多元函数积分-曲线积分

五．已知三元函数 $\displaystyle f(x, y, z)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上具有连续的二阶偏导数，设 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 中光滑简单封闭曲面的全体为 $\displaystyle \Sigma$ ，对于 $\displaystyle S \in \Sigma$ ，用 $\displaystyle \mathbf{n}$ 表示 $S$ 的外法线单位方向向量，$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}$ 表示 $f$ 沿 $\displaystyle \mathbf{n}$ 的方向导数． （1）证明：$f$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0 \text { (即 } f \text { 为 } \mathbb{R}^{3} \text { 上的调和函数) } $$ 当且仅当 $\displaystyle \iint_{S} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}} \mathrm{~d} S=0(\forall S \in \Sigma)$ ． （2）设 $\displaystyle f(x, y, z)$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{3}$ 上的调和函数，$\displaystyle S \in \Sigma$ ，且 $S$ 围成的有界闭区域记作 $V$ ．证明： $$ f\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)=\frac{1}{4 \pi} \iint_{S}\left(f \frac{\cos (\mathbf{r}, \mathbf{n})}{|\mathbf{r}|^{2}}+\frac{1}{|\mathbf{r}|} \frac{\partial f}{\partial \mathbf{n}}\right) \mathrm{d} S $$ 其中 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)$ 为 $V$ 内部的一个定点， $\displaystyle \mathbf{r}=\left(x-x_{0}, y-y_{0}, z-z_{0}\right),(\mathbf{r}, \mathbf{n})$ 表示两向量的夹角，$\displaystyle |\mathbf{r}|$表示向量 $\displaystyle \mathbf{r}$ 的模长． （3）若函数 $f$ 和闭区间 $\displaystyle [0,1]$ 上的连续函数 $g$ 在单位球 $\displaystyle \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}$ 上满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=g\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) . $$ 证明： $\displaystyle \iiint_{\Omega}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}+z \frac{\partial f}{\partial z}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\pi \int_{0}^{1} \sqrt{t}(t-1) g(t) \mathrm{d} t$ ．

五、（25 分）求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)\left(\frac{x-1}{x}\right)^{n}$ 的收玫域及和函数．六、（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上单调递增，$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ．设 $n$为正整数，$\displaystyle \xi_{k} \in\left[\frac{k-1}{n}, \frac{k}{n}\right], k=1,2, \cdots, n$ 。证明： $$ \left|\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(\xi_{k}\right)\right| \leq \frac{1}{n} $$

5、求函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{2^{n}}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} \sin ^{2}\left(\frac{n x}{2}\right)$ 的和函数．

11、计算 $J=\iint_{S} y(x-z) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+x^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+\left(y^{2}+x z\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $S$ 是曲面 $z=5-x^{2}-y^{2}$ 上 $z \geq 1$ 的部分，并取外侧．

13．设 $a>1$ ，证明不等式： $2 a^{\frac{1}{2}} \leq a^{x}+a^{1-x} \leq 1+a, x \in[0,1]$ ．

9．写出 $\displaystyle f(x)=\arctan x$ 在 $\displaystyle x_{0}=0$ 的幂级数展开式，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}$ 的和．

2．讨论函数列 $f_{n}(x)=\frac{n x}{n x+1}, n=1,2, \cdots, x \in[0,+\infty)$ 的一致收敛性及极限函数的连续性和可微性．

3．设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数，且其二阶导数连续，证明：$f(x)$ 的傅里叶级数一致收玫．

2．求 $f(x)=\operatorname{sgn} x(-\pi \leq x \leq \pi)$ 的傅里叶级数，并求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{2 n-1}$ 的和；

七．幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫半径为 $\displaystyle R \in(0,+\infty)$ ，其在开区间 $\displaystyle (-R, R)$ 上一致收玫，证明：其在闭区间 $\displaystyle [-R, R]$ 上一致收玫．

五．（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ 的收敛域； （2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+1}{3^{n+1}} x^{n}$ 的收玫域及和函数； （3）将 $\displaystyle f(x)=(x-1)^{2}$ 在 $\displaystyle (0,1)$ 上展开成余弦级数，并推出 $\displaystyle \pi^{2}=6\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots\right)$ ．

五、解答如下问题． （1）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{p^{\ln n}}(p>0)$ 的玫散性； （2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n+1)!} x^{n}$ 的收敛域与和函数； （3）设 $f$ 是以 $\displaystyle 2 \pi$ 为周期且在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 二阶连续可导的函数，证明：$f$ 的傅里叶级数在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$上一致收敛于 $f$ ．

二．（20分）解答如下问题： （1）求极限： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^{4}+1}-\left(x^{2}-1\right) e^{\frac{1}{x}}\right)$ ． （2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1) 2^{n}}$ 的收玫域与和函数．

3．计算 $$ \int_{C}(y+z) \mathrm{d} x+(z+x) \mathrm{d} y+(x+y) \mathrm{d} z $$ 其中 $C$ 为依参数 $t$ 增大的方向通过的曲线 $x=\sin ^{2010} t, y=(2 \sin t \cos t)^{1005}, z=\cos ^{2010} t, t \in[0,2 \pi]$ ．

七、解答如下问题： （1）设 $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 $\displaystyle R>0$ ，求 $$ F(x)=\frac{f(x)}{1-x} $$ 的幂级数展开，并讨论该级数的收玫半径． （2）若 $\displaystyle \varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=1, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明： $$ \overline{\lim _{n \rightarrow \infty}} \sqrt[n]{\left|S_{n}\right|}=1 . $$

3．（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{2}-1}$ 的收玫域及和函数，并求 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^{2}-1\right) 2^{n}}$ 的和．

11．数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle a_{0}=1, a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+2 a_{n-2}(n \geq 2)$ ． （1）证明：$\displaystyle \left(\frac{5}{3}\right)^{n-1} \leq a_{n} \leq 3^{n-1}$ ． （2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln a_{n}}$ 发散，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收敛。 （3）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n+1}}$ 存在，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径以及收玫区间内的和函数．

2．设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $$ 2 x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-2 x-2 y-4 z+4=0 $$ 确定的二元函数，求 $z=z(x, y)$ 的极值点与极值．

2．设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 1 ，左极限 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 存在，且 $\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ．证明：数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 。举例说明：仅由 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收敛半径为 1 及左极限 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 存在不能断言数项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收玫。

14．证明：函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2}}{\left(1+x^{2}\right)^{n}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上非一致收敛．

12．$A$ 是由数码 0,1 组成的所有数列的集合，证明 $A$ 不可数．

7、 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{1} f(n x) d x$ ．

11、 $K$ 为实数域，$F \subset K$ 为非空闭集，令 $d(x)=\inf \{|x-t|: t \in F\}$ ，证明 $d(x)$ 为连续函数．

2、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2 n+1)}{n} x^{2 n}$ 的收玫域与和函数．

1．求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-(1+2 x)^{\frac{1}{2}}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．

1．求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[3]{(n+1)(n+2) \cdots(n+n)}}{n}$ ．

4、级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n-1}{n} x^{2 n}$ ，求级数的收玫域与和函数．

9．求 $\displaystyle \frac{x}{1 \cdot 2}+\frac{x}{2 \cdot 3}+\frac{x}{3 \cdot 4}+\cdots$ 的收敛区间和和函数．

11．求幂级数 $$ \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n-1} $$ 的收玫区间，并求其和函数：

6．（20 分）设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\frac{\pi}{4}, x \in[-\pi, 0) \\ \frac{\pi}{4}, x \in[0, \pi)\end{array}\right.$ ． （1）求 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上的 Fourier 展开式，并写出和函数； （2）计算 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2}}$ ．

二、求解下列各题（每小题9分，共36分） （1）．求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{e^{x}+e^{2 x}+\cdots+e^{n x}}{n}\right]^{\frac{1}{x}} $$ （2）．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上连续可导，计算积分 $$ \iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{1}{z} f\left(\frac{y}{z}\right)+y^{3}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{1}{y} f\left(\frac{y}{z}\right)+z^{3}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\displaystyle \Sigma$ 为锥面 $\displaystyle y^{2}+z^{2}=x^{2}(x>0)$ 与球面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 及 $\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=4$ 所围成立体的表面． （3）．将函数 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{4+x^{2}}{4-x^{2}}$ 展成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2 n+1) 2^{2 n+1}}$ 的和． （4）．设函数 $\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 1\right\}$ 上具有二阶偏导数，且满足 $$ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)},(x, y) \in D $$ 求积分 $\displaystyle \iint_{D}\left(x \frac{\partial f}{\partial x}+y \frac{\partial f}{\partial y}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

二、求解下列各题（每小题 $\displaystyle \mathbf{9}$ 分，共 $\displaystyle \mathbf{3 6}$ 分） （1）． $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1} n!}{n^{n}} $$ （2）．计算积分 $$ \iint_{S}\left(x^{2}+y-z^{3}\right) \mathrm{d} s $$ 其中 $S$ 为 $\displaystyle [-1,1] \times[-1,1] \times[-1,1]$ 的表面． （3）．计算积分 $$ \int_{-1}^{1}\left|x-x^{2}\right| \mathrm{d} x $$ （4）．求 $$ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+2)} x^{n-1} $$ 的和函数．

2．如果数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)=0$ ，则 $\left\{a_{n}\right\}$ 收玫。

3．设 $f(x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 上不恒为 0 的连续函数，$D(x)$ 为 Dirichlet 函数，则 $f(x) D(x)$ 在 $[a, b]$ 上不可积．

9．（15 分）设 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 为定义在 $[a, b]$ 上的函数列；对任意 $x \in[a, b]$ ，数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 有界，且存在 $K>0$使得对任意 $x, y \in[a, b]$ 和 $n \in \mathbb{N}_{+}$，都有 $\left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right| \leq K|x-y|$ ．证明：函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 必存在一致收敛的子列．

6．（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}(a>0, b>0)$ 的收敛域．

8．求罙级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n \cdot 2^{n}}$ 的收玫域与和函数．

1．设 $y=y(x)$ 是由方程 $\arcsin (x y)+y^{2}-y \cdot e^{x y}=2$ 确定的隐函数，求曲线 $y=y(x)$ 在点 $(0,2)$ 处的切线方程和法线方程．

3、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n^{2}(x-1)^{n}$ 的收玫域与和函数．

4．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{n+3} x^{n}$ 的收玫域以及和函数．

4．计算 $\iint_{D}|\sin (x+y)| d x d y, D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ ．

6、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n+1}}{4 n+1}$ 的和．

九、（15 分）设函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n e^{-n x}, x \in(0,+\infty)$ ． （1）证明：该级数在 $\displaystyle x \in(0,+\infty)$ 上收玫但不一致收玫． （2）求该级数的和函数．

七、（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(2 n+1) x^{n}$ 的收敛域，并求其和函数。

2）（15 分）数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+a_{n}}{2^{n}}$ 的利．

3．计算积分 $I=\iint_{D} \frac{x^{2}-y^{2}}{\sqrt{x+y+3}} d x d y$ ，其中，$D:\{(x, y):|x|+|y| \leq 1\}$ ．

2．设 $C$ 是 $z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}$ 与 $x=y$ 的交线，方向由 $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ 到 $\left(-\frac{a}{\sqrt{2}},-\frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$ ．计算 $$ \left(z^{3}+3 x^{2} y\right) \mathrm{d} x+\left(x^{3}+3 y^{2} z\right) \mathrm{d} y+\left(y^{3}+3 z^{2} x\right) \mathrm{d} z $$

3．定义 $f(x)=\int_{0}^{x} \cos \frac{1}{t} \mathrm{~d} t, x \in \mathbb{R}$ ，证明：$f(x)$ 在 $x=0$ 可导，且 $f^{\prime}(0)=0$ ．

8．（10 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ 的和函数．

4．计算 $\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1}|3 x+4 y| \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

8．（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n+1)}{n} x^{n}$ 的收敛域．

1．求函数 $\frac{1}{x^{2}+3 x+2}$ 在 $x=-4$ 处的幂级数展开式和收玫域．

5．计算曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y $$ 其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{R^{2}-x^{2}-y^{2}}(R>0)$ 的上侧．

5、已知 $n$ 为正整数，$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (n x)}{n+1}$ ． （1）证明：$\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (0,2 \pi)$ 上连续． （2）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数． （3）证明： $\displaystyle \int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=2 \ln 2$ ．

三、求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n+1}}{n(2 n-1)}$ 的收玫域及和函数．

2．（20 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n} n!} x^{n}$ 的和函数．

七．（15 分）证明：若级数花 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，且 $\displaystyle a_{n} \leq c_{n} \leq b_{n}, n \in N_{\text {，}}$ 则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\prime} c_{n}$ 也收敛。 八（15 分）荐姠数级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{x} \|_{n}(x)$ 在区间 $I$ 上一致收敛于函数 $\displaystyle f(x)$ ，且对们总 $\displaystyle n \in N_{*}, u_{n}(x)$ 位区间 $I$ ：连续，证明和函数 $\displaystyle f(x)$ 在区问 $I$ 上连续。

2．求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} I(n)$ 的和。 + ．（ 15 分，其中第一题 10 分，第二题 5 分）

1．证明函数级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{x}}$ 的和函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上连续。

五．（15 分）求函数 $\displaystyle f(x)=-2 x^{3}+3 x^{2}+6 x-1$ 在区问 $\displaystyle [-2,2]$ 上的最小值与最大值。 ∴（15 分）求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数。

七．（15 分）计算幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n}$ 的和函数．

七．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n}}{n}$ 的和函数．

四．（15 分）设 $\displaystyle f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续 $\displaystyle (n=1,2, \cdots)$ 且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f_{n}(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致收玫于和函数 $\displaystyle S(x)$ ，证明： $\displaystyle S(x)$ 在 $\displaystyle \mathbb{R}$ 上一致连续．

7、（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} x^{n+1}$ 的收玫域与和函数．

4．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ 的收敛域与和函数．

7、（15 分）给定级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n+1}$ ． （1）求和函数 $\displaystyle S(x)$ ． （2）证明：广义积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} S(x) d x$ 收敛，并写出它的值．

四．（20 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫域与和函数，其中 $\displaystyle a_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots+(-1)^{n-1} \frac{1}{n}$ ．

2、函数 $f(x)$ 在有限区间 $[a, u]$ 可积 且 $\int_{a}^{+\infty}|f(x)| d x$ 收玫，则 $\int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 收玫．

三、（15 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{a^{n}+b^{n}}(a>0, b>0)$ 的收敛域．

十五、（本题满分 10 分）计算幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n+1} \sin x(x \neq k \pi, k \neq 0)$ 的和函数．

7．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(e^{\frac{1}{n^{2}}}-\cos \frac{\pi}{n}\right)$ 的玫散性． 8 ．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{2^{n} n!} x^{n}$ 的和函数．

8．写出 $\displaystyle f(x)=\int_{0}^{x} \arctan s d s$ 在 $\displaystyle x=0$ 处的幂级数展开式，并确定收敛域。

8． $\int_{-3}^{2} \min \left(2, x^{2}\right) d x=(\quad)$

2．设 $D=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D} \frac{\mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}{\sqrt{(1-x)^{2}+y^{2}}}$ ．

4．将函数 $f(x)=\arctan \frac{1-x}{1+x}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1}$ 的和．

一、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ 的逐项求导后的级数的收敛域，并求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{2 n}$ 的和．

四、将 $\displaystyle f(x)=x$ 在 $\displaystyle [-\pi, \pi]$ 上展开为傅里叶级数并求和函数，并求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2 n-1}$ 的和．

7．（12 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{4 n-1}}{4 n+1}$ 的收玫域与和函数 $\displaystyle S(x)$ ．

3．变上限积分 $\int_{0}^{x} t e^{t} d t=$ A． B． C． D．

1．求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1} \ln \left(1+x^{n}\right) \mathrm{d} x$ ．

1．取 $x_{1} \in(0,1), x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$ ，证明 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛。（7 分）

7．$\displaystyle f(x)=\frac{4 x-3}{2 x^{2}-3 x-2}$ 展开成 $\displaystyle (x-1)$ 的幂级数，并求其收敛域。

6、求幂级数 $\displaystyle \sum_{n 0}^{\infty} \frac{(n+1)^{2}}{n!} x^{n}$ 的收玫域及和函数．

5、函数 $f(x, y)=x^{3}-x^{2}-x y+y^{2}$ 的极值点为 $\_\_\_\_$

6．（13 分）求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+3}}{(n+1)(n+3)}$ 的收敛域与和函数．

十一．（10 分）设 $u$ 是平面开区域 $D$ 上的二元函数，且所有的偏导数连续．证明：$u$ 是 $D$ 上的调和函数，即在 $D$ 上 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} \equiv 0 \Longleftrightarrow$ 对 $D$ 内任意圆周 $L$ ，有 $\displaystyle \oint_{L} \frac{\partial u}{\partial n}=0$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 表示 $u$ 在 $L$ 上的外法向导数．

4．解答如下问题： （1）设 $k$ 为正整数，证明： $\int_{(k-1) \pi}^{k \pi} \frac{1}{1+x^{2} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x \geq 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+k^{2} \pi^{2} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ． （2）证明：反常积分 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2} \sin ^{2} x} \mathrm{~d} x$ 发散．

3．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上黎曼可积，则存在可导函数 $F(x)$ ，使得 $F^{\prime}(x)=f(x), x \in[a, b]$ ．

2． $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\cos \frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．

2、在原命题上修改，使其为真命题，并证明．

二．（15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,2]$ 上恒正连续，$\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{2} x^{n} f(x) \mathrm{d} x$ ，求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的收玫域．

二．1．求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n(n+1)}$ 的收玫域及和函数．

2、设函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛，且 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，则 $\left\{f_{n}(x) g(x)\right\}$ 在闭区间 $[a, b]$ 上一致收敛．

1．计算题 $\displaystyle \left(10^{\prime} \times 5=50^{\prime}\right)$ （1）求极限 $$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\tan (\tan x)-\tan x] \cdot \tan x}{x^{4}} $$ （2）求极限 $$ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\ln \left(2+\frac{1}{n}\right)}{n+1}+\frac{\ln \left(2+\frac{2}{n}\right)}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\ln \left(2+\frac{n}{n}\right)}{n+\frac{1}{n}}\right) . $$ （3）将 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 展开成关于 $x$ 的幂级数． （4）设隐函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由方程 $\displaystyle 3 x-x^{3}+2=y^{3}+3 y$ 确定，求 $\displaystyle y(x)$ 的极值． （5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 满足 $\displaystyle f(x)=f(x+2 \pi)$ 且 $\displaystyle f(x)=|\sin x|,-\pi \leq x<\pi$ ，求 $\displaystyle f(x)$ 的傅里叶级数展开式。

10、求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) x^{n}$ 的收玫域与和函数．