敛到 $\displaystyle f(x), f_{n}(x), f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调，证明： $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛到 $\displaystyle f(x)$.

11．（1）叙述反常积分 $\displaystyle \int_{a}^{\infty} f(x, y) g(x, y) \mathrm{d} x$ 关于 $y$ 在区间 $I$ 的 Abel 判别法． （2）讨论积分 $$ \int_{0}^{\infty} \frac{\cos (2 x)}{x+y} e^{-x y} \mathrm{~d} x $$ 在 $\displaystyle y \in[0, b]$ 上是否一致收敛．

6．设 $\displaystyle u_{n}(x)(n=1,2,3, \cdots)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上单调，且函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 和 $\displaystyle x=b$ 处收玫． （1）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛． （2）证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{x}{n \ln ^{3} n}\right)$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛，其中 $\displaystyle 0<a<2 \ln ^{3} 2$ ．

5．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x e^{-n x^{2}}$ （1）在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 一致收敛（其中 $\displaystyle \delta>0$ ）； （2）在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 非一致收敛。

五．（20 分）已知含参量积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} \sin x \mathrm{~d} x$ ． （1）对于 $\displaystyle \alpha \geq \alpha_{0}>0$ ，讨论 $I$ 的一致收敛性． （2）对于 $\displaystyle \alpha>0$ ，讨论 $I$ 的一致收敛性．

5．（20 分）讨论广义积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} x^{p-1} \ln ^{2} x \mathrm{~d} x$ 的一致收敛性： （1）（ 10 分）$\displaystyle p \geq p_{0}>0$ ． （2）（ 10 分）$\displaystyle p>0$ ．

7．（20 分）设 $\displaystyle S_{n}(x)=n^{\alpha} x e^{-n x}$ ，其中 $\displaystyle \alpha$ 是参数，求 $\displaystyle \alpha$ 的取值范围，使得函数列 $\displaystyle \left\{S_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上： （1）（ 6 分）一致收敛。 （2）（6 分）积分运算与极限运算可以交换，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} S_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x) \mathrm{d} x$ ． （3）（8 分）求导运算与极限运算可以交换，即对一切 $\displaystyle x \in[0,1]$ ，成立 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{~d}}{\mathrm{~d} x} S_{n}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}(x)$ ．

10．（15 分）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n\left(1+x^{n}\right)}$ 在开区间 $\displaystyle (0,1)$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 具有连续导数．

8．（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．且每个函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续．$\displaystyle \left\{x_{n}\right\} \subset[a, b]$满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x_{0}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ ．

5．讨论 $\int_{0}^{\pi} \frac{\sin x}{x^{y}(\pi-x)^{2-y}} \mathrm{~d} x$ 的连续范围．

6．将 $f(x)=\pi-x, x \in(0, \pi)$ 展开成正弦级数 $\_\_\_\_$ ，并写出和函数 $\_\_\_\_$ ．

8．求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ，其中 $f(x)=\int_{\sqrt{\frac{\pi}{2}}}^{\sqrt{x}} \frac{1}{1+\tan u^{2}} \mathrm{~d} u$ ．

6． $\int_{0}^{+\infty} \frac{\cos x-\cos 2 x}{x^{2}} d x=$ $\_\_\_\_$。

5．设 $\displaystyle f(x)$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的连续函数，记 $\displaystyle f_{n}(x)=n \int_{x}^{x+\frac{1}{n}} f(t) \mathrm{d} t$ ，证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为连续可微的 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期的函数列，且在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ．

10、证明：函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{2} \ln n}{n^{x}}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。

十．（10 分）设函数列 $\displaystyle f_{n}(x) \geq 0(n=1,2, \cdots)$ 与函数 $\displaystyle g(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上有界且黎曼可积，对任意的 $\displaystyle c \in(a, b)$ ，当 $\displaystyle n \rightarrow \infty$ 时，$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle [c, b]$ 上一致收敛于 0 ，且 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=1, \lim _{x \rightarrow a^{+}} g(x)=A $$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} g(x) f_{n}(x) \mathrm{d} x=A$ ． 十一。（10 分）设积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，且存在 $\displaystyle A>0$ ，使得 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [A,+\infty)$ 上非负，存在 $\displaystyle 0<p<1$ 使得当 $\displaystyle x \rightarrow+\infty$ 时，$\displaystyle x^{p} f(x)$ 单调递减趋于零，证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} x f(x)=0$ ． 十二。（10 分）设 $\displaystyle \left.f_{n}(x)\right\}(n=1,2, \cdots)$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且对任意给定的 $\displaystyle x \in[a, b],\left\{f_{n}(x)\right\}$ 关于 $n$ 单调递增。证明：如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上逐点收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上必一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ 。

5．求曲面 $z=x^{2}+2 y^{2}$ 在点 $(2,-1,6)$ 处的切平面及法线方程．

2．讨论 $f(x, y)$ 在原点 $(0,0)$ 的可微性．

6、求曲面 $z=x y^{3}$ 上一点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ ，使得曲面过 $P_{0}$ 的法线垂直于平面 $x+3 y-z=1$ ，并求曲面过 $P_{0}$ 的法线方程．

六．（本题满分 15 分）设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，$\displaystyle f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) d t, n \in N$ ，证明： （1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 0 ； （2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫．

五、（20 分）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{\alpha}}(\alpha>0)$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上一致收敛性和内闭一致收敛性．

六、（15 分）$\displaystyle f(t)=\int_{1}^{+\infty} e^{-x} \cdot \frac{\cos x}{x^{2}} d x$ ． （9 分）1、证明：$\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛。 （6 分）2、证明：$\displaystyle f(t)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微。

1．讨论函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot n+x}{x^{2}+n^{2}}$ 的条件收敛域、绝对收敛域、一致收玫域。

2．计算第一类曲面积分： $\iint_{\Sigma}(x+y+z) \mathrm{d} S$ ，其中曲面 $\sum$ 是左半球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1, y \leq 0$ ．

3、设非负连续函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，证明： $$ F(x)=\int_{0}^{x}(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t $$ 在 $[0,+\infty)$ 上是凸函数．

7．$\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\alpha}{1+\alpha^{2} x^{2}} d x$ 证明 $\displaystyle I(\alpha)$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上一致收敛，在 $\displaystyle (0, \mathrm{~b}]$ 上不一致收敛。

9．讨论： $$ \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin (\alpha y)}{y} d y $$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上是否一致收敛 $\displaystyle (a>0)$

7、（15 分）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积函数列，且函数列在 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上 Riemann 可积，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x$.

一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分） （1）。如果 $\displaystyle \forall p \in \mathbb{N}_{+}$有 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+p}-a_{n}\right)=0$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）。如果偏导数 $\displaystyle f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 和 $\displaystyle f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 连续。 （3）．如果级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛，则对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} u_{n}(x)$ 是绝对收玫的。 （4）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上存在原函数，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积． （5）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在有限开区间 $\displaystyle (x, y)$ 上连续，$\displaystyle f^{2}(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (x, y)$ 上一致连续。 （6）。如果 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，且 $\displaystyle \varphi(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上有界，则 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \varphi(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

三、证明下列各题（每小题 $\displaystyle \mathbf{1 3}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{7 8}$ 分） （1）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)>0, x \in[0,1]$ ．证明： $$ \int_{0}^{1} f\left(x^{n}\right) \mathrm{d} x \geqslant f\left(\frac{1}{n+1}\right), \forall n \in \mathbb{N}_{+} $$ （2）．设有数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ ： $$ a_{1}=1, a_{2}=4, a_{n+1}=\frac{a_{n-1}+a_{n}}{2}, n=2,3,4 \cdots $$ 证明：数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （3）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 定义在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上，$\displaystyle f(1)=1$ ，且当 $\displaystyle x \geqslant 1$ 时，有 $$ f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+f^{2}(x)} $$ 证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 有限且其极限小于 $\displaystyle 1+\frac{\pi}{4}$ ． （4）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且 $\displaystyle \forall x \in[0,1]$ ，数列 $\displaystyle \{f(x+n)\}$ 收敛于 0 ．证明： $$ \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0 $$ （5）．设有级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．如果对任何收敛于 0 的数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$绝对收敛。 （6）．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $\displaystyle [a, b]$ 上的函数列，且存在常数 $\displaystyle L \geqslant 0$ 满足： $$ \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leqslant L|x-y|, x, y \in[a, b], n \in \mathbb{N}_{+} $$ 证明：（i）．若 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ， （ii）．若对于任何 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 都有界，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 存在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛的子列．

一、判断下列命题是否正确，若正确给出证明，若错误举出反例（每小题 $\displaystyle \mathbf{6}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分） （1）．如果 $\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N \in \mathbb{N}_{+}$，当 $\displaystyle n>N$ 时，有 $\displaystyle \left|a_{n}-a_{N}\right|<\varepsilon$ ，则数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛。 （2）．如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于连续函数 $\displaystyle f(x)$ ，则 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}_{+}$，均有 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续． （3）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点连续，且 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)-f\left(x_{0}\right)}{\frac{1}{n}} $$ 存在，则 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的右导数存在． （4）．如果函数 $\displaystyle f(x), g(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，则 $\displaystyle \exists \xi \in[a, b]$ ，使得 $$ \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(\xi) \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x $$ （5）．如果函数 $\displaystyle f(x, y)$ 的偏导数在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某邻域内存在且有界，则 $\displaystyle f(x, y)$ 在点 $\displaystyle P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$连续． （6）．如果函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上的非负连续，且 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收玫，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。

2．如果 $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 沿任意方向的方向导数都存在，偏导数 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 与 $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 均存在．

1．如果函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上至多有有限个不连续点．

2．如果数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫。

2．若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且存在原函数，则 $f(x)$ 在 $I$ 上连续．

1．如果函数 $f(x)$ 在有限区间 $(a, b)$ 上连续且有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上一致连续．

2．设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上可导，$f(a)=f(+\infty)$ ，则存在 $\xi \in(a,+\infty)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。

2．若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,2]$ 上连续，且有 $f(0)=f(2)$ ，则方程 $f(x)-f(x+1)=0$ 有解．

2．判断极限 $$ \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x+y-1}-1} $$ 的存在性，若存在，给出证明过程，若不存在，说明理由．

七．证明含参变量积分 $\displaystyle \int_{0}^{\infty} \mathrm{e}^{-\alpha x^{2}} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle 0 \leq \alpha_{0} \leq \alpha<+\infty$ 上一致收敛，并说明在 $\displaystyle 0<\alpha<+\infty$ 是否一致收敛？

13．（16 分）设 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 中的有界单连通区域，其边界 $S$ 是一个光滑封闭曲面，$\vec{n}$ 是 $S$ 上动点 $Q(\xi, \eta, \zeta)$处的单位外法向量，$P_{0}\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为不在 $S$ 上的一点，$r=\sqrt{\left(\xi-x_{0}\right)^{2}+\left(\eta-y_{0}\right)^{2}+\left(\zeta-z_{0}\right)^{2}}$ ，证明： $\iiint_{\Omega} \frac{1}{r} \mathrm{~d} \xi \mathrm{~d} \eta \mathrm{~d} \zeta=\frac{1}{2} \iint_{S} \cos \angle(\overrightarrow{P Q}, \vec{n}) \mathrm{d} S$ ，其中 $\angle(\overrightarrow{P Q}, \vec{n})$ 表示向量 $\overrightarrow{P Q}$ 和 $\vec{n}$ 的夹角．

16．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续，$\displaystyle \forall x \in[a, b], \sum_{n=1}^{\infty} f^{n}(x)$ 收玫。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f^{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛。

9．问函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(1-x) x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上是否一致收玫，并说明理由．

七、设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的可积函数列，且一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{a}^{b} f_{n}(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x $$

四、判断 $\displaystyle f(y)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x^{2} y\right)}{x} \mathrm{~d} x$ 在 $\displaystyle y \in[0,+\infty)$ 中的一致收敛性．

10．设 $\displaystyle I(y)=\int_{1}^{\infty} \frac{\cos x y}{x^{y}} \mathrm{~d} x$ ． （1）讨论 $\displaystyle I(y)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性． （2）讨论 $\displaystyle I(y)$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的连续性．

9．设 $\displaystyle \alpha>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{\alpha} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$上的一致收敛性．

1．设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^{2}-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程．

2．求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{n^{2}+1}-1\right) \cdot \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$ ．

12、记作 $\displaystyle u_{n}(x)=\frac{\ln \left(1+n^{\alpha} x\right)}{n^{\beta}},(x>0, \alpha, \beta>0)$ ． （1）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的玫散性． （2）在 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 收玫的基础上，论其一致收敛性． （3）讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 的可导性．

5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 上有连续的导数，记 $\displaystyle F_{n}(x)=n f\left(x+\frac{1}{n}\right)-n f(x)$ ． （1）若 $I$ 为有界闭区间，$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 是否一致收敛？给出理由． （2）若 $I$ 为有界开区间，$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 是否一致收敛？给出理由．

4、函数 $f(x)$ 为连续函数，则 $g(x)=\lim _{y \rightarrow x} f(y), g(x)$ 为连续函数．

5、函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\},\left\{g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上分别一致收敛于 $\{f(x)\},\{g(x)\}$ ，则函数列 $\left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛于 $\{f(x) \cdot g(x)\}$ ．

2、设 $f(x)=x^{2} \ln (1+x)$ ，在 $x=0$ 处的 $n(n \geqslant 3)$ 阶导数 $f^{(n)}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．

1、函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛的充分必要条件是当 $\left\{a_{n}\right\}$ 是区间上任意柯西数列时，函数列 $\left\{f\left(a_{n}\right)\right\}$ 也是柯西数列．

3． $\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．

5． $\lim _{(x, y) \rightarrow(+\infty,+\infty)}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{x \sin y}$ ．

1．计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sqrt{2} x)-e^{-x^{2}}+\frac{x^{4}}{3}}{x^{6}}$ ．

3、函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left[\ln \left(\cos \left(\frac{1}{n^{3}}\right)\right)\right] x^{n}$ 收玫半径为 $\_\_\_\_$ ；

九、（15 分）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}, x \in(0,+\infty)$ ． （1）证明：该级数在 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 上收玫但不一致收玫． （2）求该级数的和函数．

八、（15 分）设周期 $\displaystyle 2 \pi$ 的函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\pi, \pi]$ 上由 $$ f(x)=\left\{\begin{array}{l} \pi-x, 0<x \leq \pi \\ 0, x=0 \\ -\pi-x,-\pi<x<0 \end{array}\right. $$ 给出． （1）求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数． （2）证明（1）中的傅里叶级数在 $\displaystyle (-\pi, \pi]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，但不一致收敛．

7．（12 分）（1）对任意的 $\displaystyle x \in D, \lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x)$ ，并且 $\displaystyle \left|f_{n}(x)-f(x)\right| \leq a_{n}$ ，其中 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $D$ 上一致收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ ． （2）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{1+n x^{3}}$ ，证明函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致收敛于 0 。

11．设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续的函数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x), f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上恒为负值．证明：当 $n$ 充分大时，$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也恒为负值，且函数列 $\displaystyle \left\{\frac{1}{f_{n}(x)}\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ ．

九、（10 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件： 1）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x)(x \in[a, b])$ ， 2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle s(x)$ ． 证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ．

九、（15 分）叙述函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 不一致收敛到函数 $\displaystyle f(x)$ 的分析定义，并用定义证明 $\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛． 以上资料由网友收集整理上传，仅供个人免费学习参考，如有侵权，请联系微信18062109856（同手机号）删除。

九、（15 分）设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足下列条件： 1）$\displaystyle \forall n, f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 连续且有 $\displaystyle f_{n}(x) \leq f_{n+1}(x) \quad(x \in[a, b])$ ， 2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 处处收玫于 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数 $\displaystyle s(x)$ ． 证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle s(x)$ ．

九、（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 为 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的可积函数，且 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，则成立 parseval 不等式： $$ \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f^{2}(x) d x=\frac{a_{0}^{2}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}^{2}+b_{n}^{2}\right) $$ 这里 $\displaystyle a_{n} 、 b_{n}$ 为 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数．

3．已知 $f(x, y)=\frac{x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}$ 。计算其在原点的两个累次极限。

2．求极限 $a_{n}=\sqrt[n]{2+x^{n}}, x>0$ ．

1．证明函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0, \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ 在 $(0,0)$ 的偏导数存在，但在此点不 可微。

1．设 $f_{n}(x)=x n^{-x}(n=1,2, \cdots)$ ，问 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,+\infty)$ 上是否一致收敛，为什么？

4．已知 $a_{n}=\sqrt[n]{2022^{n}+(-2023)^{n}}, n=1,2, \cdots$ ，求 $\limsup _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 和 $\liminf _{n \rightarrow \infty} a_{n}$ ．

3．求证：黎曼 $\zeta$ 函数 $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 具有如下性质： （1）在 $x>1$ 上连续． （2）在 $x>1$ 上连续可微．

2．设 $D \subset \mathbb{R}^{2}$ 由 $x^{2}+y^{2}=2 y$ 和 $y \geq 1$ 围出，计算二重积分 $\iint_{D} \frac{2 y-y^{2}-x^{2}}{y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．

6、证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} \sin \frac{1}{3^{n} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性．

7、设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{n x}{1+n^{2} x^{2}}$ ，说明在 $\displaystyle [0,1]$ 上的一致收敛性．

8、设 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle [a, A] \times[b, B]$ 连续，$\displaystyle \varphi_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, A]$ 上一致收敛．证明： $$ F_{n}(x)=f\left(x, \varphi_{n}(x)\right) $$ 在 $\displaystyle [a, A]$ 一致收敛．

3．计算二重积分 $I=\iint_{D} \sqrt{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 与两坐标轴所围成的区域。

8．讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x^{2} \mathrm{e}^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上的一致收敛性．

三．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin n x \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上逐点收敛但不一致收敛．

5．$\oint_{C} \frac{y d x-x d y}{3 x^{2}+4 y^{2}}, C: 3 x^{2}+4 y^{2}=1$ ．（压中原题）

6． $\iint_{D} \sqrt{\left|y-x^{2}\right|} d x d y, D: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ ．（类似题目讲过小题样，只是范围不一样）

6．求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)}$ 的和．

5．计算曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}(R>0)$ 的上侧．

6．解答如下问题： （1）讨论函数 $f(x)=(x-1)(x-2) D(x)$ 的连续点和间断点，并判断间断点的类型，其中 $D(x)$ 是狄利克雷函数 $$ D(x)= \begin{cases}1, & x \text { 为有理数 } ; \\ 0, & x \text { 为无理数. }\end{cases} $$ （2）给出实数集 $\mathbb{R}$ 上只有 3 个连续点的函数．

三、证明题． $\displaystyle \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n+x^{2}} \arctan (n x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上是否一致收敛？

七．（15 分）证明：若级数花 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}, n \in N_{\text {，}}$ 则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\prime} c_{n}$ 也收敛。 八（15 分）荐姠数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \|_{n}(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ ，且对们总 $\displaystyle n \in N_{*}, u_{n}(x)$ 位区间 $I$ ：连续，证明和函数 $\displaystyle f(x)$ 在区问 $I$ 上连续。

2．求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} I(n)$ 的和。 + ．（ 15 分，其中第一题 10 分，第二题 5 分）

1．证明函数级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 的和函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上连续。

六．（15分）证明函数列 $\displaystyle \left\{n x(1-x)^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上不一致收敛。 L．（15 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}$ 的和陑数。

八．（15 分）已知三次方程 $\displaystyle x^{3}-3 a^{2} x-6 a^{2}+3 a=0$ 只有一个正的实根，求 $a$ 的范围。九．（15 分）若函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而每个函数 $\displaystyle f_{n}(x)$在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 连续 $\displaystyle (n=1,2, \cdots), x_{n} \in[a, b](n=1,2, \cdots)$ 且数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 收敛于 $\displaystyle x_{0}$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow f_{n}} f_{n}\left(x_{n}\right)=f\left(x_{0}\right)$ 。

八．（15 分）设对每个正整数 $n$ ，函数 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，又对 $\displaystyle [a, b]$ 上每个 $x$ ，序列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是有界列，证明在 $\displaystyle [a, b]$ 中存在一个小区间使得函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$在该小区间上一致有界。

七．证明：函数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle x=a$ 和 $\displaystyle x=b$ 连续，对任意 $\displaystyle n \in \mathbb{N}_{+}, u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 单调，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛．

五、已知函数 $\displaystyle f(x, u)$ 在区域 $$ D=\{(x, y): a \leq x<+\infty, \alpha \leq u \leq \beta\} $$ 中连续，且积分 $\displaystyle \varphi(u)=\int_{a}^{+\infty} f(x, u) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上一致收敛， 证明：$\displaystyle \varphi(u)$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta]$ 上连续．

6、（15 分）判别函数列 $\displaystyle \left\{n x(1-x)^{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上的一致收玫性．

6．证明 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}(1-x)^{2}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛，但 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^{n}(1-x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上非一致收敛．

八、设在 $\displaystyle [\mathrm{a},+\infty) \times[\mathrm{c}, \mathrm{d}]$ 内成立不等式 $\displaystyle |\mathrm{f}(\mathrm{x}, \mathrm{y})| \leq \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ，若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} F(x, y) d x$ 在 $\displaystyle \mathrm{y} \in[\mathrm{c}, \mathrm{d}]$上一致收敛，证明 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(x, y) d x$ 在 $\displaystyle \mathrm{y} \in[\mathrm{c}, \mathrm{d}]$ 上一致收敛且绝对收敛。

4、（20 分）判别函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{\sqrt[4]{n}}$ 在 $\displaystyle (0, \pi)$ 上的玫散性，若收敛指出是绝对收敛，还是条件收敛。

12．$\displaystyle f_{n}(x), n=1,2, \cdots$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数列，且 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明：若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上无零点，则当 $n$ 充分大时，$\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上也无零点，且有 $\displaystyle \frac{1}{f_{n}(x)}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle \frac{1}{f(x)}$ ．

八、（20 分）设连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle [a,+\infty)$ 上连续，证明：$\displaystyle \left\{g\left(\left|f_{n}(x)\right|\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致鈫于 $\displaystyle g(|f(x)|)$ ．

九、（10 分）证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos 2 x}{x+\alpha} e^{-\alpha x} d x$ 对 $\displaystyle \alpha \in[0, b](b>0)$ 一致收敛．

11．（15 分）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n} \arctan x$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

7、（15 分）判断 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} y^{x} e^{y} d y$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上是否一致收敛，并说明理由．

10．（14 分）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin x y}{x} \mathrm{~d} x$ 关于 $y$ 在 $\displaystyle \left[y_{0},+\infty\right)\left(y_{0}>0\right)$ 上一致收敛，但在 $\displaystyle (0,+\infty)$上非一致收敛。

8．（14 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ 上无穷次可导（其中 $\displaystyle r \in(0,+\infty)$ ），且存在常数 $\displaystyle M>0$ ，使得 $$ \left|f^{(n)}(x)\right| \leq M \frac{n!}{r^{n}}, \forall x \in\left(x_{0}-r, x_{0}+r\right), \forall n=0,1,2, \cdots . $$ （1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x_{0}$ 点的 Taylor 级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$上逐点收敛于 $\displaystyle f(x)$ ． （2）证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_{0}\right)}{n!}\left(x-x_{0}\right)^{n}$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}-r, x_{0}+r\right)$ 上内闭一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．

12、（15 分）设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n x \cdot e^{-n^{2} x^{2}}, x \in[0,1], n=1,2,3, \cdots$ ．证明： （1）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上收玫于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ． （2）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上是否一致收敛于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ？判断并给出理由． （3）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}, n=1,2,3, \cdots$ 在闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上积分平均收敛于 $\displaystyle f(x) \equiv 0$ ，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \mathrm{d} x=0$ ．

6、（12 分）若 $\displaystyle f(x)$ 在闭区间 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，证明：存在折线段函数列 $\displaystyle \left\{\varphi_{n}(x)\right\}$ ， $\displaystyle (n=1,2, \cdots)$ ，使得 $\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} \varphi_{n}(x) \mathrm{d} x$ ．

1．求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(5+x)^{x}-5^{x}}{x^{2}}$ ．

4．若数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收玫，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n}+\frac{1}{n^{2}}\right)$ 的收玫性是 A． B． C． D．

2、求曲面 $x^{2}+y^{2}=a z,(a>0), z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 围成立体区域的体积．

7．（15分）设 $f(x)$ 在 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 连续 $\left(x_{1} x_{2}>0\right)$ ，在 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ 可导，证明：存在 $\xi \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，使得 $$ \frac{1}{x_{2}-x_{1}}\left|\begin{array}{ll} x_{1} & f\left(x_{1}\right) \\ x_{2} & f\left(x_{2}\right) \end{array}\right|=\xi f^{\prime}(\xi)-f(\xi) . $$

10．（12 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上一致连续，且对任意固定的 $\displaystyle x \in[0,+\infty)$ ，当自然数 $\displaystyle n \rightarrow+\infty$ 时，有 $\displaystyle f(x+n) \rightarrow 0$ ．证明：函数列 $\displaystyle \{f(x+n)\}_{n=1}^{\infty}$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛于 0 ．

十二，（15 分）已知 $\displaystyle f_{0}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积，且 $\displaystyle f_{n+1}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t(n=0,1,2, \cdots)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [a, b]$上一致收敛。

2、证明：$\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[\alpha, 1]$ 上一致收敛，其中 $0<\alpha<1$ ．

11、设每个函数 $\displaystyle u_{n}(x),(n=1,2, \ldots)$ 在点 $\displaystyle x=c$ 处连续，但 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(c)$发散，证明：对任意 $\displaystyle \delta>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在 $\displaystyle (c, c+\delta)$ 内不一致收敛。

12、证明：若函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 有连续导数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ，且 $$ f_{n}(x)=n\left[f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)\right], $$ 则函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [\alpha, \beta] \subset(a, b)$ 一致收玫于导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ ．

11、设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $I$ 上一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ ，且 $\displaystyle f(x)$ 在 $I$ 上有界，同时对每个 $\displaystyle f_{n}(x)$ ，存在 $\displaystyle M_{n}>0$ ，使得对任意 $\displaystyle x \in I$ ，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M_{n}$ 。证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 $\displaystyle \mathbf{I}$ 上一致有界。

12、证明： （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 收敛但非一致收敛。 （2）$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上连续．

9、如果函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 满足条件： （i）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续可微，$\displaystyle n=1,2,3, \cdots$ ． （ii）导函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}^{\prime}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于 $\displaystyle \varphi(x)$ ． （iii）$\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 至少在某个 $\displaystyle x_{0} \in[a, b]$ 收敛，即 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{n}\left(x_{0}\right)=y_{0}$ ． 那么 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收玫于某个连续可微函数 $\displaystyle f(x)$ ，并且 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\varphi(x)$ ．

十．（10 分）设 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 是 $\displaystyle [a, b]$ 上黎曼可积的函数列，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $f$ ．证明： （1）$f$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上可积． （2）$\displaystyle \left\{F_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle F(x)$ ，其中 $\displaystyle F_{n}(x)=\int_{a}^{x} f_{n}(t) \mathrm{d} t, F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ．

5．（15 分）解答如下问题： （1）判断函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n x e^{-n x^{2}}$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上的一致收敛性． （2）判断函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln \left(1+n^{2} x^{2}\right)}{n^{2}}$ 在 $\displaystyle (-2,2)$ 上的一致收玫性．

2．$x^{3} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+x y(x-y) \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}-y^{3} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}+2=0$ ．

1．给出函数列一致收敛的定义．

八、（12 分）试证：无穷级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{1+n^{3} x}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上收敛，但不一致收敛．

3．已知 $f(x)=\int_{\sqrt{x}}^{\sqrt{\frac{\pi}{2}}} \frac{1}{1+\tan y^{2}} \mathrm{~d} y$ ，求 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ．

5．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ．证明： （1）存在 $\displaystyle M>0$ ，对任意的正整数 $n$ 及 $\displaystyle x \in[a, b]$ ，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M$ ，且 $\displaystyle |f(x)| \leq M$ ． （2）若 $\displaystyle g(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续，那么 $\displaystyle \left\{g\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(f(x))$ ．

8．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续，证明：含参量积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-\alpha x} f(x) \mathrm{d} x$ 在 $\displaystyle \alpha \in[0,+\infty)$ 上一致收敛的充要条件为 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。

4．解答如下问题： （1）若 $\displaystyle 0<\eta<1$ ，证明：$\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x^{2}}$ 在 $\displaystyle (\eta, 1)$ 上一致连续． （2）证明 $\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x^{2}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上不一致收敛．

8．证明：$\displaystyle x \rightarrow a$ 时 $\displaystyle f(x, y)$ 一致收敛于 $\displaystyle \varphi(y)$ 的充要条件是对任意趋近于 $a$ 的数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}, f\left(x_{n}, y\right)$ 一致收敛于 $\displaystyle \varphi(y)$ 。

6．已知方程 $\displaystyle k y-\sin y+x \cos y=0, k>1$ ． （1）对任意的 $\displaystyle |x|<k-1,|y|<+\infty$ ，能唯一确定函数 $\displaystyle y=y(x)$ ． （2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ ．

7．（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n} \sin \pi t \mathrm{~d} t=\int_{0}^{x} \frac{\sin \pi t}{1-t} \mathrm{~d} t, 0 \leq x \leq 1$ ． （2）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n} \sin \pi t \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle x \in[0,1]$ 上一致收敛。

7．叙述判定函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 关于 $x$ 在集合 $D$ 上一致收敛的 Cauchy 收敛原理．

15．设 $\alpha>0$ ． （1）证明：反常积分 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{\left(1+x^{2} y^{2}\right) x^{\alpha}}$ 关于 $y$ 在 $(0,+\infty)$ 上内闭一致收敛． （2）证明：$I(y)=\int_{1}^{+\infty} \frac{\arctan (x y)}{x^{\alpha+1}} \mathrm{~d} x$ 是 $(0,+\infty)$ 上的可导函数，且满足方程 $$ I^{\prime}(y)-\alpha I(y)+\arctan y=0 $$

十．设 $\displaystyle \left\{P_{n}(x)\right\}$ 是多项式序列，且在 $R$ 上一致收敛于 $\displaystyle P(x)$ 。证明：$\displaystyle P(x)$ 也是多项式。（10 分） $\displaystyle \_\_\_\_$ $\displaystyle \_\_\_\_$ $\displaystyle \_\_\_\_$

六、证明下列各题。（15分） 1．设正项然数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \forall k>0$ ，正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散， 2．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 3^{n} \sin \frac{1}{5^{n} x}$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上收敛，但不⋯致收敛。

七、（12 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-a, a](a>0)$ 上连续，且对任意 $\displaystyle x \in[-a, a], x \neq 0$ ，有 $\displaystyle |f(x)| \leq|x|$ ． $$ \text { 又 } f_{1}(x)=f(x), f_{2}(x)=f\left(f_{1}(x)\right), \cdots, f_{n+1}(x)=f\left(f_{n}(x)\right), \cdots $$ 证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [-a, a]$ 上一致收敛于 0 ．

3． $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x), \quad \forall x \in P$ ， ## 其中 $P$ 为 $(a, b)$ 中的有理数集． 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} f_{n}(x)=f(x), \quad \forall x \in(a, b)$ ．

六、（15 分）设连续函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，而 $\displaystyle g(u)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 内连续．证明： $\displaystyle \left\{g\left(f_{n}(x)\right)\right\}$ 在 $\displaystyle [a, b]$ 上一致收敛于 $\displaystyle g(f(x))$.

十、（15 分）证明积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{\sin \frac{1}{x}}{x^{p}} d x$ 在 $\displaystyle 0<p<2$ 中非一致收敛，但在 $\displaystyle 0<p \leq 2-\delta(0<\delta<2)$ 中一致收敛。

3．设函数 $f$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[f(x)+f^{\prime}(x)\right]=a$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 。

七、（15 分）（1）叙述函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}(x)$ 在区间 $I$ 上不一致收玫的柯西准则。 （2）讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x e^{-n x^{2}}$ 在区间 $\displaystyle (0,+\infty)$ 及 $\displaystyle [a,+\infty)$ ， $\displaystyle (a>0)$ 上的一致收玫性．

八、（15 分）设 $\displaystyle f(x, y)$ ：是 $\displaystyle [a, b] \times[c,+\infty)$ 上的非负连续函数，$\displaystyle I(x)=\int_{c}^{+\infty} f(x, y) \mathrm{d} y$在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上连续．证明：$\displaystyle I(x)$ 在 $\displaystyle [\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上一致收敛．

六、（15 分）证明：若 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在区间 I 上一致收敛于 $\displaystyle f(x)$ ，并且对 $\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}, f_{n}(x)$在 I 上有界，则 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 I 上一致有界。

十、（10 分）证明： $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos \left(x^{2}\right)}{x^{y}} \mathrm{~d} x$ 关于参变量 $y$ 在 $\displaystyle (-1,1)$ 里内闭一致收敛．

九．（15 分）设 $\displaystyle I(y)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin ^{3} x}{x^{y}} \mathrm{~d} x$ ． （1）求 $\displaystyle I(y)$ 的收敛域． （2）判断 $\displaystyle I(y)$ 在收敛域上是否一致收敛． （3）求 $\displaystyle I(3)$ 。

六．$\displaystyle |f(x, y)| \leq F(x, y),(x, y) \in[0,1] \times[0,+\infty), \int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y, \int_{0}^{+\infty} F(x, y) d y$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上有定义，$\displaystyle \forall \varepsilon>0, \exists N>0, \quad \sup _{x \in[0,1]} \int_{N}^{+\infty} F(x, y) d y<\varepsilon$ 。 （1）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} F(x, y) d y$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛； （2）叙述 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y$ 一致收玫的柯西准则，并由此和（1）证明 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f(x, y) d y$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

4、设 $y$ 是 $x$ 的函数，满足 $\ln \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\arctan \frac{x}{y}$ ．求 $\frac{d y}{d x}$ ．

七、（15 分）证明：含参量 $x$ 的反常积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{y \cos (x y)}{1+y^{2}} d y$ 在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 上一致收敛 $\displaystyle (\delta>0)$ ，在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 不一致收敛．

四、（15 分）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 连续，且 $$ f_{1}(x)=f(x), f_{n}(x)=\int_{x}^{1} f_{n-1}(t) d t, x \in[0,1], \quad n \geq 2 $$ 证明：函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．

3．将函数 $f(x)=\pi-x, x \in[0, \pi)$ 展开成正弦级数．

1．若正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{\sqrt{n}}$ 收敛．

1．函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上收敛；

八．设函数列 $\displaystyle f_{n}(x)=n^{\alpha} x e^{-n x}$ ，当 $\displaystyle \alpha$ 取何值时，有

4．设曲面 $S$ 为球面 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$ ，其中 $R>0$ ，方向取外侧，计算 $$ \iint_{S} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$

六．（15 分）证明：含参量积分 $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \frac{y \sin x y}{1+y^{2}} \mathrm{~d} y$ 在 $\displaystyle (0,+\infty)$ 上内闭一致收敛．

七．（15 分）记 $$ C[a, b]=\{f \mid f \text { 为有界区间 }[a, b] \text { 上的连续函数 }\} \text {. } $$ 对任意的 $\displaystyle f \in C[a, b]$ ，另 $\displaystyle T(f)=\max _{x \in[a, b]}|f(x)|$ ． （1）证明：对任意的 $\displaystyle f, g \in C[a, b]$ ，有 $\displaystyle T(f+g) \leq T(f)+T(g)$ ． （2）设 $\displaystyle C[a, b]$ 中的函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 满足：对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在 $\displaystyle N>0$ 使得 $\displaystyle m, n>N$ 时，有 $\displaystyle T\left(f_{m}-f_{n}\right)<\varepsilon$ ．证明：存在 $\displaystyle f \in C[a, b]$ 使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} T\left(f-f_{n}\right)=0$ ．

五．（15 分）设函数 $\displaystyle f_{0}$ 在有界区间 $\displaystyle [0, a]$ 上可积，定义函数列 $$ f_{n}(x)=\int_{0}^{x} f_{n-1}(t) \mathrm{d} t, x \in[0, a](n=1,2, \cdots) $$ 证明：函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}\right\}$ 在 $\displaystyle [0, a]$ 上一致收敛．

八．（15 分）设 $\displaystyle I(\alpha)=\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x} \mathrm{~d} x, 0 \leq \alpha \leq b<+\infty$ ．证明： （1）若 $\displaystyle a>0$ ，则 $\displaystyle I(\alpha)$ 关于 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上一致收敛； （2）试问 $\displaystyle I(\alpha)$ 关于 $\displaystyle \alpha$ 在 $\displaystyle (0, b)$ 上是否一致收敛，并说明理由．

4．设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为 $\displaystyle (0,1)$ 上各项互异的数列，试讨论函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\operatorname{sgn}\left(x-x_{n}\right)}{2^{n}}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上的一致收玫性及极限函数的连续性．

七．设函数列 $\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}$ 与 $\displaystyle \left\{g_{n}(x)\right\}$ 在区间 $I$ 上分别一致收玫于 $\displaystyle f(x)$ 与 $\displaystyle g(x)$ ，且存在正数列 $\displaystyle \left\{M_{n}\right\}$ ，使得当 $\displaystyle x \in I, n=1,2, \cdots$ 时，有 $\displaystyle \left|f_{n}(x)\right| \leq M_{n},\left|g_{n}(x)\right| \leq M_{n}$ ．证明：$\displaystyle \left\{f_{n}(x) g_{n}(x)\right\}$ 在 $I$ 上一致收敛．

9、若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调且收敛于 0 ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos (n x)$ 在 $\displaystyle [a, 2 \pi-a] (0<a<\pi)$ 上一致收敛。